Семейство фредгольмовых операторов, комплексов и К-теория булевых алгебр с замыканием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Байрамов, Сади Андам оглы

• Байрамов, Сади Андам оглы
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Байрамов, Сади Андам оглы

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. К-теория на категории булевых алгебр с замыканием

§1.1. Расслоения над булевой алгеброй с замыканием

§1.2. К-теория булевых алгебр с замыканием

§1.3. -теория булевых алгебр с замыканием

§1.4. К-теория на категории дистрибутивных решеток.

ГЛАВА II. Семейства фредгольмовых операторов и комплексов

§2.1. Семейство фредгольмовых операторов и К-теория булевых алгебр с замыканием

§2.2. Пространство фредгольмовых комплексов

§2.3. Семейство фредгольмовых комплексов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Семейство фредгольмовых операторов, комплексов и К-теория булевых алгебр с замыканием»

Хорошо известно,что К-теория восходит к проблеме индекса эллиптических операторов на многообразиях.Данная Атья и Хирцебрухом t^l, £57 ,развитая Адамсом,Милнором LZ7, [3], lz61, Кару б и и Виль-ямайором cz3] ,А.С.Мищенко,В.Бухштабером £14], £1sjи др., К-теория стала,с одной стороны,мощным орудием алгебраической топологии,собственно в линейной алгебре над /произвольными/ кольцами,и,с другой стороны,эффективным методом в функциональном анализе,в частности, в проблеме индекса семейств операторов на многообразиях /"./67, £317.

Связь топологической К-теории с теорией фредгольмовых семейств операторов была независимо установлена Атья и Ёнихом £47. Эта связь,в частности,выражается в том,что пространство фредгольмовых операторов,действующих в гильбертовом пространстве /У, является классифицирующим пространством,а сама группа К(Х) Гро-тендика выступает в качестве группы полных гомотопических инвариантов семейств фредгольмовых операторов на топологических пространствах, выступающих в качестве индексов этих фредгольмовых семейств.

В дальнейшем К-теория,как экстраординарная теория когомологий, была распространена на возможно более широкий класс топологических пространств £S]„ £J4] .С другой стороны,развитие теории индекса для фредгольмовых операторов приводит к необходимости построения теории индекса семейств фредгольмовых операторов на некомпактных пространствах,а также построение теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов как на топологических пространствах, так и семейств,индексированных более общими,чем топологические пространства объектами,наделёнными как алгебраическими,так и топологическими структурами.

В связи с этим заметим,что потребность различных приложений, а также внутренние потребности развития функционального анализа приводят к необходимости перехода от исследования операторов и семейства операторов к исследованию комплексов операторов и семейства комплексов операторов fSOj, [4Z1, №37, [*/£].

Потребности развития теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов,индексированных более общими объектами, чем топологические пространства,приводят к необходимости введения некоторого функтора так,чтобы значения индекса определялись бы этим функтором.

Так в качестве объекта параметров,наделённого как топологическими, так и алгебраическими структурами,можно брать булеву алгебру с замыканием,так как булева алгебра с замыканием тесно связана с обратными спектрами топологических пространств,что было доказано М.Р.Бунятовым [97.

С другой стороны,несомненный интерес представляет само по себе развитие как обыкновенной,так и обобщённой теории гомологий и когомологий булевых алгебр с замыканием,на что ещё в 40-е .годы указал Г.Биркгоф [в].

Впервые проблема Г.Биркгофа была разрешена М.Р.Бунятовым.Им на категории абстрактных булевых алгебр с замыканием были построены теории гомологий и когомологий А.Н.Колмогорова [67, [127 ,теория гомологий Александрова-Чеха [Ml .М.Р.Бунятовым также были введены и исследованы основные понятия гомотопической теории непрерывных гомоморфизмов булевых алгебр с замыканием [1Л .В последствии теории гомологий и когомологий были построены на категории дистрибутивных решёток и равномерных булевых алгебр.

Как известно,одной из задач многопараметрической спектральной теории является изучение семейства операторов,перенесение понятий и результатов спектральной теории с операторов на операторные семейства.

Впервые спектральная теория семейств операторов в банаховом пространстве изучалась в работах Г.Е.Шилова, Р.Аренса, А.Кальдеро-на и Л.Вальбрука /737 .Основным понятием этой теории является понятие совместного спектра семейства операторов.

В дальнейшему работах ряда авторов делались попытки обобщения спектральной теории на некоммутативные семейства операторов, для этого необходимо было дать адекватное определение совместного спектра таких семейств операторов.Среди этих работ отметим работы Л.Коберна и М.Шехтера [1?7 ,Р.Харта C^VJ и др.

Но наиболее удачным оказалось определение Дж. Тейлора C^tZJ для коммутативного семейства операторов,которое основано на рассмотрении некоторого цепного комплекса.Цепные комплексы с конечными группами гомологий /так называемые фредгольмовы комплексы/ появляются и в других ситуациях,связанных с К-теорией,теорией псевдодифференциальных операторов [161, Г3^7.

В дальнейшем исследовались вопросы спектральной теории семейств операторов в тензорном произведении банаховых пространств

Отметим,что к этому вопросу приводит,например,изучение систем дифференциальных и операторных уравнений с различными спектральными параметрами L1SJ.

Из сказанного выше следует,что изучение свойств фредгольмо-вых комплексов /устойчивость и др./ представляет несомненный интерес. Эти свойства фредгольмовых комплексов изучались в Wil.CtS],

Введение топологии в пространство фредгольмовых комплексов даёт возможность более глубоко изучить сами комплексы и,кроме того, широко использовать их топологические и теоретико-функциональные свойства.

Целью настоящей работы является : во-первых,построение теории индекса семейства фредгольмовых операторов,индексированных более общими объектами /в частности булевыми алгебрами с замыканием/,чем топологические пространства; во-вторых,построение экстраординарной теории когомологий объектов-параметров,представляющей самостоятельный интерес; в-третьих,введение понятия индекса семейства фредгольмовых комплексов,аналога семейства фредгольмовых операторов.

Дадим краткий обзор содержания работы.

Т.к.исследование семейства фредгольмовых операторов,пространствами параметров которых выступают булевы алгебры с замыканием, приводит к построению аналога К-теории топологических пространств, то в первой главе и изучается этот вопрос,который,естественно,независимо от вышеуказанной цели,представляет самостоятельный интерес.

Следуя идее определения классического К-функтора через векторные расслоения,в §1.1 на категории Лоо^се булевых алгебр с замыканием вводится понятие расслоения и изучаются его некоторые гомологические характеристики.

Пусть S - булева алгебра с замыканием. Функтор Т. ■ JdoofCf-+ —* Упи-spec C-Tojo) алгебре S сопоставляет обратный спектр топологических пространств HCS) = (M^ezcsj образованных разбиениями единицы алгебры о .Множество Вин (S) ~ Sctn О J

A f X(s> для булевой алгебры с зал-тыканием 5 называется множеством расслоений над булевой алгеброй S ?где ВипШ - множество расслоений над пространством Л .

Соответствие S Sufifs) есть ковариантный функтор из категории ftooCCC в категорию расслоений над булевыми алгебрами.

Далее,для булевых алгебр с замыканием вводится понятие векторного расслоения и ориентированных расслоений.

Для ориентированных расслоений над булевой алгеброй с замыканием имеет место

ТЕОРЕМ I.I.2. Для ориентированного расслоения р • £ —»S на ^-мерные сферы над булевой алгеброй с замыканием S имеет место точная гомологическая последовательность с коэффициентами в произвольном R -модуле Q

----- Н. LB -G] — /4 [S; 67 — Cs;е] — М-, /Г/?';

§ 1.2 посвящён построению К-теории на категории булевых алгебр с замыканием.

Для этой цели К-теория предварительно строится на так называемой категории S/>ecze/>i (SoofCf) спектральных представлений булевых алгебр с замыканием. Объектами категории Sfecte^z (fioofcej являются тройки (S,X}f) образованные из булевой алгебры с замыканием S ,обратного спектра топологических пространств X х и гомоморфизма f: 2 $ .К-функтор на категории Sр-ес Ъсогут/э (JBoo-ete) определяется следующим образом:

K(St X, ?) (с* КА (X), где КА - функтор Атьи,определённый на категории компактных пространств.

Для построения точной последовательности предварительно вводится категория булевых алгебр с парой фильтров и строятся некоторые функторы на этой категории.

Для каждого объекта (S^^TJ е рассмотрим семейство

2ZCS^ I A'cXcj ^ А - дизъюнктное, VJ = л

ЛЕММ 1.2.5. Для каждой тройки (S,JTfJ семействоLCS,?,,^) является направленным множеством. Соответствие есть ковариантный функтор из категории JSSF2 в категорию направ-ленностей.Для каждой тройки обратный спектр троек топологических пространств и соответствие (SjT^jZ.) ^ есть контравариантный функтор из категории в категорию Jmrsftc (Тор3) . Соответствие (X, , ^Ja-^ a—j. (J3CXJ t $САЛ)) есть контравариантный функтор из категории (Тор*) в категорию ,являющийся левым обратным функтора Z : Jd^"2 — J/rerjpec (7ор3).

Далее вводится категория спектральных представлений объектов категории .Каждая семёрка ((S,J,t?j), (X, 4tJ , у) где

SjJ^JJ € e Jnifjp-ec СТор3) , а у - гомоморфизм алгебры jbf/>i), fiCA^)) в алгебру называется спектральным представлением тройки

К-функтор на категории 5рес?<ерг.сотуо (Я?2) определяется следующим образом

Доказывается

ТЕОРЕМ 1.2.5. Для каждого спектрального представления тройки (S,!,,?^) имеет место точная когомологическая последовательность

• • • -> K'CCS&M (XJ,Al<f) - K'tSjZJl f)

- к'ш,л),сх,A,Mr) —

Для спектральных представлений (S,X, <f) и (S' x'<f') представление Х*Х' f ® f) называется полигональным произведением представлений булевых алгебр,здесь S ® S' ~ полигональное произведение алгебр S и S'.

ТЕОРЕМ 1.2.7. /периодичность Ботта/. На категории Sресгергсомр (ЗооРСе) спектральных представлений булевых алгебр с замыканием кольца

K(S}X,cf)® K(MS*).S\ id) и К(Sв J}(s2], X'S^ изоморфны.

В этом же параграфе 2. Т. построенная К-теория на категории спектральных представлений применяется для построения К-теории на категории J3ooCC£ булевых алгебр с замыканием.

Каждой булевой алгебре с замыканием S можно сопоставить её каноническое спектральное представление (S, L(S),*f) ,где <f>-изоморфизм

Itm 2 ~ S .Для компактной булевой алгебры S обратный спектр ZCS) состоит из компактных пространств.Обозначим через Hf(S) подспектр спектра Z(S) , состоящий из хаусдорфо (s) вых пространств.Подалгебру 2 * алгебры S назовём хаусдорфовой подалгеброй.

Тогда для каждой компактной булевой алгебры S положим

KCS) /Га г, ад w где <f - гомоморфизм вложения алгебры -tim 2 * в алгебру S.

Аналогично,как и в категории спектральных представлений,доказывается гомотопическая инвариантность введённого К-функтора на категории JSoofCf и на категории строится точная когомологическая последовательность.

В §1.3.,используя построенную во 2-ом параграфе К-теорию, на категории булевых алгебр с замыканием с непрерывным действием топологической группы £ строится Kg. -теория.

§1.4. посвящён построению К-теории как экстраординарной теории когомологий на возможно более широкой категории и,в частности, на максимально допустимой для теории когомологий категории - на категории всех топологических пространств.

С этой целью К-теория предварительно строится на категории дистрибутивных решёток и их гомоморфизмов.

Пусть L - дистрибутивная решётка с и iL и Covj, (L) множество конечных покрытий единицы решётки L.

Для любого oieCot^CU о( = {ып)}^г пусть Inttirod - тело абстрактного симплициального комплекса neziroi = {6'с j /Ф 0^} с множеством вершин J .Для каждого конечного покрытия (XeCo^tt) положим КС*) = KCtn-eiirot0. Тогда для дистрибутивной решётки I, определим кольцо Атьи-Гротендика в виде

- fen* К(«). of е-Сог£ (V

Введённый К-функтор ковариантен и гомотопически инвариантен на категории дистрибутивных решёток.

Для построения К-теории,как и в §1.2.,вводится категория У-?2 решёток с парой фильтров.

ТЕОРЕМ 1.4.3. /аксиома точности/ Для каждой тройки(/.,<?,¥) существует точная когомологическая последовательность

• • • — к'и, — K'CL, 9t и — к"а, %D -> — к°а, t г) — /Г а, ъ и — Ku(Lt г о.

При помощи К-функтора,определённого на категории tee ,

К-теория строится на категории всех топологических пространств.

Пусть X - топологическое пространство, Open X - его решётка открытых подмножеств.Для подпространства А СХ пространства X обозначим через Л>(А) фильтр решётки O^e/iX образованный образованный открытыми окрестностями подмножества А . Тогда tf (Х,А) tjop2 положим

Построенный спектральный К-функтор на категории конечных полиэдров изоморфен К-функтору Атьи-Хирцебруха.Доказывается,что для этого функтора имеет место аналог теоремы периодичности Ботта и устанавливается связь между введённым К-функтором и функтором ко-гомологий Александрова-Чеха.

В §2.1 второй главы исследуются семейства фредгольмовых операторов, топологические пространства Х^ параметров которых от семейства к семейству меняются,образуя в совокупности обратный спектр Г/*}* пространств.

Для таких семейств операторов I/ вводится подходящая группа "индексов" ; 2/ приводится гомотопическая классификация таких семейств фредгольмовых операторов ; 3/ определяется индекс семейства и устанавливается его гомотопическая инвариантность.

Пусть 3^(Н) ~ пространство фредгольмовых операторов,действующих в гильбертовом пространстве И и X -обратный спектр компактных пространств.Рассмотрим семейство 3-(Х) ~ (/^^фредгольмовых операторов.В этом семействе введём отношение гомотопности :

Непрерывные семейства / Хг —1► $ • X;- —?(Н) называются гомотопными,если 3 i"elj i">ij' такое,что диаграмма гомотопически коммутативна.Фактор-множество множества fCXJ по этому отношению эквивалентности обозначим через [XjTCH)]^ и назовём множеством гомотопических фредгольмовых ростков над X. к*(х,л) Kh(Ofe»X,m)).

ЛЕММА 2.1.2 Для каждого обратного спектра X - (X;}Ul топологических пространств и пространства Q имеет место биективное соответствие t

Тогда из этой лемтлы непосредственно по.лучаем изоморфизм групп

LX, Т(Н)1 t ^ (с* К(Х.) i где KCX-J- группа Гротендика пространства Х- .

Для булевой алгебры с замыканием 5 множество называется множеством булевых цепей над пространством G ,а множество ?7ее/6о{м (S) - LZ(S),?(H)]g называется множеством гомотопических фредгольмовых ростков булевых цепей над S.

ТЕОРЕМА 2.1.2. Соответствие S /-* JreeS-tof™ (s) является ковариантным функтором из категории булевых алгебр с замыканием в категорию полугрунп.Функторы и К на категории компактных булевых алгебр естественно изоморфны.

В §2.2 вводится пространство фредгольмовых комплексов,благодаря которому удаётся более широко использовать топологические и теоретико-функциональные свойства соредгольмовых комплексов.

Пусть Coniffex множество всех комплексов длины А/ над банаховыми пространствами J5 = f£f} . Это множество естественно л/-/ топологизируется как подпространство П^ /, (вь вт„) L(64j89„)~ пространство ограниченных операторов,действующих из в .

ТЕОРЕМ 2.2.1 замкнутое,нигде не плотное подпростл/-/ ранство в пространстве /7 / (3?je9+,) .Пространство CompfrxCB) линейно связно,но не компактно.

Пространство Ртее/бо^м (Я) фредгольмовых комплексов - открытое подпространство C-omvftr .

В пространстве (ц) фредгольмовых комплексов конечной длины вводится операция сочленения,определяемая в виде : ¥ Те Coyfex: (f/jtf) и Т' t Com^-ex {/YJ /V') комплекс вида тог'* И^Н^И-^-^'Н^Н-^И^ //-5V----Н^Н называется сочленением комплексов Т и Т'

ТЕОРЕМ 2.2.3. I. ^«^^.^^относительно операции сочленения комплексов является полугруппой с инволюцией.Отображение

Мех : 4Лм^ (И) 2: f сопоставляющее каждому комплексу Т его гл/ея- Т является непрерывным, сюрьективным

2. ine/ex (Т о 7') - inSex Т + c~r)'T>i^o/ex Т'

3. index Т* inet ex Т >гДе - длина комплекса?*

Топологизация пространства комплексов даёт возможность поставить вопрос о топологическом поведении отображения £л</ех : н) —* «>• ,где Z ~ множество целых чисел в дискретной топологии.Сравнительное исследование этого отображения приводит к тому,что i*c/ex локально постоянно всюду,т.е.устойчиво.

В последнем параграфе исследуется теория индекса семейства фредгольмовых комплексов,являющееся аналогом семейства фредгольмовых операторов.

Для введения индекса семейства фредгольмовых комплексов в пространстве параметров семейства определяется некоторый функтор Гротендика,действующий из категории Sojo в категорию групп.Введённый К-функтор контравариантен и гомотопически инвариантен.Значения индекса семейства фредгольмовых комплексов определяется вышеуказанным К-функтором и при этом имеет место

ТЕОРЕМА 2.3.8. Индексы цепно гомотопно эквивалентных семейств фредгольмовых комплексов равны.

ТЕОРЕМА 2.3.9. Если пространствоХ= {*) состоит из одной точки, то для любого семейства <Г • X —^/«Л» (Но,., На/) index сГ = Ind-ex J^ , где -фредгольмов комплекс.

Далее исследуется вопрос о структурной устойчивости гомологических включений.

ТЕОРЕМ 2.3.10. Пусть (Г- Х~* 2W(t/0). ^голоморфное семейство дифференцирований в градуированном гильбертовом пространстве Н ~ Н0 ф • • • ф ны и пусть в некоторой точке эс0е X комплекс

6~(х0) гомологически структурно устойчив и имеют место гоочные последовательности

0 ~> — Г9

Тогда для некоторой окрестности V точки эт. имеют место точные последовательности ^ W - Г9

В конце диссертации даётся другое определение индекса семейства фредгольмовых комплексов и доказывается совпадение индекса семейства фредгольмовых операторов с индексом семейства фредгольмовых комплексов,образованных из фредгольмовых операторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Байрамов, Сади Андам оглы, 1984 год

1. (X 91 йо/oms) Afgefbaic ^ St**>e*r"s G«<c/eCa m UtiWe tsiiy P?tss t f 972

2. Адаме Дж. Векторные поля на сферах, сб.Математика, 7:6, (1963),

3. Адаме Дж. О группах . 1-1У , сб.Математика, 10:5 (1966) стр.70-84 ; 11:4 (1967) стр.42-69 ; 12:3 (1968) стр. 3-36

4. Атья М.Ф. Лекции по К-теории , "Мир" , М.,1967

5. Атья М.Ф.Дирцебрух Ф. Векторные расслоения и однородные пространства, сб.Математика 6:2 (1962) 3 39

6. Биркгоф Г. Теория структур ИЛ М.,1952

7. Ботт Р., К-теорий"" сб.Математика 11:2 (1967) 32 57 , 11:3 (1967) 3 - 36

8. Бунятов М.Р. Когомологии Колмогорова абстрактных булевых алгебр с замыканием , ДАН СССР, т.224, Я 1975

9. Бунятов М.Р. Равномерные булевы алгебры , ДАН СССР , т. 224 № 2 1975

10. Бунятов М.Р. Гомологии Александрова Чеха для абстрактных булевых алгебр с замыканием ДАН СССР т.237 Н 1977

11. Бунятов М.Р. Основные понятия гомотопической теории непрерывных гомоморфизмов булевых алгебр с замыканиемДАН СССР т.236 № 6 1977

12. Бунятов М.Р. Гомологии Колмогорова булевой алгебры с замыканием, "Ученые записки" А1У им.С.М.Кирова М 1975 стр.34 39

13. Бурбаки Н. Спектральная теория "Мир", M.I972

14. Бухштабер В.М.,Мишенко А.С. К-теория на категории бесконечных комплексов Изв.АН СССР, т.32, А^З , 1968

15. Бухштабер В.М.,Мишенко А.С. Элементы бесконечной фильтрации в К-теории ДАН СССР, т.178, JS 6 1968

16. Дынин А.С. К-теория и псевдодифференциальные операторыВ кн."Седьмая летняя математическая школа (Кацивели,июнь, 1969 г.) Киев , 1970 144 19017. CoUzh jC. A., Scfiec$te2of openQtozs, X Риле*. fBti^^A/l,

17. Исаев Г.А. Введение в обшую многопараметрическую спектральную теорию. В кн."Спектральная теория операторов"Изд. "ЭЛМ" Баку 1980 , 142 - 201

18. Исаев Г.А.Файнштейн А.С. б совместных спектрах конечных коммутативных семейств В кн."Спектральная теория операторов" Изд. "ЭЛМ" Баку,1980 222 257

19. Каруби М. К-теория.Введение "Мир" М.,1981

20. KutQirOivsKl К. Suz €'ofe?Q/-ion А с/е С'ояа fyfis situsFund. Mai*. , 3 , (?9ZZ) , 111-f 99 .

21. Кириллов A.A.Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функциональногоанализа "Наука" ГЛ. 1979

22. Keiougi /V., ViffaMQyoi О. K-tt-eoUc ttij, ие ti /С- Meottt iopofof^u? у I.AfaM Stand. ZS,

23. Ленг С. Алгебра, "Мир" , M.I968

24. Милнор Д;к. Лекции о характеристических классах1,П сб.Математика 3:4 , 3 53, 9:4 (1965) стр.3 - 40

25. Постников М.М. Исследования по гомотопической теории непрерывных отобращений.Тр.Мат.Инс-та им.Стеклова, т.46,1955Мат.сб. т.40 еып.4 (1956) стр.415 452

26. Геда* С- Zzec/tofw cenpfexes , Оиагб 7.A/S4 3SS~-402.

27. Сикорский P. Булевы алгебры "Мир" М.,1969

28. Si/cotSKt R. QintetfSioH £6еогу it? csfesctt-e ^fy? j Ft/пЫ. M<kU. t C19SJ) tS3 -166 .

29. SitcotiKi R- Cfotuze ef^^gi*? Fund. Mexft.j 36 (t999)

30. Спеньер Э.,Алгебраическая топология "Мир" М.,1971

31. Стинрод Н. Топология косых произведений "ИЛ" м.,1953

32. Стинрод Н.,Эйленберг С., Основания алгебраической топологии "ИЛ" М.,1968

33. SX^cXiet М-, Show Af.j ¥Ae s^CAZMM о/ ie»:oz ftoo/vetsProc. Pey. Acae/., 7ГА,л/13, ftl-127.

34. Tq 7.1. /} Joint Spec быт /о? secret f Ope? a fc>z s 7. Fund. , f970, /72-191.

35. Файнштейн А.С. О совместном существенном спектре семействалинейных операторов. Функциональный анализ и его приложения т.14 вып.2 (1980) 83 84

36. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах "Мир" M.I970

37. Hattt f. Е- Spectze*€ Ыа^с'ьд I* Гегега? Vaztafees ви-ff. Аме*. Mat*. Soe., t9 72, 7£, /t/ 6 , S ~ £? .

38. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрииМир" М.,1973

39. Хыозмоллер Д. Расслоенные пространства "Мир" М.,1970

40. Бунятов М.Р.,Байрамов С.А. К-теория на категории булевых алгебр с замыканием ДАН Азерб.ССР т.33 ЖЕ2 1977

41. Байрамов С.А. Гомологическая последовательность Тома Гизи-на для обратных спектров топологических пространствДАН Азерб.ССР т.35 № 1979.

42. Байрамов С.A. функтор на категории обратных спектров топологических пространствИзв.АН Азерб.ССР сер.физ-тех и мат.наук А^2 1979

43. Бунятов М.Р.,Байрамов С.А. К теория на категории дистрибутивных решеток ДАН АзССР т.39 №5 1983

44. Бунятов М.Р.Байрамов С.А. К теория на категории топологических пространств ДАН Азерб.ССР т.39 1983

45. Байрамов С.А. О продолжениях К-функтора и их связях "Труды молодых ученых,посе.60-летию образования СССР" "3JM" Баку 1983г.

46. Байрамов С.А. О связи индекса семейства фредгольмовых операторов и комплексов "Материалы У республиканской конференции молодых ученых,поев.25-летию образования ИММ АН Азерб.ССР" Изд. "ЭЛМ" Баку 1984

47. Бунятов М.Р.,Байрамов С.А. К теории индекса семейства фредгольмовых комплексов Деп.в АзНИЛНТИ 16.УП.1984г.225 Аз-84 Деп.

48. Байрамов С.А. Об иццексе семейства фредгольмовых комплексов Деп. в АзНИМНТИ 16.УП.1984 №225 Аз-84 Деп.