Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов и распределение нулей многочленов, ортогональных с переменным комплексным весом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лысов, Владимир Генрихович

• Лысов, Владимир Генрихович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лысов, Владимир Генрихович

Введение.

1 Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов.

1.1 Система функций, соответствующая графу-дереву.

1.2 Система функций для циклического графа.

2 Сильная асимптотика аппроксимаций Эрмита — Паде для системы стильтьесовских функций с весом JIareppa

2.1 Постановка задачи.

2.2 Риманова поверхность.

• 2.3 Формулировка результатов. 2.4 Критические траектории.

2.5 Равновесные меры.

2.6 Функции второго рода и соотношения ортогональности.

2.7 Постановка задачи Римана-Гильберта.

2.8 Нормировка задачи Римана-Гильберта.

2.9 Факторизация матрицы скачка. Раскрытие линзы.

2.10 Проблема Римана-Гильберта с независящими от п скачками.

2.11 Параметризация в окрестности концевых точек.

2.12 Последнее преобразование. Окончание доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов и распределение нулей многочленов, ортогональных с переменным комплексным весом»

Теория аппроксимаций Эрмита-Паде берет начало со знаменитой работы [31] Ш. Эрмита о трансцендентности числа е. Формальная сторона этой теории изложена в работе К. Малера [34]. Приведем одно из возможных определений.

Определение 0.1. Для набора / = (/i, /2,., /г) степенных рядов с центром в бесконечности: и мультииндексап = (ni,.,nr) G Ъг+ аппроксимациями Эрмита-Паде Р называются рациональные функции с общим знаменателем nnj- = такие, что deg Qn < |n| := п\ Н-----b nr, и выполнены условия интерполяции в точке z = 00

Такие рациональные функции всегда существуют. Их нахождение сводится к решению однородной системы |п| линейных уравнений относительно \п\ + 1 неизвестных коэффициентов многочлена Qn. Многочлены Pn>j равны полиномиальным частям разложений fjQn в степенной ряд с центром в бесконечности. Если степень любого такого Qn, с необходимостью равна |п|, то индекс п называется нормальным. В этом случае, аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно.

Вопросы анализа (о сходимости и асимптотике) для аппроксимаций Эрмита-Паде впервые были поставлены Е. М. Никишиным в конце

00 fjQn - Pnj)(z) = + , J = 1.г

Z з

• 5

1970- х годов. Наиболее полные результаты получены для систем марковских функций: m-i^, (ол) где fij — конечные положительные борелевские меры и fij(x) > 0 п. в. по мере Лебега на Aj. Заметим, что для таких функций полином Qn удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности Qn(x)xkdiJ,j(x) = 0, к = 0,., rij — 1, j = 1,., г. (0.2) JAj

Хорошо известны два класса марковских функций, для которых аппроксимации Эрмита-Паде определены единственным образом. Это системы Анжелеско и Никишина.

Системой Анжелеско называется система марковских функций (0.1), для которой отрезки Aj попарно не пересекаются. Из соотношений ортогональности (0.2) следует, что многочлен Qn имеет rtj нулей на отрезке A j для любого j = 1,., г. Таким образом, его степень равна |п| и аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно. Первый результат об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде таких систем был получен В. А. Калягиным [10] для специальных весов типа Якоби. Случай произвольных весов был разобран А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым в работе [5]. Предложенный ими метод задачи равновесия векторного логарифмического потенциала лег в основу изучения асимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде. Этот метод был развит ими в работах [6] и [7]. Одним из выводов работы [5] было то, что области сходимости и расходимости аппроксимаций существенным образом зависят от "геометрии" задачи, т. е. взаимного расположения концов отрезков Aj.

Формулы сильной асимптотики совместных аппроксимаций для системы Анжелеско были получены А. И. Аптекаревым [2].

Система Никишина соответствует случаю, когда отрезки Aj совпадают, а на меры fij наложены некоторые условия независимости, гарантирующие единственность аппроксимаций Эрмита-Паде. А именно, пусть F = (Fi,., Fr) — набор интервалов вещественной оси такой, что Fi = Д и Fj П Fj+1 = 0. На каждом из интервалов Fj задана мера <х/. Тогда меры fij на Д определяются по индукции:

Hi(x) := ai(x), fi2(x):=<ahcT2> (х)= [ ^Щ-<п(х), (0.3)

Jf2 х — t fij(x) :=< o\, cx2,., > :=< < o"2, • • •, ^ » j > 2.

Сходимость аппроксимаций Эрмита-Паде для системы Никишина по диагональной последовательности индексов (п, п,., п) была доказана в работе [14]. Сильная асимптотика изучалась в работе [3].

В работе [8] была предложена конструкция объединяющая и обобщающая системы Анжелеско и Никишина. Такие системы удобно ассоциировать с графами-деревьями. Графы для систем Анжелеско и Никишина изображены ниже (в случае г = 3). i —> h 0 —> fi —> h —> /з з

В работе В. Н. Сорокина [19], в связи с новым доказательством теоремы Апери об иррациональности С(3), была рассмотрена система функций, связанная с циклическим графом. Дадим формальное определение таких систем.

Пусть (V, — конечное частично-упорядоченное множество с наименьшим элементом О: О =4 A, VA G V. Будем говорить, что элемент В непосредственно следует за элементом А, если

А В, jQ CeV: А^С^В

Множество всех таких упорядоченных пар (Л, В) обозначим Е.

Пару Q = (V, £) можно рассматривать как ориентированный граф без ориентированных циклов, где V — множество вершин, a S — множество ребер. Множество ребер, выходящих из вершины А, обозначим А+; множество ребер, входящих в вершину А, обозначим Далее будем обозначать ребра графа Q прописными греческими буквами. Введем отношение непосредственного следования на множестве £: ребро /3 непосредственно следует за ребром а {а —>• /3), если для некоторой вершины А 6 V выполняются a G и (3 £ А+. Тот факт, что для некоторой вершины A G V выполняются а,(3 £ А или а,/3 £ А+, будем коротко записывать а (3.

Каждому ребру а графа Q поставим в соответствие отрезок Fa вещественной оси R и положительную борелевскую меру аа с носителем на Fa. При этом, предполагаем выполнеными следующие условия

1) Если ребра а и /3 имеют общую вершину, то соответствующие отрезки Fa и Fp не пересекаются.

2) Производная сг'а(х) от абсолютно непрерывной составляющей меры аа положительна почти всюду (относительно меры Лебега) на отрезке Fa.

Каждой вершине A G Vo := V \ {0} соответствует непустой набор Та цепочек ребер = (се, /?,., 7) таких, что от —>> /5 —>----У 7 а е 0+, 7 е А

Каждой такой цепочке Ьа соответствует мера \itA, определенная по правилу Никишина (0.3): а(х) =< асч <гр,.,<т1> (х). Вершине А поставим в соответствие функцию ш = Е [ tAerA J

Определение 0.2. Набор функций f = {/а(х), A G Vo} называется системой Аноюелеско - Никишина, соответствующей графу Q.

Фиксируем мультииндекс п = {па, А Е Vo} и рассмотрим задачу Эрмита-Паде для системы /.

Существует многочлен Qn ф 0 такой, что deg Qn ^ |п| = пА, aev0

Rn,A ■= QnfA - Рп,А = 0(z-nA~l), Z 00, A e Vo, где Рща некоторые многочлены. При изучении этих аппроксимаций, наряду с функциями второго рода Rn^A, удобно рассматривать функции которые определяются по индукции: ФП)(э = Qn,

•.W- Е (0.4)

А:{А,В)е£ J

В работе [8] для случая, когда граф Q является деревом и мультиин-дексов п вида пв ^ па + 1, если А -< В (0.5) было показано, что полином Qn имеет |п| простых нулей на объединении отрезков UaeO+Fa- Таким образом, индексы (0.5) являются нормальными и аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно.

В случае произвольного графа Q, нормальности индексов вообще говоря нет, и вопрос единственности требует дополнительного изучения. Однако, можно показать, что при условии (0.5) любое решение Qn имеет по меньшей мере |п| — д простых нулей на UaeO+Fa, где д определяется разницей между числом ребер и числом вершин графа Q: g = #S-#V+ 1.

Отметим, что результаты работы [8] об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде тривиальным образом переносятся на случай циклического графа Q.

Фиксируем распределение вероятностей р = {р^, А £ Vo} на Vo такое, что рв ^ ра, если А -< В. Рассмотрим последовательность © муль-тиндексов п = {па, А Е Vo} такую, что выполнено (0.5) и j^j- —> pa-Для изучения асимптотики Qn при п G © рассмотрим экстремальную задачу для векторного потенциала.

Введем некоторые обозначения. Для компакта К в комплексной плоскости С, обозначим, М+(/С) — множество всех конечных положительных борелевских мер г/, носитель которых supp(z/) принадлежит К. Логарифмический потенциал меры v обозначим через V" (z) :

Vv{z)= [ 1пг^-т du(t), zeC. Jk \z~4

Взаимной энергией мер v\ и V2 называют интеграл

1,^2)=/ [ In 1 dui(x)du2(t).

J J кхк F - Ц

Полную вариацию меры и будем обозначать \и\.

Определим множество M+(F), как декартово произведение множеств M+(Fa) по всем а Е £. Таким образом, элементы ц множества M+(F) есть наборы мер {//Q, а Е 8} такие, что supp(/ia) € Fa

По графу Q построим симметрическую матрицу А = (ааф):

2, если а = (3,

1, если а -в- /3, ааф = (0.6) 1, если а —> (3 или [3 —> а,

0, если ребра а и /3 не имеют общих вершин. Для меры ц £ M+(F) определим энергию J(/i) и векторный потенциал W" = {Wg, а Е £}■. a,0e£

WS(x) =

Предложение 0.3. 1) Существует единственная мера А, решающая следующую задачу минимизации энергии

2) —> min, < /i G M+(F), Еаел Ы - HpeA+ M =PA, Ле v„.

2) Мера А является единственной мерой в мнооюестве

0.7) д € M+(F) : £ Ы - Z) М =Ра,А€ V0}, а<=А- 0еА+ удовлетворяющей следующим условиям равновесия для а = (А, В) £

Таким образом, на константы равновесия wa := vb — va наложено g линейных условий. При этом, можно положить vo = 0.

Предельные распределения нулей полинома Qn и функций (0.4) описываются в терминах экстремальной меры Л. Пусть а = (А, В) и qn^a — полином, нули которого совпадают с нулями на отрезке Fa. Через /i(q) обозначим дискретную меру, построенную по нулям многочлена q:

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 0.4. Для любого а Е £ выполняются предельные соотношения при п £ ©

Е: VB-VA X £ supp(AQ), > VB-VA, X е Fa. x:q(x)=0 П

В частности,

В том случае, когда удается показать, что функции Фп,л(ПаеЛ+ не имеют нулей вне можно выписать асимптотические формулы для Фм. Это условие выполнено, например, если граф Q является деревом. В следующем предложении предполагается, что старший коэффициент Qn нормирован единицей.

Предложение 0.5. Если для некоторой подпоследовательности Л С 0, Фм(®) ф О при х £ С \ Uq€.all4+ Fa> А £ V, то справедливы следующие асимптотические формулы

Нт~1п|Фл(®)|= J] Vх*(х)- VXa(x)-vA. при х £ С \ иаелил+ В частности, lim^lnlQ»^- У Vх*(х), х£С\ II Fa пел 77.

1 1 аеО+ аеО+

В первой главе диссертации, утверждения сформулированные выше применяются для изучения аппроксимаций Эрмита- Паде для двух конкретных наборов функций / = (/ь /2, /з, /4) и g = (gi,g2, £3), где i(20 = ln(l-l/z)f f2(z) = \n(l + l/z), 41 ln(l + 1 /x)dx f° In(l - 1 jx)dx

ГНг±Ш1 r

Jo z-x 1 z — X

9\(z) = fi(z), g2(z) = f2(z),

93(z) = h(z) + /4(z) = - ln(l + 1/z) ln(l - 1/z).

Аппроксимации Эрмита-Паде для системы / были рассмотрены М. Хатой в работе [30]. Там же были поставлены задачи об асимптотике этих аппроксимаций и нахождении явного вида аппроксимаций для набора ю

Система функций / представляют собой систему Анжелеско-Никишина, ассоциированную со следующим графом-деревом. h —> /з о

2 —> /4

Аппроксимаций Эрмита-Паде для системы / и диагонального индекса (п, п, п, п) определены однозначно. Общий знаменатель может быть представлен в виде формулы Родрига (см. [30]): h Ш"^2 - 1)П(4 (;sfх2п{х2 -1)п (0'8)

За асимптотику аппроксимаций Эрмита-Паде системы / отвечает алгебраическая функция Ф(-г). Риманова поверхность 71 этой функции строится следующим образом. Обозначим n0 = n1 = n2 = c\[-i,i], тг3 = с\[-1,о], тг4 = с\[о,1].

Склеим листы TZq и TZi, а также листы и вдоль разреза [0,1]. Лист Но с листом 7г2 и 72-1 с Т^з склеим вдоль разреза [—1,0]. Полученная поверхность 7Z имеет род 0. Функция Ф(г) мероморфна на поверхности 7Z и имеет следующий дивизор: полюс четвертого порядка в бесконечности на листе TZq и простые нули в бесконечных точках на остальных листах. Нормировка Ф(^) выбирается исходя из нормировки многочлена Qn (0.8): Ф0(г) = 55/2V + ., при г оо. и

Теорема 1. Выполняются следующие предельные соотношения при п —> оо, равномерно на компактах из С \ [—1,1];

3 = 1,2,3,4.

Ц/72

Система функций g образует циклический граф

91

S \ дз S

92

Нам удалось доказать единственность аппроксимаций Эрмита-Паде для этой системы и найти их явный вид для случая диагональных индексов (n, п,п).

Теорема 2. Для индексов (n,n,n) аппроксимации Эрмита-Паде системы функций g определены однозначно. Для их общего знаменателя справедлива формула:

Qn(x) = Спх х ((я2 ^[fl^f] ( ( diy {х2 1)Vn xdxj \xdxj \dxxj

Заметим, что многочлен Qn имеет степень 6[п/2]. Таким образом нечетные индексы не являются нормальными. Все нули многочлена Qn лежат на отрезке [—1,1]. Далее, считаем, что множитель Сп выбран так, что старший коэффициент Qn равен единице.

Для изучения асимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде рассмотрим следующую риманову поверхность It рода 0. Пусть

Пъ = Пх=П2 = 7г3 = С \ [-1,1]

Лист вдоль разреза [0,1] склеиваем с а вдоль разреза [—1,0] — с лист 7£з, наоборот, вдоль разреза [0,1] склеиваем с 72-2, а вдоль [-1,0]-с Яь

На поверхности И существует и единственна мероморфная функция Ф(г) со следующим дивизором: полюс шестого порядка в бесконечности на листе IZo, нули второго порядка в бесконечных точках на остальных листах и нормировкой lirn^oo $q(z)/zq = 1. Функцию Ф(z) можно задать в виде Ф = [At — 1)(2£ — 1)2/1024,

2 4£4

Z — (4t—l)(2t—I)2 '

Сформулируем теперь результат об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде для системы д:

Теорема 3. Выполняются следующие предельные соотношения при п —> оо, равномерно на компактах из С \ [— 1,1]; t£L(z)=Sgj(z), j = 1,2,3.

Во второй главе изучается сильная асимптотика аппроксимаций Эрмита-Паде pn,j/ln Для системы стильтьесовских функций: , . f°° Wj(x)dx . , .

J о z — х где (w\,., wr) - система весов JIareppa:

Wj{x) = xae~hx, j = l,.,r, a>-1, pr> •••> Pi >0. (0.10)

Полиномы ln называются полиномами совместной ортогональности JIareppa. Алгебраические свойства полиномов совместной ортогональности для классических весов, удовлетворяющих уравнению Пирсона, были изучены недавно в работе [22]. Вопросы сходимости аппроксимаций Эрмита-Паде для системы (0.9),(0.10) были рассмотрены В. Н. Сорокиным [16]. Мы концентрируемся на асимптотическом поведении знаменателей 1п, в частности, на описании предельного поведения полюсов аппроксимаций. Нули 1П плотны в [0, сю). Для более точного описания их предельного распределения полезно изменить масштаб задачи так, чтобы оно было сосредоточено на компакте. Рассматривается асимптотика масштабированных полиномов Ln(x) с единичным старшим коэффициентом

Ln(x) = Cnln(nx), в случае г = 2 весов и диагональных индексов (п,п). Полиномы Ьп(х) удовлетворяют соотношениям ортогональности с переменным весом при к = 0,., п — 1.

Изучение асимптотики полиномов Ln(x) основано на представлении ортогональных полиномов в виде решения некоторой задачи Римана-Гильберта для матричнозначных функций (см. [9] и [37]). Анализ асимптотики соответствующей матричной краевой задачи проводится мето

Ln(x)xk+ae~nl3iXdx = 0, Ln(x)xk+ae~np2Xdx = 0, дом, предложенным П. Дейфтом и X. Джоу в работе [28]. Для нахождения асимптотики многочленов совместной ортогональности метод матричной задачи Римана-Гильберта уже применялся в работах [33], [26], [24].

Рассмотрим трехзначную аналитическую функцию Ф(,г) : 211

2~ф(г) ф(г)-р1 ф(г)-02'

ФИ = сое*+М(ф(г) - М(ф(г) - /Ш(*)~2, где со = ((3i/32e2/4)"1. Пусть Фо(г) ветвь, имеющая полюс второго порядка в бесконечности. Обозначим

7 + 3\/3 /36 + 21\/3 КА = 2 ^ у 2 = 12.1136.

При (32/< к а, функция Ф(г) имеет четыре простые точки ветвления, две из которых вещественные 0 и d > 0, другие две комплексно сопряженные с и с. При /%/А > к А функция Ф(.г) имеет четыре вещественные точки ветвления 0 < d2 < d\ < d. Положим А = [0, d], в первом случае и А = [0,d2] U [d\,d], во втором. Тогда ветвь Фо(^) допускает аналитическое продолжение в область С \ А. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4 Для полиномов совместной ортогональности Лагерра Ln(z) справедливы следующие асимптотические формулы при п —> оо;

I. Равномерно на компактных подмножествах С \ А Ln(z) = F(z,$o(z)W(z)(l + 0(l/n)), где

F(z ф) = 2аф-аг-а(Ф-Ш-р2) ^ у/Щ)

Б(ф) = -4(A + (32)ф3 + 2 (pi + 8A& + f%) Ф2

- 8(A + (32)№Ф + 4/32/32 Равномерно на компактных подмноо/сествах А

3. Равномерно в достаточно малой окрестности точки О

Ln{z) = (1 + О(1/п))(Ф1Фо)"/2л/^0 х х (Ia(^/2)(N00(z) + iN01(z)(-z)-a)+ Га(-пф/2)(-^{г) + iN0i{z)(-z)~a)),

4- Равномерно в достаточно малой окрестности точки d

Ln(z) = (1 + 0(1/п))(Ф1Фо)п/2\/^ х х {{3^)1/6Ai((3^f3){Noo{z)^iNoi(z)z-a)+ {(3/2n(f))~l/6Ai'((3/2n(j))2/3)(—Noo(z) + iN01(z)z~a)), где локально в окрестностях точек О и d под Ф1 понимается аналитическое продоло/сение Фо при npoxootcdeuuu через разрез, ф = 1п(Ф1/Ф0), Ia(() ~ функция Бесселя, Ai(C) - функция Эйри,

2«(фо-р1)(Фо-Р2)Фоа2-а

Noo(z) = Noi(z) = yjWo) у/Щх)

В заключение введения, автор выражает благодарность своему научному руководителю В. Н. Сорокину за постановку задачи и внимание к работе, а также А. И. Аптекареву за полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лысов, Владимир Генрихович, 2006 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М. Наука. 1979.

2. Аптекарев А. И. Асимптотика многочленов совместной ортогональности в случае Аноюелеско. Матем. сб. 1988, Т. 136 (152), №1, 56-84.

3. Аптекарев А. И. Сильная асимптотика многочленов совместной ортогональности для систем Никишина. Матем. сб. 1999, Т. 190, №5, 3-44.

4. Аптекарев А. И. Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций. Матем. сб. 2002, Т. 193, №1, 3-72.

5. Гончар А. А., Рахманов Е. А. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для системы функций марковского типа. Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР 157 (1981), 31-48.

6. Гончар А. А., Рахманов Е. А. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов. Матем. сб. 1984, Т. 125 (167), №1, 117-127.

7. Гончар А. А., Рахманов Е. А. О задаче равновесия для векторных потенциалов. УМН 1985, Т. 40, №4, 155-156.

8. Гончар А. А., Рахманов Е. А., Сорокин В.Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа. Матем. сб. 188 (1997), 671-696.

9. Итс А. Р., Китаев А. В., Фокас А. С. Изомонодромный подход в теории двумерной квантовой гравитации. УМН. 1990, 45, №6,135-136.

10. Калягин В. А. Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности. Матем. сб. 1979, Т. 110(152), №4, 609-627.

11. Лысов В. Г. Асимптотика многочленов совместной ортогональности, связанных с одной задачей теории диофантовых прибли-эюений. Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 2005, №4, 25-29.

12. Лысов В. Г. Сильная асимптотика аппроксимаций Эрмита-Паде для системы стильтьесовских функций с весом Лагерра. Матем. сб. 196 (2005), 99-122.

13. Никишин Е. М. О логарифмах натуральных чисел. Изв. акад. наук. Матем. 1979, Т. 43, №6, 1319-1327.

14. Никишин Е. М. О совместных аппроксимациях Паде, Матем. сб. 1980, Т. ИЗ (155), №, 499-519.

15. Никишин Е. М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М. Наука. 1988.

16. Сорокин В. Н. Сходимость совместных аппроксимаций Паде к функциям стилътьесовского типа. Изв. вузов, Матем. 1987, №7, 48-56.

17. Сорокин В. Н. О линейной независимости логарифмов некоторых рациональных чисел. Матем. заметки 1989, Т. 46, №3, 74-79.

18. Сорокин В. Н. О линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов. Матем. сб. 2001, Т. 192, №8, 139-154.

19. Сорокин В. Н. Циклические графы и теорема Апери. УМН. 2002, Т. 57, вып. 3(345), 99-134.

20. Фельдман Н. И. Приближения алгебраических чисел. МГУ. 1981.ц 21. Aptekarev A.I. Multiple orthogonal polynomials. J. Comput. Appl.Math. 99 (1998), 423-447.

21. Aptekarev A. I., Branquinho A., Van Assche W. Multiple orthogonal polynomials for classical weights, Trans. AMS. 355 (2003), 3887-3914.

22. Aptekarev A. I., Van Assche W. Scalar and matrix Riemann -Hilbert approach to the strong asymptotics of Pade approximants and complexorthogonal polynomials with varying weight. J. Approx. Theory. 1292004), 129-166.

23. Aptekarev A. I., Bleher В., Kuijlaars A.B.J. Large n limit of Gaussian random matrices with external source, part //, Comm. Math. Phys. 2592005), 367-389.

24. Bleher В., Kuijlaars A.B.J. Random matrices with external source and multiple orthogonal polynomials. Internat. Math. Research Notices 2004, 109-129.

25. Bleher В., Kuijlaars A. B. J. Large n limit of Gaussian random matrices with external source, part I. Comm. Math. Phys. 252 (2004), 43-76.

26. Bleher В., Kuijlaars A.B.J. Integral representations for multiple Hermite and multiple Lagucrrc polynomials. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 55, 6 (2005), 2001-2014.

27. Deift P., Zhou X. A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for mKdV equation. Ann. of Math. 137 (1993), 295-370.

28. Deift P. Orthogonal polynomials and random matrices: a Riemann-Hilbert approach. Courant Lecture Notes 3, New York University, 1999; Amer. Math. Soc., Providence RI, 2000.

29. Hata M. The irrationality of log(1 + l/q)log(l — 1 jq). Trans. Amer. Math. Soc. 1998, V. 350, No 6, 2311-2327.

30. Hermite C. Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris Ser.-I Math. 1873, V. 77, 18-24, 74-79, 226-233, 285-293.

31. Kuijlaars A. B. J., McLaughlin K.T-R. , Van Assche W., Vanlessen M. The Riemann Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on -1,1]. Advances in Math. 188 (2004), 337-398.

32. Kuijlaars A. B.J., Van Assche W., F. Wielonsky W. Quadratic Hermite-Pade approximation to the exponential function: a Riemann -Hilbert approach. Constr. Approx. 21 (2005), 351-412.

33. Mahler K. Perfect systems. Compositio Math. 1968, V. 19, №2, 95-166.

34. Nutall J. Asymptotics of diagonal Hermite-Pade polynomials. J. Approx. Theory. 42 (1984), 299-386.

35. Stahl H. Quadratic Hermite-Pade polynomials associated with the exponential function. J. Approx. Theory. 125 (2003), 238-294.