Резонансный захват и специальные эргодические теоремы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Рыжов, Дмитрий Александрович

• Рыжов, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыжов, Дмитрий Александрович

Оглавление

Введение

1. Резонансный захват

1.1. Введение: формулировки и обозначения

1.2. Выпрямляющая замена для уравнения класса Д и его возмущений

1.2.1. Интегрируемый случай

1.2.2. Преобразования возмущений

1.3. Захват фазы

1.3.1. Критерий захвата

1.3.2. Методы теории возмущений

1.3.3. Резонансные мономы

1.3.4. Приложение к возмущенному уравнению класса Д

1.4. Накопление языков Арнольда

1.4.1. Языки Арнольда: случай к — 2

1.4.2. Языки Арнольда: случай к > 2

1.4.3. Захват фазы для возмущений общего вида

2. Специальные эргодические теоремы

2.1. Введение

2.1.1. Напоминание

2.1.2. Принципы больших уклонений

2.1.3. Теорема для отображений и ее приложения

2.1.4. Потоки

2.2. Доказательства

2.2.1. Доказательство основной теоремы

2.2.2. Доказательство теоремы 2.2

3. Диффеоморфизм, для которого СЭТ не выполняется

3.1. Размерность 1: разрывное отображение отрезка

3.2. Размерность 2: просеивающая конструкция

3.3. Размерность 3: поток на стратифицированном многообразии

3.3.1. Эвристическое описание

3.3.2. Построение стратифицированного многообразия

3.3.3. Построение потока

3.4. Размерность 4: склейка настоящего многообразия

3.4.1. Снова эвристическое описание

3.4.2. Построение многообразия с кусочно гладкой границей

3.4.3. Построение потока

3.4.4. Доказательство теоремы

3.4.5. Замечания о топологическом типе многообразия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансный захват и специальные эргодические теоремы»

Введение

Актуальность темы. Работа посвящена исследованиям в теории динамических систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений, теории возмущений, эргодической теории и теории фракталов.

Согласно современной научной парадигме, основной задачей теории динамических систем является описание асимптотического поведения большинства траекторий типичной динамической системы. Такая формулировка требует пояснения нескольких вопросов: относительно какой меры рассматривается большинство траекторий; в каких терминах должно быть описано асимптотическое поведение; что означает термин "типичная динамическая система"?

У всех рассматриваемых в работе динамических систем фазовое пространство представляет собой компактное риманово многообразие. В этом случае риманова метрика каноническим образом порождает вероятностную меру Лебега. Тогда с физической точки зрения наиболее естественный способ описать „большинство траекторий" — это выбрать начальную точку траектории типичной относительно меры Лебега.

Асимптотическое поведение траекторий описывается в терминах инва-

риантных мер. Пусть / : М —>• М — отображение компактного риманова многообразия М в себя. Знаменитая эргодическая теорема Биркгофа гласит, что если ц — эргодическая инвариантная мера для /, то для любой непрерывной функции <£> е С(М) и для /л-почти любого х € М пространственные средние <рп функции (р в точке х сходятся к ее временному среднему (р\

Заключение этой теоремы имеет один существенный недостаток: если мера ¡i сосредоточена на каком-либо „тонком" множестве (например, в точке), мы не можем сделать никаких выводов относительно поведения системы вне этого множества. В частности, в этом случае эргодическая теорема не описывает поведение типичной начальной точки относительно меры Лебега.

Вышесказанное приводит нас к широко известному понятию меры Синая-Рюэлля-Боуэна (или, для краткости, SRB-меры). А именно, инвариантная вероятностная мера ¡i называется (глобальной) SRB-мерой для преобразования / : М —> М, если для всякой непрерывной функции ip и для почти любой по мере Лебега точки х 6 М, временные средние функции ip в точке х стремятся к ее пространственному среднему (т. е. выполнено равенство (erg)).

Заметим, что не все системы обладают SRB-мерами. Первый пример такого рода, гетероклинический аттрактор, был указан самим Боуэном (см. [33], [10]). Однако в некоторых предположениях (например, в гипербо-

п-1

(erg)

лическом случае) можно гарантировать их существование; см. обзоры [43] и [4, Гл. 14].

На протяжении последних 100 лет, в теории динамических систем развивались два конкурирующих подхода к понятию типичности в семействе (классе) динамических систем: топологический (множество 1-й категории по Бэру) и метрический (множество полной меры). Разнообразные примеры, показывающие различие между понятиями метрической и топологической типичности, можно найти в статье [39]. В настоящее время наиболее широко распространена точка зрения, предложенная А. Н. Колмогоровым в пленарном докладе на Международном Математическом Конгрессе в 1954 г. в Амстердаме [24]: „ Категорный подход интересен в большей степени как инструмент для доказательства теорем существования..., тогда как метрический подход представляется более естественным и физически мотивированным... ".

Таким образом, рассматривая определенный бесконечномерный класс динамических систем, типичность некоторого явления в этом классе следует понимать следующим образом: оно наблюдается при почти всех (по мере Лебега) значениях параметра в репрезентативных конечнопарамет-рических семействах динамических систем [27]. В частности, ясно если некоторое свойство выполняется для произвольного малого возмущения динамической системы (в данном классе), то оно является локально типичным и „физически значимым".

Заметим также, что одна из возможных аккуратных формализации понятия метрической типичности в бесконечномерных класссах динамиче-

ских систем (метрическая превалентность) принадлежит В. Ю. Калошину [17, 18].

Настоящая диссертация посвящена исследованию типичности свойств динамических систем различных классов и анализу множества нетипичных начальных условий при наличии у системы глобальной ЗШЗ-меры.

Первая глава диссертации посвящена исследованиям свойств неавтономных вещественных дифференциальных уравнений на торе Т2 = М2/2тг£2 вида

х = втх + а ++ 8д{х), (*)

где функции / и д 27г-периодические, а функция д{х) нечетна.

При 6 = 0 семейство (*) превращается в уравнение

ж = втж + а + £/(£), (**)

которое рассматривается не только при малом, но и при любом е.

Такие уравнения порождают векторные поля на торе с глобальной трансверсалью {£ = 0}. Ключевым параметром, описывающим поведение системы, является число вращения отображения первого возвращения на эту трансверсаль (отображения Пуанкаре). Если это число рационально, то все траектории рекуррентны к периодическим, а если оно иррационально, то система демонстрирует иррегулярное поведение [4].

Специфика рассматриваемых семейств уравнений и особенная значимость числа вращения отображения Пуанкаре обусловлены тем, что такие уравнения успешно используются для моделирования динамики перехода

Джозефсона ([26], [40], [20]). Мы будем называть уравнение (**) уравнением класса Д (в честь Джозефсона). Изучение этих уравнений и рассматриваемые в работе проблемы мотивированы вопросом о том, какова зависимость среднего значения напряжения от среднего значения тока в джозефсоновском переходе. Результаты работы могут иметь приложения как в теоретической физике, так и в технике.

Приведем физическую интерпретацию этого уравнения.

В 1962 г. Б. Джозефсон теоретически обосновал возможность появления сверхпроводящей компоненты для тока, протекающего через слабый электрический контакт двух сверхпроводящих электродов (такой контакт называется джозефсоновским переходом). Через год существование этого эффекта (названного позже эффектом Джозефсона) было подтверждено экспериментально.

Предположим, что через джозефсоновский переход протекает заданный ток г(£) = г + i(t) (например, ток порождается переменным электромагнитным полем — внешним сигналом), который разлагается в сумму постоянного слагаемого г и периодического слагаемого г с нулевым средним. Напряжение на электродах джозефсоновского перехода задается производной по времени от функции (р. В то время как функция ф описывает макрофизическую величину (напряжение на полюсах ), сама функция Ф имеет квантово-механическую природу. Это — разность фаз волновых функций, описывающих коллективные свойства "жидкости" куперовских пар электронов в сверхпроводящих электродах.

Для описания поведения джозефсоновского перехода успешно используется так называемая резистивная модель с малой ёмкостью (большим затуханием), которая задается следующим уравнением в безразмерных переменных ([26], [40]):

Ф + — (рь)

где .Р — нечетная 27г-периодическая функция. В физической литературе функция Р называется токо-фазовой зависимостью. Для большинства конкретных реализаций джозефсоновского перехода она имеет вид

Р(ф) = тир + #(</?),

причем слагаемое Н либо тождественно равно нулю, либо мало, и им часто пренебрегают. Однако существуют и другие конструкции джозефсоновского перехода, для которых функция Р далека от синуса. К ним относится, например, т. н. Б^-сэндвич, с прослойкой из чистого металла и при очень низких температурах ([40], стр 117).

Следует отметить, что уравнение (рЬ) приводилось как моделирующее поведение сильношунтированного джозефсоновского перехода во множестве источников, в том числе в знаменитых Фейнмановских лекциях по физике (см, напр., [36]). Однако правомерность рассмотрения такой модели и высокое соответствие результатам эксперимента было получено лишь сравнительно недавно в работах В. М. Бухштабера и соавторов, см. [20],

И-

Отметим также, что то же самое уравнение (**) описывает велосипедные траектории и динамику планиметра Притца, см. [37] и [25].

Уравнение (рЬ) при малом Н = ёд и малом г = е/ имеет вид (*) (мы заменяем <р> на х и г на а). Зависимость среднего (по времени) значения напряжения ф от среднего значения тока в уравнении (рЬ) называется вольт-амперной характеристикой джозефсоновского перехода. В обозначениях уравнения (*), для описываемого этим уравнением джозефсоновского перехода среднее значение напряжения является числом вращения отображения Пуанкаре за время 2тт, рассматриваемого как функция от параметра а при фиксированных е и 6; ниже эта функция обозначается через р. Действительно, среднее значение напряжения за время Т — это значение фазы <р(Т), деленное на время Т. По определению, это число вращения уравнения (*).

Отображение Пуанкаре для уравнения (*) обозначим через Р. Пусть Л = Л (а, г, 6) := Игпп-юо Р — его число вращения. Здесь Р - поднятие отображения Пуанкаре на универсальную накрывающую. Соответственно, всюду далее число вращения понимается не как элемент из 51, а как элемент из М, и на окружности длины 2-7г уравнение ф = Л имеет число вращения, равное Л.

Соображения, приведенные выше, показывают, что вопрос о свойствах вольт-амперной характеристики джозефсоновского перехода в ре-зистивной модели с большим затуханием эквивалентен вопросу о зависимости числа вращения отображения Р от параметра а.

В типичных конечнопараметрических семействах диффеоморфизмов окружности число вращения принимает каждое рациональное значение в целой области пространства параметров [21]. Такие области называются языками Арнольда или зонами захвата фазы. В физической литературе соответствующие ступеньки на вольт-амперной характеристике называются ступеньками Шапиро.

Для уравнений класса Д структура языков Арнольда резко отличается от типичной. А именно, захват фазы в семействе уравнений (**) происходит только при целых значениях числа вращения. В работе [7] это явление названо квантованием числа вращения.

Впервые этот факт был доказан Футом [37]. Впоследствии он был обобщен Леви и Табачниковым в [25] на аналогичные уравнения в большей размерности. В контексте динамики джозефсоновского перехода он был впервые опубликован в [7].

Наиболее простое известное автору доказательство было предложено Ю. Ильяшенко и опубликовано в [16]. Оно основано на том, что замена у = ^ переводит уравнение (**) в уравнение Риккатти на проективной прямой с периодическими коэффициентами. Преобразование мо-нодромии такой динамической системы за период дробно-линейно. Следовательно, когда отображение Пуанкаре является гиперболическим (имеет две неподвижные точки на окружности), число вращения целое, а параметры принадлежат зоне захвата фазы. Когда это отображение параболическое (неподвижные точки сливаются), параметры выходят на границу зоны захвата. Когда отображение Пуанкаре эллиптическое (неподвижные

точки уходят в комплексную область), оно приводится к повороту дробно-линейным преобразованием независимо от того, рационально число вращения или нет.

Итак, для семейства (*) при 6 = 0 ступеньки Шапиро появляются только при целых значениях числа вращения. Однако приведенный выше анализ показывает, что рассмотрение семейства при (*) при 6 ^ О также физически мотивировано. Поэтому возникает естественный вопрос: каким образом происходит захват фазы в семействе (*) ?

Основные результаты главы 1 показывают, что типичное возмущение синусоидальной токо-фазовой зависимости порождает счетное число зон захвата фазы, расположенных недискретно. Типичность понимается в указанном выше метрическом смысле. Таким образом, захват фазы в семействе (*) происходит совсем иначе, нежели в семействе (**), и во многом напоминает захват в типичных конечнопараметрических семействах диффеоморфизмов окружности. Это является принципиально новым явлением в теоретическом моделировании ступенек Шапиро.

Вторая и третья главы диссертации относятся к эргодиче-ской теории.Мотивировкой для изучения задач, которые рассматриваются в этих главах, служит вопрос об устойчивости различных метрических свойств динамических систем, таких как наличие толстого аттрактора [13] или аттракторов с перемежающимися бассейнами притяжения [19], [14], [23].

Один из возможных подходов к доказательству локальной типичности

некоторого свойства в классе (достаточно гладких) динамических систем на компактном римановом многообразии был предложен А. С. Городецким и Ю. С. Ильяшенко. Он заключается в следующем.

Предположим, фазовое пространство раскладывается в прямую сумму двух других многообразий. Если отображение, задающее динамическую систему, записано покомпонентно (в соответствии с этой прямой суммой), и образ первой компоненты („базы") не зависит от второй компоненты („слоя"), то такое отображение называется косым произведением. Подход А. С. Городецкого и Ю. С. Ильяшенко заключается в том, чтобы, обнаружив (предположительно, локально типичное) свойство динамической системы, доказать локальную типичность этого свойства в классе косых произведений, а затем перенести его на пространство произвольных гладких отображений с помощью отображения, сопрягающего гладкое отображение с косым произведением. При определенных условиях на отображение (dominated splitting), такое сопрягающее отображение обязано существовать [38]. Проблема состоит в том, что оно может не являться абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а такие отображения могут переводить множество полной меры Лебега в множество меры ноль и наоборот. Это явление называется кошмаром Фубини (потому что заключение теоремы Фубини не выполняется при очень похожих предположениях), см. [29], [41]. Оно не позволяет напрямую переносить метрические свойства динамической системы с косого произведения на его возмущения.

Однако при определенных предположениях на возмущаемое косое произведение, сопрягающее отображение оказывается гёльдеровым [11]. Более

того, малостью возмущения можно добиться того, чтобы показатель Гёль-дера был равномерно стремился к 1 при стремлении возмущения к нулю в подходящей метрике [15].

Из сказанного выше следует, что даже существования глобальной SRB-меры иногда оказывается недостаточно. В некоторых ситуациях (см. [14], [15], [23]), необходимо не только утверждение о том, что множество "плохих" начальных точек имеет нулевую меру Лебега, но и сохранение этого свойства при гёльдеровом (но не обязательно абсолютно непрерывном!) сопряжении динамических систем. "Плохим" множеством обычно оказывается множество существенно нетипичных точек относительно SRB-меры, то есть множество тех начальных условий, для которых утверждение "временные средние сходятся к пространственному" (равенство (erg)) не выполняется "существенно".

Один из возможных подходов к этой проблеме основан на анализе хаусдорфовой размерности этого множества. Действительно, как известно [35], хаусдорфову размерность несложно проконтролировать с помощью показателя Гёльдера: если отображение h гёльдерово с показателем сг, а dim# М — d, то dim# h(M) < d/u. Отсюда следует, что если хаусдор-фова размерность d множества М меньше размерности многообразия, то близостью показателя Гёльдера сг к 1 можно добиться того, чтобы число d/a также было меньше размерности многообразия. В этом случае, образ "плохого" множества по-прежнему будет иметь нулевую меру Лебега, и сложность, связанная с кошмаром Фубини, будет преодолена.

Это приводит к предложенному Ю. С. Ильяшенко понятию специалъ-

ной эргодической теоремы, которому посвящены вторая и третья главы настоящей диссертации. Введем несколько вспомогательных обозначений.

Выберем произвольную непрерывную тест-функцию <р Е С(М) и произвольное число а ^ 0, и определим множество (у, а)-нетипичных точек как

К<р,а := bei: lim | ipn(x) -<p\> a \ .

I n—>00 J

Другими словами, Кф>а — это описанное выше "плохое" множество, т.е. множество тех начальных условий, для которых утверждение "временные средние сходятся к пространственному" не выполняется "существенно".

По определению, если ц — глобальная SRB-мера, то ЬеЬ(^;о) = 0. Везде ниже мы будем работать в этом предположении. Иначе наше все наши расссуждения можно ограничить на бассейн притяжения U С М этой меры — то есть, на (инвариантное) множество всех точек, для которых выполняется равенство (erg) временных и пространственного средних.

Будем говорить, что для (/, р) выполняется специальная эргодическая теорема (СЭТ), если для всякой непрерывной функции ip е С(М) и любого а > 0 хаусдорфова размерность множества KVja строго меньше размерности фазового пространства:

VV € С(М), а > 0 сИтя < dim М. (set)

Заметим, что, формально говоря, для того, чтобы сформулировать вопрос о выполнении специальной эргодической теоремы, нет необходимости требовать существования SRB-меры. Однако из свойства (set) автоматически вытекает, что р — глобальная SRB-мера. Действительно, множе-

ство К<р$ тех точек, для которых равенство {erg) временных и пространственного средних не выполняется, может быть покрыто счетным объединением множеств K¡p¡i/n, п £ N, нулевой меры Лебега.

Введя понятие специальной эргодической теоремы, Ю. С. Ильяшен-ко [14] доказал, что она выполняется для отображения удвоения окружности; затем П. С. Салтыков [32] доказал, что она выполняется также для линейных отображений Аносова на двумерном торе. Похожие вопросы также были рассмотрены в работе Б. М. Гуревича и А. А. Темпель-мана [12], посвященной вычислению хаусдорфовой размерности множеств уровня биркгофовских средних для конечных спиновых решеток.

Возникают естественные вопросы:

• для каких отображений выполняется специальная эргодическая теорема?

• верно ли, что специальная эргодическая теорема выполнена во всех случаях, когда у отображения есть глобальная SRB-мера?

Вторая часть диссертации посвящена доказательству специальной эргодической теоремы для более широкого класса отображений, а также потоков (определение СЭТ для потоков приведено ниже). В ней доказано, что специальная эргодическая теорема является следствием другого свойства системы, а именно, динамического принципа больших уклонений. Отсюда следует, что специальная эргодическая теорема выполняется, например, для всех транзитивных гиперболических С2-диффеоморфизмов, для частично гиперболических неравномерно растяги-

вающих С1-диффеоморфизмов, а также для некоторых других примеров, которые будут описаны в части 2.

В третьей части диссертации дается отрицательный ответ на последний вопрос: приводится пример такого диффеоморфизма замкнутого риманова многообразия, для которого специальная эргодическая теорема не выполняется, несмотря на наличие глобальной ЭЛВ-меры.

Актуальность работы следует из вышесказанного.

Цель работы. Целью первой части работы является изучение языков Арнольда для отображения Пуанкаре уравнения (*) и анализ асимптотики их размера при е,6 —> 0. Полученные результаты показывают, что структура языков Арнольда для отображения (**) и его возмущений (*) существенно различаются. Целью второй части работы является расширение достаточных условий выполнения специальной эргодической теоремы для дискретных и непрерывных динамических систем, обладающих БИВ-мерой. Целью третьей части работы является демонстрация того, что наличия глобальной ЭЛВ-меры недостаточно для выполнения специальной эргодической теоремы. Построенный в третьей части пример разрешает указанную проблему.

Методы исследования. В первой части работы используются методы теории возмущений, восходящие к В. И. Арнольду и его школе [3], [9]. Во второй части работы используются методы эргодической теории, в частности, анализ хаусдорфовой размерности специальных множеств с помощью оценок скорости разбегания траекторий дискретной динамической си-

стемы. В третьей части работы используются методы теории фракталов, анализ гладких потоков на компактных многообразиях, а также различные топологические конструкции построения компактных многообразий. В частности, представлена оригинальная конструкция непрерывной динамической реализации множеств канторовского типа.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. В работе получено три основных результата:

• Доказано, что эффект отсутствия языков Арнольда в уравнениях вида (*), отвечающих дробным значениям числа вращения, наблюдается в семействе уравнений, имеющим коразмерность бесконечность в пространстве всех уравнений, моделирующих джозефсоновский переход.

• Доказано, что выполнение специальной эргодической теоремы для липшицева преобразования следует из выполнения динамического принципа больших уклонений, и описаны многочисленные случаи, когда описанная импликация применима.

• Построен пример бесконечно гладкого диффеоморфизма компактного многообразия, которое обладает глобальной ЭШВ-мерой, но для которого специальная эргодическая теорема не выполняется.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к качественной теории дифференциальных уравнений, эргодической теории и теории динамических систем. Разработанные в диссертации методы и полученные результаты могут быть полезны специалистам для решения физических задач

по анализу ступенек Шапиро на вольт-амперных характеристиках, а также математических задач, связанных с типичностью метрических свойств аттракторов динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством д. ф.-м. н., проф. Ю. С. Ильяшенко в 2009-2011 гг (неоднократно);

• на семинаре кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ под руководством д. ф.-м. н., проф. Б. М. Гуревича в 2012 г.;

• на семинаре Добрушинской лаборатории ИППИ им. Харкевича (Москва) под руководством д.ф.-м.н., с.н.с. М. JI. Бланка в 2011 г.;

• на семинаре «Динамические системы» лаборатории им. Чебышева при СПбГУ (Санкт-Петербург) под руководством д. ф.-м. н., с.н.с. С. Г. Крыжевича в 2011 г. (неоднократно);

• на семинаре по динамическим системам отделения математики Кор-нельского университета (Cornell University, Ithaca, USA) в 2011 г.;

• на семинаре отдела дифференциальных уравнений в МИ АН им. Стек-лова под руководством акад. Д. В. Аносова в 2011 г.;

• на Международной конференции «Dynamical systems and classical

mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold 1937 - 2010» (Великобритания, Эдинбург, ICMS, 3-7 октября 2011 г.);

• на семинаре «Динамические системы» в Независимом Московском Университете под руководством автора в 2010-2011 гг;

• на летней школе «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., проф. Ю. С. Ильяшенко в 2011 г.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в статьях [16], [22], [31].

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 43 наименования. Общий объем диссертации — 90 страниц.

Краткое содержание диссертации

В главе 1 изучается фазовый захват в семействе (*). Для исследования семейства (*) достаточно изучить семейства вида

х = sin х + а + е sin It + S sin kx (***)

при различных целых I и к.

Рассмотрим такое семейство как малое возмущение интегрируемого семейства

х — sin a: -f а, х € S1.

Пусть, как и выше, Л = А(а, £, 6) — это число вращения отображения Пуанкаре системы (***). При |а| ^ 1 система из последнего се-

мейства имеет особые точки и А(а,0,0) = 0. Поэтому всюду ниже будем считать, что |а| > 1. В разделе 1.2 показано, что в этом случае А(а, 0,0) = у/а2 — 1. Область захвата фазы (язык Арнольда) в системе (1.3), соответствующая числу вращения Л — p/q — это множество Tp/q — {(а, е, 5) | Х(а,е,6) — p/q} при условии, что в любой окрестности точки (а = \rp2/q2 + 1,0,0) внутренность этого множества непуста.

Сформулируем основные результаты главы 1.

Теорема 1.1. В семействе (***) при любом I и \к\ = 2 происходит захват фазы для любого рационального числа вращения p/q при р — =Ы и \q\ > 1. Соответствующие языки Арнольда имеют ширину порядка еб.

Последняя фраза означает, что при достаточно малых е, 5 сечение языка Арнольда Т\ прямой {е, 6 = const} имеет длину, заключенную между С\еЬ и С2£б, где Ci = Сг(А) - положительные константы.

При |fc| > 2 доказан несколько более слабый результат.

Теорема 1.2. В семействе (***) при любом I и \к\ > 2 происходит захват фазы для любого рационального числа вращения p/q при р = и ecexq, кроме, быть может, 14&+20 значений. Соответствующие языки Арнольда имеют ширину порядка еб.

Суммируя результаты предыдущих двух теорем, мы приходим к следующему выводу.

Теорема 1.3. Пусть в семействе (*) функция f имеет вид

оо

а д = Бткх, > 1. Тогда для типичного набора параметров щ, 6/ захват фазы в семействе (*) происходит при всех рациональных числах вращения р/д (кроме, быть может, 14/с + 20 значений д при каждом фиксированном р). Соответствующие языки Арнольда имеют ширину порядка её.

Теорема 1.1 доказана в параграфе 1.4.1, который предваряется выводом выпрямляющей замены (раздел 1.2) и сведениями из теории Галкина (раздел 1.3). Теорема 1.2 доказана в параграфе 1.4.2. В последнем параграфе главы 1 из нее выводится теорема 1.3, которая устанавливает существование плотного множества языков Арнольда для наиболее общего возмущения семейства (*).

Теоремы 1.1 и 1.2 доказаны методами теории возмущений. Доказательства заканчиваются, когда удается показать, что в соответствующих рядах появляется резонансный моном с ненулевым коэффициентом. Этот коэффициент в условиях теоремы 1.1 удается точно вычислить. В условиях теоремы 1.2 его удается описать и доказать, что он отличен от нуля при всех значениях д, кроме конечного числа (равного 14к + 20).

Таким образом, джозефсоновские контакты с токо-фазовыми характеристиками, которые описываются уравнениями класса Д, с одной стороны, и возмущениями этого уравнения, с другой, обладают совершенно различными вольт-амперными характеристиками. Тем самым, физически значимый эффект отсутствия ступенек Шапиро, отвечающих дробным значениям числа вращения, описывается семейством уравнений, имеющим кораз-

мерность бесконечность в пространстве всех уравнений (рЬ). Необходимо подчеркнуть парадоксальность этого явления в свете философии "общности положения", восходящей к Арнольду и Тому.

Приступим к изложению результатов главы 2. Пусть / : М —У М — отображение компактного риманова многообразия М в себя. Напомним, по произвольной непрерывной тест-функции <р е С(М) и произвольному числу а ^ О мы определяем множество (<р, а)-нетипичных точек как

Мы предполагаем, что ¡л — глобальная ЗШЗ-мера, и ЬеЬ(К¥,1о) — О (иначе наше все расссуждения можно ограничить на бассейн притяжения и С М этой меры).

Определение. Будем говорить, что для (/, у) выполняется специальная эргодическая теорема, если для всякой непрерывной функции (р £ С{М) и любого а. > 0 хаусдорфова размерность множества К<рА строго меньше размерности фазового пространства:

Основные результаты главы 2 состоят в следующем.

Теорема 2.1. Пусть / : М —»■ М — липшицево отображение компактного риманова многообразия М в себя, а /I — глобальная вЯВ-мера. Если для (/, /л) выполняется динамический принцип больших уклонений по отношению к лебеговой мере, то для такого отображения выполняется и специальная эргодическая теорема.

е С(М), а > 0 сШпя < <НтМ.

Следствие 2.1. Специальная эргодическая теорема выполняется:

• для транзитивных гиперболических аттракторов С2-гладких диффеоморфизмов; в частности, для транзитивных С2-гладких диффеоморфизмов Аносова;

• для стохастических отображений из вещественного квадратичного семейства f(x) — х2 + с;

• для типичных отображений из С2-гладких унимодальных семейств общего положения;

• для частично гиперболических неравномерно растягивающих С1-гладких диффеоморфизмов;

• для лоренцеобразных отображений.

Подробные пояснения приведены в параграфах 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3. Теорема 2.1 доказана в параграфе 2.2.1. Следствие 2.1 доказано в парагра-

Вышеизложенное можно легко перенести на случай потоков. Пусть {/¿} — поток на компактном римановом многообразии М, с инвариантной мерой ¡1. Возьмем непрерывную функцию <р € С(М) и точку ж € М, и обозначим среднее значение функции ц)Т за время Т > 0 как

t=o

Так же, как и для отображений, по непрерывной функции (р € С(М) и

фе 2.1.3

т

числу а ^ 0 можно определить множество (</?, а)-нетипичных точек:

Определение. Для потока .Р с инвариантной мерой ¡1 выполняется специальная эргодическая теорема, если для каждой непрерывной функции ср £ С{М) и всякого а > 0 хаусдорфова размерность множества строго меньше размерности фазового пространства:

Теорема 2.2. Пусть р, — инвариантная мера для потока {/¿} на компактном римановом многообразии М. Предположим, что /1 : М —> М — липшицево отображение многообразия М в себя. Если для выполнен принцип больших уклонений по отношению к мере Лебега, то для ({Л},аО выполнена и специальная эргодическая теорема.

Следствие 2.2. Специальная эргодическая теорема выполняется для аносовских, лоренцевых и геометрических лоренцевых потоков.

Подробные пояснения приведены в параграфе 2.1.4. В том же параграфе доказано следствие 2.2. Теорема 2.2 доказана в параграфе 2.2.2. Она представляет собой несложное следствие теоремы 2.1.

Главным результатом главы 3 является следующая теорема.

Теорема 3.1. Существует С00-гладкий диффеоморфизм замкнутого многообразия, который обладает глобальной ЗШЗ-мерой, но для которого специальная эргодическая теорема не выполняется.

Иш I (рт(х) - (р\ > а

Уу е С(М), а > 0 6зтн < сИт М.

Доказательство конструктивное: приведен пример такого диффеоморфизма. Размерность фазового пространства в этом примере равна 4. Оно гомеоморфно прямому произведению двух экземпляров 53 х 51, см. параграф 3.4.5.

Основная идея построения примера состоит в том, чтобы начать с множества, имеющего нулевую меру Лебега и полную хаусдорфову размерность, а затем попробовать сконструировать такое преобразование, для которого это множество является (</?, а)-нетипичным для некоторой тест-функции ср и некоторого а > 0. Для этого мы сперва описываем семейство подмножеств отрезка, имеющих нулевую меру Лебега и хаусдорфову размерность 1. Мы можем построить лишь разрывное преобразование, для которого множество из этого семейства являлось бы (ср, о;)-нетипичным, поэтому увеличиваем размерность с 1 до 4, последовательно устраняя разрывность и негладкость отображения. Этому посвящены разделы 3.1-3.4 главы 3, пронумерованные в соответствии с размерностью фазовых пространств обсуждаемых в них динамических систем.

Сама теорема 3.1 доказана в параграфе 3.4.4. Доказательство состоит из четырех шагов. На первом шаге мы строим пример гладкого отображения компактного многообразия с кусочно гладкой границей внутрь себя. Такой пример (с БИВ-мерой, но для которого СЭТ не выполняется) немедленно получается с помощью конструкций, описанных в предыдущих разделах. Остальные три шага посвящены усовершенствованию примера: построению примера на многообразии с гладкой границей, затем построению взаимно однозначного отображения на том же многообразии, и, на-

конец, построению диффеоморфизма замкнутого мнообразия (избавлению от границы).

Я чрезвычайно признателен моему учителю Юлию Сергеевичу Илья-шенко за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе, многочисленные плодотворные обсуждения и ценные замечания, а также за создание великолепной научной атмосферы на семинаре и летних школах, проходивших под его руководством.

Я признателен участникам вышеупомянутого семинара; в особенности — В. А. Клепцыну за многочисленные обсуждения и идеи, использованные при получении результатов глав 2 и 3, а также за внимание к работе и постоянное расширение моего научного кругозора.

Я благодарен В. М. Бухштаберу, который обратил мое внимание и внимание моих соавторов на уравнение класса Д и, в частности, на работы [5]-[7], [34], [20].

Кроме того, выражаю свою признательность руководителям Лаборатории им. Чебышева при СПбГУ С. К. Смирнову, Д. С. Челкаку и С. Г. Кры-жевичу за создание замечательного научного коллектива, в котором я работал в течение 2011 года.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рыжов, Дмитрий Александрович, 2012 год

Литература

[1] V. ARAUJO. Large deviations for semiflows over a non-uniformly expanding base. Bulletim of the Brazilian Math. Society, 38:3 (2007), 335376.

[2] V. ARAUJO, M. J. PACIFICO. Large deviations for non-uniformly expanding maps. J. Stat. Phys.: 125 (2006), 411-453.

[3] в. и. арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1978

[4] L. barreira, Ya. pesin. Smooth Ergodic Theory and Nonuniformly Hyperbolic Dynamics. In: Handbook of dynamical systems. Vol. IB, 57263. Editors: B. Hasselblatt, A. Katok. Elsevier, Amsterdam, 2006.

[5] В. M. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный. О свойствах дифференциального уравнения, описывающего динамику сильношун-тированного перехода Джозефсона. УМЯ, 59:2 (2004), 187-188.

[6] В. М. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный. Математические модели динамики сильношунтированного перехода Джозефсона. УМН, 63:3 (2008), 155-156

[7] В. М. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный. Эффект квантования числа вращения. ТМФ, 162:2 (2010), 254-265.

[8] S. R. S. VARADHAN. Large deviations. Annals of Probability, 36:2 (2008), 397-419.

[9] О. Г. ГАЛКИН. Фазовый захват для отображений тора типа Матье. Функц. анализ и его прил., 27:1 (1993), 1-11

[10] Т. Golenishcheva-Kutuzova, V. Kleptsyn. Non-convergence of the Krylov-Bogolubov procedure for the Bowen's example. Mathematical Notes, 82:5 (2007), 678-689

[11] А. С. ГОРОДЕЦКИЙ. Регулярность центральных слоев частично гиперболических множеств и приложения. Изв. РАН. Сер. матем., 70:6 (2006), 19-44

[12] Б. М. гуревич, А. А. Темпельман. Хаусдорфова размерность множества типичных точек для гиббсовских мер. Функц. анализ и его прил., 36:3 (2002), 68-71.

[13] Yu. ILYASHENKO. Thick attractors of boundary preserving diffeomorphisms. Indagationes Mathematicae, 22:3-4 (2011), 257-314

[14] Yu. ilyashenko, V. Klepstyn, P.Saltykov. Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins. Journal of Fixed Point Theory and Applications, 3:2 (2008), 449463.

[15] Yu. Ilyashenko, A. Nbgut. Holder properties of perturbed skew products and Fubini regained. E-print:, http://arxiv.org/abs/1005.0173

[16] Ю. С. Ильяшенко, д. А. Рыжов, д. А. Филимонов. Захват фазы для уравнений, описывающих резистивную модель джозефсо-новского перехода, и их возмущений. Функц. анализ и его прил., 45:3 (2011), 41-54

[17] В. Ю. калошин. Превалентность в пространствах конечногладких отображений. Функц. анализ и его прил., 31:2 (1997), 27-33

[18] В. Ю. КАЛОШИН. Некоторые превалентные свойства гладких динамических систем. Тр. МИАН, 213 (1997), 123-151

[19] I. KAN. Open sets of diffeomorphisms having two attractors, each with everywhere dense basin. Bull. Amer. Math. Soc., 31:3 (1994), 68-74

[20] О. V. Karpov, V. M. Buchstaber, S. i. Tertychniy, J. nlemeyer, O. Kieler. Modeling of rf-biased overdamped Josephson junctions. J. Appl. Phys., 104:9 (2008), 093910.

[21] А. В. Каток, В. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал (2000)

[22] V. Klepstyn, D. Ryzhov. Special ergodic theorem for hyperbolic maps. E-print:, http://arxiv.org/abs/1109.4060

[23] V. Kleptsyn, P. Saltykov. On C2-stably intermingled attractors in the classes of boundary-preserving maps. Transactions of Moscow Mathematical Society, 72:2 (2011)

[24] а. N. kolmogorov. Theorie generale des syte'mes dynamiques et mecanique classique. Proc. of International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, 1, 315-333. North-Holland, Amsterdam, 1957.

[25] M. Levi, S. Tabachnikov. On bicycle tire tracks geometry, hatchet planimeter, Menzin's conjecture and oscillation of unicycle tracks. Experiment. Math. 18:2 (2009), 173-186.

[26] К. К. лихарев, Б. e. Ульрих. Системы с джозефсоновскими контактами. М.: Изд-во МГУ,, 1978

[27] М. LYUBICH. The quadratic family as a qualitatively solvable model of chaos. Notices of the AMS, 47:9 (2000), 1042-1052

[28] i. melbourne, m. Nicol. Large deviations for nonuniformly hyperbolic systems. Trans. Amer. Math. Soc., 360 (2008), 6661-6676.

[29] J. MlLNOR. Fubini foiled: Katok's paradoxical example in measure theory. Math. Intelligencer, 19:2 (1997), 30-32

[30] L. Rey-Bellet, L.-S. Young. Large deviations in non-uniformly hyperbolic dynamical systems. Ergod. Th. & Dynam. Sys., 28 (2008), 587-612.

[31] Д. А. Рыжов. Пример диффеоморфизма, для которого специальная эргодическая теорема не выполняется. Деп. в ВИНИТИ 01.04.2012, М11-В2012, 1-30. E-print: D. ryzhov Example of a diffeomorphism for which the special ergodic theorem doesn't hold. http://arxiv.org/abs/1112.6023

[32] P. SALTYKOV. Special ergodic theorem for Anosov diffeomorphisms on the 2-torus. Functional Analysis and its Applications, 45:1 (2011), 69-78.

[33] F. TAKENS, Heteroclinic attractors: time averages and moduli of topological conjugacy. Bol. Soc. Bras. Mat. 25:1 (1994), 107-120.

[34] С. И. ТЕРТЫЧНЫЙ. Об асимптотических свойствах решений уравнения ф + sin<£> = / при периодическом /. УМН, 55:1 (2000), 195—196

[35] К. FALCONER. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. New York, 1990.

[36] P. Фейнман, P. Лейтон, M. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Современная наука о природе, полный курс общей физики, в 9 вып. М.: ЛКИ (2007)

[37] R. L. FOOTE. Geometry of the Prytz Planimeter. Reports on Math. Phys., 42:1/2 (1998), 249-271

[38] M. Hirsch, C. Pugh, M. Shub Invariant manifolds. Lecture Notes in Math., 583 (1977).

[39] B. hunt, T. Sauer, J. A. Yorke Prevalence: a translation invariant almost every for infinite dimensional spaces. Bull. Am. Math. Soc., 27 (1992), 217-238; Prevalence: an addendum, 28, (1993) 306-307

[40] В. В. ШМИДТ. Введение в физику сверпроводников. М.: МЦНМО, 2000

[41] M. Shub and A. Wilkinson. Pathological foliations and removable zero exponents. Invent. Math., 139 (2000), 495-508

[42] L.-S. young. Some large deviation results for dynamical systems. Transactions of the AMS, 318:2 (1990), 525-543.

[43] L.-S. YOUNG. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Statist. Phys., 108 (2002), 733-754.