Робастное обращение динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ильин, Александр Владимирович

• Ильин, Александр Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ильин, Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Скалярные линейные стационарные системы.

1.1. Система с первым относительным порядком.

1.2. Обращение систем произвольного порядка

1.3. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой

1.4. Обращение при известной волновой модели

1.5. Обращение управляемых систем.

Глава 2. Обращение линейных многомерных стационарных систем

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Обращение векторных систем по фазовому вектору

2.3. Наблюдатели для векторных систем в условиях неопределенности

Глава 3. Минимальные инверторы

3.1. Постановка задачи.

3.2. Функциональные наблюдатели.

3.3. Минимальные функциональные наблюдатели

Глава 4. Обращение нелинейных систем.

4.1. Обращение нелинейных систем по состоянию

4.2. Обращение нелинейных систем по выходу

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Робастное обращение динамических систем»

Актуальность работы. Предлагаемая диссертация посвящена одной из классических задач теории управления, а именно задаче обращения (инвертирования) динамических систем, т.е. задаче восстановления (оценивания) неизвестного входа динамической системы по ее измеряемому выходу.

Важность задачи обращения динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении практических задач, таких, например, как идентификация сигналов и параметров систем, управления в условиях неопределенности, построения измерительных систем для сложных динамических процессов, при планировании-траекторий в робототехнике и т.д.

Задача обращения динамических систем (под тем или иным названием, в частности, как задача оценивании сигналов или обратная задача динамики) имеет значительную предысторию. Еще в 60-ые годы прошлого века появились работы (Silverman), где рассматривалась принципиальная разрешимость задачи обращения динамических систем. Позднее основное внимание исследователей сосредоточилось на поиске практически реализуемых алгоритмов обращения. При этом можно выделить два класса задач обращения. Первый класс - это расчетные задачи, т.е. задачи восстановления неизвестного входа в случае, когда известны измерения выхода на всем интервале времени (как правило, в этом случае речь идет о конечном временном интервале). Такие задачи возникают в геологии, томографии и т.д.

Второй класс задач - задачи обращения в реальном времени (в режиме on-line). При этом, как правило, рассматривается решение задачи в асимптотике. К таким задачам сводится построение различных измерительных комплексов для сложных процессов. Кроме того, особенно важна робастность алгоритмов обращения, т.е. их устойчивость к различным факторам неопределенности, как то к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических возмущений, неидеальностям в работе элементов системы обращения (например, релейных элементов) и т.д.

Именно о таких, робастных алгоритмах обращения, решающих задачу для линейных и нелинейных конечномерных систем в режиме реального времени, и идет речь в данной диссертации.

Существуют различные подходы к решению. Алгоритмы обращения, предложенные в первых работах Silverman (1969), Singh и Massey (1969), Willsky (1974), не были-пригодны для решения задачи в режиме реального времени. Позднее появились более практичные алгоритмы (например, в работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского (1983), D. Chen (1993)), которые могут быть использованы для работы в режиме on-line.

Алгоритмы Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского основаны на дискретизации системы и построении кусочно-постоянной аппроксимации неизвестного входного сигнала. Описанные в литературе алгоритмы этого типа применимы лишь для систем с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют информацию о полном фазовом векторе системы.

Ситуация качественно меняется, если рассматривается задача обращения по выходу с неточно известной динамикой объекта. В этом случае многие известные алгоритмы не применимы, либо требуют серьезных изменений.

В предлагаемой диссертации рассматриваются алгоритмы обращения систем, основная идея которых заключается в сведении задачи обращения к задаче стабилизации неопределенных систем по выходу, что позволяет использовать при решении весь арсенал алгоритмов стабилизации. Такой подход позволил получить робастные алгоритмы обращения.

Для прояснения основной идеи рассмотрим следующую неформальную постановку задачи обращения линейной динамической системы. Пусть задан линейный дифференциальный оператор Р. отображающий входные функции в выходные u)(t), т.е. w(t) = P£(t).

Требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку £ (t) входного сигнала. Алгоритм формирования оценки назовем алгоритмом обращения (инвертирования), а динамическую систему, формирующую такую оценку -инвертором.

Основная проблема заключается в том, что обратный оператор Р~1 физически нереализуем, поэтому для решения задачи надлежит построить его физически реализуемую аппроксимацию Р такую, что функцию l=pw{t) = ppat) можно принять за оценку неизвестного входного сигнала.

Один из способов построения такой аппроксимации основан на использовании управляемой модели исходной системы: w{t) = Pu(t), в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы между выходом системы и модели y(t) = w(t) — w(t). Если ошибка y(t) = 0, то

Р(и -о=о, и, значит, с точностью до функции из ядра оператора Р имеет место равенство

Из этих простых соображений следует, в частности, необходимое условие обратимости системы: ядро оператора должно содержать только функции £о(t) —> 0 при t оо (эти условия получены еще в первых работах (Silverman)).

В частности, для линейных динамических систем это условие эквивалентно минимальной фазовости системы. В этом случае в качестве оценки входа £(t) может быть взята функция u(t), т.е.

При этом свойства алгоритма обращения определяются свойствами оператора Р и видом стабилизирующего управления u{t).

Разумеется, это лишь самое общее представление о схеме решения задачи. На самом деле проблема сложнее, в частности, стабилизирующее управление u{t) и функция £(£) могут принадлежать к различным классам (например u(t) кусочно постоянная, разрывная функция, а £(£-) непрерывная или непрерывно дифференцируемая). В этом случае требуется дополнительное преобразование (фильтр) F этого управления u(t) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое приближение функции <£00, т.е.

I(t) = F(u(t)).

Подобный подход уже описывался в литературе (см. работы R.M. Hirschon (1979), W. Respondek (1988), L.R. Hunt и G. Meyr (1997)), причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления: так, в работе Silverman (1969) использовалась точная непрерывная модель, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм обращения нереализуем точно и не является робастным. В работах Ю.С. Осипова и А.В. Кряжимского использовалась дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных условиях и при устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует неизвестный вход. Однако, в силу специфики этого метода отвергаются разрывные законы управления, которые часто наделяют систему повышенной устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности. Именно поэтому в данной работе широко используются разрывные управления в задачах робастного обращения.

Цель диссертационной работы. Целью работы является разработка теории алгоритмов робастного обращения для различных классов динамических систем.

Вначале рассматриваегся класс SIS01 систем. В этом базовом случае детально исследована обратимость систем, предложены различные варианты алгоритмов обращения, изучена зависимость свойств алгоритмов обращения от типов обращаемых систем, установлена устойчивость алгоритмов по отношению к некоторым классам факторов неопределенности.

Развитая теория обращения распространяется на многосвязные MIM02 системы. Для многосвязных систем ряд характеристик, играющих важную роль при решении обратных задач, (в частности, нулевая динамика, относительный порядок и т.д.) неоднозначны и нуждаются в дополнительном уточнении. Поэтому в работе приведены уточнения этих понятий для многосвязных систем и получены удобные канонические представления таких систем.

В работе решается также задача о выборе минимального инвертора, т.е. динамической системы минимальной размерности, формирующей оценку £ неизвестного входа.

Результаты для линейных систем распространяются на некоторые классы нелинейных динамических систем, получены достаточные условия, налагаемые на нелинейную систему, при которых возможно робастное инвертирование.

1 SISO - Single Input Single Output (системы с одним входом и одним выходом).

2 MIMO - Multi Input Multi Output (системы с векторным неизвестным входом и векторным измеряемым выходом).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Теория робастных инверторов для линейных скалярных и для векторных систем. Предложены алгоритмы инвертирования с использованием глубокой обратной связи, разрывных законов управления, а также стабилизацией по полному фазовому вектору или по выходу с использованием асимптотических наблюдателей.

2. Для векторных систем даны корректные определения определения нулевой динамики и относительного порядка.

3. Указаны способы преобразования векторных систем к различным каноническим формам, в том числе с явным выделением нулевой динамики и удобных для решения задач обращения. Разработаны методы вычисления размерности нулевой динамики. Предложены алгоритмы вычисления спектра матрицы, определяющей нулевую динамику.

4. Теория минимального инвертора для динамических систем. Теория основана на приведении систем к специальным каноническим видам (с выделением нулевой динамики) и теории функциональных наблюдателей.

5. Для некоторых классов нелинейных систем разработаны робастные алгоритмы обращения, с оценками качества работы алгоритмов, характерными для линейных систем.

Практическая значимость. Предложенные в работе алгоритмы ро-бастного обращения, в том числе минимального порядка, имеют не только теоретическую, но и практическую значимость и, в частности, могут использоваться для решения задач планирования траекторий, идентификации и измерения в условиях неопределенности и др.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её части докладывались: на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова; на научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина; на Международной конференции по управлению «Автоматика 2001», Одесса, 2001 г.; на научной школе-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, МГУ, Институт механики имени Е.А. Девянина) 2004 г.; на Симпозиуме IFAC по Обобщенным решениям в задачах управления (GSCP-2004); на Первой Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., г. Переславль); на Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г. Обнинск, Россия); на семинаре в Международном Институте прикладного системного анализа (IIASA, Austria Laxenburg) 2007 г.; на семинарах в университете Лафборо (Великобритания) 2007 г.; на Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, Москва, 2004-2008 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах, из них 22 работы - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и рецензируемых сборниках. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.

Лично автором получены следующие результаты:

1. Методы робастного обращения линейных стационарных систем.

2. Для векторных систем корректно введены понятия* нулевой динамики и относительного порядка, играющие важную роль при решении задач обращения.

3. Методы обращения векторных динамическихсистем.

4. Методы обращения динамических систем при известной волновой модели оцениваемого сигнала.

5. Методы синтеза инвертора минимального порядка.

6. Методы обращения управляемых динамических систем.

7. Методы обращения некоторых классов нелинейных систем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Нумерация утверждений, теорем, лемм, замечаний, примеров и формул - двойная, сквозная по каждой главе. В конце приведена библиография из 111 наименований, вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, затем в алфавитном порядке - работы на латинице.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ильин, Александр Владимирович, 2009 год

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. Москва. Наука. 1976. С. 424.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва. Наука. 1970. С. 536.

3. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности // Москва. Наука. Физмат-лит. 1997. С. 352.

4. Емельянов С.В., Коровин С.К. // Сборник Мат. моделирование: Проблемы и результаты. Москва. Наука. Физматлит. 2003. С. 12-35.

5. Ильин А.В., Емельянов С.В., Фомичев В.В. Синтез робастных инверторов минимального порядка // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 4. С. 575-585.

6. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Позиционное ро-бастное обращение нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика и управление. Вып. 3. Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2003. С. 5-18.

7. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы робаст-ного обращения векторных линейных систем / / Нелинейная динамика и управление. Вып. 4. Сборник статей под редакциейС.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2004. С. 17-22.

8. Ильин А.В., Носов А.П., Фомичев В.В. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2002. С. 33-40.

9. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных скалярных динамических систем: метод управляемой модели // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. N2 3. С. 329-339.

10. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 34. № 6. С. 744-750.

11. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение управляемых линейных систем // .Докл. РАН. Теория управления. 1998. Т. 356. № 2. С. 121-123.

12. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение векторных систем // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34.11. С. 1478-1486.

13. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели с разрывным управлением для скалярных линейных неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1310-1317.

14. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Обращение управляемых динамических систем // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 3. С. 49-58.

15. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Об уравнениях и свойствах нулевой динамики линейных управляемых статических систем // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1626-1636.

16. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Асимптотические наблюдатели для билинейных систем с векторным выходом // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 5. С. 613-618.

17. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Методы построения наблюдателей для линейных динамических систем при неопределенности //Труды МИАН. 2008. Т. 262. С. 80-95.

18. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Синтез минимальных линейных стабилизаторов // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 675-685.

19. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В., Хлавенка А. Синтез асимптотических наблюдателей для линейных векторных неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 73-81.

20. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В., Хлавенка А. Наблюдатели для линейных динамических систем с неопределенностью // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 11. С. 1443-1457.

21. Ильин А.В., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения управляемых систем со структурированной нелинейностью // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1999. № 1. С. 44-48.

22. Коровин С.К., Ильин А.В., Медведев И. С., Фомичев В.В. К теории функциональных наблюдателей и стабилизаторов заданного порядка // Докл. РАН. Теория управления. 2006. Т. 409. № 5. С. 601-605.

23. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В., Хлавенка А. Асимптотические наблюдатели состояния неопределенных векторных линейных систем // Докл. РАН. Теория управления. 2004. Т. 396. № 4. С. 469-473.

24. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Метод управляемой модели в задачах обращения динамических систем // Докл. РАН. Теория управления. 1997. Т. 354. № 2. С. 171-173.

25. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Об одной канонической форме векторных управляемых систем // Докл. РАН. Теория управления. 2007. Т. 414. № 3. С. 320-324.

26. Коровин С.К., Ильин А.В., Фомичев В.В. Нулевая динамика линейных векторных стационарных систем // Докл. РАН. Теория управления. 2007. Т. 414. № 5. С. 598-604.

27. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. Москва. Физматлит. 2007. С. 224.

28. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.О. Синтез минимальных функциональных наблюдателей // Докл. РАН. Теория управления. 2005. Т. 404. № 3. С. 316-320.

29. Коровин С.К., Фомичев В.В., Медведев И.С. Функциональные наблюдатели минимального порядка // Нелинейная динамика и управление. Вып.5. Сборник статей под редакцией С.В. Емельянова и С.К. Коровина. Москва. Физматлит. 2006. С. 51-70.

30. Коровин С.К., Медведев И. С., Фомичев В.В. Функциональные наблюдатели для линейных неопределенных стационарных динамических систем. // Докл. РАН. Теория управления. 2006. Т. 411. № 1. С. 316-320.

31. Краенощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы. Геометрические методы анализа и синтеза. Издательство МГ-ТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. С. 520.

32. Крутъко П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели // Москва. Наука. Физматлит. 1988. С. 304.

33. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. Известия АН СССР, Техническая Кибернетика. 1983. Т. 269. № 2. С. 51-60.

34. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. Известия АН СССР. Техническая Кибернетика. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

35. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов, с использованием понятия нуля системы // Издательство томского университета. Томск. 1990. С. 160.

36. Тихонов А.Н., Ареенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва. Наука. 1979. С. 142.

37. Уткин В.Н. Скользящие режимы в задачах стабилизации и управления. Москва. Наука. Физматлит. 1981. С. 368.

38. Фомичев В.В., Медведев И.С. Построение функциональных наблюдателей для неопределенных систем // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 8. С. 1146-1147." "

39. Aboutalib А. О., Murphy M.S., Silverman L.M. Digital restoration of images degraded by general motion blurs // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 22. PP. 294-302. June 1977.

40. Antsaklis P.J. Stable proper n-th order inverses // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 23. PP. 1104-1106. December 1978.

41. Birta L.G., Mufti I.H. Some results on an inverse problem in multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 12. PP. 99-101. February 1967.

42. Broussard J.R. The generalized state space representation of the inverse of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 24. PP. 784-785. October 1979.

43. Chizeck H.J. Inverses of finite group systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 23. PP. 66-70. February 1978.

44. Davison E.J. The steady-state invertibility and feedforward control of linear time-invariant systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 21. PP. 529-534. August 1976.

45. Emre Erol, Hiiseyin Ozay. Invertibility criteria for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 19. PP. 609-610. October 1974.

46. E'jnre Erol, Silverman L.M. Minimal dynamic inverses for linear systems with arbitrary initial states // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 21. PP. 766-769. October 1976.

47. Emre Erol, Silverman L.M., Glover K. Generalized dynamic covers for linear systems with applications to deterministic identification and realization problems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 22. PP. 26-35. February 1977.

48. Freund E. Design of time-variable multivariable systems by decoupling and by the inverse // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 16. PP. 183-185. April 1971.

49. Godbole S.S., Smith C.F. A new control approach using the inverse system // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 17. PP. 698-702. October 1972.

50. Isidori A. Nonlinear control systems. London. Springer-Verlag. 1995.

51. Luenberger D.G. Determining the state of linear system with observers of low dynamic order. // Ph.D. dissertation. Stanford University. 1963.

52. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems. // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 11. 1966. PP. 190-197.

53. Luenberger D. G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 12. 1967. PP. 290-293.

54. Mayne D.Q. On the calculation of pseudoinverses j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 204-205. April 1969.

55. Moylan P.J. Stable inversion of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 22. PP. 74-78. February 1977.

56. Nazaroff G.J. Inverse differential-delay systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 19. PP. 87-88. February 1974.

57. Nijmeijer H., Vander Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. Springr-Verlag. 1990. Berlin.

58. O'Reilly J. Observers for Linear Systems // Academic Press. London. 1983.

59. Orner P.A. Construction of inverse systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 17. PP. 151-153. February 1972.

60. Owens D.H. Large-scale systems analysis using approximate inverse models // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 25. PP. 328-330. April 1980.

61. Porter W.A. Decoupling of and inverses for time-varying linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 378-380. August 1969.

62. Porter W.A. An algorithm for inverting linear dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 702-704. December 1969.

63. Rebhuhn D. Invertibility of multivariable input-output systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 25. PP. 207-212. April 1980.

64. Resondek W., Nijmeijer H. On Local Right-Invcrtiobility of Nonlinear Control Systems // Control Theory and Advanced Technology. 1988. Vol. 4. № 3. PP. 325-348. MITA-PRESS.

65. Ronald M. Hirschorn invertibility of multivariable nonlinear control systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 24. PP. 855-865. December 1979.

66. Rosenbrock H.H. State-Space and Multivariable Theory // Nelson. London. 1970.

67. Rosenbrock H.H. The zeros of a system // International Journal of Control. Vol. 18. 1973. № 2. PP. 297-299.

68. Sain Michael K., Massey James L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 141-149. April 1969.

69. Silverman L.M. Properties and application of inverse systems j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 13. PP. 436-437. August 1968.

70. Silverman L.M. Inversion of multivariable linear systems j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 14. PP. 270-276. June 1969.

71. Silverman L.M. Decoupling with State Feedback and Precompensation // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 15. PP. 487-489. August 1970.

72. Singh S.N. Decoupling of invertible nonlinear systems with state feedback and precompensation // IEEE Trans. Automat. Contr. AC-25. № 6. PP. 1237-1239. December 1980.

73. Singh S.N. A modified algorithm for inevitability in nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. AC-26. № 2. PP. 595-598.

74. Singh S.P. A note on inversion of linear systems j j IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 15. PP. 492-493. August 1970.

75. Sogo Takuya, Adachi Norihiko. A limiting property of the inverse of sampled-data systems on a finite-time interval // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 46. PP. 761-765. May 2001.

76. Tsui С. C. A new design approach to unknown input observers // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 41. Г996. № 3. PP. 464-467.

77. Vidyasagar M. Casual systems and feedforward loops // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 16. P. 209. April 1971.

78. Wang Shih-Ho, Davison E.J. A minimization algorithm for the design of linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 18. PP. 220-225. June 1973.

79. Wang S. H., Davison E.J. A new invertibility criterion for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 18. PP. 538-539. October 1973.

80. Wei Lin. Global robust stabilization of minimum-phase nonlinear systems with uncertainty // Automatica. 1997. Vol. 33. № 3. PP. 453-462. Elsevier.

81. Willsky A.S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 19. PP. 272-274. June 1974.

82. Fu-Min Yuan. Minimal dimension inverses of linear sequential circuits // IEEE Trans. Automat. Contr. Vol. 20. PP. 42-52. February 1975.

83. Zak S.H. On the stabilization and observation of nonlinear uncertain dynamic control // IEEE Trans. Automat. Contr. 1990. Vol. 35. № 5. PP. 604-607.

84. Zhao Y.D.; Huang L. Local stabilization of nonlinear systems // Control Theory and Advanced Technology. 1990. Vol. 6. № 4. PP. 543-557. MITA PRESS.

85. Zhihua Qu, John Dorsey. Comments on the stabilization and observation of nonlinear uncertain dynamic control // IEEE Trans. Automat. Contr. 1991. Vol. 36. № 6. PP. 1342-1343.