Резонансы слабо нелинейных волн в задачах с сильной дисперсией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Глебов, Сергей Геннадьевич

• Глебов, Сергей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глебов, Сергей Геннадьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Глобальные резонансы. Асимптотический переход к системе трех

волн

§1. Постановка задачи

§2. Формальные построения

§3. Обоснование построенного ФАР

Глава 2. Локальные резонансы. Резонансы на линии

§4. Постановка задачи. Формулировка результата

§5. ФАР в пререзонансной области

§6. ФАР в резонансном слое

§7. ФАР в пострезонансной области

§8. Разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения типа Шрё-дингера в классе функций, быстро осциллирующих на бесконечности

Глава 3. Локальные резонансы. Резонансы в точке

§9. Постановка задачи

§10. Внешнее ФАР

§11. Внутреннее ФАР

§12. Теорема существования для ЛГ-мерного нелинейного уравнения типа

Шрёдингера

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансы слабо нелинейных волн в задачах с сильной дисперсией»

Введение

При описании многих волновых процессов используются выражения вида

U = Аехр{г'(< к,х> -art)}, к £ Еп, х бГ. (0.1)

Это, так называемая, монохроматическая или плоская волна, здесь А = const - амплитуда волны, к - волновой вектор, ш - частота. Частота ш и волновой вектор к, вообще говоря, не произвольны, а связаны некоторым соотношением

Цш,к) = 0, (0.2)

которое обычно называют дисперсионным. Вид дисперсионного соотношения определяется выбором модели процесса. Функции типа (0.1) являются точными решениями линейных уравнений, которые в случае, когда L - полином, оказываются дифференциальными1

L(idu -iVx)U = 0. (0.3)

Однако, большая часть решений не допускает выражения через столь простые элементарные функции. Средства асимптотического анализа позволяют выделить и эффективно проанализировать широкие классы решений, которые близки (похожи) на указанные элементарные решения. Мерой близости является малый параметр, в качестве которого может выступать та или иная безразмерная величина, например, отношение характерной величины амплитуды волны к характерному пространственному масштабу. В математической постановке задачи малый параметр может входить в начальные данные прямо в качестве величины, которая характеризует их отклонение от "элементарных" невозмущенных начальных данных.

*В общей ситуации это ПДО с символом L

Примером может служить начальное данное со слабой модуляцией амплитуды

А(ех) ехр{г < к, х >}, (0.4)

либо фазы

А ехр{г5о(еж) /е); (0.5)

где 0 < е « 1 - малый параметр.

Иногда такие задачи записываются в медленных переменных £ = ех, $ = так, что соответствующее дифференциальное уравнение содержит малые множители при производных

Цидв, -геЧ^и = 0, (0.6)

Ще=0 = А(0 ехр{«50(ОМ- (0-7)

Асимптотические решения таких задач хорошо известны и описываются формулами ВКБ-приближений или коротковолновой асимптотики

и ~ ехр9)/е] А К,В). (0.8)

га>0

п

Фазовая функция 5 и коэффициенты разложения амплитуды А определяются из уравнений в частных производных первого порядка. Фаза - из нелинейного уравнения эйконала

Ц-де^У^) = 0, (0.9)

а амплитуды из уравнений переноса - линейных уравнений в частных производных первого порядка. Они описывают медленную деформацию квазиплоской волны в пространстве-времени вне каустики.

Другой круг проблем обнаруживается, если вместо однородного линейного уравнения (0.3) рассматривать уравнение с малым возмущением

при этом само уравнение также может быть слабо деформировано (коэффициенты уравнения зависят от медленных переменных f, 0)

L(iede, -feVe, в; e)U = ef{U, в; e). (0.10)

В случае линейных возмущений немного меняются уравнения для ампли-

п

туд А•

Нелинейность возмущения может приводить к совершенно новым эффектам. В главном члене асимптотического решения появляются слагаемые с новыми комбинационными фазами, вообще говоря, отсутствующими в начальный момент, например, [31], [32]. Это, так называемые, резо-нансы. Суть этого явления состоит в том, что могут появляться комбинационные частоты ui(k\) -4-... + шт{кт), которые удовлетворяют дисперсионному соотношению с волновым числом 4-... -f кт. В случае медленно деформирующихся фаз 5i(£, 9),5m(£, 0), удовлетворяющих уравнению эйконала, комбинационная фаза 5i(£, в) + ... + 5т(£, 0) также удовлетворяет уравнению эйконала.

Структура главного члена асимптотики быстроосциллирующего решения такой задачи существенно зависит от дисперсионного соотношения. Если частота ш(к) линейна по к (w'(fe) = const) - случай, так называемой, слабой дисперсии, то в главном члене появляется бесконечное число гармоник с различными комбинационными частотами ( цуг волн ). Если же дисперсия сильная ( ш'(к) ф const), то в главном, как и во всех последующих поправках формального решения, обычно присутствует только конечное число гармоник [29], [46], [47].

Следует отметить, что, если возмущение f(U) аналитично по переменной U, то даже в задачах с сильной дисперсией в главном может возникать бесконечное число новых комбинационных фаз [25]. Однако, мы такие задачи не рассматриваем.

Здесь мы пытаемся объединить оба круга рассмотренных задач - ме-

дленную деформацию плоской волны и типично нелинейные эффекты -появление резонансов в системе и прохождение через них.

При изучении быстрых осцилляций в слабо нелинейных средах обычно исследуются системы следующего вида

Цегдв, -егУ€;£,0)и = еЕ(.Ц), (0.11)

где и = (С/ь..., ип)т - п-мерный вектор, —ггУ^; в) - матрица раз-

мерности п х п, элементы которой являются дифференциальными операторами. Символы операторов Ьу (о;, обычно - полиномы по переменным ш, к .

Поиск быстроосциллирующих решений для систем типа (0.11) в виде квазиплоских волн осуществляется методом ВКБ [38], [33]. При этом фазы быстрых осцилляций, также как и в линейных задачах, определяются из уравнений Гамильтона-Якоби (эйконала)

(0.12)

= 5?. (0.13)

Специфика применения этого метода к задачам со слабой нелинейностью состоит в том, что на определение амплитуд существенное влияние оказывает нелинейность рассматриваемой задачи. Вид уравнений для амплитуд в значительной степени определяется наличием резонансов в системе и их характером.

Особый интерес, как правило, представляют резонансные процессы. Характер резонансного взаимодействия в слабонелинейных средах, в основном, определяется соотношением между корнями (модами) дисперсионного уравнения, которое в данном случае выглядит следующим образом:

<1еЬ [£(о;, к, 0)] = 0.

В случае квазиплоских волн, обычно, используется следующий подход - исследуются не соотношения между корнями дисперсионного уравнения, а нули оператора эйконала на комбинационных фазах.

Пусть в начальный момент в — 0 волны описываются функцией с несколькими быстроосциллирующими фазами

п

»=о

Для определения резонансов следует рассмотреть линейные комбинации исходных фаз

здесь Sip - фазы из исходного набора Si, i = 1,..., п. Вид линейной комбинации (0.14) определяется нелинейностью исходной системы. Затем следует исследовать множество Л нулей функции

Щ,в) := l(-deSh...ip,VtSh...ip;t,0). (0.15)

При этом по характеру нулей функции (0.15) принято различать несколько случаев [12]:

случай AI) Для все наборов i\...ip множество Л нулей функции А(£, в) пусто. В этом случае в системе нет резонансов и уравнения для амплитуд такие же как в линейном случае.

случай АН) Существует такой набор ц..лр, что множество Л не пусто и совпадает со всем пространством независимых переменных (£,#). Это случай, так называемых, глобальных или сильных резонансов [29], [31], [32], [47], [21], [5], [30], [11]. Они могут иметь место как для плоских волн S =< > +ив, так и для квазиплоских волн с общей фазой 5(£, 9).

Простейший пример возникает, когда в системе есть глобальные квадратичные резонансы, а в начальный момент волны описываются функцией с двумя быстро осциллирующими фазами. При этом, в главном про-

исходит появление новой гармоники с фазой 5»1е2 = 5г1 + 5»2, отсутствующей в начальный момент. Это явление носит название генерации гармоники на комбинационной частоте [1], [3], [35].

Амплитуды резонирующих волн определяются из хорошо известной системы трех волн, интегрируемой МОЗР [15]

здесь d/d$j - полная производная вдоль соответствующей характеристики уравнения (0.12).

случай AIII) Существует такой набор ¿i, , что множество Л нулей функции А(£, в) не пусто, однако и не совпадает со всем пространством независимых переменных. Это случай, так называемых, локальных или слабых резонансов [48], [12]. Очевидно, они могут иметь место лишь для квазиплоских волн, когда Se ф const [44], [45], [49], [40], [48].

Все пространство независимых переменных разбивается на несколько областей со своим представлением решения в каждой из них. Вид уравнений для амплитуд различен в разных областях.

Данная работа посвящена исследованию резонансных взаимодействий в задачах с сильной дисперсией. Фактически речь пойдет о случаях АН, AIII в терминах приведенной выше классификации резонансов.

В первой главе исследуются глобальные квадратичные резонансы. Мы изучаем модельную систему типа (0.11), которая достаточно проста, однако позволяет проследить все существенные особенности этого случая.

d/dOiAi + гр\А*2Аъ = 0, d/de2A2 + ip2A\Az - 0, d/de3Az + ipbAxA2 - 0,

(0.16)

Аг&0) = АШ

А3(£,0)=0,

(0.17)

Здесь фактически обосновывается известный раннее как формальный [10],[37],[3],[18] асимптотический переход от системы типа (0.11), появляющейся во многих физических приложениях к системе трех волн. Возможность обоснования такого перехода достигается за счет простоты рассматриваемой системы (0.18) и выбора начальных данных (0.19) в виде плоской волны. Это и является основным математическим результатом первой главы диссертации.

Рассматривается задача Коши для системы уравнений

£2деви - е2с2дии + ¿2и = е (аги2 + А^Ф + 71Ф2) , (0.18) егд9Ч! + = £ (а2и2 + /32иУ + 72Ф2)

с начальными условиями

ЩЬ'О) = СТ0(ОехрШ/е}, ЪЩЬО) = (0.19)

Ф«,0) = ФоЮехр Ш/е},

где в > 0, е - малый положительный параметр; £ = £х, В = ск^, Д, 7», с, (I - постоянные коэффициенты. Причем с, (I не равны нулю. Кроме того, мы предполагаем, что к\ьк2 €: Ъ.

Выбор именно такого модельного примера не столь важен, существенным здесь является лишь наличие трех различных частот ш1{к),ш2{к) и (к) при условиях, что выполнены следующие резонансные соотношения:

щ(к1)+ш2{к2) = ш3 (к3),

кх + к2 = к3 (0.20)

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть начальные данные для системы (0.18) имеют вид (0.19), амплитуды Uq и Фо класса С4 по переменной ( и убывают на ±оо какО(£~2), постоянные коэффициенты c,d ф 0. Тогда существует такое г > 0, что в полосе 0 < t < re-1, х G (—оо, +00) для решения задачи (0.18), (0.19) справедлива асимптотика при е —► 0 вида:

U = £ Uu,k К, в) exp{i(kx - шг)} + 0(е), (0.21)

ш,к

Ф = £ еЧ>{»(*® " "*)} + 0(е). (0.22)

и>,к

Доказательство этой теоремы проводится в два этапа. Сначала строится формальное асимптотическое решение исследуемой задачи в виде ряда по степеням малого параметра

п

Ф = Х>Я¥»ОМ,£,0), (0.23)

п

а затем проводится его обоснование до времен t ~ 0(е-1). Здесь под словами "формальное асимптотическое решение задачи" мы понимаем отрезок ряда (0.23), который при подстановке в задачу дает оговоренную заранее невязку, а под обоснованием - оценку остатка этой асимптотики.

Построение формального асимптотического решения проводится при помощи метода двух масштабов [4]. Используются как быстрые х — = в/е, так и медленные В переменные. Задание исходных данных (0.19) в виде плоской (монохроматической) волны приводит к тому, что дифференциальные уравнения Гамильтона-Якоби (0.12) превращаются в алгебраические соотношения, связывающие частоты и волновые числа взаимодействующих гармоник

CÜ - к2 = 0,

(0.24)

ш2 - с2 к2 - d2 = 0. (0.25)

В лемме 1.1 показывается возможность наличия глобальных квадратичных резонансов при такой постановке.

ООО

Амплитуды главного члена иШ2м,иШз,к3 резонирующих гармо-

ник находятся из задачи Коши для системы трех волн. Амплитуды старших поправок определяются либо из линейных однородных уравнений , либо из уравнений, полученных линеаризацией системы трех волн на амплитудах главного члена.

На втором этапе доказательства теоремы 1.1 проводится обоснование формально построенного асимптотического решения. Точное решение задачи (0.18), (0.19) ищется в виде суммы отрезка ряда (0.23) и остатка R. На остаток выписывается задача Коши и доказывается ее разрешимость в классе ограниченных функций.

Доказательство разрешимости задачи для остатка проводится методом Фурье. После преобразования Фурье и обращения линейной части полученного обыкновенного дифференциального уравнения для образа R получаем интегральное уравнение типа Вольтерра. При этом из-за нелинейности исходной системы в правой части присутствуют всевозможные свертки по двойственным переменным.

Для доказательства разрешимости полученного интегрального уравнения вводится пространство непрерывных по t функций с нормой интегральной по £ и равномерной по к

l|R(i.i)ll=Ell£(f,t)ll, (0.26)

¿=0

где

\тш\=»up / da 1+i£D2sup(i+(о.27)

t J—oo к

Полученное пространство является банаховой алгеброй относительно операции сверток по переменным £ и к и, кроме того, оператор свертки по

этим переменным оказывается ограниченным и обладает свойством Липшица [5], [50]. Пользуясь этими свойствами и известными результатами функционального анализа методом последовательных приближений, доказывается разрешимость задачи для остатка.

Во второй главе диссертации рассматривается ситуация, когда в системе имеют место, так называемые, локальные резонансы. В отличии от главы 1, где резонансные соотношения выполняются при всех (£, в) тождественно , здесь выполнение резонансных соотношений локализовано как во времени, так и в пространстве.

Проблемы, возникающие при построении быстроосциллирующих решений для задач такого рода, известны давно. В простейших ситуациях локальные резонансы возникают в системах обыкновенных дифференциальных уравнений [40], [44], [45], [49] и называются там "semi-" или "weak" резонансами. Появление локальных резонансов в системах дифференциальных уравнений в частных производных также не ново и рассматривалось разными авторами [48], [12], [20], [19].

В работе [48] исследовалась задача о слабом резонансном взаимодействии двух волновых мод в канале малой глубины, при этом обнаружилось, что в окрестности резонанса амплитуды и сдвиги фаз резонирующих мод определяются из системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе [12] показана возможность появления слабых резонансных взаимодействий в задаче об эволюции двухслойной среды вода - воздух под действием ветра в приближении слабой нелинейности.

В работах [20], [19] рассматривалась модельная постановка задачи, приводящая к локальному резонансному взаимодействию. В пространстве двух независимых переменных (£, 9) исследовалась задача Коши для слабо нелинейного уравнения Шрёдингера с начальными данными в виде двух быстро осциллирующих гармоник. Следует отметить, что такая по-

становка была предложена С.Ю. Доброхотовым и является, видимо, простейшей хотя бы потому, что здесь имеется всего одна собственная мода. В данных работах было показано, что в окрестности резонанса амплитуда главного члена асимптотического решения определяется из задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера.

При взаимодействии более чем двух гармоник может возникать новый эффект. Если третья волна пересекает слой локального резонанса, то в результате резонансного взаимодействия в слое амплитуда главного члена асимптотики этой волны после выхода из слоя получает поправку порядка корня из величины возмущения. Возможность обнаружения такого эффекта была предсказана в работе [20]. В работе [6] автором была явно посчитана эта поправка поперечной волны в пострезонансной области.

Общая ситуация такова. При слабом резонансном взаимодействии в пространстве независимых переменных образуются многообразия меньшей размерности, так называемые, многообразия локального резонанса, в окрестности которых меняется структура главного члена быстроосцил-лирующего формального решения. Одним из факторов, обуславливающих необходимость такого изменения, является непригодность исходного "внешнего" формального асимптотического решения (ФАР) вблизи резонансного многообразия. Амплитуды первой поправки начинают неограниченно возрастать и исходное ФАР теряет свой асимптотический характер. Для того, чтобы правильно описать поведение решения в окрестности резонансных многообразий, приходится вводить новые растянутые переменные, а затем с использованием этих новых переменных в слое локального резонанса строить свой "внутренний" анзатц. При этом, естественно, требуется согласованность "внешнего" и "внутреннего" анзатцев [17].

Здесь мы рассматриваем задачу о слабом резонансном взаимодействии

на примере слабо нелинейного уравнения Шрёдингера.

1едви + £2Д и + ?(£, 77, в)Ц + е^\Щ2и = 0, (0.28)

при этом под слабой нелинейностью понимается наличие малого параметра е перед нелинейным членом \11\2и.

Начальные данные представляют собой сумму трех быстро осциллирующих гармоник.

Щв=о = Аг ехр{ге-1 + А2 ехр{г£-1 + А3 ехр{ге-1 £3}> (0.29)

здесь Д = + 5®, 0 < £ <С 1 - малый параметр.

о

Мы предполагаем, что исходные фазы 2 — 2,3 таковы, что в плоскости П = {(£,??) € К.2} существует гладкая кривая 7 : т\) = 0 такая, что на ней выполнены условия

V А (£,??) = V ^(£,17), (0.30)

Ф «,»/)€ 7. (0-31)

Условия (0.30) приводят к тому, что в пространстве независимых переменных появляются многообразия локального резонанса. Многообразием локального резонанса при такой постановке оказывается поверхность Г, образуемая совпадающими лучами, выходящими из точек кривой 7. Это лучи, соответствующие гармоникам с фазами у = 2,3; далее эти гармоники мы называем продольными. Под лучами здесь понимаются характеристики соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби.

Поверхность Г разбивает весь слой О = {(£,??) € &2,0 < В < в*} на несколько областей со своим представлением решения в каждой из них. При этом, дальше речь идет об исследовании вблизи некоторого локального куска кривой 7, в предположении, что поперечная волна пересекает резонансный слой. Области Г^Ог^з описываются в терминах лучей и

касательного вектора к кривой 7. Слой локального резонанса имеет "толщину" порядка 0(£7), 0 < 7 < 1/2 (оптимальным здесь является выбор 7 = 1/4). Все построения локальны и до каустики мы не дотягиваемся.

Основным результатом этой главы является следующая теорема.

Теорема 2 .1. Пусть Ак,Фк и любые их производные равномерно ограничены по совокупности переменных. Тогда в слое О, формальное асимптотическое при е —> 0 решение задачи (0.28), (0.29) по модулю 0{еъ!2) в различных областях имеет различное асимптотическое представление

и » С/0 + еЩ + е2и2, (£, 17, в) £ Пи (0.32)

и « И,о + у/ёУцо + £^2,0, К, Ъ 0) € Па, (0.33)

(0.34)

здесь 1/п, Уп

ип >т имеют представление (2.12), (2.43), (2.68).

Доказательство этой теоремы проводится в несколько этапов и сводится к получению дифференциальных уравнений и краевых условий для коэффициентов асимптотики.

Мы последовательно строим формальные асимптотические решения в каждой из областей и согласовываем их друг с другом. При этом оказывается, что в отличии от стандартного метода ВКБ внутри слоя локального резонанса (в области ^2) амплитуда главного члена формального асимптотического решения задачи (0.28), (0.29), соответствующая фазе <£>2, удовлетворяет не привычному уравнению переноса, а одномерному нелинейному уравнению Шрёдингера. Желание согласовать внутреннее и внешнее решения приводит к специфическим (быстро осциллирующим) начальным данным и условиям на бесконечности. Вторая пространственная переменная и в уравнение, и в условия на бесконечности входит параметрически. Отсутствие существенной зависимости от второй простран-

ственной переменной обусловлено тем, что при такой постановке размерность резонансного многообразия больше минимально возможного (равного единице), что соответствует не поверхности, а одномерной кривой в пространстве трех независимых переменных (£, т/, в).

Амплитуда главного члена ФАР, соответствующая фазе ^ъ определяется из граничной задачи для однородного обыкновенного дифференциального уравнения. Амплитуда первой поправки также удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, но уже неоднородному. Существенная зависимость его правой части от внутренней переменной а приводит к тому, что в асимптотике этой амплитуды при о —> -}-оо появляется слагаемое порядка 0( 1). Это слагаемое описывается в терминах интеграла типа Френеля

Ко (V, 0) = Н(ъ в) £ (| у\ |2 ~ | Р |2 - | Рх |2 - 2Ке [ррх ехр{гх<72}]) ¿а,

(0.35)

что, вообще говоря, типично для амплитуд в слое локального резонанса [48]. Наличие этого ненулевого слагаемого в асимптотике приводит к тому, что в пострезонансной области появляется поправка к главному члену

1,0+

асимптотики поперечной амплитуды порядка 0{л/е). Функция У10 (т/,0) в области за резонансным слоем трактуется как начальное данное для однородного уравнения переноса, выписываемого на амплитуду соответствующей поправки.

Исследование стандартной задачи для НУШ вынесено в отдельный параграф. В параграфе 8 приводится доказательство разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения типа Шрёдингера в классе функций, допускающих быструю осцилляцию на бесконечности. Под быстрой осцилляцией понимается наличие в асимптотике при |<т| —► оо слагаемых вида ехр{т(£)сг2}. Доказательство теоремы проводится с использованием преобразования Фурье по переменной а. Точное решение задачи ищется в

виде суммы конечного отрезка формального асимптотического решения и остатка. Затем делается преобразование Фурье. На остаток выписывается интегродифференциалыюе уравнение с нелинейным оператором

вф, = £ вм(\, *) * (*иу * (о.зб)

РЛ

который представляет собой конечную сумму сверток образа остатка с самим собой и с известными функциями. При этом присутствуют свертки с быстрыми экспонентами ехр{ш(£)А2}. В подобных задачах, когда быстрых экспонент нет, можно использовать пространство А4Г непрерывных функций с весовой нормой

II/II г = вир(1 + А2)г/2|/|. (0.37)

Пространство Мг, г > 1с такой нормой оказывается банаховой алгеброй относительно операции свертки и, кроме того, оператор типа В ( не содержащий сомножителей типа быстрых экспонент ) оказывается ограниченным и обладающим свойством Липшица в Мг [5].

Однако в случае, когда присутствуют быстрые экспоненты, свертка с которыми является неограниченым оператором в любом Л4Г приходится использовать другое пространство. Подходящее пространство можно получить, используя норму графика в Л4Г, оператора ¿>а - свертки с экс-понентой Еа(\) = ехр{шЛ2}. Однако обойтись фиксированным значением а не удается. Мы будем использовать пространство Л4г,е с нормой

11/11^ = И/Ь + зир [(1 + А2) х ] IЕа * / I, (0.38)

(Л е К, а € к). И

В этом соотношении множитель --, существенней для малых а

1 + \а\*1г

и предназначен для компенсации роста величины вирЛ(1 + А2){.Еа*/| при а —► 0.

В третьей главе также рассматривается ситуация, когда в системе имеют место локальные резонансы. Отличие от главы 2 состоит в следующем: резонансное многообразие имеет меньшую размерность - теперь это не поверхность, а линия в пространстве трех независимых переменных, что соответствует ситуации общего положения.

Уменьшение размерности резонансного многообразия приводит к тому, что изменяется характер стандартных задач, получаемых для определения амплитуд формального асимптотического решения в слое локального резонанса. Поведение амплитуды главного члена описывается уже не одномерным НУШ, а двумерным, и все формальные построения начинают существенно зависеть от угловой переменной.

Мы также как и в главе 2 рассматриваем слабо нелинейное уравнение Шрёдингера (0.28) и начальные данные в виде суммы двух быстро осциллирующих гармоник с медленно меняющимися амплитудами

= ехр{ге"1 к] + А2 ехр{г£~1 £2}. (0.39)

Условия, приводящие к появлению локальных резонансов, выполняются теперь не на кривой, а в некоторой точке (£о? Цо)

V 4>г (£о,*>) = V Ьг йь%), (0.40)

[¿>|($1 - - к) - 1 - к)]2] «о, т) ф о. (олг)

Резонансным многообразием при такой постановке оказывается кривая, образуемая совпадающими лучами, выходящими из точки (£о>??о)-

Построения формального асимптотического решения, как и в главе 2, проводятся в некотором слое = {(£,??) € Е2,0 < 9 < 9*}. Весь слой разбивается на области £1ех и в которых строятся свои решения, согласованные друг с другом. Слой локального резонанса имеет "толщину" порядка 0(ер), 0 < ¡3 < 1/2.

Справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть А^ и любые их производные равномерно ограничены по переменным г}. Тогда в области О формальное асимптотическое при е —> 0 решение задачи (0.28), (0.39) по модулю 0{£5^2) в различных областях имеет различное асимптотическое представление

£) = и0+ еЩ + £2112, ^ в) € £1ех, (0.42)

и

С/К,г?,6>;в)=ехр{г£-1<р1} $+у/еЬ+е$ , € П*. (0.43)

§12 третьей главы посвящен исследованию стандартной задачи для амплитуды главного члена ФАР в слое локального резонанса. Приводится доказательство разрешимости задачи Коши для АГ-мерного нелинейного уравнения типа Шрёдингера в классе функций, допускающих быструю осцилляцию на бесконечности ( теорема 3.4). Доказательство проводится с использованием метода Фурье и, в основном, аналогично доказательству теоремы 2.4 §8 главы 2. При этом существенно используется тот факт, что оператор свертки с быстрой экспонентой оказывается ограниченным и обладающим свойством Липшица в пространстве М.г,е-

Основным математическим результатом 2 и 3 главы диссертации являются доказательства теорем существования и единственности решений стандартных задач, получаемых для амплитуд главного члена асимптотики внутри слоя локального резонанса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глебов, Сергей Геннадьевич, 1998 год

JI итература

[1] Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. - М.: ВИНИТИ, 1964. - 295 с.

[2] Вабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. - М.: Наука, 1972.

[3] Бломберген Н.. Нелинейная оптика. - М.: Мир, 1966. - 424 с.

[4] Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 503 с.

[5] Вакуленко С.А., Обоснование асимптотической формулы для решения возмущенного уравнения Клейна-Фока-Гордона // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1981. - Т. 104. - С. 84-92.

[6] Глебов С.Г., Об одной слабо нелинейной задаче с локальными резо-нансами // Дифф. уравнения. - 1995. -31(8). - С. 1402-1408.

[7] Глебов С.Г., Локальные резонансы слабо нелинейных волн // Сб. тр. конф. " Компл. анализ, диф. уравнения, численные методы и приложения. ИГ'. - Уфа, 1996. - С. 48-56.

[8] Глебов С.Г. Теорема существования для N-мерного нелинейного уравнения Шрёдингера // Асимптотики и симметрии в нелинейных динамических системах. - Уфа, 1995. С. 31-37.

[9] Глебов С.Г. Об асимптотическом переходе к системе трех волн // Точные решения дифференциальных уравнений и их асимптотики. -Уфа, 1993. - С.13-23.

[10] Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А. М., Системы гидродинамического типа и их применение. - М.:Наука, 1981. - 386 с.

[11] Доброхотов С.Ю., Маслов В.П., Омельянов Г.А. Многоволновое взаимодействие в слабо нелинейных средах с дисперсией //Сб. Математические механизмы турбулентности. - Киев: ИМАН УССР, 1986.

- С. 25-45.

[12] Доброхотов С.Ю., Жевандров П.Н., Кузьмина В.М. Нелокальные нелинейные уравнения ветровых волн над неровным дном // ПММ. -1987. т.51, вып. 5. - С.798-806.

[13] Жибер A.B. Задача Коши для одного класса полулинейных систем дифференциальных уравненийю. - Уфа. : Дис. канд. физ.-мат. наук.

- 1974.

[14] Жибер A.B., Шабат A.B. О задаче Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера // Дифференциальные уравнения. - 1970. - N6. - С. 137-146.

[15] Захаров В.Е. Метод обратной задачи рассеяния. // Солитоны. - М.: Мир, 1983. - С.207-309.

[16] Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на повехности глубокой жидкости. //ПМТФ. - 1968. - N2. - С. 86-94.

[17] Ильин А.М., Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. - 1988.

[18] Кадомцев Б.В. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976. -238 с.

[19] Калякин Л.А. Локальный резонанс в слабонелинейной задаче. // Мат. заметки. - 1988. - Т.44, 5, С. 697 - 699.

[20] Калякин Л.А. Метод ВКБ в слабо нелинейной задаче с локальным резонансом // Асимптотические методы решения задач математической физики. - Уфа, 1989. - С. 56-69.

[21] Калякин Л.А. Асимптотическое интегрирование возмущенной гиперболической системы уравнений в классе условно периодических функций // Тр. ММО. - 1986, т. 49. - С.57-70.

[22] Калякин Л.А. Асимптотический распад одномерного волнового пакета в нелинейной диспергирующей среде // Мат. сб. - 1987. - N 3. -С. 470-495.

[23] Калякин Л.А., Глебов С.Г. О разрешимости нелинейного уравнения типа Шредингера в классе быстро осциллирующих функций // Мат. заметки. 1994. - т. 56. - С. 32-40.

[24] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ, М.:Наука. -1984. - 752с.

[25] Киселев О.М. Асимптотика решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Фока-Гордона // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -1987. - т. 165. - С. 115-121.

[26] Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука. - 1981. - 400 с.

[27] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элеметы функционального анализа. - М.: Наука. 1965.

[28] Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука. - 1977.- 384 с.

[29] Маслов В.П. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах // Успехи мат. наук - 1983 - T.38,N 6. - С. 3-36.

[30] Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. - М.:Наука. - 1987. - 408 с.

[31] Маслов В.П., Омельянов Г.А. Взаимодействие трех волн с учетом эффектов удвоения частот // Изв. Вузов. Физика. - 1986. - N3. - С. 3-23.

[32] Маслов В.П., Омельянов Г.А. Взаимодействие коротких волн малых амплитуд в слабодисперсионной плазме // УМЖ - 1987. - N4. - С. 463-472; N6. - С. 737-744.

[33] Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение в задачах квантовой механики. - М.:Наука. - 1976.

[34] Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.:Наука. - 1978. - 688с.

[35] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир. - 1976.

[36] Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. - М.:Наука. - 1987.

[37] Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. - Л.: Гидрометеоиз-дат. - 1980 - 319 с.

[38] Хединг Д.Ж. Введение в метод фазовых интегралов. - М.:Мир. - 1965. - 237с.

[39] Ярив А. Введение в оптическую электронику. - М.гВысш. школа. -1983. - 398 с.

[40] Ablowitz M., Funk A., Newell A. Semi-resonant interaction and frequency dividers // Stud. Appl. Math. - 1973. - v.52. - P.51-74.

[41] Ginibre J., Velo G. On a class of Nonlinear Schrodinger Equations. 1. The Cauchy Problem, A General Case //J. Funct. Anal. 1979. - v.32. -P. 1-32.

[42] Hayashi N., Nakamitsu K., Tsutsumi M. On solitons of the initial value problem for the NLS in one space // Math. Z.-1986.-V.192. - P. 637-650.

[43] Hayashi N., Ozawa T. On the derivative nonlinear Schrodinger equation // Physica D. -1992. - v.55.- P. 14-36.

[44] Kevorkian J. Passage through resonance for a one-dimensional oscillator with slowly varying frequency // SIAM J. Appl. Math-1971- v.20. -P.364-373.

[45] Kevorkian J. Resonance in a weakly nonlinear system with slowly varying parameters // Stud. Appl. Math. - 1980 - v.62. - P. 63-67.

[46] Maslov V.P. Resonance processes in the wave theory and self-focalization.

- M.: MIEM. - 1983. - 120p.

[47] Maslov V.P. Mathematical aspects of integral optics. - M.:MIEM, 1983. ~ 130p.

[48] Neu J.C. Resonantly interacting waves // SIAM J. Appl. Math. - 1983.

- v.43, N1. - P.141-156.

[49] Rubenfeld L. The passage of weakly coupled nonlinear oscillators through internal resonance // Stud. Appl. Math. - 1977. - v.57. - P. 77-92.

[50] Tadayoshi Kano Une theorie trois-dimensoimelle des ondes de surface de l'ean et le développement de Friedirichs // J. of Math, of Kyoto University. - 1986. - v.26, N1.

[51] Xueshang Feng The Global Cauchy Problem for a higher order NLS // Indian J. pure appl. Math. -1994. - v. 25. - P.583-606.