https://istina.msu.ru/download/12113675/1ifs0u:jl3EllSyKghNXTumMSLShrGze8k/ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Краев Андрей Владимирович

• Краев Андрей Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Краев Андрей Владимирович

Введение

Глава 1. Условия обратимости линейных стационарных динамических систем

Глава 2. Алгоритмы обращения динамических систем в скалярном случае

2.1. Введение. Постановка задачи

2.2. Обращение по известному фазовому вектору

2.3. Обращение по скалярному выходу

Глава 3. Алгоритмы обращения векторных линейных дискретных систем

3.1. Постановка задачи

3.2. Обращение по фазовому вектору

3.3. Восстановление векторного входа по векторному выходу

Глава 4. Некоторые свойства относительного порядка линейных стационарных динамических систем

4.1. Предварительные замечания об относительном порядке

4.2. Инвариантность второго свойства относительно невырожденного преобразования

4.3. О возможности 'подъёма' компоненты НОП

4.4. О предельном значении компоненты относительного порядка

4.5. Алгоритм приведения системы к виду с относительным порядком

4.6. О приведения М1М0-системы третьего порядка к виду с отно-

сительным порядком

Глава 5. Об аналоге относительного порядка для случая обращения линейных дискретных динамических систем

5.1. Постановка задачи

5.2. Определение столбцового относительного порядка

5.3. Обращение систем с отсутствующей нулевой динамикой, обладающих столбцовым относительным порядком

5.4. Обращение систем с устойчивой нулевой динамикой

5.5. Выводы

Глава 6. К обобщению относительного порядка

6.1. Введение. Постановка задачи

6.2. Определение главного неполного относительного порядка

Глава 7. О приведении линейной векторной стационарной динамической системы к виду с относительным порядком по Исидори

Глава 8. Моделирование работы инвертора

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «https://istina.msu.ru/download/12113675/1ifs0u:jl3EllSyKghNXTumMSLShrGze8k/»

Актуальность работы

Задача обращения динамических систем является одной из актуальных задач теории управления. Данная задача в различных постановках возникает во многих отраслях науки и техники, связанных с проектированием и эксплуатацией автоматических систем и устройств в условиях неопределённого внешнего воздействия, а также в ряде случаев может найти своё применение в задачах прогнозирования и предсказания. Если представлять динамическую систему в виде блока, преобразующего входное воздействие в выходной сигнал, который можно измерять (например, при помощи датчика), то задача обращения динамических систем заключается в нахождении неизвестного входного воздействия по известным параметрам блока (коэффициентам системы) и измеряемому выходу (показаниям датчика). Математическое описание динамической системы предполагает наличие у блока постоянных характеристик, задаваемых коэффициентами системы, а также внутренней памяти, характеризуемой переменным вектором состояний, значения которого вместе с входным воздействием участвуют в формировании выходного сигнала. Данная модель динамических объектов используется в описании различных технических объектов и устройств в различных областях, от авиапрома до горнодобывающей промышленности. Случай линейных систем является наиболее изученным в классе задач обратной динамики, как в непрерывной так и в дискретной постановке. Здесь уместно сообщить, что линейная стационарная дискретная динамическая система в общем случае задаётся следующей системой уравнений:

хь+1 = Ах1 + В?

У* = Схг + ¿ = 0,1,2,...,

с переменными параметрами хг £ £ R, £ Rm и постоянными матри-

цами А, В, С, D соответствующих размерностей. Устоявшаяся терминология теории управления использует обозначения для вход а, у1 для выход а и xt для вектора состояний системы, имея в виду, что индекс t означает соответствующий момент времени.

Линейный случай для непрерывных систем в различных постановках исследовался многократно (например, [1]), начиная со второй половины 20-го века. Многочисленные работы были посвящены исследованию канонических форм и задачи обращения для линейного случая ([2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]), а также исследованиям свойств относительного порядка ([20], [21],). В качестве примера можно привести работы L.M.Silverman [22], P.M. Van Dooren, P. Dewilde, J. Wandewalle [23]. Например, в работе Силвермана исследована задача обращения, в которой неизвестный вход непосредственно может влиять на измеряемый выход, т.е. матрица D в ( ) может быть ненулевой, что является самой общей постановкой для случая стационарных линейных систем. Значительный вклад в исследование обратных задач управления внесли советские и российские математики Ю.С. Осипов и А.В. Кряжимский ([24], [25], [26]).

В настоящей работе делается попытка исследования одного специального случая обращения линейной дискретной системы. Особенностью предлагаемой работы является то, что рассматривается постановка задачи обращения для систем с нулевой матрицей D, что является также весьма распространённым и актуальным случаем в моделировании физических процессов и автоматических систем. Задача при нулевой матрице D представляет собой значительно более сложный частный случай, так как в этом случае обратный оператор физически не реализуем. Основным моментом является тот факт, что полученные необходимые и достаточные условия корректности постановки задачи обращения динамических систем формируют т.н. класс ;об-

ратимых' систем. Эти условия изначально не совпадают с условиями применимости полученных на первом этапе алгоритмов обращения, которые формируют класс т.н. 'обращаемых' систем. Указанные алгоритмы обращения применимы лишь для тех обратимых систем, для которых дополнительно выполнено определение относительного порядка по Исидори. Именно системы, составляющие разность этих классов, т.е. обратимые системы без относительного порядка, представляют интерес для дополнительного исследования с точки зрения их обращения, и этому посвящена значительная часть настоящей работы. Существенным результатом настоящего исследования является рассмотрение свойств относительного порядка, его аналогов, и методов сведения задачи с невыполненными свойствами относительного порядка к задаче для системы, обладающей свойством относительного порядка, необходимым для применимости алгоритмов обращения. Хотя все рассуждения проводятся для случая дискретных линейных систем, во многих случаях полученные результаты могут быть обобщены и на непрерывный случай.

Цель диссертационной работы

В проведённом в диссертации исследовании ставятся следующие цели:

1) Определить условия, при которых рассматриваемая постановка задачи обращения корректна, т.е. задача имеет единственное решение или все её решения являются асимптотически сходящимися друг к другу. (В дальнейшем для краткости будем упоминать это решение, как единственное с точностью до асимптотически исчезающих слагаемых.)

2) Используя свойства классического определения относительного порядка (которое выполняется не для всех систем), предложить алгоритмы решения задачи обращения в рассматриваемой постановке для случая SISO и MIMO систем с выполненным определением относительного порядка. (В дальнейшем для краткости системы, удовлетворяющие определению относительного порядка, будем называть системами с относительным порядком.)

Определить условия применимости предложенных алгоритмов.

3) Исследовать свойства относительного порядка квадратных .\П.МО-систем и предложить алгоритмы сведения произвольной исходной задачи к задаче обращения для системы с относительным порядком.

4) Ввести в рассмотрение столбцовый относительный порядок и исследовать его свойства и роль в решении задачи обращения. Предложить алгоритм решения задачи обращения для систем со столбцовым относительным порядком.

5) Рассмотреть свойства систем с неполным относительным порядком. Обобщить понятие относительного порядка на случай таких систем.

6) В конечном итоге на основе полученных результатов предложить общий алгоритм обращения дискретных линейных стационарных систем.

Методы исследования

Основные результаты получены методами теории устойчивости, разностных уравнений, Х-преобракжинии. матричными методами линейной алгебры и методами функционального анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Определены условия существования и единственности (с точностью до асимптотически исчезающих слагаемых) решения задачи обращения.

2) Установлен ряд свойств относительного порядка векторных систем по Исидори. Введено в рассмотрение определение столбцового относительного порядка. Исследованы его свойства.

3) Предложены алгоритмы решения задачи обращения для скалярных и векторных систем с относительным порядком по Исидори или столбцовым относительным порядком. Условия их применимости при наличии относительного порядка совпадают с условиями существования и единственности

(с точностью до асимптотически исчезающих слагаемых) решения задачи обращения в рассматриваемой постановке.

4) Исследован вопрос приводимости системы без относительного порядка к виду с относительным порядком невырожденным преобразованием выходов, либо сдвигом компоненты выхода по времени. Предложены алгоритмы такого преобразования.

5) Разработана теория неполных относительных порядков, в рамках которой введено понятие обобщённого относительного порядка и получен критерий приводимости линейным невырожденным преобразованием выходов системы к виду с относительным порядком.

6) Предложен общий алгоритм обращения дискретных линейных стационарных систем.

Практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработанные алгоритмы допускают программную реализацию, которая может быть непосредственно использована для решения задачи в тех областях автоматического управления, где она возникает.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) Условия обратимости линейных дискретных систем.

2) Свойства относительного порядка квадратных М1МО-систем по I Iсидор! 1.

3) Определение и свойства столбцового относительного порядка.

4) Алгоритмы обращения скалярных и векторных квадратных систем с относительным порядком по Исидори.

5) Алгоритмы обращения векторных квадратных систем со столбцовым относительным порядком.

6) Алгоритмы приведения квадратной системы к виду с относительным

порядком невырожденным преобразованием выходов.

7) Обобщения понятия относительного порядка.

8) Алгоритм приведения квадратной системы к виду с относительным порядком преобразованием выходов общего вида.

9) Общий алгоритм обращения линейных стационарных дискретных систем.

10) Программная реализация алгоритма обращения.

Апробация работы Результаты работы докладывались на научном семинаре «Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление», а также на следующих конференциях:

- международной конференции "Системный анализ и информационные технологии"(Переславль-Залесский, 2005 г., 2006 г.);

- международной конференции "Системный анализ и информационные технологии "(Обнинск, 10-14 сентября 2007 г.);

- научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 25-29 октября 2010 года);

- научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2012 года);

- научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 29 октября - 2 ноября 2012 года);

- научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 28 октября - 1 ноября 2013 года);

- научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 27 октября - 31 октября 2014 года).

Публикации.

Основные результаты исследования опубликованы в 8 работах ([27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]), первые 7 статей из этого списка опубликованы в журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора

Постановка задачи, исследовавшейся в диссертации, принадлежит академику С.К. Коровину. Методы исследования и достигнутые с их помощью результаты, включённые в главы 1,3,4,5 диссертации, разработаны и получены автором лично. Результаты главы 2 получены в соавторстве с профессорами ВМК МГУ В.В. Фомичевым и С.К. Коровиным, при этом Краев A.B. выполнил техническую работу по получению оценок результатов работы алгоритмов. Результаты глав 6 и 7 получены в соавторстве со студентом ВМК МГУ Роговским А.И. (под научным руководством Краева A.B.), при этом Краеву A.B. принадлежит постановка задачи, фомулировка итоговых результатов в виде утверждений, которые должны были быть доказаны, а также указание методов исследований с примерами их применения. В частности, идеи доказательств результатов главы 6 впервые были опробованы и использованы Краевым A.B. при получении результатов главы 4. Профессор ВМК МГУ В.В. Фомичев участвовал в обсуждении результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, включая результаты моделирования, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 145 страниц текста, 9 иллюстраций. Список литературы включает в себя 43 наименования.

Глава 1

Условия обратимости линейных стационарных

динамических систем

Рассмотрим линейную стационарную дискретную динамическую систему с постоянными матрицами:

хь+1 = Ах1 + В?

(1.1)

у1 = Схг, г = 0,1, 2,...,

где переменные параметры и постоянные матрицы А, В, С имеют

следующие размерности:

ж е е е ^

, (1.2)

А е Кпхп, В е Кпхт, С е

Здесь использованы принятые в теории управления обозначения для входа выхода у и вектора состояния х системы. Будем рассматривать содержательный случай, когда матрицы В и С имеют полный ранг, т.е. ЯдВ = т < п, ЯдС = I < П.

Исследуем вопрос об обратимости этой системы. Под этими словами будем понимать следующее: требуется установить необходимые и достаточные условия того, что задача обращения линейной дискретной динамической системы (1.1) поставлена корректно, то есть её решение существует и единственно. Под задачей обращения здесь будем понимать задачу восстановления неизвестного входа £ по известному выходу у7 при условии, что матрицы А, В и С также известны, причём с точки зрения исследования корректности задачи можем считать, что наперед известен весь выход системы при£ = 0,1,..., то. Методы решения задачи обращения в данной главе рассматриваться не будут.

Интересующий нас вопрос удобно изложить в следующей постановке. Рассмотрим систему ( ) с теми же самыми матрицами А, В и С и выходом

У-

хг+1 = Ах1 + В&

(1.3)

у1 = Схг, г = 0,1, 2,...,

Вопрос об условиях обратимости формулируется в данном контексте так: в каких случаях при совпадающих значениях выходов (т.е. при^ = у1) систем (1.1) и (1.3) с одинаковыми постоянными параметрами, и, возможно, различающимися векторами состояния, можно говорить о совпадении входов. Когда мы говорим о совпадении входов, нас может интересовать либо полное совпадение величин, то есть — = 0 при £ > 0 (первая постановка), либо тот факт, что их разность сходится к нулю финитно или асимптотически, то есть £t — £t ^ 0 при £ ^ то (вторая постановка). Поэтому задача естественным образом разбивается на две подзадачи. Часть рассуждений будет общей для обоих случаев.

Итак, рассмотрим разность систем (1.1) и (1.3), обозначив хг — хг =

Ахг,С г — |* = Д^

Дхг+1 = АДхг + В Д^

(1.4)

сДхг = 0, г = 0,1,2,...,

Изучим вопрос о том, какие условия гарантируют, что в системе (1.4) вход Д^t равен или асимптотически стремится к пулю.

Для начала заметим, что имеет смысл изучать вопрос об обратимости только для систем, для которых выполнено условие т < I. Дело в том, что если это условие не выполнено, т.е. размерность входа больше размерности выхода, задача обращения заведомо поставлена некорректно, так как

допускает неединственность решения. Покажем это. Рассуждая от противного, предположим, что т > I. Применяя стандартную технику рассуждений, рассмотрим однородную задачу, под которой понимаем задачу обращения системы с нулевым выходом, (система имеет, возможно, отличное от нуля начальное состояние). Иными словами, рассмотрим разность двух систем одинаковой структуры с совпадающими выходами. С учётом обозначений х1 — х1 = Ах1 1 — ^ = А^это будет:

= ААх1 + В А^

(1.5)

С Ах1 = 0, г = 0,1, 2,...,

Если однородная задача обращения имеет только тривиальное решение, имеет место единственность решения неоднородной задачи обращения.

Разложим первое уравнение (1.5) по базису ядра С (ех, е2,..., еп—), которому принадлежат все векторы Ахг, Ь = 1,...:

Ахг+1 = ах ех + о^ + ... + ап—1 еп—1 = ААх1 + ВхА^ + ... + ВтА^т (1.6)

Здесь Вх,..., Вт - столбцы матрицы В, которые умножаются на скалярные компоненты входа. Если I < т) то п — I + т > п и (считая Ахг известным) получается система из п уравнений с большим, чем п числом неизвестных ах, ...,ап—1 1,..., ^т Т-е- число уравнений п меньше числа неизвестных п — I + т. Такая система заведомо не может иметь единственного решения. Таким образом, однородная задача в этом случае либо вообще не имеет решений, либо её решение неединственно, и, следовательно, условие т < I -первое необходимое условие обратимости.

Вернёмся к исследованию задачи обратимости для случая т < I. Этот случай с точки зрения решения задачи обращения сводится к случаю обращения квадратной (т = I) системы, наиболее сложному в рассматриваемом

классе, путём отброса 'избыточной' информации, даваемой 'дополнительными' выходами системы (заметим, что предложенные ниже в данной работе алгоритмы обращения работают именно для квадратных систем). Покажем, что достаточным условием обратимости квадратной системы в смысле полного совпадения входов (т.е. для первой подзадачи) является отсутствие у системы (1.11) нетривиальных решений, что имеет место, когда для матрицы Розенброка ([35])

инвариантные нули (нетривиальные значения г, понижающие ранг матрицы Розенброка, т.е. при которых ЯдЯ(г) < п + т ([ , ])) отсутствуют.

Предположим, что система не имеет инвариантных нулей. Покажем, что из у = 0 следует х° = 0. Предположим, это не так. Пусть тогда в какой-то момент времени состояние из ненулевого становится нулевым. Это означает, что для ненулевого вектора хг из ядра С выполнено

при г = 0, а это говорит о том, что система имеет инвариантный ноль, равный нулю. Итак, состояние не может из ненулевого стать нулевым, если система не имеет инвариантных нулей. По той же самой причине состояние не может переходить в коллинеарное себе, так как это также говорит о наличии инвариантного нуля. Исключив тривиальные случаи, мы получаем, что система имеет нетривиальную нулевую динамику (движение по траекториям у = 0), что невозможно, если у системы нет инвариантных нулей ([36]), которые для

(1.7)

0 = Ах' + ',

(1.8)

ИЛИ

(х! — А)х1 — В? = 0,Схг = 0

(1.9)

квадратной системы являются корнями характеристического полинома нулевой динамики. Наличие нулевой динамики говорит о наличии инвариантных нулей, поэтому если их нет, то начальное состояние может быть только нулевым.

Рассмотрим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ДХ и Д£ для системы (1.4), полученную методом %-преобразований (при нулевом начальном состоянии):

Здесь через ДХ и Д^ обозначены соответственно %-преобразования вектора состояния однородной системы Дх и её неизвестного входа Д£. Если инвариантных нулей нет, эта система может иметь только нулевое решение, что свидетельствует о корректности задачи обращения.

Итак, достаточным условием обратимости в смысле полного совпадения входов (т.е. для первой подзадачи) является отсутствие у системы (1.11) нетривиальных решений, что имеет место, когда для матрицы Розенброка инвариантные нули отсутствуют. Это означает отсутствие нулевой динамики.

Ещё одно доказательство однозначной обратимости в случае отсутствия нулевой динамики вытекает из результативности и однозначности алгоритмов обращения, описанных в главах 3 и 5 для систем с относительными порядками и обобщёнными в главах 6 и 7 для класса слабоприводимых систем, в который включаются управляемые (наблюдаемые) системы, каковыми и являются системы с отсутствием инвариантных нулей.

(х1 — А)ДХ — В Д^ = 0

(1.10)

сдх = 0, г = 0,1,2,...

или, в матричном виде:

(1.11)

Вернёмся ко второй подзадаче. Если существуют инвариантные нули гх, г2,..., гк, понижающие ранг матрицы Розенброка (можно показать, что при этом к < п — т), то общее решение системы после обратных %-иреобра-зований будет выглядеть так:

к

А? = £ А^ 4 (1.12)

%=х

Оно стремится к нулю, если значения инвариантных нулей г,-,,,! = 1,..., к, устойчивы, то есть их модули меньше 1. Это даёт нам достаточное условие обратимости для второй подзадачи, т.е. в смысле асимптотической сходимости входов.

Ещё одно объяснение этого факта можно дать следующим образом. Пусть инвариантные нули матрицы Розенброка существуют, но устойчивы. Поскольку инвариантные нули устойчивы, это означает устойчивость нулевой динамики. Это, в свою очередь, означает, что при движении по траекториям С Ах1 = 0 имеет место сходимость Ах1 ^ 0 пр и £ ^ то. Стремление к нулю Ах с учётом первого уравнения системы (1.4) означает и стремление к нулю А£, так как матрица В по предположению имеет полный ранг. Это означает возможность обращения дискретной системы с асимптотической точностью. Таким образом, справедливо следующее

Утверждение 1.1. Задача обращения дискретной системы, (1.1) поставлена корректно, еслит < I, а инвариантные нули системы (значения г, понижающие ранг матрицы Розенброка) отсутствуют или, устойчивы,. В случае отсутствия инвариантны,х нулей, гарантируется единственность решения задачи, обращения; в случае наличия устойчивы,х инвариантны, х нулей, гарантируется сходимость всех возможмых решений, задачи, обращения друг к другу при £ ^ то.

Заметим, что если для какого-то неустойчивого значения г0 существу-

ет решение системы ( ) в виде вектора [ДХ0, Д^0], причём Д^0 = 0, то частное решение исходной задачи обращения, даваемое одним из слагаемых в формуле (1.12):

ДГ = Д^о, (1.13)

не сходится к нулю ни асимптотически, ни финитно, что свидетельствует о некорректности постановки задачи обращения для этого случая.

Случай, когда для всех неустойчивых значений г0 в соответствующем векторе решения [ДХ0, Д^0] компонента Д^0 нулевая, относится к классу ненаблюдаемых и ^обнаруживаемых систем. Это вытекает из равенства

что свидетельствует о потере полноты ранга матрицей наблюдаемости Розен-брока на неустойчивом значении г0, что говорит об отсутствии наблюдаемости и обнаруживаемое™ системы.

Этот случай не рассматривается в данном контексте, хотя существуют примеры, когда в этом случае решение задачи обращения существует и единственно. Например, можно рассмотреть следующую систему:

л+1 ж 1 = 4 + б

л+1 х2 = 4 + Й

Л+1 х3 = 24 (1.15)

у\ = 4 у2 = 4

Система имеет неустойчивый инвариантный ноль, равный 2, в то же время вход системы однозначно определяется её выходом, т.е. задача обращения

для данной системы корректна. Это объясняется тем, что иеобпаруживае-мая копонента состояния не участвует в формировании зависимости между входом и выходом.

Вынося данный случай за скобки, в дальнейших рассмотрениях будет решаться задача обращения для систем с устойчивой или отсутствующей нулевой динамикой. Устойчивость или отсутствие нулевой динамики попутно свидетельствует об обнаруживаемости (наблюдаемости) и стабилизируемо-сти (управляемости) системы, соответственно в дальнейшем рассматриваются только такие системы.

Глава 2

Алгоритмы обращения динамических систем в

скалярном случае

Сначала рассмотрим решение задачи обращения в простейшем случае ЯШО-системы. Для таких систем всегда определён относительный порядок, что позволяет предложить алгоритм обращения, основанный на свойствах относительного порядка, сразу для всех скалярных обратимых систем. Забегая вперёд, можно заметить, что попытка обобщить этот алгоритм на случай М1МО-систем, описываемая в последующих главах, позволяет получить решение задачи обращения только для М1МО-систем с относительным порядком, который в векторном случае определён не всегда.

2.1. Введение. Постановка задачи

Рассматривается следующая постановка задачи обращения ЯКО-систе-мы: задана дискретная динамическая система

х1+х = Ах1 + Ь? г = 0,1, 2,... (2.1)

где х1 Е Ка —вектор состояний системы, А Е Япхп, Ь Е Ка — известные матрицы с постоянными коэффициентами, ^ Е Я — неизвестный входной сигнал. Требуется по известному фазовому вектору х1 либо по измерениям скалярного выхода

у1 = сх1, г = 0,1,2,... (2.2)

где ст Е Кп, построить оценку ^ неизвестного сигнала ^ в момент времени £ (считается, что в момент времени £ доступны значения х1 либо уг7 а также их значения в предыдущие моменты времени: 0,1, 2,... ,1 — 1).

Задача может осложняться тем, что выход системы (2.1),(2.2) измеряется с погрешностью е\ т.е. известен выход уt = у1 + еь.

Требуется, чтобы оценка |£t — ^ 0 при £ ^ то (асимптотическая оценка) либо с некоторого момента времени — < где 5 - заданная константа.

2.2. Обращение по известному фазовому вектору

2.2.1. Восстановление произвольного входа

Пусть при каждом £ > 0 известен фазовый вектор хг. Выберем некоторый вектор Ьт € Кп так, что бы КЪ =1. Тогда, домножив уравнение ( ) на К слева, получим следующее выражение для 1:

1 = Кхг — НАхг—1 (2.3)

Таким образом, зная хг и хг—1 можно получить точное значение неизвестного входа £ в момент времени (Ъ — 1).

Если фазовый вектор измеряется с ошибкой, т.е. хг = хг + е\ где £г — равномерно ограниченная ошибка измерения с известной мажорантой £0 > 0,

И < £0, (2.4)

то в качестве оценки неизвестного входа можно использовать алгоритм

1 = Кхг — КАхг—1 (2.5)

В этом случае ошибка оценивания Д<^—1 = 1 — 1 также равномерно ограничена и удовлетворяет неравенству:

Д 1|<|К|Е0(1 + 1А1).

Нетрудно убедиться, что правая часть последнего неравенства будет минимальна, если К = Ьт/\Ь\2. При этом

|ДГ''|<Щ (1 + И\). (2.6)

2.2.2. Восстановление входа, порожденного волновой моделью

Предложенный алгоритм формирует оценку только для момента времени (Ъ — 1), а не как это предполагалось. Это недостаток можно устранить,

= (и\ ¿ = 0,1, 2,...

1 ( , , , , (2.7)

^ = дит

где и1 Е Яа — неизвестный фазовый вектор модели, а О Е Язхв и д Е Яххз известные параметры системы. В дальнейшем будем считать, что пара {(, д} наблюдаема.

Если и0— начальное состояние системы ( ), то и1 = О1 • и0, а ^ =

дОги)0, и, следовательно, для построения оценки ^ достаточно найти и0.

—х

щие моменты времени, т.е. l;,t-1,Ct-2,... £0 ПРИ ^^ 1- Если Ь > в, то искомое и0 можно искать как решение следующей системы уравнений:

= ди0 £х = д (и0

£а — х = д О3—хи0.

С использованием следующих обозначений

е—х = к0 ,...,е 5—х)т,

N (О, д) = (дт,..., (дО3—х)т )т, 21

где Nд) - матрица наблюдаемости Калмана для пары д}, эту систему можно записать в виде

1 = N•

В силу наблюдаемости пары ^,д}7 матрица N^,д) — невырождена и, следовательно, искомое и;0 определяется равенством

w0 = N—• |5—1

Таким образом, для при Ь > в справедливо представление

^ = —1(д, д) • г = 5,5 + 1,... (2.8)

В случае, если вместо ж* известен вектор ^вместо 1 доступен вектор 1 = ,..., 1)^5 гДе С определяется (2.5), то в качестве оценки ^ можно принять

? = дя'м—1(д, д)(|)-—1, г = 5, 5 + 1,... (2.9)

Заметим, что вообще говоря, отличается от Эти оценки строятся по разным алгоритмам, кроме того в момент времени £ может быть построена только оценка (по оценке 1 в частности).

Ошибка такого оценивания Д<^ = — удовлетворяет оценке

~ /Ч С

= )ШЯ—1 — Г—11 < Ы • № • • Щ(1 + ш) • £0

Если > 1, то эта ошибка растёт при Ь ^ то. Этот недостаток устраняется следующей модификацией предложенного алгоритма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Краев Андрей Владимирович, 2016 год

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. Москва: Наука, 1976.

2. Silverman L.M. Properties and applications of inverse systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1968. Vol. 13, no. 8. P. 436-437.

3. Broussard J.R. The generalized state-space representation of the inverse of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1979. Vol. 24, no. 10. P. 784-785.

4. Davison E.J. The steady-state invertibility and feedforward control of linear time-invariant systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. Vol. 21, no. 8. P. 529-534.

5. Emre Erol, Silverman L.M. Minimal dynamic inverses for linear systems with arbitrary initial states // IEEE Trans. Automat. Contr. 1976. Vol. 21, no. 10. P. 766-769.

6. Chizeck H.J. Inverses if finite group systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1978. Vol. 23, no. 2. P. 66-70.

7. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Алгоритмы обращения линейных управляемых систем // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 34, № 6. С. 744-750.

8. Ильин А.В., Коровин С.К., Фомичев В.В. Робастное обращение управляемых линейных систем // Доклады РАН. Теория управления. 1998. Т. 356, № 2. С. 121-123.

9. Emre Erol, Huseyin Ozay. Invertibility criteria for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. 19, no. 10. P. 609-610.

10. Nazaroff G.J. Inverse differential-dellay systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. 19, no. 2. P. 87-88.

11. Silverman L.M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. 14, no. 6. P. 270-276.

12. Markus Mueller. Normal form for linear systems with respect to its vector relative degree // Linear Algebra and its Applications. 1973. Vol. 430, no. 4. P. 1292-1312.

13. Porter W.A. An algorithm for inverting linear dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. 14, no. 12. P. 702-704.

14. Sain Michael K., Massey James L. Invertability of linear time-invariant dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. 14, no. 4. P. 141 149.

15. Singh S.P. A note on inversion of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1970. Vol. 15, no. 8. P. 492-493.

16. Birta L.G., Mufti I.H. Some results on an inverse problem in multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. Vol. 12, no. 2. P. 99-101.

17. Moylan P.J. Stable inversion of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. Vol. 22, no. 2. P. 74-78.

18. Wang S.H., Davison E.J. A new invertibility criterion for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1973. Vol. 18, no. 10. P. 538-539.

19. Willsky A.S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. 19, no. 6. P. 272-274.

20. Carla A. Schwartz, Peter W. Gibbens and Minyue Fu. Achieving vector relative degree for nonlinear systems with parametric uncrtainties // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1995. Vol. 5. P. 139-151.

21. Ilchmann A. and Mueller M. Time-varying linear systems: relative degree and normal form // IEEE Trans. Automat. Contr. 2007. Vol. 52, no. 5. P. 840-851.

22. L.M.Silverman. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans Aut Contr. 1969. Vol. 14. P. 270-276.

23. P.M.Van Dooren, P.Dewilde, J.Wandewalle. On the determination of the Smith-MacMillan form of a rational matrix from its Laurent expansion // IEEE Trans. Circ. Syst. 1979. Vol. 26. P. 180-189.

24. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. О динамическом решении операторных уравнений // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. Т. 269, № 3. С. 552-556.

25. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В. О моделировании управления в динамической системе // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. Т. 269, № 2. С. 51-60.

26. Osipov Y.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

27. Korovin S.K., Kraev A.V., Fomichev V.V. Some inversion algorithms for discrete systems // Computational Mathematics and Modeling. 2007. Vol. 18, no. 4. P. 369-376.

28. Kraev A.V. Some algorithms for inversion of vector discrete systems // Computational Mathematics and Modeling. 2013. Vol. 24, no. 2. P. 271-278.

29. А.В.Краев. Необходимые условия обратимости линейных дискретных динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 4. С. 592-594.

30. А.В.Краев. О приведении векторной линейной системы третьего порядка к форме с относительным порядком по Исидори // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № И. С. 1558-1560.

31. Краев A.B. Об аналоге относительного порядка для линейных динамических MIMO-систем // Доклады Российской Академии наук. 2014. Т. 454, № 2. С. 152-157.

32. Роговский А.И., Краев A.B., Фомичев В.В. К обобщению относительного порядка // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 8. С. 1128-1132.

33. Роговский А.И., Краев A.B., Фомичев В.В. О приведении векторной системы к виду с относительным порядком // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2015. № 3. С. 20а-26.

34. Краев A.B. Некоторые свойства относительного порядка линейных стационарных динамических систем // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей под ред. С.В.Емельянова, С.К.Коровина. 2013. Т. 8. С. 105-112.

35. Rosenbrock H.H. State-Space and Multivariable Theory. London: Nelson, 1970.

36. Rosenbrock H.H. The zeros of a system // International J. of Control. 1973. Vol. 18, no. 2. P. 297-299.

37. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1990.

38. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1966. Vol. 11. P. 190-197.

39. A.Isidori. Nonlinear control systems. London: Springer-Verlag, 1995.

40. А.В.Ильин, С.К.Коровин, В.В.Фомичев. Методы робастного обращения динамических систем. Москва: Физматлит, 2009.

41. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. Vol. 12. P. 290-293.

42. С.К.Коровин, А.В.Ильин, В.В.Фомичев. Нулевая динамика линейных векторных стационарных систем // ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК. 2007. Т. 414, № 5. С. 598-604.

43. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1976.