Гомологии Хохшильда и продолжения структур A∞-алгебр и A∞-модулей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ладошкин, Михаил Владимирович

• Ладошкин, Михаил Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ладошкин, Михаил Владимирович

0.1 Введение

1 Необходимые определения, конструкции и теоремы

2 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами и Лоомодули над Аоо-алгебрами

2.1 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами

2.2 Когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами

2.3 Лоо-модули над Л^-алгебрами и когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами.

2.4 Примеры использования комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами для описания структур Лоо-модулей над Лоо-алгебрами.

2.5 Применение комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами при исследовании структур Л^-модулей над Лоо-ал-гебрами в случае, когда Л^-алгебры не совпадают.

3 Комплекс Хохшильда для Лоо-алгебр и Л^-модулей над

Лоо-алгебрами

3.1 Комплекс Хохшильда для градуированной Лоо-алгебры

3.2 Скрещивающие коцепи комплекса Хохшильда для Лоо-ал-гебры и связь структуры множества эквивалентных коцепей с гомологиями этого комплекса.

3.3 Продолжения Лоо-алгебры и когомологии комплекса Хохшильда Соо(Л, Л) для Лоо-алгебры.

3.4 Конструкция комплекса Хохшильда для Лоо-модулей над Лоо-алгебрами и связь с продолжениями.

3.5 Продолжение модуля над алгеброй для случая, когда модуль является фактор-алгеброй.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомологии Хохшильда и продолжения структур A∞-алгебр и A∞-модулей»

Изучение различных алгебраических структур на топологических пространствах является одним из основных вопросов алгебраической топологии. Необходимо рассматривать связь свойств алгебраических структур, вводимых на топологических пространствах с чисто топологическими свойствами самих пространств.

Лоо-структуры. Изучение топологических пространств (Аг, е) с умножением, относительно которого е является гомотопической единицей (Я-пространств), привело Сташеффа в [54] к рассмотрению топологических моноидов, то есть Я-пространств со строгой единицей и ассоциативностью умножения. Были получены результаты о том, что с топологической точки зрения моноиды являются пространсвами петель, которые, в свою очередь, эквивалентны топологическим группам [28], [48], [29]. Однако структура моноида, как и гомотопической группы, обладает существенным недостатком - она не является гомотопически устойчивой, то есть если существует гомотопическая эквивалентность моноида М и множества X, то это не означает, что на X можно ввести структуру моноида, которая была бы гомотопически эквивалентна такой структуре на М. Бедность структуры Я-пространства, являющегося естественным гомотопическим аналогом моноида, побуждало искать более богатые структуры. Такие структуры нашел Дж. Сташефф [53], введя понятие Лоо-пространства. Частыми случаями этих пространств являются ^„-пространства, причем при п = 2 это пространства со строгой единицей, при п = 3 - гомотопически ассоциативное пространство со строгой единицей, и так далее. Важным фактом явилось то, что Лоо-простран-ства явились гомотопически эквивалентны моноидам. Для того, чтобы пространство обладало структурой Лоо-пространства, необходимо и достаточно, как показано в [55], чтобы оно было гомотопически эквивалентно некоторому пространству петель. Вместе с этим были введены понятия Лоо-отображений, которые являются морфизмами в категории Лоо-пространств.

Одним из существенных недостатков построенной конструкции являлось то, что клеточные разбиения шаров, моделирующие Лоо-отобра-жения топологических моноидов, устроены настолько сложно, что получить с их помощью достаточно глубокие результаты не удается. Например, доказательство результата Фукса [30] о том, что гомотопическая эквивалентность между моноидами тогда и только тогда является Лоо-отображением, когда обратная эквивалентность также представляет собой Лоо-отображение, оказалось настолько сложным, что даже не было опубликовано. Попытки решения технических проблем, возникающих при рассмотрении Лоо-нространств и Лоо-отображений, предпринимались неоднократно, в частности, в работах Бордмана и Фогта [24], [23], где был предложен другой подход к построению Л^-отображений, основанный на идеях категорией алгебры и физики.

Тем не менее решить указанную проблему удалось только после перехода от топологических пространств к их цепным комплексам. На пути описания этих конструкций первоначально и появилось понятие Лоо-алгебры. В неявном виде она уже была получена Сташеффым в [53], и именно поэтому традиционно считается, что именно он построил эту структуру, но окончательно порядок в определениях и построениях был наведен только в работе Кадеишвили [5]. В ней были даны строгие определения Лоо-алгебры и морфизма Лоо-алгебр, а также построено обобщение этих конструкций па случай модулей, то есть дано определение Лоо-модуля над Лоо-алгеброй и морфизма Л^-модулей над Лоо-алгебрами. Отметим, что в работе [5] понятие Лоо-алгсбр и Лоо-модулеЙ было получено при описании гомологий цепных комплексов. Там же были получены следующие результаты.

Теорема 1.1. Если Л - дифференциальная алгебра над полем , то на ее гомологиях Я* (Л) имеется структура градуированной Лоо-алгебры, гомотопически эквивалентной исходной алгебре Л. С точностью до изоморфизма в категории Л^-алгебр указанная структура Лоо-алгебры на Я* (Л) единственна.

Теорема 1.2. Если М - дифференциальный градуированный модуль над дифференциальной градуированной алгеброй Л, то на гомологиях этого модуля Я»(М) имеется структура градуированного Лоо-модуля над градуированной Лоо-алгеброй, гомотопически эквивалентного исходному модулю М. С точностью до изоморфизма в категории Л^-модулей над Лоо-алгебрами указанная структура на Я* (М) единственна.

Если рассматривать соотношения Сташеффа для алгебр в малых размерностях, то будут получены условия ассоциативности для произведения и правило Лейбница связи умножения с дифференциалом. На третьем шаге рассмотрения мы получим условие гомотопической эквивалентности между ассоциативностями. В связи с этим иногда Лоо-структуру называют гомотопически размазанной ассоциативностью.

Другой подход к получению структуры Лоо-алгебры может быть получен при рассмотрении высших произведений Масси. Эти операции были описаны в когомологиях топологических пространств (не важно, будут ли эти когомологии сингулярные, или, скажем, клеточные). Построение этих умножений описано, например, в работе Мэя [46], где строится матричный способ построения всех произведений, или в книге Фоменко А.Т. и Фукса Д.Б. [19], где описывается их общее построение. Оказывается, что гомологии с рациональными коэффициентами, заданные вместе с обычным умножением и бесконечной последовательностью умножений Масси, определяют ранги гомотопических групп в односвязном случае. Этот вывод вытекает из теории минимальных моделей Сулливана.

При рассмотрении произведений Масси возникают две значительные трудности. Первая связана с тем, что произведения Масси определены не для всех элементов в классах когомологий. Вторая, и основная трудность связана с многозначностью произведений Масси, а именно с тем, что эти операции принимают значения на класах когомологий, причем неоднозначно. Таким образом, все соотношения между произведениями описывались в терминах вхождения одного множества в другое. Однако существует алгоритм, по которому па исходной алгебре можно построить А^,-алгебру, если на гомологиях определены все высшие произведения Масси ( например, матричные). Полученная структура будет согласована с произведением Масси, то есть на элементах, для которых определены высшие произведения Масси, значения произведений будут совпадать (2). За время развития алгебраической топологии высшие нетривиальные произведения Масси были найдены на многих конструкциях, в частности в

2] они обнаружены на при изучении гомологий колец Степли-Райснера, или колец многогранников, с помощью комплекса Кошуля. Сами кольца граней являются важным объектом в теории торических действий [4],

3], [27]. В дальнейшем Лоо-структуры стали важным вычислительным средством в различных задачах алгебраической топологии. С одной стороны, введение Л^-структуры позволяет описывать множество при помощи меньшего числа образующих. Например, введение нетривиальной Лоо-алгебры на кольце многочленов от четырех переменных позволяет описывать это множество, зная только три образующих (4).

Еще один способ получения Л^-алгебры связан с введением понятия В-конструкции для алгебры. Само это понятие появилось еще в работах Брауна [25]. Позднее Кадеишвили показал, что введение на В-конструкции алгебры дифференциала, согласованного со стандартным коумножением, равносильно введению на исходной алгебре структуры Лоо-алгебры [38]. В работах Смирнова были построены Б-конструкции для Лоо-алгебры и, двойственным образом, для Лоо-коалгебры.

С другой стороны, в некоторых случаях введение Лоо-структур необходимо, поскольку появляющиеся при изучении различных топологических конструкции содержат элементы, которые не могут быть выражены через известные с помощью конструкций алгебры или модуля над алгеброй. В частности, такая ситуация возникает при рассмотрении членов спектральных последовательностей гомологий тотальных пространств расслоений в смысле Серра, а также при рассмотрении алгебры Стинрода.

На современном этапе Л^-алгебры и Лео-модули рассматриваются как наиболее простой пример адгебры над операдой. Само это понятие было введено Мэем в [47]. Структура алгебры над операдой Eqo, позже названной -Е^-алгеброй, была найдена Смирновым на коцепном комплексе топологического пространства [13]. Позднее .Е^-структуры были получены им же на гомотопических группах [11]. В настоящее время с помощью понятия операды были получены результаты из алгебраической топологии, теоретической физики и других. В частности, В. Гинзбургом и М. Капрановым было обнаружено, что операда скобок векторного пространства изоморфна как операда, операде Лоо [34]. При рассмотрении деформации алгебры над операдой случай алгебры над операдой Л^ ( то есть Лоо-алгебры) рассматривался Канцевичем как основной пример в [43]. Еще одним современным приложением Лоо-алгебр и Л^-модулей над Лоо-алгебрами явилась теория возмущений. Начало этой теории было положено в работе Гугенхейма В., Ламбе J1. и Сташеффа Д.[35]. Позднее в серии работ [7], [8], [9] Лапиным С.В. теория возмущений была применена к коалгебре Милнора, являющейся двойственной к алгебре Стипрода. При этом были описаны понятия Ц^-дифференциальной Л^-алгебры и коалгебры. Использование этих методов позволило указать метод построения Лоо-коалгебры на коалгебре Милнора непосредственно из дифференциалов спектральной последовательности Адамса. Двойственные результаты получены для алгебры Стипрода.

Комплекс Хохшильда. Рассмотрим вопрос появления и приложений комплексов Хохшильда. При изучение деформации алгебры, был построен комплекс Хохшильда для алгебр и установлена его связь с деформациями структуры алгебры [31]. Кроме того, позже комплекс Хохшильда был применен к изучению возмущений и деформаций, или, как сейчас принято называть, квантованию алгебраических структур [32]. В работе [37] при помощи комплекса Хохшильда изучались дифференциальные формы на регулярных алгебрах. Комплекс Хохшильда и его гомологии, называемые гомологиями Хохшильда, оказались полезны при изучении аддитивной алгебраической /^-теории - циклических гомологий и эрмитовой алгебраической Л"-теории - диэдральных гомологий [20], [45], [6]. Циклические гомологии, в свою очередь, оказались мощным средством при изучении групп псевдоизотопии компактных многообразий. В тех же работах было показано, что циклические гомологии определяют рациональный гомотопический тип в смысле Квиллина указанных групп псевдоизотопии, а при помощи диэдральных гомологий - рациональный гомотопический тип групп гомеоморфизмов компактных многообразий. Эти результаты позволили определить количество гладких структур на многообразиях с точностью до структур конечного порядка. Позднее комплекс Хохшильда стал применяться при изучении, например, квантовых групп [51], [36]. Непрерывный коцепиой комплекс Хохшильда был получен в [56] при изучении квазиизоморфизмов комплекса Хохшильда для алгебр и колец многочленов.

На комплексе Хохшильда были введены высшие умножения и действия, часть из которых обладает свойствами, аналогичными квадратам Стинрода [33]. Построенная структура, содержащая в себе структуру Лоо-алгебры, называется гомотопической (7-алгеброй, или гомотопической алгеброй Джерстенхабера. Она была применена Кадеишвили при описании высших квадратов Стинрода на В-конструкциях [40]. В [50] структура гомотопической алгебры Джерстенхабера была обнаружена на цепном комплексе Хохшильда регулярной алгебры.

Связь комплекса Хохшильда и Лоо-структур. Отметим, что изучение Лоо-структур имеет, кроме топологического, и чисто алгебраический интерес. Например, при исследовании какой-либо математической структуры выясняется, что она изоморфна ранее известной алгебре или модулю над алгеброй. Встает вопрос: после введения на изучаемом множестве структуры Лоо-алгебры или Л^-модуля над Лоо-алгеброй останется ли ли данная структура изоморфна ранее известной? При изучении подобных задач и возникла проблема продолжения алгебры до структуры Лоо-алгебры и модуля до структуры Лоо-модуля над Лоо-алгеброй. Важность именно такого подхода заключается в том, что Лоо-структура важна и интересна в том случае, когда в малых размерностях ее операции совпадают с операциями в алгебре или модуле.

При изучении преддифференциалов в спектральных последовательностях Берикашвили ввел функтор D из категории Л^-алгебр в категорию множеств с отмеченной точкой. Вычисление функтора D, получившего позднее название функтора Берикашвили, дает способ описания количества различных структур Лоо-алгебры на заданной алгебре, с точностью до изоморфизма. Дальнейшее развитие теория функтора Берикашвили и методы его вычисления были получены Смирновым в [18]. Предложенный способ описания числа продолжений алгебры до Лоо-алгебры являлся не очень удобным для вычислений. При решении этой проблемы Кадеишвили в [38] рассматривал комплекс Хохшильда для алгебры и получил следующий результат.

Теорема 1.11. Если для градуированной алгебры Л с умножением 7Г все гомологии Хохшильда HochSn'2~n\A,A) — 0 для n ^ 3, то любая структура Лоо-алгебры на Л ( такая что Ш2 = 7г) будет эквивалентна тривиальной.

Это утверждение, хотя и не дает условия изоморфизма множества продолжений алгебры до Лоо-алгебры с гомологиями Хохшильда (такой изоморфизм существует с некоторым подмножеством гомологий [17]), но является зачастую достаточным при вычислительных задачах, поскольку дает ответ на вопрос о том, стоит ли строить продолжение структуры алгебры или оно в любом случае окажется изоморфным тривиальному. При получении данного результата использовалась теория скрещивающих коцепей, общее определение которых давалось еще Брауном [25], а затем перенесено на случай комплекса Хохшильда Бериканшили и Ка-деишвили [1], [38].

Дальнейшее развитие теория продолжений получила при рассмотрении новых подходов к решению одной из старейших задач алгебраической топологии - выражению цепного комплекса тотального пространства расслоения через цепные комплексы базы и слоя. Существует гомотопическая эквивалентность между цепным комплексом тотального пространства и цепным комплексом слоя, однако она не является эквивалентностью дифференциальных алгебр. В работах Кадеишвили и Санеблдидзе [41], [42], [39] было получено выражение для структуры алгебры на цепном комплексе тотального пространства при помощи гомотопической алгебры Джерстенхабера. Поскольку Лоо-алгебры возникают на гомологиях цепных комплексов, то подобная задача возникает и при описании гомологий тотального пространства. При этом становится важным рассмотрение возможности продолжения уже структур Лоо-алгебры с конечным числом нетривиальных умножений.

Краткое изложение положений работы. Кратко изложим структуру и содержание представляемой работы. В первой главе перечисляются основные определения и теоремы, которые будут использованы в дальнейшем. Для некоторых конструкций приводятся подробные доказательства, в частности, это сделано для построения Лоо-алгебры по произведениям Масси в теореме 1.3. Для большинства теорем приводится только идея доказательства.

Во второй главе излагаются результаты исследования для случая модулей над алгебрами. Строится комплекс Хохшильда для модулей S*(A,M) следующим образом.

Определение 2.1. Будем называть комплексом Хохшильда S*(A, М) для модуля М над алгеброй Л комплекс, определяемый следующими условиями:

5*(Л, М) = ^ Sn'k(A, М), п,к где

Sn'k(A, М) = Нотк(Ат <g> М, М)

Вводится отображение, которое превращает множество S*(A,M) в коцепной комплекс, согласно определению 1.2.

Определение 2.2. Дифференциал S : Sn'k{A,M) Sn+hk(A,M) определяется формулой

5f = (-l)n+V(l ® /) + J](-l)i+n+1/(l ®. ® тг <g> . ® 1) + /(1 <8>. ® м)

Доказывается теорема 2.1 о том, что введенный в определении 2.2 дифференциал действительно является дифференциалом, то есть удовлетворяет условию й2 = 0. Рассматриваются ассоциативное умножение в комплексе Хохшильда для модулей U и действие на комплексе Хохшильда для модулей над алгеброй комплекса Хохшильда для соответствующей алгебры Ui. В утверждениях 2.1-2.3 определяются соотношения, связывающие введенные умножение и действия с дифференциалом в комплексе Хохшильда для модулей. Для комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами строится теория а-элементов, аналогичная теории скрещивающих коцепей в комплексе Хохшильда для алгебр. Доказывается следующее утверждение.

Теорема 2.3. Если гомологии Хохшильда модуля М удовлетворяют условию: Hn~n+1(S*(A, М)) = 0 при п > 1, то D(A, М) = 0.

Связь между множеством всех структур Лоо-модуля на данном модуле и множества а-элементов определяется в теореме.

Теорема 2.4. Множества (А,М,р)(со)/ ~ и D(A,M) биективны.

Основной теоретический результат, полученный в первой главе, пред- • ставлен в теореме 2.5.

Теорема 2.5. Если гомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами Я"'1-"(5*(Л, М)) = 0 при п > 1, то любая структура Лоо-модуля на М над фиксированной Л^-алгеброй А эквивалентна тривиальной.

В конце главы приводятся примеры, показывающие применение построений в конкретных вычислительных задачах. Результаты этих вычислений сформулированы в двух утверждениях.

Следствие 2.1. На Z2[x, у] существует, с точностью до изоморфизма Лоо-модулей, только тривиальная структура Лоо-модуля.

Теорема 2.8. Для кольца граней к[Р] простого многогранника Р любое продолжение структуры модуля над алгеброй многочленов Р[п] до структуры Лоо-модуля над Р[п] изоморфно тривиальному.

Пятый параграф второй главы посвящен обзору того, как введение некоторых дополнительных структур на комплексе Хохшильда для модулей над алгебрами S*(A,M) позволяет описывать связь между а-эле-ментами, у которых их определяющие скрещивающие коцепи различны, хотя и лежат в одном классе эквивалентности в множестве D(A,A). Результаты, изложенные во второй главе, получены автором самостоятельно, являются новыми и выносятся на защиту.

В третьей главе конструкции комплекса Хохшильда и теории продолжений переносится на случай Лоо-алгебр и Лоо-модулей над Лоо-ал-гебрами. Приводится построение комплекса Хохшильда для Лоо-алгебр с конечным числом отличных от нуля высших умножений Соо(Л,Л) . Все построения в третьей главе ведутся над полем Z2.

Определение 3.1. Комплексом Хохшильда для Лоо-алгебры Л, который будем обозначать Соо(Л, Л), будем называть

Нот(ВА,А) = фНотп{ВА,А), где Нотп(ВА,А) = {/ : ВА> Ai+n}.

Определение 3.2. Дифференциал в комплексе Хохшильда Соо(Л, Л) 6 : Нотп(ВА,А) -> Нотп~1(ВА,А) определяется формулой б/ = /(1 ® . ® 1 ® mf ® 1 ® . ® 1) + т<(1 ® . ® / ® . ® 1). i i

В теореме 3.1 доказывается, что введенное в определении 3.2 отображение является настоящим дифференциалом. На комплексе Хохшильда для Лоо-алгебры вводятся умножения uf. Соотношения между ними и дифференциалом определяются в теореме 3.2. Теория скрещивающих коцепей для комплекса Хохшильда для Лоо-алгебр строится во втором параграфе третьей главы. Там же доказывается теорема о связи гомологий Хохшильда и с множеством всех скрещивающих коцепей.

Теорема 3.5. Если Н'^С^А^А) ) = 0, то D{A,A) = 0.

Связь между множеством продолжений структуры данной Лоо-алгебры и множеством скрещивающих коцепей определена в в следующей теореме.

Теорема 3.6. Множества (Л, {т*})(оо) и D(A,A) биективны.

Полученные результаты используются при доказательстве первого из двух основных теоретических результатов главы, сформулированного в следующей теореме.

Теорема 3.7. Если Н~2(Соо(А, Л)) = 0, то любая структура продолжения фиксированной Лоо-алгебры эквивалентна тривиальной.

Далее в этой же главе строится комплекс Хохшильда для Лоо- модулей над Лоо-алгебрами с конечным числом нетривиальных высших действий Соо(А,М).

Определение 3.9. Комплекс Нот(ВМ,М), градуированный степенями отображений, будем называть комплексом Хохшильда для Лоо-модуля М над Лоо-алгеброй Л и обозначать Соо(А,М).

Определение 3.10. Дифференциал в комплексе Хохшильда для Лоо-модулей Соо(А, М) определяется условием

Sf : Нотп(ВМ, М) Нотп~1(ВМ,М) и формулой:

5f = Е Л1 ® • • • ® 1 ® mi ® 1 ® • • • ® !)+ г

Е р<(1 ®.®1®/) + Е/(1®.®1® к), t=l г=1 где суммирование в первом слагаемом ведется, кроме указанного, также по всем местам, на которых может стоять высшие умножения rrii, определяющие структуру Лоо-алгебры.Доказывается теорема 3.8 о существовании дифференциала в комплексе Хохшильда Соо(Л, М). На полученном комплексе вводится ассоциативное умножение Ui, связь которого с дифференциалом определена в теореме 3.9, где показано, что это умножение удовлетворяет правилу Лейбница. При рассмотрении теории скрещивающих коцепей для комплекса Хохшильда для Лоо- модулей над Лоо-алгебрами получена следующая теорема о связи множества D(A, М) этих коцепей со структурой множества продолжений Лоо- модуля над Лоо-алгеброй (А/, {р;})(оо).

Теорема 3.10. Множества (М, {pJ)(oo) и D(A,M) биективны.

Использование приведенных условий делает очевидным второй основной теоретический результат главы, сформулированный в приведенной ниже теореме.

Теорема 3.11. Если Н~2(Соо(А, М)) = 0, то любая структура продолжения фиксированного Лоо-модуля М с конечным числом отличных от нуля высших действий над заданной Лоо-алгеброй Л эквивалентна тривиальной.

В конце главы приводятся результаты применения построений главы к конкретным вычислениям. Основной вычислительный результат формулируется в теореме.

Теорема 3.15. Пусть Л - коммутативная алгебра, J - идеал в ней, К - фактор-алгебра A/J, рассматриваемая как модуль над Л со стандартным действием ц : А® К -ь К, определяемым проекцией Л на К. Тогда на К любое продолжение структуры модуля над Л до структуры Лоо-модуля над Л изоморфно тривиальному.

Результаты, полученные в третьей главе, являются новыми и получены автором самостоятельно.

В заключении сформулированы полученные в диссертации результаты.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Ладошкин, Михаил Владимирович

Заключение

В представленной работе решена проблема построения комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами, Лоо-алгебрами и Лоо-модулями над Лоо-алгебрами. Аналогичные конструкции были ранее получены только для алгебр. Для каждого из рассматриваемых случаев построена своя теория скрещивающих коцепей или их аналогов - а-элементов. Даны определения продолжений рассматриваемых структур, сформулированы и доказаны утверждения о связи множества коцепей со структурой множества продолжений исследуемых объектов. Методы доказательства, используемые в работе, являются алгебраическими, сами доказательства опираются на определения, сформулированные в работе или данные ранее. Также используются утверждения, доказанные в ходе работы.

Основные теоретические результаты работы сформулированы для модулей в теореме 2.5, для Лоо-алгебры - в теореме 3.7, для Лоо-модуля над Лоо-алгеброй - в теореме 3.11. Они описывают достаточные условия того, что любое продолжение структуры модуля над алгеброй, Лоо-алгебры и Лоо-модуля над Лоо-алгеброй будет изоморфно тривиальному. Эти условия формулируются в терминах гомологий соответствующих комплексов, а именно равенства нулю в соответствующих размерностях. Условия являются хотя и не необходимыми, но достаточно легко вычисляемыми.

В диссертационной работе приведены примеры приложения данных конструкций к конкретным задачам. Результаты описываются теоремами 2.6, 2.8, 3.15. В них основными объектами исследования становятся кольца многочленов или их подмножества, рассматриваемые как модули,Лоо-алгебры и Лоо-модули над Лоо-алгеброй. ц Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть применены при исследовании алгебраических структур на топологических объектах. Результаты работы изложены в работах (1)-(4).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ладошкин, Михаил Владимирович, 2006 год

1. Берикашвили Н.А. Дифференциалы спектральной последовательности // Труды Тбил. Матем. ин-та им. A.M. Размадзе. 1976. Т. 51. С. 1-105.

2. Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. М., МЦНМО, 2004. с. 33-45.

3. Бухштабер В., Рей Н. Торические многообразия и комплексные ко-бордизмы // Успехи мат. наук, 1998, т.53. вып.2, 139-140.

4. Винберг Э.Б. Дискретные линейные группы, порожденные отражениями // Изв. АН СССР, сер. матем. 1971, Т.35, 1072-1112.

5. Кадеишвили Т.В. К теории гомологий расслоенных пространств // УМН. 1980. Т. 35. вып. 3(213). с. 183-188.

6. Красаускас Р.А., Соловьев Ю.П. Рациноальная эрмитова К-теория и диэдральные гомологии // Изв. АН СССР, серия математическая, 1988, т.52, 935-966.

7. Лапин С.В. Дифференциальные возмущения и Дхз-дифференциаль-ные модули // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 11. С. 55-76.

8. Смирнов В.А. Лоо-структуры и функтор D // Известия РАН, серия математическая, 2000, т. 64, N 5, с.145-162.

9. Смирнов В.А. Е'оо-структуры на гомотопических группах // Матем. заметки. 1997. т.61. 152-156.

10. Смирнов В.А. Алгебры Ли над операдами и их применение в теории гомотопий // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т.62. № 3. С. 121-154.

11. Смирнов В.А. Вторичные операции в гомологиях операды Е // Известия РАН, серия математическая, 1992, Т. 49 449-468.

12. Смирнов В.А. Гомологии В-конструкций и ко-Б-конструкций // Известия РАН, серия матемаическая. 1994, T.58,N 4, 80-96.

13. Смирнов В.А. Гомотопическая теория коалгебр // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. № 6. С. 1302-1321.

14. Смирнов В.А. О коцепном комплексе топологического пространства // Матем. сб. 1981. Т. 115. N1. С. 146-158.

15. Смирнов В.А. Симплициальные и операдные методы в теории гомотопий. М.:изд-во "Факториал Пресс".2002.

16. Смирнов В.А. Функтор D для скрещенных тензорных произведений // Математические заметки, 1976, Т. 20, N 4, С. 465-472.

17. Фоменко А. Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М., 1989. с 229-231.

18. Цыган Б.Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда // Успехи матем. наук. 1983, т.38, 217-218.2Ц Babenko I.K., Taimanov I.A. Massey products in simpletic manifolds // Sb. Math. 2000. V.191. p. 1107-1146.

19. Barr M. Harrison homology, Hochschild homology and triples // journal of algebra, 8(1968), 314-323.

20. Bordman J.M., Vogt R. M., Homotopy-everything H-spaces // Bull.Amer. Math.Soc., 74, no 6(1968), 1117-1122.

21. Bordman J.M. Homotopy structures fnd the language of trees // Proc. Symp. in Pure Math., AMS, 22, (1971) 37-58.

22. Braun E. Twisted Tensor Products // Ann. of Math. 1959. V.69. P.223-246.

23. Bustamante J.C., Dionne J., Smith D. Hochild cohomology and fundamental group of pullback // arxiv:math:RT/ 0601215.

24. Davis M. Group generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space // Ann.of Math., 1983, v.117, 293-324.

25. Dold A., Lashoff R. Principial quasifibrations and fibre homotopy equivalence jf Bundles // Illinois J. of Math., 3, no.2(1959), 285-305.

26. Fuchs M. A modified Dold-Lashof construction that does classify H-principal fibrations // Math. Ann., 192, no4 (1971), 328-340.

27. Fuchs M. Verallgemeinerte Homotopie-Homomorphismen und klassi-fizierende Raume // Math. Ann., 161, no.3 (1965), 197-230.

28. Gerstenhaber M. The homology structure of an associative ring // Ann. of Math., 4(1963), 267-288.

29. Gerstenhaber M. On the deformations opf rings and algebras // Ann. of Math., 79,1 (1964), 59-103.

30. Gerstenhaber M., Voronov A. Higher operations on Hochshild complex // Functional Annal. Appl., 20(1995),1-6.

31. Ginzburg V., Kapranov M. Koszul duality for operads // Preprint, North-western University, 1993.

32. Gugenheim V.K.A.M., Lambe L., Stasheff J.D. Perurbation theory in differential homological algebra II // Illinois J. Math. 1991. v.35. no 3. 357-373.

33. Hadfield Т., Kramer U. On the Hochschild homology of quantum SL(N) // C.R. Acad. Sci. Paris, 343(2006), 9-13.

34. Hochschild C., Kostant B. Differential forms on regular affine algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 102(1962), 383-408.

35. Kadeishvili T. Лоо-algebra structure and cohornology of Hochshild ahd Harrison // Proc. of Tbil. Math. Inst. 1988.V. 91.P.19-27.

36. Kadeishvili Т., Saneblidze S. A cubical model for a fibration // arxiv:math. AT/0210006.

37. Kadeishvili T. Cochain operations defining Steenrod U;-products in the bar construcnion // arxiv:math.AT/0207010.

38. Kadeishvili Т., Saneblidze S. On a multiplicative model of a fibration // Bull. Georg. Acad. Sci. 153,3. 1996, 345-346.

39. Kadcishvili Т., Saneblidze S. The cobar construction as cubical complex // Bull. Georg. Acad. Sci. 158,3.1998, 310-312.

40. Kontsevich M., Soibelan Y. Deformations of algebras over operads and Deligne's conjectoure // preprint matharxiv. QA/0001151.

41. Locateli A. Hochschil cohomology of truncated quilver algebras // Comm. Algebra, 27(2), 1999, 645-664.

42. Loday J., Quillen D. Ciclic homology and nhe Lie algebra homology of matrices // Comment.Math.Helvitici. 1984. V. 59. 565-591.

43. May J.P. Matric Massey products // Journal of Algebra. 1969. V.12, p. 533-568.

44. May T.P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Math., 1972.V.271.

45. Milnor J. On spaces having the gomotopy type of a CW-complex // Trans. Amer. Math.Soc., 90, no. 2(1959), 272-280.

46. Pena J.A. de la, Saorth M. The first Hochschild cohomology group of an algebra // Manuscripta Math.,104, 2001, 1-12.

47. Polgushev V., Tamarkin D., Tsygan B. The homotopy Gerstenhaber algebra of Hochschild cohains of a regular algebra is formal // arxiv:math;KT/0605141.

48. Sitarz A. Twisted Hochschild homology of quantum hyperplanes // K-Theory, 35, 2001, no.1-2, 187-192.

49. Stanley.R. Combinatorics and Commutative Algebra // Boston. MA: Birkhauser Boston Inc.,1996 (Progress in Mathematics V.41).

50. Stasheff J.D. Homotopy associativity of H-space, 1, 2 // Trans.Amer. Math.Soc., 1963, 108:2, p 275-313.

51. Stasheff J. D. Associantl fibre spaces // Michigan Math. J.,15(1968), 457-470.

52. Stasheff J. D. H-spaces from a Homotopy Point of View. Lecture Notes in Math., 161 Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York (1970).

53. Yecuticli A. The continous Hochschild cohain complex of a scheme // Canad. J. Math. 54, 6(2002),1319-1333.

54. Список публикаций автора по теме диссертации

55. Ладошкин М.В. Лоо-модули над Лоо-алгебрами и когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами.// Математические заметки. т 79, вып.5, май 2006.С.717 -728.

56. Ладошкин М.В. Матричное произведение Масси и Лоо-алгебры на когомологиях топологических пространств// Динамика систем и управление. Саранск, издательство Мордовского университета, 2003. С. 98-103.

57. Ладошкин М.В. Лоо -ситуация Эйленберга-Зильберга в ка-тегории -коалгебр. // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамике систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004. С. 21- 29.

58. Ладошкин М.В. Л^ -структуры па пространствах многочленов. // Материалы X на-учной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовско-го государственного университета имени Н.П. Огарева. 42. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2005. С 170-172.