Рост разрешимых супералгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Клементьев, Сергей Георгиевич

• Клементьев, Сергей Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клементьев, Сергей Георгиевич

Введение

1 Обзор результатов

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли

1.3 Рост конечно порожденных полинильпотентных супералгебр Ли.

1.4 Рост почти полинильпотентных алгебр Ли

2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли

2.1 Формула Шрайера для градуированных супералгебр Ли.

2.2 Производящие функции для разрешимых супералгебр Ли.

2.3 Базисы свободных супералгебр Ли

3 Рост разрешимых супералгебр Ли

3.1 Рост функций аналитичных в единичном круге.

3.2 Рост универсальных обертывающих алгебр.

3.3 Рост полинильпотентных супералгебр Ли

4 Рост почти разрешимых алгебр Ли 45 Литература 49 Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рост разрешимых супералгебр Ли»

Настоящая диссертация посвящена исследованию роста конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли и близких к ним алгебр.

Понятие роста является важной характеристикой для изучения бесконечных групп и бесконечномерных алгебр [ 12]. В работе Гельфанда и Кириллова понятие роста было использовано для изучения универсальных обертывающих алгебр нильпотентных алгебр Ли [ 19]. Также понятие роста возникло в работах геометров для изучения групп.

С другой стороны, для градуированных алгебр определяется ряд Гильберта-Пуанкаре [ 12]. Этот ряд несет содержательную информацию о характере асимптотического поведения алгебры. Он является заменой обычных характеристик, таких как порядок множества, размерность, пространства.

Поскольку ряд Гильберта несет всю информацию об асимптотическом поведении алгебры, интересным вопросом для исследования является взаимосвязь свойств функции роста и поведения ряда Гильберта. Еще одним интересным вопросом является рациональность ряда Гильберта [12].

В некоторых случаях вводят новые числовые характеристики/которые оказываются более грубыми чем функция роста, а именно: размерность Гельфанда-Кириллова [19], суперразмерность [17] и т.д. Грубо говоря, размерность Гельфанда-Кириллова — это степень полинома в случае полиномиального роста.

Известно, что конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост [1 ], [16]. Конечно-порожденные ассоциативные PI-алгебры (алгебры с нетривиальным тождеством) имеют полиномиальный рост [12].

Конечно порожденные разрешимые алгебры Ли имеют промежуточный рост, быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального [23]. Для изучения такого роста Петроградским В.М. была построена бесконечная шкала эталонных функций, с помощью которой классифицируются алгебры Ли промежуточного роста [8], [28]. Первая ступенька шкалы соответствует конечномерным алгебрам. Вторая — алгебрам полиномиального роста. Следующие ступеньки соответствуют различным типам промежуточного роста идущих вверх к экспоненте, но меньше ее.

Были введены понятия верхней и нижней размерности уровня q (^-размерности). Оказалось, что размерности уровня 2 соответствуют ранее изучавшимся размерностям Гельфанда-Кириллова [19], [22], а уровня 3 — суперразмерностям [17]. Размерности следующих уровней соответствуют субэкспоненциальным ростам, которые были названы логарифмическими.

С помощью g-размерностей были классифицированы конечно порожденные разрешимые алгебры Ли, найдены асимптотики их роста [27], [28]. Оказалось, что если свободная разрешимая алгебра Ли ступени q порождена к элементами, то она находится на q-ой ступеньки введенной шкалы, а именно, ее g-размерность равна к.

В настоящей работе основным объектом исследования является рост конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли, а также рост почти разрешимых алгебр Ли. Дается классификация их роста с помощью введенного понятия д-размерностей и находятся асимптотики их роста.

Основным инструментом доказательства полученных результатов является техника производящих функций. Используется аналог известной для свободных групп формулы Шрай-ера [30], [31], а также точная производящая функция для разрешимых (более шире, поли-нильпотентных) супералгебр Ли, найденные Петроградским В.М. [31]. Исследование ведется в общности полинильпотентных (супер)алгебр Ли. Понятие полинильпотентности шире понятия разрешимости. Действительно, любая полинильпотентная (супер)алгебра Ли лежит в некоторой разрешимой (супер)алгебре Ли. С другой стороны, разрешимость является частным случаем полинильпотентности.

Кратко опишем структуру диссертации. В главе 1 вводятся основные определения, обозначения и формулируются основные результаты. Глава 2 носит скорее технический характер. Здесь мы изучаем производящие функции некоторых полинильпотентных супералгебр Ли, изучаем их асимптотику. Глава 3 содержит основной результат — теорему 3.6 о росте свободных разрешимых супералгебр Ли. В главе 4 при помощи полученной техники доказывается еще один результат о росте почти разрешимых алгебр Ли.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]—[42]. Они докладывались на конференции молодых ученых в г. Ульяновске (2002 г.), Международных конференциях по алгебре проходивших в г. Туле (2003 г.), г. Москве (2004г.), г. Саратове (2004 г.).

Автор пользуется возможностью выразить признательность и благодарность своему научному руководителю, профессору Петроградскому В.М., за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за полезные обсуждения и советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клементьев, Сергей Георгиевич, 2005 год

1. Фридман Г.А. Медленно возрастающие функции и их приложениеИ Сиб. матем. ж., 7, (1966), 5, 1139-1160.

2. Шмелькин A.JI. Свободные полинильпотентные группы/Изв. АН СССР. Сер. мат. 28, 1964, № 1,91-122.

3. Штерн А.С. Свободные супералгебры Ли/Сиб. мат. журн—1986—Т.27.-С. 170—174.

4. Yu. A. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. М. Petrogradsky, and М. V. Zaicev, Infinite dimensional $ Lie superalgebras. de Gruyter Exp. Math. vol. 7, de Gruyter, Berlin, 1992.

5. W. Borho and H. Kraft, Uber die Gelfand-Kirillov-Dimension//Afa^. Ann. 220, no 1, (1976), 1-24.

6. J. Desarmenien, D. Duchamp, D. Krob, G. Melancon, Quelques remarques sur les super-algebres de Lie libres,//C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math. 318:419-424, 1994.

7. I. M. Gelfand and A. A. Kirillov, Sur les corps lies aux algebres enveloppantes des algebres de Lie//Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 31, (1966), 509-523.

8. M. Hall, A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups/Proc. Amer. Math. Soc. 1:575-581, 1950.21 . Seok-Jin, Kang, Graded Lie superalgebras and the superdimension formula//: Algebra 204 (1998), no 2, 597-655.

9. G. R. Krause and Т. H; Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 22. AMS, Providence, RI, 2000.

10. A. I. Lichtman, Growth in enveloping algebras //Israeli. Math. 47, no 4, (1984), 297-304.

11. J.C. McConnell and J.C. Robson, Noncommutative Noetherian rings. AMS, Providence, RI, 2001.

12. G. Melancon, Reecritures dans le groupe libre, I'algebre libre et l'algebre de Lie libre. Ph.D. thesis, Univ. de Quebec a Montreal, 1991.

13. A.A. Mikhalev and A.A. Zolotykh, Combinatorial aspects of Lie superalgebras. CRC Press, Boca Raton, 1995.

14. V. M. Petrogradsky, Intermediate growth in Lie algebras and their enveloping algebras/ J. Algebra 179, (1996), 459-482.

15. V. M. Petrogradsky, Growth of finitely generated polynilpotent Lie algebras and groups, generalized partitions, and functions analytic in the unit circle И Internat. J. Algebra Comput., 9 (1999), no 2, 179-212.

16. V. M. Petrogradsky, On Witt's formula and invariants for free Lie superalgebras / Formal power series and algebraic combinatorics (Moscow 2000). 543—551, Springer, 2000.

17. V. M. Petrogradsky, Schreier's formula for free Lie algebras // Archiv der Mathematik, 75 (2000), 16-28.

18. V. M. Petrogradsky, On generating functions for subalgebras of free Lie superalgebras/ Discrete Math. (Conference proceedings FPSAC'99), 246 (2002), no 1-3,269-284.

19. S. Ramanujan, Collected papers. Chelsea, New-York, 1962.

20. C. Reutenauer, Free Lie algebras. Clarendon Press, Oxford, 1993.

21. D. Riley, H. Usefi, Lie algebras with finite Gelfand-Kirillov dimension IIProc. Amer. Math. Soc. 133(6) (2005), 1569-1572.

22. M. Scheunert, The theory of Lie superalgebras. An introduction. Lecture Notes in Mathematics. 716, Springer, 1979.Публикации автора по теме диссертации

23. Клементьев С.Г. Ряды Гильберта-Пуанкаре некоторых супералгебр Ли/Сборник тезисов и докладов студентов и аспирантов на XII ежегодной научно-практической конференции. Выпуск 11. —Ульяновск: Издательство УлГУ, 2002 г. стр. 9—12.

24. Клементьев С.Г., Петроградский В.М. Рост разрешимых супералгебр Ли/Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Междунар. конф. (Тула, 19 -24 мая 2003 г.). -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2003. -299 с. стр. 67-68.

25. Klementyev S.G., Petrogradsky V.M., Growth of solvable Lie superalgebras / Comm. Algebra., 32 (2005), no.3, p.865-895.

26. Клементьев С.Г., Петроградский В.Мм О росте почти разрешимых алгебр Ли II Успехи Матем. наук, 60, № 5, (2005), 165-166.