Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Шухман, Елена Владимировна

• Шухман, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шухман, Елена Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Возникновение, становление и развитие теории бесконечных рядов до середины XVIII в

1.1. Возникновение и становление теории бесконечных рядов до середины XVII в

1.2. Развитие теории бесконечных рядов в конце XVII - начале XVIII

вв

Глава 2. Вклад Эйлера в теорию рядов

2.1. Определение основных понятий теории бесконечных рядов в работах Эйлера

2.2. Основные операции над рядами в работах Эйлера

2.3. Интерполирование рядов

2.4. Суммирование расходящихся рядов

2.5. Формулы суммирования

2.6. Связь рядов с бесконечными произведениями

Глава 3. Применение бесконечных рядов в опубликованных и неопубликованных работах Эйлера

3.1. Применение рядов для вычисления значений интегралов и решения дифференциальных уравнений

3.2. Вычисление корней уравнений с помощью рядов

3.3. Приближенные вычисления значений функций

3.4. Приближенное вычисление числа 7г

3.4.1. Приближенное вычисление числа 7г с помощью ряда для аг^ж

3.4.2. Вычисление числа 7г с помощью формулы суммирования

Эйлера-Маклорена

3.4.3. Современные методы вычисления 7г

3.5. Приближенное вычисление числа е

3.6. Приближенное вычисление константы

Эйлера-Маскерони 7

3.7. Приближенное вычисление константы

Эрдёша-Борвейна

3.8. Применение рядов для изучения не десятичных систем счисления

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Копия статьи Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные аспекты теории рядов в опубликованных работах и неопубликованных материалах Леонарда Эйлера»

Введение

Бесконечные ряды в современной математике находят многочисленные применения как универсальный инструмент для представления широкого класса функций, выполнения аналитических преобразований, приближенных вычислений в различных задачах.

В XVIII веке существенный вклад в развитие теории бесконечных рядов внес великий ученый Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707-1783), ставший одним из создателей современного математического анализа, дифференциальной геометрии, теории функций комплексного переменного, теории чисел, комбинаторики, вариационного исчисления. Эйлер активно исследовал бесконечные ряды всеми доступными в то время методами. Он нашел некоторые общие и частные методы суммирования рядов, ввел понятие обобщенной суммы ряда, получил формулы для коэффициентов тригонометрических рядов, изучил множество применений бесконечных рядов для интерполирования, представления функций,приближенных вычислений значений трансцендентных функций и констант, поиска корней уравнений, численного интегрирования и дифференцирования, решения дифференциальных уравнений. Эйлер применял ряды для решения задач из геометрии, комбинаторики, теории чисел, механики и астрономии. Разработанные им основы теории рядов и методы их использования в различных областях науки актуальны и в наши дни.

Работы Эйлера по теории бесконечных рядов достаточно хорошо изучены в историко-математической литературе. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены в кандидатской диссертации А.Н. Гусева [19], в монографиях Дж. Ферраро (G. Ferraro) [171] и B.C. Варадараджана (V.S. Varadarajan) [6]. Обзор и классификация работ Эйлера по теории рядов приведены редактором тома 16* полного собрания сочинений Эйлера («Leonhardi Euleri Opera omnia») Г. Фабером (G. Faber) [168]. Некоторые результаты Эйлера по теории рядов представлены в трудах У. Данхема (W. Dunham) [122], Й. Гофмана (J.E. Hofmann) [182], Р. Рай-фа (R. Reiff) [201], Э. Сандифира (Е. Sandifier) [204], М. Клайна (М. Kline) [186]. Исследования Эйлера, касающиеся вопросов суммирования рядов, рассмотре-

ны в работах В.В. Лихина [39-41], С.С. Петровой [68, 70] и М.В. Чирикова [86]. Использование тригонометрических рядов подробно изучено A.B. Паплауска-сом [66], вопросы интерполяции — И.А. Головинским [13-15]. Работы Эйлера, связанные с дзета-функцией, рекуррентными рядами, непрерывными дробями, рассмотрены В.Д. Павлидис(Горловой) [17, 60-62]. Работы, относящиеся к гамма- и бета-функциям, исследованы И.В. Игнатушиной [28-31]. Отдельные вопросы теории рядов и ее практического применения в трудах Эйлера описаны в кандидатских диссертациях М.И. Пулатовой [73] и С.И. Черток [85]. Общий обзор применений рядов для приближенных вычислений в работах Эйлера выполнен в кандидатской диссертации Ф.П. Жирнова [23]. Приближенные методы для решения дифференциальных уравнений с помощью рядов рассмотрены в трудах Н.И. Симонова [76]. Приближенные методы математического анализа и вариационного исчисления, в том числе аппроксимация, численное дифференцирование и интегрирование с помощью рядов, изучены Ж.Ю. Личи-ковой [43, 44].

Однако, некоторые вопросы применения рядов в трудах Эйлера до сих пор остаются малоизученными. В частности, отсутствует систематическое изложение приемов приближенного вычисления значений трансцендентных функций и различных математических констант в его работах. Кроме того, недостаточна изучена неопубликованная часть научного наследия Эйлера, прежде всего, записные книжки ученого — двенадцать рукописных томов общим объемом около 4 ООО страниц, которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (фонд 136, опись 1, №129-140). Записные книжки позволяют восстановить ход рассуждений ученого, проследить процесс возникновения и эволюции идей, установления математических фактов и утверждений, разработки методов решения различных задач, а также уточнить датировку его научных открытий. Исследованием неопубликованных заметок Эйлера занимались В.И. Смирнов, Г.К. Михайлов [52, 53], Г.П. Матвиевская [46-49], Э. Кноблох (Е. Knobloch) [36] и др. Им удалось обнаружить много результатов, которые не отражены в опубликованных работах ученого.

Отметим, что труды Эйлера содержат большое количество вычислительных результатов, которые приведены без строгого доказательства и промежуточных выкладок. Выбирая наиболее эффективные методы вычислений, Эйлер во многом полагался на свою необыкновенную интуицию. В наше время появилась возможность исследовать результаты Эйлера с помощью вычислительной техники. Вычислительный эксперимент позволяет изучить различные методы решения одной и той же задачи, установить причины выбора Эйлером конкретного приема вычислений, объективно сравнить эффективность различных методов, разработанных Эйлером. Исследования результатов Эйлера с помощью вычислительных экспериментов появились только в последнее десятилетие в работах E.H. Осьмовой [59] и В. Гаучи (W. Gautschi) [174, 175].

Таким образом, актуальность темы исследования определяется тем, что изучение опубликованных работ, писем и заметок из записных книжек Эйлера по теории рядов и ее применению к приближенным вычислениям позволяет проследить развитие идей Эйлера в рассматриваемой области, выявить наиболее эффективные приемы вычислений, которые могут оказаться полезными и в настоящее время, а также обнаружить неопубликованные результаты, принадлежащие ученому.

Объектом исследования выступают опубликованные и неопубликованные материалы Эйлера (труды, письма, записные книжки), связанные с бесконечными рядами.

Предметом исследования является применение рядов для приближенных вычислений в работах Эйлера.

Цель диссертационного исследования состоит в изучении результатов Эйлера, относящихся к вычислительным аспектам теории рядов.

В работе решались следующие задачи:

— обзор истории возникновения и развития теории рядов и ее применения для приближенных вычислений с древнейших времен до середины XVIII в.;

— исследование основных достижений Эйлера в области теории бесконечных рядов по его опубликованным и неопубликованным материалам;

- изучение опубликованных и неопубликованных материалов Эйлера, связанных с применением рядов для приближенных вычислений значений интегралов, решений обыкновенных и дифференциальных уравнений, значений трансцендентных функций и математических констант.

Метод исследования основан на историко-научном и математическом анализе опубликованных сочинений Эйлера, его переписки, а также неопубликованных заметок из его записных книжек. Для анализа результатов Эйлера, связанных с точностью вычислений, и сравнения эффективности разработанных им численных методов использовался вычислительный эксперимент. В исследовании применялись следующие программные инструменты для компьютерного вычислительного эксперимента:

1. Для вычисления частичных сумм и остатков рядов для большого количества членов использовался свободно распространяемый арифметический интерпретатор ARIBAS, поддерживающий арифметику с плавающей точкой высокой точности (4096 бит), обеспечивающую более 1200 десятичных цифр в действительных числах.

2. Для численного решения неравенств использовался свободно распространяемый математический пакет Derive 6.10 компании Texas Instruments.

3. Для вычислений частичных сумм рядов в рациональных числах использовался математический пакет Mathematica 5.2 в режиме точных вычислений.

Научная новизна работы состоит в том, что:

во-первых, впервые в историко-математической литературе достаточно полно исследованы опубликованные и неопубликованные результаты Эйлера, включая ранее не описанные заметки из его записных книжек, связанные с формулой суммирования Эйлера-Буля, эйлеровыми произведениями, методами вычисления логарифмических и тригонометрических функций, констант 7Г, е, Эйлера-Маскерони 7 и Эрдёша-Борвейна а, что позволило уточнить датировки, восстановить вывод некоторых результатов, а также установить приоритет Эйлера в их открытии;

во-вторых, впервые проведено исследование с помощью вычислительного эксперимента абсолютной погрешности различных разложений, использованных Эйлером для вычисления констант 7Г и 7, причем большая часть экспериментальных результатов подтверждена строгими доказательствами.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается, прежде всего, в том, что они могут служить основой для дальнейших исследований результатов Эйлера с помощью вычислительного эксперимента. Такие исследования могут выполняться студентами в рамках учебных курсов по вычислительной математике. Кроме того, результаты исследования дают новый материал для курсов по истории математики, могут использоваться при написании учебников по истории методов вычислений, теории рядов и т.д. Основные положения, выносимые на защиту:

- Важнейшим достижением Эйлера в теории рядов стало открытие формул суммирования, которые нашли широкое применение в приближенных вычислениях, прежде всего, для оценки остатков в вычислительных формулах. Ранее неисследованные заметки из записных книжек ученого, относящиеся к выводу и применению формулы суммирования Эйлера-Буля, позволили установить приоритет Эйлера в открытии важных комбинаторных соотношений: рекуррентного правила для вычислений чисел Эйлера I рода в треугольнике Эйлера, а также связи многочленов Эйлера с производящей функцией для последовательности степеней.

- Эйлер широко использовал бесконечные произведения и непрерывные дроби в тесной связи с рядами. С бесконечными произведениями связаны его важнейшие открытия в теории рядов: вычисление точных значений рядов обратных четных степеней, пентагональная теорема, тождество для дзета-функции. Записные книжки включают тождества, не вошедшие в опубликованные работы, в частности, эйлеровы произведения, соответствующие всем вполне мультипликативным функциям по модулю 8.

- Эйлер усовершенствовал способы вычисления приближенного значения 7г с помощью рядов для арктангенса. Он предложил новый ряд для вычисления арктангенса, который для небольшого числа суммируемых членов да-

ет большую погрешность, но в пределе имеет лучшую сходимость, чем ряд Грегори-Лейбница. Эйлер вывел несколько общих тождеств для представления арктангенсов в виде суммы арктангенсов меньших аргументов, получил конкретные разложения, удобные для вычислений значения 7Г, в том числе некоторые неопубликованные им тождества, которые были переоткрыты значительно позже и использовались для вычисления 7г в XIX и XX вв. Кроме того, с помощью формулы суммирования Эйлер получил асимптотический обвертывающий ряд для вычисления 7г.

— Для вычисления константы е Эйлер использовал как, известное еще Ньютону, разложение ех в степенной ряд, так и несколько непрерывных дробей, а также последовательность рациональных приближений, полученных им на основе дробно-рациональных приближений (диагональных аппроксимаций Паде) для функции ех. Используя аппарат непрерывных дробей, Эйлер доказал иррациональность константы е и ее некоторых степеней. Неопубликованное разложение в ряд еагС8ШЖ позволило Эйлеру вычислить приближенное значение константы Гельфонда еп.

— Эйлер впервые в истории математики рассмотрел константу Эйлера-Маске-рони 7, вычислил ее приближенное значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой, открыл множество тождеств, связывающих значение константы со значениями сумм обратных степеней. Вычислительный эксперимент подтвердил, что Эйлер использовал для вычисления 7 наиболее быстро сходящийся ряд.

— Эйлер стал первым математиком, который исследовал константу

оо

Эрдёша-Борвейна а = 2^1 ■ П03Днее ^737 г. Эйлер нашел основные

п=1

тождества для вычисления этой константы, что позволило определить ее значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой.

— Эйлер впервые строго доказал единственность представления натурального числа в двоичной системе счисления с помощью рядов и бесконечных произведений, использовал алгоритм перевода десятичных дробей в недесятичные, применял запись чисел в системах счисления с основаниями 2 и 24, обозначая

в последнем случае цифры латинскими буквами, как это принято в настоящее время.

Апробация результатов диссертационного исследования.

Основные результаты докладывались автором на семинарах по истории математики Оренбургского педагогического университета (2006-2011 гг.); всероссийской научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006 г., 2008 г., 2011 г.); международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт-Петербург, 2007 г.); международной научной конференции «Проблемы историко-науч-ных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007 г.); 5-ых Международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2007 г.); 19-ой международной научной конференции им. академика М.Кравчука (Киев, 2008 г.); международной научной конференции «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» (Тамбов, 2008 г.); семинаре по истории и методологии математики и механики Московского государственного университета (Москва, март и ноябрь 2011 г.); V международной научной конференции «Математика. Образование. Культура.» (Тольятти, 2011 г.); межрегиональной научно-практической конференции молодых ученых Оренбургской области (Оренбург, 2011 г.).

По теме диссертационного исследования автором опубликовано 18 работ общим объемом 5,9 п.л., в том числе 5 в журналах из перечня ВАК («История науки и техники» и «Вестник Оренбургского государственного университета»).

Структура диссертации. Диссертация общим объемом 185 с. состоит из введения, трех глав, заключения, списка отечественных и зарубежных источников, содержащего 215 наименований, а также приложения, которое содержит копию статьи Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера» («Sur une série asymptotique d'Euler»),

Глава 1. Возникновение, становление и развитие теории бесконечных рядов до середины XVIII в.

1.1. Возникновение и становление теории бесконечных рядов до середины XVII в.

Теория рядов была, в основном, создана в ХУП-Х1Х вв. Однако многие ее идеи появились в науке еще в глубокой древности. Арифметические и геометрические прогрессии стали первыми последовательностями, для которых решались задачи, связанные с суммированием членов. Наиболее ранняя задача, связанная с суммированием конечного числа членов арифметической прогрессии, встречается в древнеегипетском папирусе Райнда (А.Н. Шнпс1), датируемом приблизительно 2000 г. до н.э.: «Наставление, как определить разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет | меры» [9, с.53-55]. Здесь количество хлеба составляет сумму арифметической прогрессии из 10 членов с разностью В задаче речь идет только о нахождении п-го члена арифметической прогрессии. Автор находит, что 10-й член прогрессии равен = + В том же папирусе имеется задача о суммировании первых пяти членов геометрической прогрессии со знаменателем 7 [9, с.59-65]. В Древнем Вавилоне также умели решать задачи на прогрессии, но, кроме того, знали правило для вычисления суммы нескольких первых квадратов натуральных чисел [9, с. 148-154].

Прогрессии встречаются также в математических работах древнегреческих ученых. Зенон {Ъг\ъ>иъ>, ок. 490-430 гг. до н.э.) в апории «Ахиллес и черепаха» рассматривает сумму бесконечной геометрической прогрессии 5 = | + р + ... Евклид (ЕукХеьбщ, III в. до н.э.) применил геометрическую прогрессию для вычисления объема треугольной пирамиды. Для этого пирамиду он разбивал на призмы, объемы которых убывают в отношении Таким образом, получается ряд геометрической прогрессии У = + | + ^ + где г>х — объем первой

(самой нижней) призмы [55, с. 67-70]. Аналогичные прогрессии рассматривал и Архимед (Кдхь^фщ^ ок. 287-212 гг. до н.э.) в «Квадратуре параболы».

Прогрессии использовались и древнекитайскими математиками. В VI книге «Математики в девяти книгах», составленной во II в. до н.э., решается задача на арифметическую прогрессию: требуется найти члены прогрессии, состоящей из девяти членов по сумме четырех первых и трех последних членов. В XI в. китайский математик Шэнь Ко (ЗЬёп Кио) в своем труде «Рассуждения Мэн-си» подсчитал число предметов, образующих п-слойную ступенчатую усеченную пирамиду, в которой стороны прямоугольных слоев последовательно увеличиваются на единицу. Если в самом верхнем слое а ■ Ъ предметов, то в к-ош слое будет (а + к — 1) - (Ьк — 1) предметов и искомое число выражается суммой

п

£(а + &-1) •(& + £-• 1) = |(а(ЗЬ + п-1) + (а + те-1) -(36 + 2п - 2) + п - 1)

к—1

[97, с. 559-561], [96, с. 103]. В XIII в. Чжу Ши-цзе (ЪЫ БЫ^е, 1270-1320) находит конечные суммы последовательностей, возникающих при перемножении

натуральных, треугольных и квадратных чисел с членами возрастающей или

р р р (

убывающей прогрессии (^ п(а + Ьп), ^ п2

П=1 П=1 71=1

Много важных результатов, относящихся к теории рядов, получили математики Индии. Отдельные примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются еще в «Ведах» (1-е тысячелетие до н.э.). Ариабхата (АгуаЬЬа^а, 476-ок. 550) привел правила вычисления конечных сумм арифметических прогрессий, рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов, а Махавира (МаЬауТга, ок. 800-ок. 870) — правила суммирования геометрической прогрессии и таких рядов, как ряды квадратов и кубов членов арифметической прогрессии (а§ + (а0 + Л)2 + (а0 + 2^)2 + ..., + (а0 + О3 + (а0 + 2с03 + •••)•

В XVI в. Нарайана (Кагауапа, 1559-1664) произвел суммирование последовательностей более общего вида [8, с. 123-124]: если обозначить

1 +2 +... +п с(1) , с(1) , ,о(1) _ с(2)

О^ "г • • • ~ТОп — Оп

С?(2) . о(2) л , с(2) _ с(3)

т*^ "г • ■ ■ 1-Оп —

то можно сказать, что Нарайана привел выражение для

(m) = n(n + l)(n + 2)...(n + m) 1 • 2 • 3 ... (га + 1)

Наиболее значительных успехов в области бесконечных рядов достигли южно-индийские математики. В начале XV в. они получили разложение в степенной ряд arctgx по степеням х; особо рассматривались частные случаи для f и |. Нилаканта (Nilakantha, 1444-после 1501) приводит разложение дуги, равной четверти окружности, в виде бесконечных числовых рядов, | =

1 1 /_i \тг—1 Л4) ( — 1)"

= 1 — 5 + f — 12та_1 4- кп. Поправка кп дается в трех видах: кп = An' № = > кп] = причем \к£]\ > > \к%]\ [63, с. 123-124]. Зна-

чение числа 7г, данное Нилакантой, имеет десять верных десятичных знаков.

В трактате «Тантрасанграха» («Научный справочник», ок. 1500 г.), написанном Нилакантой, и в анонимных трактатах «Каранападдхати» («Техника вычислений», XV-XVI вв.), «Сандратанамала» («Нить светящихся жемчужин», XVII XVIII вв.), «Юкти-бхаша» («Разъяснение математики», XVII в.) содержатся правила, следуя которым можно получить разложения функций sin ip и cos (р в бесконечные ряды по степеням угла [2, с. 326]. В современном математическом анализе такие ряды называются рядами Маклорена.

Таким образом, индийские математики разработали целый ряд математических приемов, основанных на бесконечных рядах, которые они применили для вычисления числа 7Г [8, с. 170]. Пользуясь этими приемами, они смогли получить значение 7Г с точностью до семнадцатого десятичного знака [63, с. 120].

Значительных успехов в вычислении сумм различных рядов добились математики арабского Востока. В трактате Ибн ал-Хайсама (Ibn Al-Haytham, 965-1039) «Об измерении параболического тела» был найден объем тела, образованного вращением сегмента параболы. Это вычисление потребовало вып

числения конечной суммы ряда четвертых степеней натуральных чисел Y1 к4 =

к=1

= (|+|)n(n+|)((n+l)n—Вычисление Ибн ал-Хайсама было равносильно ин-

а

тегрированию J хА dx. Аналогичную формулу в первой половине XV в. привел о

Джамшид Гияс ад-Дин ал-Каши (Jamshid Ghiyath al-Din al-Kashi, 1380-1429) в своей книге «Ключ арифметики» [21].

Первым ученым средневековой Европы, обогатившим учение о рядах, был Леонардо Пизанский, известный также под именем Фибоначчи (Leonardo Pisano Fibonacci, 1180-1240). В XII главе «Книги абака» («Liber abaci», 1202 г.) приводятся задачи на суммирование рядов - арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, каждый член которого, кроме первых двух, равен сумме двух предыдущих (ип+1 = ип + un-i). Этот ряд теперь носит название «ряда Фибоначчи» и представляет частный случай важного класса возвратных рядов, члены которых выражаются функциями от нескольких предыдущих членов.

Больших успехов в изучении прогрессий добились в средние века ученые, разрабатывавшие так называемое учение «о конфигурации качеств», в котором содержатся прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения. Ричард Суайнсхед (также известный как Суисет) (Richard Swineshead or Suisset) из Оксфорда, написавший в конце 40-х годов XIV в. трактат «Книга вычислений» («Liber calculationum»), считал, что, если средняя интенсивность какой-либо величины на некотором промежутке равномерно возрастает, то средняя интенсивность равна среднему арифметическому начальной и конечной интенсивностей. Изучая среднюю интенсивность в случае, когда весь промежуток разбит на отрезки по убывающей геометрической прогрессии со знаменателем а в каждом последующем промежутке интенсивность растет по закону арифметической прогрессии 1, 2, 3, 4, и т.д., Р. Суайнсхед приходит к выводу, что средняя интенсивность по всему промежутку будет равна интенсивности на втором из этих промежутков. Этот результат на современном языке может быть выражен сходящимся бесконечным рядом + | + ^ + = Таким образом, в XIV в. был впервые просуммирован бесконечный числовой ряд, отличный от простой убывающей геометрической прогрессии [63, с. 104-106].

Самым ярким представителем этой эпохи был француз Николь Орем (Nicole Oresme, ок. 1323-1382). Используя геометрические методы, он нашел суммы рядов =2и2-|+3-£+412-Н. Орем впервые поставил вопрос о сходимости убывающих бесконечных рядов

с положительными членами и доказал расходимость гармонического ряда [63, с. 109-111].

В конце XVI в. Франсуа Виет (François Viète, 1540-1603) ввел новый тип бесконечных последовательностей — бесконечные произведения. Занимаясь задачей о квадратуре круга, он вывел зависимость между площадями Sn и S^n вписанных в этот круг правильных п и 2п-угольников. Если обозначить через г - радиус данного круга, а через гп - радиус круга, вписанного в п-угольник, т0 Jr ~ Г~г ~ cos п' Полагая последовательно п=4, 8, 16 и т.д. и, естественно принимая, что S2n имеет пределом площадь круга S, Ф. Виет, перемножая полученные таким образом равенства, нашел, что - = cos | cos | cos ^ • ... =

Позднее задача о квадратуре круга привлекла внимание Джона Валлиса (John Wallis, 1616-1703), который нашел для числа обозначенного им □, выражение в виде бесконечного произведения 23434565678789]9Q •... Это открытие, содержащееся в его «Арифметике бесконечных» («Arithmetica Infinitorum», 1656 г.), было сделано с помощью интерполирования последовательностей - вставки между их членами с целыми номерами промежуточных членов с дробными индексами.

Приближенные вычисления и интерполирование явились движущей силой для дальнейшего развития теории бесконечных рядов в XVII в. Ряды стали употребляться для приближенного выражения иррациональных функций. В середине XVII в. были получены разложения для некоторых логарифмов. Григорий из Сен Винцента (Gregorius a St. Vincentio, 1584-1667) в 1647 г. и, в более явной форме, Альфонс-Антуан де Сараса (Alfonso Antonio de Sarasa, 1618-1667) в 1649 г. отметили связь площади, ограниченной гиперболой, ее асимптотой и двумя сопряженными ординатами, с логарифмами. Численно, и притом в форме бесконечного ряда, эту связь выразил не позднее 1657 г. Вильям Броункер (William Brouncker, 1620-1684), опубликовавший свой результат In 2 = 5Т6 ~t~ • • • в статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел» («The Squaring of the Hyperbola, by an Infinite Series of Rational Numbers», 1668 г.). [84, с. 320-325]. Впрочем, в

публикации этого разложения его опередил итальянский математик Пьетро Менголи (Pietro Mengoli, 1625 - 1686). В «Новых арифметических квадратурах или о сложении дробей» («Novae quadraturae arithmeticae, seu de additione fractionum», 1650 г.) П. Менголи просуммировал некоторые числовые ряды и

оо

независимо от Орема доказал расходимость гармонического ряда £ приме-

к=1

няя равенство + ^ + щу > Этот результат П. Менголи распространил на обобщенные гармонические ряды, члены которых обратны членам арифме-

оо

тической прогрессии, т.е. ряды Y1 '¿ш, [64, с. 145].

к= 1

П. Менголи впервые сформулировал следующее свойство рядов: если ряд с положительными членами сходится и имеет сумму 5, то, задав любое число Л, заключенное между и S, всегда можно найти такой номер п, что выполняется неравенство Sn < А < Sn+\. Наряду с этим теоретическим результатом он произвел суммирование некоторых рядов, например, впервые просуммировал ряд обратных треугольных чисел | + | + • - + n(n2+i) +— Последовательным сложением он нашел частичную сумму ряда | +1 + ^ + ■ • • + n(n+ij + • • • > равную и отсюда заключил, что сумма бесконечного ряда равна 1, так как величина ^^ отличается от 1 меньше, чем на любую заданную величину.

П. Менголи пытался просуммировать и ряд обратных квадратных чисел натурального ряда, однако не достиг успеха: он лишь заметил, что такой ряд сходится. Изучение ряда 1 + ^ + ^ + ^ + ... привело его к нахождению сумм

00 оо оо

следующих рядов: £ = 1, £ ^¿р^ = f , £ = Й- Следует отметить,

71=1 П=1 П=1

что П. Менголи впервые ввел понятие остатка ряда и применил его к суммированию рядов, а также стал различать сходящиеся и расходящиеся ряды.

Следующим шагом в развитии теории рядов явилось представление логах

рифмической функции в форме бесконечного степенного ряда J

о

+ |.т3 — |.т4 + .... Этот важный шаг сделал немецкий математик Николай Кауфман (Nicolaus Kauffman, 1620-1687), более известный под именем Меркатора (Mercator). Свое исследование Меркатор опубликовал в «Логарифмотехнике» («Logarithmotechnica», 1668 г.). В действительности Меркатор не записывает этот ряд в общем виде. Он ограничивается вычислением семи его членов при

значении х=ОД, т.е. получает значение ln с точностью до девяти знаков. Аналогично он подсчитывает, взяв первые десять членов ряда, его значение

т ОТ

при х=0,21, т.е. In

Разложение в ряд логарифма было не единственным примером употребления степенных рядов. Многочисленные другие разложения открыл Джеймс Грегори (James Gregory, 1638-1675). В работе «Истинная квадратура круга и гиперболы»(«Vera circuli et hyperbolae quadratura», 1667 г.) Дж. Грегори предлагает ввести новую операцию - операцию образования величин посредством сходящихся рядов. С ее помощью можно получать такие количества, которые не могут быть получены с помощью известных операций. Таким образом, Дж. Грегори подошел к понятию трансцендентных функций (логарифмических и тригонометрических) , значения которых не могут быть выражены с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня. Он впервые предположил, что число 7г и значения некоторых логарифмов - трансцендент-ны. Тем не менее, эти значения могут быть вычислены с помощью бесконечных рядов [65, с. 268-269].

Из письма Дж. Грегори к Джону Коллинсу (John Collins, 1625-1683) от 23 ноября 1670 г. видно, что в это время он уже владел общим разложени-

V

ем бинома (1 + х)«, а к началу 1672 г. вывел еще несколько важных разложений, которые в современном виде выглядят следующим образом: ip = = tg ip-\ tg3V+i tg5v?--.tg (p = + ^ + -.ln sec (p = ^ + ^ + + - • • (последний результат был, скорее всего, найден интегрированием членов преды-

2 г 4 3 5

дущего ряда), sec = 1 + ^ + +..In tg (§ + J) = у? + + fj +... (данный ряд также возникает при интегрировании предыдущего). Все эти и некоторые другие разложения приведены в письме к Дж. Коллинсу от 15 февраля 1672 г. Можно предполагать, что в это время Дж. Грегори владел и гораздо более общим результатом - методом разложения в ряд, который в современном математическом анализе называется рядом Тейлора-Маклорена, хотя прямого свидетельства этому не существует. Весьма правдоподобно, что разложения для tg ip и sec (/? он вывел с помощью последовательного дифференцирования.

Таким образом, к середине XVII века сформировались основные понятия теории рядов, были получены ряды для иррациональных функций. Анализ раннего периода истории возникновения и развития бесконечных рядов показывает, что ее становление было обусловлено, прежде всего, возрастающими потребностями эффективных вычислений для решения прикладных математических задач.

1.2. Развитие теории бесконечных рядов в конце XVII — начале XVIII вв.

Важные результаты в теории рядов связаны с именем Исаака Ньютона (Isaac Newton, 1643-1727). Одним из первых открытий И. Ньютона в учении о рядах стало разложение степени бинома, найденное зимой 1664/65 г. С помощью интерполирования И. Ньютон получил разложение бинома для любого

Гл i \п i i п i п(п—1) о i п(п—1)(га—2) з .

действительного показателя (1 + х) = I + ^х + 2! 'х Н—-—^--х° + ...

В «Анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов» («De analysi per aequationes numero terminorum infinitas», 1669 г.) И.Ньютон производил разложения в ряды при помощи формально-алгебраических операций: неограниченного деления многочлена на многочлен, в частности ряда на ряд, и извлечения корней. Например, вычисление длины дуги эллипса, с помощью интегрирования функции он произвел, разложив сначала в ряды оба квадратных корня, затем поделив числитель на знаменатель и, наконец, почленно проинтегрировав частное. Так, в форме бесконечного ряда был впервые выражен эллиптический интеграл J — х + + + (^Ь2 + щаЪ —

- > V + • • •

Располагая разложением величины у в ряд по степеням х, И.Ньютон умел обратить ряд, т.е. найти разложение х по степеням у. Так, он получил разложение sin х = ^ — §г + fr — fr + • • • > а затем по формуле eos х = л/1 — sin2 х получил ряд eos х = 1 — + — |т + - • •• Обращая ряд для 1п(1 + х) = х~ у + у — у + - ■ ■>

2 3 4

он выразил показательную функцию ех — 1 = § + §г + §г + 1Г + -- " Во втором письме к Генри Ольденбургу (Henry Oldenburg, 1618-1677) для Г.В. Лейбни-

ца [56, с.233-256] И. Ньютон привел формулы обращения рядов с буквенными коэффициентами. Если у = ах + Ъх2 + сх3 + с/ж4 + ..., то х = \у — -¿¡у2 + + ^Ё^У3 + 5abc-^3~a2dy4 + .... Если же у = ах + Ъх3 + са;5 + ch7 + ..то х = \у - у3 — ЗЬд7ас?/ + %abc-a4-i2b3у? _ _ _ jj. Ньютон размышлял о сходимости получаемых разложений. Он даже пытался доказать, что при достаточно малом я разность между корнем уравнения (в том числе с бесконечным числом членов) и его последовательными приближениями всегда становится меньше всякой данной величины и, как он выражается, «совершенно исчезает при бесконечном продолжении действия». И. Ньютон применял также разложения в ряды по дробным и отрицательным степеням аргумента.

Большой вклад в развитие теории рядов внес Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716). В переписке с Эренфридом Чирнгаузом (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, 1651-1708) в 1678-1679 гг. Г.В. Лейбниц называет открытия Дж. Валлиса и Меркатора в области бесконечных рядов одним из главных источников дифференциального исчисления.

Г.В. Лейбниц обнаружил, что все задачи анализа бесконечно малых можно свести к аналитическим вычислениям двух типов. Задача о касательной и связанные с ней задачи всегда приводят к вычислению разностей бесконечно близких членов рядов; задача о квадратуре и ей подобные всегда ведут к вычислению сумм бесконечных рядов с бесконечно малыми соседними членами.

После знакомства с трудами Меркатора Г.В. Лейбниц нашел разложение в ряд иррационального выражения, встречающегося при квадратуре круга. С этой целью он преобразовал интеграл J л/2rx — x2dx в интеграл рациональной дроби 8г5 J з; кроме того, он применил тот же способ для разложения в ряды площадей секторов круга, эллипса и гиперболы. Как частный случай, Г.В. Лейбниц в 1674 г. получил ряд для | = 1 — | + | — | + который несколько ранее был открыт Дж. Грегори. В то время Г.В. Лейбниц уже располагал теоремой о сходимости знакочередующегося ряда с монотонно убывающими и стремящимися к нулю членами, а также оценкой остаточного члена. В письме к Иоганну Бернулли (Johann I Bernoulli, 1667-1748) от 10 января 1714 г. Г.В. Лейбниц привел доказательство этой теоремы, сходное с современным.

В письме к Г. Ольденбургу (1676 г.) Г.В. Лейбниц привел, кроме ряда для ряды для е~х и ех, для sinversrc (т.е. для 1 — cos х), sin х и cos х, не снабдив их выводами. По одной рукописи, найденной впоследствии, можно установить, что Г.В. Лейбниц получил эти ряды методом неопределенных коэффициентов. В рассматриваемое время Г.В. Лейбниц уже обладал дифференциальным исчислением, и поэтому ему было нетрудно по дифференциальным свойствам соответствующих функций определить их с помощью бесконечных рядов. При этом Г.В. Лейбниц дал первый пример интегрирования дифференциальных уравнений посредством бесконечных рядов. Результаты Г.В. Лейбница были также опубликованы в статье «Об истинном отношении круга к описанному квадрату, выраженном в рациональных числах» («De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus», 1682 г.). В этой же статье он упомянул о произведенных им в 1672 г. суммированиях рядов обратных фигурных чисел с помощью разностных схем, которые он сам называл в числе источников своих главных открытий. Так, в случае треугольных чисел, имеем:

оо оо

£ ы^+Г) = Е й - ¿т) = 1 [1881-

п=1 71=1

Результаты Г.В. Лейбница получили развитие в работах Якоба Бернулли (Jacob I Bernoulli, 1654-1705) [109]. Он был близок к установлению необходимого признака сходимости числовых рядов. Так, в одном из предложений о суммировании рядов из дробей, знаменатели которых образуют геометрическую прогрессию, а числители - натуральные или треугольные числа, он устанавливает в виде следствия, что п-й член ряда должен стремиться к нулю, иначе сумма ряда не будет конечной. Однако, рассматривая гармонический ряд, Я. Бернулли устанавливает, что сумма ряда со стремящимся к нулю n-м членом может быть бесконечной.

Для установления расходимости ряда с положительными членами Я. Бернулли использовал метод сравнения: если члены одного ряда больше соответствующих членов другого ряда (для которого известно, что он расходится), то первый ряд также расходится. Следуя этому методу, Я. Бернулли установил

расходимость следующих рядов: 1 + | + | + | + и 1 + ^ + ^ + ... + ^ + ...,

111 11 1 так как расходятся соответственно ряды f +1 + ^ + • • • и 1 + ^ + | + + ^ + —

Особые затруднения у Я. Бернулли вызвало суммирование ряда 1 + | + | + .. точное значение суммы которого было найдено JT. Эйлером в 1734 г.

Брат Якоба Бернулли Иоганн также занимался исследованием бесконечных рядов. Он доказал бесконечность суммы гармонического ряда методом от

противного. Другим важным результатом в области числовых рядов, получен°° 2

ным И. Бернулли, было доказательство равенства Y1 ^ = Этот результат

71=1 П

был опубликован в 1742 г., то есть значительно позже Эйлера.

Общий метод для разложения функции в ряд был предложен Бруком Тейлором (Brook Taylor, 1685-1731) при решении задачи о приближении квадратур кривых. В 1712 г. Б. Тейлор сообщил его Джону Мэчину (John Machin, 1680-1751) без доказательства, а спустя три года в книге «Прямой и обратный метод приращений» («Methodus incrementorum directa et inverse», 1715 г.) опубликовал вывод, основанный на формуле Ньютона f(a + пАх) — /(а) =

= пДДа) + ^Д2f(a) + я("-^,(Г2)а3/М + • • • + дт7 W- 3Десь А/(«) - Раз" ность первого порядка (Д/(а) = f(a + Ax) — f(a)), Д2/(а) — разность второго порядка и т.д. Идея Б. Тейлора заключается в переходе от интерполяционной формулы Ньютона (она выведена для конечного приращения h = пАх) к ряду, возникающему при бесконечном увеличении п и бесконечном уменьшении Ах. При h = пАх эта формула получает вид f(a+h) — f(a) = hA^ + .

A2fía) , . h(h—Ax)(h—2Ax)...(h—(n—l)Ax) Anf(a) -n гр „ r

• дx2; +...+—--—1.2 n—-—' Axn • •*=>- -1-еилоР) не беспокоясь О ТОМ, ЧТО

число членов разложения неограниченно возрастает, делает вывод о справедливости для всякой функции у = f(x) разложения, которое в современном виде

можно записать следующим образом: /(a+/i) = /(а) + + |т ¿ ____Уже

в XX веке после публикации рукописей Дж. Грегори было установлено, что он получал коэффициенты в разложениях tg х и sec х путем вычислений производных высших порядков, то есть фактически применял ряд Тейлора [71]. Также выражение для коэффициентов разложения функции в степенной ряд было обнаружено в рукописях Ньютона, которые подробно рассмотрели А.П. Юшкевич [98] и С.С. Петрова [71].

2 л

В своей книге Б. Тейлор вывел также ряд Бернулли jndz = nz — +

о

+ ~ fié ^ • • • В- Тейлор установил также специальный вид своего ряда, который сейчас называют рядом Маклорена. Определение остаточного члена ряда Тейлора впервые встречается в работе Жозефа Луи Лагранжа (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813) «Теория аналитических функций». Лагранж заметил, что, если какое-либо разложение в ряд служит не только для получения «производных функций», но должно представлять собой значение функции, то необходимо точно знать остаток ряда. Весь вывод он построил на теореме о среднем значении. Следует заметить, что условия применимости формулы Тейлора были точнее исследованы лишь Огюстеном Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857).

Важную группу рядов, изучавшихся в XVIII в., составляют, так называемые, возвратные или рекуррентные ряды. Каждый член такого ряда, начиная с некоторого, выражается при помощи одной и той же целой линейной функции, зависящей от определенного числа предыдущих членов. Абрахам де Му-авр (Abraham de Moivre, 1667-1754) установил важнейшие свойства и почти полностью разработал теорию рекуррентных рядов. Исходным пунктом Муав-ра явилось исчисление вероятностей. Свою первую работу о возвратных рядах он опубликовал в 1722 г. Стоит заметить, что Муавр не интересовался сходимостью рядов, вследствие чего, его преобразования и конечные результаты не всегда верны. Позднее рекуррентные ряды использовали Ж.Л. Лагранж и Пьер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827).

Исследования Христиана Гольдбаха (Christian Goldbach, 1690-1764) касались некоторых вопросов суммирования рядов, их преобразований и приложений. Основные результаты своих исследований по бесконечным рядам он опубликовал в работах «О преобразовании рядов» («De transformatione serierum»,

1727 г.) [179] и «Об общих членах рядов» («De terminis generalibus serierum»,

1728 г.) [178]. Кроме того, некоторые результаты он изложил в письмах к Даниилу Бернулли (Daniel I Bernoulli, 1700-1782) [181]. X. Гольдбах установил, что возвратные ряды в некоторых случаях могут применяться для приближенного

вычисления квадратных корней. Отметим, что X. Гольдбах также не придавал никакого значения вопросам сходимости рядов.

Другой крупный математик XVIII в. Джеймс Стирлинг (James Stirling, 1692-1770) в 1730 г. опубликовал «Метод разностей или трактат о суммировании и интерполировании бесконечных рядов» («Methodus differentialis sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum») [206]. В этой работе он изложил способ суммирования некоторых рядов, решение задачи об определении суммы логарифмов любого числа чисел, возрастающих в арифметической прогрессии. Эту сумму он представил в виде асимптотического ряда, который сейчас называется рядом Стирлинга. В частности, Дж. Стирлинг вывел формулу для вычисления логарифма факториала log п\ = (п + |) log(n +

оо

+ \) - (п +1) +1 log 2тг + £ аЛ^г)2^1 [123, 233-234]. В «Дополнении к анали-

г=1

тическим этюдам» («Miscellanies Analyticis Supplementum», 1730 г.) А. Муавр вывел ту же формулу, указав правило образования коэффициентов аг с использованием чисел Бернулли [182]. Результаты Стирлинга и Муавра стали основой для изучения гамма-функции в более поздних работах математиков XVIII в.

Важные результаты в теории рядов получил Колин Маклорен (Colin Мас-laurin, 1698-1746) в работе «Трактат о флюксиях» («А Treatise of fluxion», 1742 г.) [193]. К. Маклорен доказал, что всякое разложение функции f(x) по целым положительным возрастающим степеням х происходит непременно по формуле Тейлора. В этой же работе он дает доказательство интегрального признака сходимости числовых рядов, который мы называем признаком Коши, а также вывод общей формулы суммирования, независимо полученной Эйлером. Формула суммирования у К. Маклорена при переходе к современным ОбОЗНа-

ТТ/—1 П

чениям выглядит так: £ /(г) = ¡ f(z)dz - |(/(n) - /(0)) + ¿(f(n) - /'(0)) -

г=0 0

- - /"(0)) + зéro(f'"(n) - -ПО)) + • • • Маклорен нигде не отмечает,

что полученный ряд является расходящимся, не приводит закон для образования коэффициентов. Связь между коэффициентами ряда Эйлера-Маклорена и числами Бернулли была установлена позже JL Эйлером в «Дифференциальном исчислении» (1755 г.).

Таким образом, теория рядов в начале XVIII века включала как важные общие результаты, в том числе формулы Тейлора и Маклорена, так и многочисленные конкретные применения: ряды для важнейших элементарных функций, способы вычисления констант 7Г и е с высокой точностью, методы численного интегрирования и решения дифференциальных уравнений. Также уже были введены основные понятия теории рядов, установлены некоторые правила преобразования рядов, сформулированы отдельные признаки сходимости.

Несмотря на недостаточную строгость, теория рядов находилась на этапе становления и развития, которое продолжилось в трудах Леонарда Эйлера.

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Шухман, Елена Владимировна

Заключение

В первой главе диссертации исследован ранний период развития теории бесконечных рядов и показано, что на протяжении многих веков ее становление было обусловлено, прежде всего, возрастающими потребностями эффективных вычислений для решения прикладных математических задач. Математики Древней Греции и арабского Востока применяли ряды для вычисления площадей фигур и объемов тел. В XV-XVI вв. индийские математики получили разложения тригонометрических функций в степенные ряды и смогли вычислить отношение длины окружности к ее диаметру с точностью до семнадцати десятичных цифр. В XVII в. ряды стали применяться для приближенного выражения логарифмов (В. Броункер, Н. Меркатор) и тригонометрических функций (Дж. Грегори). В это же время были сформулированы основные понятия теории рядов: сходимость, расходимость и остаток ряда (П. Менголи).

Большой вклад в теорию рядов внесли создатели дифференциального и интегрального исчисления И. Ньютон (получил разложение степени бинома, предложил методы обращения рядов и других преобразований) и Г. Лейбниц (установил связь с бесконечными рядами общих задач анализа, открыл признак сходимости знакочередующихся рядов с монотонно убывающими и стремящимися к нулю членами, получил множество разложений иррациональных функций в ряды, применил ряды для решения дифференциальных уравнений).

Отдельные признаки сходимости рядов были разработаны в трудах Я. Бер-нулли и И. Бернулли. Общий метод для разложения дифференцируемой функции в ряд был впервые опубликован Б. Тейлором, хотя в XX веке было установлено, что аналогичные формулы встречались в рукописях Дж. Грегори и И. Ньютона. Теория рекуррентных рядов была разработана А. де Муав-ром. Некоторые методы суммирования рядов предложены X. Гольдбахом и Дж. Стирлингом. К. Маклорен показал однозначность разложения в ряд Тейлора, обосновал интегральный признак сходимости рядов, вывел общую формулу суммирования рядов.

Изучение опубликованных и неопубликованных материалов Эйлера по теории рядов во второй главе диссертации показало, что он использовал математический аппарат, практически эквивалентный современному, однако многие понятия теории рядов в его работах использовались без явного определения. В историческом процессе развития теории рядов Эйлеру принадлежит приоритет в определении таких важнейших понятий, как частичная сумма ряда (суммацион-ный член) и обобщенная сумма ряда. Эйлер одним из первых стал использовать тригонометрические ряды и вывел формулы для вычисления их коэффициентов. Кроме того, несколько работ он посвятил исследованию двойных рядов. Эйлер выявил фундаментальные свойства непрерывных дробей, позволяющие широко использовать их для приближенных вычислений.

В работах Эйлера встречаются некоторые критерии сходимости, известные в современной математике, в частности, аналоги принципа сходимости Больца-но-Коши, интегрального признака Коши-Маклорена, признака сравнения знакоположительных рядов, а также необходимое условие сходимости ряда.

Работы Эйлера по интерполированию рядов заложили основу для теории специальных трансцендентных функций, в частности, бета-функции и гамма-функции. Он впервые предложил различные методы суммирования расходящихся рядов, в том числе с использованием производящей функции, преобразования рядов с помощью подстановок, поиска суммы в виде решения дифференциального уравнения или непрерывной дроби.

Значительные результаты Эйлер получил в области общих методов суммирования сходящихся рядов: он открыл две формулы суммирования, позволяющие вычислять частичные суммы рядов, в настоящее время называемые формулами Эйлера-Маклорена и Эйлера-Буля. Использование формул суммирования позволяет получать удобные для приближенных вычислений асимптотические ряды, а также оценивать точность расчетных формул.

В записных книжках Эйлера обнаружены ранее не исследованные заметки, относящиеся к выводу формулы суммирования Эйлера-Буля и ее частного случая для знакопеременных рядов. Особый интерес представляют обнаруженные выражения для многочленов Эйлера, входящих в формулу Эйлера-Буля, коэффициенты которых в современной комбинаторике называются числами Эйлера I рода. Впервые установлено, что Эйлер использовал рекуррентное правило для вычислений чисел Эйлера I рода в треугольнике Эйлера, а также связал многочлены Эйлера с производящей функцией для последовательности степеней. Нами полностью восстановлен ход рассуждений Эйлера при оценке остатка ряда Грегори-Лейбница для арктангенса с помощью формулы суммирования, не вошедший в опубликованные мемуары.

Эйлер активно использовал в тесной связи с рядами бесконечные произведения для представления функций, интегралов и трансцендентных констант, решения комбинаторных задач. С бесконечными произведениями связаны важнейшие открытия Эйлера в теории рядов: вычисление сумм рядов обратных четных степеней, пентагональная теорема, тождество для дзета-функции. Записные книжки Эйлера содержат много заметок, связанных с бесконечными произведениями. Нами подробно описаны заметки, связанные с эйлеровыми произведениями вида --- где р — простое число, а с — вполне мультипликативная функция натурального аргумента. Были обнаружены тождества, не вошедшие в опубликованные работы Эйлера, в частности, показано, что Эйлер рассмотрел все возможные произведения, соответствующие вполне мультипликативным функциям по модулю 8 (ранее считалось, что впервые это сделал П. Дирихле).

В третьей главе диссертации выполнен анализ разнообразных применений рядов в работах Эйлера. Он использовал ряды для вычисления неопределенных интегралов (в случаях, когда интеграл не может быть выражен аналитически), для приближенного вычисления определенных интегралов и вычисления несобственных интегралов. В основном, он представлял в виде ряда подынтегральную функцию и выполнял почленное интегрирование, либо представлял в виде ряда результат интегрирования и применял метод неопределенных коэффициентов. Аналогичные методы также применялись при решении дифференциальных уравнений. Для решений уравнений в частных производных Эйлер использовал разложения в ряд по производным произвольной функции. Эйлер также изучил, обосновал и максимально обобщил методы приближенного решения уравнений с одной переменной с помощью рядов, разработанные ранее И. Ньютоном и Д. Бернулли.

Эйлер широко применял ряды для приближенных вычислений трансцендентных функций. На основе разложения 1п(1 + х) в ряд Тейлора в точке нуль Эйлер получил удобное для вычислений логарифмов тождество 1п ^^ = ^ + ^ + + +В записной книжке Эйлера №130 обнаружены ранее не описанные заметки, в которых эта формула применена для вычисления натуральных логарифмов простых чисел от 2 до 109.

Один из мемуаров Эйлера полностью посвящен выводу «удобных расчетных» формул для приближенного вычисления тригонометрических функций и их логарифмов. Аналогичные выкладки с точностью до 30 цифр после запятой также обнаружены на страницах его записной книжки №131.

До настоящего времени результаты Эйлера, связанные с вычислением математических констант, оставались недостаточно полно изученными. Исследуя варианты усовершенствования методов вычисления приближенного значения ж, Эйлер предложил новый ряд для вычисления арктангенса, имеющий, начиная с некоторого члена, меньшую погрешность, чем ряд Грегори-Лейбница. Нами проведено экспериментальное сравнение точности этих рядов, получены достаточные условия для определения интервалов, в которых большую точность дает каждый из этих рядов.

Для уменьшения объема вычислений Эйлер вслед за Дж. Мэчином предложил представлять арктангенсы в виде суммы арктангенсов меньших аргументов. В записных книжках Эйлера имеются некоторые тождества для выражения арктангенсов, которые не были им опубликованы. Часть из них была переоткрыта значительно позже и использовалась для вычисления тг в XIX и XX вв.

Другой эффективный способ для вычисления 7Г Эйлер получил на основе формулы суммирования. Он высказал без строгого доказательства несколько утверждений о количестве суммируемых членов ряда для получения необходимого количества верных цифр в значении 7г, которые были экспериментально подтверждены. Вычислительный эксперимент также продемонстрировал об-вертываемость полученного асимптотического ряда. На основе выражения для оценки остатка в формуле суммирования обоснована обвертываемость ряда с постоянной обвертывания |л/2- Доказательство строгой обвертываемости обсуждаемого ряда, не использующее формулу суммирования, было обнаружено в работе Я.В. Успенского, опубликованной в 1912 г. В записных книжках Эйлера найдены два способа вывода асимптотического разложения для 7Г. Изучение заметок Эйлера показывает, что он неоднократно возвращался к своим записям и вносил исправления.

Множество результатов Эйлера связано с константой е. Эйлер первым ввел современное обозначение для этой константы, описал несколько методов ее вычисления: на основе разложения в ряд, с помощью непрерывных дробей, а также получил последовательность ее рациональных приближений, выведенную из диагональных аппроксимаций Паде для функции ех. Используя аппарат непрерывных дробей, Эйлер доказал иррациональность константы е и ее некоторых степеней. Обнаружена заметка из записной книжки, рассматривающая разложение в ряд earcsmx, с помощью которого Эйлер вычислил приближенное значение константы Гельфонда еж.

В современной математике имя Эйлера навсегда связано с константой Эй-лера-Маскерони 7 = lim 1 +1 + . + - — In п = О, 5772156649 — Эйлер не толь

П-» оо z п ко впервые ввел эту константу при изучении частичных сумм гармонического ряда, но и открыл множество тождеств, связывающих значение константы со значениями сумм обратных степеней, а также вычислил ее приближенное значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой с помощью формулы суммирования. Нами выполнено систематическое описание опубликованных работ Эйлера и заметок из записных книжек, имеющих отношение к вычислению константы 7. Экспериментальное сравнение точности рядов для вычисления константы Эйлера-Маскерони при одинаковом числе суммируемых членов подтвердило, что Эйлер использовал для вычислений наиболее быстро сходящийся ряд.

Эйлер впервые рассмотрел константу Эрдёша-Борвейна оо . а = V-« 1,60669515241527

2п - 1 п=1 как пример трансцендентного числа, которое не выражается через определенные интегралы от элементарных функций (предполагаются рациональные пределы интегрирования), и вычислил ее значение с точностью до 15 десятичных цифр после запятой. На основе изучения записных книжек и писем Эйлера установлено, что он нашел основные тождества для вычисления константы а не позднее 1737 г. Эйлер также выдвинул гипотезу о трансцендентности более

00 общего выражения вида гДе х ^ 0, а > 1. Иррациональность таких

71=0 а Х чисел была доказана П. Борвейном в 1987 г., вопрос об их трансцендентности остается открытым.

Интересно, что Эйлер привел значение константы Эрдёша-Борвейна не только в десятичной, но и в двоичной системе. Изучение записных книжек и переписки Эйлера показало, что он хорошо владел представлением дробных чисел в недесятичных системах, в частности, использовал алгоритм перевода десятичных дробей в недесятичные, применял запись чисел в системах счисления по основаниям 2 и 24, обозначая в последнем случае цифры латинскими буквами, как это принято в настоящее время.

Таким образом, в исследовании получены следующие основные результаты:

1. Изучен исторический процесс возникновения и развития теории рядов с древнейших времен до середины XVIII в., обусловленный, прежде всего, возрастающими потребностями эффективных вычислений для решения прикладных математических задач.

2. На основе анализа опубликованных трудов, переписки и рукописных материалов Эйлера систематизированы и проанализированы с современной точки зрения его результаты, связанные с теорией и вычислительными применениями бесконечных рядов.

3. Систематизированы и исследованы заметки из записных книжек Эйлера, включая ранее не описанные, связанные с формулами суммирования, бесконечными произведениями, методами вычисления логарифмических и тригонометрических функций, а также математических констант с помощью рядов.

4. Проведено исследование с помощью вычислительного эксперимента абсолютной погрешности различных разложений в ряды, использованных Эйлером для вычисления математических констант, а также подтверждены все высказанные им утверждения о количествах суммируемых членов рядов, необходимых для получения заданной точности вычислений.

5. Обоснованы оценки остатков рядов для вычисления арктангенса, подтверждающие результаты вычислительного эксперимента, доказана обвертывае-мость асимптотического ряда Эйлера для вычисления 7г.

6. Определена более точная датировка получения некоторых результатов Эйлера, связанных с вычислением математических констант, и восстановлен ход рассуждений Эйлера при оценке остатка ряда для arctg -.

7. Впервые в историко-математической литературе установлен приоритет Эйлера в:

- открытии рекуррентного правила для вычислений чисел Эйлера I рода в треугольнике Эйлера, связи многочленов Эйлера с производящей функцией для последовательности степеней;

- полном исследовании всех возможных эйлеровых произведений, соответствующих вполне мультипликативным функциям по модулю 8;

- открытии некоторых разложений арктангенса на сумму арктангенсов меньших аргументов, которые широко применялись для вычисления значения 7Г в XIX и XX вв.;

- получении диагональных аппроксимаций Паде для экспоненциальной функции и вычислении приближенного значения константы Гельфонда е- исследовании константы Эрдёша-Борвейна и выводе основных тождеств для её вычисления;

- использовании алгоритма перевода десятичных дробей в недесятичные системы счисления, аналогичного современному.

В заключение отметим, что математические исследования Эйлера настолько глубоки и разнообразны, что несмотря на многолетнее изучение историками науки, его опубликованные и неопубликованные работы служат до сих пор и будут служить в будущем источником новых открытий и неожиданных результатов. Возможность применения новых методов исследования, таких как вычислительный эксперимент, а также открытие широкого доступа к работам Эйлера в сети Интернет должны привести в ближайшее время к количественному и качественному росту исследований, открывающих новые неизвестные страницы истории эйлеровских достижений, имеющих огромное значение для всей современной математики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шухман, Елена Владимировна, 2012 год

Список использованных источников

1. Архимед, Гюйгенс, Лежандр, Ламберт. О квадратуре круга с приложением истории вопроса, составленной Ф.Рудио./ Перев. с нем. С.Н.Бернштейна

- Одесса: Матезис, 1911. — VIII + 155 с.

2. Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sin в и cos 9 в работах индийских математиков XV-XVIII вв. // Историко-математические исследования, вып. XIII. - М.: Физматгиз, 1960. - С. 325-334.

3. Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Происхождение систем счисления. / Энциклопедия элементарной математики. Книга 1. Арифметика. — М.-Л.: Гостехтеориздат, 1961. — С. 12-76.

4. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир, 1986. - 502 с.

5. Борвейн Дж.М., Борвейн П.Б. Рамануджан и число тг. //В мире науки. 1988 - №4.~ С. 58-66.

6. Варадараджан B.C. Эйлер сквозь призму времени. Новый взгляд на старые проблемы. — М.-Ижевск:НИЦ«Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. — 448 с.

7. Венков Б.А. О работах Леонарда Эйлера по теории чисел // Леонард Эйлер. 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти.

- М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1935. - С. 81-87.

8. Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики.

- М.:Наука, 1977. — 180 с.

9. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. — М.:Наука, 1967.

- 368 с.

10. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. — М.:Комбук, 2006. — 199 с.

11. Гельфонд А.О. К седьмой проблеме Гильберта. // Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 121-127.

12. Гельфонд А.О. Роль работ Л.Эйлера в развитии теории чисел. // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, представлен-

ных Академии наук СССР.— М.:Изд-во АН СССР, 1958. - С. 80-97.

13. Головинский И.А. Из истории интерполяционных рядов. // Историко-мате-матические исследования, вып. XXII. — М.: Наука, 1977. — С. 65-81.

14. Головинский И.А. Об интерполировании последовательностей у Валлиса и Эйлера. // История и методология естественных наук, вып. XX — М.: Наука, 1978. - С. 62-68.

15. Головинский И.А. Развитие исчисления конечных разностей в XVIII — первой трети XIX вв. Дис. ... канд. физ.-мат. наук — М., 1978. — 199 с.

16. Головинский И.А. Формула суммирования Эйлера-Буля. // Историко-математические исследования, вып. XXVI. — М.: Наука, 1982. — С. 52-91.

17. Горлова В.Д. Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел. Элементы теории дзета-функции в его записных книжках. Дис.

... канд. физ.-мат. наук — Оренбург, 1998. — 139 с.

18. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998. - 703 с.

19. Гусев А.Н. Бесконечные ряды у Леонарда Эйлера. Дисс ... канд. физ.-мат. наук — Кострома, 1963. — 292 с.

20. Гуссов В.В. Развитие теории цилиндрических функций в России и СССР. // Историко-математические исследования, вып. VI. — М.: Гостехиздат, 1953. - С. 355-475.

21. Джамшид Гияс ад-Дин ал-Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности /пер. Б.А. Розенфельда /под ред. B.C. Сегаля и А.П. Юшкевича. — М.: Физматгиз, 1956. — 568 с.

22. Добровольская Э.М. Исследования по непрерывным дробям в трудах Л. Эйлера. //Леонард Эйлер: К 300-летию со дня рождения. — СПб.:Нестор-История, 2008. - С. 63-68.

23. Жирнов Ф.П. Методы приближенных вычислений в XVII веке и их развитие в трудах Эйлера. Дисс ... канд. физ.-мат. наук — М., 1964. — 255 с. + 13 с. литература.

24. Жуков A.B. Вездесущее число тг. — М.:Изд-во ЛКИ, 2007. — 216 с.

25. Журавский A.M. К истории ряда Лагранжа. // Историко-математические исследования, вып. XXII. — М.: Наука, 1977. — С. 34-45.

26. Зверкина Г.А., Суфиярова И.И. О методах приближения длины окружности периметрами правильных многоугольников. // Историко-математиче-ские исследования, вып. 2(37). — М.: Янус-К, 1997. — С. 237-262.

27. Зубков A.M. Эйлер и комбинаторика. // Леонард Эйлер и современная математика, Сборник докладов, Совр. пробл. матем., вып. 11 — М.:МИАН, 2008. - С. 5-18.

28. Игнатушина И.В. Возникновение начал теории бета-функции в работах Л. Эйлера. //Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 3 — Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2002. - С. 54-68.

29. Игнатушина И.В. Вопросы теории Г-функции в записных книжках Л. Эйлера. //Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 3 — Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2002. - С. 30-53.

30. Игнатушина И.В. Обзор результатов Эйлера по теории бета-функции (по печатным работам и неопубликованным материалам). // Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 4 — Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2004. - С. 83-120.

31. Игнатушина И.В. Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах. Дисс ... канд. физ.-мат. наук — Оренбург, 2003. — 156 с.

32. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 3 /под ред. А.П. Юшкевича — М.: Наука, 1972. — 496 с.

33. Кановей В.Г. О суммировании Леонардом Эйлером ряда знакочередующихся факториалов. // Историко-математические исследования, вып. XXXIV. - М.: Наука,1993. - С. 16-46.

34. Карацуба A.A. Эйлер и теория чисел. //Леонард Эйлер и современная математика, Сборник докладов, Совр. пробл. матем., вып. 11 — М.:МИАН,

2008. - С. 19-37.

35. Киселев A.A., Матвиевская Г.П. Неопубликованные записи Эйлера по partitio numerorum. // Историко-математические исследования, вып. XVI. - М.: Наука,1965. - С. 145-180.

36. Кноблох Э. Математические записные книжки Леонарда Эйлера. // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. — М.: Наука, 1988. — С. 102-121.

37. Красоткина Т.А. Переписка Л. Эйлера и Дж. Стирлинга. // Историко-математические исследования, вып. X. — М.: Физматгиз, 1957. — С. 117-158.

38. Кузнецова-Фетисова В.В. Вопросы расходимости рядов в переписке математиков XVIII в. // Вопросы истории естествознания и техники, №4, М.:Наука, 1986. - С. 80-86.

39. Лихин В.В. Исследования Эйлера и Лагранжа по теории конечных разностей. // История и методология естественных наук. Выпуск V. Математика. - М.:Изд-во МГУ, 1966. - С. 35-44.

40. Лихин В.В. Первые исследования по теории суммирования функций. // История и методология естественных наук. Выпуск V. Математика. — М.:Изд-во МГУ, 1966. - С. 219-227.

41. Лихин В.В. Первый период развития теории суммирования функций. // Вопросы истории естествознания и техники, №1 (26), М.:Наука, 1969. — С. 27-30.

42. Лихин В.В. Теория функций и чисел Бернулли и ее развитие в трудах отечественных математиков. // Историко-математические исследования, вып. XII. - М.: Физматгиз, 1959. - С. 59-134.

43. Личикова Ж.Ю. Усовершенствованный метод ломаных в «Интегральном исчислении» Леонарда Эйлера. //Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 3 - Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2002. - С. 77-87.

44. Личикова Ж.Ю. Методы Эйлера для приближенного вычисления производной «непредставимой» функции. //Из истории математики XVIII века.

К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 4 - Оренбург: Изд-во О ГПУ, 2004. - С. 14-30.

45. Малых А.Е. Из комбинаторного наследия Леонарда Эйлера. //Леонард Эйлер: К 300-летию со дня рождения. — СПб.:Нестор-История,2008. — С. 69-78.

46. Матвиевская Г.П. Об изучении неопубликованных математических рукописей Л.Эйлера. //Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 3 - Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2002. - С. 5-12.

47. Матвиевская Г.П. О рукописном наследии и записных книжках Эйлера. // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. — М.: Наука, 1988. - С. 122-129.

48. Матвиевская Г.П., Горлова В.Д. Записные книжки Эйлера: заметки, относящиеся к аналитической теории чисел, рядам и цепным дробям. // Ис-торико-математические исследования, вып. 3(38). — М.: Янус-К, 1999. — С. 315-361.

49. Матвиевская Г.П., Ожигова Е.П., Невская Н.И., Копелевич Ю.Х. Неопубликованные материалы Л.Эйлера по теории чисел. — СПб.:Наука, 1997. —• 255 с.

50. Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования, вып. XIX. — М.: Наука, 1974. — С. 75-93.

51. Медведева H.H. Обзор развития аддитивной теории разбиений. // Исто-рико-математические исследования, вып. 13(48). — М.: Янус-К, 2009. — С. 295-307.

52. Михайлов Г.К. Записные книжки Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР (общее описание и заметки по механике). // Историко-математические исследования, вып. X. — М.: Физматгиз, 1957. — С. 67-94.

53. Михайлов Г.К., Смирнов В.И. Неопубликованные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения — М.: Изд-во АН СССР, 1958. — С.47-79.

54. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе в первой четверти XIX в. // Историко-математические исследования, вып. XXIII.

- М.: Наука, 1978. - С. 32-55.

55. Начала Евклида. Книги XI - XV. /пер. и коммент. Д.Д. Мордухай-Болтов-ского. — M.-JL: Гостехтеориздат, 1950. — 448 с.

56. Ньютон И. Математические работы. Перевод Д.Д. Мордухай-Болтовского

- M.-JL: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, главная редакция технико-теоретической литературы, 1937. — 452 с.

57. Ожигова Е.П. Проблемы теории чисел. // Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. Колмогорова А.Н. и Юшкевича А.П. - М.:Наука, 1978. — С. 123-183.

58. Ожигова Е.П. Развитие теории чисел в России.— М.:УРСС,2003. — 360 с.

59. Осьмова E.H. Вычисление числа 7Г в работах JI. Эйлера с помощью асимптотического ряда. // Историко-математические исследования, вып. 8(43).

- М.: Янус-К, 2003. - С. 167-186.

60. Павлидис В.Д. Непрерывные дроби в записных книжках JI. Эйлера. // Историко-математические исследования, вып. 8(43). — М.: Янус-К, 2003.

- С. 161-167.

61. Павлидис (Горлова) В. Д. Непрерывные дроби в исследованиях JI. Эйлера. //Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера (1707-1783): Сборник научных статей. Выпуск 2 — Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2001. - С. 10-50.

62. Павлидис В.Д. Применение аппарата непрерывных дробей к решению уравнения Риккати в исследованиях Эйлера. //Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник научных статей. Выпуск 3 — Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2002. — С. 13-29.

63. Паплаускас А.Б. Доньютоновский период развития теории бесконечных рядов. I. //Историко-математические исследования, вып. XVIII. — М.: Наука, 1973. - С. 104-131.

64. Паплаускас А.Б. Доньютоновский период развития теории бесконечных рядов. II. Пьетро Менголи //Историко-математические исследования, вып.

XIX. - М.: Наука, 1974. - С. 143-157.

65. Паплаускас А.Б. Доньютоновский период развития теории бесконечных рядов. III. // Историко-математические исследования, вып. XX. — М.: Наука, 1975. - С. 257-281.

66. Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. — М.:Наука, 1966. - 276 с.

67. Петрова С.С. О суммировании расходящихся рядов у Ньютона. // Проблемы истории математики и механики. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — С. 10-14.

68. Петрова С.С. О суммировании Эйлером ряда 1 — 1\х + 21х2 — З!ж3 + ... // Вопросы истории естествознания и техники, №1 (26), М.:Наука, 1969. — С. 30-33.

69. Петрова С.С. Об обвертывающих рядах у Л.Эйлера: об одном забытом примере. // Историко-математические исследования, вторая серия, вып. 14(49). - М.: «Янус-К», 2011. - С. 220-224.

70. Петрова С.С. Формула суммирования Эйлера-Маклорена и асимптотические ряды. // История и методология естественных наук. Выпуск XXXVI. Математика. Механика. - М.: Изд-во МГУ, 1989. — С. 103-108.

71. Петрова С.С., Романовска Д.А. К истории открытия ряда Тейлора. // Историко-математические исследования, вып. XXV. — М.: Наука, 1980. — С. 10-24.

72. Петрова С.С., Соловьев А.Д. Исчисление конечных разностей. // Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. Под ред. Колмогорова А.Н. и Юшкевича А.П. — М.: Наука, 1987. - С. 240-285.

73. Пулатова М.И. Теория рядов и ее практическое применение. Автореферат дисс. ... канд. физ.-мат. наук — Киев, 1992 — 16 с.

74. Риекстынын Э.Я. Оценки остатков в асимптотических разложениях. — Рига: Зинатне, 1986. — 359 с.

75. Санкт-Петербургский филиал Архива РАН (ПФА РАН). Ф. 136. Оп.1. № 129-140.

76. Симонов Н.И. Прикладные методы анализа у Эйлера. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 168 с.

77. Тимченко И. Ю. Основания теории аналитических функций, ч. I: Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций // Записки математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей — Одесса, 1896. Т. 16 — С. 380-433.

78. Тюлина И.А. Жозеф Луи Лагранж. — М.: Книжный дом «Либроком», 2010. - 224 с.

79. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 т. Т.2 - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 864 с.

80. Фомин С.В. Системы счисления. - М.: Наука, 1987 - 48 с.

81. Франкль Ф.И. Об исследованиях Л. Эйлера в области уравнений в частных производных // Историко-математические исследования, вып. VII. — М.: Гостехиздат, 1954. - С. 596-624.

82. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды. — М.:КомКнига, 2006. — 504 с.

83. Хованский А.Н. Работы Л. Эйлера по теории цепных дробей. // Исто-рико-математические исследования, вып. X. — М.: Физматгиз, 1957. — С. 305-326.

84. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках, /пер. с нем. Новикова П., обр., примеч. и предисл. В.Я. Выготского. — М.-Л. ОНТИ, 1938. — 456 с.

85. Черток С.И. Развитие теории рядов в России в XVIII-XIX веках. Автореферат дисс. ... канд. физ.-мат. наук — М., 1992 — 16 с.

86. Чириков М.В. Из истории асимптотических рядов. // Историко-математические исследования, вып. XIII. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 441-474.

87. Шпайзер А. О первом томе «Введения в анализ бесконечных» Леонарда Эйлера // Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. Том I — М.: Физматгиз, 1961. - С. 5-14.

88. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. Том I. Второе издание./ пер. Пацановского Е.Л. — М.: Физматгиз, 1961. — 315 с.

89. Эйлер JI. Дифференциальное исчисление. / пер. Выготского М.Я — М.-Л: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. — 580 с.

90. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том I. / пер. Лурье С.Я. и Выготского М.Я — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 416 с.

91. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том II. / пер. Погребысского И.Б. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы,

1957. - 368 с.

92. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том III. / пер. Франкля Ф.И. - — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1958. — 448 с.

93. Эйлер Л. Письма к ученым. / сост. Кладо Т.Н., Копелевич Ю.Х., Лукина Т.А.; под ред. Смирнова В.И. - М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1963. - 398 с.

94. Юшкевич А.П. И.Г. Ламберт и Л. Эйлер.// Историко-математические исследования, вып. XXV. - М.: Наука, 1980. - С. 189-217.

95. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер о квадратуре круга. // Историко-матема-тические исследования, вып. X. — М.: Физматгиз, 1957. — С.159-210.

96. Юшкевич А.П. Математика в ее истории. — М.:Янус, 1996. — 413 с.

97. Юшкевич А.П. О достижениях китайских ученых в области математики. // Историко-математические исследования, вып. VIII. — М.: Физматгиз,

1958. - С. 539-572.

98. Юшкевич А.П. О математических рукописях И. Ньютона. // Историко-математические исследования, вып. XXII. — М.: Наука, 1977. — С. 127-192.

99. Andrews G.E. Euler's "De Partitio Numerorum". // Bulletin of The American Mathematical Society. - 2007. - V.44, N.4 - pp. 561-573.

100. Andrews G.E. Euler's Pentagonal Number Theorem. // Mathematics Magazine. - 1983. - V. 81, N. 11 - pp. 279-284.

101. Arndt J., Haenel С. тг Unleashed. — Springer, 2001. - 270 p.

102. Ayoub R. Euler and the Zeta Function. // The American Mathematical Monthly. - 1974. - V. 81, N. 10 - pp. 1067-1086.

103. Barbeau E. J., Leah P. J. Euler's 1760 paper on divergent series. // Historia Mathematica. - 1976. - Vol. 3 - pp. 141-160.

104. Barbeau E. J. Euler Subdues a Very Obstreperous Series. // American Mathematical Monthly. - 1979. - V. 86, N. 5. - pp. 356-372.

105. Bauer F.L. Gregory-Leibniz und Euler: Arcus-Cotangens-Relationen. (Anläßlich des 300. Geburtstags von Leonhard Euler) // Informatik Spektrum.

- 2007. - Vol.30, N.6 - pp. 444-451.

106. Bell J. A summary of Euler's work on the pentagonal number theorem. //Archive for History of Exact Sciences. - 2010 - V.64, N.3. - pp. 301-373.

107. Beckmann P. A History of Pi. - New York: St.Martin's Press, 1974. - 202 p.

108. Bernoulli, I. Opera omnia, tarn antia sparsim edita, quam hactenus inedita. T. IV - Lausannae h Genevae: 1742. — 588 p.

109. Bernoulli J. Unendlichen Reichen. Aus lateinischem übersetzt, herausgegeben von D.G. Kowalewski. — Leipzig, 1909. — 142 p.

110. Boole G. A Treatise of the Calculus of Finite Differences. / 3th ed. - London: Macmillan, 1880. - 336 p.

111. Borwein J. M., Calkin N. J., Manna D. Euler-Boole Summation Revisited. // American Mathematical Monthly. - 2009. - Vol. 116, N. 5 - pp. 387-412.

112. Borwein P. B. On the irrationality of ^2(l/(qn + r)). // Journal of Number Theory. - 1991. - V. 37, N. 3 - pp. 253-259.

113. Brezinski C. History of continued fractions and Pade approximants. — Berlin: Springer-Verlag, 1991. — 551 p.

114. Brezinski C. The long history of continued fractions and Pade approximants. // Pade approximation and its applications, Lecture Notes in Math. Vol. 888

— Berlin-New York: Springer, 1981. — pp. 1-27.

115. Brezinski C. Extrapolation algorithms and Pade approximations: a historical survey. // Applied Numerical Mathematics. — 1996. — Vol. 20, N. 3 — pp. 299-318.

116. Briefwechsel Von Leonhard Euler: Beschreibung, Zusammenfassungen Der Briefe Und Verzeichnisse // Juskevic A.P., Smirnov V.l., Habicht W.— Birkhäuser, 1975. — 666 s.

117. Castellanos D. The Ubiquitous ir. Part I // Mathematics Magazine. — 1988. -Vol.61, N.2 — pp. 67-98.

118. Coolidge J. L. The Number e. // The American Mathematical Monthly. — 1950. - Vol. 57, N. 9. - pp. 591-602.

119. Cotes R. Logometria. // Philosophical Transactions of the Royal Society.™ 1714. - Vol. 29. - pp. 5-45.

120. Delahaye J.P. tt - Die Story. - Springer, 1999 - 271 s.

121. Digernes T., Varadarajan V.S. Notes on Euler's work on divergent factorial series and their associated continued fractions. // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 2010. - V.41, N. 1. - pp. 39-66.

122. Dunham W. Euler: The master of us all. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1999. — 185 p.

123. Dutka J. The early history of factorial function. // Archive for History of Exact Sciences. - 1991. - V.43, N. 3 - pp. 245-249.

124. Eneström G. Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. // Jahresbericht der Deutchen Mathematiker-Vereinigung. Der Ergänzungsbände. Bd.IV, Lief. 1-2.

- Leipzig: 1910. - S. 1-388.

125. Erdös P. On arithmetical properties of Lambert series// Journal of Indian Mathematical Society. - 1948. - V. 12 - pp. 63-66.

126. Euler L. Briefwechsel // Leonhardi Euleri Opera Omnia. Ser. IVA: Commercium epistolicum. Vol. II — Basel: Birkhäuser, 1998. — 757 p.

127. Euler L. Consideratio progressionis cuiusdam ad circuli quadraturam inveniendam idoneae. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae.

- 1750. - Vol. 11 - P. 116-127.

128. Euler L. Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. -1753. - Vol. 3 - P. 86-108.

129. Euler L. De aequationibus differentialibus, quae certis tantum casibus integrationem admittunt. / / Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1747. - Vol. 10 - P. 40-55.

130. Euler L. De curva hypergeometrica hac aequatione expressa y = 1 • 2 • 3 •... • :r. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1769. - Vol. 13

- P. 3-66.

131. Euler L. De formatione fractionum continuarum. // Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae. - 1782 - Vol. 3 - P. 3-29.

132. Euler L. De fractionibus continuis dissertatio. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1744. - Vol. 9 - P. 98-137.

133. Euler L. De fractionibus continuis observationes. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1750. - Vol. 11 - P. 32-81.

134. Euler L. De integratione formulae J ab x = 0 ad x = 1 extensa. // Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae. - 1780. - Vol. 1 - P. 3-28.

135. Euler L. De novo genere serierum rationalium et valde convergentium, quibus ratio peripheriae ad diametrum exprimi potest. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1798. - Vol. 11 - P. 150-154.

136. Euler L. De numero memorabili in summatione progressionis harmonicae naturalis occurrente. // Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae.

- 1785. - Vol. 5 - P. 45-75.

137. Euler L. De plurimis quantitatibus transcendentibus, quas nullo modo per formulas integrales exprimere licet. // Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1780. - Vol. 4 - P. 31-37.

138. Euler L. De productis ex infinitis factoribus ortis.//Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1750. - Vol.11 - P. 3-31.

139. Euler L. De progressionibus harmonicis observationes. //Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1740. - Vol.7 - P. 150-161.

140. Euler L. De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. //Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1738. - Vol.5 - P.36-57.

141. Euler L. De seriebus divergentibus.//Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1760. - Vol.5 - P.205-237.

142. Euler L. De summatione innumerabilium progressionum. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1738. - Vol. 5. - P. 91-105.

143. Euler L. De summis serierum numeros Bernoullianos involventium. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1770. - Vol. 14. - P. 129-167.

144. Euler L. De summis serierum reciprocarum.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1740. - Vol. 7. - P. 123-134.

145. Euler L. De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium ortarum dissertatio altera, in qua eaedem summationes ex fonte maxime diverso derivantur. //Miscellanea Berolinensia. - 1743. - Vol. 7. - P. 172-192.

146. Euler L. De termino generali serierum hypergeometricarum.// Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1793. - Vol. 7. - P. 42-63.

147. Euler L. De transformatione seriei divergentis 1 — mx 4- m(m 4- n)x2 — m(m + n) (ra + 2n)x3 + eic. in fractionem continuam. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1788 - Vol. 2. - P. 36-45.

148. Euler L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1744. - Vol.9. -P. 222-236.

149. Euler L. Disquisitio ulterior super seriebus secundum multipla cuiusdam anguli progredientibus. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1798. - Vol. 11. - P. 114-132.

150. Euler L. Evolutio formulae integralis J 4- a termino x = 0 usque ad x = 1 extensae. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1789. - Vol. 4. - P. 3-16.

151. Euler L. Exercitationes analyticae. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1773. - Vol. 17. - P. 173-204.

152. Euler L. Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1741. - Vol. 8. - P. 9-22.

153. Euler L. Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1798. - Vol. 11 - P.

133-149.

154. Euler L. Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. // Opera Postuma. 1862. - Vol.II - P. 800-804.

155. Euler L. Meditationes circa singulare serierum genus. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1776. - Vol. 20. - P. 140-186.

156. Euler L. Methodus generalis summandi progressions.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1738. - Vol. 6. - P. 68-97.

157. Euler L. Methodus facilis computandi angulorum sinus ac tangentes tarn naturales quam artificiales.//Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1750. - Vol. 11. - P. 194-230.

158. Euler L. Methodus facilis inveniendi series per sinus cosinusve angulorum multiplorum procedentes, quarum usus in universa theoria astronomiae est amplissimus. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. -1798.-Vol. 11.-P. 94-113.

159. Euler L. Methodus universalis serierum convergentium summas quam proxime inveniendi.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1741. -Vol. 8. - P. 3-9.

160. Euler L. Methodus universalis series summandi ulterius promota. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1741. - Vol. 8. - P. 147-158.

161. Euler L. Nova ratio quantitates irrationales proxime exprimendi. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1774. - Vol. 18. - P. 136-170.

162. Euler L. Observationes analyticae. // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1767. - Vol. 11. - P. 124-143.

163. Euler L. Observationes analyticae variae de combinationibus. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1751. - Vol. 13. - P. 64-93.

164. Euler L. Series máxime idoneae pro circuli quadratura proxime invenienda. // Opera Postuma. 1862 — Vol.1 - P. 288-298.

165. Euler L. Specimen de constructione aequationum differentialium sine indeterminatarum separatione. / / Commentarii academiae scientiarum

Petropolitanae. - 1738. - Vol.6. - P. 168-174.

166. Euler L. Variae considerationes circa series hypergeometricas. // Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. - 1794. - Vol. 8. - P. 3-14.

167. Euler L. Variae observationes circa series infinitas. // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1744. - Vol. 14. - P. 217-244.

168. Faber G. Ubersicht über die Bände 14, 15, 16, 16* der ersten Serie Eulers Opera Omnia // Leonhardi Euleri Opera Omnia, Ser. I Opera mathematica, V. 16*, 1935. - S. VII-CXII.

169. Ferraro G. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815 // Historia Mathematica. - 2007. - V. 34 - pp. 62-88.

170. Ferraro G. Some Aspects of Euler's Theory of Series: Inexplicable Functions and the Euler-Maclaurin Summation Formula. // Historia Mathematica. -1998. - V. 25 - pp. 290-317.

171. Ferraro G. The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early 1820s. - Springer, 2008. - 389 p.

172. Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — 602 p.

173. Fuß P.H. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres, éd. par P.H. Fuß, Bd. I, II. — Petersburg, 1843.

174. Gautschi W. Leonhard Eulers Umgang mit langsam konvergenten Reihen. //Elemente der Mathematik. - 2007. - V. 62 - S. 1-10.

175. Gautschi W. On Euler's attempt to compute logarithms by interpolation: A commentary to his letter of February 16, 1734 to Daniel Bernoulli. // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2008. - V. 219, N. 2 - pp. 408-415.

176. Glaisher J.W.L. On the History of Euler's Constant. // The Genius of Euler. Reflections on his Life and Work. ed. W.Dunham — Washington D.C.: MAA, 2007. - pp. 147-152.

177. Glaser A. History of binary and other nondecimal numeration. — Tomash Publishers, 1981. - 218 p.

178. Goldbach C. De terminis generalibus serierum.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1732. - Vol. 3. - P. 164-173.

179. Goldbach C. De transformatione serierum.// Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1729. - Vol. 2. - P. 30-34.

180. Havil J. Gamma. Exploring Euler's Constant. — Princeton: Princeton University Press, 2003. — 266 p.

181. Hofmann J.E. Um Eulers erste Reihenstudien. // Sammelband der zu Ehren des 250 Geburtstages Leonhard Eulers der Deutschen Akademie der Wissenschaften vorgelegten Abhandlungen — Berlin: Akademie-Verlag, 1959.

- S. 139-208.

182. Hofmann J.E. Zur Entwicklungsgeschichte der Eulerschen Summenformel. // Mathematische Zeitschrift. - 1957. - Bd. 67, N. 2. — S. 139-146.

183. Hopkins B., Wilson R. Euler's Science of Combinations. // Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. — Amsterdam:Elsevier, 2007. — P.395-408.

184. Hutton Ch. A New and General Method of Finding Simple and Quickly-Converging Series By Which the Proportion of the Diameter of a Circle to Its Circumference May Easily be Computed to a Great Number of Places of Figures. // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1776.

- Vol. 66. - pp. 476-492.

185. Juskevic A.P., Winter E. Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel 1729-1764. - Berlin:Akademie-Verlag, 1965,- 420 p.

186. Kline M. Euler and Infinite Series. // Mathematical Magazine - 1983. - Vol.56, N. 11. - pp. 307-314.

187. Knuth D.E. Euler's Constant to 1271 Places. // Mathematics of Computation.

- 1962. - Vol. 16, N. 79. - pp. 275-281.

188. Leibnitii G.W. Opera omnia, v.Ill Continens opera mathematica. — Genevae, 1768. - 816 p.

189. Leibniz G.W. Demonstratio, quod columnae serierum exhibentium potestates ab arithmeticis aut numeros ex his conflatos, sint periodicae /Die mathematische Schriften von Gottfried Wilheim Leibniz, vol. VII C. I. Gerhardt (ed) - Halle: 1863. - S. 235-237.

190. Leibniz G.W. Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1 avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures Chinoies de Fohy /Die mathematische Schriften von Gottfried Wilheim Leibniz, vol. VII C. I. Gerhardt (ed) - Halle: 1863 - S. 223-227.

191. Lehmer D.H. On Arccotangent Relations for it. // The American Mathematical Monthly. - 1938. - vol. 45, N. 12. - pp. 657-664.

192. Lehmer D.H. On the Value of the Napierian Base. // American Journal of Mathematics. - 1926. - vol. 48, N. 2. - pp. 139-143.

193. Maclaurin G. A treatise of fluxions, Vol.11 - Edinburgh, 1742. - 330 p.

194. Mascheroni L. Adnotationes ad Euleri Calculum Integralem. — Ticini, 1790 — 72 p.

195. Maor E. E: the story of a number. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. - 223 p.

196. Mills S. The Independent Derivations by Leonhard Euler and Colin MacLaurin of the Euler-MacLaurin Summation Formula. //Archive of History Exact Sciences. - 1985. - V.33, N. 1. - pp. 1-13.

197. Mitchell U. G., Strain M. The Number e. // Osiris. - 1936. - Vol. 1, N. 1. -pp. 476-496.

198. Ouspensky J. Sur une série asymptotique d'Euler. // Archiv der Mathematik und Physik. - 1912,- Bd.19, N.3. - S. 370-371.

199. Posamentier A.S., Lehmann I. Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. — New York: Prometheus Books, 2004. — 324 p.

200. Pengelley D.J. Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula. // Euler at 300 : An Appreciation — Washington D.C.: MAA, 2007. - pp. 169-190.

201. Reiff R. Geschichte der unendlichen Reihen. — Tübingen, 1889. — 212 s.

202. Sandifier C.E. A false logarithm series. [Electronic resource] — Washington D.C.: MAA, 2007. — Access mode: http://www.maa.org/editorial/euler/"How Euler Did It 50 false log series ".pdf

203. Sandifier C.E. Gamma The Constant. [Electronic resource] — Washington D.C.: MAA, 2007. — Access mode: http://www.maa.org/editorial/euler/"How Euler Did It 48 Gamma constant".pdf

204. Sandifier C.E. The Early Mathematics of Leonhard Euler. — Washington D.C.: MAA, 2007. - 394 p.

205. Sandifier C.E. Who proved e is irrational? [Electronic resource] — Washington D.C.: MAA, 2006. — Access mode: http://www.maa.org/editorial/euler/"How Euler Did It 28 e is irrational ".pdf

206. Stirling J. Methodus Differential. — Londini, 1730. — 153 p.

207. The first 498 Bernoulli Numbers / Ed. Plouf S. Montreal: University of Quebec, 2001. - Mode of access: http://www.gutenberg.org/dirs/etext01/brnlll0.txt

208. Trail W. Account of the Life and Writings of Robert Simson. — London, 1812. - 190 p.

209. Tweddle I. John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for 7r. // Archive for history of exact sciences. - 1991. - Vol. 42, N.l. - pp. 1-14.

210. Varadarajan V. S. Euler and his work on infinite series. //Bulletin of the American Mathematical Society. - 2007. - V. 44. - p. 515-539.

211. Weil A. Number theory: an approach through history from Hammurapi to Legendre. - Boston: Birkhauser, 2007. - 376 p.

212. Weisstein E.W. Erdos-Borwein Constant. From MathWorld - A Wolfram Web Resource. Access mode: http://mathworld. wolfram.com/Erdos-BorweinConstant.html

213. Weisstein E.W. Pi Formulas. From MathWorld - A Wolfram Web Resource. Access mode: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

214. Wrench J.W., Jr. The evolution of extended decimal approximation to tt. // PI: A Source Book. Third Edition - Springer, 2004. - pp. 319-325

215. Yee A., Kondo Sh. Round 2 ... 10 Trillion Digits of Pi. - New World Record. Access mode: http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html

Приложение. Копия статьи Я.В. Успенского «Об асимптотическом ряде Эйлера»

370

Yermiachte Míttciluageii.

Sor nne térle esymptotlqne d'Euler«, Oa trouve dans l'ouvrage d'EuIer; „Institutiones Calculi differentialis"

une série asymptotique remarquable

......?........+......

я -4я (n»i i*++" ■"+ ¡¡4»»î

<» , J.x S, _ 13, B,

«*_,"ri> 'in' 2e • S ■ ne 24 * Б • пдо

ou par

on désigne les nombres de Bernoulli. Les raisonnements, dont se sert Euler, n'étant point rigoureux, nous nous proposons dans cette note d'établir le résultat d'Euler d'une manière simple et rigoureuse. En partant d'une intégrale définie bien connue

f-

1 sin nzds «

n'-f*1

il est aisé de représenter la somme

n ,__n , , __ n_

-fi*

de la manière suivante

if-

sin nzdz —

où Ton a posé

(2) R.

^Jc" sli 0

En utilisant les résultats bien connus

(3)

, i i , ti , +2)

on tire de (i) d'où

M

/einapûf . i j 1 1,1»

0

/„вшиг , *

« i »

_ *

■ 4s.

* 1

3

«и , 1

fe ж - + — -1 *

Or, en vertu de l'égalité (3) on a

2 je~*'$bne

Г ein

JjSi

-da \ àz

Vermiachte Hitteilungeo.

871

oa bien

{j~'-i—<n + °)'de } dt.

On s'assure aisément qu'il est permis ici d'intervertir l'ordre des intégrations, es sorte qu'on peut poser

jR„je~Ht — «)* —«■(* + «)*} àz,

o o

d'où l'on trouve après des calculs faciles:

It.-in'f.....—■

o

On parvient donc à établir l'égalité: 1 , 1

(5)

я-in + + + »'+»'} - ¿»«Г

o

En s'aidant de l'identité:

16n'« ¿«+"ï«î ""

et de l'expression bien connue des nombres de Bernoulli par une intégrale définie:

B» fî**-ld<t

»'"J«1"-1' «

de l'égalité (5) on tire facilement

{«'+1" + n' + W

n* + n® I e,nrt_i

jB, _ B, '."»>" 2* • 8 ■

+ я + Г»» _ ï'Vï*. +•••+(-1) ¡'.-tpjtj],«-' + '

C'est le résultat d'E'uler que nous voulions établir,

St.-Pétersbonrg. Jacob Oiïspekskï.

h-1 00 Cn