Диффузионные и радиационные эффекты при нелинейном резонансном взаимодействии волн с потоками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Троицкая, Юлия Игоревна

• Троицкая, Юлия Игоревна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Троицкая, Юлия Игоревна

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 Асимптотические модели диффузионных эффектов при нелинейном резонансном взаимодействии волн с потоками

1.1 Введение

1.2 Нелинейный стационарный диссипативный критический

слой в стратифицированном сдвиговом потоке

1.2.1 Постановка задачи. Внешняя задача, скейлинг

1.2.2 Особенности асимптотического поведения средних полей при переходе через критический слой

1.2.3 Внутренняя задача. Спектральная модель диссипа-тивного" нелинейного критического слоя

1.2.4 Численное определение параметров нелинейного дис-сипативного критического слоя

1.3 Нелинейный квазистационарный диссипативный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке

1.3.1 Введение

1.3.2 Постановка задачи. Качественные особенности течения в окрестности критического слоя

1.3.3 Нелокальная структура среднего потока, обусловленная процессами диффузии

1.3.4 Автомодельная деформация среднего течения в диффузионном пограничном слое

1.3.5 Волновые возмущения п диффузионном пограничном

1.3.6 Правила обхода квазистаиионарного диссипативно*-

нелинейног-о критического слоя

1.4 Нелинейные диффузионные эффекты при излучении волн источниками'в потоках с резонансными слоями

1.5 О деформации функции распределения-электронов при нелинейном затухании Ландау ленгмюровской волны в слабо-столкновительной плазме

1.6 Выводы

2 Резонансные эффекты при излучении волн локализованными источниками в потоках с переменной плотностью (линейные и квазилинейные модели)

2.1 Введение

2.2 Сопротивление излучения двумерных источников в стратифицированных сдвиговых потоках при наличии критических слоев

2.2.1 Радиационная сила, действующая на двумерное возвышение поверхности

2.2.2 Особенности радиационной силы, действующей на цилиндрический источник, движущийся над твердой поверхностью

2.3 Особенности сопротивления излучения трехмерных источников при наличии критических слоев

2.4 Квазилинейная модель деформация потока при обтекании случайно- неоднородной топографической неоднородности

2.4.1 Постановка задачи

2.4.2 Приближение больших чисел Ричардсона

2.5 Выводы

3 Эффекты турбулентной диффузии при взаимодействии поверхностных волн с ветром,

3.1 Введение

3.2 Модели генерации поверхностных волн турбулентным воздушным потоком

3.2.1 Невозмущенное течение

3.2.2 Уравнения гидродинамики в криволинейных координатах, зависящих от времени

3.2.3 Волновые возмущения турбулентных напряжений. Модель вязко-упругой турбулентности

3.2.4 Дисперсионное уравнение для поверхностных волн в присутствии турбулентных сдвиговых потоков в воде

и воздухе. Численная процедура

3.2.5 Энергообмен поверхностной волны с турбулентными потоками в воде и воздухе

3.2.6 Сравнение с имеющимися экспериментальными и теоретическими результатами

3.3 О нелинейных эффектах при взаимодействии волн на воде с

турбулентным ветром

3.3.1 Основные уравнения

3.3.2 Квазилинейное приближение

3.3.3 Численная модель и расчет инкремента

3.4 Эволюционное уравнение для слабонелинейных ветровых

волн на поверхности вязкой жидкости конечной глубины

3.4.1 Пороговые значения скорости ветра и волнового числа для волн на воде конечной глубины

3.4.2 Нелинейная поправка к фазовой скорости периодической волны на поверхности бесконечно глубокой жидкости (консервативная задача)

3.4.3 Вычисление коэффициентов уравнения Гинзбурга-Ландау

3.5 Квазилинейная модель генерации турбулентным ветром волн

на воде, покрытой упругой пленкой

3.5.1 Эволюционное уравнение для слабо-нелинейных волн вблизи порога устойчивости

3.5.2 Пороговые значения параметров задачи

3.5.3 Нелинейная поправка к инкременту

3.6 Выводы

Влияние модуляции инкремента коротких поверхностных волн на трансформацию их спектра в присутствии длинных волн (линейные и квазилинейные модели)

4.1 Введение

4.2 Формулировка проблемы и общие уравнения

4.2.1 Имеющиеся экспериментальные результаты

4.2.2 Основные механизмы модуляции коротких волн в присутствии длинных

4.2.3 Уравнения гидродинамики для двухмасштабных волновых возмущений

4.2.4 Модель вязко-упругой турбулентности

4.2.5 Дисперсионные соотношения для длинных и коротких волн в системе вода-воздух

4.3 Модуляция ветрового инкремента коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Линейное приближение

4.3.1 Квазиламинарная модель Майлса

4.3.2 Модель отрицательной турбулентной вязкости

4.3.3 ' Градиентная модель турбулентного пограничного

слоя

4.3.4 Трансформация спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных

4.4 Влияние нелинейности ветровых волн на их модуляцию в присутствии длинных поверхностных воля

4.4.1 Нелинейная релаксационная модель трансформации спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных

4.4.2 Среднее течение и длинноволновое возмущение

4.4.3 Коротковолновое возмущение

4.4.4 Расчет коэффициента модуляции инкремента и гидродинамической модуляционной передаточной функции

4.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиография

1 ^ ^ ГЦ .Сл х х 11 Л/

Исследование взаимодействия волн с потоками занимает значительное место в различных областях физики: механике жидкости и газа, включая геофизическую гидродинамику [1, 2, 3, 4, 5, б, 8, 9], физике плазмы [10, 11, 12, 13, 14, 15], астрофизике [16, 17]. В последнее время интенсивно развивается универсальный подход к описанию и интерпретации взаимодействий между волнами и потоками на языке коллективных явлений. Понятие "коллективные явления" впервые было использовано в физике плазмы при описании макроскопических процессов, происходящих при взаимодействии волн с частицами [15]. В настоящее время этот термин используется более широко. При этом представление о частицах, их распределении и силах взаимодействия определяется физической природой рассматриваемых сред.

Так в разреженной плазме частицами являются реальные электроны и ионы, свободно движущиеся в электрических и магнитных полях, а статистической характеристикой, описывающей их коллективные свойства, является функция распределения по скоростям [15]. Развитие плазменно-гидродинамической аналогии показало, что к описанию взаимодействия волн с плоскопараллельными гидродинамическими потоками применимы1 подходы, развиваемые в бесстолкновительной плазме [11, 12, 18, 19, 21, 20, 22, 23]. При этом роль частиц играют макроскопические объемы среды. И может быть задана функция распределения таких частиц, определяемая зависимостью скорости потока от поперечной координаты [24]. Сравнительно недавно было показано [25], что на языке коллективных явлений также может быть рассмотрено адиабатическое взаимодейстивие длинных и коротких волн. При этом аналогом частиц являются пакеты коротких волн, а их распределение задается спектром волнового действия. Кроме

того, подход, основанный на идеологии коллективных взаимодействий, используется в астрофизике при описании волн в гравитирующих системах с вращением [16, 17]. Несмотря на общие закономерности, взаимодействие волн с потоками в разных средах имеет свои особенности, иногда облегчающие, а иногда затрудняющие рассмотрение конкретных явлений, В связи с этим взаимное влияние исследований в разных областях имеет существенное значение.

В настоящей диссертации рассматривается резонансное взаимодействие волн с потоками, при котором фазовые скорости волн совпадают со скоростями определенной части частиц потока. Наиболее известным примером такого взаимодействия является линейное и нелинейное затухание Ландау продольных волн пространственного заряда на электронах разреженной плазмы [14, 10]. Его аналогом в общей теории нелинейных волн является адиабатическое взаимодействие длинных и коротких волн в условиях группового синхронизма, когда фазовая скорость длинных волн близка к групповой скорости коротких [25]. Необходимость рассмотрения резонансного взаимодействия волн с потоками возникает и в гидродинамике при исследовании устойчивости плоско-параллельных потоков, например, пограничного слоя или слоя смешения [26, 4, 5, 8]. При этом в задачах геофизической гидродинамики становятся существенными эффекты плавучести, обусловленные плотностной стратификацией жидкости в вертикальном направлении [27, 28, 5]. К рассмотрению аналогичного резонансного взаимодействия волна-частица сводится и задача о нелинейном взаимодействии спиральной волны со звездами вблизи радиуса коротации в дисках галактик [20].

Наиболее просто волны малой амплитуды в потоках можно описать в линейном приближении, пренебрегая диссипативными эффектами (столкновениями частиц, вязкостью и т.п.). В этом случае уравнение, описывающее гармонические волновые возмущения (линеаризованное уравнение Власова, уравнение Рэлея, уравнение Тейлора-Гольдштейна и т.п.), име-

ет особенность в резонансной точке. Это означает, что в некоторой ее окрестности .линейное 'бездмссипативное приближение неприменимо, и необходимо учитывать ряд дополнительных факторов: конечность амплитуды волновых полей (нелинейность), диссипацию, конечность ширины спектра волновых полей или комбинацию этих факторов. При этом область, в которой существенны указанные факторы, в гидродинамике называется критическим слоем (нелинейным, диссипативным, нестационарным или диссипативно- нелинейным и т.п. в зависимости от учтенных факторов). В физике плазмы критическому слою (КС) можно поставить в соответствие область захваченных частиц.

Если перечисленные выше факторы достаточно слабы, то их влияние существенно только внутри резонансной области. Во внешней области для волновых полей применимо линейное бездиссипативное стационарное приближение. При этом для описания взаимодействия волны с потоком применим метод Сращиваемых асимптотических разложений, разработанный применительно к задачам гидродинамики [29].

К настоящему времени наиболее изучено резонансное взаимодействие волн с потоками в бездиссипативном приближении, начиная с работы Ландау [30] о резонансном затухании волны пространственного заряда на электронах плазмы, и работ Кейза и Дикого [31, 32, 33] о гидродинамической устойчивости плоскопараллельных потоков, где были выведены правила обхода особых (резонансных) точек на основе решения линейной начальной задачи. Как в теории плазмы [34, 35], так и в гидродинамике [36, 37, 38, 18], в бездиссипативном приближении было рассмотрено резонансное взаимодействие потока с волной конечной амплитуды. Причем в [18] была показана не просто качественная применимость плазменно-гидродинамической аналогии, но и доказана тождественность эволюционных уравнений, описывающих взаимодействие волна-ноток в бесстолкновительной плазме и плоскопараллелыюм потоке невязкой жидкости. В геофизической гидродинамике в бездиссипативном приближении изучалось падение внутрен-

ней гравитационной волны на стратифицированный сдвиговый поток с КС, причем задача решалась как в линейном [39],'так и в нелинейном приближении [40, 41, 42]. При этом оказывается, что линейные уравнения для волновых полей в стратифицированном -сдвиговом потоке тождественны уравнениям, описывающим колебания электрического потенциала, в волнах пространственного заряда в сильно замагниченной плазме с неоднородным профилем скох>ости [11, 43]. В бездиссипативном приближении энергообмен волны с потоком имеет место в узкой резонансной области (КС, области захвата и т.п.). В этой же области происходит деформация распределения частиц (образования "плато" на функции распределения частиц плазмы, выравнивание профиля завихренности сдвигового потока и т.п.).

Бездиссипативное приближение применимо для достаточно быстро протекающих процессов. Для изучения асимптотики поведения системы волна-поток на больших временах необходимо учитывать диффузию его частиц в пространстве, на котором задано их распределение. В случае частиц плазмы - это пространство скоростей; в случае адиабатического взаимодействия длинных и коротких волн - пространство волновых чисел коротких волн; в случае КС в сдвиговом потоке - физическое пространство. При этом возникают новые нелинейные эффекты, причем сколь угодно слабая диффузия на достаточно больших временах приводит к принципиальному изменению картины деформации среднего распределения частиц по сравнению с бездиссипативным случаем.

Диффузионные процессы в разных пространствах описываются, соответственно, различными функционалами (интеграл столкновений Ландау в плазме [14], дифференциальный вязкий оператор в гидродинамике ньютоновской жидкости, дифференциальная аппроксимация 'интеграла столкновений в форме Фоккера-Планка [14] и т.п.). Наиболее простое описание диффузии существует в гидродинамике. Именно поэтому совместный эффект нелинейности и диффузии был впервые рассмотрен в гидродинамической задаче о квазистационарном КС в плоскопараллельном потоке

однородной несжимаемой жидкости, скорость которого меняется в поперечном направлении [44]. Впоследствии этот эффект был рассмотрен для случая слабостратифицированной жидкости [45], -

Взаимодействие волна-поток происходит следующим образом. Внутри КС действует радиационная сила, которая в стационарном случае уравновешивается. вязкой силой. При этом в КС действует источник завихренности. Из-за наличия вязкости происходит диффузия завихренности. В результате ее асимптотические значения по разные стороны от КС оказываются различными. Это означает, что деформация потока становится нелокальной. Построение теории, описывающей подобные эффекты в потоках с сильной устойчивой стратификацией является важной нерешенной проблемой геофизической гидродинамики, а также представляет интерес с точки зрения общей теории нелинейных волн. Кроме того, представляется важным изучение нелокальных диффузионных эффектов в потоках другой физической природы, например, в плазме, при учете диффузии распределения частиц в пространстве скоростей.

Резонансное взаимодействие волн с потоками может сопровождаться как поглощением, так и усилением волн в зависимости от знака их энергии и распределения частиц потока. При наличии поглощения стационарное поле волн может существовать только при наличии внешних источников. В связи с этим возникает проблема, связанная с описанием излучения источниками волн, находящихся в резонансе с потоком. Достаточно просто такая задача решается в случае, когда источник излучает гармонические волны. При этом возможно рассмотрение излучения как линейных, так и нелинейных волн. В более реалистичном случае локализованных источ-, ников проблема описания излучения волн в неоднородных потоках очень сложна, и ранее она изучалась только при отсутствии резонанса между излучаемыми волнами и потоком [46, 47, 48]. При наличии резонанса эта задача допускает достаточно простое аналитическое решение лишь в линейном приближении, когда для обхода особенности в резонансной точке

используется правило Ландау [14] или Линя [26]. При этом в квазилинейном приближении может быть исследована деформация среднего потока, которая вызывается его резонансным взаимодействием с нолем волн, излучаемых шумовым источником: с конечной шириной спектра. В случае двумерных плоскопараллельных потоков подобная задача была рассмотрена в [49]. При учете трехмерности потоков могут возникнуть к новые эффекты.

Ряд специфических особенностей взаимодействия волны с потоком возникает при наличии сильной диффузии. Необходимость рассмотрения такого случая возникает в задаче о генерации поверхностных волн турбулентным ветром, которая имеет важное геофизическое приложение. При этом рассматривается волновое возмущение в двуслойной жидкости вода-воздух, где в воздухе имеется турбулентный сдвиговый поток - ветер, а в воде - дрейфовое течение. Причем из-за большой разницы плотностей воды и воздуха эта задача аналогична задаче о взаимодействии плазменных волн со слабым пучком частиц. При наличии сильной, типичной для турбулентных потоков, диффузии завихренности критический слой становится широким, и, кроме того, имеет место интенсивная диффузия завихренности из его окрестности. В этих условиях основным нелинейным эффектом при взаимодействии волн с ветром является деформация профиля скорости среднего течения, которая обусловлена эффектом детектирования. Генерация высших гармоник при этом выражена существенно слабее, поэтому при описании нелинейного взаимодействия волн с потоками с хорошей степенью точности можно пользоваться квазилинейным приближением [50]. Следует подчеркнуть, что оно отличается от традиционного квазилинейного приближения, применяемого в физике плазмы [10] (использованного [51] для описания взаимодействия волн с ветром), когда волны имеют широкий спектр и случайные фазы. В условиях сильной турбулентной диффузии квазилинейное приближение применимо и к узкополосным волновым возмущениям.

Нелокальная деформация среднего потока, вызванная диффузионными

процессами, оказывается основным нелинейным эффектом, который приводит к ограничению роста волн в потоках. Данное обстоятельство особенно существенно при изучении слабонадкритической генерации волн. К настоящему времени проведен расчет только для нелинейного затухания волн в жидкости [52], а для нелинейной поправки к ветровому инкременту сделана лишь оценка [53]. Использование квазилинейного приближения позволяет количественно определить нелинейную поправку к ветровому инкременту, входящую в коэффициенты уравнения Гинзбурга-Ландау, описывающего генерацию поверхностных волн на воде при различных граничных условиях на дне и поверхности.

Проблема генерации волн ветром тесно связана с проблемой взаимодействия длинных и коротких поверхностных волн, возникающей при построении теории радиоизображения длинных волн на воде [54, 55, 56, 57]. В последнее десятилетие активно обсуждается роль модуляции ветрового инкремента брегговской компоненты спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Она вызывается различными условиями генерации коротких волн вдоль фазы длинной волны [54, 58, 59, 60, 57, 56]. Наблюдения показывают [61], что гидродинамическая модуляционная передаточная функция (МПФ), описывающая трансформацию брегговской компоненты поверхностных волн в присутствии длинных, характеризуется большим абсолютным значением и фазой, имеющей большой разброс, но в большинстве случаев близкой к нулю. Большие значения модуля гидродинамической МПФ могут быть объяснены в рамках линейной модели [83] Для объяснения же зависимости ее фазы от периода длинной волны оказывается необходимым учет нелинейных эффектов взаимодействия поверхностных волн с ветровым потоком и его длинноволновым возмущением. Грубая модель такого рода, основанная на обобщении эмпирических данных о генерации волн ветром, была недавно предложена в работе [56]. Однако последовательные теоретические модели к настоящему времени не разработаны.

Итак, проблемы, рассматриваемые в настоящей диссертации, представляют собой разные аспекты теории нелинейного резонансного взаимодействия волн с потоками. Они относятся к общей теории нелинейных волн, представляющей собой раздел современной радиофизики. Несмотря на то, что в диссертации рассмотрены в основном гидродинамические потоки (за исключением одного примера из физики плазмы), полученные результаты могут быть использованы в других разделах нелинейной физики.

Основной целью диссертации является развитие теории нелинейного резонансного взаимодействия волн с потоками с учетом нелокальных эффектов, вызванных совместным действием диффузии и радиационных сил.

В соответствие с поставленной целью сформулируем конкретные задачи, решаемые в работе.

- построение асимптотической теории нелинейного диссипативного кри-

тического слоя в динамически устойчивом стратифицированном сдвиговом потоке;

- изучение особенностей радиационной силы, действующей на препятствия

в стратифицированных сдвиговых потоках с критическими слоями;

- развитие слабонелинейной теории генерации волн ветром при различных

условиях на поверхности воды;

- разработка теории, описывающей трансформацию спектра коротких по-

верхностных волн полем длинных с учетом эффекта модуляции нелинейного ветрового инкремента коротких волн, на основе развитой нелинейной теории генерации волн ветром.

Актуальность поставленных задач обусловлена как общетеоретическим интересом к. исследованию диссипативных и радиационных, эффектов в теории нелинейного взаимодействия волн с потоками, так и их значением в геофизических приложениях.

Опишем структуру и содержание диссертации. Ока состоит из введения, -••-х гла;}. .и заключения.

1-я глава посвящена развитию асимптотической теории, описывающей .диссипативные эффекты при нелинейном резонансном взаимодействии волн малой, но конечной амплитуды с потоками в случае слабой диффузии. При этом эффективное взаимодействие волны с потоком происходит в узкой области пространства, на котором задано распределение эффективных частиц, где их скорость близка к фазовой скорости волны. При этом в такой области происходит существенное возрастание амплитуд и градиентов волновых полей, в результате чего становятся существенными нелинейные и диффузионные эффекты. Рассмотрены случаи, когда соотношение нелинейных и диффузионных эффектов произвольно, т.е. волновые поля внутри резонансной области являются, вообще говоря, сильно нелинейными. Напротив, вне резонансной области нелинейность и диссипация пренебрежимо малы. В этом случае для описания волновых полей может быть использован метод сращиваемых асимптотических разложений. Появление резонансных областей означает возникновение неравновесности распределения частиц потока, осредненного по волновым возмущениям, а диффузионные процессы приводят к нелокальному эффекту деформации всего распределения частиц (а не только его узкой резонансной области).

В качестве примера, демонстрирующего особенности такого взаимодействия волн с потоками, подробно исследовано резонансное взаимодействие внутренних гравитационных волн малой амплитуды е с потоками жидкости или газа, в которых скорость 1}и плотность ро{г) неоднородны по вертикали. Рассмотрены особенности течения жидкости в окрестности критического слоя (КС), где фазовая скорость волны совпадает со скоростью потока,. Рассмотрен случай динамически устойчивого потока, в котором градиентное число Ричардсона Кг > 1/4.

В §1.2 рассмотрен стационарный нелинейный днссипативный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке с Ш > 1/4. Показано, что за счет нелинейного взаимодействия внутренней гравитационной волны с течением устанавливается течение, в котором асимптотические зна-

чения завихренности по разные стороны от КС постоянны, но различны. Происхождение перепада средней завихренности связано со следуюпшм. При переходе через КС волновой поток импульса испытывает скачок. Это означает, что в КС действует горизонтальная радиационная сила, которая в стационарном случае должна быть уравновешена вязкой силой. При этом и возникает скачок завихренности через КС. Аналогичный скачок градиента плотности при переходе через КС отсутствует, т.к. отсутствует вертикальный поток массы во внутренних волнах. Таким образом, значения чисел Ричардсона по разные стороны от КС различны. Кроме того существуют перепады средних скорости и плотности через КС порядка

Величина скачка завихренности зависит от параметра нелинейности Л (обратного значения вертикального числа Рейнольдса в окрестности КС) и растет при стремлении Л к нулю, т.е. с ростом амплитуды падающей волны. Волна, падающая на КС, испытывает отражение и частично проходит. Построены зависимости скачка завихренности и коэффициентов отражения и прохождения волны при нескольких значениях числа Ричардсона. Интересная особенность течения возникает, когда Л стремится к нулю. В этом случае значение сдвига скорости с той стороны, с которой падает волна, стремится к значению, при котором Ш=1/4, коэффициент отражения стремится к минус единице, а коэффициент прохождения - к нулю. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [64, 66].

В §1.3 изучается асимптотическое поведение на больших временах гидродинамических полей стратифицированного сдвигового потока с Ел >1/4, при падении на него волны, фазовая скорость которой совпадает со скоростью потока на некотором уровне. Как показано в §1.2, возникает скачок завихренности (или "излом" профиля скорости) в окрестности КС. Это означает, что возмущение среднего профиля скорости растет с расстоянием от КС. В силу принципа причинности, на большом расстоянии от КС эти возмущения должны стремиться к нулю. Течение, удовлетворяющее этим условиям реализуется при учете нестационарного

процесса диффузии завихренности из критического слоя за счет вязкости. При этом формируется переходная область от КС к невозмущенному течению, названная диффузионным пограничным слоем (ДПС), а резонансная область волны с потоком (КС) смещается по направлению к падающей волне. В случае постоянства перепада завихренности через КС смещение КС пропорционально \Д (где Ь - время от начала взаимодействия волны с потоком), а профиль скорости в ДПС является автомодельным. При этих условиях вычислены все характеристики течения в окрестности КС (значения завихренности по обе стороны от КС, коэффициенты отражения и прохождения и т.п.), которые являются функциями только параметра нелинейности Л и числа Ричардсона.

Трансформация волнового поля на КС происходит следующим образом. Волна, падающая из области невозмущенного среднего течения сначала отражается от диффузионного погранслоя, расположенного выше КС, с коэффициентом отражения 72., далее падает на КС, от которого она тоже частично отражается с коэффициентом К и частично проходит через него, и, наконец, отразившись от диффузионного погранслоя ниже КС проходит в область невозмущеиного течения. В то,же время, при этих условиях в невозмущенной в невозмущенной области течения амплитуда падающей волны А и ее коэффициент отражения 71 зависят от времени, поскольку волна отражается от неоднородного профиля завихренности в ДПС, который зависит от времени. Другими словами, для реализации постоянного перепада завихренности требуется специальный источник волн. Результаты, полученные в этом параграфе, представлены в [65, 72]

В случае произвольного источника перепад завихренности через КС зависит от времени, и течение в ДПС не является автомодельным. В §1.4 рассмотрен пример, когда источником ВГВ является поверхность синусоидальной формы, помещенная в поток. Для случая малого коэффициента отражения волны от КС и ДПС найдены характеристики течений в этих областях. Показано, что зависят от времени по характерному закону

cos Int. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [72]

В §1.5 рассмотрено резонансное взаимодействие продольных волн пространственного заряда с электронами плазмы с учетом столкновений. Использован модельный интеграл столкновений в форме Фоккера-Планка, описывающий диффузию распределения электронов в пространстве скоростей. Показано, что за счет диффузии возникает деформация функции распределения не только в резонансной области, но и за ее пределами. Для случаю, когда период затухания ленгмюровской волны велик по сравнению со временем диффузии функции распределения на масштабах тепловых скоростей, найдена квазистационарная форма функции распределения. Определена величина декремента нелинейного затухания Ландау продольной волны электронной плотности конечной амплитуды при произвольном соотношении частоты столкновений электронов и периода колебаний захваченных электронов.

Во 2-й главе рассмотрены примеры резонансного взаимодействия волн с потоками в случае, когда возмущение создается внешним источником, имеющим спектр конечной ширины. Рассмотрена генерация внутренних гравитационных волн в потоках с переменными скоростями и плотностями при наличии критических слоев. При этом предполагается, что амплитуда излучаемых волн достаточно мала, так что справедливо линейное правило обхода Линя (аналог правила обхода Ландау) особенности в уравнении для волновых полей. При этом значительное внимание уделяется расчету радиационной силы, действующей на препятствие, поскольку она, в свою очередь, определяет силовое воздействие волн на поток и деформацию его профиля скорости. Такая деформация рассчитана с использованием квазилинейного приближения, аналогичного используемому в физике плазмы.

В §2.2 исследовались качественные особенности влияния сдвига скорости на радиационную силу, действующую на двумерные локализованные препятствия, обтекаемые динамически устойчивым стратифицированным сдвиговым потоком, в случае, когда излучаемые подветренные волны име-

ют критический слой. Вначале рассмотрено препятствие в виде двумерного локализованного возвышения на подстилающей поверхности. В этом случае основным эффектом, который является следствием сильного изменения рефракции внутренних волн вблизи критического слоя, является расширение спектра волн, уносящих энергию от поверхности, по сравнению со случаем потока с однородным профилем скорости, в котором волны с волновыми числами к > N/110 являются неизлучаемыми (ЛГ - частота плавучести, ¿Уо - скорость обтекания препятствия). Прямым следствием этого эффекта является сильное (примерно в 10 раз при Ш, близком к 1/4) возрастание радиационной силы в сдвиговом потоке по сравнению с однородным при больших числах Фруда, когда все гармоники вносят вклад в радиационную силу. Существенное возрастание радиационной силы: имеет место и при Рт ~ 1, когда излучение волн наиболее эффективно, (при Рг = 1 и Ш — 1 она возрастает примерно в 1.5 раза). В случае же Рг << 1, когда радиационная сила определяется длинными волнами, его величина несколько падает из-за уменьшения коэффициента возбуждения длинных волн в присутствии сдвига.

Также в §2.2 рассчитана радиационная сила, действующая на цилиндрическое тело, расположенное на некоторой высоте над подстилающей поверхностью, моделируемое источником массы, Показано, что радиационная сила складывается из волновых потерь за счет поглощения в КС волн, излучаемых телом, и горизонтальной компоненты подъемной силы возникающей в потоке с завихренностью в присутствии волновой вертикальной компоненты скорости. Получены зависимости составляющих радиационной силы от параметров задачи: чисел Фруда и Ричардсона и отношения размеров источника и расстояния от источника до поверхности. Результаты, представленные в §2.2, получены в работах [67, 68, 70, 73].

В §2.3 исследованы качественные особенности радиационной силы, действующей на трехмерные локализованные возвышения подстилающей поверхности, обтекаемые потоками, меняющими направление с высотой. По-

казано, что для неплоскопаралельных потоков появление критического слоя при излучении волн, вызванных обтеканием препятствия на поверхности, является универсальным явлением. При этом вклад в радиационную силу вносит излучение собственных мод волновода для внутренних волн, возникающего в сдвиговом потоке (они имеют дискретный спектр), а также мод сплошного спектра, которые имеют либо критические слои, либо ненулевой вертикальный поток импульса на бесконечности. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [69, 71].

В §2.4 исследована деформация профиля скорости потока за счет резонансного взаимодействия с волнами, излучаемыми при обтекании статистически однородного случайного поля возвышений подстилающей поверхности. Рассмотрен поток, вектор скорости которого меняет направление на противоположное в пределах слоя конечной толщины. При больших числах Ричардсона и малых числах Фруда в квазилинейном приближении выведены уравнения для компонент скорости среднего течения. Показано, что модуль скорости потока не меняется во времени, а угол, определяющий его направление удовлетворяет уравнению простых волн Римана. Показано, что при малых числах Фруда и больших числах Ричардсона деформация потока определяется средней силой волнового сопротивления, действующей на единицу площади поверхности. При этом испытывает искажения профиль скорости потока в слое от поверхности до уровня, на котором он меняет направление на противоположное. На больших временах вектор скорости потока в этом слое стремится к направлению, противоположному его направлению у поверхности. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [74, 75].

В 3-й главе рассмотрено резонансное взаимодействие волн с потоком в условиях сильной диссипации. При этом эффективное взаимодействие волн с потоком происходит в некоторой широкой области, часто не связанной с резонансным уровнем. В то же время, присутствие резонансного уровня остается существенным, поскольку именно оно может обеспечить измене-

ние знака энергии волн или диссипации и, как следствие, нарастание волн. Кроме того, присутствие даже, слабо выраженного резонанса приводит к увеличению амплитуды волновых полей и усилению нелинейных эффектов. При этом наиболее существенным нелинейным эффектом .является деформация потока, осредненного по волновым возмущениям, т.е. эффект детектирования. Другой эффект второго порядка по амплитуде, генерация 2-й гармоники, оказывается существенно слабее. Это дает возможность использовать квазилинейное приближение даже для квазимонохроматических волн. Случай генерации узкого волнового пакета реализуется при малом превышении порога генерации. При этом квазилинейное приближение может быть применено для расчета нелинейной поправки к инкременту, которая входит в эволюционное уравнение Гинзбурга-Ландау, описывающее слабонадкритическую генерацию.

Нелинейные диссипативные эффекты в случае сильной диффузии рассмотрены на примере генерации волн на воде турбулентным ветром. В нем диффузия средней завихренности описывается коэффициентом турбулентной вязкости, значение которого намного превышает молекулярную.

В §3.2 построена модель турбулентного ветрового пограничного слоя над взволнованной водной поверхностью, учитывающая турбулентное ветровое дрейфовое течение в воде, которая используется в дальнейшем для изучения нелинейного взаимодействия волн с ветром. Модель основана на использовании уравнений Рейнольдса в криволинейных координатах, в которых одна из координатных линий совпадает с поверхностью, искривленной волной. Для аппроксимации волновых возмущений турбулентных напряжений в воде1 и воздухе используются различные гипотезы замыкания: ¡[) градиентная модель, в которой используется эффективный коэффициент вязкости невозмущенного потока, 11) вязко-упругая модель с комплексным коэффициентом вязкости, 111) квазиламинарная модель, в которой пренебрегается волновыми возмущениями турбулентных напряжений. Сравниваются результаты расчета ветрового инкремента поверхностных

волн сантиметрового диапазона, полученные в рамках различных моделей. Дана физическая интерпретация полученных результатов на основе анализа потоков энергии к волнам от сдвиговых течений в воде и воздухе. В рамках вязко-упругой модели получено хорошее количественное согласие расчетов ветрового инкремента и фазовой скорости волн на поверхности воды, обдуваемой турбулентным воздушным потоком, с данными лабораторных измерений. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [76, 77].

В §3.3 построена квазилинейная модель генерации волн на воде турбулентным ветром. Данная модель отличается от известной квазилинейной модели [51, 119]. Она применима не только для волн с непрерывным широким спектром, но и для квазимонохроматы. При этом пренебрежение генерацией высших гармоник возможно ввиду сильной турбулентной диффузии в воздушном потоке. Изучено поведение амплитудной зависимости скорости роста волны и добавки к средней скорости ветра вдали от поверхности в широком диапазоне длин волн и скоростей трения ветра. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [78, 79].

В §3.4 построена модель генерации гравитационно-капиллярных волн на воде конечной глубины турбулентным ветром вблизи порога устойчивости. На основании численной модели в линейном приближении определены пороговые значения скорости трения ветра и волнового числа наиболее неустойчивого возмущения в зависимости от глубины жидкости. Вблизи порога устойчивости рассчитаны нелинейные компоненты вязкого декремента волн и их и их ветрового инкремента. Для этого применен метод, основанный на использовании ортогональных криволинейных координат, в которых координатные линии близки к линиям тока вне вязких пограничных слоев вблизи поверхности и дна. Вычислены коэффициенты уравнения Гинзбурга-Ландау, справедливого в случае, когда волновое число наиболее неустойчивого возмущения не совпадает со значениями, при которых наблюдаются основная гармоника находится в резонансе со второй гармо-

никой и со средним течением. Результаты, полученные в этом параграфе,

изложены в [80].

Аналогично §3.4 в §3.5 предложена модель слабонадкрйтической. генерации гравитационно-капиллярных волн на поверхности воды, покрытой „ упругой пленкой. В линейном приближении определены' пороговые параметры генерации волн (минимальная скорости трения ветра и волновое число) как функции модуля упругости пленки. Вблизи порога устойчивости выведено эволюционное уравнение для волновых возмущений, в котором нелинейная поправка к их ветровому инкременту рассчитана в рамках квазилинейной модели. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [81].

4-я глава носит прикладной характер. В ней нелинейная модель генерации волн на воде ветром, развитая в гл.З, применяется к проблеме трансформации спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Эта проблема возникает при построении теории радиоизображения длинных поверхностных волн, поскольку короткие поверхностные волны обусловливают рассеяние радиоволн на морской поверхности в соответствие с механизмом Брегга. При этом модуляция, коротких (брегговских) поверхностных волн определяет гидродинамическую компоненту модуляционной передаточной функции рассеянного радиосигнала (гидродинамическую МИФ). В последнее время широко обсуждается механизм трансформации коротких поверхностных волн в присутствии длинной волны за счет вариации их ветрового инкремента [54, 56, 57]. Различные модели этого эффекта, их следствия и влияние на трансформацию спектра коротких поверхностных волн рассматривается в 4-й главе.

В §4'.2. приводятся результаты наблюдений модуляции коротких поверхностных волн в присутствии длинных, обсуждаются ее основные физические механизмы. Внимание акцентируется на механизме модуляции инкремента коротких волн в присутствии длинных. Выводятся основные уравнения, описывающие возмущения в воздухе, обусловленные двухмасштабным

возмущением на поверхности воды, в "двойных криволинейных" координатах, в которых одна их координатных линий совпадает с поверхностью воды, искривленной длинной волной и полем коротких волн на ее фоне. Результаты, полученные в этом параграфе, описаны подробно в [85].

В §4.3 приводятся расчеты модуляции линейного инкремента коротких поверхностных волн в присутствии длинных в рамках 3-х моделей турбулентного пограничного слоя над взволнованной водной поверхностью: квазиламинарной модели Майлса, грубой модели "отрицательной вязкости" и градиентной модели турбулентного пограничного слоя над взволнованной водной поверхностью. При этом оценки трансформации спектров коротких волн в присутствии длинных показывают, что значения модуля гидродинамической МПФ рассчитанные с учетом модуляции их линейного инкремента, оказываются близкими к экспериментально измеренным При этом их величины намного превосходят единицу и растут с периодом длинной волны. А фаза коэффициента модуляции оказывается близкой к — ж, что противоречит экспериментальным данным. Результаты, полученные в этом параграфе, изложены в [82, 83, 84, 85, 87].

В §4.3 рассмотрена модельная задача о трансформации коротких ветровых волн в присутствии волны зыби, имеющей частоту много меньшую энергонесущей в спектре ветровых волн. Для таких низкочастотных волн модуляция ветрового инкремента коротких волн (являющейся одной из гармоник в спектре ветровых волн) определяется модуляцией турбулентного касательного напряжения. Как было показано в §3.3, нелинейное взаимодействие волн с ветром приводит к появлению постоянной добавки к скорости ветра, которая эквивалентна изменению параметра шероховатости логарифмического профиля скорости ветра. В присутствии волны зыби возникает модуляция этого параметра. Это вызывает дополнительную модуляцию длинноволнового возмущения турбулентного вязкого напряжения по сравнению с линейным случаем, когда, как это показано в §4.2, его колебания находятся в противофазе с возвышением водной поверхности. При

этом уменьшается фазовый сдвиг коэффициентов модуляции турбулентного касательного напряжения и ветрового инкремента по отношению к возвышению поверхности в длинной волне.

Расчет нелинейного эффекта модуляции параметра шероховатости проводился в квазилинейном приближении, аналогичном используемому в физике плазмы. Коэффициент модуляции спектра коротких (брегговских) волн рассчитывался'в рамках релаксационной модели с учетом коэффициента модуляции инкремента. Для аппроксимации спектра ветровых волн использовался спектр Л(ЖБ\УАР. Расчеты показали, что учет нелинейной деформации профиля скорости ветра при расчете модуляции инкремента дает значения модуля коэффициента модуляции 5-15 и значения фазы 0-60° для волн зыби с частотами 0.1-0.3 сек и сантиметровых брегговских волн, что соответствует имеющимся натурным данным [62, 63]. Результаты, полученные в этом параграфе, кратко представлены в [86, 87].

В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации.

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту

1. Теория вязко-диффузионного критического слоя в динамически устой-

чивом стратифицированном сдвиговом потоке

2. Расчет радиационных сил, действующих на препятствие в потоках, в

которых излучаемые волны имеют критические слои

3. Слабо-нелинейная теория генерации поверхностных волн, возбуждае-

мых турбулентным ветром при различных граничных условиях на дне и поверхности воды.

4. Теория трансформации коротких поверхностных волн в присутствии

длинных, учитывающая модуляцию ветрового инкремента, рассчитанного в рамках квазилинейной модели генерации волн ветром.

Результаты, изложенные в диссертации докладываясь на семинарах ИПФ РАН, факультете математики Университета, г.Берген (Норвегия),

на XXII Ассамблее Европейского геофизического общества (Гаага,1996), II и III Европейских конференциях по механике жидкости (Варшава,1994, Геттинген,1997), II Международной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Нижний Новгород,1994), Международной конференции "Динамика атмосферы и океана" (Москва, 1995), школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва 1992, 1993, 1994).

Результаты опубликованы в центральных российских и международных журналах. Основные результаты изложены в работах [64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87].

Глава 1. Асимптотические модели диффузионных эффектов при нелинейном, резонансном взаимодействии волн с потоками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диффузионные и радиационные эффекты при нелинейном резонансном взаимодействии волн с потоками»

1.1 Введение

Настоящая работа посвящена общей проблеме изучения диффузионных эффектов при резонансном взаимодействии волн с потоками, когда некоторая часть частиц потока имеет скорости близкие к фазовым скоростям волн. В настоящей главе будет изучен частный случай, допускающий построение асимптотической теории, когда с потоком взаимодействует монохроматическая волна малой, но конечной амплитуды, а диффузия является слабой. В этом случае вне окрестности особых уровней волновое поле и возмущение распределения частиц по скоростям могут описываться в линейном бездиссипативном приближении. Соответствующие уравнения, описывающие возмущение распределения частиц, вызванное волной, в линейном приближении, становятся сингулярными. Характер поведения полей в окрестности сингулярной точки в различных задачах различен. Это может быть слабая особенность, когда комплексная амплитуда поля зависит от расстояния от особой точки г как 21п 2 (потенциал электрического поля при желобковой неустойчивости [11]; функция тока в окрестности критического слоя в однородной по плотности жидкости [26]). Другой случай алгебраической особой точки с характерной зависимостью поля \х\и, где V может быть комплексной величиной, типичен для зависимости потенциала электрического поля в неоднородных потоках сильно замагниченной плазмы [11] и для функции тока в сдвиговых потоках с переменной плотностью (стратифицированных сдвиговых потоках [39]).

Для устранения сингулярности необходимо учитывать дополнительные

факторы: диссипацию, нелинейность волновых полей, либо их зависимость от времени в окрестности сингулярной точки (см.,например, [5]). Если амплитуда волны мала, то эти факторы можно учитывать лишь в малой окрестности сингулярной точки, где при этом формируется пограничный слой, масштаб которого определяется этими факторами. В теории гидродинамической устойчивости эта область называется критическим слоем (КС). Имеется прямая аналогия между КС и областью захваченных частиц плазмы при резонансном взаимодействии с гармонической волной (см. [24, 18]).

Вне резонансной области волновые поля описываются невязкими линейными уравнениями, при этом решения имеют скачки при переходе через резонансный уровень, и соотношения, связывающие волновые поля по разные стороны от резонансной точки, называют правилами обхода особенности. Они зависят от факторов, учтенных внутри резонасной области. При наличии логарифмической особенности волнового поля, правило обхода описывается скачком фазы логарифма (р. Значение <р является количественной характеристикой взаимодействия волн и частиц и определяет скорость нарастания или затухания волн. При этом при учете диссипации (столкновений или вязкости) или зависимости от времени в линейном приближении (р = 7г [14, 5]. В нелинейном бездиссипативном приближении ср зависит от времени (нелинейное затухание Ландау). После установления плато в стационарном нелинейном бездиссипативном случае <р =0 [5]. Такие простые правила обхода могут быть введены не всегда, более сложный случай обсуждается, например в [88]. Также более сложный вид имеют правила обхода нелинейного диссипативного критического слоя в стратифицированном сдвиговом потоке.

В настоящей главе будут подробно обсуждаться правила обхода особенностей в случае, когда в резонансной области учитывается диссипация и нелинейность волновых полей. Такой случай представляет особый интерес, поскольку он описывает асимптотику волновых полей и распределения

резонансных частиц на больших временах. Для описания диссипации часто используются диффузионные уравнения. Так интеграл столкновений в кинетическом уравнении для частиц плазмы может быть представлен в диффузионном виде (приближение Фоккера-Планка) [14, 89]. А в уравнениях гидродинамики диссипация обусловлена диффузией завихренности (или плотности в неоднородных потоках).

Как отмечалось выше, при наличии резонанса между волнами и частицами возникают скачки волновых полей и распределений частиц при переходе через резонансный уровень. Это к возникновению перепадов средних по периоду волновых возмущений числа частиц или волнового импульса, т.е. возникают источники этих величин. Па больших временах диффузия приводит к деформации первоначальных распределений (функции распределения частиц, спектра коротких волн, профиля скорости) вне пределов резонансной области. Таким образом, локальное резонансное взаимодействие волна-частица приводит при наличии диффузии к нелокальной деформации первоначальных распределений. Этот вопрос будет подробно изучен в настоящей главе на примерах диссипативного нелинейного критического слоя в стратифицированном сдвиговом потоке (§1.2-1.4) и резонансного взаимодействия продольных волн пространственного заряда с электронами в плазме (§1.5). Кроме того, будут найдены правила обхода особенностей в зависимости от соотношения нелинейности и диссипации в окрестности резонансного уровня.

1.2 Нелинейный стационарный диссипативный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке.

1.2.1 Постановка задачи. Внешняя задача, скейлинг.

Рассмотрим двумерное течение стратифицированной несжимаемой жидкости с учетом вязкости и теплопроводности. В приближении Буссинеска оно описывается системой уравнений для завихренности и плотности, ко-

торую можно записать в о безразмеренном виде:

д2 д2 _ т .. т. д (а,Ь)

Здесь Д = т+ " опеРатоР Лапласа, и\а,Ь) = --- оператор

ох оу о[х:у)

Якоби, х,у = ~х&т/£>о,у<цт/Ьо - безразмерные горизонтальная и вертикальная координаты, - характерный масштаб течения, I — ¿сНт^о/^о " безразмерное время, Щ - характерный масштаб скорости, ф = ф<&т/ (и^Ьц) -безразмерная функция тока, Ь — (р — р0) д[ [ЩЬър^} - безразмерная плотность, Щ -характерное значение частоты плавучести, Део = и^Ьа/и - число Рейнольдса, определенное по параметрам среднего течения, Рг = у/рт - число Прандтля (для воды Рг=7, для воздуха Рг—0.7-1), - коэффициенты кинематической вязкости и диффузии.

В случае Лео 1 решение системы (1.2.1) в областях расположенных далеко от КС и погранслоев, может быть найдено в виде разложения в ряд по Не¿Г1:

№*А) = [ФЧ) + Щ1 (Фик),

где ((-0,6)) удовлетворяют системе (1.2.1), в которой пренебрегается вязкостью и теплопроводностью.

Рассмотрим возмущение в виде гармонической плоской волны малой амплитуды £ на фоне среднего течения с профилем скорости 1/о(у), стратифицированного по плотности по закону Ьо(у). В этом случае решение системы (1.2.1) можно искать в виде разложения в ряд по степеням £. При этом

г 00

Ф = 11[о (у) 4У + £ £ Яе [Ф^ (у) ехр {т {иЛ - кх)}] + ¿2Ф(2) + ...,

П=1

ОС)

6 = / Ьо (у) йу + £ Е ЩР (у) ехр \гп - кх)}] -Ь еЧ® + .... (1.2.2)

п= 1

Здесь о/ и к - частота и волновое число.

Следует отметить, что далеко- от КС существуют как основная гармоника, так и высшие, возникающие за счет нелинейного взаимодействия волны с потоком. Возникновение высших гармоник при падении волны на КС было предсказано в [42]. Однако в этой работе изучалась только начальная стадия формирования течения, когда t <С ReqS^, и можно пренебречь диссипацией. В настоящей работе рассмотрена стадия установившегося

4

течения при i Reо£з

Функции ^^ {у) (у) могут быть определены из системы (1.2.1) в первом порядке по е и в нулевом порядке по /те о-1. Функция (у) в первом приближении по £ удовлетворяет уравнению Тсйлора-Гольдштейна -

,í¿q'n) , иУуу ,р(П , ( N<1 _ п2к2) ф(1) _ и п - 1 Í1 2 3)

dy* +с-ЩК +\(c-U,f (1.2.3)

а возмущение плотности Ь^ связано с соотношением:

b^ = ~N2¥^(c-U0rl. (1.2.4)

Здесь N2 = db^/dy - квадрат нормированной частоты плавучести, а с = и/к - фазовая скорость волны.

Заметим, что возмущения потенциала электрического поля в продольных волнах пространственного заряда в потоке плазмы с линейным профилем скорости Vqxx} помещенным в сильное магнитное поле удовлетворяют уравнению, совпадающему с (1.2.3) [11]. При этом аналогом частоты плавучести N является электронная плазменная частота шре.

Решение уравнения (1.2.3) можно получить методом Фробениуса в виде ряда в окрестности КС ус, где Uq (ус) = с. Поведение решения характеризуется значением числа Ричардсона Ri = N2 (ус) j(Щу (ус))2 • Его аналогом для потока плазмы в магнитном поле является параметр oj2efVQx (см.[11]). При этом, если Ri > то выражения для возмущения функции тока и плотности в окрестности КС можно представить в виде:

= А/ (у) (у - Ус)**" + Вд (у) {у - ус)Ь-* , (1.2.5)

ЪР = (ус) /Щу (ус) (ДА (у) (у - Ус+ В91 (у) (у - ус)^) , (1.2.6)

где / (ус) = 9 {ус) = /1 (ус) = 01 (з/с) = 1

Уравнение (1.2.3) имеет особенности в точках ^о(Ус) — с. Это приводит к тому, что в решениях (1.2.5-1.2.6) появляются точки ветвления при у — ус . Это означает, что в окрестности КС уравнение (1.2.3) и его решения, вообще говоря, несправедливы. Здесь необходимо учесть дополнительные факторы: диссипацию [90, 91, 92, 93, 94], нелинейность [95, 96, 97] (см. также обзоры [5, 98] и ссылки в них) или нестационарность [39, 99, 100]. Во всех этих работах эти факторы учитываются только в малой окрестности КС, т.е.при построении внутреннего решения. Вне окрестности КС волны считаются линейными, бездиссипативными и стационарными (внешнее решение). А внутреннее решение используется для связи полей выше и ниже КС, т.е. для получения правил обхода КС.

Области, в которых существенны диссипация, нелинейность или нестационарность, называют соответственно нелинейным, вязким и нестационарным критическими слоями; их масштабы [97]

бы, = (Яеи2к)~ф] 6п1 = е2'ъ- 8г = (\дф/дЬ\ / \ф\) (Ш,)"1. (1.2.7)

Хорошо известно, что теории, учитывающие нестационарность и диссипацию, приводят к одним и тем же правилам обхода. Сдвиг фазы комплексной логарифмической функции равен -ж. Из-за этого в устойчиво стратифицированном случае с числом Ричардсона Ш >1/4 волна, проходящая через КС ослабляется в ехр(ж/1) раз, где у = у/т- 1/4 .

Пренебрежение диссипацией дает принципиально другую картину волновых полей в окрестности КС [95, 96, 97]. Картина линий тока симметрична относительно КС, поэтому волновое поле, проходящее через КС, не меняется, и скачок фазы логарифма равен нулю.

В раоотах, обсуждаем ых 1!ышс, правила обхода были получены, ко-

симо. Дальнейшим шагом является учет их совместного действия. Так в [101, 40, 41, 42] исследовалось взаимодействие волны с потоком для случая нелинейного нестационарного невязкого КС при 11/ 1 в слабо нелинейном приближении. Поскольку пренебрегается ди< сип щией, эти результаты

определяются конкуренцией нелинейности и диссипации. Правила обхода стационарного КС, в котором существенны диссипация и нелинейность, получены в [44] для однородных и в [45] для слабо стратифицированных потоков, где Ш -С 1. Главная цель настоящей работы - получение правил обхода стационарного КС в зависимости от соотношения диссипации у и нелинейности в его окрестности (т.е. от внутреннего вертикального числа Рейнольдса КС) для стратифицированного сдвигового потока с числом Ричардсона Ш >1/4.

При больших значениях числа Рейнольдса и малых амплитудах волн, можно воспользоваться методом сращиваемых асимптотических разложений, учитывая диффузию завихренности и температуры и нелинейность лишь в малой окрестности КС при нахождении внутреннего решения, а асимптотику полей при удалении от этого слоя определяя решением линейного невязкого уравнения (1.2.5-1.2.6), т.е. внешним решением. При этом внутреннее решение используется для нахождения правил обхода во внешнем решении.

Асимптотическое выражение для внешнего решения при малом |у — ус| легко получить, представляя решение (1.2.2) в виде рядов по степеням 2 =

гда диссиг:

ИТ

я. нелинейность и нестацпонарность - учитывались незави-

применимы на временах £ Я^/г^, где Нсь - толщина КС. Когда, наоборот, £ зависимость от времени пропадает, и волновые поля

У ~ Ус-

Ф± = + - Г±г2 + ...

1

оо

+ Д^Н5""* (1 +

Ь± = - Л^ + ...

(1.2.8)

/V2 СО г г , .

Знаки (+) и (-) относятся к решениям выше и ниже КС, ж = к(х — с£) -нормированная горизонтальная "бегущая" координата.

Слагаемые |Г±г2 соответствуют значениям завихренности по разные стороны от КС, т.е. имеется скачок завихренности через КС, аналогичный полученному в [44, 45], возникающий в нулевом порядке по е. Также

в (1.2.8) учитываются скачки средних скорости и плотности. Они выра-

2 2

жаются соответственно слагаемыми в Ф± и £з(3± в Ь±. Аналогичные

слагаемые были введены в [45] для слабо стратифицированного потока. При этом здесь, как и в [45], скачки скорости и плотности существуют в более высоком порядке по чем скачок завихренности. Заметим, что в (1.2.8) для значений частоты плавучести выше и ниже КС используются различные обозначения N+ и Однако, ниже показано, что А+ = АС. Задача состоит в нахождении связи между величинами с индексами (4-) и (-) - правил обхода. Для этого необходимо найти внутреннее решение. Из (1.2.8), очевидно, следует, что вертикальная внутренняя координата должна быть определена следующим образом: г] = г/ез (см.[44]).Тогда из (1.2.8) следует, что внутреннее решение надо искать в виде рядов по степеням

Асимптотики значений плотности и завихренности <ро,Ьо при // ±оо

с2/3.

2 4

Ь = еЩ -р 4-....

(1.2.9)

( (ро- ибо-ь) в низшем порядке по £ легко получаются из (1.2.8). Они имеют

вид:

1 00 /Г 1- 1 • ■ 1 \

<Ро± = + -Г^2 + £ Ре ( Ап± + в\ е*п) , (1.2.10а)

1 п=1 41 у

со

&0± = /?± - N14 т £ Ие ( А1 \ц\~1+Щ± + Вп± . (1.2.10Ь)

1 ± п=1 41 7

Здесь - = = ^ _ 1. Для упрощения даль-

нейших выкладок введем еще одну нормировку - 1р = (<ро — с+г)) /Г_; Ь = (Ьо — /3+) Подставляя разложения (1.2.9) в систему (1.2.1) и, оставляя члены старшего порядка по получим для 6

^^ = (1.2.11а)

д^дт]2 дг} дт73 дт]4'

дЬ д(р дЬ д(р А <92/;

(1.2.11Ь)

5т/ <Э?7 <9£ Рг д^2' Здесь Ш — - значение числа Ричардсона при Г} —> — со,, Л =

(ДеоГ_е2) 1 - параметр характеризующий отношение вязкости и нелинейности. Более точно Л — (^/^п/)3? где 6У{8 = (ЯеоГ_)~1/'3 - характерный масштаб "вязкого" КС [91], а ^ — - масштаб нелинейного КС [96, 102]. Из вида уравнений (1.2.11а,1.2.11Ь) ясно, что Л имеет смысл обратного внутреннего числа Рейнольдса (Лег- = А-1), определенного по амплитуде волнового возмущения в окрестности КС. Предел А ос (Ые, -С 1) соответствует вязкому линейному течению в окрестности КС, а А —> 0 (11ег- >> 1) - невязкому нелинейному.

1.2.2 Особенности асимптотического поведения средних полей при переходе через критический слой

Для получения правил обхода, вообще говоря, надо решать систему (1.2.11а,1.2.1!Ь). Однако, некоторые соотношения можно получить, не находя решения.

Так, выражение для скачка завихренности можно получить, рассматривая волновые и вязкие потоки импульса. Проинтегрируем уравнение (1.2.11а) по т/ от —оо до г) и по £ от 0 до 2тг. С учетом периодичности решения по £ получим:

2тг / /

о \

( д2(р д(р д2срд(р' дт] дг] дг]2

¿з 2» ^ = Лтт / •

(1.2.12)

Затем интегрирование (1.2.12) по т] от —оо до со дает

2тг

-/

дг]

00

¿2 2-

оо

(1.2.13)

-00

Подставляя в (1.2.13) асимптотическое выражение (1.2.10а), после несложных преобразований получим:

оо

2Л(г+-г_) = ^+х;

п= 1

В(п)

2

А

»

оо

-м-Е

П=1

Б

(п)

л

(п)

, (1.2.14)

где Г_=1. '

Уравнение (1.2.13) показывает, что радиационная сила, равная разности волновых потоков импульса выше и ниже КС (левая часть (1.2.13), в стационарном течении компенсируется вязкой силой, равной разности вязких напряжений выше и ниже КС (правая часть (1.2.13)). В результате формируется течение, в котором значения завихренности при удалении от КС стремятся к некоторым постоянным, величины которых, вообще говоря, различны. Разность этих значений завихренности, определяемая волновыми потоками импульса, очевидно, зависит от амплитуд волн выше и ниже КС ( которые определяются граничными условиями на бесконечности), т.е. в конечном итоге от постановки задачи.

Мы будем в дальнейшем рассматривать задачу об отражении и преломлении волны, падающей на КС из области т? > 0. Этому случаю соответствуют следующие значения амплитуд асимптотических выражений для волновых, полей при т] —>• ±со:

В

(01

> /

- ГК:П['1) -О ]'ог п = 2,

1.2.15)

2

где Я, - коэффициент отражения, Т - коэффициент прохождения. К,иТп -отраженные и прошедшие поля п-й гармоники. Они представляют собой амплитуды высших гармоник, излучаемых КС, нормированные на амплитуду падающей волны основной.моды. Равенство нулю В^ и А^ означает, что нет высшие гармоники, падающие на КС отсутствуют.

При этих условиях соотношение (1.2.14) примет вид:

00 оо

2А (Г+ - 1) = (1 - |Я|2) - \Т\2 + //+ Е \Яп\2 - (1-Е \Тп\2 ■ (1.2.16)

п—1 п=1

Рассмотрим теперь следствие уравнения (1.2.11Ь) для плотности. Интегрируя (1.2.11Ь) по т/ от —оо до оо и по £ от 0 до 2я", получим:

2п

оо

А &

2тг

оо

(1.2.17)

-со

РГ ¿1]

—оо и

Уравнение (1.2.17) вместе с (1.2.15) дает ./V2 = Л/"2, N1 = 1 Это связано с тем, что волновые потоки массы выше и ниже КС одинаковы (равны нулю), поэтому в стационарном состоянии должны быть равны и диффузионные потоки, а, значит, и градиенты плотности.

Таким образом, выше и ниже КС одинаковы значения частот плавучести, но отличаются значения сдвига скорости. Это значит, что значения чисел Ричардсона также отличаются. При принятых нормировках выше КС т+ = т/Г2+1 а ниже = Ш.

Получить простые выражения для потоков средних скорости и плотности через КС не удается. Однако, двукратное интегрирование уравнения (1.2.12) по // с учетом (1.2.15) дает

1 7 ¿Р , ,

= (1.2.18)

—оо '

где

1 2г

2п{ дцо£

- волновой поток импульса.

Выражение для скачка плотности можно получить аналогично (1.2.18)

(1.2.19)

здесь

- поток массы, отличный от нуля в окрестности КС.

Итак, резонансное взаимодействие волны с потоком в резонансной области при учете диффузии завихренности за счет вязкости приводит к появлению перепада завихренности при переходе через КС. Это означает, что возникают возмущения среднего профиля скорости, растущие при удалении от КС. Как отмечалось в [4, 5], возникает вопрос о практической реализуемости такого течения. Рост возмущения с удалением от КС означает, что возмущение среднего течения становится нелокальным, и вопрос о его реализуемости должен решаться с учетом граничных условий на бесконечности. Подробно этот вопрос обсуждается в §1.3

1.2.3 Внутренняя задача. Спектральная модель диссинативного

нелинейного критического слоя.

Формула (1.2.15) дает связь амплитуд асимптотических значений полей с параметрами среднего течения выше и ниже КС. Чтобы вычислить входящие в нее величины, необходимо решить систему уравнений (1.2.На,1.2.11Ь). Аналитически ее исследовать не удается, поэтому она решалась численно. Представляя (1.2.11а) в виде двух уравнений, получим нелинейную систему трех уравнений второго порядка для функции тока у, плотности Ь и завихренности х

д£дг] дг] д£ "

д2х

дЬ д(р дЬ ¿Л.; Л д2Ь

(1.2.20)

Поскольку решения системы (1.2.11а,1.2.11Ь) периодичны по то функции X, Ь. (р можно представить в виде разложений в ряды Фурье по

" Iм ■■

а: к, V), ъ V), Ч> (С, ц) = Хо М, Ьо М, ^о М + Хз М , Ь; (т?), щ (;/?) сХ

. . (1.2.21) Здесь х~; М ,ЬЧ (77), (77) = (л), Щ М > ^ поскольку функции X; (т?), (г/) , (г/) действительны. В разложениях (1.2.21) точных решений системы (1.2.20) число членов ряда М бесконечно, однако, ввиду того, что амплитуды гармоник убывают с ростом номера достаточно учитывать конечное, часто небольшое число гармоник (подробнее этот вопрос будет обсуждаться ниже). Это дает возможность реализовать численную спектральную модель с конечным числом гармоник. Подставляя (1.2.21) в систему (1.2.20), после несложных, но громоздких преобразований можно получить систему 3М обыкновенных нелинейных: дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд гармоник Хз (7/) 1 ^ {г}) > Уз (7?)? а так~ же три уравнения для постоянных составляющих хо (у) , (ц) )Уо (7/)- Она имеет вид:

Л с1'% 1 с1 Я

Рг ¿г/2 2 с1,1] -=1

£ 1т , (1.2.22Ь)

$ = (1.2.22 с)

Л с12Ь■

г] ~ + ^ ' (1.2.23а)

А^ - г;} - хо^ - + 5,- (ху(р) , (1.2.23Ь)

1'2

а У]

Здесь слагаемые (а, (р)

сЬу

1 ( -г £ и-т) (аи_г

* т= 1 \

I М-] /

+ог" Е (3 + ™>) (%

* т=1 V

т\аг

4-

(1(рт (1ат\

1 с1г]

¿4>т

-т) йт) <Р0+т) ^

¿аи+т) \

ГШ с1г] )

(1.2.23с)

+ (1.2.23с1)

^ т= 1 \ йг)

определяются нелинейными членами. С учетом асимптотического поведения волновых полей на бесконечности интегрирование уравнений (1.2.22а,1.2.22Ь) дает:

I м

Х0Г1 = -;гг Е 1т {¿Х^};

¿А ¿=1

(1.2.24а)

(1.2.24Ь)

С учетом того, что ХоС"-00) интегрирование (1.2.24а) дает

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Троицкая, Юлия Игоревна

4.5 Выводы

Настоящая глава посвящена использованию теории, развитой в гл.З, для решения прикладной задачи о трансформации спектра коротких поверхностных волн в присутствии длинных, которая возникает при построении теории радиоизображения длинных волн. Излучаемые радиоволны рассеиваются короткими волнами, распространяющимися на фоне длинных, за счет механизма Брегга. Хорошо известно, что модуляция рассеиваемого радиосигнала определяется уклонами длинных волн и трансформацией коротких волн гидродинамическим полем длинных волн (так называемая гидродинамическая модуляция). Как показано в [61], гидродинамическая модуляция превалирует над геометрической для длинных волн с периодами более 3-5 сек. Особенностями гидродинамической модуляции являются 1) амплитуда коэффициента модуляции равная 5-15, растущая с периодом длинной волны; 2) фаза коэффициента модуляции как правило близкая к нулю (хотя, как утверждается в [61], она может существенно варьироваться).

Для объяснения этих особенностей в последнее время обсуждается механизм модуляции коротких волн, связанный с модуляцией их инкремента, вызванной разными условиями их генерации вдоль фазы длинной волны [58, 83]. В рамках этой проблемы в настоящей главе получены следующие результаты.

1. Построена модель турбулентного пограничного слоя над водной поверхностью, искривленной двухмасштабным волновым возмущением. Модель основана на осредненных уравнениях статистической гидромеханики, выраженных в криволинейных координатах, в которых одна из координатных линий повторяет форму поверхности воды. Она учитывает ветровое дрейфовое течение в воде.

2. Проведен расчет модуляции инкремента линейных коротких поверхностных волн в рамках трех различных моделей, использующих различные варианты аппроксимации волновых возмущений турбулентных напряжений I) квазиламинарную модель Майлса, п) градиентную аппроксимацию, 111) модель вязко-упругой турбулентности. Показано, что в линейном приближении модуля коэффициента модуляции спектра коротких волн в присутствии длинных, получаемые с учетом модуляции их инкремента, оказываются близкими к экспериментально измеренным (со значениями много больше единицы, растущие с периодом длинной волны). При этом фаза коэффициента модуляции оказывается близкой к —л, что не соответствует экспериментальным данным (см.[85]).

3. Проведен расчет трансформации ветрового инкремента коротких поверхностных волн в присутствии длинных с учетом нелинейных эффектов взаимодействия волн с ветром. Основную роль при этом играет деформация средней скорости ветра, эквивалентная изменению параметра шероховатости логарифмического профиля скорости в турбулентном пограничном слое. В присутствии длинной волны возникают осцилляции параметра шероховатости, вызывающие дополнительную модуляцию ветрового инкремента коротких волн по сравнению с линейным случаем, когда его колебания противофазны по отношению к возвышению водной поверхности. При этом фаза коэффициента модуляции ветрового инкремента брегговской волны сдвигается к нулю. Расчет нелинейного эффекта модуляции параметра шероховатости проводился в квазилинейном приближении, аналогичном используемому в физике плазмы. Коэффициент модуляции спектра коротких (брегговских) волн вычислялся в рамках релаксационной модели с учетом коэффициента модуляции инкремента. Для аппроксимации спектра ветровых волн использовался спектр Ю1Ч8¥/АР. Показано, что учет нелинейной деформации профиля скорости ветра при расчете модуляции инкремента дает значения модуля коэффициента модуляции 5-15 и значения фазы 0-60° для длинных волн с частотами 0.1-0.3 сек и сантиметровых брегговских воли, что'Соответствует имеющимся натурным данным [62, 63]. Следует, однако заметить, что данная модель может рассматриваться лишь как оценочная. Необходимо ее усовершенствование с учетом неодномерности спектра ветровых волн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

I. Построена асимптотическая теория, описывающая нелокальные эффекты, обусловленные процессом слабой диффузии, при резонансном взаимодействии квазигармонических волн малой, но конечной амплитуды с потоками разной физической природы, в случае произвольного соотношения между нелинейностью и диффузией.

1. Изучено взаимодействие внутренних гравитационных волн с пло-. скопараллельными стратифицированными сдвиговыми потоками в нелинейно-диссипативном критическом слое (КС), формирующемся в окрестности резонансного уровня, в котором скорость потока совпадает с фазовой скоростью волны. Показано, что совместное действие радиационной силы во внутренней области КС и диффузии завихренности во внешнюю область приводит к установлению течения, .в котором асимптотические значения средней завихренности по разные стороны от КС постоянны, но различ-• - .' . ны по величине.- При выполнении условия линейной динамической устойчивости ,(Д1 >1/4) .возникающие перепады завихренности оказываются сравнимыми про порядку величины с ее невозмущен-■ . ны.м значением. Возникает волна, отраженная от неоднородности завихренности в КС. С ростом амплитуды падающей волны значе-. ние средней завихренности со стороны падения стремится к поро-■ ■ говому значению линейной устойчивости (число Ричардсона равно 1/4), а коэффициент отражения - к минус единице.

2. В режиме нелинейного диссипативного КС исследовано квазистационарное асимптотическое поведение течения, формирующегося при падении внутренней гравитационной волны на динамически устойчивый стратифицированный по скорости и плотности, поток скорость которого на некотором уровне совпадает с фазовой скоростью волны. Показано, что диффузия завихренности приводит к формированию нелокальной переходной области от КС к невозмущенному течению, названной диффузионным пограничным слоем (ДПС). При этом происходит смещение КС навстречу падающей волне. Для средних полей найдено автомодельное решение, справедливое случае постоянного перепада завихренности через КС. Определены его параметры в зависимости от внутреннего числа Рейнольдса в КС. которое определяет соотношение между нелинейными и диффузионными эффектами для волнового поля в резонансной области. Определена структура и временная динамика ДПС. формирующегося при обтекании неровной поверхности потоком стратифицированной жидкости, меняющим направление на некотором уровне.

II. Для динамически устойчивых стратифицированных сдвиговых потоков исследованы особенности излучения волн локализованными источниками. обусловленные наличном резонансных уровней.

1. Проведен расчет радиационных сил. действующих на локализованные препятствия различной формы, обусловленных излучением внутренних гравитационных волн в стратифицированных сдви-" говых потоках. I ¡оказано, что изменение дисперсионных характеристик волн в присутствии сдвигового потока приводит к существенному возрастанию радиационных сил по сравнению с однородным потоком. Определены качественные особенности радиационных сил. действующих на тела в потоках с ненулевой средней завихренностью.

2. В квазилинейном, приближении исследована деформация профиля скорости потока, вызванная резонансным взаимодействием с волнами, излучаемыми при обтекании статистически однородного случайного поля возвышений подстилающей поверхности. Показано, что модуль вектора скорости потока не меняется во времени, а угол, определяющий его направление, удовлетворяет уравнению простых волн Римана, При малых числах Фруда и умеренных числах Ричардсона величина деформации потока определяется средней радиационной силой, действующей на единицу площади поверхности.

III. Изучены особенности нелинейного резонансного взаимодействия волн с потоками в условиях сильной диффузии.'Анализ проведен применительно к проблеме генерации поверхностных волн конечной амплитуды турбулентным воздушным потоком (ветром).

1. Предложена модель, описывающая ветровую генерацию поверхностных волн на воде с учетом турбулентной диффузии импульса в воздушном потоке и нелинейных эффектов при взаимодействии волны с ветром. Модель основана на использовании i) уравнений Рейнольдса, выраженных в ортогональных криволинейных коор-. динатах; ii) градиентной аппроксимации турбулентных потоков импульса; iii) квазилинейного приближения для волновых возмущений. В рамках этой модели проведен расчет нелинейных поправок к инкременту, обусловленных нелокальным эффектом деформации среднего потока.

2. Построены модели генерации гравитационно-капиллярных поверхностных волн турбулентным ветром вблизи порога устойчивости при различных граничных условиях на дне и поверхности воды. На основании линейной модели генерации волн турбулентным ветром определены зависимости пороговых значений скорости тренил ветра и волнового числа наиболее неустойчивого возмущения от управляющего - параметра (глубины жидкости или модуля упругости пленки). Для случая, когда волновое число наиболее неустойчивого возмущения не совпадает со значениями, при которых основная гармоника находится в резонансе со второй гармоникой или со средним течением, рассчитаны коэффициенты уравнения Гинзбурга-Ландау.

IV. С целью развития теории радиоизображения длинных поверхностных волн построена модель, позволяющая рассчитать гидродинамическую компоненту модуляции рассеянного радиосигнала, которая учитывает эффект трансформации брегговской компоненты спектра коротких поверхностных волн. В модели учитываются осцилляции ветрового инкремента коротких поверхностных волн, вызванные присутствием длинных. Показано, что учет модуляции инкремента коротких волн в рамках линейного приближения дает большие (12-15) значения модуля гидродинамической компоненты модуляционной передаточной функции радиосигнала (гидродинамической МПФ) на частоте волн зыби близкие к экспериментально измеренным. При этом значения фазы близки к -71", что противоречит наблюдениям. Предложена квазилинейная модель модуляции ветрового инкремента коротких поверхностных волн, учитывающая деформацию профилей скорости воздушного потока и его длинноволнового возмущения, вызванную нелинейным взаимодействием с полем ветровых волн. Оценки, проведенные в рамках упрощенной модели, показывают, что учет нелинейных эффектов при взаимодействии волн с ветром и длинноволновым возмущением позволяет улучшить соответствие рассчитываемых значений фазы гидродинамической МПФ наблюдаемым величинам по сравнению с линейной моделью.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Троицкая, Юлия Игоревна, 1998 год

Библиография

[1] Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред.Х.Суинни, Дж.Голлаба, М.:Мир, 1981

[2] Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках МлНаука. 1996.

[3] Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.:Мир. 1984.

[4] С'.А.Маслоу Неустойчивости и переход в сдвиговых течениях, в кн. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред.Х.Суинни. Дж.Голлаба. М.:Мир. 1981. с.218-270.

[5] М asl owe S.A. Critical layers in shear Hows // AimJRev.Fluid Mech.. 1986. v. 18. P.406-432.

[6j Госгард Э.Э.. Хук У.Х. Волны в атмосфере // М. Мир 1978. 032 С. [7] Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях // М. Мир 1977. 431

|У С .'пик A.I).i). Wave :n!.<>rart ions and Huid flows. Cambridge University

Pr0S4 j My ~

H.»; Üra/лп í'.l«.. iif.Hí V\ .íl. Ну s} го d у п а гш < • s г a b! 1 i ry. Cambridge Univorskv'

MÍ); Вопросы ■ г :--■-■]> f IT i ПЛаоЫЫ. libíü.i' Мн ЭнерГонч'омнлдаТ. 197"). ;! i; í пмо<реев A.Ii. Резонансные зффек-

ть? и колебаниях неоднородных течении сплошных сред //Вопросы теорш! |[лазмы.'М.:Уиерг(шт(^\!цздат. 1989. -■ Вып. 17. с.157-244

[12] ишофеев A.B. Колебания неоднородных течений плазмы и жидкости // УФН. 1970. M.1ÍJ2, Х2. р. 185-У К).

[13] Михайловский A.B. Теория плазменных неуетойчивостей т.1.2. МхАтомпздат. 1975.

[14] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика М.: Наука, 1981.

[15] Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.:Наука.1988.

[16] Friedman A.M., Polyachenko V.L. Physics of gravitating systems, v.l, Equilibrium and stability. New-York: Springier-Verlag, 1984, 468 p.

[17] Friedman A.M., Polyachenko V.L. Physics of gravitating systems, v.2, Nonlinear collective processes. Astrophysical applications. New-York: Springier-Verlag, 1984, 358 p.

[18] Реутов В.П. Плазменно-гидродинамическая аналогия и нелинейная стадия неустойчивости ветровых волн // Известия АН СССР. Физ.Атмосф. и Океана. 1980. Т.16. N 12. С.1266-1275.

[19] Реутов В.П. Нестационарный критический слой и нелинейная стадия неустойчивости в плоском течении Пуазейля // ПМТФ. N 4.1982. с.43-54.

[20] . Шухман И.Г. Вопросы теории нелинейных и диссипативных процессов в динамике гравитирующих систем, жидкости и плазмы. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ-мат наук, Иркутск, 1986.

[21] Чурилов С.М. Нелинейная теория резонансного взаимодействия волна-частица в свободных сдвиговых течениях. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ-мат наук, Иркутск, 1994.

[22] Островский Л.А., Троицкая Ю.И. Влияние тонкой структуры поля скорости в океане на распространение внутренних «олн // Изв.АН СССР, ФАО, 1988, т.24, 7, с,753-763

[23] Троицкая Ю.Н., Фабрикант А.Л. Резонансное усиление внутренних гравитационных волн в стратифицированном сдвиговом потоке // Изв.ВУЗов. Радиофизика. Т.32.С.1221-1231. 1990.

[24] Андронов А.А., Фабрикант А.Л. Затухание Ландау, ветровые волны и свисток. //В кн. Нелинейные волны (ред.А.В.Гапонов-Грехов). М.: Наука, 1979. С.68-104. •

[25] А.Я.Басович, В.И.Таланов // Адиабатическое взаимодействие волн. Нелинейные волны. Самоорганизация, с.147-166. 1985 г.

[26] Линь Цзя-Цзяо Теория гидродинамической устойчивости // М.:ИЛ. 1958.

[27] Триттон Д.Дж., Девис П.А. Неустойчивости в геофизической гидродинамике. В кн. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. под ред.Х.Суинии, Дж.Голлаба, М.:Мир, 1981. с.271-316.

[28] Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т.1,2. М.:Мир. 1981.

[29] Ван Дайк М. Теория возмущений в механике жидкости. М.:Мир. 1967.

[30] Ландау Л.Д. о колебаниях электронной плазмы. ЖЭТФ.1946.т.16.с.574-586.

[31] Case К.М. Stability of inviscid plane Couette flow // Phys.Fluids. 1960. v.3, p.143-149.

[32] Case K.M. Stability of an idealized atmosphere // Phys.Fluids. 1960. v.3, p. 149-154.

[33] Дикий Л.А. Устойчивость плоскопараллельных потоков идеальной жидкости. // Докл АН СССР. 1960. т.135.с.1068-1071.

[34] Мазитов Р.К. О затухании плазменных волн. // ПМТФ. 1965. т.43. с.490-499.

[35] O'Neil Т. Collisionless damping of nonlinear plasma oscillations. // Phys Fluids. 1965. v.8. p.2255-2270.

[36] BennyD.D., Bergeron R.F. A new class of nonlinear waves in parallel flows //Stud;Appl.Math. 1969. v.48. p.l81-204.

[37] Davis R.E. On the high Reynolds number flow over a wavy boundary // J.Fluid Mech. 1969. v.36.p.337-346.

[38] Robinson J.L. The inviscid noninear instability of parallel shear flows // J.Fluid Mech.,1974, v.63,N4, P.723-752.

[39] Booker J.R., Bretherton F.P. The critical layer for internal gravity waves in a shear flow // J.Fluid Mech'.,1967, v.27,P.513-539.

v ■■ — 349—

[40] Brown S.N.., Stewartson K. On the nonlinear reflection of a graviry wave at a critical layer. Part 1 // J.Fluid Mech.,1980, v. 100, P.577-595.

[41] Brown S.N., Stewartson K. On the nonlinear reflection of a gravity wave at a critical layer. Part 2 //J.Fluid Mech.,1982, v.llo, P.217-230.

[42] Brown S.N., Stewartson K. On the nonlinear reflection of a graviry wave at a critical layer. Part 3 // J.Fluid Mech.,1982. v.115, P.231-250.

[43] Гавриленко В.Г., Зелексон Л.А. // Изв.ВУЗов. Радиофизика, т.20. N7, с.982-986. 1977

[44] Haberman R. Critical layers in parallel flows // Staid.Appl.Math..1972, V.51.N2. P.139-161.

[45] Haberman R. Wave induced distortions of slightly stratified shear flow //J.Fluid Mech.,1973. v.58. P.727-735.

[46] Степаияни Ю.А.. Стурова П.В.. Теодорович Э.В. Линейная теория

генерации поверхностных и 'внутренних волн / / Итоги науки и техники. Мех.жнлк. и вала. УУУ. 1.21. < .93479.

| 17| Ьан-тогшч ,\.В.. 1 иш.гечктш К).4. I еперация. распространение и нелинейное взаимодействие внутре'i¡тих волн // Итоги науки и техники.

| N ixA.i оро нал;. -ч I ;-ч ы-оунн воа; а > ж <г о сопротивления

iповерхностные ила ■ // И еб. ] ! .К. К.о чин и развитие

I !!.М илырллл . i.iii. Леетиоилнолнля лужолалальпо уыллгшвого возыу-

('.5 SO-54 к

[ 5 b . Н 1 л 'Л I! УЛ. \ обЛЫЖа av <4bv ЛЛ оМ: V ¡aodel j«if i ha (Л;: of.energy aild i H о! п e и i и 111 io wine! waves using e( >nsf ллы ¡aoj i law equations ].n а. curvilinear coordinate system // J.Phys.Ocennogr. v.22. N 8. p.843-858. 1.992.

[51] Фабрикант A.. I. Квазилинейная теории ветровых волн // Известия АН СССР. Ф11з.Атмо<.'ф.и Океана. 1976. 'Г.12. N 8. С.858-862.

[52] Красильников В.А., Павлов В.И. О нелинейном затухании плоских монохроматических волн на поверхности жидкости // Вестник Моск.унив.- Физика и астрономия-, 1972. т.13. N 1. с.94-98.

[53] Fabrikant A.L. Oil nonlinear water waves under a light wind and Landau type equations near the stability threshold // Wave Motion. 1980. V.2. P.355-360.

[54] Smith J.A. Modulation of short wind waves by long waves // "Surface Waves and Fluxes", v.l. p.247-284. Kluwer. Academic Publishers. Nuther-lands.1990.

[55] С.А.Гродский, В.Н.Кудрявцев, В.К.Макин Оценка вклада вариаций ветрово гопотока в РЛ-модуляционную передаточную функцию морской поверхности // Морской гидрофпз.журнал. 1991. N1.с. 15-22.

[56] V.N.Kudryavtsev, C.Masrenbroek. V.K.Makin Modulation of wind ripples by long surface waves via the air flow: a feedback mechanism // Boundary Layer Metheorology. 1997. v.S3, p.99-116.

[57] Mastenbroek C. Wind-wave interaction. PhD Thesis. 1996.

[58] Landahl M.T.. Widnall S.E.. Hultgon L. An interactional mechanism between large and ,small scales for wind-generation water waves //.Proc. 12th Symp. on Naval Hydrodynamics. National Academy of Sciences. 541 p. 19 78.

[59] Valensuela G.R.. Wright J.W. Modulat ion of short gravity- cap i liar v waves by longer-scale periodic Hows. A higher order theory //• Radio Sci. 1979. v.l.4. p. 1099-1110.

[60] Wright J., Plant \V.;i.. Keller W.C., Jones W.L. Ocean wave-rada'r modulation transfer function from the West Coast' Experiments //J.Geophys.Res. 1980. v.85. N9. p,1957-4966.

[61] ILisselman K, R.K. Raney, V\'.J.Plant, W.Alpers, R.A.SIiuehman, D.R.Lyzenga, C.L.Rufenach. M.,1,Tucker Theory of synthetic aperture radar imaging: a MARSEN view // J. Geophys. Res. v. 90. 4659-4686. 1985

[62] Plant W.J., Keller W.C.y Cross A. Parametric dependence of ocean wave-radar modulation transfer functions // J.Geophys. Res. 1983. v.88. p.9747-9756

[63] Hara Tr Plant W.J. Hydro dynamic modulation of short wind-wave spectra by long waves and its measurement using microwave baekscatter // J.Geophys. Res. 1994. v.C99. p.9767-9784

[64] Троицкая Ю.И. Вязко-диффузионный нелинейный критический слой в стратифицированном сдвиговом потоке // Препр. НПФ АН СССР. N 230. Горький. 1989. 31с.

[65] Троицкая Ю.И Квазистационарный вязко-диффузионный критический слой в устойчиво стратифицированном сдвиговом потоке // Препр. 11Г1Ф АН СССР. N258. Горький. 1990. 36с.

[66] Yu.I. Troitskava Viscous diffusion nonlinear critical layer in a stratified shear flow // J. Fluid Medi. v.233. 1.991. p.25-48.

[67] Резник С.П.. Троицкая К).II Волновое сопротивление локализованной неоднородности дна стратифицированному сдвиговому потоку, имеющему критический слой // Изв. РАН. ФАО. 1996. т.32. N 1. с.133-140.

[68] Резник С.П., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление плоского локализованного источника, движущегося в стратифицированном сдвиговом потоке, имеющем критически и слой // Препр. НПФ РАН N373. Н.Новгород. 1995. 24 с.

[69] Резник СЛ.!.. Троицкая 10.41. Волновое сопротивление локализованной топографической неоднородности в стратифицированном сдвиговом ветре с велопаузой // Препр. ППФ РАН N100. Н.Новгород. 1995. 29с.

[70] Reznik. S.N., Troitskava Yu.I Wave resistance of the local obstacles in the flows with the critical layers. // Ann. Geophys. Supplement II to v.14. Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics. 1995. p.C541.

[71] Reznik S.N., Troitskaya Yu.I Resonant effects in the wind flow with velopause over bottom topography // Ann. Geophys. Supplement II to v.15. Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics. 1996. p.C465.

[72] Yu.I.Troitskaya,.. S.N.Reznik Quasi-steady dissipative nonlinear critical layer in a stratified shear flow // Phys.Fluids, 1996, v.8. N12. p.3313-3328

[73] Резник C.H., Троицкая Ю.И. Волновое сопротивление плоского локализованного истопника, движущегося в стратифицированном сдвиговом потоке, имеющем критический слой // Известия РАН. МЖГ. 1997. N1. с.131-140 •

[74] Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Квазилинейная модель деформации стратифицированного ветра с велопаузой над случайно- неоднородной поверхностью // Препр. ИПФ РАН N455. Н.Новгород. 1995. 15с.

[75] Резник С.Н., Троицкая Ю.И. Квазилинейная модель деформации стратифицированного ветра, меняющего направление над случайно-неоднородной поверхностью // Изв.ВУЗов - Радиофизика. 1998. в печати.

[76] Yu.I.Troitskaya Wind excitation of surface waves in the coupled turbulent shear flow. A simple model of visco-elastic turbulence Prepr. IAP RAS N425. N.Novgorod. 1997. 44p.

[77] Yu.I.Troitskaya Effect of wind turbulent drift flow on the wind growth rate of the centimeter surface waves // Ann. Geophys. Supplement II to v.15. Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics. 1996. p.C465. .

[78] Реутов В.П., Троицкая Ю.И. О нелинейных эффектах при взаимодействии волн на воде с турбулентным ветром // Известия РАН. ФАО. 1995. T.31. N 5. с.825-834.

[79] Реутов В.П., Троицкая Ю.И. Нелинейный инкремент ветровых волн на воде и их возбуждение вблизи порога устойчивости // Изв.ВУЗов - Радиофизика. 1995. т.38. N3-4. с.206-210.

[80] Ю.И.Троицкая Эволюционное уравнение для слабонелинейных ветровых волн на поверхности жидкости конечной глубины. Известия РАН. ФАО. т.33. N 3. 1997. с. 364-376.

[81] Yu.LTroitskaya, A.D.Jenkins A quasi-linear model for wave generation in water covered by surfactant films under a turbulent wind, near the stability threshold// J.Phys.Oceanogr. 1998. (submitted).

[82] Ю.И.Троицкая Модуляция скорости роста коротких капиллярно- гравитационных ветровых волн в присутствии длинных // Препр. ЙПФ РАН N314. Н.Новгород. 1992. 32 с.

[83] Yu.LTroitskaya. Modulation of the growth rate of short surface capillary-gravity wind waves by a long wave. //J.Fluid Mech. v.273. p.169-187. 1994.

[84] Ю.И.Троицкая Механизм модуляции волнами зыби скорости роста коротких поверхностных волн, возбуждаемых турбулентным ветром // Известия РАН. ФАО. 1997. т.ЗЗ. N4. C.525-535.

[85] Ю.й.Троицкая Модуляция скорости роста короткой поверхностной волны, возбуждаемой турбулентным ветром в присутствии длинной // Препр. ИПФ РАН N391, Н.Новгород. 1996. 38 с.

[86] Yu.LTroitskaya Modulation of the short surface waves riding on a swell ■vyave under the turbulent wind. Quasi-linear model of the growth rate modulation // Ann. Geophys. Supplement VI to v.16. Nonlinear Geophysics & Natural Hazards. 1997. р.СПЗО.

[87] Ю.И.Троицкая Модуляция коротких поверхностных волн в присутствии длинных. Эффект модуляции скорости роста. // "Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование", сб. трудов под ред.В.И.Таланова и Е.Н.Пелиновского, Н.Новгород, 1998.

[88] Churilov, S.M. ic Shukhman, I.G. Nonlinear stability of a stratified shear flow: a viscous critical layer. J.Fluid Mech., v.180; p.1-20. 1987.

[89] В.Е.Захаров, В.И.Карпман К нелинейной теории затухания плазменных волн. ЖЭТФ. т.43. вып.2(8). с.490-499. 1962.

[90] Koppel D. On the stability of flow of thermally stratified fluid under the action of gravity// J.Math. Phys., 1964, v.5, P.963.

[91] Hazel P. The effect of viscosity and heat conductivity on internal gravity waves at a critical level //J.Fluid Mech.,1967, v.30, P.775-783.

[92] Baldvin P., Roberts P.H. The critical layer in a stratified shear flow // Mathematics, 1970. v. 17, P.102-119.

[93] Bowman M.R.. Thomas L.. Thomas R.H. The propagation of gravity waves through the critical layer for conditions of moderate wind shear. - Planet Space Sci.. 1980. v.28. P.119-133.

[94] Van Duin C.A.. Kelder H. Internal gravity waves in shear flows at large Reynolds number //J.Fluid Mech.. 1986. v.169. P.293-306.

[95] Kelly R.E.. Maslowe S.A. The nonlinear critical layer in slightly stratified shear flows // Stud.Appl.Math.. 1970. v.49. P.302-326.

[96] Maslowe S.A. The generation of clear air turbulence by nonlinear wave // Stud.Appl.Math.. 1972. v.51. XI. P.l-16.

[97] Maslowe S.A. Finite-amplitude Kelvin-Helmholtz billows // Boundary Layer MereoroL 1973. v.5. P.15-52.

[98] Stewart son K. Marginally stable inviscid flows with critical layers // J.Appl.Maih.. 1981. v.27. P. 133-175.

[99] Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flow // J.Fluid Mech..1961. v.K). pt.4. P.496-509.

[100] Hovard L.N. Note to a paper of John Miles // J.Fluid Mech..1961. v.10. pt.4, P.509-51 1.

[101] Brown S.N.. Si ewar! son K. The-evolution of a small inviscid disturbance to a marginally unstable stratified shear flow; stage two // Pros.Roy.Soc. London Ser.A. 1978. v.363, P. 174-194.

[102] Tung K.K., Ко D.R.S., Chang J.J. Weakly nonlinear internal'waves in shear // Stud.Appl.Math., 1981. v.65, N3. P.189-221.

[103] Forsythe G.E., Moler C.B. Computer solution of the linear algebraic systems. - Pintice-Hall, inc. Engelwood Cliffs.', N.J., 1967.

[104] Brown, S.N., Stewartson, K. 1978 The evolution of the critical layer of a Rossby wave. Part II. - Geophys. and Astrophys. Fluid Dvn. v.10. p.1-24.

[105] Geller M, Tanaka, Fritts D. Production of turbulence in the vicinity of the critical layers for internal gravity waves. J.Atm.Sci. v.33, p.2276, 1976.

[106] Fritts D. The nonlinear gravity wave - critical layer interaction. J.Atm.Sci. v.35, v.35, p.397-413, 1978.

[lf)7] Fritts D. The excitation of radiating waves and Kelvin-Helmholtz instabilities by the gravity-wave critical-level interaction. J.Atm.Sci. v.36, p. 12, 1979.

[108] Koop. G. 1981 A preliminary investigation of the interaction of internal gravity waves with a steady shearing motion. J.Fluid Mech., v.113 , p.347-385.

[109] Koop, G.& McGee, B. 1986 Measurements of internal gravity waves in a continuously stratified shear flow. .J.Fluid Mech.. v.172 . p.453-480.

[110] Smith, F.T.& Bodonyi, R.J. 1982 Nonlinear critical layers and their de. velopment in streaming-flow stability. J.Fluid Mech., v.118, p.165-185.

[111] Lennard A., Bernstein I. Phvs.R.ev. v.108. p.546. 1957.

[112] Haberman R. Nonlinear perturbations of.the Orr-Sommerfeld equation -asymptotic expansion of the logarithmic phase shift accross the critical layer // SI AM J.Math. Anal. 1976. v.7. p.70-81.

[113] Miles J.W. Lee waves in a stratified How. Part 1. Thin barrier. //J. Fluid Mech. 1968. V.32. No 4. P.549-568.

[114] Miles J.W. Lee waves in a stratified flow. Part 2. Semi-cir- cular obsta-cle//J. Fluid Mech. 1968. V.33. No 4. P.803-814.

[115] Л.Д.Ландау, И.М.Лифшиц Гидродинамика, М.гНаука, 1986.

[116] T.R.Auton, J.C.R. Hunt. M.Prud'homme The force. exerted on a body in inviscid unsteady non-uniform rotational flow..//J.Fluid Mech. 1988. V.197. P.241-257.

[117] Кожевников B.H., Зидлев H. H., Перцев Н.Н. Волновое сопротивление от мезомасштабных гор // Изв. АН СССР ФАО. 1981. Т. 17, N 3 с.

■ 227.

[118] Лайтхилл М.Дж. Волны в жидкостях. М.:Мир, 1981, 600с.

[119] Janssen Р.А.Е.М. Quasilinear approximation for the spectrum of windgenerated water waves // J.Fluid.Mech. 1982. v.ll7.p.493-506.

[120] Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. ЛлГидрометеоиздат. 1981. 302 с.

[121] С.Н. Резник Волновое сопротивление локализованной неоднородности дна в стратифицированном сдвиговом потоке с нестационарным критическим слоем //Препринт ИПФ РАН СССР.N421 Н.Новгород. 1997, 21с.

[122] Wu J. Wind-induced drift currents //J.Fluid Mech. 1975. v.68. p.49-70.

[123] Cheung Т.К., Street R.L. The turbulent layer in the water at an air-water interface // J.Fluid Mech. 1988. v.194. p.133-151.

[124] Belcher S.E., Harris J.A., Street R.L. Linear dynamics of wind waves in coupled turbulent air-water flow. Part 1. Theory //J.Fluid Mech. 1994. v.271.p.119-151.

[125] Harris J.A., Belcher S.E., Street R.L. Linear dynamics of wind waves in coupled turbulent air-water flow. Part 2. Numerical model // J.Fluid Mech. 1996. v.308. p.219-254.

[126] Yalenzuela G.R. The growth of gravity-capillary waves in the coupled shear flow //.J.Fluid Mech. 1970. v.76. p.229-250.

[127] van Gastel Iv., Janssen P.A.E.M.,Komen G.J. On phase velocity and growth rate of wind induced gravity-capillary waves // J.Fluid Mech. 1985. v.161. p.199-216.

[128] Seatra 0. Wind generation of waves and effects of surface films //J.Fluid Mech. 1998. v.357. p.59-82.

[129] Hunt J.C.R., Leibovich S., Richards K.J. Turbulent shear flows over low hills//Q.J.R.Meteorol.Soc. 1988. v.ll4,T435-1470: .. у

[130] Townsend A.A. Sheared turbulence and additional distortion // J.Fluid Mech. 1980. v.98. p.171-191. м s ■ .:

[131] Townsend A.A. Flow in a deep turbulent boundary layer over a surface

differed by water waves // J.Fluid Mech. 1972. v.55. p.719-735.

■•■:■;. V.lol 1M23-I5i

[132] Launder B.E., Reece G.L., Rodi W. Progress in development of a

Reynolds-stress turbulence closure // J.Fluid Mech. 1975. v.68. p.537-566.

[133] Hsu C.T., Hsu E.Y., Street R.L. On the structure of turbulent flows over

' •• ■ " i . i a progressive water wave: theory and experiment in a transformed, wave

following coordinatr system // ,J.Fluid Mech. 1981. v.105. p.87-117.

[134] Rodi W. Models for environmental turbulence // Prediction Methods for Turbulent Flows. Hemisphere Publishing Corporation. 1980. p.227-322.

[135] Betchov R., Criminale W.O. Stability of parallel flows // Academic press, New York. London. 1967.

[136] Larson T.R., Wright J.W. Wind-generated gravity-capillary waves: laboratory measurement of temporal growth rates using mickrowave backscat-ter// J.Fluid Mech. 1975. v.70. p.417-436. ' " " t h<> W>"

[137] Keller W.C., Larson T.R., Wright JW. // Radio Sci. 1974. v.9.p.l091-

lioo, ' ' r!i!1' i!J<''

[138] Plant W.J., Wright J.W. Pha.se speeds of upwind and downwind travelling short gravity waves //J.Geophys.Res. 1980. v.85. p.3304-3310.

[139] Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика ч:1 // С.-Пб. Гидрометеоиздат. 1992. 696 с.

[140] Смольяков А.В. Спектр квадрупольного излучения плоского турбулентного пограничного слоя // Акуст.ж.1973.Т.19.вып,3. С.420-425.

[141] Wu J. Viscous sublayer below a wnd-disturbed water surface // J.Phys.Ocean. 1984. v.14. p.138-144. .

[142] Kawai S." Generation of initial wavelets by instability of a coupled shear flow and their evolution to wind waves // J.Fluid Mech. 1979. v.93. p.661-703.

[143] Benjamin Brooke T. Shearing flow over a wavy boundary //J. Fluid Mech. 1959. V.6. p.161-205.

[144] Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows. // J.Fluid Mech. 1957. v.3. p.185-204.

[145] Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows Part 2. // J.Fluid Mech. 1959. v.6. p.568-582.

.[146] Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows. Part 4. // J.Fluid Mech. 1962. v.13. p.433-448.

[147] vanDuin C.A., Janssen P.A.E.M. An analytic model of the generation of surface gravity waves by turbulent air flow // J.Fluid Mech. 1992. v.236. p.197-215.

[148] Riley D.S., Donelan M.A., Hui W.H. An extended Miles' theory for wave generation by wind // Bound.-Layer Meteor. 1982. v.22. p.209-225.

[149] Al-Zanaidi M.A., Hui W.H. Turbulent air flow over water waves a numerical study // J.Fluid Mech. 1984. v.148. p.225-246.

[150] Chalikov D. Numerical simulation of the boundary layer above waves // Bound.-Layer Meteor. 1986. v.34. p.63-98.

[151] Макин B.K. Поле ветра над волнами // Океанология. 1979. т.19. с.206-212.

[152] Gent P.R., Taylor P.A. A numerical model of the air above water waves //J.Fluid Mech. 1976. v.77. p.105-128.

[153] Gent P.R. A numerical model of the air flow above waves //Journal of Fluid Mech. 1977. V.82. p.349-369.

[154] Belcher S.E., Hunt J.C.R. Turbulent shear flow over slowy moving waves // J.Fluid Mech. 1993. v.251. p.109-148.

[155] Belcher S.E.", Newley T.M., Hunt J.C.R. The drag on an undulating surface due to the fow of a turbulent boundary layer-// J.Fluid Mech. 1993. v.249. p.557-596. . . .

[156] J.Miles Surface-wave generation: a visco-elastic model // J.Fluid Mech. 1996. v.322. p. 131-145.

[157] Mclntyre M.E. On the "wave-momentum" myth // J.Fluid Mech. 1981. V.106. p.331-348.

[158] Реутов В.П. Плотность энергии модулированных волн в пограничном слое //Препринт ИПФ РАН N218. Горький. 26 с. 1988.

[159] Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1980. 320 С.

[160] Benjamin Т.В. The threthold classification of unstable disturbances in flexible surface bounding inviscid flows. J.Fluid.Mech. 1963. v.16, N.3

[161] Островский Л.А.. Рыбак С.А., Цимринг Л.Ш. Волны с отрицательной . энергией в гидодинамике. УФН.1986. т.150. с.147.

[162] vanDuin С.A. An asymptotic theory for the generation of nonlinear surface gravity waves by turbulent air flow. //Journal of Fluid Mech. 1996. V.320. p.287-304.

[163] C.Mastenbroek, V.K.Makin, M.H.Garat, J.P.Giovanangeli Experimental evidence of the rapid distortion of turbuence in the air flow over water waves // J.Fluid Mech. 1996. v.318. p.273-302.

[164] Snyder R.L., Dobson F.W., Eliott J.A., Long R.B. Array measurements of atmospheric pressure fluctuations above surface gravity waves // J.Fluid Mech. 1981. v.102. p.1-59.

[165] Plant W. A relationship between wind stress and wave slope // J.Geophys. Res. 1982. v.87. p.1961-1967.

[166] Бочков Г.Н., Горохов К.В., Ермаков С.А., Кононов И.Р., Щегольков Ю.Б. Бпспектральный анализ регулярных и ветровых нелинейных поверхностных волн гравитационно-капиллярного диапазона // Препринт ИПФ РАИ N419. Н.Новгород. 24 с. 1996.

[167] Ramamojiarisoa A. Contribution a l'étude de la structure statistiquet de mécanismes de génération des vagues de vent // Thesis. Université de Provence (Inst. Mè ch. Stat. de la Turbulence, N A.0.10 (023).

[168] Ricci N., Caulliez G. Echelles caractéristiques des premières vagues générées par le vent // C.R.Acad.Sci.Paris. 1994. t.318. S.II. p.1591-1598.

[169] Hsu C.-T., Hsu E.Y. On the structure of turbulent flow over a progressive water wave: theory and experiment in a transformed wave following coordinate system. Part.2 //Journal of Fluid Mech. 1983. V.131. P.123-153.

[170] Макин B.K. О передаче энергии ветра поверхностным гравитационным волнам // Океанология. 1983. Т.23. N 4. С.569-575.

[171] Davis R.E. On prediction of the turbulent flow over a wavy boundary //Journal of Fluid Mech. 1972, V.52. Pt. 2. P.287-3Û6.

[172] Г.Юэн.Б.Лейк Нелинейная динамика гравитационных волн на глубо-. кой воде. М., Мир, 1987, 179 с. ' .

[173] В.И.Карпман Нелинейные волны в диспергирующих средах. ' М.,Наука, 1973, 176 с/ V у ./ : i

[174] T.Kawahara Nonlinear self-modulation of capillary-gravity waves on liquid layer. J.Phys.Soc.Japan, v.38,.Nl, 1975, p.265-270. '

[175] Ламб Г. Гидродинамика М.ГЛ..:ГЩТД, 1947, 928 с. ; ;

[176] M.S.Longuet-Higgins Action of. a variable stress at the surface of water

" waves. Phys.Fluids, v.l2,-.N4, p.737-740, 1969. Л , r A •

- [Î77] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны, М.:,; Мир, 19.77. '

[178] С. Marangoni. Sul principio délia.viscosità superficial©: dei liquidi stabili. Nuovo Cimento, Series 2, 5/6:239---273, 1872У: . \ •

[179] ,R. Dorrestein. General linearized theory of the effect of surface films on water ripples, 1-Й. Proceedings of the Koninklijke Ned6rland.se Akadernie van Wetenschappen, Series B, 54:260-272 & 350-356, 1951. . Л

[180] W, Alpers and H, Hulmerfuss. Radar signatures .of -oil films floating on the ' ; sea';.surface, and the Marangoni effect.- Journal -of Geophysical -Research,

93:3542.....3648, 1988. , : ' ' : ' ' :

[181] V.D.Djordjevic, L.G.Redekopp, On two-dimensional packets of capillary. gravity waves, Journal of Fluid Mechanics. 79:703, 1977.

[182] Longuett-Higgms M.S., Stewart R.W. Changes in the form of short gravity-waves on long waves and tidal currents. J/ J.Fluid Mech. 1960. v.8. p.565-

: ■ 583. .. .

[183] Longuett-Higgins M.S., Stewart'R.W. 1961 The changes in the form of short gravity waves on steady, non-uniform currents. // J.Fluid Mech. 1961. v.10. p.529-549.

[184] Longuet-Higgins M.S. The propagation of short surface waves on longer gravity waves // J.Fluid Mech. 1987. v.177. p.293-306.

[185] Townsend A.A. The structure of turbulent shear flow // Cambridge University Press. 1976.

[186] Keller W.C., Wright J.W. Microwave scattering and the straining of wind generated waves // Radio.Sci. 1975. v.10. p.139-147.

[187] Hasselman K. et al Measurements of wind-wave growth rate and swell decay during the Joint North Sea Wave Project (JONSWAP). // Dtsch. Hydrogr. Z. Reihe A. 1973. v.8. p.12.

[188] P. A. E. M. Janssen. Wave-induced stress and the drag of air flow over sea waves. Journal of Physical Oceanography, 19:745-754, 1989.

[189] Bjerkaas A.W., Riedel F.W.1979 Proposed model for the elevation spectrum of a wind-roughed sea surface. Rep.T-G-1328 32pp., Appl.Phys.Lab., Johns Hopkins Univ., Laurel,Md.,.