Показатели Ляпунова, аттракторы и слоения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Клепцын, Виктор Алексеевич

• Клепцын, Виктор Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клепцын, Виктор Алексеевич

0.1 Структура диссертации.

0.2 Случайные динамические системы

0.3 Аттракторы.

1 Динамика слоений

1.1 Введение.

1.1.1 Результаты для случая слоения.

1.1.2 Структура доказательства.

1.1.3 Другие примеры динамических систем.

1.2 Отрицательный показатель Ляпунова.

1.2.1 Сжатие.

1.2.2 Похожесть броуновских движений на разных слоях.

1.2.3 Доказательство теоремы А.

1.2.4 Примеры: голоморфные слоения комплексных поверхностей

1.3 Симметрический случай

1.3.1 Дихотомия: доказательство теоремы В.

1.3.2 Доказательство основной теоремы.

1.3.3 Примеры: С2-слоения коразмерности один.

1.3.4 Контрпример в несимметричном случае.

1.4 Подвижные слоения.

1.4.1 Несколько примеров.

1.4.2 Нерасхождение слоев.

1.4.3 Применение к строгой эргодичности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Показатели Ляпунова, аттракторы и слоения»

2.2 Определения.86

2.3 Основной результат.86

2.4 Динамика: идеи доказательств.88

2.5 Доказательства.88

2.6 Замечания .95

3 Аттракторы для ячейки Черри 96

3.1 Введение.96

3.2 Определение ячейки Черри.98

3.3 Основной результат.99

Введение

0.1 Структура диссертации

Главной целью данной диссертации является исследование различных феноменов типа притяжения в динамических системах.

В главе 1 мы, следуя определениям, предложенным Л. Гарнетт [38], исследуем динамические свойства слоений. Более точно, пусть на некотором компактном многообразии задано слоение, слои которого снабжены римановой метрикой. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль его слоёв и задать вопрос о поведении соответствующих отображений голономии. Для таких систем, в случае трансверсалыю конформных слоений (в частности, для слоений коразмерности 1), в настоящей работе получена следующая альтернатива. Показано, что либо существует трансверсалыю инвариантная мера (вырожденный случай, встречающийся исключительно редко), либо отображение голономии вдоль типичного пути экспоненциально сжимает. Отсюда выводится, в частности, строгая эргодичность такой системы на любом минимальном подмножестве.

Также исследуются свойства соответствующего послойного уравнения теплопроводности, для которого, как следствие, получена теорема стабилизации.

Использованная техника может быть применена во многих других случаях: "словарь Салливана" позволяет переносить полученные результаты на случай конформного действия групп и конформных соответствий.

Главы 2 и 3 посвящены исследованию различных типов аттракторов для обычных динамических систем. Существует много определений того, что следует считать аттрактором системы: максимальный аттрактор, предельное множество, неблуждающее множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы. Иерархия (т.е. свойства включения) таких аттракторов уже широко исследовались, в частности, в работах Рюэлля [90], Городецкого и Ильяшенко [47], Городецкого [44].

В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают. Тем самым, получен отрицательный ответ на вопрос A.C. Городецкого и Ю.С. Ильяшенко, поставленный ими в работе [47]. Это первый пример, различающий эти два аттрактора.

Этот пример получается модификацией примера Боуэна: одно из сёдел заменяется на седлоузел. Для полученной системы, итерации меры Лебега стремятся к мере Дирака, сосредоточенной в седлоузле. Напротив, все точки при этом время от времени уходят от седлоузла на протяжении значительного (и разного для разных точек) промежутка времени, проводя это время в окрестности седла. В результате, минимальный аттрактор состоит го одной точки (седлоузла), а статистический из двух: седла и седлоузла.

В главе 3, мы исследуем динамику ячейки Черри. Ячейка Черри — гладкое векторное поле на двумерном торе, имеющее исключительное (т.е. канторово) квазиминимальное множество, проходящее через седловую особую точку. Мы показываем, что почти всякая (по мере Лебега) точка тора проводит почти всё время в окрестности этого седла; соответственно, статистическим аттрактором является это седло. С другой стороны,, милноровский аттрактор совпадает с квази-минимальным множеством. Следовательно, милноровский и статистический аттракторы для ячейки Черри не совпадают.

В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на торе, множество значений параметра, соответствующих ячейке Черри, это канторово множество (без его концевых точек); см., например, [11]. Следовательно, ячейка Черри является примером несовпадения милноровского и статистического аттракторов, встречающимся неизолированным образом в типичном однопараметрическом семействе. Соответственно, данный пример более типичен, чем петля сепаратрисы (встречающаяся в однопараметрическом семействе дискретным образом), являвшаяся до настоящего момента примером наиболее общего положения из известных примеров несовпадения данных аттракторов.

0.2 Случайные динамические системы

Классической случайной динамической системой на метрическом компакте X называется вероятностная мера на множестве эндоморфизмов X. Простейшим случаем является задание конечного множества отображений 7} и соответствующих им вероятностей их применения р^. Последовательность итераций такой системы это случайная последовательность композиций этих отображений. Эта последовательность начинается с тождественного отображения, и каждое следующее отображение получается из предыдующего композицией с одним из Т*, выбираемым случайно. Выбор Т{ независим на разных шагах, и каждое отображение 7} выбирается с соответствующей вероятностью р^.

Такие системы интенсивно исследовались. Первой работой в этом направлении была работа Фюрстенберга о произведениях случайных матриц [33]. В этой работе показано, что под действием такого произведения (при несущественных предположениях типичности) почти наверное почти все направления в Мп сближаются. Другим важным результатом, также принадлежащим Фюрстенбергу [34], является следующее утверждение: образы стационарной меры при итерациях с обратным порядком почти наверное сходятся. В работе Каймановича и Мазура [61], для случая динамики модулярной группы поверхности, доказано, что предельная мера почти наверное является мерой Дирака, что влечёт сближение орбит и единственность стационарной меры. Также в данной области есть много других работ, заслуживающих упоминания: Ле Жана [75], Фюрстенберга и Кифера [37], Фюрстенберга и Кестена [36], Крауэла [22].

Главным инструментом здесь является стационарная мера, то есть мера, совпадающая со средним своих итераций. Это обобщение понятия инвариантной меры для обычных динамических систем на случай случайных динамических систем.

Мы должны упомянуть здесь работы Кайзера [64], где эффект сближения орбит был установлен для итераций одного аналитического диффеоморфизма, возмущаемых поворотами на случайные углы и Антонова [1], где было установлено следующее общее утверждение: в двусторонне-минимальной случайной динамической системе на окружности либо имеется общая инвариантная мера, либо имеет место эффект сближения орбит. В случае гладкой динамической системы, Баксендейлом [8] доказано следующее утверждение: для гладкой случайной динамической системы на компактном многообразии, существует эргодическая стационарная мера, такая, что сумма соответствующих ей показателей Ляпунова неположительна, и обращается в ноль если и только если эта мера инвариантна под действием всех диффеоморфизмов. В частности, для динамической системы на окружности из этой теоремы вытекает, что либо найдётся мера, инвариантная под действием всех отображений, либо имеет место эффект сближения орбит.

В главе 1 мы исследуем более общий случай случайных динамических систем, введённый Гарнетт [38], а именно, динамику на слоениях. Пусть на слоях некоторого слоения введена риманова метрика. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль слоев и поставить вопрос об исследовании асимптотического поведения отображений голоно-мии вдоль типичных траекторий.

Аналогом стационарной меры в данном случае будет гармоническая мера, а аналогом общей инвариантной меры трансверсалъная инвариантная мера: это мера на трансвер-салях, инвариантная под действием всех отображений голономии.

Мы покажем, что для всякого трансверсально конформного слоения (класса гладкости С1 в случае коразмерности 1) либо найдётся трансверсальная инвариантная мера, либо отображение голономии вдоль типичной броуновской траектории экспоненциально сжимает некоторую окрестность на трансверсали. Иначе говоря, наличие трансверсаль-ной инвариантной меры является единственным препятствием к эффекту трансверсаль-ного сжатия.

Главными инструментами здесь являются гармонические меры и показатели Ляпунова. Показатель Ляпунова измеряет асимптотическое поведение производных отображения голономии, соответствующих пути: это предел отношения логарифма производной отображения голономии к прошедшему времени, когда время стремится к бесконечности. Этот предел для типичной траектории существует и называется показателем Ляпунова.

0.3 Аттракторы

В современной теории динамических систем, существует много различных формализаций понятия аттрактора как притягивающего множества системы. В их числе необходимо упомянуть максимальный аттрактор диссипативной динамической системы, предельное множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы.

Гипотеза Палиса [84] предлагает, что для типичной динамической системы все эти определения дают одно и то же множество. С другой стороны, гипотеза Рюэлля [90] предполагает, что существуют типичные примеры несовпадения аттракторов. Впрочем, поскольку в этих гипотезах используются разные определения типичности (метрическая типичность в гипотезе Палиса и топологическая в гипотезе Рюэлля), эти гипотезы не являются взаимоисключающими.

Мы напомним определения некоторых из вышеупомянутых аттракторов и поясним их "физический смысл".

Пусть задано непрерывное отображение / : В —> В, причём f(B) С Int(£?) (такое отображение называется диссипативным). Максимальный аттрактор этого отображения определяется как пересечение всех итераций исходного множества:

Amax = f}fn(B). п

Это множество есть множество состояний, в которых система может находиться в сколь угодно большой момент времени. Конечно, не все системы диссипативны; поэтому обычно напрямую это определение не применяют. Напротив, достаточно часто "естественный" аттрактор системы оказывается максимальным аттрактором некоторой своей окрестности.

Предельное множество L определяется как замыкание объединения ш-предельных множеств всех точек. Иными словами, предельное множество это наименьшее замкнутое множество, к которому стремятся орбиты всех точек. Можно также определить его, используя подход несущественных множеств. Открытое множество U несущественно в смысле предельного множества, если орбита любой точки попадает в U лишь конечное число раз. Теперь, можно определить предельное множество как дополнение к объединению всех несущественных множеств.

Милноровский аттрактор Ам определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее ^-предельные множества для почти всех по мере Лебега начальных точек. Иначе говоря, это наименьшее множество, к которому стремится орбита типичной точки.

Статистический аттрактор Astat определяется следующим образом. Открытое множество U несущественно для статистического аттрактора, если для почти любой начальной точки х, доля времени, проводимого итерациями х в U, стремится к 0. Опять же, статистический аттрактор определяется как дополнение к объединению всех несущественных множеств.

Это определение может быть получено из следующей физической интерпретации. Предположим, что состояние системы отображается на экране светящейся точкой, и что мы фотографируем экран на очень малочувствительную плёнку с очень большой экспозицией. Полученное изображение (точнее, объединение таких изображений), это и есть статистический аттрактор.

Определение минимального аттрактора Amin похоже на определение статистического аттрактора, но вместо итераций индивидуальных точек рассматриваются итерации меры Лебега. А именно, открытое множество несущественно для минимального аттрактора, если временные средние mt меры Лебега концентрируются в дополнении к U, то есть, mt(U) стремится к 0 при t, стремящемся к бесконечности.

Это определение также можно интерпретировать как "фотографию экрана", но теперь на экране показывается динамика не одной точки, а множества, причём изначально точки были распределённы равномерно в смысле меры Лебега.

Эти определения изучались, в частности, в работах [44, 90, 84]. Известно (см. [44]), что d Ld Ам D A$tat Э Amin] более того, для всех включений, кроме последнего, имелись примеры, показывающие, что эти включения могут быть строгими. С другой стороны, для последнего включения такой пример не был известен. В [47] был поставлен вопрос о совпадении минимального и статистического аттракторов.

В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают. Этот пример получается незначительной модификацией примера Боуэна: одно из сёдел заменяется на седлоузел. Для полученной системы, каждая точка проводит значительное время около как седла, так и седлоузла, поэтому статистическим аттрактором оказывается их объединение. С другой стороны, мера, сконцентрированная около седла, стремится к 0: все точки оказываются время от времени близко к нему, но все в свои моменты времени. В результате, минимальный аттрактор состоит лишь из одной точки: седлоузла.

Глава 3 посвящена исследованию ячейки Черри. В 1881 году Пуанкаре [89] поставил вопрос о существовании потока на двумерной поверхности, у которого существовало бы исключительное (т.е. трансверсально канторово) минимальное множество. В 1932, Дан-жуа [23] показал, что такого гладкого потока не существует. Поток Черри был предложен Черри [18, 19] в 1937 году как пример гладкого потока на двумерном торе с исключительным квазиминимальным множеством; это пример, наиболее близкий к тому, что интересовало Пуанкаре.

В этой главе мы исследуем частный случай потоков Черри: потоки с одной ячейкой. Для таких потоков, соответствующее квазиминимальное множество содержит одну особую точку — седло. Мы покажем, что почти все точки тора проводят почти всё время в окрестности этого седла. Следовательно, минимальный и даже статистический аттрактор в этом случае состоят из всего одной точки — этого седла. С другой стороны, сопредельные множества почти всех точек совпадают с квазиминимальным множеством. Соответственно, аттрактором Милнора является именно это (трансверсально канторово) множество; и милноровский аттрактор не совпадает со статистическим и минимальным.

Как следствие, ячейка Черри является примером несовпадения минимального и мил-норовского аттракторов. Этот пример имеет коразмерность 1 — 0, и соответственно является наиболее типичным из известных примеров такого несовпадения.

Благодарности

Автор выражает свою огромную благодарность своим научным руководителям, доктору физ.-мат. наук, профессору Ю. С. Ильяшенко и академику Э. Жису, за постановку задач, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клепцын, Виктор Алексеевич, 2006 год

1. В. А. АНТОНОВ. Моделирование процессов тина циклической эволюции. Синхронизация случайным сигналом. Вестник Ленинградского Университета, 1984, вып. 2, N 7, Астрономия, с. 67-76.

2. С. X. арансон, В. 3. гринес. Топологическая классификация потоков на замкнутых многообразиях, Успехи Мат. Наук, 41 (1986), no. 1 (247), с. 149— 169, 240.

3. S. Aranson, V. Grines, Е. Zhuzhoma. On Anosov-Weil problem, Topology 40 (2001), no. 3, pp. 475-502.

4. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, J1. П. Шильни-КОВ. Теория бифуркаций // Динамические системы, 5, М.: ВИНИТИ, 1986.

5. П. С. Бачурин. О связи между временными средними и минимальными аттракторами, Успехи Мат. Наук, 54 (1999), по. 6, с. 151г-152.

6. P. Н. Baxendale. Lyapunov exponents and relative entropy for a stochastic flow of diffeomorphisms. Probab. Theory Related Fields. 81 (1989), pp. 521-554.

7. M. Blank, L. Bunimovich. Multicomponent dynamical systems: SRB measures and phase transitions. Nonlinearity, 16 (2003), pp. 387-401.

8. R. Bowen. Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diffeomorphisins. Springer Lecture Notes in Math. 470 (1975).

9. C. Boyd. The structure of Cherry flows, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 5 (1985), pp. 27-46.

10. D. Calegari & N. M. Dunfield. Laminations and groups of hoineomorphisms of the circle. Invent. Math. 152 (2003), no. 1, pp. 149-204.

11. A. Candel. The harmonic measures of L. Garnett. Adv. Math. 176 (2003) no. 2, pp. 187-247.

12. A. Candel, L. Conlon. Foliations II, Graduate Studies in Mathematics, v. 60, 2003.

13. Y. CARRIERE. Flots rieinanniens. Astérisque, 116 (1984), pp. 31-52.

14. I. Chavel. Eigenvalues in Rieinannian geometry, Pure and Applied Mathematics 115, Academic Press, Orlando, 1984.

15. J. Cheeger. A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195-199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970.

16. T. Cherry. Topological properties of solutions of ordinary differential equations, Amer. J. Math, 59 (1937), pp. 957-982.

17. T. CHERRY. Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus, Proc. Lond. Math. Soc., 44 (1938), no. 2, pp. 175-215.

18. L. Clozel k E. Ullmo. Correspondances modulaires et mesures invariantes. J. reine angew. Math. 558 (2003), pp. 47-83.

19. S. Y. Cheng, P. Li, S. T. Yau. On the upper estimate of the heat kernel of a complete Rieinannian manifold. Amer. J. Math. 103 (1981), no. 5, pp. 1021-1063.

20. H. Crauel, Extremal exponents of random dynamical systems do not vanish, Journal of Dynamics and Differential Equations, 2, no. 3, pp. 245-291 (1990).

21. A. Denjoy. Sur les courbes définies par des équation différentielles à la surface du tore. J. Math. Pure et Appl, 11 (1932), pp. 333-375.

22. B. Deroin. Hypersurfaces Levi-plates immergées dans les surfaces complexes de courbure positive. Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. (2005).

23. B. Deroin, V. Kleptsyn. Random conformai dynamical systems, to appear in: Geometry and Functional Analysis, 2007.

24. D. B. Epstein. Transversely hyperbolic 1-dimensional foliations. Astérisque 116 (1984), pp. 53-69.

25. S. Fenley. Foliations, topology and geometry of 3-inanifolds: R-covered foliations and transverse pseudo-Anosov flow. Comment. Math. Helv. 77 (2002), no.3, p. 415— 490.

26. R. Feres & A. Zeghib. Dynamics of the space of harmonic functions and foliated Liouville problem. Ergod. Theory Dyn. Syst., 25 (2005), no. 2, pp. 503-516.

27. R. Feres & A. Zeghib. Leafwise Holomorphic Functions, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), pp. 1717-1725.

28. J. E. Fornaess & N. Sibony. Harmonic currents of finite energy and laminations. Geom. and Fund. Anal. 15 (2005), no. 5, pp. 962-1003.

29. P. Frederickson, J. L. Kaplan, E. D. Yorke, J. A. Yorke. The Lyapunov dimension of strange attractors. J. Differ. Equations, 49 (1983), pp. 183-207.

30. A. Furman. Random walks on groups and random transformations. Handbook of dynamical systems, Vol. 1A, 931-1014, North-Holland, Amsterdam, 2002.

31. H. Furstenberg. Non commuting random matrices product. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), pp. 377-428.

32. H. Furstenberg. Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces. In: Poc. Sympos. Pure Math., 26 (1973), pp. 193-229.

33. H. Furstenberg. Strict ergodicity and transformation of the torus. Amer. J. Math. 83 (1961) pp. 573-601.

34. H. Furstenberg & H. Kesten. Product of random matrices. Ann. Math. Stat., 31 (1960), pp. 457-469.

35. Furstenberg H., Kifer Yu. Random matrix products and measures on projective spaces, Israel J. of Math., 46 (1983), no. 1-2, pp. 12-32.

36. L. Garnett. Foliations, the ergodic theorem and Brownian motion. J. Fund. Anal. 51 (1983), no. 3, pp. 285-311.

37. A. Gaunderdorfer, Time averages for heteroclinic attractors, SIAM J. Math. Anal., 52 (1992), pp. 1476-1489.40. É. GHYS. Flots transversalement affines et tissus feuilletés. Mum. Soc. Math. France 46 (1991), pp. 123-150.

38. A. С. Городецкий, Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем. Текст кандидатской диссертации, Московский Государственный Университет, 2001.

39. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем, Функц. анализ и его прил., 33, N 2, с. 16-30 (1999).

40. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом, Труды МИРАН им. В. А. Стеклова, 231, с. 96-118 (2000).

41. A.Gorodetski, Yu.Ilyashenko. Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, v. 6, N. 6, pp. 1177-1183.

42. Y. GuiVARC'h. Quelques propriétés asymptotiques pes produits de matrices aléatoires. École d'été (Saint Flour, 1978), pp. 177-250.

43. Y. GuiVARC'H & A. Raugi. Sur les mesures invariantes de certaines chaînes de Markov définies par des transformations hoinographiques. Random walks and stochastic processes on Lie groups, p. 62-65, Inst. Élie Cartan, Nancy, 1983.

44. A. Haefliger. Stuctures feuilletées et cohornologie à valeurs dans un faisceau de groupoïdes, Comment. Math. Helv., 32 (1958), pp. 248-329.

45. U. hamenstadt. Harmonie measures for compact negatively curved manifolds. Acta Math. 178 (1997), no. 1, pp. 39-107.

46. U. HAMENSTADT. Positive eigenfunctions on the universal covering of a compact negatively curved manifold, preprint.

47. G. Helmberg. A theorem on equidistribution on compact groups. Pacific J. Math. 8 (1958), pp. 227-241.

48. H. Y. Ни, L.-S. YOUNG. Nonexistence of SBR measures for some diffeoinorphisms which are 'almost Anosov'. Erg. Th. Dyn. Sys. 15 (1995), pp. 67-76.

49. S. HURDER. Exceptional minimal sets for C1+Q-group actions on the circle. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 11 (1991), pp. 455-467.

50. J. E. Hutchinson. Fractals and Self Similarity, Idiana University Math J., 30, pp. 271-280 (1981).

51. Ю. С. Ильяшенко. Мемуар Дюлака "О предельных циклах" и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений, Успехи мат. наук, 40 (1985), N. 6, с. 41-78.

52. Yu. Ilyashenko. The concept of minimal attractors and maximal attractors of partial differential equations of the Kuramoto-Sivashinski type, Chaos 1,1991, N. 2, pp.168-173.

53. T. Inoue. Sojourn times in small neighborhoods of indifferent fixed points of one-dimensional dynamical systems. Erg. Th. Dyn. Sys. 20 (2000), pp. 241-258.

54. E. jarvenpaa, Т. Tolonen. Relations between natural and observable measures. Nonlinearity, 18 (2005), pp. 897-912.

55. В. А. КАЙМАНОВИЧ. Броуновское движение и гармонические меры на накрывающих многообразиях. Энтропийный подход. Доклады АН СССР 288 (1986), с. 1045-1049.

56. Т. KAIJSER. On stochastic perturbations of iterations of circle maps, Physica D, 68 (1993), pp. 201-231.

57. А. Б. каток, Б. Хассельблат Введение в современную теорию динамических систем. Факториал, 2005.

58. М. Keane. Non-ergodic interval exchange transformations. Israel J. Math. 26 (1977), no. 2, p. 188-196.

59. G. Keller, Completely mixing maps without limit measure, Colloq. Math. 100 (2004), no. 1, pp. 73-76.

60. H. B. Keynes & D. Newton. A "minimal", non-uniquely ergodic interval exchange transformation. Math. Z. 148 (1976), no. 2, p. 101-105.

61. R. Langevin. Similarity and conformal geometry of foliations. Foliations: geometry and dynamics (Warsaw, 2000), pp. 61-73, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2002.

62. F. Ledrappier. Ergodic properties of the stable foliations. Ergodic Theory and Related Topics III (1990, Güstrow), pp. 131-145, Lecture Notes in Math., 1514.

63. F. Ledrappier. Applications of dynamics to compact manifolds of negative curvature. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1, no. 2 (Zürich, 1994), pp. 1195-1202, Birkhäuser, Basel, 1995.

64. F. Ledrappier, M. Shub, C. Simy, A. Wilkinson. Random versus deterministic exponents in a rich family of diffeomorphisms. J. Statist. Phys. 113 (2003), no. 1-2, pp. 85-149.

65. F. Ledrappier, L.-S. Young. Dimension formula for random transformations. Comm. Math. Phys., 117 (1988), no. 4, pp. 529-548.

66. Y. Le Jan. Équilibre statistique pour les produits de difféornorphismes aléatoires indépendants. Ann. Inst. Henri Poincaré. 23 (1987), no. 1, pp. 111-120.

67. M. Lin. On the "zero-two" law for conservative Markov processes. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 61 (1982), no. 4, pp. 513-525.

68. P. Malliavin. Diffusion et Géométrie Différentielle Globale. Centro Internationale Matematico Estivo. Varenne, France, août 1975.

69. J. MlLNOR. On the concept of attractor, Comm. Math. Phys. 99 (1985), no. 2, pp. 177-195.

70. Дж. Милнор. Голоморфная динамика. РХД, 2000.Перевод с английского: J. Milnor, Dynamics in one complex variable. Vieweg, Braunschweig, 1999.

71. M. Misiurewicz. Ergodic natural measures, Algebraic and topological dynamics, 1-6, Contemp. Math., 385, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

72. M. Misiurewicz, A. Zdunuk. Convergence of images of certain measures. Statistical physics and dynamical systems (Köszeg, 1984), PP- 203-219, Progr. Phys. 10, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1985.

73. I. Nikolaev, е. Zhuzhoma. Flows on 2-dimensional manifolds. An overview. Lecture Notes in Math., 1007. Springer-Verlag, Berlin, 1999.

74. В. И. ОСЕЛЕДЕЦ. Мультипликативная эргодическая теорема. Труды Московского матем. общ-ва, 19 (1968), с. 197-231.

75. J. Palis. A global view of dynamics and a conjecture on the dynamics of finitude of attractors, Géometrié complexe et systèmes dynamiques, Orsay 1995, Astérisque 261 (2000), xiii-xiv, pp. 335-347.

76. J. Palis, W. de Melo. Geometric Theory of Dynamical Systems. An introduction, Springer-Verlag. New Yourk-Heidelberg-Berlin (1982).

77. S. Petite. On invariant measures of finite affine type tilings. Ergodic Theory Dynam. Systems 26 (2006), no. 4, pp. 1159-1176. .

78. J. Plante. Foliations with measure preserving holonoiny. Ann. of Math. 1021975), pp. 327-361.

79. J. F. Plante, S. E. Goodman. Holonomy and averaging in foliated sets, J. Differential Geometry, 14 (1979), no. 3, pp. 401-407.

80. H. PoiNCARÉ. Sur les courbes définies par les équations différentielles, I, II, III, IV. J. Math. Pure et Appl, 2 (1881, 82, 85, 86), pp. 151-217.

81. D. Ruelle. Historical behaviour in smooth dynamical systems. Global analysis of dynamical systems, pp. 63-66, Inst. Phys., Bristol, 2001.

82. D. Ruelle. A measure associated with Axiom A attractors. Amer. J. Math., 981976), pp. 619-654.

83. D. Ruelle k D. sullivan. Currents, flows, and diffeomorphisms. Topology 14 (1975), pp. 319-327.

84. R. Sacksteder. Foliations and pseudogroups. Amer. J. Math. 87 (1965), pp. 79102.

85. A. Schwartz. A generalization of Poincaré-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds. Amer. J. Math. 85 (1963), 453-458.

86. S. Schwartzman. Asymptotic cycles. Ann. of Math. 66 (1957), pp. 270-284.

87. A. H. ширяев, Вероятность. M.: 1980, 576 с.

88. Я. Г. СИНАЙ. Гиббсовские меры в эргодической теории. Успехи мат. наук, 27 (1972), N. 4, с. 21-69.

89. D. Sullivan. Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds. Invent. Math. 36 (1976), pp. 225-255.

90. D. Sullivan. Conformai dymanical systems. Lecture Notes in Mathematics, 1007 (1983), Springer, New York, pp. 725-752.

91. D. Sullivan. Linking the universalities of Milnor-Thurston, Feigenbaum and Ahlfors-Bers. Topological methods in modern mathematics, (Stony Brook NY, 1991), pp. 543-564.

92. F. Takens, Heteroclinic attractors: time averages and moduli of topological conjugacy, Bol. Soc. Bras. Mat., 25 (1994), no. 1, pp. 107-120.

93. C. Tarquini. Feuilletages conformes, Ann. Inst. Fourier 54 (2004), no. 2, pp. 453480.

94. W. Thurston. Three-manifolds, Foliations and Circles, ii. Unfinished manuscript, 1998.

95. A. Vershik. Polymorphisms, Markov processes and quasi-similarity, Discrete Contin. Dyn. Syst. 13 (2005), no. 5, pp. 1305-1324.

96. L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Stat. Phys. 108 (2002), pp. 733-754.

97. C.-B. Yue. Brownian motion on Anosov foliation and manifolds of negative curvature. J. Differential Geom. 41 (1995), pp. 159-183.

98. M. A. zaks, Fractal Fourier Spectra for Cherry Flows. Physica D, 149 (2001), no. 4, pp. 237-247.Работы автора по теме диссертации

99. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Неустранимость нулевых показателей Ляпунова, Функциональный анализ и его приложения, 39 (2005), по. 1, с. 27-38.

100. В. А. клепцын, Б. А. Рабинович, Классификация фуксовых особых точек, Математические заметки, 76 (2004), по. 3, с. 372-383.

101. V. Kleptsyn. An example of non-coincidence of minimal and statistical attractors, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 26 (2006), pp. 759-768.