Слабонелинейные взаимодействия диспергирующих волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шакирьянов, Марс Маратович

• Шакирьянов, Марс Маратович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шакирьянов, Марс Маратович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Асимптотика решения задачи Коши для слабонелинейной системы уравнений

§1. Пример. Формальные построения

§2. Асимптотическое решение задачи Коши для слабонелинейной системы уравнений

Глава 2. Длинноволновая асимптотика решений уравнения Вуссинеска 43 §3. Формальный асимптотический переход к системе уравнений Дэви-

Стюартсона

§4. Асимптотика решения задачи Коши для двумерного волнового уравнения

Глава 3. Разрешимость краевых задач для систем уравнений Дэви- Стю-

артсона

§5. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений Дэви-Стюарт-

сона-П

§6. Разрешимость задачи Гурса-Коши для систем уравнений типа Дэви-

Стюартсона-1

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабонелинейные взаимодействия диспергирующих волн»

Введение

Дифференциальные уравнения в настоящее время представляют основу большей части математических моделей естествознания. В частности, теоретические исследования волновых явлений в механике и физике в значительной степени сводятся к исследованию решений соответствующих дифференциальных уравнений.

С термином " волна" в простейшем случае связываются функции двух переменных

U = Aexp{i(kx - uit)}, к eR, жбМ, А = const, (0.1)

известные под названием " плоские волны", которые характеризуются амплитудой А, волновым числом к и частотой и. Выражения такого типа являются точными решениями линейных дифференциальных уравнений

L(idt,-id.)U = 0. (0.2)

При этом частота и = и (к) и волновое число к связаны дисперсионным соотношением

Ци,к) = 0. (0.3)

Понятие дисперсии волны связывается с нелинейной зависимостью от к корней алгебраического уравнения (0.3). Если в дисперсионном уравнении присутствует малый параметр, то дисперсия может быть слабой или сильной, в зависимости от того, линейны или нелинейны по к главные члены асимптотики корней дисперсионного соотношения (0.3).

Следует отметить, что лишь немногие модели механики и физики приводят к уравнениям, для которых можно написать общее решение. Препятствием для интегрирования обычно оказываются различного рода нелинейности, неоднородности, сложные граничные условия и т.п. Для ана-

лиза таких более сложных моделей часто применяют асимптотические методы.

Распространённый подход состоит в том, чтобы исследовать классы решений вблизи известных точных. Мерой близости обычно служит малый параметр 0 < е <С 1, который может входить как в исходное уравнение, так и в начальные условия. Так, задачи о слабонелинейных возмущениях могут ставиться в виде уравнений с малыми нелинейными добавками:

Ь№,-{д.)и = е/(и,д.и) (0.4)

с начальными данными, которые могут представлять собой волновой пакет с постоянной амплитудой:

Щ=о = А0ехр{г'&ж}, (0.5)

либо в виде сильнонелинейных уравнений

ь№,-гд.)и = /(и,д.и)

с начальными данными вблизи заданного решения С/о Обычно С/о (ж, е) выделяется заранее, и дело сводится к начальному условию с малой амплитудой:

С/|<=о = еА0 ехр{Игх}.

В любом случае, начальные данные могут представлять собой слабоде-формированный волновой пакет, так что в амплитуде Ао допускается зависимость от медленной переменной: А0 = А^ех).

Обсудим проблемы, которые возникают при построении асимптотического разложения решения при г —» 0 в задачах типа (0.4)-(0.5). Тривиальный подход состоит в том, чтобы искать асимптотическое решение в виде прямого ряда теории возмущений:

оо

и(х,^е) = & ОМ), £ —»■ 0, (0.6)

71=0

используя в качестве главного члена асимптотики решения линейных

о

уравнений в виде плоской волны: U (x,t) = Аоехр{г(&# — cut)}. На конечных промежутках времени, например, 0 < t < М (М = const > 0), прямое разложение (0.6) даёт асимптотический ряд. Если же ставить задачу о построении асимптотики на больших промежутках времени 0 < t < Ме~1 (М = const > 0), то прямое разложение (0.6) может оказаться непригодным. Это проявляется в том, что ряд (0.6) перестаёт быть асим-

п

птотическим из-за наличия в решениях для поправок U {x,t), п > 1 так называемых секулярных членов, пропорциональных tn. Для получения равномерно пригодного разложения подобные члены должны отсутствовать. Этого можно добиться, учитывая медленные деформации в коэффициентах. асимптотического разложения, определив в них зависимость от медленных переменных ex, et.

В качестве примера рассмотрим линейную задачу:

ut - их = еих, u\t=Q = ехр{г'ж}, решение которой в прямом разложении имеет секулярные члены:

оо

и(х, í, е) = ехр{г'(ж +1) + ist} = ехр{г(я + t)} —¡~®n • (0-7)

Ряд в правой части (0.7) не является асимптотическим при е —» 0 на далеких временах t е"1. Для того, чтобы он был асимптотическим, необходимо определить зависимость коэффициентов асимптотического разложения от медленного времени т = et. В данном случае точное решение и = ехр{г(ж +1) + ¿r} дает главный (и единственный здесь) член асимптотики. Это решение и = i>(s,r), s = x + t, удовлетворяет уравнению vT = va с начальным условием г>(з,0) — exp{¿s}.

В более сложных ситуациях дело сводится к решению нелинейных уравнений. Например, задача

щ — их = еиих, М|<=:0 = sin х (0.8)

той же заменой и = v(s,t) сводится к решению задачи Коши для нелинейного уравнения Хопфа:

vT — vva = 0, = sins.

Ответ в этом случае можно выписать в параметрической форме: v(s,r) = sin£, £ = 5 + r sin£. В данном примере решение уравнения Хопфа представляет единственный член асимптотики решения исходной задачи (0.8). В более общей ситуации возникают асимптотические ряды, коэффициенты которых находятся из рекуррентной системы задач. При этом нелинейности встречаются лишь в уравнениях для главного члена асимптотики. Исходные задачи такого типа принято называть слабонелинейными и о них пойдёт речь в диссертации.

В основном будут рассматриваться задачи для уравнений в частных производных с малым параметром, в которых построение асимптотики решения приводит в главном к более простым, зачастую интегрируемым нелинейным уравнениям. При этом уравнения, к которым сводится нахождение главного члена асимптотики, будем называть стандартными уравнениями.

К основным этапам построения асимптотики решений можно отнести следующие: 1) построение формального асимптотического решения; 2) исследование стандартных задач; 3) обоснование полученных асимптотик.

В настоящий момент для различных задач разработан целый ряд методов для построения формальных асимптотических решений [4, 6, 30, 38, 24, 37, 41, 45, 66]. Здесь для формальных построений мы будем пользоваться известным методом многомасштабных разложений [4, 41].

Исследование стандартных задач подразумевает доказательство для них теорем существования и единственности решений.

Под обоснованием асимптотики понимается получение оценки для остатка, то есть для разности между точным решением исходной зада-

чи и построенным формальным асимптотическим решением.

В задачах с сильной дисперсией построение асимптотики решения в главном ведет к системе дифференциальных уравнений (в медленных переменных), которая описывает медленную эволюцию для конечного числа амплитуд плоских волн [2, 8, 34]. Если на этом этапе уравнения оказываются линейными, то появляется возможность "продвинуться" в следующий масштаб. На этом масштабе в качестве стандартных уравнений обычно выступают нелинейные уравнения Шредингера (НУШ). Формальные переходы к НУШ для задач оптики и поверхностных волн исследованы в работах [68, 48, 10]. Имеется много других задач, которые приводят к НУШ, см. например [7, 14, 18, 29, 47].

Задачи со слабой дисперсией отличаются тем, что в главном присутствует бесконечное число гармоник (и плоских волн, соответственно), даже если в начальный момент была одна, как, например, в приведенном выше примере (0.8). Известно, что, если ограничиваться изучением эволюции конечного числа плоских волн в главном члене асимптотического разложения, то это ведет к ошибкам порядка 0( 1) на временах t = 0{е~1). Поэтому для таких задач обычно рассматривают периодические (либо убывающие) решения, которые разлагаются в ряды (либо интегралы) Фурье по быстрым переменным [17, 34]. Нахождение главных членов асимптотики в этих задачах сводится к решению уравнений типа Хопфа, Бюр-герса, КдФ. Задачи, в которых формальные построения приводят к уравнениям Хопфа и Бюргерса рассмотрены в [1, 8, 35, 36, 45]. Формальные переходы к уравнению КдФ известны из работ [69, 3, 1, 7, 8, 11, 24, 65].

Как правило, до настоящего времени рассматривались задачи со слабой дисперсией отдельно от задач с сильной дисперсией. На практике же возможны ситуации, когда встречаются системы уравнений, которые включают в себя как уравнения со слабой дисперсией, так и с сильной. На уровне построения формального асимптотического решения в довольно

общей форме такие задачи рассмотрены [8, 33]. Однако строгое математическое обоснование этих результатов отсутствует. В данной диссертации решается вопрос обоснования на примере одной задачи такого типа [50].

Известно, что вопрос обоснования асимптотических разложений для многих конкретных задач остается открытым. Строгие результаты в этом направлении для задач со слабой дисперсией известны из работ [53,13,17,19, 20, 26, 27]. В случае сильной дисперсии известны результаты по обоснованию асимптотических разложений, полученные в [5, 25,14,18]. Отдельно можно выделить результаты по обоснованию перехода от системы уравнений поверхностных волн к уравнениям Буссинеска и КдФ [32, 67] и к уравнениям газовой динамики [43].

Выше речь шла только об одномерных задачах по х £ М. В многомерном случае все зависит от рассматриваемого класса решений. Чаще всего рассматривают неодномерную медленную модуляцию одномерных (плоских) волн. В случае слабой дисперсии такие задачи рассмотрены в [12, 33, 34, 35, 36]. В задачах с сильной дисперсией формальные переходы к многомерному НУШ, системе уравнений Дэви-Стюартсона известны из работ [57, 61, 58].

Если говорить о неодномерных задачах, то здесь обоснование перехода к уравнениям мелкой воды для двумерных (2+1-мерных) поверхностных волн в классах аналитических функций получено в [43]. Обоснование перехода от многомерного уравнения Буссинеска к уравнению Кадомцева-Петвиашвили и многомерному НУШ приведено в [15]. Проблемы, связанные с обоснованием формальных переходов в таких задачах, исследуются в данной диссертации.

Переходим к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена исследованию системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает слабонелинейные

взаимодействия волн со слабой и сильной дисперсией:

(д< Т ад.)^ = £ ■ дх(с(и+ - и-)2 - 6,ф2 + 62ф1), 0 < е < 1, фи - Ь2фхх + и1ф = £-дх ((и+ - и~)фх + 63(и+ - и~)ф).

Уравнения (0.9) дополняются начальными условиями вида:

(0.9)

"to =<P±(X)i

ф ф*

|{=0

= Е

Фи

..г/с д;

(0.10)

где ^{х) - известные периодические функции с периодом 2тг; амплитуды фо!к,ф\<к при конечном числе гармоник к = 0, ±1,..., ±д считаются постоянными; a,b,c,u>o,S{ = const, Vz.

Выбор таких уравнений обусловлен следующим. С одной стороны, система (0.9) происходит из конкретной физической задачи; она описывает двухмодовую слабонелинейную модель продольных колебаний стержня (если учесть, что v^ = ut ± аих, то функция и отвечает за продольные деформации, а функция ф - за поперечные смещения [9]). С другой стороны, такая система представляет собой одну из моделей, описывающих слабонелинейные взаимодействия волн со слабой и сильной дисперсией.

Целью данной главы является построение и обоснование асимптотического разложения решения задачи Коши для уравнений (0.9) при е —»■ 0, равномерного для ж 6 1,0 < i < (^(е-1).

В первом параграфе рассмотрен простейший пример, иллюстрирующий взаимодействие волн со слабой и сильной дисперсией, где выполнены формальные построения.

Основные математические результаты первой главы содержатся во втором параграфе. Нахождение главных членов асимптотического решения задачи Коши (0.9)—(0.10) сводится к решению следующей системы уравнений:

dTvf - 2c(vf + P[vf])d.Vo = /±(A), A'(r) = g(a±,A),

(0.11)

1 ж

а*,±(т) = — У Р[у^ ее а0,±,

— 7Г

су± - вектор, составленный из конечного набора коэффициентов Фурье /±(А) и g(a±, А) являются гладкими функциями своих аргументов; А - вектор, состоящий из функций (г), < д. Начальные данные для системы (0.11) следующие:

v

/ о (0.12)

А(0) =А .

Теорема 0.1. При условии аналитичности функций V?±(s) в полосе \1т sl < Ро (А) = const > 0) существуют такие т0 > 0, /3 G (0,/30); что задача Коши (0.11)-(0.12) имеет аналитическое по s решение в полосе |Im s| <(3, Vr G [0, Го].

Доказательство разрешимости стандартной задачи (0.11)—(0.12) основывается на разложении Фурье по переменной s, что позволяет перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье, а затем к интегральной системе уравнений.

В основе доказательства существования решения интегральной системы уравнений лежит метод сжатых отображений в подходящей шкале банаховых пространств. Этот подход к доказательству теорем существования является традиционным и использовался многими авторами [5, 14, 43]. Напомним определение шкалы банаховых пространств, данное JI.B. Овсянниковым [43, 44].

Пусть £ - семейство банаховых пространств £т, зависящих от вещественного параметра у > 0. Норму элемента U £ £у обозначим через ||£/||т. Тогда объединение 8 = U£y по всем у > 0 называется шкалой банаховых пространств, если в нём выполняется импликация:

V 7,7 < 7 =» С ¿у и ||U\\yl < И|7, (U G £,).

Мы будем использовать банаховы пространства HßiP коэффициентов Фурье ак, непрерывных по к и экспоненциально убывающих на бесконечности с нормами:

|| afc 11^= sup(1 + k2Y'2 • exp(ß\k\) • |afc|, (ß > 0,p > 2).

¿eZ

Следует заметить, что подобные пространства с экспоненциальными весами в прообразах Фурье соответствуют функциям, аналитическим в полосе |Im s\<ß [43].

Вектор-функции А (г), непрерывно зависящие от т £ [0, т0], рассматриваются в векторном пространстве непрерывных функций С([0,т0]), норма в котором определяется через сумму норм компонент этого вектора в С([0,т0]). Функции ак(т) £ HßtP, непрерывно зависящие от г £ [0,г0], рассматриваются в банаховом пространстве CßiP = С([0, r0]; HßtP) с нормой:

II lk,p= sup II ак(т) \\ßtP .

tG[0,to]

Показано, что интегральный оператор, действующий по правилу полученной системы интегральных уравнений, оказывается сжимающим в С([0,т0]; Д^) х С([0,г0]) с ß = ß0 - ßxr (Д,Д = const > 0), норма в котором определяется через сумму норм функций ак (г), А (г) в пространствах С([0,то]; HßtP) и С([0,т0]) соответственно. Это обеспечивает локальную разрешимость интегральной системы уравнений, а, следовательно, и нашей исходной задачи.

Следующий этап - обоснование асимптотического разложения. Требуется показать, что построенный в первом пункте отрезок формального асимптотического решения дает асимптотическое разложение при е —» 0 некоторого решения исходной задачи (0.9)—(0.10) на больших временах

0 < t < TQS~l.

Теорема 0.2. При условии аналитичности функций ^(х) в полосе \1т х\ < ßo (ßo = const > 0) существуют Т, £0 > 0, ß £ (0, /?0) такие, что

V<s 6 [0,£о] задача (0.9)-(0.10) разрешима в слое Q(T) = {х Е R', 0 < t < Те-1}, в классе функций, аналитических по х в полосе \1т х\ < (3. Для этого решения справедливо асимптотическое разложение при £ —> О:

гг^я, t, е) = v^(x ± at, т) + 0(е),

k, w

равномерное в слое О(Т). Функции v^(s±,r), АкгШ(т) (\к\ < q, и = ±\[ш1 + к2Ъ2) определяются из решения задачи Коши (0.11)-(0.12).

Фактически дело сводится к доказательству разрешимости и к оценке решения задачи для остатка асимптотического разложения. Обоснование асимптотического разложения основывается на разложении Фурье по переменной х. После обращения линейной части полученной бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений мы переходим к операторному уравнению для коэффициентов Фурье.

Для доказательства разрешимости операторного уравнения мы используем метод сжатых отображений в подходящей шкале банаховых пространств.

По аналогии с предыдущим пунктом здесь вводятся банаховы пространства VpyP вектор-функций г (к) с компонентами, непрерывными по к и экспоненциально убывающими на бесконечности. Норма в пространстве VpiP определяется как сумма норм компонент вектора г (к) в пространствах Н^р и H0tP+1 с нормой ||г(&)||р.

Вектор-функции г (к, t,e) £ VpiP, непрерывно зависящие от t Е [0, Те-1], г Е [0,£о], рассматриваются в банаховом пространстве Ср = С([0,Те~1] х [0,£0]; с нормой:

II г(М,е) ||ср ~ sup || г(М,е) II •

Л*

Показано, что интегральный оператор оказывается сжимающим в С ([О, Те'1] х [0, £о]; с (3 = fa — P\£t (Д),/?1 = const > 0). Это и обеспечи-

вает локальную разрешимость интегрального уравнения в С([0,Те'1] х [О,£о]; Vf}tP). При этом определяется верхняя граница промежутка существования Т < Ро/3ile~l из условия /3 = р0 - (3iet > 0 = const > 0).

Во второй главе рассматриваются задачи об асимптотическом переходе в неодномерных волнах, построение формального асимптотического решения в которых приводит к нелинейному уравнению Шрёдингера, либо его двумерному обобщению - системе уравнений типа Дэви-Стюартсона.

В этой части диссертации исследуется задача об асимптотике по малому параметру е решения двумерного нелинейного уравнения Буссинеска:

ии - ихх - иуу + v(uxxxx + иуууу) + dxbi(ux,uy) + дуЪ2{их,иу) = 0 (0.13)

с начальными данными малой амплитуды:

и и,

(x,y,t,e)it=0 = £ ]Г Фке{кх , fc=0,±l

(0.14)

где представляют собой вектор-функции от медленных переменных:

Ф, =

<Pk

(бх,еу), Ф* = Ф_А, ф0 = 0, v = const > 0.

Компоненты этих начальных амплитуд считаются функциями, быстро убывающими на бесконечности:

<Рк,Фк(£,у) = 0((1 + \{\2 + \г1\У), |£| + Н-+оо, У7У>0, (0.15)

к = 0,±1.

Предполагается, что нелинейности начинаются с квадратичных членов, так что коэффициенты уравнения ии), ] = 1,2, разлагаются в асимптотические ряды Тейлора (при V2 + ш2 —> 0):

и ( \ гДО 2 , 7 1,1 , 7 0,2 2 , 7 3,0 3 , 7,2,1 2 ,

одг>,«;) = о/ V + bj уии + о.' и>+ о/ V + bj V уи +

Ь^2уш2 + Ь®'3и)3 + ..., где з = 1,2. (0.16)

Целью данной главы является построение формального асимптотического решения и(х, у, t, е) задачи Коши (0.13)—(0.14) при £ —» 0, пригодного на больших промежутках времени 0 < t < 0(е~2), V(x,y) Е M2.

В отличие от первой главы, при построении формального асимптотического решения здесь используются две новые медленные переменные т — et и в = e2t. Возможность "дотянуться" до далёких времён t та е~2 в формальном решении возникает тогда, когда на первом медленном масштабе т = et стандартные задачи оказываются линейными, а структура их решений - весьма простой. Формальные построения, выполненные в §3, приводят к задаче Коши для двумерного волнового уравнения на промежуточном временном масштабе г = et. В §4 проведён анализ асимптотики решения этой задачи при т —> оо для однородного и неоднородного волнового уравнения со специальной правой частью и быстроубывающими начальными данными [23]. Такой анализ необходим для обоснования перехода ко второму медленному масштабу в = e2t.

Основной результат настоящей главы состоит в следующем. Нахождение главных членов асимптотического решения задачи (0.13)—(0.14) сводится к решению системы уравнений типа Дэви-Стюартсона:

[%дв + + - -7w\w\2 + w(ф. + \дч)ф,

[с2д2 - д2}ф = -2Й'Ч + ь|Ч)М2 '

с начальными и краевыми условиями:

ш(а,г],в)\е=о = i (y>k(<r,ri) + ^(<7,77)^ , (0.18)

ф —> 0, [sgn J](a ± crj) —► оо. (0.19)

Справедлива следующая

Теорема 0.3. Пусть каждая пара функций w =wkiW, ф =Щ,к,ш определяется из начально-краевой задачи (0.17)-(0.19) для системы урав-

нений типа Дэви-Стюартсона. Тогда формула

к—± 1 ш=±ш (к)

£ = ex, rj = еу, т = st, в = e2t, а — ( — и/г, и(к) = kVl + vk2,

где f0 быстро выходит на функции ф(а, т/, при г —> оо в направлениях а = const, определяет формальное асимптотическое решение задачи Ко-ши (ОЛЗ)-(О.Ц) при £—> 0 по модулю 0(е3) на временах 0 < t < 0(е~2).

В случае, когда квадратичные нелинейности частично отсутствуют, то есть Ъ1{1 = bf° = О, j = 1,2, уравнения Дэви-Стюартсона распадаются, и дело сводится к нелинейному уравнению Шредингера для wk w и двумерному однородному волновому уравнению для vQ. В этом случае формальный асимптотический переход обоснован [15].

Третья глава полностью посвящена системам уравнений Дэви- Стю-артсона, исследованию разрешимости начально-краевых задач для различных типов этих уравнений.

Уравнения Дэви-Стюартсона известны как ближайший интегрируемый аналог обычного нелинейного уравнения Шрёдингера и представляют собой его двумерное обобщение. Это есть система уравнений в частных производных для комплекснозначной функции и = u(x,y,t) и для действительной функции (р = (p(x,y,t) :

(idtu — аихх + uvy = а\и\2и + июх,

0,1 12 (0-20)

Уравнения типа (0.20) с а — +1 впервые были получены Дэви и Стю-артсоном для поверхностных волн в жидкости при отсутствии поверхностного натяжения [57]. Позднее, учитывая эффект капиллярности, Джорд-жевик и Редекопп получили уравнения типа (0.20) с а = — 1 [58]. В этих

случаях пара связанных уравнений (0.20) описывает эволюцию комплексной амплитуды волн (и) и возбуждаемого среднего течения (У(р).

В литературе системы уравнений (0.20) обычно называют системами Дэви-Стюартсона-1 и Дэви-Стюартсона-П с а — —1 и а = +1 соответственно.

В этих частных случаях система (0.20) интегрируется методом обратной задачи рассеяния [42, 59, 60], и для нее построены некоторые частные решения [46, 54, 60]. Точные К-солитонные решения были получены в [55, 56], решения типа лампов найдены в [71].

Похожая система уравнений получается при исследовании задачи об асимптотике по малому параметру решения задачи Коши для нелинейного уравнения жесткой мембраны [15]. Заданием в начальных данных определенной зависимости от малого параметра выделяются такие классы решений, для которых нахождение главных членов асимптотики сводится к решению уравнений типа (0.20), отличных от рассмотренных в [42, 46, 58, 62, 63]. В этом случае уравнения (0.20) описывают эволюцию амплитуды плоского волнового пакета (и) и длинной волны ((р).

Системы более общего вида, чем (0.20), были получены для модуляции внутреннего волнового пакета в [64] и для распространения нелинейных волновых пакетов с учетом сдвигового течения на свободной поверхности

[70].

Уравнения Дэви-Стюартсона (0.20) дополняются начальными условиями для функции и и краевыми условиями для функции (р. Граничные условия для (р зависят от знака а. Так, при а = +1, краевое условие для функции (р есть Уср —> 0 при х2 + у2 —» со. В случае и = — 1 граничные условия для функции (р - условия типа Гурса на бесконечности.

Рассмотрим теперь проблему разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений вида (0.20). Как было отмечено выше, в случае и = ±1 для системы (0.20) построены частные решения при помощи техники

метода обратной задачи рассеяния.

Вопросы существования и единственности решений краевых задач для систем типа (0.20) в классах обобщенных решений исследовались в [62, 63]. В этих работах результаты опираются на априорные оценки и существенно используют специфику частного случая систем уравнений типа Дэви-Стюартсона.

В третьей главе приводятся результаты о разрешимости начально-краевых задач для более общих систем уравнений типа (0.20), которые опираются на традиционный подход к теоремам существования классических решений. При этом специфическая структура нелинейных членов, необходимая для априорных оценок, оказывается не нужной [21, 22, 51, 52, 72].

Например, для систем Дэви-Стюартсона-П результаты обобщаются на многомерный случай, так что рассматриваются системы вида:

%д,и + и{-ъдхх,..., -%дхп )и = д(и, и*) + Ци, и*)<р,

(хх,...,хп) £ Ж", t > 0, ,...,кп) - полином по кх,... ,кп с посто-

янными действительными коэффициентами.

Уравнения (0.21) дополняются начально-краевыми условиями:

«(ж1,...,жв,г)|,=0 = и0(жь...,жп), (яь...,ж„) £ К", (0.22)

0, х\ + ... + х1 ->оо. (0.23)

Теорема 0.4. Допустим, что 1) функции аналитичны в окрест-

ности начальной функции по всем своим аргументам: /(0,0) = #(0,0) = /1(0,0) — 0; 2) Р,<0) - дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, такие, что отношение их символов q|p является равномерно ограниченным; 3) щ(х 1?..., хп) принадлежит пространству Соболева Н> п/2). Тогда существует такое значение Т > 0, что при

Vi G [0,T] задача (0.21)-(0.23) имеет единственное решение:

Для уравнений Дэви-Стюартсона-I результаты обобщаются на случай систем с произвольными аналитическими правыми частями:

d.d,(p = Vf( M2), , .

У 4 1 ; _ (0.24)

idtu + u(—idx, —idy)u = g(u,u*) + h(u,u*)V(p,

(x,y) t > 0, V = (dx,dy), co(k, m) - полином по к, т.

Уравнения дополняются условием Гурса на бесконечности для действительной функции (р :

/ / + Х-+-ОС, V y,t,

[ (p2{x) + o{ 1), y-+-oo, V x,t

и начальным условием для комплекснозначной функции и :

u(x,y,t)\t=0=u0(x,y), (х,у)еШ2. (0.26)

Имеет место

Теорема 0.5. Пусть правые части f(v), g(u,u*), h(u,u*) аналитич-ны в окрестности начальных данных; граничные и начальные функции (р1(у),(р2{х),щ(х,у) аналитичны в полосе \Imx\, \Imy\ < (3q ((3q — const > 0) так, что Uo(k,m) G Ha0tfi0iP ; Ф^т), Ф2(к) € Но,0О,Р• Тогда существует такое значение Т > 0, что при Vi £ [0,Т] задача (0.24)~(0.26) имеет единственное решение в классе функций, Фурье-образы которых экспоненциально убывают при \к\ + \т\ —> оо.

Наши исследования по разрешимости начально-краевых задач в этих случаях опираются на известные результаты для уравнений в банаховых

пространствах [31], либо близки к идеям Л.В.Овсянникова по уравнениям в шкалах банаховых пространств [43, 44].

Основная идея доказательства теорем существования и единственности решений здесь - это преобразование Фурье по пространственным переменным, которое позволяет перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению по £ для Фурье-образов. Затем, обращая линейную часть полученных уравнений, переходим к интегральному уравнению для Фурье-образов с последующим использованием метода сжатых отображений в банаховом пространстве (случай липшицевых и ограниченных операторов), либо в подходящей шкале банаховых пространств (случай неограниченных операторов, что влечет за собой сужение класса решений до аналитических функций), где интегральный оператор оказался бы ограниченным и липшицевым.

Аналогично [43] в случае системы уравнений (0.21) подходящим оказывается пространство Соболева Л"'(МИ) функций и(х) с нормой:

где т = {гп1,..., тп } - целочисленный мультииндекс, \т\ = тН-----\-тп.

Функции и(х^) Е Нв, непрерывно зависящие от ^ 6 [0,Т] , рассматриваются в банаховом пространстве С — С([0,Т];Н") с нормой:

В §5 показано, что интегральный оператор, происходящий из системы уравнений (0.21), является ограниченным и липшицевым в пространстве Соболева На (М.п). Если после этого выбрать Т подходящим образом для того, чтобы интегральный оператор оказался сжимающим, то разрешимость интегрального уравнения будет следовать из известных результатов для уравнений в банаховых пространствах [31].

II

и

с= Эйр || и || <е[о,т]

§6 полностью посвящён исследованию разрешимости начально-краевой задачи для уравнений (0.24).

Для доказательства существования решения в этом случае так же, как в [5, 43, 44], здесь используется шкала банаховых пространств. Их элементами являются функции, полоса аналитичности которых (3{t) >0 сужается со временем. Соответствующие нормы определяются через образы Фурье с экспоненциальными весами. Однако в отличие от [5, 14] специфика задачи требует гельдеровости Фурье-образов. Формально это связано с присутствием ядра типа Коши в интегралах свёртки. Подходящей оказывается шкала пространств, в которой показатель Гельдера a(t) > 0 уменьшается со временем [16].

Здесь вводится банахово пространство Ha^tP гельдеровских функций от двух переменных U(k,m) с конечной нормой

|| U ||ei/s= sup sup Qp{k,m) [ (1 + \к\ + \m\)\U(k,m)\+ ( \U(k + h,m)-U(k,m)\ \U{k, т + К) - U{k, т)\}

| /ф | h\° где вр(к,т) = (1 + |&|)p(l + |m|)^1+N+H).

Через С([0, Г]; Haj0tP ) обозначается пространство функций U(i), непрерывных по t G [0, Г] со значениями в пространстве Наф<р с нормой:

Il V ||= sup || U ||—^ .

<€[0,т]

Интегральный оператор в этом случае при малых t будет сжимающим в шкале пространств Hatl3tP с а = «о — ait, (5 = (30 — flit, «од, A),i > 0,р > 1. Это обеспечивает локальную разрешимость интегрального уравнения, а, следовательно, и нашей исходной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шакирьянов, Марс Маратович, 1998 год

Литература

[1] Ахманов С.А. Метод Хохлова в теории нелинейных волн // УФН. -1986. Т.149, вып. 3. - С. 361-390.

[2] Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. М.: Наука, 1964. - 295 с.

[3] Березин Ю.А., Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной амплитуды в разреженной плазме // ЖЭТФ. - 1964. Т.46, вып. 5. - С. 1880-1890.

[4] Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 503 с.

[5] Вакуленко С.А. Обоснование асимптотической формулы для решения возмущенного уравнения Клейна-Фока-Гордона // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1981. - Т.104. - С. 84-92.

[6] Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

[7] Талонов A.B., Островский Л.А., Рабинович М.И. Одномерные волны в нелинейных диспергирующих средах // Изв. вузов. Радиофизика. - 1970. - Т.13. - С. 163-213.

[8] Доброхотов С.Ю., Маслов В.П., Омельянов Г.А. Многоволновое взаимодействие в слабонелинейных средах с дисперсией // Сб. "Математические механизмы турбулентности". - Киев: ИМАН УССР, 1986.

- С. 25-45.

[9] Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней // Сб. "Гидроаэромеханика и теория упругости".-Днепропетровск: ДГУ. - 1984, вып. 32. - С. 78-82.

[10] Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. - 1968. - N.2. - С. 8694.

[11] Кадомцев Б.В., Карпман В.И. Нелинейные волны // УФН. - 1971. -Т.103. - С. 193-232.

[12] Кадомцев Б.В., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. - 1970. - Т. 192, N. 4.

- С. 753-756.

[13] Калякин Л.А. Асимптотическое интегрирование возмущенной гиперболической системы уравнений в классе условно периодических функций // Труды ММО. - 1986. - Т. 49. - С. 56-70.

[14] Калякин Л.А. Асимптотический распад одномерного волнового пакета в нелинейной диспергирующей среде // Мат. сборник. - 1987. -Т.132, N.4. - С. 470-495.

[15] Калякин Л.А. Длинноволновые асимптотики решений многомерного уравнения Буссинеска // Сб. "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений". Уфа: БНЦ УрО АН СССР. - 1988. -С.29-45.

[16] Калякин Jl.А. К задаче о первой поправке в теории возмущения со-литонов// Мат. сборник. - 1995. - Т.186, N.7. - С. 51-76.

[17] Калякин Л.А. Длинноволновая асимптотика решения гиперболической системы уравнений // Мат. сборник. - 1984. - Т.124, N.1. - С. 96-120.

[18] Калякин Л.А. Длинноволновые асимптотики решений нелинейных систем уравнений с дисперсией // ДАН СССР. - 1986. - Т. 228, N.4. - С. 809-813.

[19] Калякин Л.А. Длинноволновая асимптотика решения нелинейной системы уравнений с малой дисперсией // Дифф. уравнения. - 1987. -Т. 23, N.4. - С. 696-705.

[20] Калякин Л.А. Длинноволновая асимптотика решения нелинейной системы уравнений с малой диссипацией // Сиб. мат. журн. - 1987. -N.3. - С. 101-114.

[21] Калякин Л.А., Шакирьянов М.М. Разрешимость краевых задач для уравнений типа Дэви-Стюартсона // УМН. - 1995. - 50(4). - С.75-76.

[22] Калякин Л.А., Шакирьянов М.М. Корректность задачи Гурса-Коши для системы уравнений типа Дэви - Стюартсона // Доклады РАН. -1996. - Т. 346, N. 4. - С. 445-447.

[23] Калякин Л.А., Шакирьянов М.М. Асимптотика интеграла Пуассона на больших временах // Сб. "Проблемы математики и теории управления." - 1997. - Уфа. - С. 58-65.

[24] Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. - 175 с.

[25] Киселев О.М. Асимптотика решения задачи Коши для возмущенного уравнения Клейна-Фока-Гордона // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1987. -Т. 165. - С. 115-121.

[26] Крылов A.B. Асимптотическое интегрирование слабонелинейных систем с частными производными // ЖВМ и МФ. - 1986. - Т. 26, N. 1. - С. 72-79.

[27] Крылов A.B., Штарас A.JI. Асимптотическое интегрирование слабонелинейных систем с медленно меняющимися коэффициентами // Лит. мат. сб. - 1984. - Т. 24, N. 2. - С. 90-94.

[28] Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

[29] Литвак А.Г., Таланов В.И. Применение параболического уравнения к расчету полей в диспергирующих нелинейных средах // Изв.вузов. Радиофизика. - 1967. - Т. 10, вып. 4. - С. 539.

[30] Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. - 400 с.

[31] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

[32] Макаренко Н.И. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона // Динамика сплошной среды, 1986, вып. 77. С 56-72.

[33] Маслов В.П., Омельянов Г.А. Взаимодействие трех волн с учетом эффектов удвоения частот // Изв.вузов. Физика. - 1986. - N. 3. - С. 3-23.

[34] Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1987. - 408 с.

[35] Маслов В.П., Омельянов Г.А. Взаимодействие коротких волн малых амплитуд в слабо дисперсионной плазме // УМЖ. Физика. - 1987. -N. 4. - С. 463-472.

[36] Маслов В.П., Омельянов Г.А. Взаимодействие коротких волн малых амплитуд в слабо дисперсионной плазме // УМЖ. Физика. - 1987. -N. 6. - С. 737-744.

[37] Митропольский Ю.А., Мосеенков В.И. Асимптотические решения дифференциальных уравнений в частных производных. Киев: КГУ, 1976. - 589 с.

[38] Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. - 247 с.

[39] Муравей Л.А. Асимптотическое поведение решений второй внешней краевой задачи для двумерного волнового уравнения // Дифф. уравнения. - 1970. - Т. 6, N 12. - С. 2248-2262.

[40] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 512 с.

[41] Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 455 с.

[42] Нижник Л.П., Починайко М.Д. Интегрирование пространственно-двумерного нелинейного уравнения Шредингера методом обратной задачи // Функц. анализ и его прил. - 1982. - Т. 16, N. 1. - С. 80-82.

[43] Овсянников Л.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. - 318 с.

[44] Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // ДАН СССР. - 1965. - Т.163, N. 4. - С. 819-822.

[45] Островский JI.А. Приближенные методы в теории нелинейных волн // Изв. вузов. Радиофизика. - 1974. - Т.13, N.4. - С. 454-476.

[46] Салль М.А. Уравнения Дэви-Стюартсона // Зап.научн. семин. ЛОМИ. - 1990. - Т. 180. - С. 161-169.

[47] Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Корди. М.: Мир, 1983. - 408 с.

[48] Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах // Письма в ЖЭТФ. - 1965. — N. 2. - С. 218-222.

[49] Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. -544 с.

[50] Шакирьянов М.М. Асимптотика решения задачи Коши для одной слабонелинейной системы уравнений со слабой и сильной дисперсией // Сб. "Точные решения дифференциальных уравнений и их асимптотики." - 1993.- Уфа. - С. 56-67.

[51] Шакирьянов М.М. Разрешимость начально-краевой задачи для системы уравнений типа Дэви - Стюартсона // Сб. "Интегрируемость в динамических системах." - 1994.- Уфа. - С.49-61.

[52] Шакирьянов М.М. О разрешимости краевой задачи для системы уравнений Дэви - Стюартсона-П // Сб. "Асимптотики и симметрии в нелинейных динамических системах." - 1995. - Уфа. С.96-104.

[53] Штарас А.Л. Асимптотическое интегрирование слабонелинейных уравнений с частными производными // ДАН СССР. - 1977. - Т. 237, N. 3. - С. 525-528.

[54] Boiti М., Leon J. Jp., Pampinelli F. Bifurcations of solitons in multidimensions // Inverse probl. - 1990. - V. 6, N. 5. - P. 715-723.

[55] Ablowitz M.J., Haberman R. Nonlinear evolution equations - two and three dimensions // Phys. Rev. Lett. - 1975. - V. 35. - P. 1185-1188.

[56] Anker D., Freeman N.C. On the soliton solutions of the Davey-Stewartson equation for long waves // Proc. Roy. Soc. London A. - 1978. - V. 360. -P. 529-540.

[57] Davey A., Stewartson K. On the three-dimensional packets of surfase waves // Proc.R.Soc.London. Ser.A. - 1974. - V. 338. - P. 101-110.

[58] Djordjevic V.D., Redekopp L.G. On two-dimensional packets of capillary-gravity waves // J.Fluid Mech. - 1977. - V. 79. - P. 703-714.

[59] Fokas A.S., Ablowitz M.J. On the inverse scattering transform of multidimensional nonlinear equations related to first-order systems in the plane // J.Math.Phys. - 1984. - V. 25, N. 8. - P. 2494-2505.

[60] Fokas A.S., Santini P.M. Dromions and a boundary value problem for the Davey-Stewartson-1 equation // Physica D. - 1990. - V. 44. - P. 99-130.

[61] Freeman N.C., Davey A. On the evolution of packets of long surface waves // Proc. Roy. Soc. Lond. - 1975. - A344. - P. 427-433.

[62] Ghidaglia J.-M., Saut J.-C. Sur le problème de Cauchy pour les equations de Davey-Stewartson // C.R. Acad.Sci.Paris Ser.l. - 1989. - V. 308. - P. 115-120.

[63] Ghidaglia J.-M., Saut J.-C. On the initial value problem for the Davey-Stewartson systems // Nonlinearity. - 1990. - V. 3. - P. 475-506.

[64] Grimshaw R.H.J. The modulation of an internal gravity-wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. Appl. Math. - 1977. - V. 56. - P. 241-266.

[65] Grimshaw R.H.J. Evolution equation for weakly nonlinear long internal waves in rotating fluid // Stud. Appl. Math. - 1985. - V. 73, N. 1. - P. 1-34.

[66] Jeffrey A., Kawahara T. Asymptotic method in nonlinear wave theory. Pitman, Boston, 1982. - 256 p.

[67] Kano T., Nishida T. A mathematical justification for Kdv equation and Bussinesq equation of water surfase waves // Osaka J. Math. -1986. - V. 23. - N. 2. P. 389-415.

[68] Kelley P.L. Self-focusing of optical beams // Phys. Rev. Lett. - 1965. -V. 15. - P. 1005-1008.

[69] Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and ona new type of long stationary waves // Philos. Mag. Ser. 5. - 1895. - V. 39. - P. 422-443.

[70] Oikawa M., Chow K., Benney D.J. The propogation of nonlinear wave packets in a shear flow with a free surface // Stud. Appl. Math. -1987. -V. 76. - P. 69-92.

[71] Satsuma J., Ablowitz M.J. Two-dimensional lumps in nonlinear dispersive systems // J. Math. Phys. - 1979. - V. 20. - P. 1496-1518.

[72] Shakir'yanov M.M. Solvability of the Cauchy problem for the Davey-Stewartson-II equations // Nonlinear waves. Synchronization and patterns. 2. - 1995. - Nizhny Novgorod. - P.85-86.