Ряды Гильберта и гомологии градуированных алгебр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Пионтковский, Дмитрий Игоревич

• Пионтковский, Дмитрий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пионтковский, Дмитрий Игоревич

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 Рост ассоциативных алгебр и сильно свободные множества

1.1 Теорема Голода-Шафаревича и гомологии

1.2 Об оценках на число соотношений алгебр

1.3 Алгебры экстремального роста

1.4 Оценки на ряды Гильберта фактор-алгебр

1.5 Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания экспоненты роста

2 Критерий полных пересечений для многообразий Р1—

алгебр

2.1 Многообразия Р1-алгебр и супералгебр

2.2 Комплекс Шафаревича в многообразиях супералгебр

2.3 Ряды Гильберта и гомологии комплекса Шафаревича

2.4 О рядах Гильберта относительно свободных супералгебр

2.5 Случай свободных специальных йордановых алгебр

3 О свободных произведениях в многообразиях Р/—алгебр

3.1 Предварительные замечания

3.2 Классификация многообразий и технические леммы

3.3 Основная теорема

3.4 Стандартные алгебры

Литература

Обозначения и соглашения

к — основное поле

А* В — свободное произведение ассоциативных алгебр А, В w

А * В — свободное произведение алгебр А, В в многообразии PI (супер) алгебр W

Vect — многообразие алгебр с нулевым умножением Сот —• многообразие всех коммутативных алгебр As5 — многообразие всех ассоциативных алгебр Cié — многообразие всех алгебр Ли ЛИ — многообразие всех (не)ассоциативных алгебр FW(X) — свободная (супер)алгебра многообразия W, порожденная множеством X

F™ — свободная алгебра ранга п в многообразии W Рщт '— свободная супералгебра многообразия W, имеющая ранг п по четным порождающим и ранг т — по нечетным

dega — степень однородного элемента а из градуированного векторного пространства, градуированной алгебры или модуля len т — длина монома т

V(x) — ряд Гильберта градуированного векторного пространства V а(х) — производящая функция множества однородных элементов а

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ряды Гильберта и гомологии градуированных алгебр»

Введение

В настоящей работе развивается направление некоммутативной проективной геометрии, связанное с некоммутативными аналогами понятий регулярной последовательности, комплекса Козюля и полного пересечения.

Мы будем называть векторное пространство над основным полем к, ассоциативную ¿-алгебру или модуль над ней градуированными, если они 2+-градуированы и конечномерны в каждой компоненте. За исключением специально оговоренных случаев, все алгебры, модули и векторные пространства ниже градуированы. Для такого пространства V (в частности, алгебры или модуля) через У{х) обозначим его ряд Гильберта X] сНтКж®; для множества однородных элементов а £ V через »>о

а(х) обозначим производящую функция множества а: если а содержит

элементов степени г, то а(х) = X) .

!>0

Градуированная алгебра А = Ао ® А\ ф ... называется связной, если ее нулевая компонента Ао одномерна; связная алгебра называется стандартной, если она порождена компонентой Иногда мы также будем называть связными алгебры без единицы, градуированные в положительных степенях: такие случаи специально оговариваются. Неравенства между рядами Гильберта понимаются покоэффициентно, то есть

агх1 > ^г тогда и только тогда, когда а; > 6,- для всех г > 0.

В классической коммутативной алгебре важную роль играет теорема, называемая критерием полных пересечений. Всякой последовательности элементов локального или градуированного коммутативного кольца А ставится в соответствие свободная дифференциально-градуированная супералгебра над ним (комплекс Козюля). Критерий полных пересечений гласит, что последовательность регулярна тогда

и только тогда, когда комплекс Козюля ацикличен, то есть составляет минимальную резольвенту для факторкольца А по идеалу, порожденному этой последовательностью элементов [5]. Последовательность регулярна, если каждый следующий ее элемент — не делитель нуля по модулю предыдущих; для градуированной алгебры А это условие равносильно тому, что среди всех факторов по идеалам, порожденным однородными элементами с одной и той же последовательностью степеней, ряд Гильберта факторалгебры по регулярной последовательности минимален (т. е. размерность каждой градуированной компоненты наименьшая из возможных) [25].

Как алгебра, комплекс Козюля изоморфен внешней алгебре над А. Используя технику резольвенты Тэйта [26], несложно обобщить такую конструкцию на случай коммутативной супералгебры А (это было проделано Т. Юзефьяком [23]). Соответствующий аналог комплекса Козюля по-прежнему является свободной дифференциально градуированной алгеброй над А, однако теперь ее порождающие могут быть как нечетными, так и четными элементами — в зависимости от четности соответствующих элементов последовательности. Определение регулярной последовательности несколько изменяется, однако критерий полных пересечений остается верным: регулярность последовательности равносильна ацикличности комплекса Козюля и минимальности ряда Гильберта.

Аналог комплекса Козюля для произвольной ассоциативной алгебры над полем был построен в [8] и носит название комплекса Шафаревича. Соответствующий аналог регулярной последовательности — это введенное Д. Аником понятие сильно свободного [16], или инертного [19], множества: множество однородных элементов ассоциативной алгебры А называется сильно свободным (инертным), если, во-первых, оно составляет систему свободных образующих для порожденной им подалгебры, и, во-вторых, А как градуированное пространство изоморфна свободному произведению этой подалгебры и соответствующей факторалгебры.

Это определение легко перевести на язык рядов Гильберта. Пусть А — ^-алгебра, I < А — однородный собственный двусторонний идеал, минимальным образом порожденный некоторым множеством однородных элементов а С А, и В — А/1. Пусть С = В * к (а), где звездочка обозначает свободное произведение алгебр, к (а) — свободная алгебра.

Очевидно, имеет место неравенство рядов Гильберта

С(х) > А(х),

(0.1)

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда множество а сильно свободно. Таким образом, сильно свободные множества естественным образом возникают при рассмотрении следующго вопроса: какова связь между рядами Гильберта алгебр А и В и рядом а(х)? Мы подробно исследуем эту связь в Главе 1, где получим и другие характе-ризации сильно свободных множеств.

Как следует из результатов [16], свойства множества а быть сильно свободным равносильно ацикличности комплекса Шафаревича, а соответствующее неравенство для рядов Гильберта тесно связано с теоремой Голода-Шафаревича [8] (см. Главу 1 ниже). Отметим, что, как показал Е.С. Голод [7], комплекс Шафаревича обладает многими замечательными гомологическими свойствами, как аналогичными известным результатам Тэйта-Ассмуса (см. [26], [21]), так и не имеющими аналогов в коммутативном случае.

Для случая градуированной супералгебры Ли теорема, аналогичная критерию полных пересечений, была получена С. Гальпериным и Ж.-М. Лемэром [22]. Аналогом регулярной последовательности служит инертное множество — подмножество градуированной алгебры Ли L, образ которого в универсальной обертывающей является инертным множеством в смысле Аника. Аналог комплекса Козюля для множества р градуированных элементов из L — дифференциально градуированная алгебра Ли, полученная из L добавлением новых свободных порождающих, четность которых противоположна четности соответствующих элементов множества р. Над полем характеристики нуль ацикличность такого комплекса равносильна тому, что множество р инертно. При этом для любого множества р ряд Гильберта алгебры А покоэффици-ентно меньше или равен ряда Гильберта алгебры, равной свободному произведению (в категории супералгебр Ли) свободной супералгебры Ли, порожденной /?, и соответствующей факторалгебры: равенство равносильно тому, что р инертно. Краткий список таких результатов, обобщающих коммутативные конструкции на суперкоммутативный, ассоциативный и лиев случаи, объединены ниже в Теореме 2.5. Как ассоциативный, так и лиев варианты инертных множеств оказались полезными в алгебраической топологии, а также в теории групп (см. [16], [22], [19]).

Рассмотренные случаи коммутативных, ассоциативных и лиевых алгебр объединены тем, что все эти классы являются многообразиями алгебр с полиномиальными тождествами. В этой связи возникает вопрос: можно ли построить аналог комплекса Козюля для произвольного многообразия алгебр? Такой комплекс был построен (для многообразия ассоциативных алгебр при условии, что А относительно свободна) A.A. Бо-яркиным [3]. В то время еще не были введены восходящие к работе А.Р. Кемера [11] многообразия супералгебр, и алгебраическая структура на этом комплексе определяется таким образом, чтобы идеал соотношений такой алгебры ("кососвободной") был дифференциальным идеалом. Впрочем, как будет показано ниже (Лемма 2.1), эта супералгебра является относительно свободной и в обычном смысле. Связь ацикличности такого комплекса с деформациями и расширениями PI-алгебр исследовалась A.A. Бояркиным, в частности, в [4]. Такая конструкция позволяет определить комплекс Шафаревича для произвольного многообразия W (над полем нулевой характеристики). С его помощью удается доказать аналог критерия полных пересечений для произвольного многообразия W (см. раздел 2.3).

Тем не менее, дальнейшее обобщение классических результатов коммутативной алгебры, касающихся комплекса Козюля, провести не удается. Одно из основных, по-видимому, припятствий на этом пути состоит в отсутствии для свободных произведений в многообразиях аналога формулы Кюннета для гомологий тензорного произведения дифференциально градуированных алгебр [14]. "Коммутативное" доказательство, которое легко переносится на случай многообразия всех ассоциативных алгебр (с заменой тензорного произведения на обычное свободное произведение алгебр), не проходит в других многообразиях ассоциативных алгебр по следующей причине. В диссертации показано, что ни в каком другом многообразии ассоциативных алгебр, кроме Сот, Assh Vect, ряд Гильберта свободного произведения не определяется рядами Гильберта сомножителей.

Этот факт предствляет интерес и в связи со следующими естественными вопросами. Недавно А.Я. Белов доказал, что во всяком таком многообразии W ряд Гильберта алгебры Fw(X) для конечного X рационален [2]. Между тем, в многообразиях Vect, Сот и Ass справедливо и более сильное утверждение. А именно, для этих многообразий известны формулы, рационально выражающие ряд Гильберта алгебры

w

A * В через ряды Гильберта алгебр А ж В (мы предполагаем, что А, В

— алгебры без единицы): точнее, если a(t) = A(t) + 1, b(t) = B(t) + 1, w

c(t) — (A * В)(i) + l, то для лежащих в соответствующих многообразиях алгебр А ж В имеем

AV%ct В = А®В, c(t) = a(i) + b(t) - 1,

АСТ В = А® Я, c{t) = a(t) ■ b(t),

111 А * В = AU В, — = 4- + -f- - 1.

c(i) a(i) 6(i)

В связи с этим возникают вопросы: существуют ли многообразия, в которых ряд Гильберта свободного произведения алгебр определяется рядами Гильберта сомножителей? Существуют ли многообразия, в которых это так, если один из сомножителей — свободная алгебра? Как показывается в Главе 3, ответ на оба вопроса для всякого многообразия W, кроме трех перечисленных, отрицателен: тем самым, на этом пути упомянутая теорема А. Я. Белова является наиболее сильным результатом.

Перейдем к подробному описанию результатов настоящей работы. Основными из них следует, по-видимому, считать следующие.

1) Описана связь между оценками Е. С. Голода и И. Р. Шафаревича, В. Е. Говорова, Д. Аника на число соотношений в градуированных алгебрах и ряды Гильберта этих алгебр (Теорема 1.7, Теорема 1.16), и получены новые такие оценки (Теорема 1.16, Предложение 1.15).

2) Доказано (Теорема 1.12), что свободное произведение нетривиальных ассоциативных связных конечно порожденных алгебр обладает тем свойством, что каждая его собственная фактор-алгебра имеет строго меньшую экспоненту роста.

3) Доказано, что проблема распознавания экспоненты роста конечно определенных ассоциативных алгебр по заданным образующим и соотношениям алгоритмически неразрешима (Теорема 1.17, Теорема 1.21).

4) Для произвольного многообразия (не) ассоциативных Р1-алгебр получен аналог критерия полных пересечений (Теорема 2.7), связывающий ряды Гильберта алгебр с их гомологическими свойствами.

5) Даны формулы для рядов Гильберта четных и нечетных частей некоторых относительно свободных супералгебр (Следствие 2.9), а также свободных специальных йордановых супералгебр (Следствие 2.13).

6) Построена система примеров, показывающая, что ни в каком многообразии ассоциативных Рi-алгебр, кроме Vect, Сот , Ass , ряд Гильберта свободного произведения не определяется рядом Гильберта сомножителей — даже в случае, когда один из сомножителей является относительно свободной алгеброй (Теорема 3.6).

Работа организована следующим образом.

Глава 1 посвящена различным оценкам на ряды Гильберта и число соотношений ассоциативных алгебр, а также связям таких оценок с сильно свободными множествами. В разделе 1.1 мы приводим одну из первых таких оценок — теорему Голода-Шафаревича [8], и выводим из нее новую характеризацию сильно свободных множеств в свободных алгебрах (Следствие 1.4). В разделе 1.2 устанавливается связь между теоремой Голода-Шафаревича и оценками В. Е. Говорова на минимальное число определяющих соотношений ассоциативных алгебр [6]: оказывается, в обоих неравенствах Говорова равенство достигается тогда же, когда и в неравенстве Голода-Шафаревича, то есть в точности в случае сильно свободного множества соотношений (Теорема 1.7).

Далее мы переходим к рассмотрению более общей задачи: как связаны ряды Гильберта алгебры и ее факторалгебры по некоторому идеалу с производящей функцией множества порождающих идеала? Поскольку общие конечно порожденные ассоциативные алгебры растут экспоненциально, то в качестве характеристики асимптотического поведения ряда Гильберта мы рассматриваем экспоненту роста алгебры — величину, обратную к радиусу сходимости ряда Гильберта. В разделе 1.3 мы исследуем экстремальные алгебры, то есть такие, что экспонента роста фактор-алгебры всегда строго меньше экспоненты роста самой алгебры, вне зависимости от множества порождающих идеала. Оказывается, экспоненты роста экстремальных алгебр всегда конечны (Дредложение. 1.9), а сами они всегда первичны (Теорема 1.10). Класс экстремальных алгебр весьма обширен: в частности, все свободные произведения нетривиальных алгебр, равно как и алгебры, содержащие сильно свободные множества, экстремальны (Теорема 1.12, Следствие 1.4).

В разделе 1.4, с использованием свойств экстремальных алгебр, дано обобщение одного из двух упоминавшихся неравенств Говорова на случай общих алгебр (Теорема 1.16). Исследуя в получившемся неравенстве случай равенства, мы получаем новые критерии сильной свободы мно-

жеств в терминах значения функции Гильберта в точке и экспоненты роста алгебр (Предложение 1.15, Теорема 1.16).

Как показал Д. Аник [17], над полем нулевой характеристики свойство конечного подмножества свободной алгебры быть сильно свободным алгоритмически не распознаваемо. Используя полученные критерии сильно свободных множеств, мы получаем (Теорема 1.17, Теорема 1.21), что над полем нулевой характеристики невозможно, вообще говоря, по заданным образующим и соотношениям стандартной алгебры определить, равна ли ее экспонента роста данному натуральному числу, равно как и определить, равно ли значение функции Гильберта алгебры в данной рациональной точке данному рациональному числу.

В Главе 2 мы описываем и изучаем общую схему, которая объединяет регулярные последовательности в коммутативной алгебре и сильно свободные множества — в некоммутативной: здесь предполагается, что основное поле имеет нулевую характеристику. В разделе 2.1 мы рассматриваем различные определения относительно свободных супералгебр в многообразиях (не)ассоциативных алгебр и убеждаемся, что именно такие алгебры описывал А. А. Бояркин [3] под названием кососвободных (это следует из Леммы 2.1). Используя некоторые его идеи, в следующем разделе 2.2 мы вводим общее понятие комплекса Шафаревича для многообразия, обобщающее как обычный комплекс Шафаревича, так и комплекс Козюля. В том же разделе мы исследуем вопрос о длине этого комплекса: оказывается, она зависит, главным образом, не от алгебры, а от многообразия. В частности, для ассоциативных многообразий этот комплекс конечен или бесконечен одновременно для всех конечно про-жденных алгебр этого многообразия — в зависимости от того, выполняется ли в многообразии стандартное тождество какого-нибудь порядка (Предложение 2.3).

В разделе 2.3 мы доказываем основное утверждение этой главы — общий вариант критерия полных пересечений ( Теорема 2.7). Он дает возможность определить понятие И^-регулярной последовательности для произвольного многообразия W. Простейшим вариантом такой последовательности служит подмножество системы порождающих относительно свободной супералгебры. Используя этот факт, мы в разделе 2.4 доказываем формулы для вычисления рядов Гильберта четных и нечетных частей относительно свободных супералгебр (в случае, когда четных порождающих не меньше, чем нечетных): в частности, когда

четный и нечетный ранги относительно свободной супералгебры совпадают, ряды Гильберта ее четной и нечетной частей также равны. В разделе 2.5 мы переносим эти результаты на случай свободных специальных йордановых супералгебр: поскольку специальные йордановы супералгебры не образуют многообразие, этот раздел показывает одно из возможных направлений дальнейшего развития теории.

В Главе 3 вскрывается одно из препятствий, которое не позволяет переносить "коммутативные" рассуждения, связанные с изучаемой тематикой, на все многообразия ассоциативных алгебр, за исключением многообразия Ass . А именно, в этих двух многообразиях, равно как и в многообразии Ved, ряд Гильберта свободного произведения алгебр однозначно определяется рядами Гильберта сомножителей. Оказывается, что аналог этого утверждения не имеет места ни для какого другого многообразия ассоциативных алгебр: соответствующая система контрпримеров строится в разделе 3.3. Тем не менее, как показано в разделе 3.4, для некоторых многообразий это утверждение все же имеет место, если ограничиться рассмотрением стандартных алгебр.

Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре, на семинарах по коммутативной алгебре, теории колец и компьютерной алгебре кафедры Высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, а также на Международной алгебраической конференции памяти А. Г. Куроша (Москва, 1998 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27], [28], [29], [30], [31], [32].

Автор хотел бы выразить благодарность своему научному руководителю, канд. физ.-мат. наук доценту Е. С. Голоду за ценные советы и постоянную поддержку, а так же А. В. Михалеву, В. Н. Латышеву, А. Я. Канелю-Белову и всем остальным участникам перечисленных семинаров за проявленное внимание.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пионтковский, Дмитрий Игоревич, 1998 год

Литература

[1] А.З. Ананьин, А.Р. Кемер, Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны, Сибирский матем. журнал, XVII (1976), 4, с. 723-730

[2] А.Я. Белов, О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр, Успехи мат. наук, 52 (1997), 2, с. 153-154

[3] A.A. Бояркин, Деформации и когомологии в многообразиях алгебр, Диссертация на соискание ученой степени к. ф.-м. н., М., 1977

[4] A.A. Бояркин, Расширения PI-алгебр, Мат. заметки, 40 (1986), 6, с. 705-712

[5] Н. Бурбаки, Гомологическая алгебра, Новосибирск, "Наука", 1987

[6] В.Е. Говоров, О градуированных алгебрах, Мат. заметки, 12 (1972), 2, с. 197-204

[7] Е.С. Голод, Некоммутативные полные пересечения и гомологии комплекса Шафаревича, Успехи мат. наук, 52 (1997), 4, с. 201-202

[8] Е.С. Голод, И.Р. Шафаревич, О башне полей классов, Изв. АН СССР, Сер. матем., 28 (1964), 2, с. 261-272

[9] К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов, Кольца, близкие к ассоциативным, М., "Наука", 1978

[10] А.Р. Кемер, Замечание о стандартном тождестве, Мат. заметки, 23 (1978), 5, с. 753-757

12

[13

14] С. Маклейн, Гомология, М., "Мир", 1966

15] В.А. Уфнаровский, Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Современная математика и её приложения, 57 (1990), с. 5-177

16

17

18

19

20

21 22 23

A.Р. Кемер, Многообразия и Ъ2-градуированные алгебры, Изв. АН СССР, сер. матем., 48 (1985), с. 1042-1059

E.H. Кузьмин, И.П. Шестаков, Неассоциативные структуры, Совр. пробл. матем. Фундам. направления, ВИНИТИ, 57 (1989), с. 179-266

B.Н. Латышев, Компьютерная алгебра. Стандартные базисы, М., МГУ, 1988

D. Anick, N on-commutative graded algebras and their Hilbert series, J. Algebra, 78 (1982), p. 120-140

D. Anick, Diophantine equations, Hilbert series, and undecidable spaces, Ann. Math., 122 (1985), p. 87-112

D. Anick, On the homology of associative algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 296 (1986), 2, p. 641-659

D. Anick, Inert sets and the Lie algebra associated to a group, J. Algebra, 111 (1987), p. 154-165

D. Anick, Generic algebras and CW-complexes, Proc. of 1983 Conf. on algebra, topol. and K-theory in honor of John Moore. Princeton Univ., 1988, p. 247-331

E.F. Assmus,. On the homology of the local rings, Illinois J. Math., 3 (1959), p. 187-199

S. Halperin, J.-M. Lemaire, Suites inertes dans les algèbres de Lie graduées, Math. Scand., 61 (1987), 1, p. 39-67

T. Josefiak, Tate resolutions for commutative graded algebras over a local ring, Fund. Math., 74 (1972), p. 209-231

[24] J.L. Koszul, Sur un type d'algèbres différentielles en rapport avec la transgression, Colloque de topologie, Brussels, 1950, p. 73-81

[25] R.P. Stanley, Hilbert function of graded algebras, Adv. Math., 28 (1978), p. 57-83

[26] J. Tate, Homology of Noetherian rings and local rings, Illinois J. Math., 1 (1957), p. 14-25

Публикации по теме диссертации

[27] Д. И. Пионтковский, О свободных произведениях PI-алгебр, Kurosh Algebraic Conference'98. Abstracts of Talks, M., МГУ, 1998, с. 199200

[28] Д. И. Пионтковский, Гомологии и ряды Гильберта PI-алгебр, там же, с. 200-201

[29] Д. И. Пионтковский, О рядах Гильберта и соотношениях в алгебрах., Успехи мат. наук, 53 (1998)7с. 2.5?—2.Ç&

[30] Д. И. Пионтковский, О рядах Гильберта и гомологиях Р1-алгебр, Рукопись, деп. в ВИНИТИ, А1 -Ъ<ЬЬ рГ 12 2.0с. Мат. сборник, 189(1998), 11,с.\0Ъ~\Ю

[31] Д. И. Пионтковский, О свободных произведениях в многообразиях

ассоциативных алгебр, Рукопись, деп. в ВИНИТИ, aÎ-2.%9 от \\.\0M, 15с.

[32] Д. И. Пионтковский, Ряды Гильберта и соотношения в ассоциативных алгебрах, Рукопись, деп. в ВИНИТИ, 8 ОТ

20 с.