Исследование свойств относительного порядка и нулевой динамики для различных классов динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Роговский Александр Игоревич

• Роговский Александр Игоревич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Роговский Александр Игоревич

Введение

Глава 1. Нулевая динамика систем с относительным порядком

1.1. Обозначения

1.2. Введение. Основные определения

1.3. Известные методы описания нулевой динамики

1.4. Простейший метод приведения к виду с относительным порядком

1.5. Обобщения относительного порядка и нулевая динамика

Глава 2. Приведение линейных систем к виду с относительным

порядком

2.1. Обозначения

2.2. Введение

2.3. Постановка задачи

2.4. Свойства объединенной системы

2.5. Вспомогательные утверждения

2.6. Основной алгоритм

2.7. Минимально-фазовое преобразование

Глава 3. Уравнения нулевой динамики линейных систем

3.1. Обозначения

3.2. Введение

3.3. Дальнейшее обобщение относительного порядка

3.4. Элементарные декомпозиции системы

3.5. Обобщенная форма с выделением нулевой динамики

Глава 4. Уравнения нулевой динамики нелинейных систем

4.1. Обозначения

4.2. Основные определения

4.3. Существующие методы описания нулевой динамики

4.4. Простейшие декомпозиции системы

4.5. Алгоритм нахождения нулевой динамики

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств относительного порядка и нулевой динамики для различных классов динамических систем»

Актуальность работы.

Теория управления активно используется в различных областях науки и техники: от авиации до медицины и экономики (см., например, [1—10]). Несмотря на то, что объекты управления имеют различную структуру, математические модели большинства объектов сходны. В простейшем случае модель объекта управления представляет собой отображение множества входных сигналов во множество выходных по заранее определенному правилу. Однако, для решения практических задач необходимо учитывать, что объекты управления могут иметь внутреннюю динамику (например, в задачах стабилизации недостаточно стабилизировать выход системы, если она содержит неустойчивые подсистемы; подробнее см. [11; 12]). Эта динамика во многом определяет свойства объекта, поэтому ее изучение является важной составляющей анализа систем управления.

В настоящей работе мы будем рассматривать системы управления, которые описываются при помощи дифференциальных уравнений вида

х(1) = /(1,х(1),и(1)), у(Ъ) = к(х(1)),

где х(Ь) обозначает вектор состояния системы, и(Ь) — входной сигнал, а у(Ь) — выходной сигнал. Будут рассмотрены два случая:

- /(Ъ, х(1),и(Ъ)) = Ах(Ъ) + Ви^), к(х{Ъ)) = Сх(Ъ), где А, В, С — постоянные матрицы;

I

- ](г,х(г),и(г)) = /(х(Ь)) + 9г(х(г))и(), где ](х), дг(х) — гладкие век-

¿=1

Т

торные поля, Н(х(Ь)) = (к1(х(Ь)),... , (х({))) , Ы(х) — гладкие функции, г = 1,1.

Первый вариант — это классическая линейная система управления, второй — это нелинейная аффинная система. Системы такого вида используются для опи-

сания многих объектов управления, поэтому их исследование является актуальным и интересным с практической точки зрения. Для исследования внутренней динамики указанных систем обычно приводят уравнения к специальному виду, в котором эта динамика описывается одной из подсистем. Такие представления называются каноническими формами и часто применяются при решении различных задач управления.

В данной работе мы будем рассматривать динамику системы при тождественно нулевом выходе, которую называют нулевой динамикой. Для скалярных систем описание этой динамики известно, поскольку в этом случае любую систему общего положения можно привести к канонической форме с выделением нулевой динамики. Вообще говоря, к такой форме могут быть приведены только системы, имеющие относительный порядок. Однако, для скалярных систем общего положения условия относительного порядка всегда совместны. Ситуация существенно меняется при рассмотрении векторных систем, поскольку в этом случае условия относительного порядка не всегда совместны, и исчерпывающего описания данной динамики нет. Таким образом, задача описания нулевой динамики векторных систем до сих пор полностью не решена.

Заметим также, что каноническая форма с выделением нулевой динамики используется при решении многих задач управления. К таким задачам можно отнести задачу стабилизации (см., например, [13—15]), обращения (см., например, [16—18]), наблюдения (см., например, [1 ; 20]) и некоторые другие (см. [21]). Но, как уже было сказано, к такой форме могут быть приведены только системы, имеющие относительный порядок, что не всегда имеет место для многосвязных систем.

Для систем, не имеющих относительного порядка, возникает задача приведения системы к виду с относительным порядком, то есть преобразования исходной системы таким образом, чтобы для преобразованной системы условия относительного порядка выполнялись. Существуют разные методы решения этой задачи: в работе [18] для преобразования используется динамическая

обратная связь, в работе [22] — интегрирование входов. Однако, для некоторых задач (например, для задачи обращения), наиболее удобно использовать преобразование выходов. Этот подход разрабатывается в настоящей работе (см. главу 2).

Тем не менее, существуют системы, которые принципиально нельзя привести к виду с относительным порядком (необратимые системы). Для таких систем исследование нулевой динамики с помощью канонической формы, соответствующей вектору относительного порядка, невозможно. Поэтому имеет смысл поиск других форм с выделением нулевой динамики, не требующих выполнения условий относительного порядка. Этот подход также используется в данной работе (см. главы 3, 4).

Степень разработанности темы. Различные методы приведения систем к виду с относительным порядком рассматривались в работах [18; 22]. Однако, замена выходов как метод преобразования в указанных работах не рассматривается (в первой работе используется интегрирование входов, во второй — динамическая обратная связь).

Обобщения канонических форм для линейных систем рассматривались в работе [23], а для нелинейных систем — в работах [18; 2^; 25]. При этом для нелинейных систем предложенные в указанных работах методы применимы не всегда. Также заметим, что форма из работы [23] является довольно громоздкой, поэтому ее упрощение может быть полезно для решения практических задач. Таким образом, разработка новых методов описания нулевой динамики является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы. Цель работы состоит в разработке новых методов описания нулевой динамики, применимых как для линейных, так и для нелинейных многосвязных систем. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Получить достаточные условия приводимости линейных систем к виду

с относительным порядком при помощи линейной стационарной замены выходов.

2. Исследовать связь обобщений относительного порядка, введенных в работе [26], с нулевой динамикой системы.

3. Разработать метод приведения линейных систем к виду с относительным порядком с помощью динамического преобразования выходов, применимый для любой обратимой линейной системы.

4. Получить обобщение канонической формы с выделением нулевой динамики для линейных систем.

5. Получить метод нахождения нулевой динамики для нелинейных систем, применимый к необратимым системам.

Методы исследования. Основные результаты получены с использованием методов теории дифференциальных уравнений, математического анализа, матричных методов линейной алгебры и дифференциальной геометрии.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в том, что впервые рассматривается задача приведения системы к виду с относительным порядком с помощью динамической замены выходов, а также в том, что в диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Получены достаточные условия приводимости линейных систем к виду с относительным порядком при помощи линейной стационарной замены выходов.

2. Получены оценки размерности нулевой динамики линейных систем через обобщенный вектор относительного порядка.

3. Предложен метод динамической и минимально-фазовой замен выходов, позволяющий привести любую обратимую линейную систему к виду с относительным порядком.

4. Получена новая форма с выделением нулевой динамики для линейных систем.

5. Получен новый метод нахождения уравнений нулевой динамики, применимый к необратимым нелинейным системам.

Практическая значимость Работа носит теоретический характер. Разработанные методы описания нулевой динамики могут быть использованы для решения практических задач, в которых требуется исследование нулевой динамики. Также при решении задач могут использоваться полученные формы с выделением нулевой динамики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточные условия приводимости линейных систем к виду с относительным порядком.

2. Оценка размерности нулевой динамики с помощью вектора неполного относительного порядка.

3. Алгоритм приведения линейных систем к виду с относительным порядком при помощи динамической и минимально-фазовой замен выходов.

4. Обобщенная форма с выделением нулевой динамики для линейных систем.

5. Метод нахождения уравнений нулевой динамики нелинейных аффинных систем.

Апробация работы. Представленные в работе результаты докладывались на семинаре Лаборатории № 7 Адаптивных и робастных систем им. Я. З. Цыпкина Института проблем управления им. В. А. Трапезникова, семинаре «Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление», а также на следующих конференциях:

- научной конференции «Тихоновские чтения 2014» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 27-31 октября 2014 г.);

- международной научной конференции «Ломоносов 2015» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 13-17 апреля 2015 г.);

- научной конференции «Ломоносовские чтения 2016» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 18-27 апреля 2016 г.);

- международной научной конференции «Ломоносов 2017» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 10-14 апреля 2017 г.);

- научной конференции «Ломоносовские чтения 2017» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 17-26 апреля 2017 г.);

- научной конференции «Тихоновские Чтения 2017» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 23-27 октября 2017 г.);

- научной конференции «Ломоносовские чтения 2018» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 16-27 апреля 2018 г.);

- научной конференции «Тихоновские Чтения 2018» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 29 октября - 1 ноября 2018 г.);

- научной конференции «Всероссийское совещание по проблемам управления» (Москва, институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, 17-20 июня 2019 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7-ми работах: [26—32], в журналах «Дифференциальные уравнения» (входит в базы Scopus, WoS, РИНЦ, список рецензируемых научных изданий ВАК, и список изданий, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности; импакт-фактор WoS — 0.659) и «Вестник Московского университета. Серия 15: вычислительная математика и кибернетика» (входит в базу

Scopus, РИНЦ, список рецензируемых научных изданий ВАК и список изданий, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности; импакт-фактор РИНЦ — 0.423).

Личный вклад автора. Представленные в работе результаты получены автором лично. Подготовка части материалов к публикации проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 140 страниц текста, 2 иллюстрации. Список литературы содержит 59 наименований.

11

Глава 1

Нулевая динамика систем с относительным

порядком

В данной главе рассматривается понятие нулевой динамики для линейных стационарных систем и связанные с ней объекты, такие как относительный порядок и его обобщения. Также рассматривается задача приведения системы к виду с относительным порядком с помощью линейной замены выходов. Основные результаты главы опубликованы в работах [26; 27].

1.1. Обозначения

В данной главе будем использовать следующие обозначения:

• Орхд обозначает нулевую матрицу размера р х д;

• 1Р обозначает единичную матрицу размера р х р;

• если А Е Е^9 — матрица размера р х д, то Аг* и А^ обозначают ее г-ю строку и ]-й столбец соответственно, г Е {1, 2,... ,р}, ] Е {1, 2,... ,д}; если обозначение матрицы имеет нижний индекс, он отделяется от индекса строки или столбца квадратными скобками (например А^* и Ащ^ обозначают г—ю строку и ] —й столбец матрицы А\);

если А\, А2,..., Ар — матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов,

то со1(^, А'1,..., Ар) обозначает блочную матрицу-столбец

V

Ао

\АР !

обозначает г-й единичный вектор.

1.2. Введение. Основные определения

Рассмотрим линейную стационарную векторную систему управления:

хи) = Ахи) + Вии)

(1.1)

у(г) = Сх(г).

Мы используем принятые в теории управления обозначения: х(Ъ) € — это вектор состояния системы, и(1) € — ее вход, а у(1) € — выход. Матрицы А, В, С имеют согласованные с данными векторами размеры, то есть А € Кпхп, В € , С € К/Хп. При этом х(и) = х0, г > 1 < I < п. Система (1.1) называется векторной, поскольку ее вход и выход являются векторами. Мы предполагаем, что размеры этих векторов совпадают (в этом случае систему (1.1) еще иногда называют "квадратной").

Введем понятие нулевой динамики системы (1.1). Заметим, что фазовый вектор х(Ъ) зависит как от начальных условий х0, так и от управления и(Ъ), то есть х = х(Ъ, хо, и( )). Следовательно, такая же зависимость имеет место и для выхода системы: у = у(Ь, х0, и(•)).

Обозначим через Х0 множество всех начальных условий х0, для которых существует такое непрерывное управление иХ0определенное на луче (10, то), обеспечивающее системе тождественно нулевой выход (такое управление будем называть аннулирующим, соответствующим начальным условиям х0). Иначе говоря, Х0 = {х0 : Зи°0 (^ : у (г, Х0, и°Х0 (•)) = Ох}.

Определение 1.1. Нулевой динамикой системы (1.1) называется множество всех решений х{Ъ, х0, и°Хо(•)} этой системы, где х0 € Х0, а иХ0(Ь) — соответствующее аннулирующее управление.

Таким образом, нулевая динамика — это множество движений системы, соответствующих тождественно нулевому выходу (см. [16, с. 61]).

Замечание 1.1. Заметим, что нулевая динамика системы (1.1) не пуста. В самом деле, решение х(Ъ) = Опх1 (соответствующее нулевым начальным условиям и нулевому входу) принадлежит нулевой динамике (при аннулирующем управлении и0(1) = 0/х1).

Замечание 1.2. Так как управление и®0 (^ непрерывно и определено на луче (¿о, то и решения х(Ъ) системы (1.1), соответствующие данному управлению, также продолжаются на этот луч (см. [33, с. 50], [34, с. 45]).

Приведем пример.

Пример 1.1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из стержня массы М, закрепленного на валу, и пассивного маятника с грузом массы т. (см. Рисунок 1.1). Уравнения движения системы, линеаризованные в окрестности положения равновесия 'ф(^ = 0, ф(1) = 0, 0(1) = 0, 0(1) = 0, имеют вид (см. [35, с. 181])

0(г) + ш1в(г) + 5ф(г) = 0 Ф{г) — 720(1) — ш 2{ф{г) + 0(1)) = 0,

где = £, и2 = ^^, 72 = Ох, 5 = у ,и1(1) = , — момент на валу стержня, д — ускорение свободного падения.

Предположим, что величина и(Ъ) является контролируемой величиной, а угол является измеряемым. Тогда указанную механическую систему можно рассматривать как систему управления с входом и(Ъ) и выходом Введем обозначения:

тл(1) = ф(г), хо(г) = т, хз(1) = 0(г), х±(г) = 0(г), У1(г) = ф(г). (1.2)

Рис. 1.1. Стержень с маятником. Тогда уравнения системы можно переписать в виде (1.1):

Х1^) = Х2

х2&) = (т2 + и2) х1^) + и 2х3(г) + щ(г)

Хз(Ъ) = Х4^)

х4(г) = (-и25 - т2$) х1(г) + (-ц5 - и25) х3(г) - 5и1(г)

X

У1(г) = х1(г).

Если у1^) = 0, то из уравнений системы следует, что х1= 0,х2^) = 0. Тогда множество Х0 имеет вид Х0 = {х1 = х2 = 0}, а соответствующее аннулирующее управление равно щ^) = -ш2х3({). Подставляя это управление в уравнения (1.2), получим:

х1(Ь) = 0

Х2Й = 0

Хз(ъ) = Х4(г)

Х4(Ъ) = -и1хз(Ъ).

(1.3)

Решение системы (1.3) имеет следующий вид:

Mt) = ^^^^ + х3 (0)СозЫ)

x4(t) = —щ0 sin (u0t)хз(0) + х4(0) cos (u0t).

Таким образом, решение принадлежит нулевой динамике тогда, и только тогда, когда x\(t) = x2(t) = 0 Vt, а х(t),x4(t) определяются согласно формуле (1.4). Иначе говоря, в системе могут возникать периодические движения даже в том случае, если ее выход тождественно равен нулю. Это, в частности, означает, что для стабилизации системы в положении равновесия недостаточно стабилизировать ее выход. Также заметим, что уравнения (1.3) являются уравнениями движения математического маятника длины , что соответствует поведению механической системы при i^(t) = 0. □

В примере все траектории, принадлежащие нулевой динамике, и только они, удовлетворяют уравнениям (1.3). Возникает вопрос, можно ли получить такие же уравнения в общем случае для системы (1.1). Очевидно, что все траектории нулевой динамики, и только они, удовлетворяют уравнениям

X(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = 0.

Это система дифференциальных и алгебраических уравнений, ее исследование затруднительно. Поэтому задача нахождения уравнений нулевой динамики состоит в преобразовании указанной системы к наиболее простой форме. Запишем это формально.

Определение 1.2. Пусть дана система (1.1). Будем говорить, что уравнения

z1(t) = 0(п—р\Х1

(1.5)

z2(t) = A0z2(t) + B 0£ (t),

где 2(t) = col (z1(t),z2(t)) e Rn, 21 (t) e , £(t) e Rl, t>to, e Rpxp, BZ e , являются уравнениями нулевой динамики системы (1.1), если существует такая невырожденная матрица М e Rnxn, что:

i) при любых начальных условиях Zq e Rp и при любой непрерывной функции £(t) e R, определенной на луче (t0, ж), вектор-функция М-1 z(t), где z(t) — это решение системы (1.5), принадлежит нулевой динамике системы (1.1);

ii) для любого решения x(t), принадлежащего нулевой динамике системы (1.1), существует такая непрерывная функция £(t) e R, определенная на луче (t0, ж), что Mx(t) удовлетворяет системе (1.5).

Замечание 1.3. Заметим, что нетривиальная часть нулевой динамики описывается вторым уравнением из (1.5). Поэтому иногда уравнениями нулевой динамики называют только эту часть уравнений (1.5).

Замечание 1.4. Для любой системы (1.1) уравнения нулевой динамики могут быть записаны в форме (1.5). Доказательство этого факта будет приведено ниже (см. главу 3, а также [23], [16, с. 61]).

В примере 1.1 уравнения нулевой динамики имеют вид (1.3). Покажем, что определение 1.2 корректно.

Утверждение 1.1. Пусть уравнения

z1(t) = 0(n-p)xi (16)

z2(t) = A0Z z2(t) + B0Z (t) .

и

С1(t) = 0(n-q)x 1

(2(t) = A0( 2(t) + BZ^(t), где z(t) = col (z 1(t),z2(t)) e Rn, 21(t) e , С(t) = col ((1(t),(2(t)) e Rn, (1(t) e Rn-9, являются уравнениями нулевой динамики одной и той же системы (1.1). Тогда:

i) q=p;

ii) если B0 = Opxi, то и B0 = Opxi;

iii) существует такая невырожденная матрица М £ M.pxp, что

a) любое решение (2 (t) системы дифференциальных уравнений из (1.7) удовлетворяет также уравнению

(2(t) = MA°ZM-\2(t) + МВ0£ (t)

при некотором £(t);

b) если BZZ = OpXi, то A0 = МА0М-1.

Доказательство. Поскольку уравнения (1.6) описывают нулевую динамику, по определению существует такая невырожденная матрица MZ £ Rnxn, что при любых начальных условиях zfi £ Rp вектор-функция x(t) = М-1 z(t), где z(t) является решением системы уравнений (1.6), принадлежит нулевой динамике. С другой стороны, существует такая невырожденная матрица М^ £ Rnxn, что для любого решения x(t), принадлежащего нулевой динамике, вектор-функция M^x(t) удовлетворяет уравнениям (1.7). Таким образом, решения уравнений (1.6),(1.7) связаны соотношением

((t) = ММ-1 z(t) = MCzz (t). (1.8)

Докажем первую часть утверждения. Предположим, что р > q. Выберем р линейно независимых векторов ..., zf)p из Rp и рассмотрим соответствующие им решения z21(t),..., z2p(t) уравнений (1.6). Согласно равенству (1.8), функции Mqzz21(t),..., M^Zzp1(t) являются решениями уравнений (1.7). Это означает, что M^zz2(t) = col (yO(n-q)x1, (t)) . Составим матрицу из этих решений и рассмотрим ее при t = tz :

O(n-p) x 1 ... O(n-p)xl\ ( O(n-q)x1 ... O(n-q)x1 ■ ¡ ,

2 2 \=M(z\ 2 ,2 I . (L9)

Z1 . . . Zp Z1 . . . Zp

Ранг матрицы в левой части равен р, а в правой — не больше д. Отсюда следует, что д ^ р. Аналогично показывается, что д ^ р. Таким образом, д = р.

Докажем оставшиеся пункты утверждения. Заметим, что матрица имеет блочную нижнетреугольную форму. В самом деле, из (1.8) при £ = 1О получим:

Л 1 (П /(М^М МСгЛ . (п

Со = со1 [0{п-р)хЪ (2) = • со1 [0{п-р)хЪ г0) =

\МСг2! МС<22) \МСг,22г1/

Здесь матрицы МСг11 е Ш(п-р)х(п-р), МСг12 е Ш(п-р)хр, МСг<21 е Шх(п-р) и МСг/22 е Крхр — это результат разбиения на блоки матрицы . Из равенства (1.9) следует, что £0 = М^д^О = 0(п-р)х1. В силу произвольности получим, что матрица М^^ нулевая. Это означает, что равенство (1.8) можно преобразовать так:

*= М-1п<Ч*) = °(п-р)х1, г2(1) = М-22(2(1).

Продифференцируем уравнения для (2(Ь) из (1.8) по времени:

с 2(1) = мСг:222г2 (г) = мСг,22 • (АО г2(г) + в°гц (г)) =

= Мс^АЧМ^С 2(1) + М^В» £ (I).

Таким образом, утверждение ш), а) выполняется (при М = М^,^).

Докажем, что из равенства В^О = Орх\ следует В^О = Орх\. Пусть это не так, то есть В^О = Орх\, а В^О = Орх\. Если (2(1) удовлетворяет уравнению

(2(г) = А0(2 (1) + В«г] (I) (1.10)

то, согласно сказанному выше, также имеет место равенство

(2(г) = МаОМ-1(2 (г) + мвОе (г) = млОгм-1(2(г). (1.11)

Выберем т](г) так, чтобы В^т](^ ф Ор х 1. Тогда из ( ) следует, что нулевым начальным условиям соответствует нулевое решение С,2(1), а из (1.11) следует,

гл^гтлттт^гл^тттт^ ^тт^тт^гтл ттгтл^ „птп„т,п

что это решение ненулевое. Полученное противоречие означает, что матрица В0

нулевая.

Пункт ш), Ь) непосредственно следует из пунктов п) и ш), а). Утверждение доказано. □

Уравнения нулевой динамики дают наиболее полное описание нулевой динамики. Однако, для некоторых задач достаточно изучить лишь некоторые ее свойства. Поэтому с описанием нулевой динамики системы (1.1) связывают, обычно, 3 задачи (см. [16, с. 61]):

1. Нахождение уравнений нулевой динамики (в смысле определения 1.2).

2. Нахождение размерности нулевой динамики, то есть динамического порядка системы дифференциальный уравнений из (1.5).

3. Нахождение спектра нулевой динамики, то есть спектра матрицы А0 из (1.5)

(имеет смысл только при В0 = ОрХ1).

1.3. Известные методы описания нулевой динамики

Рассмотрим теперь, какие существуют методы решения поставленных выше задач. Для большинства систем вида (1.1) удается решить задачи 2 и 3 (то есть найти спектр и размерность нулевой динамики). Для этого используется матрица Розенброка.

Определение 1.3. Матрицей Розенброка системы (1.1) называется полиномиальная матрица следующего вида:

(в 1п -А -в\ Я(з) = ( п | , 5 е С. (1.12)

\ С Ош)

Рассмотрим определитель этой матрицы, который обычно обозначают так: det Я(з) = /3(в). Известно (см. [16, с. 67]), что если полином /(в) ненулевой,

то спектр нулевой динамики совпадает с множеством его корней, а ее размерность — со степенью данного полинома (поэтому этот полином еще называют характеристическим полиномом нулевой динамики). Если же /(в) = 0, то указанный способ исследования не применим (подробнее методы исследование нулевой динамики в этом случае описаны в главе 3).

Для нахождения уравнений нулевой динамики обычно используют нормальную форму системы (1.1) (иногда ее называют канонической формой с выделением нулевой динамики). К такой форме могут быть приведены только системы, имеющие относительный порядок (см. [18, с. 220]). Для линейных систем определение относительного порядка формулируется так (см. [16, с. 71], [36—38]):

Определение 1.4. Вектор г е N называется вектором относительного порядка системы (1.1), если:

1) для всех % е {1, 2,..., 1} справедливы равенства

С,*А'1 1В = О\Х1, и, если гг > 1, то С*В = О\Х1, С{*АВ = О\Х1, ..., С{*Ап-2В = О\Х1;

(1.13)

11) матрица

невырождена.

Н =

( СиАГ1-1В ^

С2,АГ2-1В

-1

С-пА^-'В У С1*АГ1-1В }

е К'

1x1

(1.14)

Замечание 1.5. Если условие (1.14) выполнено, то матрицы В и С имеют полные ранги, поскольку ранг произведения матриц не может превосходить рангов сомножителей.

Замечание 1.6. Для скалярных систем второе условие относительного порядка непосредственно следует из первого, так как в этом случае матрица Н имеет размер 1 х 1. Поэтому условия относительного порядка всегда совместны для скалярной системы общего положения (см. [16, с. 59] и [39]).

Если условия относительного порядка совместны, то с помощью замены фазовых координат систему можно привести к нормальной форме.

Для полноты изложения кратко опишем этот процесс. Подробное описание метода приведения системы к канонической форме можно найти в литературе (см., например, [16; 18; 37; 40; 41]). Рассмотрим строки

Си, СиА, ..., СиАГ1-2, CuArí-\ С2*, С2*А, ..., Ci*An-1. (1.15)

Можно показать, что эти строки линейно независимы (для этого достаточно приравнять нулю их линейную комбинацию и умножить ее последовательно на В, AB,...; подробнее см., например, [37]). Заметим, что, согласно формуле (1.13), векторы {{Сг*Аг}l¡rj-i принадлежат ядру матрицы Вт, причем число их равно \г\ — I (здесь мы ввели обозначение Ir| = г1 + г2 + ... + г 1). Согласно замечанию 1.5, ранг матрицы В равен I, и, следовательно, размерность

ее ядра равна п — I. Тогда указанные векторы можно дополнить векторами

т

VT, ..., V? до базиса ker Вт. Поскольку векторы =1 не при-

надлежат ядру В (согласно определению относительного порядка), то набор строк

С1*, С1*А, ..., С1*АГ'1-2, С1*АГ'1-1, С2*,С2*А, ... ,С1*АГ—1, V1,... ,Vn—r\

также является линейно независимым. Рассмотрим невырожденную матрицу

М = col (Си, СиА,..., С1*АГ1—1,С2*, С2*А,..., С1*АГ1—1 ,VU ...,Vn—\r\). (1.16)

Сделаем замену переменных x(t) = Mx(t). При такой замене матрицы системы изменятся следующим образом:

А = МАМ—1, В = MB, С = СМ—1. (1.17)

Рассмотрим подробнее преобразованные матрицы:

А = МАМ-1 =

= col (Си А, CUÁ2,..., Ci*Ári,..., СиАг>> ,ViA,..., Vn-MÁ) • М-1. Поскольку матрица М имеет вид (1.16), справедливы равенства

СиАШ-1 = ej+1, при 0 < j < п - 1, С2*А3М- = eri+j+i, при 0 < j < Г2 - 1,

Ci*AJM-1 = eri+..+ri_1+J+i, при 0 < j < ri - 1.

Таким образом, матрица А имеет вид

/

А =

где

Агг =

V

0 1 0 0 0 1

000

А11 А12 . .. А11-1

А21 А22 . .. А21-1

А1-11 А1-12 . А1-11-1

А11 А12 . .. А11-1

А01 А02 . .. А)1-1

10 \

А11 А

А21 А20 А1-и А1-1®

Аи

Л01

А10 А00

/

0 0

а%% %% %% У 1 (2 а

3

а

Ч

е R

пх Г i

ÁlJ =

0

0

~ij \а1

0

0

а.

'''J

(1.18)

(1.19)

e Rnxrj,

J

А0 £ R("--H)xr¿, JajO £ RTj xin-1^), А00 £ R^HM^kD,

i = 1,1, j = 1,1.

1

Учитывая равенства (1.18), для матрицы С получим:

С1 0\хГ2 ... 0\хГ[_1 0\хп 01Ап-\Л^

СМ =

01х г1 С2 ... 01х п_ 1 01х п 01х(п—г\)

\

гл гл гй-1

01х г1 01х г2 ... С

01хг1 01хг2 . . . 01х1

01х ri 01х(п—г\)

С 0

1х(п—|г|) у

(1.20)

где Сг = е1 Е Rr¿. Рассмотрим теперь матрицу В :

В = МВ =

= col (Си, СиА,..., СиАГ1-1,С2*, С2*А,..., С1*АГ*-\VU ..., К-и) В.

Так как транспонированные строки {Сг*А-1+}1^— U {V}-^ образуют базис ядра матрицы Вт, получим:

М В =

/

В1 В2

\

1

В

0( п-| |)х

, где В =

(

0 0 0 0

00

0 0

\

00

уЫ 1 hi2 ... h¡i-1 huу

hi ñ — СА. ^ В& n.

E R

nxl

(1.21)

Таким образом, после замены переменных матрицы преобразованной системы примут вид (1.19), (1.21), (1.20). Также известно, что можно выбрать векторы из базиса ядра матрицы В т так, чтобы блоки А°г матрицы А приняли более простой вид (см. [42, с. 41], [16, с. 91], [37; 40]):

А =

(

а

а

0 0

а{)\ i i 0

п 1

а

ап-| |

00 00

00 00

/

Е

Ш(п-И)х п i = iJ.

1

Итак, имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть система (1.1) имеет вектор относительного порядка г. Тогда с помощью невырожденного преобразования координат система приводится к виду

х 1(г) = х}2(г)

X 1('^) хг-. ((к)

г 1

Хг1Е х1 +

г=1

П п-\г\

. + Е а}1х1(1) + Е а}0х0(1) + Нии(г)

{=1

{=1

X \(г) = х2(1)

П Г1 п-\г\

х1Г1 (^ = Е+... + Е¡УхЮ) + Е а?х0(1) + Ньи(1)

г=1 г=1 г=1

( (

х0(1) =

01

а

701

у«п-\г\у

У1(1) + ... +

01

а

а01 у

У1 (Ъ)+А00х°(Ь)

У1(1)=х1(1)

У()=х[(1).

(1.22)

Если система имеет вид (1.22), то, как легко заметить, следующие уравнения описывают ее нулевую динамику:

х0(1) = А00х0(1). (1.23)

В самом деле, первые I подсистем описывают выходы системы и их производ-

ные, поэтому переменные хЛ (1), г = 1,1, ] = 1, Г{ обнуляются при тождественно

1

1

нулевом выходе. Подставляя нулевые значения для указанных переменных в последнее уравнение из (1.22), получим (1.23).

Стоит также отметить, что каноническая форма (1.22) часто используется при решении различных задач теории управления (см., например, [19; 20; 37; 38; 43—46]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Роговский Александр Игоревич, 2019 год

Список литературы

1. Zolghadri A. Modern Control Theory and Real-World Aerospace Applications: I love You, Nor do I ? // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — Vol. 50, no. 1. — P. 6446-6451. — 20th IFAC World Congress.

2. Merrill W, Lehtinen B., Zeller J. The role of modern control theory in the design of controls for aircraft turbine engines // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. — 1984. — Nov. — Vol. 7, no. 6. — P. 652-661.

3. Fossen T. I. A survey on Nonlinear Ship Control: from Theory to Practice // IFAC Proceedings Volumes. — 2000. — Vol. 33, no. 21. — P. 1-16. — 5th IFAC Conference on Manoeuvring and Control of Marine Craft (MCMC 2000), Aalborg, Denmark, 23-25 August 2000.

4. Fossen T. I. Guidance and Control of Ocean Vehicles. — Willey, 08/1994. — 494 p.

5. Skowronski J. M. Control Theory of Robotic Systems. — World Scientific, 1989. — 364 p.

6. Springer Handbook of Robotics / ed. by B. Siciliano, O. Khatib. — Springer, 2016. — 2227 p.

7. Theory of Robot Control / ed. by C. C. de Wit, G. Bastin, B. Siciliano. — 1st. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1996. — 392 p.

8. Swan G. W. General Applications of Optimal Control Theory in Cancer Chemotherapy // Mathematical Medicine and Biology: A Journal of the IMA. — 1988. — Vol. 5, no. 4. — P. 303-316.

9. Optimal control of medical treatment: Adaptive control of blood glucose level in diabetic coma / M. Inoue [et al.] // Computers and Biomedical Research. — 1976. — Vol. 9, no. 3. — P. 217-228.

10. Kendrick D. Chapter 4 Control theory with applications to economics //. Vol. 1. — Elsevier, 1981. — P. 111-158. — (Handbook of Mathematical Economics).

11. Kalman R. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. — 1963. — Vol. 1, no. 2. — P. 152-192.

12. Gilbert E. Controllability and Observability in Multivariable Control Systems // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. — 1963. — Vol. 1, no. 2. — P. 128-151.

13. Крищенко А. П., Панфилов Д. Ю., Ткачев С. Б. Построение минимально фазовых аффинных систем // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 11. — С. 1574—1580.

14. Крищенко А. П., Панфилов Д. Ю., Ткачев С. Б. Глобальная стабилизация аффинных систем с помощью виртуальных выходов // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 11. — С. 1503—1510.

15. Byrnes C. I., Isidori A. On the attitude stabilization of rigid spacecraft // Automatica. — 1991. — Vol. 27, no. 1. — P. 87-95.

16. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Методы робастного обращения динамических систем. — М. : Физматлит, 2009. — 219 с.

17. Silverman L. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans Aut Contr. — 1969. — Vol. 14. — P. 270-276.

18. Isidori A. Nonlinear Control Systems. —London : Springer-Verlag, 1995. — 549 p.

19. Ассимптотические наблюдатели состояния неопределенных векторных линейных систем / С. Коровин [и др.] // Доклады Академии наук. — 2004. — Т. 396, № 4. — С. 469—473.

20. Ильин А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Ассимптотические наблюдатели с разрывным управлением для скалярных линейных неопределенных систем // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 10. — С. 1310—1317.

21. Isidori A. The zero dynamics of a nonlinear system: From The Origin To the latest progresses of a long successful story // Proceedings of the 30th Chinese Control Conference. — 07/2011. — P. 18-25.

22. Schwartz C, Gibbens P., Fu M. Achieving vector relative degree for nonlinear systems with parametric uncertainties // International journal of robust and nonlinear control. — 1995. — Vol. 5. — P. 139-151.

23. Sannuti P., Saberi A. Special coordinate basis for multivariable linear systems—finite and infinite zero structure, squaring down and decoupling // International Journal of Control. — 1987. — Vol. 45, no. 5. — P. 16551704.

24. Wang L., Isidori A., Su H. Global Stabilization of a Class of Invertible MIMO Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. —

2015. — Vol. 60, no. 3. — P. 616-631.

25. Liu Z, Lin Z. On normal forms of nonlinear systems affine in control // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2011. — Vol. 56, no. 2. — P. 239-253.

26. Краев А. В., Роговский А. И., Фомичев В. В. К обобщению относительного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, № 8. — С. 1128—1132.

27. Фомичев В. В., Краев А. В., Роговский А. И. Обобщение понятия относительного порядка и его свойства // Дифференциальные уравнения. —

2016. — Т. 52, № 8. — С. 1099—1108.

28. Фомичев В. В., Краев А. В., Роговский А. И. О свойствах нулевой динамики линейных систем // Дифференциальные уравнения. — 2016. — Т. 52, № 11. — С. 1533—1544.

29. Краев А. В., Роговский А. И., Фомичев В. В. О приведении векторной системы к виду с относительным порядком // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2015. — № 3. — С. 20—26.

30. Фомичев В. В., Краев А. В., Роговский А. И. О приведении систем к виду с относительным порядком методом динамического преобразования выходов // Дифференциальные уравнения. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 693— 705.

31. Роговский А. И. Приведение линейных систем к виду с относительным порядком минимально-фазовым преобразованием выходов // Дифференциальные уравнения. — 2017. — Т. 53, № 11. — С. 1507—1513.

32. Фомичев В. В., Краев А. В., Роговский А. И. Об уравнениях нулевой динамики некоторых аффинных нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. — 2018. — Т. 54, № 12. — С. 1695—1709.

33. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М. : КомКнига, 2007. — 240 с.

34. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М. : Мир, 1970. — 720 с.

35. Задачи и теоремы по теории линейной обратной связи. / С. В. Емельянов [и др.]. — М. : МАКС Пресс, 2004. — 193 с.

36. Коровин С. К., Ильин А. В., Фомичев В. В. Нулевая динамика линейных векторных стационарных систем // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 414, № 5. — С. 598—604.

37. Mueller M. Normal form for linear systems with respect to its vector relative degree // Linear Algebra and its Applications. — 2009. — Vol. 480, no. 4. — P. 1292-1312.

38. Ilchmann A., Muller M. Time-Varying Linear Systems: Relative Degree and Normal Form // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2007. — May. — Vol. 52, no. 5. — P. 840-851.

39. Brockett R. Poles, zeros, and feedback: State space interpretation // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1965. — Apr. — Vol. 10, no. 2. — P. 129-135.

40. Коровин С. К., Ильин А. В., Фомичев В. В. Об одной канонической форме векторных управляемых систем // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 414, № 3. — С. 320—324.

41. Byrnes C. I., Isidori A. A frequency domain philosophy for nonlinear systems, with applications to stabilization and to adaptive control // The 23rd IEEE Conference on Decision and Control. — 12/1984. — P. 1569-1573.

42. Фомичев В. В., Коровин С. К. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. — М. : Физматлит, 2007. — 224 с.

43. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. — М. : Физматлит, 2003. — 288 с.

44. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М. : Физматлит, 2007. — 464 с.

45. Onder Yuksel Y, Bongiorno J. J. Observers for Linear Multivariable Systems with Applications // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1971. — Vol. 16, no. 6. — P. 603-613.

46. Краев А. В. Некоторые алгоритмы обращения векторных дискретных систем // Нелинейная динамика и управление. Т. 7 / под ред. С. В. Емельянов. — Физматлит, 2010. — С. 327—334.

47. Краев А. В. О приведении векторной линейной системы третьего порядка к форме с относительным порядком по Исидори // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 48, № 11. — С. 1558—1560.

48. Краев А. В. Свойства относительных порядков и их роль при решении обратных задач управления: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18: защищена 16.03.2016. — M., 2016. — 145 с.

49. Rosenbrock H. The zeros of a system // International Journal of Control. — 1973. — Vol. 18, no. 2. — P. 297-299.

50. Rosenbrock H. H. State-space and Multivariable theory. — London : Nelson, 1970. — 257 p.

51. Ильин А., Коровин С., Фомичев В. Обращение управляемых динамических систем // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2006. — № 3. — С. 49—58.

52. Краев А. В. Необходимые условия обратимости линейных дискретных динамических систем // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 592—594.

53. Call G. S., Velleman D. J. Pascal's Matrices // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Vol. 100, no. 4. — P. 372-376.

54. Воронов А. А. Теория автоматического управления, ч. 1. — M. : Наука, 1986. — 367 с.

55. Goncharov O. I., Fomichev V. V. Observer for multivariable systems of arbitrary relative order // Computational Mathematics and Modeling. — 2013. — Vol. 24, no. 2. — P. 182-202.

56. Robust output regulation for invertible nonlinear MIMO systems / L. Wang [et al.] // Automatica. — 2017. — Vol. 82. — P. 278-286.

57. Cheng D., Zhang L. Generalized normal form and stabilization of non-linear systems // International Journal of Control. — 2003. — Vol. 76, no. 2. — P. 116-128.

58. Nijmeijer H., van der Schaft A. Nonlinear Dynamical Control Systems. — New York : Springer-Verlag, 1990. — 467 p.

59. Краев А. В. Об аналоге относительного порядка линейных стационарных динамических систем // Доклады Академии наук. — 2014. — Т. 454, № 2. — С. 152—157.