Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Игнатушина, Инесса Васильевна

• Игнатушина, Инесса Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Игнатушина, Инесса Васильевна

Введение.

Глава I. Трактовка основных понятий математического анализа у Леонарда Эйлера.

Глава И. Формирование теории гамма-функции в исследованиях Л. Эйлера

§ 1. Понятие гамма-функции и некоторые её свойства.

§ 2. Возникновение понятия гамма-функции.

§ 3. Некоторые результаты Л. Эйлера по теории гамма-функции.

§ 4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, относящихся к теории гамма-функции.

Глава III. Теория бета-функции в исследованиях Л. Эйлера

§ 1. Возникновение начал теории бета-функции в работах

Л. Эйлера.

§ 2. Обзор результатов Л. Эйлера по теории бета-функции.

§ 3. Теория бета-функции в "Интегральном исчислении"

Л. Эйлера.

§ 4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, в которых рассматриваются вопросы теории бета-функции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах»

Великому ученому Леонарду Эйлеру (1707-1783), одному из основоположников современной математики, принадлежит решающая роль в формировании основ математического анализа и создании ряда его ветвей, в том числе, некоторых разделов теории специальных функций. В частности, им были введены понятия функций гамма (Г) и бета (В) и получены важные результаты относительно свойств этих функций, которые находят широкое применение в различных отраслях современной науки.

В обзорах по истории математики [5, 6,31,32,60, 88,92,136, 151,215 и др.] всегда отмечаются заслуги Эйлера в становлении теории специальных функций. Содержание его мемуаров, в которых речь идет о функциях гамма и бета, рассматривалось во вводных статьях Г. Фабера и А. Крацера [199,200] к соответствующим томам полного собрания сочинений JI. Эйлера ("Leonhardi Euleri opera omnia"), в магистерской диссертации А. Жбиковского [30] и в работах по истории теории специальных функций И.А. Головинского [11,12, 13], А.Н. Гусева [19,20], В.В. Гуссова[21,22,23], Т Дэйвиса [155], А.И. Курдюмовой [43,44], Н. Нильсена [208] и др. Однако многие вопросы, касающиеся возникновения и ранней истории теории гамма- и бета- функций, остались неизученными.

Настоящая диссертация посвящена творчеству Эйлера в указанной области математического анализа. Помимо мемуаров, вошедших в "Opera omnia" (тт. 14-19, 23, 28), и опубликованной переписки ученого, при исследовании были также использованы неопубликованные материалы из его записных книжек [94], которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ПФА РАН, фонд 136, опись 1, №№ 129-140).

В эти книжки (двенадцать тетрадей разного объема) Эйлер на протяжении всей своей жизни вносил заметки, отражающие ход его творческой работы в различных областях науки и прежде всего в математике [35,62,64,66,67, 71,72,75, 89, 141, 157]. Поэтому их исследование дает возможность проследить развитие мысли Эйлера при решении той или иной проблемы и уточнить датировку его научных открытий. В диссертации приводится анализ записей, касающихся функций гамма и бета.

Актуальность темы исследования определяется важностью для истории математики изучения научного наследия Эйлера, особенно материалов, до сих пор остающихся неопубликованными.

Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и систематизации полученных Эйлером результатов, которые относятся к теории функций гамма и бета.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- изучение опубликованных сочинений Эйлера, касающихся теории функций гамма и бета: "Дифференциальное исчисление" [126], "Интегральное исчисление"[127] (т. I-II), "Механика, т.е. наука о движении, изложенная аналитическим методом" [128], мемуары 1 Е19, Е43, Е47, Е59,Е60, Е122,Е123, Е254, Е302, Е313, Е321, Е352, Е368, Е393, Е421, Е432, Е499, Е583, Е588, Е594, Е629,Е640, Е652, Е661, Е662, Е663, Е675, Е681, Е745, Е768, Е816, опубликованные в "Opera omnia";

- изучение переписки Эйлера [7,36,38,42,57, 64, 122, 123, 134, 146, 157, 190, 192, 196] с учеными (Хр. Гольдбахом , И. Бернулли, Д. Бернулли , Дж. Стерлингом ,

Ж. Лагранжем, Ф. Ноде, К. JT. Г. Элером) в той части, которая относится к теории функций гамма и бета;

- отбор и классификация заметок из записных книжек Эйлера, имеющих отношение к рассматриваемой теории; Обозначение мемуаров приведено в соответствии со списком Г. Энестрёма, опубликованным в [158].

- анализ содержания неопубликованных заметок Эйлера и их сопоставление с печатными работами и перепиской;

- выяснение применявшихся Эйлером методов решения задач, связанных с функциями гамма и бета.

Метод исследования , применявшийся в диссертации, основан на историко-научном и математическом анализе оригинального текста опубликованных сочинений Эйлера и неопубликованных заметок из его записных книжек.

Научная новизна работы определяется, во-первых, постановкой вопроса, до сих пор не получившего достаточного освещения в историко-математической литературе, и во-вторых, тем, что объектом исследования являются неопубликованные заметки из записных книжек Эйлера и его мемуары, хотя и опубликованные в "Opera omnia", но малоизученные.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в том, что они могут быть использованы:

1) при продолжающемся изучении научного наследия Эйлера;

2) при исследовании возникновения и развития теории специальных функций;

3) при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики в педагогическом вузе.

Основные положения, выносимые на защиту:

- выяснение роли Эйлера в создании теории специальных функций;

- установление на основании изучения печатных трудов, переписки и записных книжек Эйлера исходных моментов формирования теории функций гамма и бета;

- обзор основных результатов, полученных Эйлером в теории функций гамма и бета.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- объединенный Московский семинар по истории и методологии математики и механики (Москва, февраль, ноябрь, 2002);

- научная конференция "Петербургская математическая школа в период реформ XIX века" (Санкт-Петербург, сентябрь, 2001);

- межвузовский семинар по истории математики Пермского государственного университета (Пермь, апрель, 2001);

- IV международная школа-семинар, посвященная 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова (Ярославль, апрель, 2003);

- XXIII научно-практическая конференция преподавателей Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, апрель, 2001);

- семинар по истории математики Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, 2001-2004).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 153 страницы текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной русской и иностранной литературы (218 наименований) и приложения. В приложении приводятся копии страниц записных книжек Эйлера, письма Эйлера к И. Бернулли от 20.6.1740 , выдержки из мемуара Эйлера Е368 ("О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у -1 -2-3-.-Д: 1769г. [189]) и из гл. IX первого тома "Интегрального исчисления" [127].

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Игнатушина, Инесса Васильевна

Выводы

В ходе проведенного исследования получены следующие выводы:

1. Г- и В- функции были введены в науку JI. Эйлером, который заложил основы теории этих функций в действительной области;

2. Факты, на которых базировалась теория Г- и В- функций, накапливались у Эйлера при решении разнообразных задач математики и механики;

3. Эйлер получил выражения функций Г и В как в интегральной форме, так и в виде бесконечных произведений. Он нашел разложение в ряды функций \х\Г(1+х), InB(a,b) и их производных;

4. Для интегралов, выражающих Г- и В- функции, у Эйлера имеются утверждения, которые по сути являются критериями сходимости этих интегралов в действительной области;

5. Эйлер установил зависимость между Г- и В- функциями, а также связь этих функций с тригонометрическими функциями. Он получил формулы, показывающие связь функции гамма с функцией дзета и функциями Бесселя, а бета-функции — с гипергеометрической функцией;

6. Эйлером проведено достаточно полное исследование функции Г(1+х) в действительной области и построен её график для хе(-1;+ос)\

7. Эйлер установил ряд свойств В-функции в действительной области, указал алгоритм вычисления её значений для положительных рациональных аргументов и сделал попытку распространить эту функцию в комплексную область.

Заключение

Полученные Эйлером результаты положили начало теории специальных функций. Введенные им дзета-, гамма-, бета- функции, а также цилиндрические функции п-то порядка первого и второго рода являются наиболее ранними примерами неэлементарных функций. В историко-математической литературе освещен вопрос о роли Эйлера в создании теории дзета-функции [15 ,16 ] и цилиндрических функций [21,22,24]. Проведенный нами анализ его работ, касающихся Г- и В- функций, позволяет заключить, что Эйлер рассматривал эти функции в действительной области и сделал попытку распространить бета-функцию на случай комплексного переменного.

Факты, которые легли в основу этой теории, накапливались у Эйлера при решении разнообразных задач математики и механики. Важную роль при этом сыграло исследование вопросов об интегрируемости функций, интерполировании последовательностей, решении некоторых видов дифференциальных уравнений. При построении теории Г- и В- функций Эйлер использовал различные методы, в частности, разложение функций в ряды, бесконечные произведения и цепные дроби, которые в его исследованиях находились в тесной взаимосвязи. Такое разнообразие используемых подходов позволяло получать новые пути решения различных задач. Большинство утверждений относительно функций Г и В Эйлер старался доказать несколькими способами. Это служило для него подтверждением правильности результата.

На основе изучения опубликованных работ Эйлера, его переписки и записных книжек было установлено, что теории Г- и В- функций разрабатывались им параллельно, взаимно дополняя друг друга.

Все исследования Эйлера по этой тематике можно условно разделить иа два периода. В течение первого периода в ходе решения задач математического анализа и механики накапливались отдельные факты, касающиеся Г- и В- функций; для теории Г-функции этот период охватывает 1725-1739 гг., для теории В-функции 1729-1768 гг. Во второй период, который продолжался до 1783г., Эйлер обобщил и систематизировал полученные факты, создав основы теории Г- и В- функций в действительной области и рассмотрел задачу, где В есть функция комплексного переменного.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Игнатушина, Инесса Васильевна, 2004 год

1. Артин Е. Введение в теорию гамма-функции / Пер. с нем. Д.А. Райкова. M.-J1., Гостехиздат, 1934. - 36 с.

2. Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Леонард Эйлер // Историко-математические исследования. М., 1954. Вып. VII. С. 453-512.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Пер. с англ. Н.Я. Виленкина. М., 1965. 294 с.

4. Бете Г.А., Бечер Р.Ф. Физика ядра / Пер. с англ. Г.Д. Латышева. Харьков., 1938. Ч. I. -251 с.

5. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Ред. К.А. Рыбников; пер. с фр. И.Г. Башмаковой. М., 1963 292 с.

6. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Ред. А.П. Юшкевич. М., 1966. 467 с.

7. Винтер Э., Юшкевич А.П. О переписке Л.Эйлера с Петербургской Академией наук с 1726 по1774 г. (К 250-летию Академии наук СССР) // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1973. Вып 3(44). С.14-19.

8. Выгодский М.Я. Вступительное слово к "Дифференциальному исчислению" Л. Эйлера // Л. Эйлер. Дифференциальное исчисление. М.-Л., 1949. С.5-34.

9. Гельфонд А.О. О некоторых характерных чертах Л. Эйлера в области математического анализа и его "Введение в анализ бесконечно малых" // Успехи математических наук. М.,1957. Т. 12. Вып. 4. С.29-39.

10. Головинский И.А. Развитие исчислений конечных разностей в XVIII в. первой трети XIX в. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.,1978.

11. Головинский И.А. Развитие исчислений конечных разностей в XVIII в. первой трети XIX в. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М.,1978.

12. Головинский И.А. Об интерполировании последовательностей у Валлиса и Эйлера// История и методология естественных наук. М., 1978. Вып.20. С.62-68.

13. М.Головинский И.А. Из истории интерполяционных рядов // Историко-математические исследования. М.,1977. Вып. XXII. С. 65-81.

14. Горлова В.Д. Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел. Элементы теории дзета-функции в его записных книжках. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Оренбург, 1998.

15. Горлова В.Д. Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел. Элементы теории дзета-функции в его записных книжках. Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. Оренбург, 1998.

16. Григорьян А.Т. Л. Эйлер (к 250-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1957. Т. 17. С.312-319.

17. Григорьян А.Т., Ковалев Б.Д. Даниил Бернулли. М., 1981. 314 с.

18. Гусев А.Н. Бесконечные ряды у Л. Эйлера. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Кострома, 1963.

19. Гусев А.Н. Бесконечные ряды у Л. Эйлера. Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. Кострома, 1963.

20. Гуссов В.В. Из истории трансцендентных функций в России и СССР. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1950.

21. Гуссов В.В. Из истории трансцендентных функций в России и СССР. Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. М., 1950.

22. Гуссов В.В. Работы русских ученых по теории гамма-функции // Историко-математические исследования. М., 1952. Вып. V. С.421-472.

23. Гуссов В.В. Развитие теории цилиндрических функций в России и СССР// Историко-математические исследования. М., 1953. Вып. VI. С.355-475.

24. Демидов С.С. О понятии решения дифференциальных уравнений с частными производными в споре о колебании струны в XVIII в. // Историко-математические исследования. М., 1976. Вып. XXI. С. 158-181.

25. Демидов С.С. Развитие исследований по уравнениям с частными производными первого порядка в XVIII-XIX вв. // Историко-математические исследования. М., 1980. Вып. XXV. С. 71-103.

26. Демидов С.С. "Закон непрерывности" Г.В. Лейбница и понятие непрерывности функции у Л. Эйлера // Историко-математические исследования. М.,1990. Вып. XXXII-XXXIII. С. 34-39.

27. Демидов С.С. Феномен непрерывности функции от Г.-В. Лейбница до П.А. Флоренского // Нариси з юторип математики i математичного природознавства. Пращ 1нституту математики НАН УкраТни Математика та iY застостовання. Кшв, 2001. Т. 39. С.21-30.

28. Дорофеева А.В. Формирование понятия непрерывной функции // История и методология естественных наук. М.,1971. Вып. XI. С.37-50.

29. История отечественной математики с древнейших времен до конца XVIII в., T.I / Ред. Штокало И.З. Киев, 1968. 492 с.

30. Кановей В.Г. О корректности Эйлерова метода разложения синуса в бесконечное произведение//Успехи мат. наук. Вып. 4(262), М.,1983.Т.43. С.57-81.

31. Кановей В.Г. О суммировании JI. Эйлером ряда знакочередующихся факториалов // Историко-математические исследования. М., 1993. Вып.34. С. 16-46.

32. Кноблох Э. Математические записные книжки Леонарда Эйлера // Развитие идей Л.Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.П.Юшкевич. М., 1988. С.102-121.

33. Копелевич Ю.Х., Красоткина Т.А. Эпистолярное наследие Леонарда Эйлера в архивах СССР// Вестник истории мировой культуры. М.,1957,№3. С.108-114.

34. Крамар Ф.Д. Вопросы обоснования анализа в трудах Валлиса и Ньютона //

35. Историко-математические исследования. М.,1950. Вып. III. С. 486-508.37а. Крамар Ф.Д. Интеграционные методы Джона Валлиса// Историко-математическиеисследования. М.,1961. Вып. XIV. С. 11-100.

36. Красоткина Т.А. Переписка Л.Эйлера и Дж. Стерлинга // Историко-математические исследования. М.,1957. Вып. X. СЛ17-158.

37. Кропотов А. И. Николай Яковлевич Сонин. М., 1967. 135 с.

38. Крылов А.Н. Леонард Эйлер // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения / Ред. М.А. Лаврентьев, А.П. Юшкевич, А.Т. Григорьян. M.-JI., 1935. С. 1-28.

39. Кузнецов Д.С. Специальные функции. Изд.2. М., 1965. 419 с.

40. Кузнецова-Фетисова В.В. Вопросы расходимости рядов в переписке математиков XVIII в. // Вопросы истории естествознания и техники. М.1986. Вып. 13. С.441-475.

41. Курдюмова А.И. Развитие теории гамма-функции после Эйлера. Дисс. канд. физ.-мат. наук., М., 1975.

42. Курдюмова А.И. Развитие теории гамма-функции после Эйлера. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук., М., 1975.

43. Курдюмова А.И. Экстраординарные интегралы Коши // Историко-матсматические исследования. М.,1977. Вып. XXII. С.82-84.

44. Летников В. А. Об определенных интегралах, содержащих функции, удовлетворяющие гипергеометрическому уравнению // Математический сборник. T.XI. 1883. С. 327-414.

45. Лихин В.В. Теория функций и чисел Бернулли и её развития в трудах отечественных математиков//Историко-математические исследования. М.,1959. Вып. XII. С.59-134.

46. Лихин В.В. Исследования Эйлера и Лагранжа по теории конечных разностей // История и методология естественных наук. М. 1966. Вып. V. С. 35-44 .

47. Лихин В.В. Первый период развития теории суммирования функций // Вопросы истории естествознания и техники. М. 1969. Вып. 1(26). С.27-30.

48. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений / Ред. В.Ф. Каган. T.V. М.-Л., 1951. 499 с.

49. Лузин Н.Н. Ньютонова теория пределов//Исаак Ньютон( 1648-1727). Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения / Ред. С.И.Вавилов. М.-Л., 1943. С.53-74.

50. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление // Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. Ill. М. 1959. С.292-318.

51. Лузин Н.Н. Функция//Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. Ill. М. 1959. С.319-341.

52. Лузин Н.Н. Эйлер (По поводу 150-летия со дня смерти) // Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. Ill. М. 1959. С.351-372.

53. Лунц Г.Л. О работах Н.И. Лобачевского по математическому анализу// Историко-математические исследования. М.-Л. 1949, Вып. И. С. 10-71.

54. Лурье С.Я. Эйлер и его "исчисление нулей"// Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.-Л., 1935, С.50-79.

55. Лурье С.Я. Неопубликованная научная переписка Леонарда Эйлера // Леонард Эйлер. М.-Л., 1935. С.111-162.

56. Лурье С.Я. Вступительная статья в кн. Л. Эйлера " Введение в анализ бесконечно малых". T.I. М.-Л., 1936. С.5-6.

57. Маркушевич А.И. Основные понятия математического анализа и теории функций в трудах Эйлера // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения. М., 1958, С.98-132.

58. Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л., 1951. 127с.

59. Маркушевич А.И. Некоторые вопросы истории теории аналитических функций // Историко-математические исследования. М., 1980. Вып. XXV. С.52-70.

60. Матвиевская Г.П. О неопубликованных рукописях Л. Эйлера по диофантову анализу // Историко-математические исследования. М., 1960. Вып. XIII. С. 107-186.

61. Матвиевская Г.П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент, 1967.241 с.

62. Матвиевская Г.П. О рукописном наследии и записных книжках Эйлера // Развитие идей Л. Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.ПЛОшкевич. М., 1988. С. 122-129.

63. Матвиевская Г.П., Ожигова Е.П., Невская Н.И., Копелевич Ю.Х. Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел. СПб., 1997. 254 с.

64. Матвиевская Г.П., Горлова В.Д. Записные книжки Эйлера: заметки, относящиеся к аналитической теории чисел, рядам и цепным дробям // Историко-математические исследования. М., 1999. Вып.3(38). С.315-361.

65. Матвиевская Г.П., Ожигова Е.П. Рукописные материалы по теории чисел// Развитие идей Л. Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.П.Юшкевич. М.,1988. С. 130-138.

66. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Ред. Л.Н.Колмогоров и А.П. Юшкевич. М., 1981. 269 с.

67. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. М., 1974. 423 с.

68. Мельников И.Г. Леонард Эйлер о математической строгости // Историко-математические исследования. М.,1966. Вып.ХУИ. С.289-298.

69. Михайлов Г.К. Записные книжки Эйлера в Архиве АН СССР // Историко-математические исследования. М., 1957, Вып.Х. С.67-94.

70. Михайлов Г.К., Смирнов В.И. Неопубликованные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения. М., 1958, С.17-49.

71. Мордухай-Болтовской Д.Д. Вводная статья // И. Ньютон. Математические работы. M.-JI., 1937. С. VII-XV.

72. Остроградский М.В. О функции гамма 1859. /Публикация и комментарии И. Б. Погребысского//Историко-математические исследования. М. 1961. Вып. XIV. С. 529538.

73. Отрадных Ф.П. Математика XVIII в. и академик Леонард Эйлер. М., 1954. 40 с.

74. Очерки по истории математики / Под. ред. Б.В. Гнеденко. М.: МГУ, 1997. 496 с.

75. Павлидис (Горлова) В.Д. Рекуррентные ряды в сочинениях и записных книжках Л.Эйлера // Из истории математики XVIII в. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера. Оренбург, 2000. Вып.1. С.22-37.

76. Павлидис (Горлова) В.Д. Непрерывные дроби в исследованиях Л.Эйлера// Из истории математики XVIII в. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера. Оренбург, 2001. Вып.2. С. 10-50.

77. Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. М., 1966.

78. Петрова С.С. Формула суммирования Эйлера-Маклорена и асимптотические ряды // История и методология естественных наук. М., 1989. Вып. XXXVI. С. 103-108.

79. Петрова С.С. О суммировании Эйлером ряда // Вопросы истории естествознания и техники. М.,1969. Вып. 1(26). С. 30-33.

80. Петрова С.С. О суммировании расходящихся рядов у Ньютона// Проблемы истории математики и механики. М.,1972. Вып. 1. С. 10-17.

81. Петрова С.С., Соловьев А.Д. Об истории создания метода перевала// Историко-математические исследования. М., 1994. Вып. XXXV. С. 148-164.

82. Петрова С.С., Демидов С.С. Развитие математического анализа// Очерки по истории математики. / Ред. Гнеденко Б.В. М.,1997. С.71-93.

83. Рукописные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР. Научное описание / Сост. Ю. X. Копелевич, М.В. Крутикова, Г.К. Михайлов, Н.М. Раскин. М.-Л., 1962.

84. Рыбников К.А. О так называемых творческих и критических периодах в истории математического анализа//Историко-математические исследования. М., 1955. Выи. VII. С. 643-655.

85. Рыбников К.А. О роли алгоритмов в истории обоснования математического анализа // Труды Института истории естествознания и техники. М.1957.Т. 17, С.287-299.

86. Рыбников К.А. История математики. М.,ТЛ., 1960, 190 е., Т.Н., 1974. 334 е.; 2-е издание М., 1974. - 455 е.; 3-е издание М., 1994. - 496 с.

87. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. 3-е, переработ, изд. M.-JI., 1951.

88. Санкт-Петербургский филиал Архива РАН. Ф. 136, on. 1, №№ 129-140.

89. Симонов Н.И. О научном наследии JI. Эйлера в области дифференциальных уравнений// Историко-математические исследования. М.,1954. Вып.УИ. С.513-595.

90. Симонов Н.И. Развитие теории дифференциальных уравнений Леонардом Эйлером. Дисс. докт. физ.-мат. наук., М., 1956.

91. Симонов Н.И. Развитие теории дифференциальных уравнений Леонардом Эйлером. Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук., М., 1956.

92. Симонов Н.И. Об исследованиях Л. Эйлера по интегрированию линейных уравнений и систем линейных уравнений с частными производными// Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. X. С. 327-362.

93. Симонов Н. И. Об исследованиях Л. Эйлера по обыкновенным дифференциальным уравнениям математической физики// Труды Института Истории Естествознания и Техники. М.,1959. Т. 28. С. 138-187.

94. ЮО.Слуцкий Е.Е. О таблицах обратной неполной бета-функции // Труды ип-та матем. и мех.

95. АНУзб. ССР. Вып.1, 1946. Ю1.Слуцкий Е.Е. Таблицы для вычисления неполной Г-функции и функции вероятности . М.-Л.,1950.

96. Стеклов В.А. Замечания о формулах суммирования Эйлера и Буля // Сообщ. Харьк. матем. общ., серия 2, т. VIII, №2-5. Харьков, 1902.

97. Юб.Тимченко И.Ю. Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций. Одесса, 1899. 655 с.

98. Тюлина И. А. Жозеф Луи Лагранж. М., 1977. 221 с.

99. Ю8.Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. II./ Пер. с англ. и ред. Ф.В. Широкова. М., 1963. 515 с.

100. Фихтенгольц Г.М. О преобразовании переменных в кратных интегралах // Историко-математические исследования. М., 1952. Вып. V. С. 241-268.

101. Ю.Фихтенгольц Г.М. Исторический очерк //Основы математического анализа. Т.2. М., 1968. С.424-455.

102. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. СПб., 1997. 795 с.

103. Франкль Ф.И. Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений в частных производных// Историко-математические исследования. М., 1954. Вып. VII. С. 596-624.

104. Харди Г. Расходящиеся ряды / Пер с англ. Д.А. Райкова. Предисл. С.Б. Стечкина. (Две первые главы содержат исторические сведения). М.,1951. 504 с.

105. Хованский А.Н. Работы Л.Эйлера по теории цепных дробей // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. X. С. 305-326.

106. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках / Пер. с нем. П.Новикова; обработка, примечания и предисл. М.Я. Выгодского. М.-Л., 1938. 456 с.

107. Черток С.И. Развитие теории рядов в России в XVIII-XIX вв. Дисс. канд. физ-мат. наук. Гомель, 1991.

108. Черток С.И. Развитие теории рядов в России в XVIII-XIX вв. Автореф. дисс. канд. физмат. наук. Гомель, 1991. 118.Чириков М.М. Из истории асимптотических рядов// Историко-математические исследования. М., 1960. Вып. XIII. С. 441-472.

109. Шостак Р.Я. Алексей Васильевич Летников // Историко-математические исследования. М., 1952. Вып.У. С. 163-238.

110. Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.-Л„ 1935. 283 с.

111. Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения / Ред. М.АЛаврентьев, А.П. Юшкевич, А.Т. Григорьян. М. 1958. 610 с.

112. Эйлер Л. Письма к ученым / Ред. Смирнов В.И. М.-Л., 1967. 397 с. 123.Эйлер Л. Переписка. Аннотированный указатель / Ред. В.И. Смирнов и А.П.Юшкевич. М., 1967.-391 с.

113. Юшкевич А.П. Лейбниц и обоснование исчисления бесконечно малых// Успехи математических наук. М., 1948. Т.З. Вып. 1(23). С.150-165.

114. Юшкевич А.П. Эйлер и русская математика в XVIII в. // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1949, Т. 3. С. 45-116.

115. Юшкевич А.П. Жизнь и математическое творчество Л. Эйлера // Успехи математических наук. М.,1957. Т. 12. Вып. 4. С.3-28.

116. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер о квадратуре круга // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. X. С. 159-210.

117. Юшкевич А.П., Винтер Э. О переписке Леонарда Эйлера с Петербургской Академией наук в 1741-1757 гг. // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1960, Г. 34. С. 373-411.

118. Юшкевич А.П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. М., 1966. Вып. XVII. С. 123-150.

119. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М., 1968. 591 с.

120. Юшкевич А.П. О революции в математике нового времени // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1969. Вып. 2(27). С. 14-22; Вып. 4(33). С. 3-13.

121. Юшкевич А.П. Понятие функции у Кондорсе // Историко-математические исследования. М., 1974. Вып. XIX. С. 158-166.

122. Юшкевич А.П. К истории спора о колеблющейся струне // Историко-математические исследования. М., 1975. Вып. XX. С. 221-231.

123. Юшкевич А.П. О неопубликованной рукописи JI. Эйлера "Дифференциальное исчисление"//Историко-математические исследования. М., 1983. Вып. XXVII. С. 79-87.

124. Юшкевич А.П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. М., 1986. Вып. XXX. С. 11-80.

125. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Л.Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.П. Юшкевич. М., 1988. С. 1546.

126. Юшкевич А.П. О возникновении понятия об определенном интеграле Коши // Математика в её истории. М., 1996. С. 115-165.

127. Юшкевич А.П., Григорьян А.Т. Леонард Эйлер и его научная переписка// Вопросы истории естествознания и техники. М., 1975. Вып.2(51). С.69-77.

128. Юшкевич А.П., Копелевич Ю.Х. Христиан Гольдбах. 1690-1764. М., 1983. 221 с.

129. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. М., 1983. 45 с.

130. Янке Е., Эшде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М., 1968.-344 с.

131. Binet J. M£moire sul les integrates Euleriennes., Comptes rendus Ac. Sc., IX, Paris, 1839.

132. Cantor M. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1897. Bd.1-4.

133. Cauchy A. L. Memoires sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires. Paris ,1825.

134. Cauchy A. L. Sur un nouveau genre d'integrales // Exercices de Mathematiques. Т. I. Paris,1826.

135. Cauchy A. L. Memoire sur diverses formules relatives a la theorie des integrales definies // Journ. Ec. Pol., XVII, Paris, 1841.

136. Davis P. J. Leonhard Euler's integral profile of the Gamma funcion // Amer. Math. Mon. v.66, № 10,1959, P. 849-869.

137. Detlef L. On the historical development of infinitesimal mathematics // Amer. Math. Mon.-1997, №5, P.447-455; №7, P. 654-663.

138. Enestrom G. Bericht an die Eulerkommission der Schweizerischen naturforschender Gesellsschaft iiber die Eulerschen Manuskripte der Petersburger Akademie // Jahresbericht der Deutchen Mathematiker-Vereinigung. Leipzig, 1913, Bd.22. S. 191 -205.

139. Enestrom G. Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers //Jahresbricht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Erganzungsbande. Leipzig, 1909.Bd.IV. S. 1-388.

140. Euler L. De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraici dari nequent 1738.//Opera omnia. Ser. I. VoI.14.1925.S.l-24. (El9).

141. EuIer L. De progressionibus harmonicis observationes 1740.// Opera omnia. Ser. I. Vol.l4.1925.S.87-100.(E43).

142. Euler L. Inventio summae cuisques ex dato termino generali 1741.// Opera omnia. Ser. I. Vol.14.1925. (E47).

143. EuIer L.De productis ex infinitis factoribus ortis 1750.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 14.1925.S.260-289. (E122).

144. Euler L. De fractionibus continuis observationes1750.// Opera omnia. Ser. I. Vol.14.1925. S.32-81. (E123).

145. Euler L. Sur l'avantage du hanquier au jeu de Pharaon1766.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 7. 1923. S.144-164. (E313).

146. Euler L. De summis serierum numeros Bernoullianos involventium 1770.// Opera omnia. Ser. I. Vol.15.1927. S.91-130. (E393).

147. Euler L. Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques 1768.//Opera omnia. Ser. I. Vol.15. 1927. S. 70-90. (E352).

148. Euler L. Exercitationes analyticae1773.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 15.1927.S. 131-167. (E432).

149. EuIer L. De numero memorabili in summatione progressionis harmonicae naturalis occurrente1785.//Opera omnia. Ser. I. Vol.15.1927.(E583).

150. Euler L. De termino generali serierum hypergeometriearium1793.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 16a. 1935.S. 139-162.(E652).

151. Euler L. Variae considerationes circa series hypergeometricas1794J// Opera omnia. Scr. I.S

152. Vol. 16a. 1935.S.178-192.(E661).

153. Euler L. Plenior expositio serierum illarum memorabilium quae ex unciis potestatum binoniii formatur 1794.//Opera omnia. Ser. I. Vol.l6a. 1935. S.193-234. (E663).

154. Euler L. De unciis potesta binomii earumque interpolatione1824.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 16 6.1935. S.241-266. (E 768).

155. Euler L.De fractionibus continuis Wallisiil 815.// Opera omnia. Ser. I. Vol.166. 1935. S.178-199. (E745).m

156. Euler L. Evolutio formulae integralis jx f~xdx(bc)" integratione a valore x=0 ad x=/extensa1772.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 17. 1914. S.316-357. (E421).Г

157. Euler L. Observationes circa integralia formularum ^x^dxQ-x")" posito postintegrationem x=l 1766.//Opera omnia. Ser. I. Vol.17. 1914. S.268-288. (E321).

158. Euler L.De expressione integralium per factores 1756.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 17.1914. S.233-267. (E 254).

159. Euler L.Theoremata circa reductionem formularum integralium ad quadraturam circuli 1743.//Opera omnia. Ser. I. Vol.17. 1914. S.l-33. (E59).

160. Euler L.De inventione integralium, si post integrationem variabili quantitati detcrminatus valor tribuatur 1743.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 17.1914. S. 129-171.(E60).t dxlx

161. Euler L. De integratione formulae I , -,abx=Q adx=l extensa 1776.// Opera omnia.1. V(1-xx)

162. Ser. I. Vol.18.1920. S. 3-28. (E499).f xm dx

163. Euler L. Investigatio formulae integralis J--—, casu quo post integrationem statuitur1. U+**)x=a> 1785. //Opera omnia. Ser. I. Vol.18.1920. S.2-54. (E588).

164. EuIer L. Methodus inveniendi formulas integrales, quae certis casidus datam inter se teneant rationem, ubi simul methodus traditur fractiones continuas summandi 1785. //Opera omnia. Ser. I. Vol.18.1920. S.209-219. (E594).r x^dx

165. Euler L. Comparatio valorum formulae integralis , = a termino x=0 usque ad x=l3Щ-х")"-4extensae 1789.// Opera omnia. Ser. I. Vol.l8.1920.S.392-423. (E640).г x^dx

166. Euler L. Additamentum ad dissertationem de valorum formulae integralis . = abx=0 ad x=l extensae 1789.// Opera omnia. Ser. I. Vol.l8.1920.S.424-434.

167. Euler L. Evolutio formulae integralis jflk^ * ■ + -j^j a termino x=0 usque ad x=J extensae1789.//Opera omnia. Ser. I. Vol.18.1920. S. 61-74. (E629).

168. Euler L. Considerations sur quelques formules integrales dont les valeurs peuvent etre exprimees en certains cas par la quadrature du cercle 1862.// Opera onmia. Ser.I. Vol.19. 1932.S.439-490. (E816)

169. Euler L. De valoribus integralium a termino variabilis x=0 usque ad x=oo extensorum 1794.// Opera omnia. Ser. I. Vol.19. 1932. S. 217-227. (E675).

170. EuIer L. De vero valore formulae integralis a termino x=0 usque ad terminum x=l extensae 1794.//Opera omnia. Ser. I. Vol.19.1932. S.63-83.(E662).

171. Euler L.Specimen aequationum diflferentialium indefiniti gradus earumquc intcgrationis 1794.// Opera omnia. Ser. I. Vol.23. 1938. S.281-294. (E681).

172. Euler L. De curvahypergeometrica hac aequatione expressa у = 1 -2-3-.-X 1769.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 28.1955.S.6-98. (E368).

173. Euler L. Briefwechsel // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. IV.A.:Commercium epistolieum. Vol.II. Basel, Boston, Berlin, 1980.

174. Euler L. De motu vibratorio tympanorum 1766.// Opera omnia. Ser. II. Vol.10. 1947. S. 243260.Leipzig, Berlin. (E302).

175. Fuss P. Correspondanee mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIII-eme sieele. СПб., 1843. Т. I-II.

176. Gauss C. F. Disquisitiones generales circa seriem infinitam.1812. Werke, III, Gottingen, 1876.

177. Goldbach C. De terminis generalibus serierum 1728.// Comment. Act. Acad.sci. Imp.Petrop. 1732. T.3. P. 164-173.

178. Hankel H. Die Eulerschen Integrale bei unbeschrankter Variability des Arguments. Diss. Leipzig 1863 //Zeitschrift fur Math, und Physik. 1864. Bd. 9. P. 1-21.

179. Ju$kevic A.P., Winter E. Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel 1729-1764. Berlin. Akademie-Verlag, 1965.

180. Kramp C. Analyse des refractions astronomiques et terrestres, Leipzig, 1798, Strassburg, 1799.

181. Kramp C. Memoire sur les facultes numeriques. Annales de Mathematiques pures et appliques. T.III. Nismes, 1812-13.

182. Krazer A, Faber G. Obersicht Uber die Bande 14,15,16,16* der ersten Serie // Opera omnia Ser. I. Vol. 16 б. § II Interpolation. Die Gammafunktion. Die Eulershe Konstante. Basileae (Basel), 1935. S.XL-LXXIII.

183. Krazer A, Faber G. Obersicht Qber die Bande 17,18,19 der ersten Serie // Opera omnia Ser. I. Vol. 19, §V Betafiinktionen. S.XLVII-LVII, §VI Gammafunktion. S.LVIII-LXV. Turici (ZUrich), 1932.

184. Laplace P.S. Memoire sur la probabilite des causes par evenements. Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, 1774.

185. Laplace P.S. Memoire sur les probabilites. Mem. Ac. Paris, 1780.

186. Laplace P.S. Theorie analytique des probabilites. Paris, 1814.

187. Legendre A.M. Exercices de calcul integral. Т. I. Paris, 1811.

188. Legendre A.M. Exercices de calcul integral. Т. II. Paris, 1817.

189. Legendre A.M. Traite des fonctions elliptiques et des integrates Euleriennes. Т. II, Paris,1826.

190. LiouviIle J. Memoire sur l'usage Ton peut faire.// Journal fur die reine und angew. Math., XIII, Berlin, 1835.

191. Nielsen N. Handbuch der Teorie der Gamma-fiinktion. Leipzig, 1906, 326 s.

192. Pochhammer L. Zur Theorie der Eulerchen Integrale // Math. Annalen. 1890. Bd. 35. P. 495526.

193. Riemann B. Berliner Monatsberichte .1859. S. 671-680; Ges. Werke .1876. S.136-144.21 l.W. Romanovsky. On certain expansions in series of polynomials of incomplete p-functions // Матем. сб. 33, вып.2,1926.

194. Sonine N. Note sur une formule de Gauss, Bulletin de la Soc. Mathematique de France, publie par les seretaires, Т. IX, Paris, 1881, P. 162-166.

195. Sonine N. Sur les termes complementaires de la formule sommatoire d'Euler et de celle de Stirling // Ann. de L'Ecole Norm. Sup., 3e serie. T. 3, 1889. P. 258-262.

196. StekIoff W. Sur une formule generale d'Analyse et ses diverses applications // Annali di matematica pura et applicata, III serie, т.21,1913

197. Weil A. Number Theory. An approach through history. From Hammurapi to Lcgendre. Boston, Basel, Stuttgart. Birkhauser. 1984,374 p.

198. Weierstrass K. Ober die Theorie der analytischen Fakultaten // Juomal fur die reine und angew, Math. 51, Berlin, 1856.

199. Страница из письма JI. Эйлера к И. Бернулли от 20 июня 1740 г., где получено значение эйлеровой постоянной.

200. Страницы из мемуара JI. Эйлера "О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у = l-2-З.-х содержащие некоторые значения тангенса угла наклона касательной,проведенной к гипергеометрической кривой--154 иг. ч uva uyrurcf.omuthk'a i 16-17

201. V. Sit .r 4, rt ob у = 24 fit .= 24(1 ,4+ J)liinc(|iietang <f 3G.I4G824040 ct у— 8SJ 2.V.1. gcncrc igitiir, si abscissa x acquctur mimoru inlcgro cuicunque w, ob у 1-2.n eriti -.-I- i—Л).

202. Dcfiniamus hint- ctiam tangcutes pro locis intcrnioiliis. at- priino qiii-ilctn ad abscissas (icsitivas relatis:

203. V'.■*•("-'(! —'-) — A) = 0.0323383073,crit pro his cnsilcis:

204. Jte-i.»/- О.Я80221Й), tang <p= 0,0323384,1,3203404, tang f = 0,0347345,x=r j. ./= .4.323350!), tang7 = 3,6661767.;/ — 11,<1317284. tang = 10,1549694,4r.'/ = ">2.3427777. tang у = 84,3290907. etc.

205. Anteqiiani ultcrius progrecliar, obscrvo, si fuerit pro abscissa qua-{•linquor := p, у <., tang <F—r, turn ]то abscissa scqucnto fore

206. X =» г» + 1.'/ ■-= q(v + I) ct tang <p = r(p -f- 1)4-9, pro abscissa aulem antccedcntex — тп — 1, и=Х et tang w = L---'L- .y P YPPP.10—20J IIAt; AKQUATIOSE F.XPHESSA y I • 2 • Я • . • «undo supcriorcs valorcs facile retro «ontinnare polcriniux:

207. X — 1 i * у --- 0,88(5226!», tang tp

208. X — 1 — 2 ' У = 1,7724538, tang q — 3,1811>3( i,s,

209. X 3 i ' У = — 3,5449077, tang 7 --. — 0,129353»,

210. X — 5 9 у = -г 2,3632718, tang ip — + l.l >617 504.

211. X. — 7 2 * У — 0,9453087, tang 9 = — 1,'1428230,

212. X = 9 --2 ' у = + 0,2700882, tang <f ~ 4- 0,3751171»,

213. X = 11 2 ' .'/ = — 0,0600196, tang 9> = — 0,ii9GG971.

214. X = 13 -Г t у = + 0,0109126, tang <f = + 0,0195054,etc.

215. Ф. 136. On. 1. № 134. Л. 169 об.