Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Угольникова, Ольга Дмитриевна

• Угольникова, Ольга Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Угольникова, Ольга Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I О ФОРМИРОВАНИИ КОМБИНАТОРИКИ В

XVII ВЕКЕ.

1.1. Источники комбинаторной теории.

1.2. Предшественники Г.-В. Лейбница.

1.3. Формирование комбинаторной теории в трудах Г.-В. Лейбница и ЯЛ Бернулли.

ГЛАВА II ПУТИ РАЗВИТИЯ КОМБИНАТОРНОГО УЧЕНИЯ

В XVIII ВЕКЕ.

2.1 Развитие комбинаторной теории в исследованиях П.-Р. де

Монмора.

2.2 Дальнейшее развитие комбинаторных идей в научном наследии Л. Эйлера.

2.3 Комбинаторные исследования Н. де Бегелена и ИЛИ Бернулли

ГЛАВА III РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА НА

РУБЕЖЕ XVIII-XIX ВЕКОВ.

3.1. Создание комбинаторной школы.

3.2. Попытки систематизации теоретических основ комбинаторики.

3.3 Конструктивная часть комбинаторного учения.

3.4 Развитие перечислительной части комбинаторного учения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке»

Древнейшая и, возможно, ключевая ветвь математики — комбинаторика — долгое время оставалась на периферии математической науки. В последние десятилетия произошло стремительное включение комбинаторного анализа в русло современной математики, что связано не только с обновлением аппарата, но и резким расширением области приложений, предмета исследований рассматриваемой дисциплины. Комбинаторные методы проникли в другие науки, в частности, теорию чисел, алгебру, теорию вероятностей, геометрию, теорию графов. Они стали активно использоваться в психологии, медицине, космической технике и радиосвязи. Интерес самих математиков к комбинаторному анализу усилился в связи с изменением статуса дискретной математики при появлении во второй половине XX века информатики и компьютерной техники, используемой практически во всех сферах жизнедеятельности человека. Он обусловлен также попытками ведущих специалистов этой области превращения комбинаторного анализа в составную часть магистрального направления современной математики.

Широкое внедрение комбинаторных методов в науку и практику, производство и экономику при высокой степени разработанности теории определяет внимание к ее истории. Такие известные ученые как H.JI. Биггс, Е. Кно-блох, К.Р. Бирман проводили подобные исследования в этом направлении [63], [86], [64]. Из отечественных трудов необходимо отметить работы К.А. Рыбникова [33], [35], А.Е. Малых [15], [16], Дж. Кутлумуратова [10]. Элементы истории комбинаторики освещены J1.E. Майстровым [11], [12], Б.В. Гнеденко [5]. Материал по обсуждаемой тематике имеется в [7], вышедшей под редакцией А.П. Юшкевича. Вопросы, относящиеся к дискретной математике, рассмотрены в публикациях Г.П. Матвиевской, например, в [24]. Среди литературы XIX столетия следует упомянуть исследования И. Тодхан-тера 1102], Е. Нетто [92], В.Я. Буняковского [3].

Вышеуказанные факты свидетельствуют о том, что история комбинаторного анализа постоянно находится в поле зрения ученых. Его развитие с древнейших времен дет настоящего времени, а также процесс формирования многочисленных разделов подробно освещены. Вместе с тем, при более глубоком исследовании этих вопросов обнаруживаются неизвестные ранее имена ученых, занимавшихся разработкой комбинаторной теории, отыскиваются проблемы, служившие истоками целых современных научных направлений, в частности, дискретной математики, переосмысливается вклад научных школ в развитие математики.

Сказанное выше относится и к XVIII столетию. Анализ первоисточников позволяет сделать вывод о том, что в то время интерес к комбинаторике не угасал, более того — усиливался. Именно в рассматриваемый нами период изучались некоторые структуры блочно-схемного типа: магические и латинские квадраты, другие конструкции, изучались операции с рядами, выполнялось суммирование числовых последовательностей и другие. Тогда же стал формироваться и находить применение математический аппарат науки с присущими ему проблемами и методами: полной математической индукции, производящих функций, рекуррентных соотношений, конечных разностей, включения и исключения. Многие из перечисленных выше вопросов уже нашли освещение в трудах по истории комбинаторного анализа указанного периода: исследования по общей проблематике выполнены К.А. Рыбниковым и А.Е. Малых в указанных выше работах, ряд важных специальных направлений представлен О.В. Ивановым [6], Дж. Кутлумуратовым [9], [10], Е.П.Ожиговой [28], П.П. Пермяковым [29].

Однако, несмотря на пристальное внимание ученых к процессу формирования и развития комбинаторного учения, в том числе и в XVIII веке, выбранная тематика остается актуальной. В частности, за пределами опубликованных исследований остались вопросы:

- выяснения структуры комбинаторного анализа в рассматриваемый период;

- разработки и систематизации основ теории соединений (фундаментального раздела комбинаторного анализа);

- развития одного из его направлений - класса специфических задач с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов дискретных множеств;

- взаимовлияния комбинаторной теории и других математических дисциплин, внутренних связей между разделами комбинаторного анализа;

- оценки результатов деятельности первой комбинаторной школы. Отмеченные выше пробелы в истории математики частично восполнены в диссертации, что подтверждает ее новизну. В ней исследуются пути разработки теоретической базы комбинаторики, представленной введением основных понятий и операций над элементами дискретных множеств, доказательством их свойств, разработкой специальной символики. Изучается развитие специфического направления комбинаторной теории, представленного классом задач с занимательной фабулой. Выделяются конструктивное и перечислительное направления теории соединений. Рассматриваются вопросы применения полученных результатов к решению проблем из смежных математических дисциплин. Выполняется сравнительный анализ работ ученых гин-денбургской школы. Дается оценка ее вклада в формирование новых математических теорий и развитие комбинаторного анализа на рубеже XVIII-XIX в.

Важное значение для установления причин интереса ученых указанной эпохи к комбинаторным вопросам имеет тот факт, что (согласно общематематической периодизации А.Н. Колмогорова) XVIII столетие находилось на стыке двух периодов развития математики. С одной стороны, в XV1I-XVI11 в. выдающиеся ученые Г.-В. Лейбниц, братья Бернулли, JI. Эйлер и другие предвосхищали развитие науки и закладывали теоретические основы новых математических дисциплин, которые лишь впоследствии оформились в закопченные теории с многочисленными приложениями. С другой стороны, изучение и анализ целого ряда первоисточников, опубликованных уже в XIX столетии, позволяет отнести изложенные в них результаты к идейным и содержательным достижениям XVIII века. Однако унаследованные научные ценности в области комбинаторного учения и степень математической строгости, с которой они были представлены, а поэтому и в связи с этим потребовали критического пересмотра, привели к созданию комбинаторной школы. Работы, активно проводившиеся в ее рамках под руководством К.-Ф. Гинденбурга, были востребованы и широко использовались формировавшимися в то время новыми математическими теориями (групп, алгебраических уравнений, подстановок, определителей, структур блочно-схемного типа и др.). Деятельность немецкой школы к настоящему времени так и не получила всестороннего освещения, а ее роль, как показали исследования, крайне занижена. Высказывания Ф. Клейна и X. Хенкеля о научном направлении комбинаторной школы как тупике в развитии математики, стали историческим стереотипом. Достижения и открытия современной эпохи дают основания для новой ретроспективы. Приоритеты третьего тысячелетия приводят к переосмыслению значимости комбинаторных исследований рассматриваемого периода, новой оценке вклада немецкой школы в развитие математики в целом и комбинаторного анализа, в частности.

Целью диссертации является исследование формирования и развития комбинаторного анализа в XVIII — первой трети XIX столетия. Для этого необходимо решить следующие задачи:

- выявить основные идеи, сформулированные учеными XVIII века, послужившие основой исследований математиков этого периода и приведших к формированию целых разделов комбинаторного анализа;

- определить пути развития комбинаторного учения в рассматриваемый период;

- представить развитие в XVIII веке учения о соединениях — фундаментального раздела комбинаторного анализа;

- рассмотреть применение его к другим разделам математики, а также к решению прикладных задач;

- выделить и исследовать особое направление развития комбинаторной теории в XVIII веке - класс специальных комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов рассматриваемых множеств;

- выяснить вклад различных ученых в исследование вопросов комбинаторной теории;

- реконструировать методы, используемые при подсчете различных видов соединений с ограничениями на позиции их элементов (определенной суммы, произведения и др.);

- изучить попытки создания "единого комбинаторного учения" в немецкой школе;

- оценить ее вклад в дальнейшее развитие математики;

- выполнить анализ и раскрыть содержание первых учебников по комбинаторике.

Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализы, которые позволяют реконструировать историю комбинаторного учения, выявить его взаимодействие с широким кругом математических вопросов, оценить научные результаты ученых XVIII века в контексте исторического развития идей и методов.

Научная новизна состоит в том, что в работе представлено состояние комбинаторной теории и ее приложений в XVIII веке, в том числе:

1) дан историко-матсматический анализ широкого круга вопросов, относящихся к области комбинаторного учения XVIII столетия и его составной части - теории соединений;

2) выявлены задачи, приводящие к формированию основных понятий и методов этой дисциплины;

3) представлено развитие различных видов соединений;

4) установлены теоретические и практические приложения комбинаторики;

5) изложены различные пути разработки ее теоретической базы и систематизации;

6) прослежены попытки усовершенствования комбинаторной символики в XVII-XVI1I веках;

7) выполнен анализ различных методик решения групп конструктивных задач, позволивших считать проблему перебора всевозможных выборок закрытой;

8) изучены подходы к отысканию числа различных видов соединений, а также к решению более общих задач;

9) оценен вклад в развитие комбинаторики исследователей, не получивших до настоящего времени должного признания;

10) пополнены сведения об исследованиях в этой области ряда знаменитых ученых, существенно продвинувших комбинаторную теорию;

11) дана новая оценка деятельности немецкой научной школы и ее вкладу в развитие комбинаторной теории на рубеже XVIII - XIX столетий.

На основе анализа многочисленных первоисточников, относящихся к периоду XVI-XIX веков, сделана попытка установить причины и стимулы развития комбинаторного учения, его предмет, структуру; изучить магистральное направление развития теории, выявить ее особенности и достигнутые результаты, оценить вклад ряда ученых, а также целой научной школы в разработку комбинаторной теории. Выполненное нами исследование позволяет представить комбинаторное учение как самостоятельную часть математики XVIII века, нашедшую многочисленные теоретические и практические приложения.

На защиту выносятся следующие утверждения:

1. Тенденции в математике на стыке двух периодов нашли отражение и в общей концепции развития комбинаторного анализа. Постепенное накопление отдельных результатов в этой области завершилось несколькими попытками представления законченной теории соединений —- важного разде ла комбинаторного учения (XVIII в.).

2. В силу специфики исследований комбинаторный анализ распался на две составляющие: элементарную комбинаторику (теорию соединений) и комбинаторный анализ, изучающий вопросы высшей математики, в том числе, учение о рядах. Первая из них стала одной из ведущих математических дисциплин: ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы. Традиционные комбинаторные подходы к решению задач позволили заложить основы новых разделов математики.

• 3. Потребности «чистой» науки конца XVIII в. привели к тому, что теория соединений распалась на конструктивную и перечислительную части.

4. Комбинаторная теория была средой, в которой развивались и совершенствовались методы построения конструкций блочно-схемного типа, изучались последовательности и фигурные числа, формировались основные понятия теории вероятностей.

5. Для понимания роли и места комбинаторного учения важно учитывать его связь с другими естественно-научными дисциплинами.

6. Кардинальные изменения в подходах к обоснованию математических теорий привели к созданию комбинаторной школы под руководством К.- Ф. Гинденбурга. Состояние, уровень развития самой математики, а также увле

М чение другим, ставшим впоследствии ее центральным направлением — анализом бесконечно малых величин, - привели к недооценке современниками результатов деятельности этой школы.

7. Выявление полной картины становления комбинаторного анализа как науки предполагает исследование развития всех его направлений, в том числе теории соединений. Вслед за Г.- В. Лейбницем, Я. I Бернулли, Л. Эйлером, ряд мало известных к настоящему времени ученых таких, как П.- Р. де Монмор, Н. де Бегелен,. К.-Ф. Гиндепбург, Дж. Вейнгартнер, Л. Эттингер и другие внесли существенный вклад в ее развитие.

8. Комбинаторные задачи с занимательной фабулой, в большом коли-^ честве рассматриваемые учеными XVIII столетия и относящиеся как принято считать в наши дни, к конкретной математике, являются неотъемлемым составляющим звеном комбинаторной теории. В требованиях строгого обоснования математических дисциплин конца XVIII - начала XIX века не был рассмотрен в качестве самостоятельного этот путь развития специфического и наиболее трудного, как оказалось, раздела математики - комбинаторного анализа.

Практическая реализация. Материалы диссертации могут быть использованы:

- при изучении истории математики,

- для написания очерков по истории комбинаторного анализа и оценки его роли в системе математических знаний,

- в дальнейших исследованиях развития теории соединений,

- при чтении лекций, спецкурсов по истории комбинаторного анализа,

- в разработке лекций и семинарских занятий по дискретной математике.

Апробация работы. Диссертация в целом и ее отдельные части были представлены на научных конференциях аспирантов и стажеров по истории естествознания и техники при ИИЕиТ АН СССР (1981—1988); Всесоюзном семинаре по теории графов при СГУ (Самарканд, 1983); семинаре по истории науки при ЛГПИ им. А.И. Герцена (1989—1993); семинаре по дискретной математике при МГУ им. М.В. Ломоносова (1993, 2003), межвузовском семинаре по истории математики при ПГУ им. A.M. Горького (Пермь, 1993—1994) и последующих выступлениях в Уральском центре истории науки и образова-% ния УЦИНО (1995—2003); семинаре по истории комбинаторного анализа при

ПГПИ (Пермь, 1988—1992); ежегодных научных конференциях преподавателей ПГПИ (1983-1994).

Основное содержание диссертации отражено в шестнадцати статьях автора.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 144 страницах, а также списка использованной литературы, содержащего 108 наименований.

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Угольникова, Ольга Дмитриевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Стремительное проникновение во второй половине прошлого века компьютерной техники и связанных с ней информационных технологий во все сферы человеческой деятельности предопределило пристальное внимание историков науки к дискретной математике, важной составной частью которой является комбинаторный анализ. Вопросы истории его зарождения и развития с древнейших времен до настоящего времени, а также формирование многочисленных разделов к настоящему времени изучены достаточно полно. Однако, анализ архивных материалов и первоисточников, относящихся к периоду конца XVII - начала XIX века, проведенный в свете новых научных достижений, позволяет внести изменения в ретроспективу комбинаторного учения.

В настоящем исследовании сформулирован перечень актуальных вопросов, относящихся к истории его развития в указанный период. При их изучении были приняты во внимание особенности развития науки на рубеже рассматриваемых столетий.

Согласно периодизации комбинаторного анализа, диссертационное исследование целиком охватывает один из выделенных в ней периодов, обозначенный как «оформление комбинаторики до создания комбинаторной школы». Известно, что в силу специфики исследований «чистой» математики комбинаторный анализ распался на две составляющие: комбинаторику (теорию соединений) и комбинаторный анализ, исследующий вопросы высшей математики. За основу проводимых нами исследования были взяты идеи ученых конца XVII - начала XIX столетия и их работы в области систематизации комбинаторного учения. При этом выявлены и рассмотрены различные пути формирования комбинаторной теории. Один из них связан с внутренним развитием теории соединений, представленной в конце XVIII столетия двумя самостоятельными разделами (конструктивным и перечислительным). Ко второму отнесен класс специфических комбинаторных задач с занимательной фабулой. Решение некоторых из них, получивших статус классических комбинаторных задач, привело в дальнейшем к формированию целых научных разделов. Другая их часть стояла у истоков раздела теории перечислений, включающего вопросы пересчета выборок с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов. Наконец, еще один путь формирования комбинаторного учения был связан с дальнейшим развитием научных идей прошлого столетия новыми средствами математической науки. Он прослеживается в трудах немецкой научной школы, результаты деятельности которой также отражены в данном исследовании.

Каждый из указанных путей развития комбинаторной теории представлен отдельным разделом диссертации. Первый путь проанализирован на примере комбинаторных трудов Г.-В. Лейбница, Я. 1 Бернулли, их предшественников Хр. Клавиуса, М. Мерсенна, а также современников Дж. Валлиса и П.-Р. Де Монмора. Представлена полная картина состояния фундаментального раздела комбинаторного учения — теории соединений, сложившегося в первой четверти XVIII века. Второй путь представлен исследованиями Л. Эйлера, И. III Бернулли, Н. де Бегелена в области класса специфических комбинаторных задач, имеющих занимательную фабулу. Из многочисленных трактатов Эйлера и его научной переписки выявлены серии задач, сформулированных в терминах различных теорий и являвшихся интерпретациями моделей комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов. Среди таких задач рассмотрена сложная проблема нумерного лото, полное решение которой было предложено совсем неизвестным сегодня придворным воспитателем Н. де Бегеленом. Выявление новых имен ученых, внесших вклад в продвижение комбинаторной теории - одна из важнейших задач историка науки. Успех талантливого и скромного ученого и его участие в продвижении комбинаторики отмечен в специальном разделе. Здесь же представлены его биографические сведения.

При анализе трудов математиков гииденбургской школы, занимавшихся изысканиями в самых различных научных направлениях, был установлен новый уровень развития комбинаторной теории, а также высокая степень ее влияния на формирование и становление новых математических теорий. Указанные качественные изменения внутри самого комбинаторного учения и оправдывающиеся в тот период времени ожидания Гинденбурга о влиянии комбинаторного учения на развитие математики в целом, дают основания по-новому оценить вклад немецкой школы в развитие математической науки. Предложенная оценка результатов деятельности первой комбинаторной школы базируется на том, что удалось: a) реконструировать и представить систематическое изложение теории соединений, выполненное математиками школы в рамках «чистой» науки, отделенной от прикладных задач; b) выявить различные их подходы к основаниям комбинаторного учения; c) установить различные классификационные схемы вводимой терминологии; d) собрать воедино многочисленные выработанные варианты символики; e) воссоздать различные варианты систематизация комбинаторного учения; f) реконструировать полные и строгие доказательства всех известных свойств комбинаторных операций; g) выделить и рассмотреть как самостоятельные «перечислительное» и «конструктивное» направления теории соединений; h) реконструировать разработанные в полном объеме универсальные правила и приемы построения всевозможных выборок.

В связи с вышеизложенным, мы рассматриваем деятельность гиндеи-бургской школы на рубеже XVIII - XIX веков как важный этап развития математики в целом и комбинаторного учения - в частности.

Кроме того, уже отмечалась необходимость вносить коррективы в ретроспективу математических дисциплин и теорий в связи с новыми открытиями и изменением акцентов в современной науке.

Наконец, важно указать на особенности первоисточников при проведении исследования материалов, составивших основу первых двух глав. Характерной их является не только описательная словесная форма, но и общая пестрота содержания. Подавляющее число рассмотренных сочинений XVII века охватывают различные разделы математики, под которой понимается набор самых различных наук и ремесел, использующих вычисления, математические результаты, приемы и методы. Другой особенностью являются исторические введения в форме обращений к читателю, в которых обсуждаются многочисленные вопросы, не всегда связанные с предметом исследования. Еще одна характерная черта того времени: отсутствие периодических изданий и обширная личная переписка ученых разных стран, в которой они обменивались вопросами из самых различных областей знаний и человеческой жизни. Перечисленные выше некоторые особенности общего состояния науки в XVII веке затрудняли поиски историков математики, пытавшихся оценить вклад ученых в продвижение комбинаторной теории, выявить приоритеты, выделить фундаментальные и прикладные вопросы комбинаторных исследований.

В заключение отметим, что представленный материал подтверждает тот факт, что комбинаторика к началу XIX века стала одним из основных разделов математики: ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы. Выделенные пути развития представляют комбинаторику как теорию, на протяжении всей своей истории постоянно находившую применение. Наконец, выскажем очевидное. Повышение статуса дискретной математики, связанное с глобальной информатизацией всей человеческой цивилизации, привели к пониманию того, что комбинаторный анализ являя-ется одним из важнейших научных разделов, а исследование вопросов его развития - наиболее перспективным направлением историко-математических изысканий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Угольникова, Ольга Дмитриевна, 2004 год

1. Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986.

2. Бирман К.Р. Задачи генуэзского лото в работах классиков теории вероятностей //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1957. Вып.Х.

3. Буняковский В.Я. Лексикон чистой и прикладной математики. Спб., 1839. Т. I.

4. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Физматгиз, 1960.

5. ГнеденкоБ.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 6-е изд.

6. Иванов О.В. Из истории теории симметрических функций ее связей с другими областями математики /Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат.наук. М., 1992.

7. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под ред. А.Н.Колмогорова, А.П.Юшкевича. М.: Наука, 1970-1972. T.I-II1.

8. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М: Наука, 1989. Т.1. Изд.2

9. Кутлумуратов Дж. Накопление в математике комбинаторных задач и методов их решения //Вестник Каракалпакского филиала АН УзССР. Нукус: Каракалпакия, 1964. N 1(15). С. 38-45.

10. Кутлумуратов Дж. О развитии комбинаторных методов математики. Нукус: Каракалпакия, 1964.

11. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967.

12. Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. М.: Наука, 1980.

13. Малых А.Е. О создании Эйлером комбинаторной теории латинских квадратов //Историко-математические исследования /Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1983. Вып. XXVII. С. 102-123.

14. Малых А.Е. Решение и развитие Эйлером комбинаторных задач, относящихся к перечислению и расположению элементов //Историко-математические исследования /Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1986. Вып. XXX. С. 199-223.

15. Малых А.Е. Формирование комбинаторного анализа (монография). М.: ВИНИТИ, N 7166-В89. Деп. 01.12.89. 245 с.

16. Малых А.Е. Комбинаторный анализ в его развитии: Дис. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. М., 1992.

17. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Развитие комбинаторного анализа математиками гинденбургской школы на рубеже XVIII XIX веков //В сб.:История и методология науки. Пермь: ПГУ, 2003. Вып. 10. С.

18. Малых А.Е., Угольникова О.Д. О первых комбинаторных исследованиях Артура Кэли. М.: ВИНИТИ, N 3274-81. Деп. 02.07.81. 10 с.

19. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Решение и развитие Эйлером одной из перечислительных задач комбинаторного анализа, рассматриваемой на шахматной доске. М.: ВИНИТИ, N 4028-83. Деп. 18.07.83. 16 с.

20. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Магические квадраты в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера. М.: ВИНИТИ, N5823-84. Деп. 19.08.84. 18 с.

21. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Некоторые интерпретации классической задачи о встречах в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера. М.: ВИНИТИ, N 1670-85. Деп. 05.03.85. 16 с.

22. Матвиевская Г.П. Развитие учения о числе в Европе до XVn века. Ташкент: ФАН Узб. ССР, 1971.

23. Матвиевская Г.П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. Вып. XXVII. С. 27-50.

24. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 19771985. Т. 2.

25. Ньютон И. Математические работы. М.-Л., 1934.

26. Ожигова Е.П. Развитие теории чисел в России. Л.: Наука, 1972.

27. Ожигова Е.П. Об истоках символических и комбинаторных методов в конце XVIII начале XIX вв. //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1979. Вып. XXIV. С. 121-157.

28. Пермяков П.П. Некоторые вопросы развития комбинаторного анализа: Дис. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М., 1978.

29. Проблемы комбинаторного анализа /Под ред. К.А. Рыбникова. В серии: Математика. Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1980.

30. Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966.

31. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

32. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 1974.

33. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: МГУ, 1985.2.изд.

34. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 1994.

35. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1977.

36. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1982.

37. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.

38. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978.3.е изд.

39. Токарева Т.А. Об «Историческом и практическом трактате по алгебре» Джона Валлиса //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. Вып. XXVII. С. 146-163.

40. Угольникова О.Д. О возникновении и развитии теории конечных геометрических структур /В сб.: Молодые ученые и специалисты одиннадцатой пятилетке. Пермь: Дом техники НТО, 1983. С. 51-52.

41. Угольникова О.Д. О состоянии комбинаторного учения в XVIII столетии//В сб.:История и методология науки. Пермь: ПГУ, 2003. Вып. 10. С.

42. Угольникова О.Д. О некоторых путях развития комбинаторного анализа в XVIII веке /В сб.: Исследования молодых ученых в области физ.-мат. наук. Пермь: Дом техники НТО, 1988. С. 19-20.

43. Угольникова О.Д. О вкладе Л. Эйлера в развитие комбинаторной теории // Труды XXVn-XXXI науч. конф. аспирантов и стажеров по истории естествознания. М.: АН СССР, 1988.

44. Угольникова О.Д. Некоторые классические задачи в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера /В сб.: Актуальные вопросы истории и методики преподавания математического анализа. Деп. в НИИ ВШ, 1990. С. 258260.

45. Угольникова О.Д. Использование комбинаторных идей в теоретико-вероятностных исследованиях XVIII века //В сб.: История и методология науки и техники. Пермь: ПГУ, 1994. Вып.1. С. 117-127.

46. Угольникова О.Д. Развитие комбинаторной теории в начале XVIII века //В сб.: История и методология науки и техники. Пермь: ПГУ, 1994. Вып.1. С. 111-117.

47. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

48. Цейтен Г.Г. История математики в XVI-XVII веках. M.-JI.: ОНТИ,1938.

49. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. М.,1940.

50. Эйлер JI. Введение в анализ бесконечных. М.: Госиздат, 1961. Т. I.

51. Эйлер JI. Письма к ученым. М.-Л.: АН СССР, 1963.

52. Юшкевич А.П. Блез Паскаль как ученый //Вопросы истории естествознания и техники. М.: Наука, 1959. Вып. 7. С. 75-85.

53. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Госиздат,1961.

54. Юшкевич А.П. Николай Бернулли и издание «Искусства предположений» //Теория вероятностей и ее применение. 1986. Т. XXXI. N2.

55. Ahrens W. Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Leipzig, 1901.

56. Ball R.W.W. Mathematical recreations and problems of past and present time. London, 1892.

57. Ball R.W.W. Mathematical recreations and essays. N.-Y.: Macmillan, 1947.11-ed. Rev. H.S.M. Coxeter.

58. Bernoulli J. Ars conjectandi. Basilleae, 1713.

59. Bernoulli N. De usu Artis conjectandi injure. Basilleae, 1709.

60. Beguelin N. Sur les suites ou sequences dans la lotterie de Genes //Mem. Ac. Berl., 1765 (1767). P. 231-256,257-280.

61. Biggs N.L. The roots of combinatorics //The History of Mathematics, 1978. P. 1-38.

62. Bicrman K.R. Spezielle Untersuchungcn zur Kombinatorik durch G.W. Leibniz. Forschungen und Forschritte, 1954, H. 12. 1956, H. 6.

63. Buteon Logistica. Lyons, 1559.

64. Cantor M. Vorlesungen Uber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1900-1908. Bd. 1-1V.

65. Dickson L. History of the Theory of Numbers. Washington, 1919-1927.V.I-III.

66. Dictionary of Scientific Biographies. Ed. Gillispie C.C. 1973. V. V, IX.

67. Ettingshausen V.A. Die combinatorische Analysis. Wien, 1826.

68. Euler L. Calcul de la probabilitw dans le jeu rencontre //Opera Omnia. 1923. V.I. P. 53-75.

69. Euler L. De quadratis magicis //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 535-539.

70. Euler L. De quadratis magicis //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 593-622.

71. Euler L. Observationes circa novum et serierum genus //Opera Omnia. 1923. V.I. P. 85-117.

72. Euler L. Problem de permutationibus //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 542545.

73. Euler L. Recherches sur une nowvelle esprce de carrees magiques //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 291-392.

74. Euler L. Solution quaestiones curiosae ex doctrina combinationum //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 435-440.

75. Euler L. Solution de une question curieuse qui ne paroit soumise aucune analyse //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 26-56.

76. Francoeur L. Cours complet de mathematiques pures. Paris, 1819. Т. II.2.ed.

77. Hacking J. Eloge de m. de Montmort //Histoire de l'Academie royale des sciences pour 1' annee. Paris, 1719 (1721). P. 83-93.

78. Hankel H. Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhun-derten. Tubingen, 1869.

79. Hindenburg C.F. Methodus nova et facilis serierum infinitarum ex-hibende dignitates exponentis indeterminati. GCttingen, 1778.

80. Hindenburg C.F. Infinitionomii Dignitatum exponentis indeterminati leges ac formulae, editio pluribus locis austa et passim emendata. Gottingen, 1779.

81. Hindenburg C.F. Novi systematis Pcrmutationum, Combinationum ac Variationum primae lineae. Leipzig, 1781.

82. Hindenburg C.F. Der polunomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der ganzen Analysis. Leipzig, 1796.

83. Klugel G.S. Mathematische Worterbuch oder Erklarung der Begriffe, Lehrsatze, Aufgaben und Methoden der Mathematik mit den nothigen Bevveise. Leipzig, 1803. Abt. I, 1805. Abt. П.

84. Knobloch E. Die mathematischen Studien von G.W. Leibniz zur Kombi-natorik. Wiesbaden, 1973.

85. Leibniz G.W. Dissertatio de arte combinatoria //Leib-Studien, 1847. Abth. I. Bd. I. S. 811-875.

86. Mersenne M. Novarum observationum physico-mathematicarum tomus ternius. Paris, 1647. Cap. XXIV.

87. Moivre A. de. De mensura sortis. London, 1712.

88. Montmort P.R. Essau d'analyse sur les jeux hazard. Paris, 1713. 2 wd. P. 1-72, XXV-XLI.

89. Netto E. Kombinatorik /Encyklopadie der Mathematischen Wissen-schaften. Leipzig, 1898. Bd. I. S. 28-46.

90. Netto E. Lehrbuch der Combinatorik. Berlin, 1927.

91. Ottinger H. Die Lehre von den combinationen. Freiburg, 1837.

92. Ottinger H. Uber den Begriff der Combinationslehre und die Bezeich-nung in derselben und einige neuv Satze uber die Combinationen mit beschrankten Wiedernolungen//Arch. Math. undPhysik. 1850. Bd. 15. S. 241-314.

93. Pascal B. Traite du Triangle Arithmwtique. Oeuvres. Paris, 1908. T. 3.

94. Poggendorff I.C. Biographische-litterarisches Hahdworterbuch. Zur Geschichte der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1863. Bd. I (A-L). Bd. 2 (M-Z).

95. Schooten F. Exercitationes mathematicarum. Lugduni Batavorum, 1657.

96. Smith D.E. History of Mathematics. Dover reprint. 1958. 2 vols.

97. Stahl K.D. Grundriss der Combinationalehre nebst Anwendung derselben auf die Analysis. Leipzig, 1800.

98. Stahl K.D. Einleitung in das Studium der Combinationslehre nebst einem Anhange tber die continuirlichen Bruche. Leipzig, 1801.lOl.Sueveys in combinatorics //London Math. Sec., Lect. Notes Ser. /ed. SiemonsJ. 1989. N 141. P. 1-217.

99. Todhuntcr M.A.F.K.S. A history of the Mathematical theory of Probability. Cambridge, London. 1865. Ch. 5, 8.

100. Weingartner J.Ch. Lehrbuch der combinatorischen Analysis. Leipzig,1800. Theil 1.

101. Weingartner J.Ch. Lehrbuch der combinatorischen Analysis. Leipzig,1801. Theil 2.

102. Weiss A. Einige Aufgaben aus der Combinationslehre //J. fur reine und angew. Math. 1847. Bd. 34. S. 225-269; 1849. Bd. 38. S. 109-147.

103. Wieleitner C.R. Das Fortleben der Archimedischen Infinitesimalmeth-oden bis zum Beginndes XVII. Jahrhunderts. — Quellen und Studien. 1930. Bd.l.

104. Zeuthen H.G. Notes sur l'histoire der mathematiques //Bull. De Г Acad. Des Sciences de Danemark. 1895. V. IV. P. 37-80.

105. Zeuthen H.G. Notes sur l'histoire der mathematiques //Bull. De l'Acad.

106. Des Sciences de Danemark. 1897. V. VII. P. 567-606.