Спектральная теория 1-D матричных операторов Дирака с точечными взаимодействиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Будыка Виктория Сергеевна

• Будыка Виктория Сергеевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Будыка Виктория Сергеевна

типа

1.3 Прямые суммы граничных троек

2 Исследование общих якобиевых матриц

2.1 Условия самосопряженности блочных

якобиевых матриц

2.2 Условия дискретности якобиевых матриц

2.3 Абстрактные результаты об индексах дефекта возмущенных якобиевых матриц

3 Реализации с точечными взаимодействиями

3.1 Граничные тройки для оператора Дирака

3.1.1 Случай конечного интервала

3.1.2 Случай полуоси

3.1.3 Граничные тройки для операторов Дирака с точечными взаимодействиями

3.2 Реализации Гестези-Шеба: Бх,а и . Параметризация яко-биевыми матрицами

3.3 Максимальность индексов дефекта

3.4 Реализации Бх,а(^) с нетривиальным матричным потенциалом Q и максимальными индексами дефекта

3.5 Самосопряженность

3.6 Спектр операторов

3.6.1 Непрерывный, абсолютно непрерывный и сингулярный спектр

3.6.2 Дискретный спектр

4 Нерелятивистский предел для операторов Дирака

4.1 Граничные тройки для оператора Шредингера

4.1.1 Случай конечного интервала и полуоси

4.1.2 Граничные тройки для оператора Шредингера с точечными взаимодействиями

4.2 Операторы Шредингера с ^-взаимодействиями

4.3 Нерелятивистский предел для общих реализаций

4.4 Нерелятивистский предел для операторов Бх,« и

5 Якобиевы матрицы для оператора Дирака с точечными взаимодействиями

5.1 Якобиевы матрицы для оператора Дирака с максимальными индексами дефекта

5.1.1 Якобиевы матрицы Зх,а

5.1.2 Якобиевы матрицы Лх,/з

5.2 Якобиевы матрицы с промежуточными индексами дефекта

5.2.1 Операторы Зх,а и Зх,а

5.2.2 Операторы Зх,р и Зх,р

5.3 Сравнение индексов дефекта якобиевых матриц с известными результатами

5.3.1 Сравнение с результатами Костюченко и Мирзоева

5.3.2 Сравнение с результатами Дюкарева

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Дифференциальные операторы с точечными взаимодействиями возникают в различных физических приложениях в виде точно решаемых моделей, описывающих сложные физические явления (многочисленные результаты, а также достаточно полную библиографию можно найти в [1,37, 58,67]). В одномерном случае, наиболее известными моделями являются операторы Шредингера Нх,а,д и Нхдд ассоциированные с формальными

дифференциальными выражениями вида

¿2

£х,а,Ч '•= - ¿Х2 + Я(х) ап^(Х - Хп),

хп€ х

^хвл := - ¿Х2 + я(х) + X] вп6'(х - Хп),

2 (0.1)

Хп ^х

где 6() - дельта-функция Дирака. Эти операторы описывают 6- и 6'-взаимодействия, соответственно, на дискретном множестве X = {хп}п€/ С I = (а,Ь) С М, а коэффициенты ап, /Зп(<Е М) называют интенсивностями в точках х = хп.

Исследование этих моделей было начато Р. Кронигом и В. Пенни в знаменитой работе [70]. В частности, «модель Кронига-Пенни» (^х,а,<? с X = Z, ап = а, и д = 0) описывает простую модель нерелятивистского электрона, движущегося в фиксированной кристаллической решетке.

В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик.

Спектральные свойства гамильтонианов, ассоциированных с (0.1), хорошо изучены в предположении, что существует положительная равномерная нижняя граница между центрами взаимодействия,

1* := т£|хг - х^ | > 0, (0.2)

(см. об этом монографию С. Альбеверио, Ф. Гестези и др. [1], монографию С. Альбеверио, П. Курасова [37], статьи А. Гроссмана и др. [64], Ф. Гестези,

Х. Хольдена [60], Ф. Гестези, В. Кирша [61], К. Шубиной и Г. Штольца [80], П. Экснера [58], Р.С. Исмагилова, А.Г. Костюченко [16], В.С. Рабиновича и др. [76,77], а также ссылки в них).

Отметим, что в работах А.М. Савчука и А.А. Шкаликова (см. [34,35]) и последующих за ними работами К.А. Мирзоева и др. [7,8,28] предложен другой подход к исследованию операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами распределениями.

В работах [19,68] А.С. Костенко и М.М. Маламуд построили спектральную теорию гамильтонианов HX,a,q и НХд<? для случая d* = 0, применяя аппарат граничных троек и соответствующих им функций Вейля (см. [13,56,57,63]). Следует отметить, что при этом подходе основная трудность - построение адекватной граничной тройки. Используя абстрактный результат из [73], авторами [19,68] предложена общая процедура регуляризации граничных троек для минимальных операторов, ассоциированных с (0.1), существенно опирающаяся на функции Вейля.

Так, в [19], [68] показано, что ряд спектральных свойств (индексы дефекта, дискретность спектра, полуограниченность, положительная определенность, точечный и отрицательный сингулярный спектры и др.) оператора Шредингера Нх,а с ^-взаимодействиями коррелирует с соответствующими свойствами (минимального) якобиева оператора J^^H) (с p =1) вида

(

jX>) =

Op -1 I d2 Ip Op Op Op

-1 I d2 Ip —1- I d2 Ip 1 I d^d1/Ip Op Op

Op 1 I d?/2d^/2 Ip al d2 ■11 d2 Ip Op

Op Op -11 d2 Ip --11 d2 Ip 1 d3/2d3/2

Op Op Op 1 I d3/2dl/2 Ip «2 d3

\

V •••

(0.3)

...у

Ап. хп хп—\.

В частности, в [19, 68] доказано, что п±(Нх,а) = п±^Ха(Н)) и, значит, п±(Нх,а) < 1. Последнее неравенство впервые установлено различными методами в [50,74].

I

Объединение равенства п±(Нх,а) = ^(^«(Н)) с классическим тестом Карлемана, ведет к следующему результату:

Предложение 0.1 ([19,68]). Оператор Шредингера Нх,а с 6-взаимодейст-виями самосопряжен в Ь2(М+) для любого а = {ап}пем С М при условии

Е 1п = ^ (0.4)

пбМ

Отметим, что самосопряженность Нх,а ранее установлена Ф. Гестези и В. Киршем в [61] в случае 1* := т£п 1п > 0 (см. также [1] и обзор [67]).

Различные условия полуограниченности и дискретности спектра оператора Нх,а получены в работах [16, 19,46,47,68]. Кроме того, в недавней работе Р.С. Исмагилова, А.Г. Костюченко [16] найдена асимптотика дискретного спектра неполуограниченного оператора Нх,а.

Отметим также, что в работе [59] построена спектральная теория оператора Шредингера с точечными взаимодейтсвиями для квантовых графов. При этом роль якобиевой матрицы здесь играет разностный (дискретный) оператор на графе.

Вышеупомянутая связь между Нх,а и ^^(Н) распространена в [23] на случай р х р-матричных дифференциальных выражений (0.1) (с {ап}Т С Срхр) и блочных якобиевых матриц ^^(Н) с р > 1. В частности, в [23] для случая р > 1 установлено равенство

п±(Нх,а) = пЛ (Н)), (0.5)

из которого вытекает оценка п±(Нх,а) < р.

Далее, рассмотрим 2р х 2р-матричные операторы Дирака с 6-взаимо-действиями, которые задаются формальным дифференциальным выражением

Вх,а := -.С 4 ^О" О,) + ^ Ч О -С) + а"6(Х " Х")

:= Б + ап6(х - Хп)

(0.6)

с а = {ап}5° С Срхр, ап = ап. Здесь с > 0 обозначает скорость света и 1Р, ОР - единичный и нулевой операторы в СР, соответственно. В

последнее время релятивистские операторы с точечными взаимодействиями (для случая р =1) привлекают значительное внимание (см., например, [1,30,38-42,51,62,65,83] и библиографию в них).

Впервые строгое определение оператора БХа, ассоциированного в Ь2(М; С2) с выражением (0.6), дано Ф. Гестези и П. Шебой в работе [62] (см. формулы (0.7), (0.8) ниже). Оператор БХ,а называют реализацией Гестези-Шеба (или СБ-реализацией) выражения Дирака.

Предположим, что I = (а, Ь) с —то < а < Ь < то и X = {жп}пем . Следуя [62] (см. также [1]) определяем операторы БХ,а и (представления Б), которые являются замыканиями операторов Б^а = Б и Б^в = Б, где

асш(БХ,а)= {/ е W¡¿ap(I\X; С2р) : ¡I е АСюс(1), ¡II е ЛС1ос(1\Х);

¡II(а+) = 0 , ¡п(хп+) — ¡п(хп—) = — ^¡1 (хп), п е н},

(0.7)

и{

асш(БХ,в) = {¡ е ^^р^; С2р) : ¡I е АС1ос(1\Х), ¡п е АС1ос(Х);

¡II(а+) = 0 , ¡I(хп+) — ¡I(хп—) = гвп^ц(хп), п е н},

_ _ (0.8)

соответственно, т.е., БХ,а = БХа и БХ,в = Б^в. Легко видеть, что оба оператора Бх, а и Бх,в симметричны. Области определения сопряженных операторов БХ а и БХ в явно описаны: doш(БX а) и doш(БX в) задаются формулами (0.7) и (0.8), соответственно, с W 1,2(1\Х) вместо Wc1omp(I\X). Важной особенностью реализаций Бх,а и Бх,в является то, что они всегда самосопряженные, БХ, а = БХ а и БХ, в = БХ в, при условии, что интервал I бесконечен.

Авторы [62] исследовали реализации БХ,а и БХ,в в скалярном случае (р = 1) при I = М и X = {хп}пех в рамках теории расширений симметрических операторов. А именно, они трактуют операторы Бх,а и Бх,в как расширения минимального оператора

Бх := 0 Бп Бп = Б, doш(Бn) = ТСо1'^—1,®п]; С2). (0.9)

пеХ

Очевидно, что Бп - симметрический оператор с индексами дефекта п±(Бп) = 2. Авторы также вычислили разности резольвент

(Dx,a - z) 1 - (Dfree - Z) 1 И (DX,e - Z) 1 - (Dfree - z) 1, где Dfree —

свободный оператор Дирака D. В периодическом случае (X = Z, ак = a0, вк = во, k Е Z) они доказали, что спектры a(DX,a) и a(DX,e) имеют зонную структуру. Кроме того, они доказали справедливость следующего соотношения (нерелятивистский предел)

s - lim (DX,a - (z + c2/2))-1 = (Hx,a - Z)-1 ®

1

(0.10)

В работе [51], установлено, что, как и в случае оператора Шредингера, некоторые спектральные свойства СБ-реализации Бх,а в Ь2(I; С2) (индексы дефекта, дискретность и другие типы спектра, и т.д.) тесно связаны с таковыми у якобиевой матрицы

JX,a := J'x,a(D) : =

(

Op —I di Ip Op Op Op

—I di IP -—I di Ip c I d 1 /2d1//2 p Op Op

Op c I d^d^2 Ip a i d2 — I d2 IP Op

Op Op —I d2 IP — — I d2 Ip c I dl/2d1/2 p

Op Op Op c I dl/2dl/2 Ip a2 d3

\

\ •••

(0.11)

при некоторых ограничениях на (п (с р = 1) и (п := хп — хп—\. Авторы исследовали СБ-реализации в общем случае ((* > 0).

В недавних работах [9-11,49] эти результаты распространены на матричный случай с а = {апС Срхр, ап = аП. В частности, в [9-11,49] показано, что для любого р > 1 сохраняется формула

n±(DX,a) = n±(JX,a) = n±(J'x,a),

(0.12)

аналогичная формуле (0.5), где Зх,а - якобиева матрица вида (5.8).

Отметим, что применение теста Карлемана к З'х а, дает ^п€М (п = то, что автоматически влечет самосопряженность операторов Бх,а и Зх,а в случае бесконечного интервала (I = М±)

Впервые блочные якобиевы матрицы

(

В,,

J

Ao Bo Op Op Op

\

0 Ai Bi

1 Bi A2

p

Op Op 2 Op

V

(0.13)

/

введены и исследованы М.Г. Крейном в [25,26]. Здесь Aj = Ai Е Cpxp, Bj Е Cpxp - обратимы, j Е N0 := N U {0}, Op — нулевой оператор. Впоследствии блочные якобиевы матрицы изучались в работах [3,5,19,23,51,67,68] (см. также литературу в них).

Пусть ¿2(Н0; Cp) - подмножество финитных последовательностей в /2(N; Cp). Отображение 1q(N0; Cp) Э f ^ Jf определяет линейный симметрический, но не обязательно замкнутый оператор J0. Замыкание оператора J0 определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Jmin в /2(N0; Cp). В дальнейшем мы будем ассоциировать минимальный оператор Jmin с матрицей J вида (0.13) и Jmin = J. Положим также Jmax = Ji.

Отметим, что J симметричный, J С Ji, но не обязательно самосопряженный, т.е. индексы дефекта n±(J) := dim N±j(J) := dimker(Ji ^ H) не тривиальны. Наиболее простым и известным тестом самосопряженности J является матричная версия теста Карлемана (см. [5, Теорема VII.2.9]. Условие Карлемана не является необходимым для самосопряженности J даже для скалярных матриц (p =1) с действительными элементами, однако является точным для некоторых классов якобиевых матриц. В работе Березанского (см. [5, Теорема VII.1.1] и [3]) показано, что (в случае p =1) при дополнительных предположениях на элементы An и Bn, матрица J имеет нетривиальные индексы дефекта n±(J) = 1. Матричная версия его результата, а также обобщения получены в [20,21].

В общем случае 0 < n±(J) < p (см. [5,25,26]). При этом индексы максимальны лишь одновременно, т.е. n+(J) = p ^^ n_(J) = p (см. [18]). В [14,15] показано, что также верно обратное утверждение: для любой пары чисел {n_, n+}, удовлетворяющей условию 0 < n_,n+ < p, или n± = p, существует якобиева матрица J с n±(J) = p.

Следуя М. Крейну [25,26], с матрицей J ассоциируется разностное матричное выражение

(ьи)п = Б*п—1+Вп^п+1 +Ап^п, ио = 1р, и—! = Ор, Пп е Срхр, п е N0.

(0.14)

Также М.Г. Крейном в [25] установлено, что всякой якобиевой матрице J отвечает некоторая матричная проблема моментов и эта проблема имеет единственное (нормированное в некотором смысле) решение, если п—• п+^) = 0. Этот случай называют определенным случаем матричной проблемы моментов. Если п±^) = р (см. [25]), то говорят, что для матрицы J (и соответствующей проблемы моментов) имеет место вполне неопределенный случай ([25,26], [5, гл. VII, §2]).

Проблема вычисления индексов дефекта якобиевых матриц является первой основной задачей, естественно возникающей, как в спектральной теории якобиевых матриц, так и в проблеме моментов. Эта проблема привлекла значительное внимание, особенно в течение последних двух десятилетий (см., например, [6,7,11,14,15,19-23,25,26,28,51,67,68]).

В настоящей работе получены новые условия самосопряженности, а также впервые установлены условия дискретности спектра блочных якобие-вых матриц. Также исследована связь спектральных свойств одномерных 2р х 2р-матричных операторов Дирака с точечными взаимодействиями, с одной стороны, и блочных якобиевых матриц, с другой. При этом, в отличие от работ [19,23,51,68], в том числе, исследуя свойства блочных яко-биевых матриц, отправляемся от связанных с ними операторов Дирака. Именно, сначала находим условия в терминах интенсивностей {ап}ТО, гарантирующие максимальность индексов дефекта операторов Дирака, а затем получаем соответствующие утверждения для якобиевых матриц. Изучен нерелятивистский предел для 2р х 2р-матричных операторов Дирака с точечными взаимодействиями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральная теория 1-D матричных операторов Дирака с точечными взаимодействиями»

Цель работы

Цели данной диссертационной работы:

1. Получение условий обеспечивающих максимальные и промежуточные индексы дефекта матричного оператора Дирака с точечными взаимодействиями. В частности, - исследование условий самосопряженности.

2. Нахождение условия дискретности спектра матричного оператора Дирака с точечными взаимодействиями.

3. Изучение абсолютно непрерывного, сингулярного и существенного спектров матричного оператора Дирака с точечными взаимодействиями.

4. Исследование существования нерелятивистского предела.

5. Получение условий дискретности спектра возмущенных якобиевых матриц.

Методы исследования

В диссертации используются методы вещественного и функционального анализа, метод граничных троек и функций Вейля, связанных с ними, методы и результаты спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве, методы теории систем матричных дифференциальных уравнений.

Основные результаты. Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены условия самосопряженности и дискретности спектра для общих блочных якобиевых матриц.

2. Исследованы условия максимальности индексов дефекта матричного оператора Дирака с точечными взаимодействиями, методом теории систем матричных дифференциальных уравнений.

3. Получены условия максимальности индексов дефекта блочной якоби-евой матрицы, ассоциированной с оператором Дирака с точечными взаимодействиями.

4. Найдены условия самосопряженности для матричных операторов Дирака с точечными взаимодействиями.

5. Найден нерелятивистский предел, связывающий матричные операторы Дирака и Шредингера с точечными взаимодействиями.

Теоретическая значимость

Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы специалистами, работающими в области спектральной теории дифференциальных и разностных операторов и математической физике.

Апробация диссертационной работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

• Научный семинар Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича ЮФУ «Асимптотические методы в нелинейном анализе» под руководством проф. В.Б. Левенштама (Ростов-на-Дону, 2018).

• Научный семинар Московского государственного университета «Операторные модели в задачах математической физики» под руководством проф. А.А. Шкаликова (Москва, 2019).

• Научный семинар Математического института им. С.М. Никольского РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством проф. А.Л. Скубачевского, РУДН (Москва, 2019).

• Научный семинар по спектральной теории операторов под руководством проф. М.М. Маламуда, РУДН (Москва, 2019).

• Научный семинар Донецкого национального университета по спектральной теории операторов под руководством проф. М.М. Маламуда, ДонНУ (неоднократно 2012 - 2018).

Результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях.

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2015», Москва, 13 - 17 апреля 2015.

• VIII международная научно-техническая конференция «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование», Донецк, 25 мая 2017.

• VIII международная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VIII», Ростов-на-Дону, 22 - 27 апреля 2018.

• IX международная научно-техническая конференция «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование», Донецк, 22 - 24 мая 2018.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 6 статей [2,9-11,48,49], из списка литературы, в научных журналах, и 4 в тезисах докладов на международных конференциях. Результаты совместных работ [2,10,11,49], включенные в диссертацию, получены автором лично.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обусловлена строгостью приведенных доказательств, применением общепринятых методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, выступлениями на семинарах и конференциях, а также имеющимися публикациями в изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 83 наименований. Общий объем диссертации составляет 129 страниц.

Краткое содержание работы

Глава 1 состоит из трех параграфов. В параграфе 1.1 введены понятия линейного отношения, граничной тройки, гамма-поля, функции Вейля.

В параграфе 1.2 построены обобщенные граничные тройки ограниченного типа.

В параграфе 1.3 рассмотрена теория прямых сумм граничных троек.

Глава 2 состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 рассмотрена бесконечная блочная якобиева матрица

(

3

Ло Во ор ор о.

Я* Во Л1 В1 ор о.

ор В* Л2 В2 о.

\

V

/

с р х р-матричными элементами Л^ = Л* € Срхр, В^ € Срхр - обратим, ] € Но. Якобиева матрица 3 порождает в /2(Но; Ср) минимальный (замкнутый) симметрический оператор. В Теоремах 2.1, 2.2, 2.3 получены условия самосопряженности якобиева оператора 3.

В параграфе 2.2 исследована дискретность общих якобиевых матриц. Леммы 2.1 и 2.2 дополняют известные результаты о спектре возмущений. В Теореме 2.4 получены условия дискретности спектра якобиева оператора 3.

В параграфе 2.3 рассматрена бесконечная блочная якобиева матрица

(

Ло Во ор ор о

> Во л ор о

ор В* лл2 В>2 о

\

V

/

где Лп = ЛП, Вп € Срхр и det Вп = 0, п € Н0. Якобиева матрица J порождает в /2(Н0; Ср) минимальный (замкнутый) симметрический оператор. В

Теореме 2.5 доказано, что, при выполнении условий (2.32)-(2.34), у операторов J и J совпадают области определения, индексы дефекта, а также если J = J* и спектр J дискретен, то спектр возмущенного якобиева оператора J = также дискретен.

Глава 3 состоит из шести параграфов. В параграфе 3.1 введен минимальный оператор Бп, порожденный в Ь2([жп-1, хп]; С2р) дифференциальным выражением (0.6)

Бп = Б Г асш(Бп), асш(Бп) = Жо1'2([жп_1,ж„]; С2р).

В Лемме 3.1 исследованы индексы дефекта оператора Бп, строится граничная тройка, гамма-поле и функция Вейля для оператора сопряженного к Бп.

Также в данном параграфе введены операторы Ба_ и Бь+, действующие на отрицательной и положительной полуосях, соответственно. В Леммах 3.2 и 3.3 построены граничные тройки, гамма-поля и функции Вейля для операторов сопряженных к Ба_ и Бь+.

Также здесь рассмотрен оператор Бх, который является прямой суммой операторов Бп. В Предложении 3.2 получена В-обобщенная граничная тройка для оператора сопряженного к Бх. В Теореме 3.1 проводится процедура регуляризации, в результате чего построена граничная тройка для оператора сопряженного к Бх.

В параграфе 3.2 введены два семейства операторов Гестези-Шеба на интервале (а, Ъ) как замыкания операторов

БХ,а =Б Г аеш(БХ,а),

асш(БХ,а) ={/ е Wl^^np(l\X; С2р) : ¡1 е АСЬе(1), ¡11 е АС^Х);

%а л

¡11(а+) = 0 , ¡ц(жп+) _ ¡п(жп_) = —^¡I(хп), п е ,

и

Бх,в =Б Г ^(Б^), асш(БХ,в) ={£ е ^^(АХ; С2р) : ¡I е АС1ос(1\Х), ¡п е АС1ос(1);

¡и(а+) = 0 , ¡1 (хп+) _ ¡I(хп_) = ^¡п(хп), п е н},

соответственно, т.е. Бх,а = Б°Х а и Бх,в = .

В данном параграфе получены граничные отношения (операторы) в, которые параметризуют операторы Бх,а и Бх,в.

В параграфе 3.3, при помощи классического подхода, получены условия максимальности индексов дефекта операторов Бх,а и Бх,в.

В параграфе 3.4 рассмотрен оператор Дирака Б^) с потенциальной матрицей Q € Ь2ос(Х; С2рх2р). В Предложении 3.4 получены условия максимальности индексов дефекта данного оператора. Также в этом параграфе построены примеры операторов Б^) с Q € А2ос(Х; С2рх2р), которые имеют максимальные индексы дефекта.

В параграфе 3.5, при помощи теории граничных операторов и классического подхода, исследована самосопряженность операторов Бх,а и Бх,в.

В параграфе 3.6 исследован непрерывный, абсолютно непрерывный, существенный и дискретный спектр операторов Бх,а.

Глава 4 состоит из четырех параграфов. В параграфе 4.1 введен минимальный оператор Нп, ассоциированный с дифференциальным выражением —^Хг в Ь2([хп-1, хп]; Ср), а также На_ и Нь+, действующие на отрицательной и положительной полуосях, соответственно. В Леммах 4.1, 4.2 и 4.3 построены граничные тройки, гамма-поля и функции Вейля для операторов сопряженных к Нп, На_ и Нь+, соответственно.

Также в этом параграфе рассмотрен оператор Нх, который является прямой суммой операторов Нп. В Теореме 4.1 построена граничная тройка для оператора сопряженного к Нх.

В параграфе 4.2 построены операторы Шредингера с 6- и 6'-взаимо-действиями. Получены условия самосопряженности и дискретности спектра оператора Шредингера с 6-взаимодействиями.

В параграфе 4.3 получен нерелятивистский предел для общих реализаций:

' — л №е. — (« + с2/2»-1 = (Нх,е — г)-1 0( Ор °р

где вс и в - соответствующие граничные отношения в граничных тройках из Теорем 3.1 и 4.1, г € С+ (г € С—).

- 17В параграфе 4.4 построен нерелятивистский предел для матричных операторов Дирака и Шредингера с точечными взаимодействиями.

Глава 5 состоит из трех параграфов. В параграфе 5.1 показано, что якобиевы матрицы *1х,а и Jх,a (вида (5.1) и (5.8) соотв.) имеют равные индексы дефекта при дополнительных условиях (см. (5.3)-(5.6)). В частности, при условиях (5.3)-(5.6) оценка (3.60) дает п±(.1х,а) = р.

В параграфе 5.2 получены некоторые условия на ап и (п, обеспечивающие промежуточные индексы дефекта для Jх,a и *1х,а. В частности, приводим условия самосопряженности для Jх,a и *1х,а.

В параграфе 5.3 сравнивнили условие (3.60) и подобное условие на в с условиями Теоремы 5.5 (= [22, Теорема 1]), из которой п±^) = р. В частности, показано, что для матриц Jх,a не выполняются условия [22, Теоремы 1] ни при каких а. Кроме того, в Предложении 5.6 доказано, что для матриц Jх,в выполнена Теорема 5.5 только для в е /1(Н; Срхр). Это условие является более жестким, чем аналог (3.60) для в (см. Замечание 5.3). Однако даже если Теорема 5.5 дает равенство Jх,в = р, это не гарантирует соотношение п±(.1х,в) = Р, даже если выполнены условия Теоремы 2.5, т.е. условия Теоремы 5.5 не инвариантны относительно отображения

Наконец, в этом параграфе показано, что Теорема 5.6 из [15] является частным случаем нашего Предложения 5.3 для матриц Jх,в с нулевой диагональю.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в научных журналах

1. Ананьева А.Ю., Будыка В.С., О спектральной теории оператора Бесселя на конечном интервале и полуоси // Дифференциальные уравнения. - 2016. - 52, № 11. - С. 1568-1572.

2. Будыка В.С., Об операторах Дирака с ^'-взаимодействиями // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2019. - № 2. - С. 8-13.

3. Будыка В.С., Маламуд М.М., Об индексах дефекта блочно якобиевых матриц, связанных с операторами Дирака с точечными взаимодействиями // Матем. заметки. - 2019. - 106, вып. 6. - С. 940-945.

4. Будыка В.С., Маламуд М.М., Посиликано А., К спектральной теории одномерных матричных операторов Дирака с точечными матричными взаимодействиями // ДАН. - 2018. - 479, № 2. - С. 117-125.

5. Budyika V.S., Boundary triplets for 2p x 2p-Dirac operators with point interactions on a discrete set // Труды ИПММ. - 2017. - 31. - Pp. 23-35.

6. Budyika V.S., Malamud M.M., Posilicano A., Nonrelativistic limit for 2p x 2p-Dirac operators with point interactions on a discrete set // Russ. J. Math. Ph. - 2017. - 24, № 4. - Pp. 426-435.

Тезисы конференций

1. Будыка В.С., Оператор Бесселя на отрезке и полуоси, Материалы международного молодежного научного форума «Ломоносов-2015», ISBN 978-5-317-04946-1.

2. Будыка В.С., Самосопряженность матричного оператора Дирака с точечными взаимодействиями, Материалы VIII Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование» (ИУСМКМ-2017). -Донецк: ДонНТУ, 2017 - С. 56-57.

3. Будыка В.С., Нерелятивистский предел для 2p х 2p операторов Дирака с точечными взаимодействиями, Материалы VIII международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VIII». Ростов-на-Дону, Россия, 22-27 апреля 2018 г.: тезисы докладов, с. 34-35.

4. Будыка В.С., Самосопряженность матричного оператора Дирака с точечными матричными взаимодействиями, Материалы IX Международной научно-технической конференции «Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование» (ИУСМКМ-2018). - Донецк: ДонНТУ, 2018 - С. 226-229.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Линейные отношения, граничные тройки и функция Вейля

Пусть Н — гильбертово пространство и Н2 = Н х Н — декартово произведение двух экземпляров пространства Н, снабженное нормой графика.

/ Е %2 и > = е %2 положим

(/. = (/. 9)н + (/'. </)«. (1.1)

Обозначим через п1 и п2 проекторы на первую и вторую компоненту в Н х Н, соответственно.

Определение 1.1. Линейное подпространство в € Н2 называется линейным отношением в Н. Линейное отношение называется замкнутым, если подпространство в замкнуто в Н2. Совокупность замкнутых линейных отношений в Н обозначим С(Н).

Отождествляя оператор Т € С(Н) с его графиком grT, будем считать в дальнейшем, что С(Н) С С(Н). Множества

dom в = {/ € Н : / € в для некоторого/' € н} = ячв, (1.2)

ran в = jf' G H : G 0 для некоторого f G H j = n20 (1.3)

называются областью определения и областью значений линейного отно-

шения, а множества

kerO = {nf : f G 0, nf = 0}, mulO = {n2f : f G 0, nf = 0} (1.4)

называются ядром и многозначной частью линейного отношения в, соответственно.

Для симметрического линейного отношения 0 С 0* в H многозначная часть mul (0) является ортогональным дополнением dom(0) in H. Поэтому, полагая Hop := dom(0) и = mul(0), приходим к ортогональному разложению 0 = 0op 0 0то, где 0op является симметрическим оператором в Hop, операторная часть 0, и = {(f/) : f' G mul(0)}, «чистое» линейное отношение в Нто.

Точка Л называется точкой регулярного типа для T G C (H), A G p(T), если выполняется неравенство

||(T - A)hy > со(Л)||^|, h G domT, c0(A) > 0.

Если Л G p(T) и dim(H 0 ran(T — Л)) = 0, то Л называют регулярной точкой оператора T. Совокупность регулярных точек оператора T называют его резольвентным множеством и обозначают р(Т). Множество a(T) = C\p(T) называют спектром оператора T.

Пусть A — плотно определенный замкнутый симметричный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H с равными индексами дефекта n±(A) = dim N±i < то, где Nz := ker(A* — z) — дефектное подпространство.

Определение 1.2. Совокупность П = {H, Г0, Г1}, в которой H— гильбертово пространство, а Г : dom A* ^ H (j G {0,1}) — линейные отображения, называется граничной тройкой для оператора A*, если:

(i) справедлива формула Грина

(A*f,g)H — (f, A*s)h = (rif, Год)н — (rof, Г^Ь f,S G dom A*;

(1.5)

(ii) отображение Г = y-^J : A* ^ H Ф H сюръективно.

Прежде всего заметим, что граничная тройка для A* существует тогда, когда индексы дефекта A — равные, n+(A) = n_(A). Более того, n±(A) = dimH и кег(Г) = кег(Го) П ker(ri) = dom(A). Также заметим, что Г — ограниченное отображение из H+ = dom(A*), оснащённое нормой графика на H Ф H.

Определение 1.3. Расширение A симметрического оператора A называют собственным, если A С A С A*. Совокупность всех собственных расширений оператора A, пополненную операторами A и A*, обозначают Ext a.

Каждое симметрическое расширение A оператора A, отличное от A, — собственное. В частности, самосопряженные расширения оператора A принадлежат ExtA.

Пусть Sp(H), p £ (0; - идеалы Неймана-Шатена H.

Предложение 1.1. Пусть П = {H, Г0, Г1} — граничная тройка для оператора A*. Тогда отображение Г = {Г0, Г1} : dom A* ^ H Ф H задает биективное соответствие между совокупностью ExtA собственных расширений A оператора A и совокупностью (3(H) замкнутых линейных отношений в H

ExtA Э A ^ 0 := r(dom A) = {{Го/, Г/} : f G dom A} G C(H). Будем писать A© := A. При этом справедливы соотношения

(i) (A©)* = A©*;

(ii) A© ! С A©2 ^ 0i С 02;

(iii) расширение A© симметрическое ^^ линейное отношение 0 симметрическое. При этом n±(A©) = n±(0). В частности, A© = A© ^ 0 = 0*.

(iv) пусть A©1 = A© и A©2 = A©2 . Тогда для любых z G p(A©1) П p(A©2) и Z G p(01) П p(02) справедлива эквивалентность:

(A©i — z)—1 — (A©2 — z)—1 GSp(H)

(0i — Z)—1 — (02 — Z)—1 G Sp(H), p G (0, (v) если dom01 = dom02, то справедлива импликация

01 — 02 G Sp(H) (A©1 —il)—1 — (A©2 —il)—1 G Sp(H), p G (0, +то].

В этой главе вводятся понятия 7-поля и функции Вейля симметрического оператора, которые позволяют исследовать спектральные вопросы теории расширений.

Определение 1.4. Пусть A — симметрический оператор в H, A = A* G Ext a и H — некоторое гильбертово пространство, для которого dim H = n±(A). Оператор-функцию y : p(A) ^ B(H,H), называют 7-полем оператора A, соответствующим расширению A, если:

(i) y(Л) изоморфно отображает H на Na при всех Л G p(A);

(ii) справедливо тождество:

Y(Л) = Uc,aY(Z) := [I + (Л — Z)(A — Л)—1]y(Z), Л, Z G p(A). (1.6)

Таким образом, чтобы получить y-поле y(Л) оператора A, соответствующее расширению A = A*, следует задать y-поле в некоторой точке Z G p(A) как ограниченно обратимый оператор из B(H, N), а затем определить его в соответствии с (1.6) равенством y(Л) = (Z).

Лемма 1.1. Пусть П = {H, Г0, Г1} — граничная тройка для оператора A*, Ao := A* \ kerTo. Тогда:

(i) При каждом Л G p(A0) справедливо прямое разложение

dom A* = dom A0 + Na, Л G p(A0). (1.7)

(гг) Оператор-функция

7(Л) := (Го Г Жл)-1, Л € р(Ао) (1.8)

определена корректно и голоморфна в р(Ао) со значениями в В(Н, Жл).

(ггг) 7(Л) является 7-полем оператора А, соответствующим расширению Ао.

(т) Справедливо тождество

7(Л)* = Г1(Ао - Л)-1, Л € р(Ао). (1.9)

Определение 1.5. Пусть П = {Н, Г0, Г1} - граничная тройка для А*. Оператор-функция М(•), определённая равенством

М(Л)Го/л = Г/л, /л € Жл, Л € р(Ао), (1.10)

называется функцией Вейля оператора А, соответствующей граничной тройке П.

Определение 1.6. Оператор-функцию ^ : С+ и С- ^ В(Н) называют Я[Н]-функцией, если

(1) она голоморфна в С+ и С-;

(п) имеет неотрицательную мнимую часть в С+

(Л) > 0 при Л € С+; (1.11)

(Ш) и удовлетворяет условию симметрии

^ (Л) = ^ * (Л), Л € С+ и С-. (1.12)

Теорема 1.1. Пусть П = {Н, Го, Г1} — граничная тройка для оператора А*, М(•) — соответствующая функция Вейля. Тогда:

(г) М(•) корректно определена и голоморфна в р(Ао) как оператор-функция со значениями в В(Н);

(гг) для всех Л,£ £ р(А0) справедливо тождество

М(Л) - М(С)* = (Л - С)7(С)*7(Л), Л, С £ р(Ао);

(1.13)

(ггг) М(•) является Я[Н]-функцией и удовлетворяет условию

0 £ р(1т М(Л)), Л £ С+ и С_. (1.14)

Следствие 1.1. Функция Вейля М(Л) симметрического оператора А допускает интегральное представление

М(Л) = Со +1 _ ^^ ¿ВД. (1.15)

Е

в котором С0 = С0* £ В(Н), £(•) = £*(•) — неубывающая и непрерывная слева оператор-функция в Н, удовлетворяющая условию

/ £В(Н)- (1.16)

Е

Теорема 1.2. Пусть П = {Н,Г0,Г1}-граничная тройка для А*, М(•)_ соответствующая функция Вейля, в £ С(Н), А© — соответствующее собственное расширение оператора А. Тогда для всякого в £ С(Н), такого что р(А©) = 0, справедливо равенство

(А©-г)-1 = (Ао-г)-1 +7(г)(в-М(г))-17(*)*, г £ р(Ао)Пр(А©). (1.17)

1.2 Обобщенные граничные тройки ограниченного типа

Во многих приложениях понятие граничной тройки слишком ограничено из-за предположения ) = Н+. Мотивируя возможными приложени-

ями, а также определенными теоретическими причинами, эту концепцию ослабили в [57, Глава 6].

Определение 1.7 ( [57]). Пусть А - замкнутый плотно определенный симметрический оператор в Н с равными индексами дефекта. Пусть также А* Э А - необязательно замкнутое расширение А такое, что (А*)* = А. Тройка П = {Н, Го, Г1} называется В-обобщенной граничной тройкой для А* (или обобщенной граничной тройкой ограниченного типа), если Н - гильбертово пространство и Гу : dom(Г) := dom(Г0) П dom(Г1) = dom(A*) ^ Н, ] € {0,1}, являются линейными отображениями такими, что

(В 1) Го - сюръективно,

(В2) А*о := А* [ кег(Го) является самосопряженным оператором, (В3) выполняется тождество Грина

(А*/, д)н - (/, А*д)н = (Г1/, Год)н - (Го/, Г1д)н, (1.18)

где /,д € dom(A*) = dom(Г).

Обратите внимание, что всегда есть А С А* С А* = А*. Для любой В-обобщенной граничной тройки П = {Н, Го, Г1} положим, что А*^ := А*|~кег(Г), ] € {0,1}. Отметим, что расширения А*о и А*1 всегда дизъюнктны, но не обязательно трансверсальны.

Начиная с Определения 1.7 В-обобщенной граничной тройки П, можно ввести понятия (обобщенного) 7-поля 7(•) и функции Вейля М(•), соответствующих П, так же, как это было сделано в Определениях 1.4 и 1.5 для (обычной) граничной тройки (см. [57]). Отметим только следующий результат ( [57, Предложение 6.2]).

Предложение 1.2. Пусть П = {Н, Го, Г1} - В-обобщенная граничная тройка для А*, А* = А* |~dom(Г), и пусть М(•) - соответствующая функция Вейля. Тогда:

(г) М(•) - [Н]-мерная неванлинновская функция, удовлетворяющая кег(ММ(г)) = {0}, г € С+.

(гг) П является обыкновенной граничной тройкой тогда и только тогда, когда 0 € ^^ М(г)).

(ггг) Более того, если П = {Н, Г0, Гх} - обобщенная граничная тройка для А* и М(•) - Я[Н]-функция, удовлетворяющая кег(1т М(г)) = {0}, то П = {Н, Г0, Гх} - В-обобщенная граничная тройка для А*.

1.3 Прямые суммы граничных троек

Пусть 5п — плотно определенный симметрический оператор в гильбертовом пространстве Нп с п+(5п) = п_(5п) < то, п Е N. Рассмотрим оператор А := ф5п действующий в Н := фНп, гильбертова прямая сумма гильбертовых пространств Нп. По определению, Н = {/ = : /п Е

Нп, ЕТО=1 Н/п||2 < то}. Очевидно, А* = ф~1 5*

п=1 п1

2

аст(А*) = {/ = 0ТО=1/п Е Н : /п Е аст(^п)^ ЦЗД2 < то}. (1.19)

пе N

Оснастим области определения ^т(5п) =: Нп+ и dom(A*) =: Н+ нормами графиков ||/п|Нп+ := 11/п||2 + К/пЦ2 и ||/||Н+ := ||/1|2 + ||А*/1|2 =

Еп ||/п|Нп+ , соответственно.

Далее, пусть Пп = {Нп, Гоп), Г1п)} является граничной тройкой для

$п, п Е N. Через ||Гуп)|| обозначим норму линейного отображения Г^п) Е [Нп+, Нп], 3 Е {0,1}, п Е N.

Пусть Н := фТО= =1 Нп является гильбертовой прямой суммой Нп. Определим отображения Г0 и Г1, полагая

00

Г := 0Гп), dom(Гj) = {/ = Е dom(A*) : ]Т ||г]Г)/пУНп < ТО.

п=1 nЕN

(1.20)

Очевидно, dom(Г) := dom(Г1) П dom(Г0) плотна в Н+. Определим операторы := ^п ^ кегГ^п) и А^- := фто=1, 3 Е {0,1}. Тогда Ао и А1 — самосопряженные расширения оператора А. Отметим, что А0 и А1 являются дизъюнктными, но не обязательно трансверсальными. Наконец, полагаем

А* = А* Г dom(Г) и А^ := А* Г кег(Г,-), 3 Е {0,1}. (1.21)

Очевидно, А^- является симметрическим (не обязательно самосопряженным или даже замкнутым) расширением оператора А, А^- с А^,] € {0,1}, и

dom(A*j) = {f = e^f G H : fn G kerrjn), ^(Кfn||2+||rjn)fn||2) < то},

nGN

(0' := 1, 1' := 0).

Определение 1.8 ([51,68]). Пусть Г имеет вид (1.20) и H = 0Hn. Совокупность П = {H, Г0, Г1} называется прямой сумой граничных троек и обозначается как П := фПп.

Предположим, что оператор A = фSn имеет регулярную действительную точку, т.е. существует а = а G p(A). Последнее эквивалентно существованию £ > 0 такого, что

(а - £,а + £) С nTO=1P(Sn). (1.22)

Теорема 1.3 ([51]). Пусть {Sn}TO=1 - последовательность симметрических операторов, удовлетворяющих (1.22). Пусть также Пп = {Hn, r0n), r1n)} - граничная тройка для S; такого, что (а-а+£) С p(Sn0) и пусть Mn(-) является соответствующей функцией Вейля. Тогда:

(i) П = фП; - B-обобщенная граничная тройка для A* = фS; если, и только если

C3 := sup ||Мп(а)||н„ < то и С4 := sup ||МП(а)||нп < то, (1.23)

n€N n€N

где МП (а) := (¿Мп(г )/^г)|*=а.

(гг) П = фПп - обыкновенная граничная тройка для А* = ф если, и только если в дополнение к (1.23) выполняется следующее условие

С :=вир || (М;(а))-1||н„ < то. (1.24)

Следствие 1.2 ([51]). Пусть {^П}ТО=1 - последовательность симметрических операторов, удовлетворяющих (1.22). Пусть также Пп = {Нп, Г0п), г1п)} - граничная тройка для такого, что (а-е, а+е) С

и Mn(^) - соответствующая функция Вей-ля. Предположим также, что для некоторых операторов Rn таких, что Rn,R-1 Е [Hn], выполняются следующие условия

sup ||Д-1(МП(a))(R-1)*^Hn < то и sup |R(Mn(a))-1Rn||H„ < то, n Е N.

n n

(1.25)

Тогда прямая сумма П = фТО=1 Пп граничных троек

Пп = {Hn,r0n),r1n)} с r0n) := Rnf0n), r1n) := (R-1)*(f 1n) - Mn(a)f0n)),

(1.26)

формирует граничную тройку для A* = фТО=1 S^

Глава 2

Исследование общих якобиевых матриц

2.1 Условия самосопряженности блочных якобиевых матриц

Рассмотрим блочную якобиеву матрицу

3

Ао Во ор ор ор . . ор ор ор о

Я* Во Ах Вх ор ор . . ор ор ор о

Ор В А2 В2 ор . . ор ор ор о

Ор ор ор ор ор . я* . Вп-1 АП Вп о

\

(2.1)

^ . . . . . . . :::•. у

где Ап = АП, Вп е Срхр и Вп - обратимые, т.е. det Вп = 0, п е Н0.

Как обычно, якобиева матрица 3 порождает в /2(Н0; Ср) минимальный (замкнутый) симметрический оператор (см. [3,5]).

Определение 2.1 ([17]). Пусть К и Т - плотно определенные линейные операторы в гильбертовом пространстве Н. Говорят, что оператор К подчинен оператору Т, если dom Т С dom К и выполнено неравенство

||К|| < а||Ти|| + Ь||и||, а > 0, Ь > 0, и е domТ. Если в (2.2) а < 1, то говорят,что оператор К сильно подчинен Т.

(2.2)

Согласно теореме Като-Реллиха (см. [17, Теорема 5.4.3]), если оператор Т - самосопряжен, а К - симметричен и сильно подчинен Т, то оператор Т + К также самосопряжен и ^ш(Т + К) = Т. Согласно теореме Вюста (см. [31, Теорема Х.14]), если К - симметричен и подчинен оператору Т = Т* с а = 1 (см. (2.2)), то оператор Т + К существенно самосопряжен на ^ш Т.

Применим указанные теоремы к исследованию самосопряженности яко-биевой матрицы X

Теорема 2.1. Пусть J — блочная якобиева матрица вида (2.1) и А := diag{A0,..., Ап,...}, кег А = {0}. Пусть при некотором N Е Но

а^Ы) := вир(||А-1 •Бп\\ + ||А-1 •В,

п>М

п-1|| < ^

а2(Ы) := вир(ЦА-1 • Вп|| + ||А—• ВП+1^)

пЖ4 У

<.

(2.3)

(2.4)

Если

уоКЫыЫ) < 1, (2.5)

то оператор J самосопряжен в /2(Н0; Ср). При этом doш J = doш А, если оценка (2.5) - строгая, т.е. л/а1(Ы)а2(Ы) < 1.

Доказательство. Введем блочную якобиеву подматрицу JN матрицы J, полагая

/

J

N : =

AN BN Ор . .. Ор

* BN AN +1 В^1 . . . Ор

Ор * BN +1 AN+2 . . . Ор

\

V

(2.6)

/

К=

\

(а) Пусть вначале N = 0 и К - минимальный симметрический оператор, задаваемый якобиевой матрицей

/ Ор В0 ор ор ор

ВО Ор В1 Ор Ор

Ор В* Ор В2 Ор

Ор Ор В* Ор Вз

(2.7)

Тогда на финитных векторах справедливо равенство

Jh = Joh = Ah + Kh, h G /Q(Nq; Cp).

(2.8)

При этом оператор A lK на линеале /q(N0; Cp) задается матрицей

A-1K =

(

Op A0-1Bo Op Op Op

a-1bq Op A-1B1 Op Op

Op A-1B1 Op A--1B2 Op

Op Op A-1 B2 Op А°1Вз

V

\

(2.9)

/

Согласно тесту Шура ( [12, Теорема 2.10.1]) условия (2.3) и (2.4) гарантируют ограниченность матрицы (2.9) в /2(N0; Cp) и оценку ||A-1Kh|| < vMN)fl2(N)||h|, h G /2(No; Cp).

Так как K С K* и A = A*, то KA-1 С K*A-1 С (A-1K)* (см. [33, Гл. VIII §2.115]). Следовательно, оператор A-1K - ограничен в /q(N0; Cp) и его замыкание A-1K g B(/2(N0; Cp)), а при условии (2.5) - ||KA-1|| = ||(A-1K)*|| < 1. Поэтому dom A = ran A-1 С dom K и

||Kf || = ||K A-1Af || < ||KA-1|| • ||Af || < ||Af ||, f G dom A С dom K.

(2.10)

Значит, оператор K подчинен оператору A с константами а = 1 и b = 0 (см. (2.2)). По теореме Вюста оператор A + K (С J) существенно само-

сопряжен на dom А. Значит, оператор J = = А + К самосопряжен. При а < 1 и Ь = 0 в силу теоремы Като-Реллиха оператор А + К (С J) самосопряжен и dom(A + К) = dom А.

(Ь) Пусть N > 0. Тогда оператор J допускает следующее представление

J = J'N 0 J N + &N-1,

(2.11)

в котором

j:

N

(Ao Bo Op B0 Ai Bi

Op Op Op \ Op Op Op

O

O

Op

в

N 2 N 2

N-3 AN-2 BN-2

Op BN -2 AN -1 J

(2.12)

p

и B'N_ 1 - ограниченная блочная матрица с единственными нетривиальными элементами Bn-i и 15 расположенными в N и N + 1 строках. Очевидно, JN = (JN)* . Теперь из (2.11) получаем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Будыка Виктория Сергеевна, 2020 год

Литература

1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден Х., Решаемые модели в квантовой механике // М.: МИР. - 1991.

2. Ананьева А.Ю., Будыка В.С., О спектральной теории оператора Бесселя на конечном интервале и полуоси // Дифференциальные уравнения. - 2016. - 52, № 11. - С. 1568-1572.

3. Ахиезер Н.И., Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связананные с нею // М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы. -1961.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве // М.: Наука, Физматлит. - 1966.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов // Киев: Наукова думка. - 1968.

6. Бройтигам И.Н., Мирзоев К.А., О дефектных числах операторов, порождённых бесконечными якобиевыми матрицами // ДАН. - 2016. -467, № 3. - С. 261-265.

7. Бройтигам И.Н., Мирзоев К.А., О дефектных числах операторов, порожденных якобиевыми матрицами с операторными элементами // Алгебра и анализ. - 2018. - 30, вып. 4. - С. 1-26.

8. Бройтигам И.Н., Мирзоев К.А., Сафонова Т.А., Об индексе дефекта некоторых векторных дифференциальных операторов второго порядка // Уфимск. матем. журн. - 2017. - 9, № 1. - С. 18-28.

9. Будыка В.С., Об операторах Дирака с ^'-взаимодействиями // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2019. - № 2. - С. 8-13.

10. Будыка В.С., Маламуд М.М., Об индексах дефекта блочно якобиевых матриц, связанных с операторами Дирака с точечными взаимодействиями // Матем. заметки. - 2019. - 106, вып. 6. - С. 940-945.

11. Будыка В.С., Маламуд М.М., Посиликано А., К спектральной теории одномерных матричных операторов Дирака с точечными матричными взаимодействиями // ДАН. - 2018. - 479, № 2. - С. 117-125.

12. Бирман М.Ш.,Соломяк М.З., Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве //Л.: Изд-во Ленннгр. ун-та.

- 1980.

13. Деркач В.О., Маламуд М.М., Теор1я розширень симетричних опера-тор1в 1 граничш задач1 // К.: 1нститут математики НАН УкраТни. -2017.

14. Дюкарев Ю.М., О дефектных числах симметрических операторов, порожденных блочными матрицами Якоби // Матем. сб. - 2006. - 197, № 8. - С. 73-100.

15. Дюкарев Ю.М., Примеры блочных матриц Якоби, порождающих симметрические операторы с любыми дефектными числами // Матем. сб.

- 2010. - 201, № 12. - С. 83-92.

16. Исмагилов Р.С., Костюченко А.Г., Об асимптотике спектра оператора Штурма-Лиувилля с точечным взаимодействием // Функц. анализ и его прил. - 2010. - 44, № 4. - С. 14-20.

17. Като Т., Теория возмущений линейных операторов // М.: МИР. - 1972.

18. Коган В.И., Об операторах, порожденных ^-матрицами в случае максимальных индексов дефекта // Теор. функций, функц. анал. и их прил. - 1970. - 11. - С. 103-107.

19. Костенко А.С., Маламуд М.М., Об одномерном операторе Шрёдингера с ^-взаимодействиями // Функц. анализ и его прил. - 2010. - 44, № 2. - С. 87-91.

20. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А., Трехчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределенный случай // Матем. заметки. - 1998. - 63, вып. 5. - С. 709-716.

21. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А., Обобщенные якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами // Функц. анализ и его прил. - 1999. -33, № 1. - С. 30-45.

22. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А., Признаки вполне неопределенности якобиевых матриц с матричными элементами К. А. Мирзоев // Функ. анализ и его прил. - 2001. - 35, вып. 4. - С. 265-269.

23. Костенко А.С., Маламуд М.М., Натягайло Д.Д., Матричный оператор Шредингера с ^-взаимодействиями // Матем. заметки. - 2016. - 100, вып. 1. - С. 59-77.

24. Кочубей А.Н., Одномерные точечные взаимодействия // Укр. матем. ж. - 1989. - 41, № 10. - С. 1391-1395.

25. Крейн М.Г., Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов // ДАН СССР. - 1949. - 69, № 2. - С. 125-128.

26. Крейн М.Г., Основные положения теории предствления эрмитовых операторов с индексом дефекта (m, m) // Укр. мат. ж. - 1949. - 1, № 2. -С. 3-66.

27. Левитан Б.М., Саргсян И.С., Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака // М.: Наука. - 1988.

28. Мирзоев К.А.,Сафонова Т.А., Об индексе дефекта векторного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. - 2016. - 99, вып. 2. -С. 262-277.

29. Набоко С.Н., Янас Я., Критерии полуограниченности в одном классе неограниченных операторов Якоби // Алгебра и анализ. - 2002. - 14:3. - С. 158-168.

30. Рабинович В.С., Существенный спектр одномерных операторов Дирака с дельта-взаимодействиями // Функц. анализ и его прил. - 2020. - 52, вып. 2. - С. 90-94.

31. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность // М.: МИР. - 1978.

32. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов // М.: МИР. - 1982.

33. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу // М.: МИР. - 1979.

34. Савчук А.М., Шкаликов А.А., Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. - 1999. - 66:6. - С. 897-912.

35. Савчук А.М., Шкаликов А.А., Операторы Штурма Лиувилля с потенциалами-распределениями // Труды московского математического общества. - 2003. - 64. - С. 159-212.

36. Albeverio S., Kostenko A., Malamud M.M., Spectral theory of semi-bounded Sturm-Liouville operators with local interactions on a discrete set // J. Math. Phys. - 2010. - 51, № 10. - Pp. 102102-102102-24.

37. Albeverio S., Kurasov P., Singular Perturbations of Differential Operators and Schrodinger Type Operators // Cambridge Univ. Press. - 2000.

38. Arrizabalaga N., Mas A., Vega L., Shell interactions for Dirac operators // J. Math. Pures Appl. - 2014. - 102, № 4. - Pp. 617-639.

39. Arrizabalaga N., Mas A., Vega L., Shell Interactions for Dirac Operators: On the Point Spectrum and the Confinement // SIAM J. Math. Anal. -2015. - 47, № 2. - Pp. 1044-1069.

40. Arnbak H., Christiansen P. L., Gaididei Yu. B., Non-relativistic and relativistic scattering by short-range potentials // Phil. Trans. R. Soc. A. - 2011. - 369. - Pp. 1228-1244.

41. Behrndt J., Exner P., Holzmann M., Lotoreichik V., On the spectral properties of Dirac operators with electrostatic 5-shell interactions // J. Math. Pures Appl. - 2018. - 9, № 11. - Pp. 47-78.

42. Behrndt J., Exner P., Holzmann M., Lotoreichik V., On Dirac operators in R3 with electrostatic and Lorentz scalar 5-shell interactions // Quantum Studies: Mathematics and Foundations. - 2019. - 6. - Pp. 295-314.

43. Benvegnii S., Relativistic point interaction with Coulomb potential in one dimension // J. Math. Phys. - 1997. - 38, № 2. - Pp. 556-570.

44. Benvegnii S., Dabrowski L., Relativistic point interaction // Lett. in Math. Physics. - 1994. - 30. - Pp. 159-167.

45. Braeutigam I.N., Limit-point criteria for the matrix Sturm-Liouville operators and its powers // Opuscula Math. - 2017. - 37, № 1. - Pp. 5-19.

46. Brasche J.F., Perturbation of Schrodinger Hamiltonians by measures -selfadjointness and semiboundedness // J. Math. Phys. - 1985. - 26. -Pp. 621-626.

47. Brinck I., Self-adjointness and spectra of Sturm-Liouville operators // Math. Scand. - 1959. - 7. - Pp. 219-239.

48. Budyika V.S., Boundary triplets for 2p x 2p-Dirac operators with point interactions on a discrete set // Труды ИПММ. - 2017. - 31. - Pp. 23-35.

49. Budyika V.S., Malamud M.M., Posilicano A., Nonrelativistic limit for 2p x 2p-Dirac operators with point interactions on a discrete set // Russ. J. Math. Ph. - 2017. - 24, № 4. - Pp. 426-435.

50. Buschmann D., Stolz G., Weidmann J., One-dimensional Schrodinger operators with local point interactions // J. Reine Angew. Math. - 1995. -467. - Pp. 169-186.

51. Carlone R., Malamud M., Posilicano A., On the spectral theory of Gesztesy-Seba realizations of 1-D Dirac operators with point interactions on a discrete set // J. Differential Equations. - 2013. - 254, № 9. - Pp. 38353902.

52. Chihara T., Chain sequences and orthogonal polynomials // Trans. AMS.

- 1962. - 104. - Pp. 1-16.

53. Cojuhari P., Janas J., Discreteness of the spectrum for some unbounded matrices // Acta Sci. Math. - 2007. - 73. - Pp. 649-667.

54. Derkach V.A., Hassi S., Malamud M.M., de Snoo H.S.V., Boundary relations and their Weyl families // Trans. Amer. Math. Soc. - 2006. -358, № 12. - Pp. 5351-5400.

55. Derkach V.A., Hassi S., Malamud M.M., de Snoo H.S.V., Boundary triplets and Weyl functions. Recent developments // LMS Lecture Notes. - 2012.

- 404. - Pp. 161-220.

56. Derkach V.A., Malamud, M.M., Generalised Resolvents and the boundary value problems for Hermitian Operators with gaps // J. Funct. Anal. -1991. - 95. - Pp. 1-95.

57. Derkach V.A., Malamud M.M., The extension theory of hermitian operators and the moment problem // J. Math. Sci. - 1995. - 73, № 2. - Pp. 141-242.

58. Exner P., Seize ans après, Appendix K to "Solvable Models in Quantum Mechanics"by Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H., Sec. Edition // AMS Chelsea Publ. - 2004.

59. Exner P., Kostenko A., Malamud M., Neidhardt H., Spectral theory of infinite quantum graphs // Annales Henri Poincarè. - 2018. - 19, № 11. -Pp. 3457-3510.

60. Gesztesy F., Holden H., A new class of solvable models in quantum mechanics describing point interactions on the line // J. Phys. A: Math. Gen. - 1987. - 20. - Pp. 5157-5177.

61. Gesztesy F., Kirsch W., One-dimensional Schrodinger operators with interactions singular on a discrete set // J. reine Angew. Math. - 1985.

- 362. - Pp. 27-50.

62. Gesztesy F., Seba P., New analytically solvable models of relativistic point interactions // Lett. Math. Phys. - 1987. - 13. - Pp. 345-358.

63. Gorbachuk V.I., Gorbachuk M.L., Boundary Value Problems for Operator Differential Equations // Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group.

- 1991.

64. Grossmann A., Hoegh-Krohn R., Mebkhout M., The one-particle theory of periodic point interactions // J. Math. Phys. - 1980. - 21. - Pp. 2376-2385.

65. Guilarte J.M., Munoz-Castaneda J.M., Pirozhenko I., Santamaria-Sanz L., One-dimensional scattering of fermions on ^-impurities // Front. Phys. -2019. - 7:109.

66. Janas J., Naboko S., Multithreshold spectral phase transition for a class of Jacobi matrices // Oper. Theory: Adv. Appl. - 2001. - 124. - Pp. 267-285.

67. Kostenko A.S., Malamud M.M., 1-D Schroodinger operators with local point interactions: a review // Proc. Symp. Pure Math. - 2013. - 87. -Pp. 232-262.

68. Kostenko A.S., Malamud M.M., 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set // J. Differential Equations. - 2010. - 249. -Pp. 253-304.

69. Krein M.G., Langer H., On defect subspaces and generalized resolvents of a Hermitian operator in a space nK // Funct. Anal. Appl. - 1971/1972. -5/6. - Pp. 136-146, 217-228.

70. Kronig R. de L., Penney W.G., Quantum mechanics of electrons in crystal lattices // Proc. Roy. Soc. (London). - 1931. - 130A. - Pp. 499-513.

71. Lapidus I.R., Relativistic one-dimensional hydrogen atom // Amer.J.Phys. - 1983. - 51. - Pp. 1036-1038.

72. Lesch M., Malamud M.M., On the deficiency indices and self-adjointness of symmetric Hamiltonian systems // J. Differential Equations. - 2003. -189, № 2. - Pp. 556-615.

73. Malamud M.M., Neidhardt H., Sturm-Liouville boundary value problems with operator potentials and unitary equivalence // J. Differential Equations. - 2012. - 252. - Pp. 5875-5922.

74. Minami N., Schrodinger operator with potential which is the derivative of a temporally homogeneous Levy process // Springer, Berlin: Lect. Notes in Math., 1299. - 1988.

75. de Oliveira C. R., Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics // Birkhäuser, Basel. - 2009.

76. Rabinovich V.S., Barrera-Figueroa V., Numerical calculation of the discrete spectra of one-dimensional Schrodinger operators with point interactions // Math Meth Appl Sci. - 2019. - 42. - 5072-5093.

77. Rabinovich V.S., Barrera-Figueroa V., Olivera Ramirez L., On the spectra of one-dimensional Schrädinger operators with singular potentials // Front. Phys. - 2019. - 7:57.

78. Schmädgen K., Unbounded Self-Adjoint Operators on Hilbert Space // Springer-Verlag, New York. - 2012.

79. S/eba P., Some remarks on ^'-interaction in one dimension // Rep. Math. Phys. - 1986. - 24, № 1. - Pp. 111-120.

80. Shubin Christ C., Stolz G., Spectral theory of one-dimentional Schrodinger operators with point interactions //J. Math. Anal. Appl. - 1994. - 184. -Pp. 491-516.

81. Szwarc R., Absolute continuity of spectral measures for certain unbounded Jacobi Matrices // Int. Ser. Numerical Math. - 2003. - 142. - Pp. 255-262.

82. Teschl G., Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices // AMS: Math. Surveys Monographs 72. - 2000.

83. Thaller B., The Dirac Equation // Texts and Monographs in Physics, Springer. - 1992.