Некоторые вопросы теории бифуркаций и теории аттракторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Солодовников, Никита Алексеевич

• Солодовников, Никита Алексеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Солодовников, Никита Алексеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Перемежающиеся бассейны

1.1, Введение

1.2, Пример косого произведения

1.3, Возмущение косого произведения

Глава 2. Двуобходные уточные циклы

в быстро-медленных системах на торе

2.1, Введение

2.2, Основная теорема

2.3, Доказательство основного результата

2.4, Доказательство вспомогательных лемм

Глава 3. Мелькающие сепаратрисные связки: параболический цикл

3.1. Основные результаты

3.2. Бифуркации в РС-семействах

3.3. ЛМФ-графы и их связные расширения

3.4. Классификация РС-семейств

3.5. Структурная устойчивость

3.6. Носитель бифуркации и большой носитель бифуркации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории бифуркаций и теории аттракторов»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования Диссертация посвящена изучению трех областей маломерной динамики, а именно:

1, перемежаемости бассейнов,

2, быстро-медленным системам,

3, нелокальным бифуркациям.

Перемежаемость бассейнов. Понятие аттрактора играет важную роль в теории динамических систем. Попытки формализовать идею притягивающего множества приводят к различным определениям, наиболее часто используется определение максимального аттрактора.

Определение. Пусть динамическая система, f: М ^ М переводит непустое открытое множество и С М строго в себя, то есть f (С1(и)) С и. Тогда, максимальным аттрактором, в области и называют пересечение всех образов и под действием итераций f,

<х

Лтах(и) = р| Р(и).

п= 1

и

зия.

Пример. Рассмотрим сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, окружности с единственной неподвижной параболической точкой. Все точки при итерациях стремятся, к неподвижной, однако единственной поглоищющей областью является, вся, окружность, поэтому Атах =

Определение. Аттрактором Милнора гомеоморфизма метрического пространства с мерой называют наименьшее по вложению замкнутое множество, которое содержит ш-предельные множества почти всех точек.

Определение. Бассейном притяжения компоненты аттрактора, называется, множество всех точек, которые при итерациях стремятся, к данной компоненте.

В работе [11] построен пример отображения с перемежающимися бассейнами притяжения компонент аттрактора (любой из бассейнов пересекает любой открытый шар по множеству положительной меры), В работе [3] построен пример (открытой области) отображений,

аттрактор Милнора которых имеет положительную меру, В обоих случаях отображение с редким свойством было изначально найдено в классе косых произведений со слоем отрезок, которые сохраняют край многообразия.

Определение. Косым произведением над отображением, H: B ^ B со слоем, S называется отображение

F: B х S ^ B х S, (b,s) ^ (H(b),fb(s)).

Множество B называют базой, а, S — слоем, косого произведения. Отображения fb: S ^ S называют послойными отображениям,и.

Интересны свойства отображений, которые сохраняются при возмущениях, или, иначе говоря, соблюдаются в открытом множестве отображений. Для построения открытого множества отображений с интересующим свойством можно применять стратегию Городец-кого-Ильяшенко. Как правило, она включает в себя по меньшей мере два шага: доказать, что свойство выполняется для некоторого косого произведения, а затем доказать, что свойство выполняется и для близких к нему диффеоморфизмов.

Упоминавшееся условие сохранения края, многообразия существенно при использовании стратегии Городецкого-Ильяшенко. Так, неизвестно, существуют ли перемежающиеся бассейны или толстые аттракторы для отображений многообразий без края или для отображений, которые не сохраняют край, В работах [4] и [5] показано, что в пределах класса косых произведений с ограниченным одномерным слоем таких отображений нет.

Бассейны в примере Иттаи Кана метрически типичны, но топологически нетипичны, В главе 1 построен пример открытой области отображений, бассейны каждого из которых перемежаются, при том что один из них типичен топологически (а именно: открыт и всюду плотен), а другой метрически.

Быстро-медленные системы естественным образом возникают в физических и биологических моделях. Впервые быстро-медленное поведение системы было обнаружено Ван-дер-Полем в радиотехнике ([6]) и получило название релаксационных колебаний. При увеличении параметра в некотором контуре колебания от близких к гармоническим переходили к поведению, в котором отчетливо различались «быстрый» скачок и «медленный» дрейф,

А, А, Андронов и A.A. Витт ([7]) обнаружили, что традиционно отбрасываемые при рассмотрениях моделей мультивибраторов малые параметры могут существенно влиять на поведение системы и приводить к релаксационным колебаниям, H.A. Железцов и Л.В.Родыгин ([8]) учли малые параметры, повысив порядок дифференциального уравнения. Так изучение

релаксационных колебаний свелось к изучению систем вида

х = f(x,У,е), у = ед(х,у,е).

Интересно поведение системы при е ^ 0, «Быстрое» движение происходит вблизи плоскостей у = саив^ а медленный «дрейф» — в окрестности медленной поверхности М = {(х, у) | f (х, у, 0) = 0}, Важную роль играет момент срыва — перехода от медленной динамики к быстрой, когда траектория подходит к границе притягивающего участка медленной поверхности. После срыва медленное движение сменяется быстрым, В свою очередь, быстрое движение может окончиться падением траектории в окрестность притягивающей части медленной поверхности, Л,С, Понтрягин и Е.Ф, Мищенко разработали методы, позволяющие анализировать динамику в окрестности точек срыва,

Понтрягин и ученики Дж, Риба независимо открыли эффект затягивания потери устойчивости. Эффект состоит в том, что траектория, пройдя границу устойчивости в окрестности медленной поверхности, может долгое время находиться вблизи неустойчивой части, В частности, в системе Ван-дер-Поля с одним дополнительным параметром возникали устойчивые предельные циклы, которые долгое время находились вблизи неустойчивой части медленной поверхности. Такие циклы называются уточными.

Уточные циклы в системах на плоскости удавалось обнаружить только в присутствии дополнительного параметра, Ю, С, Ильяшенко и Дж, Гукенхеймер обнаружили ([20]), что в системах на торе уточные циклы возникают при сколь угодно малом значении единственного параметра, В статье [20] рассмотрена нетипичная система с выпуклой медленной кривой. Позже И, Щуров доказал ([21]), что в типичных быстро-медленных системах на торе количество уточных циклов, которые совершают один обход вдоль медленного направления, не превосходит количества точек складок медленной кривой при проектировании вдоль быстрого направления,

В главе 2 рассмотрен случай двуобходных уточных циклов, то есть циклов, которые замыкаются после двух обходов вдоль медленного направления. Оказывается, что геометрия медленной кривой не накладывает ограничений на их количество и существуют системы с выпуклой медленной кривой с наперед заданным количеством циклов.

Нелокальные бифуркации. Согласно критерию Андронова—Понтрягина векторное поле па §2 структурно устойчиво, если выполнены три условия

1, все особые точки гиперболичны,

2, все предельные циклы гиперболичны,

3, нет еедловых связок.

Назовем векторное поле квазиобщим, если оно имеет ровно одно вырождение коразмерности 1, Имеет место следующая теорема.

Теорема (Сотомайор, [37]). В классе векторных полей на §2 в типичных однопа,ра,м,етриче-ских семействах встречаются векторные поля с ровно одним вырождением, из следующего списка

• АН — бифуркация Андронова—Хопфа,

В каждом из шести случаев на вырождение наложены дополнительные условия типичности, Упомянем только условия для параболического цикла — он должен иметь кратность 2, Исследование бифуркаций однопараметричееких семейств на сфере включает в себя следующие вопросы:

1, Верно ли, что типичное однопараметричеекое семейтво локально устойчиво?

2, Определяется ли бифуркация невозмущенным векторным полем?

3, Какова классификация типичных однопараметричееких семейств (например, в смысле слабой эквивалентности семейств),

В главе 3 даны ответы на эти вопросы для случая параболического цикла, наиболее сложного в однопараметричееких семействах. Ответ в случае петли сепаратрисы дается той же техникой, что и для параболического цикла.

Цель работы. Целью работы являлось изучение бассейнов притяжения компонент аттрактора в системах с дискретным временем, изучение предельных циклов в быстро-медленных системах на двумерном торе, изучение бифуркаций однопараметричееких семейств векторных полей на двумерной сфере.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем

1, Доказано, что существует открытая область в пространстве сохраняющих край диффеоморфизмов прямого произведения тора на отрезок в себя со следующим свойством перемежаемости бассейнов. Аттрактор имеет две компоненты связности, при этом бассейн одной из компонент открыт и всюду плотен, а бассейн другой имеет положительную меру,

2, Доказано, что при заданной выпуклой медленной кривой для любого (нечетного) наперед заданного числа l существует быстро-медленная система, в которой возникает ровно l двуобходных уточных предельных циклов,

3, Доказано, что существуют два топологически эквивалентных векторных поля на сфере с параболическим циклом, такие что их типичные локальные однопараметричеекие деформации неэквивалентны (в смысле слабой эквивалентности). Классифицированы однопараметричеекие деформации полей с параболическим циклом.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы как для дальнейшего изучения быстро-медленных систем, так и в теории нелокальных бифуркаций.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1, Международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», Нижний Новгород, 2015, Доклад 19,06,2015 «Bifurcations on the two-sphere»,

2, Научный семинар «Динамические системы» (Ю.С.Ильяшенко), МГУ, несколько докладов в разные годы (2013-2016),

Личный вклад автора. Результаты главы 1 получены лично диссертантом, главы 2 — в соавторстве с И, Щуровым, главы 3 — в соавторстве с Ю, Ильяшенко,

Глава 1

Перемежающиеся бассейны

1.1. Введение

1.1.1. Предпосылки и результат

Определение 1. Аттрактором Милнора гомеоморфизма метрического пространства с мерой называют наименьшее по вложению замкнутое множество, которое содержит ш-предельнь множества почти всех точек.

Компонентой аттрактора Милнора называется замкнутое инвариантное подмножество аттрактора, которое неразложимо (то есть содержит плотную орбиту) и не имеет других точек аттрактора в некоторой своей окрестности.

Квазикомпонентой аттрактора Милнора называется, замкнутое инвариантное неразложимое подмножество аттрактора, которое невозможно представить в виде объединения, замкнутых неразложимых инвариантных подмножеств.

Определение 2. Бассейном притяжения компоненты (квазикомпоненты) аттрактора, называется множество точек, ш-предельные множества которых принадлежат этой компоненте (квазикомпоненте).

Иттаи Кан в [11] построил пример эндоморфизма со свойством «перемежаемости» бассейнов, Аттрактор отображения состоит из двух компонент, причем бассейн каждой из компонент пересекает любой открытый шар по ненулевой мере, В работах [17] и [10] построено открытое множество С2-гладких диффеоморфизмов с тем же свойством. Основной результат раздела — следующая теорема.

Теорема 1. В классе сохраняющих край С2-диффеоморфизмов Т2 х [0,1] существует открытое множество отображений со следующими, свойствами:

Т2 х 0 Т2 х 1

Т2 х 0

3. Бассейн квазикомпоненты Т2 х 1 открыт и плотен в Т2 х [0,1].

Замечание 1. Отображение с указанными свойствами было замечено как обратное к отображению с аттрактором, Милнора положительной лебеговской меры из работы, [3].

1.1.2. Обозначения и схема доказательства

Напомним определение косого произведения.

Определение 3. Косым произведением над отображением А: В ^ В со слоем, Б называется отображение

Е: В х Б ^ В х Б, (Ь,в) ^ (А(Ь), /ь(в)).

Множество В называют базой, а Б — слоем косого произведения. Отображения /ь: Б ^ Б называют послойными отображениям,и.

В разделе 1,2 построен класс «хороших» косых произведений с базой Т2 и слоем [0,1], для которых верны утверждения Теоремы 1, В разделе 1,3 доказано, что диффеоморфизмы из малой окрестности «хороших» косых произведений удовлетворяют условиям Теоремы 1, Доказательство импользует методы теории частичной гиперболичности (см Хирш—Пью—Шуб [2]), В разделе 1,1,3 даны необходимые для доказательства предварительные результаты,

1.1.3. Предварительные результаты

Определение 4. Косое произведение Е над аносовским диффеоморфизмом А 'тора удовлетворяет условию доминантного расщепления, если

тах Ыр/Ь < ^, тах Ыр/-1 < —, ь ь X

где X < 1 < ^ — константы сжатия и растяжения диффеоморфизм,а, А.

Теорема 2. Пусть косое произведение Е над аносовским диффеоморфизмом 'тора А удовлетворяет условию доминантного расщепления. Тогда, любое малое С1 -возмущение Е полусопряжено отображению в базе: существует проекция р: X ^ В = Т2 такая, что диаграмма

X —^ X

В В

коммутативна, а, слои, Мь = р-1(Ь) непрерывно зависят от Ь и С1-гладкие.

Семейство {Мь | Ь € В} образует «центральное слоение», каждый слой которого — график функции /Зь: М ^ В, Теорема 2 утверждает только непрерывную зависимость /Зь Ь

р

р

Теорема 3 (Городецкий, [16]). В условиях Теоремы, 2 функция вь гельдерова по b.

Теорема 4 (Ильяшенко—Негут, [9]). Показатель Гёльдера, в Теорем,е 3 стремится, к 1, когда, C1-норма возмущения стремится, к нулю.

Обзор гёльдеровых слоений есть, например, в [14], 1.2. Пример косого произведения

Определение 5. Косое произведение F: (b,x) м- (Ab,fb(x)) назовем, хорошим, если, выполнены следующие условия.

1. Отображение A имеет точку а периода, m такую, что композиция послойных отображений вдоль орбиты точки а сдвигает внутренние точки слоя, вверх:

fAm-ia ◦ ... ◦ fa(x) >x Vx G (0, 1) (1.1)

2. Точка, 0 — отталкивающая для, этой ком,позиции:

(fAm-ia)'(O) • ... • (fa)'(0) > 1. (1.2)

3. Все послойные отображения на интервале (1/2,1) сдвигают точки вверх:

Vb G T2 Vx G (1/2,1): fb(x) > x и (fb)'(1) < 1. (1.3)

Jf.. Компонента границы T2 x {0} в среднем, притягивает:

f ln(fb)'(0)db < 0. (1.4)

J T2

b

Юь)' - 1||C < 4 (1-5)

6. Коэффициенты, сжатия, и растяжения A достаточно далек и от 1, чтобы F удовлетворяло условию доминантного расщепления.

Замечание 2. Все неравенства в Определении 5 открыты, поэтому хорошие косые произведения образуют открытое множество в классе сохраняющих край гладких косых произведений.

Обозначим через В0(Т) и В1(Т) множества точек, которые стремятся при итерациях Т к компонентам края Т2 х {0} и Т2 х {1} соответственно. Для краткости ниже будем писать Во В1

В1

Во

А

что компоненты границы X являются квазикомпонентами аттрактора, а В0 и В1 — соответствующими бассейнами. Следовательно, хорошие косые произведения удовлеворяют требованиям Теоремы 1,

Докажем по очереди три утверждения теоремы 5,

Доказательство Теоремы 5.

В1 А

что Т2 х {1} — компонента аттрактора и что Т обладает поглощающей облаетыо Т2 х (1/2,1],

Т2 х {1}

В1 = у Т-П{Т2 х (1/2,1]}.

В1

Бассейн В1 плотен в X. Построим плотное в X подмножество Ш бассейна В1,

Рассмотрим итерации действия Тт па Ш = {Ь х (0,1) | Ь € и)я(а)}, где точка а периодическая периода ш, а и)я(а) — ее устойчивое многообразие. При к ^ то по определению устойчивого многообразия Ак (Ь) ^ а и

образ (Тт)к (Ь х (0,1)) лежит в малой окрестности слоя а х [0,1]. Неравенства в условиях (1.1), (1.2) и (1.3) открыты, поэтому ограничение Тт на окрестность слоя а х (0,1) сдвигает все точки вверх. Следовательно, для любой точки х € Ш при достаточно больших к образ (Тт)к (ж) принадлежит поглощающей области. Следовательно, Ш С Вь Ост^ось заметить, что многообразие и)я(а) плотно в Т2, поэтому Ш, а значит и В1; плотно в X.

Множество В1 открыто и плот но в X, поэтому В0 С X \ В1 нигде не плотно.

Мера множества В0 положительна. Построим подмножество С С X положитель-

С С В0

линейных приближений. Рассмотрим интеграл

5 = 5(Т, 8) = 1п тах (¡ь)'(х)Л < 0.

как функцию параметра 8, Послойные отображения /ь гладкие, поэт ому $ непрерывна по 8. По свойству (1.4) Б(0) < 0, Следовательно, Б < 0 и при малых значениях параметра. Зафиксируем 8 > 0 такое, что Б|[0,й] < 0, Обозначим

Ь(Ь) := тах /1(х).

Из (1.4) следует, что 1п ¡f (Ь) — измеримая функция. Аносовский диффеоморфизм А эргоди-чен.

Теорема 6. Пусть р Е С(Т2), А — аносовский диффеоморфизм двумерного 'тора, а Б — пространственное среднее функции р:

Б(р) = [ р(Ь)М.

х

-(р(х) + рАх + ... + р(Апх)) п

сходятся к пространственному при п ^ го.

Следовательно, для любого е > 0 существует N(е, Ь), такой что при п > N(е,Ь) для Ь Т2

1 (1п^(Ь) + 1п^(АЬ) + ... + 1п^(Ап-1Ь)) - Б

Зафиксируем е < |Б | и рассмотрим счетный набор множеств Тк С Т2

Тк := {(Ь,х) | N(е,Ь) = к}.

По Теореме 6 множество ик>0 Тк имеет полную меру. Для каждого к определим 8к > 0 такое, что (тахЬеТ2 д(Ь))к • 8к < 8 и положим Ск :— Тк х [0, 8к ], С :— к>о Ск- Мер а С положительна, так как мера хотя бы одного из Тк положительна. Осталось доказать, что С С В0. Покажем, что х(Тп(Ь,х)) ^ 0 при п ^ го для (Ь,х) Е Ск. При х ^ 8 по теореме Лаграпжа о конечных

< е.

приращениях /ь(х) ^ ¡,(Ь)х.

Определение 6. Точка Ь € Т2 принадлеэюит е-плохому множеству отображения Т, е = 0, если Итп 1 (1п¡,(Ь) + ... + 1п¡,(Ап-1Ь)) ^ Б — е. Обозначим плохое множество через Ze(Т).

Утверждение 1. Если Ь € Т2 \ Zs (Т), то существует к такое, что точка Ь х {бк} при-В0

Доказательство Утверждения, 1. Рассмотрим Ь € Т2 \ Zs (Т),

итп 1(1п ¡,(Ь) + ... + 1п ¡,(Ап-1Ь) < 0 (1.7)

Следовательно, существуют постоянная с > 0 и N = N(Ь) € N такие, что при п > N

1п х + 1п ¡, (Ь) + ... + 1п ¡, (Ап-1Ь) < 1п х — сп,

¡, (Ап-1Ь) • ... • ¡, (Ь) • х<х • е-сп ^ 0 при п ^ то. (1.8)

Рассмотрим х = бм- Докажем то индукции, что для всех п

х(Тп (Ь, х)) ^ ¡, (Ап-1Ь) • ...¡, (Ь) • х (1.9)

При п ^ N утверждение следует из определений ¡, и Шаг индукции: пусть оценка верна при п = 0,... j > N. Тогда

х(Я+1(Ь,х)) ^ /А>ь(Ь(Ап-1 Ь) • ... • ¡,(Ь)х).

Если п > N т0 и ¡, (Ап-1Ь) • ... • I, (Ь) • х < хе-сп < б, а значит, то определению

/а:ь(1,(Ап-1Ь) •... • ¡,(Ь) • х) ^ ¡,(АЬ)(1,(Ап-1Ь) •... • ¡,(Ь) • х).

Индукция завершена. Из (1.8) и (1.9) следует искомое утверждение. □

Ск С В0 к

Доказательство Утверждения 2. Заметим, что N в определении Тк (и Ск) подходит в качестве к в доказательство Утверждения 1. Следовательно, для Ь € Тк верно, что (Ь, бк) € В0, а значит Ск С В0. □

Теорема 5 доказана,

□

Ь1 Ь2

сближаются под действием итераций Т. Следовательно, множества предельных точек последовательности, врем,енны,х средних в точках Ь1 и Ь2 совпадают. Значит, Z£(Т) и Тк при всех к > 0 и е = 0 вместе с любой своей точкой содержат ее устойчивое многообразие.

Следствие 2. Обратим, Утверждение 1. Если в слое Ь х (0,1) нет точек В0, то Ь Е Zs(Т),

итп 1(1п ¡1 (Ь) + ... + 1п ¡1 (Ап-1Ь) > 0.

1.3. Возмущение косого произведения

Пусть д — близкий к Т С2-гладкий диффеоморфизм, сохраняющий границу X. По Теоремам 2, 3 и 4 существует ^-инвариантное слоение {Мь = р-1Ь | Ь Е Т2}, причем слои Мь стремятся к вертикальным Ьх [0,1], когда норма ||д—Т||с 1 ^ 0, Обозначим дь(х) := х(д(Ь, х)), где (Ь, х) Е Мь. Обозначим, как прежде, через В0 (д) и В1(д) бассейны притяжения компонент края Т2 х {0} и Т2 х {1} под действием д. Покажем, что требования Теоремы 1 выполнены, если д достаточно близко к Т.

1.3.1. Бассейн В1 открыт и плотен в X

Докажем, что бассейн В1(д) открыт. По условию (1.3) /Ь(1) < 1 при Ь Е Т2. Значит, при малых 8 > 0 существует сохраняющее ориентацию липейное сжатие /1: К ^ К, 1 м- 1 такое, что для любой точки (Ь,х) Е Т2 х (1 — 8,1) сжатие ограничивает снизу действие послойного отображения: /ь(х) > /\(х). Тор компактен, поэтому, если д близко к Т, при всех Ь Е Т2 выполняется и о цепка дь(х) > /1 (х). Следовательно, отобр ажение д имеет открытую поглощающую область Т2 х (1 — 8,1]. Поэтому В1(д) = ик>0 д-к(Т2 х (1 — 8,1]), а значит В1 открыт как счетное объединение открытых множеств.

Докажем, что бассейн В1(д) плотен в X, Аносовский диффеоморфизм А структурно устойчив, поэтому Т|дх и д|дх сопряжены. Точка а — т-периодичеекая для А. Следовательно, дт|Т2х{1} имеет неподвижную точку ах {1}, которая близка к а х {1}. Рассмотрим замкнутый цилиндр С = {Ь х [0,1] | Ь Е С1(и£(а))} и «кривой цилиндр» С = {р-1(Ь) | Ь Е и£/2(а)}. По свойствам (1.1) и (1.2) х(Тт(Ь,х)) > х для (Ь,х) Е С ^^и ^^^^^точно малом е. Поэтому,

д Т Са С С д

х(дт(Ь, х)) > х (Ь, х) Е Са Са С В1

Заметим, что по определению устойчивого многообразия и}я любая точка из плотного в X множества {р-1Ь | Ь € и)8(а)} под действием итераций (Ят)к, к ^ 0 приходит в {р-1Ь | Ь € и)'в (а) П ие/2 (а)} С С, а значит припади ежит В^, Следовательно, ба ссейн В1 плотен в X.

В0

Напомним специальную эргодичеекую теорему, В более сильной форме она доказана

Теорема 7 (Салтыков, [19]). Пусть р € С(Т2), А — аносовский диффеоморфизм двумерного тора. Пусть Ь(Ь) — множество предельных точек последовательности, временных средних р под действием диффеоморфизма А, а Б — пространственное среднее:

— множество точек тора, над которыми временное среднее уклоняется от пространственного более чем, на, к Тогда, йгшнКк < 2 для, всех к > 0.

Определение 7. Назовем, е-плохим множеством Ze (Я) диффеоморфизма Я образ Ze(Т) под

Т2 х {0}

Строение плохого множества. Утверждение 1, Следствия 1, 2 и Теорема 7 дают достаточное описание Ze (Т):

1, Ze (Т) при е = 0 с каждой точкой содержит ее устойчивое многообразие,

2, Если Ь € Т2 \ Zs(Т) , то слой Ь х (0,1) содержит точки В0(Т),

3, Ze(Т) < 2 при е < 0,

Утверждение 3. Если, Ь € Т2\ZS/2(G), то внутренность слоя, Мь содержит точки, В0(Я)•

п

менное среднее функции / в точке Ь через вп(/,Ь). Пусть Ь х {0} сопряжено точке Ь х {0}, По Теоремам 2, 3, 4

в [12]

Положим

К к := {Ь | Ь(Ь) \ [Б — к, Б + к] = 0}

ИтвпЦ,,Ь) — Итвп(гй,Ь) € 0(||Я —Т||).

(1.10)

Б (Т) — Б (Я) € 0(||Я — Т||). (1.11)

Следовательно, если Ь € Т2 \ ZS/2(Я) и Я достаточно близко к Т, то Итзп(га,Ь) < 0. Далее доказательство повторяет доказательство Утверждения 1. □

Докажем, что мера В0(Я) положительна. Идея доказательства: проинтегрировать по точкам Ь € Т2 \ ZS/2(Я) отрезки кривых слоев Мь, которые принадлежат В0. Проверим, что мера соответствующего множества положительна.

Теорема 8 (лемма Фальконера, [1]). Пусть гомеоморфизм к: X ^ У — гёльдеров с показа-

d

телем а и хаусдорфова размерность множества Б С X равна Тогда кБ ^ —.

а

Следствие 3. По Теорем,е 7 ZS/2(Т) < 2. По Теореме 4, если, Я близко к Т в С1, то показатель гельдера, сопряжения стрем,и,тся, к 1. Следовательно, по Теореме 8, ZS/2(Я) < 2 и LeЬ2Zs/2(Я) = 0.

Рассмотрим кривую 7 € Т2 х {0}, которая траневереальна устойчивому слоению дей-Я

непрерывно, если отображение голономии вдоль слоения переводит множества нулевой меры в множества нулевой меры. В той же работе доказана следующая теорема.

Теорема 9 (Аносов, [15]). Слоение на, устойчивые многообразия для действия гиперболиче-С2

Множество ZS/2 и его дополнение состоят го устойчивых слоев действия Я- Тогда ЬеЬ^П ZS/2 = 0 иначе то Теореме 9 LeЬ2ZS/2 > 0, что невозможно. Следовательно, ЬеЬ17 П (Т2 \ Zs/2) = 1-

Обозначим через Б насыщение 7 П (Т2 \ ZS/2) устойчивыми слоями действия Я- В кри-Мь

ствию 1 есть точки В0. Насытим Б отрезками центральных слоев, которые принадлежат В0 Я Т

ления. Следовательно, насыщение Б отрезками центральных слоев образует подмножество центрально-устойчивого слоения X.

С2

абсолютно непрерывно.

Из Теоремы 10 и Теоремы Фубини следует, что мера насыщения Б отрезками централь-

В0

Глава 2

Двуобходные уточные циклы в быстро-медленных системах на торе

2.1. Введение

2.1.1. Быстро-медленные системы

Рассмотрим типичную быстро-медленную систему на двумерном торе:

x = f (x, y, e)

(x,y) G T2 = R2/(2nZ2), e e (R+, 0). (2.1)

y = e9(x,y,e

Функции f и g достаточно гладкие, причем g > 0. Динамика системы (2.1) определяется медленной кривой:

M = {(x,y) | f (x,y, 0) = 0}.

e=0

кивающих точек f'x > 0 кривой M обозначим через M + , а притягивающих f'x < 0 через M-. В этих обозначениях (при e = ^ртвая M состоит из объединения M M- и параболических точек, в которых f = 0 и f'x = 0.

На плоскости траектория системы (2.1), которая проходит через точку общего положения, чередует фазы медленного движения вдоль участков медленной кривой и фазы быстрого движения вдоль линий y = const вблизи точек складок медленной кривой (см. [25]). На торе возможно более сложное поведение траекторий.

Определение 8 (неформальное). Траектория системы, (2.1) называется, уточной, если

e

M-

части, M +.

Более строгое определение будет дано в Разделе 2.2. Уточные траектории нетипичны на плоскости. Например, чтобы в семействе на плоскости возник притягивающий уточный цикл, необходимо ввести дополнительный параметр (см., например, [26]). Однако для систем на торе уточные циклы типичны. Гипотеза об этом была сформулирована в [20] и подтверждена в [21].

Кратко объясним, почему в системах на торе возникает такой эффект. Предположим, что существует вертикальная траневереальная векторному полю окружность Г = {y = const}. Тогда для е > 0 можно определить отображение Пуанкаре за один обход тора, Pe: Г ^ Г. Семейство гладкое, поэтому Pe — диффеоморфизм окружности. Его число вращения р(е) непрерывно зависит от параметра. Для типичной системы 2,1 график функции р(е) есть «канторовекая лестница» с горизонтальными ступеньками в рациональных значениях р. Если при некотором значении параметра число вращения р рационально и равно p/q, то отображение Пуанкаре Pe имеет периодическую точку периода q, а соответствующее векторное поле — предельный цикл, который замыкается после q обходов тора вдоль медленной координаты y. В частности, целочисленные значения р соответствуют «однообходным» предельным циклам.

Рассмотрим, как разрушается цикл при изменении параметра. Число вращения увеличивается и перестает быть рациональным, когда значение параметра переходит границу соответствующей ступеньки канторовской лестницы. Гиперболический цикл при этом становится в крайней точке ступеньки параболическим и исчезает через седло-узловую бифуркацию. Вблизи критического значения производная отображения Пуанкаре в неподвижной точке близка к 1, Это возможно, если цикл проводит сравнимое время вблизи как устойчивой, так и неустойчивой частей медленной кривой, А это и означает, что цикл уточный.

Итак, при е ^ 0 число вращения р стремится к бесконечности, поэтому возникает серия значений еп ^ 0, при которой существует уточный цикл.

Следующий естественный вопрос — сколько уточных циклов может возникать описан-

р

для циклов, которые совершают один обход вдоль медленной координаты, ответ дан в [22],

Теорема 11. В типичной системе (2,1) па двумерном торе с нестягиваемой связной медленной кривой число предельных циклов, которые совершают один обход вдоль медленной координаты, ограничено числом вертикальных (то есть параллельных быстром,у направлению) касательных к медленной кривой. Оценка, достигается, в открытом, множестве систем, в пространстве быстро-медленных систем, на торе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Солодовников, Никита Алексеевич, 2017 год

Список литературы

1. Falconer К, Fractal Geometry, // John Wiley, 1990,

2. Hirseh M, W,, Pugh С, C,, Shub M, Invariant manifolds // Lecture Notes in Mathematics, 1977. Vol. 583.

3. Ilvashenko Yu. Thick attractors of boundary preserving diffeomorphisms // Indag. Math. (N. S.) 2011. Vol. 22, No 3-4. P. 257-314.

4. Kleptsvn V., Volk D. Physical Measures for Nonlinear Random Walks on Interval // Moscow Mathematical Journal. 2014. Vol. 14, no. 2. P. 339-365.

5. Okunev A. Milnor Attractors of Skew Products with the Fiber a Circle. // Journal of Dynamical and Control Systems. Подана в печать.

6. Van der Pol, В., On relaxation-oscillations. // The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. and J. of Sei., 2:7 (1927), P. 978-992

7. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — 2-е издание. — 1959. — С. 727-855. - 914 с.

8. Железцов Н. А. К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. // Изв. высших учебных заведений. Радиофизика 1:1 (1958), С. 67-78.

9. Ilvashenko Yu., Negut A. Holder properties of perturbed skew products and Fubini regained // Nonlinearitv, 2012. Vol. 25, No 8. P. 2377-2399. ArXiv: 1005.0173vl.

10. Ilvashenko Yu,, Kleptsvn V,, Saltykov P. Openness of the set of boundary preserving maps of an annulus with intermingled attracting basins //J. Fixed Point Theory and Appl. 2008. Vol. 3, No 2. P. 449-463.

11. Kan I. Open sets of diffeomorphisms having two attractors, each with an everywhere dense basin // Bull. AMS. (N. S.) 1994. Vol. 31. P. 68-74.

12. Kleptsvn V., Minkov S,, Rvzhov S. Special ergodic theorems and dynamical large deviations // Nonlinearitv. 2012. Vol. 25, No 11. P. 3189-3196.

13. Palis J. A global perspective for non-conservative dynamics // Annales Inst. Poineare, 2005. Vol. 22. P. 485-507.

14. Pugh C,, Shub M,, Wilkinson A. Holder foliations, revisited. // ArXiv: 1112.2646.

15. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИЛН СССР. 1967. Т. 90. С. 3-210.

16. Городецкий А. С. Регулярность центральных слоев частично гиперболических множеств и приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, No 6. С. 19-44.

17. Клепцын В. А., Салтыков П. С. О С 2 -устойчивых проявлениях перемежаемости аттрак-

торов в классах сохраняющих границу отображений / / Тр. ММ О. 2011. Т. 72, No 2. С. 249-280.

18. Песин Я. Б. Лекции по теории частичной гиперболичности и устойчивой эргодичности. //М.: МЦНМО, 2006.

19. Салтыков П. С. Специальная эргодическая теорема для диффеоморфизмов Аносова на дву- мерном торе // Функц, анализ и его прил. 2011. Т. 45, No 1. С. 69-78.

20. J. Guekenheimer, Yu, S. Ilvashenko, The Duck and the Devil: Canards on the Staircase. // Moscow Math. J., Volume 1, Number 1, 2001, pp. 27-47.

21. I. Sehurov, Ducks on the torus: existence and uniqueness. // J. of Dynamical and Control Systems. 16:2 (2010), 267-300. See also: arXiv:0910.1888vl.

22. I. V. Shehurov, Canard cycles in generic fast-slow systems on the torus. // Transactions of the Moscow Mathematical Society, 2010, 175-207

23. N. Fenichel. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations. //J. of Diff. Eq., 31 (1979), pp. 53-98.

24. Kleptsvn V. A, Romaskevieh O. L,, Sehurov I. V. Josephson effect and slow-fast systems.// Nanostructures. Mathematical Physics and Modelling. 8:1 (2013), pp. 31-46 (in Russian). See also arXiv:1305,6755,

25. E. F. Mishchenko and N. Kh. Rozov, Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. // Plenum Press, 1980.

26. M. Krupa, P. Szmolvan, Extending geometric singular perturbation theory to nonhvperbolie points — fold and canard points in two dimensions. // SIAM J. Math. Anal., Vol 33, No 2, pp. 286-314.

27. Andronov AA, Leontovieh EA, Gordon II, Maier AG. Qualitative theory of dynamical systems of second order. // J Wiley. 1966.

28. Arnold, V. I.; Afrajmovieh, V. S,; Ilvashenko, Yu. S,; Shilnikov, L. P. Bifurcation theory and catastrophe theory. Translated from the 1986 Russian original by N. D. Kazarinoff, // Reprint of the 1994 English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences [Dynamical systems. V, Encyclopaedia Math. Sei,, 5, Springer, Berlin, 1994; Springer-Verlag, Berlin, 1999. viii+271 pp.

29. R. M. Fedorov, Upper Bounds for the Number of Orbital Topological Types of Planar Polynomial Vector Fields "Modulo Limit Cycles".// Nonlinear analytic differential equations, Collected papers, Tr. Mat. Inst. Steklova, 254, Nauka, Moscow, 2006, 254-271; Proc. Steklov Inst. Math., 254 (2006), 238-254

30. N. Goncharuk, Yu. Ilvashenko. Large bifurcation supports, //in preparation

31, Yu, Ilyashenko. Nonlinear Stokes Phenomena, //p. 1-55 in the book Nonlinear Stokes Phenomena, series "Advances in Soviet Mathematics", v. 1 I. Amer, Math, Soe,, 1993, 287 p.

32, Yu, Ilyashenko, Towards the general theory of global planar bifurcations, //in the book "Mathematical Sciences with Multidiseiplinarv Applications, In Honor of Professor Christiane Rousseau, And In Recognition of the Mathematics for Planet Earth Initiative", Springer 2016, pp 269 - 299.

33, Yu, Ilyashenko, Yu, Kudrvashov and I, Sehurov, An open set of structurally unstable families of vector fields in the two-sphere, // arXiv: 1506,06797 [math.DS]

34, N. Goncharuk, Yu, Ilyashenko, N. Solodovnikov, Global bifurcations in generic one-parameter families with a separatrix loop on S2,// in preparation

35, Yu, Ilyashenko, S, Yakovenko, Nonlinear Stokes Phenomena in smooth classification problems, // p.235-287, in the book Nonlinear Stokes Phenomena, series "Advances in Soviet Mathematics", v. 1 I. Amer, Math, Soe,, 1993, 287 p.

36, McLane S,, Adkisson V.W, Extensions of homeomorphisms on the spheres // Michig, Lect, Topol. Ann Arbor, 1941. P. 223-230.

37, Sotomavor J. Generic one-parameter families of vector fields on two-demensional manifolds //Publications Mathématiques de l'IHES, 43 (1974), p. 5-46