Формирование и развитие аддитивной теории разбиений в XIX столетии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Медведева, Наталья Николаевна

• Медведева, Наталья Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Медведева, Наталья Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ ДО СЕРЕДИНЫ XIX ВЕКА.

1.1. Накопление сведений о разбиениях натурального числа.

1.2. Становление раЛШо пишегогиш в работах Л. Эйлера.

1.3. Дальнейшее развитие теории разбиений.

1.4. Разработка методов подсчета разбиений.

1.4.1. Изучение М. Штерном разбиений с использованием сочетаний.

1.4.2. Использование А. де Морганом разностных уравнений при подсчете разбиений.

1.4.3. Исследования Дж. Гершеля по теории разбиений.

ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ.

ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА.

2.1. Первые работы Дж. Сильвестра и А. Кэли о разбиениях.

2.2. Становление теории разбиений в трудах Дж. Сильвестра и А. Кэли

2.3. Аддитивная теория разбиений в научном наследии П.А. МакМагона

2.4. Расширение понятия разбиения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование и развитие аддитивной теории разбиений в XIX столетии»

Жизнь современного общества наполнена всевозможными компьютерными технологиями, средствами автоматизации производства, системами управления технологическими процессами и т.д. В связи с этим становится все более ощутимым значение математических моделей, некоторые из которых рассматриваются в комбинаторном анализе, где изучаются вопросы, связанные с размещением и взаимным расположением частей конечного множества объектов произвольной природы (а также бесконечных множеств, удовлетворяющих некоторым условиям конечности). Его идеи имеют самое широкое распространение в таких разделах математики, как теория вероятностей, теория.чисел, алгебра, теория графов, теория конечных автоматов и др. Его методы применяются при планировании и анализе результатов научных экспериментов, кодировании сообщений, в-линейном и динамическом про-граммированиях, математической экономике и многих других областях науки и техники.

В развитии комбинаторного анализа- различают несколько, направлений. Наиболее ранним и оформленным в теоретическом^ плане является теория перечислений. В ней рассматриваются все возможные соединения элементов, удовлетворяющих определенным условиям. Одним из таких примеров является проблема распределения- каких-либо п частиц в N ячейках, причем как частицы, так и ячейки могут быть различимыми и неразличимыми. В зависимости от этого она имеет различные решения. Ситуации, в которых частицы и ячейки неразличимы, изучает аддитивная теория разбиений. Ее простейшей интерпретацией является теоретико-числовая задача о подсчете способов представления натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых - частей разбиения. Средства этой теории позволяют решать многие практические задачи: при поиске рационального распределения памяти ЭВМ, в физике частиц, непараметрической статистике и др.

Одним из важнейших направлений исследования математических дисциплин является изучение их истории, позволяющей представить основополагающие структурные части математики в развитии и взаимодействии как единого целого. Анализ историко-математической литературы [65; 38, 40, 123] позволяет утверждать, что в настоящее время работы, посвященные целостной картине истории аддитивной теории разбиений, отсутствуют. Некоторые аспекты процесса ее формирования и развития обсуждались в работах отдельных авторов. Так, в известном «Lehrbuch der Kombinatorik» [123] немецкого математика Е. Нетто (Netto) (1848 — 1919) имеется глава,. посвященная разбиениям. В ней приведены краткие справки, так как ученый не ставил цель представить историю теории.

В хронологическом порядке с краткими аннотациями перечислены работы многих ученых, посвященные разбиениям, в одной из глав. «Истории теории чисел» английского математика JI.IO. Диксона:(Ь.К. Dickson). (1874 — 1954) [88]. ©днако; как писал академик Б.Н. Делоне [16], она носит справочный характер: Поэтому из столь краткого обзора невозможно получить представление об особенностях формирования и развития теории разбиений.

Btсвязи с изучением: научного > наел едия» Леонарда*Эйлера; Киселев, Г.П. Матвиевская [23] и Е.П. Ожигова [49] исследовали его работы ¡по «parti-tio numerorum» (такое латинское название носила теория разбиений в XVIII в.). Они установили, что ученый был первым, кто стал систематически изучать задач такого рода.

А.Е. Малых в докторской диссертации по истории комбинаторного анализа [38]: указала основные направления его развития до середины XX в. Что касается теории разбиений, то в ней намечены основные пути ее формирования, а исторический процесс развития не представлен исчерпывающим образом. Истории комбинаторных идей в математике посвящены работы Дж. Кутлумуратова [28], H.H. Пермякова [51].:

Из последних изданий, относящихся к теории разбиений, следует назвать монографию Дж. Эндрюса (G.E. Andrews) (род. в 1938 г.) «Теория разбиений» [65], русскоязычный перевод которой появился в 1982 г. Она представляет собой изложение теории и ее применения в различных областях, поэтому исторические сведения представлены лишь упоминанием имен ученых и их работ.

Во всех указанных выше источниках не ставилась проблема комплексного изучения истории аддитивной теории разбиений. Поэтому к настоящему времени отсутствуют историко-математические исследования обобщающего характера, в которых достаточно глубоко и всесторонне были бы рассмотрены истоки и предпосылки ее зарождения, формирования и развития.

Объект исследования г история комбинаторного анализа.

Предмет исследования: формирование и развитие методов аддитивной теории разбиений в<Х1Х столетии.

Цель диссертации: описание процесса формирования и развития аддитивной теории разбиений в XIX столетии.

Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:

- выявить предпосылки зарождения аддитивной теории разбиений;

- отыскать и рассмотреть задачи, при решении которых использовались разбиения'натуральных чисел на слагаемые;

- проследить процесс обобщения« и> систематизации задач, приведших к понятию такого разбиения;

- выяснить истоки первых теоретических обобщений-названных выше задач, решение которых привело ^ формированию наиболее ранних методов подсчета разбиений натурального числа;

- выяснить вклад ученых (Г.В. Лейбниц, Л. Эйлер и др.), исследования которых послужили отправным пунктом формирования первых теоретических положений;

- проследить дальнейшее формирование теории разбиений в исследованиях ученых середины XIX в.: М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля;

- оценить научные результаты, внесенные в структуру теории разбиений А. Кэли, Дж. Дж. Сильвестром, П.А. МакМагоном, Г. Харди и С. Рамануджаном;

-представить основные этапы развития аддитивной теории разбиений.

Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализ, реконструирование методов в работах отдельных ученых, историческое и логическое в единстве, анализ и синтез, обобщение, систематизацию.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующих результатах:

1. Выявлены задачи, решение которых,привело к возникновению понятия разбиения.

2. Систематизированы сведения относительно формирования и развития теории разбиений на основе содержания теории, методов и задач на разных этапах ее истории.

3. Впервые выделены основные этапы развития аддитивной теории* разбиений и определено содержание каждого >из них;

4. Впервые оценен вклад ученых (Г.В. Лейбница, Л. Эйлера; М* Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля, Дж. Сильвестра, А. Кэли, П.А. МакМагона, Г. Харди, С. Рамануджана) в развитие аддитивной теории разбиений; показано развитие методов подсчета разбиений в работах указанных исследователей.

5. Впервые выполнена реконструкция методов в работах отдельных ученых (М. Штерн, А. де Морган).

6. Впервые на основе анализа первоисточников установлен тот факт, что становление аддитивной теории разбиений как самостоятельной математической дисциплины произошло в работах Дж. Дж. Сильвестра, А. Кэли и П.А. МакМагона.

На защиту выносятся следующие положения:

1. В формировании и развитии аддитивной теории разбиений выделены четыре основных этапа:

I. Накопление задач на разбиения (VI в. до н. э. — середина XVII в.). II. Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. — 60-е годы XIX в.).

III. Систематическое построение теории разбиений (60-е годы XIX в. — 20-е годы XX в.).

IV. Расширение понятия разбиения (с 20-х годов XX в.).

2. Начало формированию аддитивной теории разбиений положено в работах JL Эйлера по partitio numerorum. М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гершель разрабатывали методы подсчета разбиений для решения практических задач, появившихся в других дисциплинах.

3. Становление аддитивной теории разбиений было положено работами А. Кэли и Дж. Сильвестра. Значительный вклад в процесс ее обобщения и расширения внес П.А. МакМагон, построивший свою комбинаторную доктрину целиком на понятии разбиения числа.

Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут быть предложены для использования в исследовательской'и преподавательской деятельности, касающейся освещения вопросов истории комбинаторного анализа, аддитивной теории разбиений.

Результаты диссертационного исследования и его основные положения докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:

- Всероссийском семинаре по истории и методологии математики и механики при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2006, 2007);

- Международной научной конференции «59 Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, апрель 2006);

- Международной научной конференции «Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики» (Тамбов, 2006);

- Международной научно-методической конференция, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Пермь, 2006);

- Региональной научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006);

- Семинаре по истории науки при Оренбургском государственном педагогическом университете (Оренбург, 2006);

- Международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт - Петербург, 2007);

- Международной научной конференции «Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007);

- Международной конференции «Колмогоровские чтения-2009» (Ярославль, 2009).

Список печатных работ по теме исследования включает 12 наименований общим объемом 4,72 печатных листа.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, содержащего 154 наименований, двух рисунков и 6 таблиц. Объем работы — 161 страница.

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Медведева, Наталья Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение современного состояния проблемы показало актуальность рассматриваемой темы. В ходе историко-математического исследования формирования и развития аддитивной теории разбиений в XIX в. были получены следующие результаты:

1) систематизированы сведения; касающиеся процесса формирования и становления теории разбиений;

2) выяснено, что простейшие разбиения натурального числа присутствовали еще у пифагорейцев в связи с изучением фигурных чисел. Они встречались также и в работах восточных и западных математиков. Ал-Хазини указывал, что задачу разбиения натурального числа на такие же слагаемые нужно рассматривать отдельно: Г.В. Лейбниц не только выделил задачи на разбиения в отдельный:класс, но и предположил, что они связаны с комбинаторными соединениями и симметрическими; функциями. В общем, виде задачи на, разбиения (с повторением слагаемых и без них) впервые строго сформулировал Л'. Эйлер, он использовал для,: решения производящие функции. Ученый впервые стал систематически изучать их в рамках теории чисел и называл рагШо питегогит\

3) установлено, что в первой половине XIX в. в работах европейских математиков были предложены другие методы подсчета, разбиений: М. Штерн использовал комбинаторные соединения с определенными суммами, А. де Морган иДж. Гершель теорию конечных разностей;

4) выявлено, что во второй половине ХГХ столетия ведущая роль в развитии теории разбиений принадлежала А. Кэли и Дж. Сильвестру. Первоначально названные ученые интересовались разбиениями с точки зрения применения для решения других задач. О 60-х гг. XIX в. они стали систематически изучать виды разбиений, взаимосвязи между ними, продолжали развивать методы подсчета. В 80-х гг. того же столетия Сильвестром был разработан графический метод доказательства теорем о разбиениях, специфический для данной теории. Кроме того, он предпринял первую попытку изложения теории разбиений рамках курса лекций; Все это свидетельствует о выделении рассматриваемого направления в отдельную математическую теорию;

5) выяснено, что в конце XIX — начале XX вв. значительный вклад в развитие теории внес А.П. МакМагон, построивший изложение всего комбинаторного анализа на понятии разбиения, тем самым расширив и углубив теорию;

6) установлено, что несмотря на значительный вклад, внесенный в развитие теории; Эйлером; Кэли, Сильвестром, МакМагоном, никому их них не удалось вывести независимой формулы для подсчета разбиений. Такая формула была получена только в 20-х гг. XX в. Харди иРамануджаном;

7) предложены;четыре этапа ее развития:

I. Накопление задач, относящихся к разбиениям (VI в. до н. э. - середина XVII в.).

II; Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. - 60-е гг. XIX в.).

III., Систематическое, построение теории разбиений (60-е гг. XIX в. — 20-е гг. XX в.).

IV. Расширение понятия разбиения (с 20-х гг. XX в.);

На основе анализа полученных нами результатов сделан ряд выводов:

1. Первые задачи на разбиения появились еще у пифагорейцев. Однако до середины XVII в. их не выделяли в отдельный: класс, это сделал только Г.В. Лейбниц, высказавший предположение о методах их подсчета;

2. Впервые разрабатывать способы подсчета разбиений начал Л: Эйлер, применивший производящие функции; Такие задачи он рассматривал в рамках теории чисел под названием'рагййо пипегогат. В первой половине XIX в. другие методы подсчета разбиений предложили М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гершель.

3. Дальнейшая разработка методов подсчета, а также систематическое построение теория разбиений получила с 60-х гг. XIX столетия в работах А. Кэли и Дж. Сильвестра, последний из них впервые систематически изложил ее в своем курсе лекций.

4. Значительный вклад в дальнейшее развитие рассматриваемого направления внес П.А. МакМагон. Он положил понятие разбиения в основу изложения всего комбинаторного анализа, при этом аддитивную теорию разбиений впервые стал считать его структурной частью. Независимая формула для подсчета разбиений была получена Г. Харди и С. Рамануджаном в 20-х гг. XX в.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Медведева, Наталья Николаевна, 2011 год

1. Андерсон, Дою. Дискретная математика и комбинаторика/ Дж. Андерсон. - М.; СПб ; Киев : Вильяме, 2004. - 960 с.

2. Баврин, И.И. Занимательные задачи по математике / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус. М-: ВЛАДОС, 2003. -208 с.

3. Баранов, В.И. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения / В.И. Баранов. Б.С. Стечкин. — 2-е изд., исправ. и доп. — М. : Физматлит, 2004. 240 с.

4. Башмакова, И.Г. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма / И.Г. Башмакова, Е.И. Славутин. — М : Наука, 1984. — 256 с.

5. Башмакова, И.Г. Лекции по истории математики в древней Греции / И.Г. Башмакова // Историко-математические исследования. — М. : Физматлит, 1958.-Вып. XI.-С. 225-438. '

6. Беллавитис, Джусто — карточка личности, досье знаменитости, информация о известной личности электронный ресурс. Электрон, дан. -Режим доступа : http://persons-info.com (дата обращения 17.05.2010).

7. Бирман, K.P. Возможные методы греческой комбинаторики / K.P. Бирман // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1963. - Вып. 15. - С.103-105.

8. Бобынин, В.В. Морган Август / В.В. Бобынин // Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза, И.А. Ефрона. — Репринт, изд.-е. — СПб ; Ярославль : Терра-Терра, 1992. Т. 38. - 962 с.

9. Бриоски Франческо— карточка личности, досье знаменитости, информация о известной личности электронный ресурс. — Электрон, дан. -Режим доступа : http://persons-info.com (дата обращения 17.05.2010).

10. Брылевская, Л.И. Алкуин (ок. 735-804 гг.) / Л.И. Брылевская // Математика в школе. 1991. - №5. - С. 68-70.

11. Буняковский, В.Я. Лексикон чистой и прикладной математики / В.Я. Буняковский. Т.1 : А-Д. - СПб : Типография Императорской АН, 1839.-464 с.

12. Веселовский, И.Н. «О многоугольных числах» Диофанта // Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах / И.Н. Веселовский ; пер. ИЛЗ. Веселовского. — М. : Наука, 1974. С. 28-34.

13. Вплейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер ; под ред. А.П. Юшкевича. — 2-е изд. М. : Наука, 1966. - 508 с.

14. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. — М. : Наука; 1969.-328 с.

15. Гаврилов, Г.П. О некоторых тенденциях теории' перечисления / Г.П. Гаврилов, В.А. Лисковец, П.П. Пермяков, Б.И. Селиванов // Перечислительные задачи комбинаторного анализа : сб. статей / под ред. Г.П: Гаврилова. -М. : Мир, 1979. С. 336-362.

16. Демидов, С.С. Историография истории математики в России и СССР / С.С. Демидов // Принципы историографии естествознания: XX век / Отв. ред. И.С. Тимофеев: СПб. : Алетейя, 2001. - С. 254-273.

17. Депман, И.Я. История арифметики / И .Я. Депман. —2-е изд., испр. — М. : Просвещение, 1965.-415 с.

18. Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: сб. науч. статей / отв. ред. Г.П. Матвиевская. — Оренбург : Изд-во Оренбургского гос. пед. ун-та, 2000. — Вып. 1. — 80 с.

19. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия : в 3 томах / И.Г. Башмакова, Э.И. Березкина, А.И. Володарский и др. ;под ред. А.П. Юшкевича. — Т.1: G древнейших времен до начала нового времени. М. : Наука, 1970. - 352 с.

20. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3 томах. / И.Г. Башмакова, Э.И. Березкина, А.И. Володарский и др. ; под ред. А.П. Юшкевича; — Т.З: Математика XVIII; столетия. — М. : Наука; 1972. — 496 с

21. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. / Ф.Клейн ; пер. Н.М. Нагорного ; под., ред. М:М! Постникова: — Ml: Наука,. 1989.-456 с.

22. Комбинаторный анализ. Задачи; и; упражнения. : учеб. пособие / М.В. Меньшиков, A.M. Ревякин, А.Н. Копылова,. ЮЛ1. Макаров, Б.С. Стечкин:; под ред. К.А. Рыбникова.- — Mi : Наука; 1982. — 368 с. :

23. Кутлумуратов, Дж. О развитии^ комбинаторных методов математики / Дж. Кутлумуратов. Нукус: : .Каракалпакия»; 1964. — 124 с.

24. Ландо, С.К. Лекции о производящих функциях / С.К. Ландо; 2-е изд., испр. - М. : Изд-во МЦНМО, 2004. - 144 с.

25. Левин, В.И. Жизнь и творчество С. Рамануджана / В.И. Левин // Историко-математические исследования. М. : Физматлит, 1960. -Вып. XIII. - С.335-378.

26. Левин, В.И. Рамануджан — математический гений Индии/ В.И. Левин. — М. : Знание, 1968. 48 с. (Серия « Новое в жизни, науке, технике: математика, кибернетика»).

27. Малаховский, B.C. Числа знакомые и незнакомые: учеб. пособие/ B.C. Малаховский. Калининград : Янтарный сказ, 2004. — 184'с.

28. Малых, А.Е. Возникновение и развитие конечных геометрий: авто-реф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 07.00.10 / А.Е. Малых. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1983. 16 с.

29. Малых, А.Е. Из жизни и деятельности А. Кэли / А.Е. Малых // История и методология науки. — Пермь : Изд-во Пермского» гос. ун-та, 1995. — Вып. 2.-С.4-17.

30. Малых, А.Е. Из комбинаторного наследия Леонарда Эйлера / А.Е. Малых // История и методология естественных наук. М. : Наука, 1989. - Вып. XXXVI. - С. 66-74.

31. Малых, А.Е. Из комбинаторного наследия Леонарда Эйлера / А.Е. Малых / В кн. «Леонард Эйлер: к 300-летию со дня рождения» / сост. Л.И. Брылевская, М. Маттмюллер, Ж. Сезиано. СПб : Нестор-История, 2008.-С. 69-78.

32. Малых, А.Е. История математики в задачах: в 2 частях. / А.Е. Малых. — Ч. 2: Математика Древней Греции. — Пермь : Изд-во Пермского гос. пед. ин-та, 1993. 90 с.

33. Малых, А.Е. Комбинаторный анализ в его развитии: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 07.00.10 / А.Е. Малых Пермь : Изд-во Пермского гос. пед. ин-та, 1992.

34. Малых, А.Е. Развитие комбинаторного анализа математиками гин-денбургской школы на рубеже XVIII-X3X веков / А.Е. Малых, О.Д. Угольникова // История и методология науки. — Пермь : Изд-во Пермского гос. ун-та, 2003. Вып. 10. — С. 17-39.

35. Малых, А.Е. Структура комбинаторного анализа в XIX столетии / А.Е. Малых // История и методология науки — Пермь : Изд-во Пермского гос. ун-та, 2001. Вып. 8. - С. 3-11.

36. Матвиевская, Г.П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера / Г.П. Матвиевская // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. - Вып. 27. - С. 27-50.

37. Матвиевская, Г.П. Развитие учения о числе в Европе до XVII века / Г.П. Матвиевская. Ташкент : ФАН, 1971. — 231 с.

38. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / И.Г. Башмакова, Б.В. Гнеденко, З.А. Кузичева и др.; под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. — М : Наука, 1978. 256 с.

39. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Б.Л. Лаптев, А.И. Маркушевич, Ф.А. Медведев, Б.А. Розенфельд ; под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М : Наука, 1981. 270 с.

40. Математический энциклопедический' словарь / гл. ред. Ю.в: Прохоров. -М. : Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.

41. Микулинский, С.Р: Методологические вопросы историко-научного исследования / С.Р. Микулинский // Проблемы истории и методологии^ научного познания. -М. : Наука, 1974. — С. 20-34.

42. Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел / сост. Г.П. Матвиевская, Е.П. Ожигова, Н.И. Невская, Ю.Х. Копелевич. — СПб : Наука, 1997.-255 с.

43. Ожигова, Е.П. Об истоках символических и комбинаторных методов в конце XVIII начале XIX в. / Е.П. Ожигова // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1979. — Вып. XXIV. — С. 121-157.

44. Ожигова, Е.П. Развитие теории чисел в России / Е.П. Ожигова. — 2-е изд., стереотип. -М. : Едиториал УРСС, 2003. 360 с.

45. Пермяков, 77.77. Некоторые вопросы развития комбинаторного анализа : автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 07.00.10 / П.П. Пермяков. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1978. — 22 с.

46. Риордан, Дж. Введение в комбинаторный анализ / Дж. Риордан ; пер. с англ. Л.Е. Садовского ; под ред. Л .Я. куликова- М. : Изд-во иностр. литературы,, 1963. 288 с.

47. Рожанская; М.М: Абу-л-Фатх Абд ар-Рахман ал-Хазинш XII в. / М.М. Рожанская ; отв. ред. Г.П. Матвиевская. М. : Наука, 1991.

48. Рыбников, К. А. Введение в комбинаторный анализ/ . К.А. Рыбников. 2-е изд. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та; 1979. - 128 с.55: Рыбников, К А. Введение в методологию математики/ К.А. Рыбников. -М: : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1985. — 308 с.

49. Рыбников; К А. История; математики? .: учеб. пособие/ K:AVPыбникoв.1-M.J.:.№д-вo^M6cк.Foc.^yн-тail•994^-496••c:.

50. Стройк, Д.Я: Краткий очерк истории математики; / Д.Я. Стройк ; пер. с нем. ИБ: Погребысскогог —4-е изд: М1: Наука;, 1984^ - 288 с;

51. Уголышкова, О.Д Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке: дис. . канд. физ:-мат. наук: 07.00:10 / О.Д. Уголышкова. — Пермь : Изд-во Пермского гос. пед. ун-та, 2004. 175 с.

52. Холл, М. Комбинаторика; / пер; с англ. С.А. Широковой1; под ред.

53. A.О. Гельфонда и В.е. Тараканова. М. : мир, 1970. Ел. Разбиения. - С. 4564.

54. Холл, М Комбинаторный анализ/ М. Холл ; мер. с англ. К.А. Рыбникова;-М; : Изд-во иностр: литературы, 1963.,—99 с.

55. Шереметевский, В.П. Очерки по истории математики /

56. B.П. Шереметевский. 2-е изд., стереотип. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 184 с.

57. Эйлер, Л. Введение в анализ бесконечных / Л.Эйлер ;. пер. Е.Л. Пацановского. М.-Л. : ОНТИ, 1936. - Т.1 - 352 с.

58. Эйлер, JI. Переписка. Аннотированный указатель / JI. Эйлер. — JI. : Наука, 1967. 392 с.

59. Эйлер, Л. Письма к ученым / JI. Эйлер ; сост. Т.Н. Кладо, Ю.Х. Копелевич, Т.А. Лукина ; под ред. В.И. Смирнова. — М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1963.-398 с.

60. Эндрюс, Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс ; пер. Б.С. Стечкина. — М. :Наука, 1982.-256 с.

61. Юшкевич, А.П. Христиан Гольдбах. 1690-1764 / А.П. Юшкевич, Ю.Х. Копелевич. -М. : Наука, 1983. 223 с.

62. Andrews, G.E. Euler's «De partitio numerorum» / Andrews G.E. // Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. Vol. 44. — №4. — P. 561-573.

63. Bachmann, P. Niedere Zahlentheoie / P. Bachmann. T.2: Additive Zahlentheory. — Leipzig : Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1910. — 480 c.

64. Baker, H. F. Biographical Notice / H. F. Baker // The collection mathematical Papers. Vol. IV. - Cambridge : at the University press, 1912.— P. I-XXXVII.

65. Baker, H. F. Persy Alexander MacMahon / H. F. Baker // Journal London Mathematical Society. Vol. V, p.4. - № 20. - 1930, october. - P. 307-318.

66. Bellavitis; G. Sulla partizione dei numeri e sul numero degli invarianti / G. Bellavitis // Annali di matematica pura ed applicata. Tomo II : Roma, 1859. -P. 137-147.

67. Brioschi, F. Sulla partizione dei numeri / F. Brioschi // Annali di matemiche e fisiche. — Roma: Tipografa delle Belle Arti, 1857. — P. 5-12.

68. Cayley, A. A problem in partitions // The collected mathematical Papers. — Vol. XI. Cambridge : the University press, 1896. - P. 61-62.

69. Cayley, A. Apropos of partitions // The collected mathematical Papers. — Vol. III. — Cambridge : the University press, 1890. P. 36-37.

70. Cayley, A. A memoir on the symmetric functions of the roots of an equation // The collected mathematical Papers. — Vol. II. — Cambridge : the University press, 1889.-P. 417-439.

71. Cayley, A. A second memoir upon Quantics / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. II. — Cambridge : at the University press, 1889. -P. 250-275.

72. Cayley, A. Numbers, partition of / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. XI. - Cambridge : at the University press, 1889. — P. 589591.

73. Cayley, A. Numerical tables supplementary to second memoir on Quantics / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. II. - Cambridge : at the University press, 1889. - P. 276-281.

74. Cayley, A. On a problem in the partition of numbers / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. III. Cambridge : at the University press, 1890.-P. 247-249.

75. Cayley, A. On a problem of double partitions / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. IV. — Cambridge : at the University press, 1891. — P. 166-170.

76. Cayley, A. Problem and solutions / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. VII. - Cambridge : at the University press, 1894. - P. 576577.

77. Cayley, A. Researches on the partition of numbers / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. II. Cambridge : at the University press, 1889.-P. 235-249.

78. Cayley, A. Specimen of a literal table for binare Quantics, otherwise a partition table / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. XI. — Cambridge : at the University press, 1896. — P. 357-364.

79. Cayley, A. Supplementary researches on the partition of numbers / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. II. — Cambridge : at the University press, 1889. - P. 506-512.

80. Cayley, A. Theorem in the trigonometry and on partitions / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. X. — Cambridge : at the University press, 1896.-P. 16.

81. Dickson, L.E. History of the theory of numbers / L.E. Dickson — Vol. II. New York : CHELEA PUBLISHING COMPANY, 1971.-804 P.

82. Enciclopedic Dictonary of Mathematics: Second Edition. — Vol. III. — The MIT Press Cambridge, Massachusetts and London, 1987. P. 1230-1232.

83. Jacobi, C.G.J. Beweis des- Sätzen, dass jede nicht fünfeckige Zahl eben so oft in eine gerade als ungerade Anzahl verschiedener Zahlen zerlegt werden kann / C.G.J. Jacobi // Gesammelte Werke. Berlin, 1891'. - Bd. 6. - S. 303317.

84. Jacobi, C.G.J. Elementarer Beweis einer merkwürdigen analitischen Formel. / C.G. Jacobi // Journal für die reine und angewandte Mathematik.— 1840.-Bd. 21.-S. 13-32.

85. Jacobi, C.G.J. Fundamenta nova theoriae functinum ellipticarum / C.G.J. Jacobi // Gesammelte Werke. Berlin, 1881. - Bd. 1. - S. 49-239.

86. Hardy, G.H. Ramanujans asymptotic formulae in combinatorial analysis // Proc.Lond.Math.Soc., 1918. -Vol.2. № 17.-P.75-115.

87. Herschel, J.F.W. On the Algebraic Expression of the number of Partitions of which a given- number is susceptible / J.F.W. Herschel // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 140. - Part. II. - 1850. - P. 399422.

88. MacMahon, P.A. A certain class of generating functions in the theory of numbers / P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. —1894.— Vol. 185.— P. 111-160.

89. MacMahon, P.A. Certain special partitions of numbers / P.A. MacMahon// Quarterly Journal of Mathematics. -1886. Vol. 21. - P. 367373.

90. MacMahon, P.A. Collected Parers. — Vol. I. Combinatorics / P.A. MacMahon. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1978.

91. MacMahon, P.A. Combinatory analysis / P.A. MacMahon. Vol. I, II.-New York, 1915.

92. MacMahon, P.A. Combinatory analysis: a review of the present state of knowledge / P.A. MacMahon // Proceedings London Mathematical Society. — 1897.-Vol. 28.-P. 5-32.

93. MacMahon, P.A. Dirichlet series and the theory of partitions/ P.A. MacMahon // Proceedings London Mathematical Society (2). 1924. -Vol. 22.-P. 404-411.

94. MacMahon, P.A. Divisors of numbers and their continuations in the theory of partitions / P.A. MacMahon // Proceedings London Mathematical Society (2). -1920.-Vol. 19.-P. 75-113.

95. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of composition of numbers. // P.A. MacMahon // Philosophical Transactions. -1894. Vol. 185. - P. 835-901.

96. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part I / P.A. MacMahon // Philosophical Transactions. -1897. Vol. 187. - P. 619673.

97. MacMahon, P.A. Memoir on the theoiy of partitions of numbers. Part II/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1899.- Vol. 192.-P. 351-401.

98. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part III/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1906.- Vol. 205.-P. 37-58.

99. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part IV/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1909.- Vol. 209.-P.153-175.

100. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part V / P.A. MacMahon // Philosophical Transactions. -1912. Vol. 211. - P. 75110.

101. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part VI/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1912.- Vol. 211.-P. 345-373.

102. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part VII/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1917.- Vol. 217.-P. 81-113.

103. MacMahon, P. A. Note on the parity of the number, which enumerates the partitions of a number / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. 1921. - Vol. 20. - P. 281-283.

104. MacMahon, P.A. Observations on the generating functions of the theory of invariants / P.A. MacMahon // American Journal of Mathematics. —1887. — Vol. 9.-P. 189-192.

105. MacMahon, P.A. On partitions into4 unequal and into uneven parts / P. A. MacMahon // Quarterly Journal of Mathematics. -1920. Vol. 49. - P. 40-45.

106. MacMahon, P.A. Partition analysis and any systems of consecutive integers / P.A. MacMahon // Transactions Cambridge Philosophical Society. -1900.-Vol. 18.-P. 12-34.

107. MacMahon, P.A. Partition of numbers whose graphs possess symmetry/ P.A. MacMahon// Transactions Cambridge Philosophical Society. -1899,-Vol. 17.-P. 49-170.

108. MacMahon, P.A. The enumeration of partitions of multipartite numbers / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. —1925. -Vol. 22.-P. 951-963.

109. MacMahon, P.A. The parity of p(n) the number of partitions of n, when «<1000 / P.A. MacMahon// Journal London- Mathematical Society. -1926. Vol. 1.-P. 215-226.

110. MacMahon, P.A. The partition of infinity with-some arithmetic and'algebraic consequences / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. -1923. Vol. 21. - P. 642-650.

111. MacMahon, P.A. The theory of modular partitions / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. -1923. Vol. 21. - P. 197-204.

112. MacMahon, P.A. The theory of perfect partitions and the compositions of multipartite numbers / P.A. MacMahon // Messenger of Mathematics. —1891. — Vol. 20.-P. 103-119.

113. Morgan, A. On a new species ofequations of differences / A. Morgan // The Cambredge mathematical Journal. Vol: IV. - London, 1843. - P. 87-90.

114. Netto, E. Lehrbuch der Combinatorik / E. Netto. Leipzig und Berlin: Verlag und Druck von G.Teubner, 1927. — 341 S.

115. Poggendorf, J.C. Biographisch-literarisches Handwörterbuch.-Bd. 8 (1858-1883). — Leipzig : Verlag von Johann Ambrosius Barth, 1898.-S. 1292.

116. Rädemacher, H.A. A convergent series for the partition function p(n) II Proc.Nat.Acad.Scienc., 1937. Vol.23. -P.78-84.

117. Rademacher, H.A. On the expansion of the partition function in a se-rues / Rademacher H.A. // Annals of Mathematic. 44. - 1943. - P. 416-422.

118. Rademacher, H.A. On the partition function p{n) / Rademacher H.A. // Proceedings London Mathematical Society. 2 (43). - 1937. - P. 241-254.

119. Rademacher, H.A. On the Seiberg formula for Ak(n) I Rademacher H.A. // Journal Indian Mathematical Society (N. S.). 21. - 1958. - P. 4155.

120. Rademacher, H.A. Topic in Analytic Number Theory / Rademacher H.A. Berlin, 1973.

121. Stern, M. Aufgaben / M. Stern // Journal fur die reine und angewandte /Mathematik, 1838.-Bd. 18.-S. 100:

122. Stern, M. Beitrage zur Combinationslehre und deren Anwendung auf die Theorie der Zahlen / M. Stern // Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1840.-Bd. 21. -S. 177-192.

123. Stern, M: Beitrage zur Combinationslehre und deren Anwendung auf die Theorie der Zahlen / M. Stern // Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1840. Bd. 21. - S. 91-97.

124. Sylvester, J.J. A constructive theory of partitions, arranged in three acts, an interact and an exodion/ J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. IV. - Cambridge : at the University press, 1912. - P. 1-83.

125. Sylvester, J.J. An instaneous graphical proof of Euler's theorem on the partitions of pentagonal and non-pentagonal numbers / J.J. Sylvester // The collection mathematical'Papers. Vol. III. — Cambridge : at,the University press, 1909. -P. 685-686.

126. Sylvester, J.J. Généralisation d'un théorème de M. Cauchy / J.J. Sylvester Il The collection mathematical Papers. — Vol. II. Cambridge : at the University press, 1908. - P. 245 - 246.

127. Sylvester, J.J. Note on the .«Enumeration of the contacts of lines and surfaces of the second order» / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. — Vol. II. Cambridge : at the University press, 1908. — P. 30 — 33:

128. Sylvester, J.J. Note on the equation in numbers of the first degree between any number of variables with positive coefficients / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. -Vol. II. — Cambridge : at the University press,1908.-P. 110-112.

129. Sylvester, J.J. Note on the graphical method in partitions / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. —Vol. III. — Cambridge : at the University press, 1908. P. 683 - 684.

130. Sylvester, J.J. On a generalization of a theorem of Cauchy on arrangements •'/ J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. — Vol. II. — Cambridge : atthe University press, 1908. P. 290-293.

131. Sylvester, J.J. On a geometrical proof a theorem in numbers / JJV Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. III. — Cambridge : at the-University press; 1909. - P. 635-639.

132. Sylvester, J.J. On a new theorem in partitions / J.J. Sylvester // The col-^ lection" mathematical Papers. Vol. III. — Cambridge : at the University press, 1909s--P: 680-682.

133. Sylvester, J.J. On a question in partitions / J.J. Sylvester// The collec-titfni mathematical Papers. Vol. III. - Cambridge : at the University press, 1909.'— Pi 634.- • • •.

134. Sylvester, J.J. On Subinvariants, that is, Semi-Invariants to Binary Quantics of an Unlimited Order / J J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. III. - Cambridge : at the University press, 1909. -P.605-622.

135. Sylvester, J.J. On the partition* of numbers / J J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. II. — Cambridge : at the University press, 1908. -P.90-99:

136. Sylvester, J.J. On the problem of the virgins, and the general theory of compound partition / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. -Vol. II. Cambridge : at the University press, 1908. - P. 113-117.

137. Sylvester, J.J. On the use of cross-gratings to obtain certain developments connected with the theory of elliptic functions / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. III. - Cambridge : at the University press, 1909. -P. 667-671.