Применение теоретико-функциональных и аппроксимационных методов в исследовании перемешивающих свойств динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Кочергин, Андрей Васильевич

• Кочергин, Андрей Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кочергин, Андрей Васильевич

0. Введение

§ 0.1. Свойства потоков на двумерном торе.

§ 0.2.Перемешивание в потоках на поверхностях.

§ 0.3.Когомологическое уравнение.

§ 0.4.Структура и основные результаты диссертации

1. Перемешивание

§ 1.1. Основные понятия и некоторые леммы.

§ 1.2.Достаточное условие перемешивания.

§ 1.3.Модификации достаточного условия перемешивания

§ 1.4.Орбиты поворота окружности.

2. Пер вмешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией

§ 2.1. Формулировка результатов и описание механизма растяжения биркгофовых сумм

§ 2.2.Свойства £ - равномерно распределенных функций

§ 2.3.Разбиение же- равномерная распределенность биркгофовых сумм.

3. Гельдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе

§ 3.1. Формулировка результатов и построение потока

§ 3.2. Схема оценки скорости перемешивания.

§ 3.3. (е, - равномерно распределенные функции

§ 3.4. (е, 5) - равномерная распределенность биркгофовых сумм

§ 3.5.Доказательство теоремы 3.4 о размешивании элемента разбиения.

Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе

§ 4.1. Определения и формулировка результатов.

§ 4.2. Геометрия множества особых точек.

§ 4.3.Биркгофовы суммы «идеальных» логарифмических функций.

§ 4.4. Теорема о «главном резонансном слагаемом».

§ 4.5.Предварительная оценка биркгофовых сумм (/г)'.

§ 4.6.Построение частичного разбиения и разложения (/г)'

§ 4.7. Оценка диапазона Ji(t, [£t]) и величины (/Лг)'.

§ 4.8. Доказательство основных теорем.

Когомологичные функции и непрерывность

§ 5.1.Предварительные замечания.

§ 5.2.Неравенства и когомологическое уравнение.

§ 5.3. Когомологичность и непрерывность

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение теоретико-функциональных и аппроксимационных методов в исследовании перемешивающих свойств динамических систем»

0.1. Свойства потоков на двумерном торе Большая часть настоящей диссертации посвящена изучению перемешивающих свойств потоков на двумерном торе Т" M/Z с инвариантной мерой и изоморфных им специальных потоков над поворотами окружности S R/Z. Изучается взаимосвязь между гладкостью потока без неподвижных точек и возможными перемешивающими свойствами, а также перемешивающие свойства потоков с неподвижными точками. Кроме того, исследуются свойства непрерывной замены времени в абстрактных эргодических апериодических потоках на компактных метрических пространствах и многообразиях. Введем необходимые понятия и обозначения. Рассмотрим пространство Лебега (X, /х) с нормированной мерой /i и сохраняющий меру ji автоморфизм Т: X X. Пусть G L{X, /z), /(х) с О (почти) при всех х X. Фазовым пространством специального потока служит множество Yf {ix,y):xeX, 0y<f{x)}, мера fi2 на Yf порождается прямым произведением d/xdy, причем она нормируется так, что /Л2() 1- Мы для определенности будем считать, что /gi f{x)dfi{x) 1, Специальным потоком, построенным по Т и функции (или специальным потоком над автоморфизмом Т с функцией называется однопараметрическая группа преобразований {ЗЛ пространства У/, сохраняющая меру //2 и действующая при О по формуле п-1 STj{x,y)=[T-x,y tY.f{Tx) к=0 Свойство слабого перемешивания эквивалентно непрерывности спектра потока или, что то же самое, отсутствию собственных функций [14]. Гладкий поток без неподвижных точек на торе, сохраняюш;ий меру с гладкой плотностью, представляется (с точностью до умножения скорости потока на константу) как специальный поток над поворотом окружности с гладкой функцией. Для этого достаточно провести замкнутую гладкую трансверсальную кривую к траекториям потока. Отображение первого возвращения (последования) [19] сохраняет индуцированную на кривой меру и изоморфно повороту окружности, а время возвращения (умноженное на постоянный множитель) задает Гладкость зависит от гладкости потока и гладкости плотности инвариантной меры. Обратно, всякий специальный поток, построенный по повороту окружности и ограниченной измеримой функции можно реализовать как поток, получаемый заменой времени (или репараметризацией) из линейного потока на торе, задаваемого системой уравнений х р, у 1, где (ху) циклические (с периодом 1) координаты на T. В данном случае замену времени можно представить как домножение векторного поля на измеримую функцию {x,y), причем эту функцию можно сделать бесконечно гладкой вдоль траекторий потока. Если непрерывная, гладкая или аналитическая, то ф можно сделать той же гладкости (для аналитического случая это более нетривиальное утверждение [1]). Понятие замены времени легко обобщается на случай произвольного измеримого потока пространства с мерой [66], [14]. Если гладкий поток на поверхности с абсолютно непрерывной инвариантной мерой имеет конечное число неподвижных точек, то он представляется в виде специального потока над перекладыванием отрезков с функцией, имеющей особенности. Иногда это перекладывание отрезков является поворотом окружности. На торе могут быть либо вырожденные неподвижные точки (типа «крошки»), либо он не эргодичен. В главе 4 мы будем рассматривать поток, эргодическая компонента которого представляется в виде специального потока над поворотом окружности с функцией, имеющей логарифмические особенности. Активное изучение спектральных и перемешивающих свойств потоков на двумерном торе было стимулировано работой А.Н. Колмогорова [12, (1953)] и его докладом на Международном математическом конгрессе в 1954 г. [13]. Используя разложение в ряд Фурье, он показал, что аналитический поток без неподвижных точек, сохраняющий меру с аналитической плотностью, с диофантовым (т.е. достаточно плохо аппроксимируемым рациональными) числом вращения р аналитически сопряжен с линейным потоком. Тем самым он задает условно периодическое движение, имеет дискретный спектр с двумя образующими и не обладает свойством перемешивания (ни слабого, ни сильного). Доказательство А.Н. Колмогорова основано на представлении потока без неподвижных точек с аналитической (гладкой) мерой в виде специального потока, построенного по повороту Т окружности и аналитической (гладкой) функции Гладкая сопряженность потока линейному следует из гладкой сопряженности указанного специального потока и специального потока, построенного по Т и постоянной функции, которая в свою очередь следует из существования аналитического (гладкого) решения (/Р S R уравнения f{x)-c ip{Tx)-ip{x). (0.1.1) Решение находится с помощью разложения в ряды Фурье функций и (р. Это доказательство переносится также и на случай меньшей гладкости с соответствующими ограничениями на скорость аппроксимации р. Здесь обнаружилась зависимость свойств потока от его гладкости и числа вращения. А.Н. Колмогоров сформулировал утверждение о том, что в различных ситуациях, в частности, в зависимости от угла поворота, сопряжение может быть аналитическим, бесконечно дифференцируемым, но неаналитическим, дифференцируемым лишь конечное число раз или вообще разрывным. Более того, можно так подобрать аналитическую функцию и угол поворота, что измеримого сопряжения не сутцествует и .спектр потока будет непрерывным.специальный поток над поворотом окружности с данной функцией не изоморфен линейному потоку на торе. Для углов поворота с ограниченными неполными частными А.В. Рождественский [20] доказал сопряженность специального потока с линейным для любой «крыши» из некоторого пространства Орлича. Отметим, что слабо перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с разрывной кусочно гладкой функцией был построен еш;е в 1932 г, Дж. фон Нейманом [58]. Он доказал, что специальный поток над поворотом окружности на иррациональный угол с функцией, у которой алгебраическая сумма скачков в точках разрыва отлична от нуля, имеет непрерывный спектр. Существование замены времени, делающее произвольный эргодический апериодический поток слабо перемешивающим, доказал Р.В. Чакон [37]. Другое доказательство существования такой замены привел A.M. Стенин [26], опираясь на свою теорему об когомологиях групп автоморфизмов. Никакого утверждения о непрерывности замены в этих работах нет. Имеется ряд работ, обобщающих результат А.Н. Колмогорова на случай тора большей размерности. М. Эрман [47] показал, что если р 6 R /3-диофантов вектор, р G R+U{-boo}, а функция ср е С++Т), то специальный поток, построенный по сдвигу Т на р и функции непрерывно сопряжен специальному потоку с постоянной функцией. Следует отметить недавний, в определенном смысле, дополняющий результат Б. Файада [38], [40]: если р Ж ке является /3диофантовым вектором, то для плотного Gj-множества положительных функций ip Е С"(Т) специальный поток, построенный по сдвигу Т на р и функции (р, слабо перемешивает. Аналогичный результат доказан и для аналитических функций. М. Эрман [48] исследовал вопрос существования у гладкого потока на торе инвариантной меры, что равносильно достаточно гладкой сопряженности диффеоморфизма окружности с поворотом. Он показал, что если диффеоморфизм окружности принадлежит классу С", 7 О, производная диффеоморфизма не обращается в ноль, а его число вращения диофантово, то сопряжение с поворотом окружности принадлежит классу С, откуда и следует существование инвариантной меры с непрерывной плотностью. Я.Г. Синай и К.М. Ханин [52], наоборот, доказали существование инвариантной меры и вывели отсюда гладкую сопряженность. 0.2. Перемешивание в потоках на поверхностях В свете результатов А.Н. Колмогорова возникал естественный вопрос о существовании (сильно) перемепхивающих потоков на двумерном торе. Для абстрактного пространства Лебега П. Халмош [45] показал, что слабое перемешивание типично в пространстве со слабой топологией автоморфизмов или потоков с инвариантной мерой мерой, т.е. слабо перемешивающие автоморфизмы или потоки образуют множество II категории Бэра, в то время, как согласно В.А. Рохлину [21] (сильное) перемешивание не типично, типично отсутствие перемешивания. Аналогичный результат позднее был получен А.Т. Таги-Заде [27] для замен времени в эргодических потоках: типичны замены времени, делающие поток слабо перемешивающим, но при этом перемешивание не типично. Для функций класса С и достаточно хорошо аппроксимируемых углов поворота окружности А.Б. Каток [7], используя метод циклических аппроксимаций, разработанный совместно со A.M. Стениным [10], доказал отсутствие перемешивания, а также сингулярность и простоту спектра специального потока. Кроме того, он построил целый класс слабо перемешивающих специальных потоков над поворотом окружности с функциями класса В работе автора [65] (1972) дан отрицательный ответ на вопрос о существовании перемешивающих специальных потоков над поворотом окружности с гладкими функциями. В ней показано, что специальный поток, построенный по повороту окружности и функции ограниченной вариации, не перемепшвает. Это означает, любой гладкий поток на двумерном торе без неподвижных точек независимо от гладкости инвариантной меры, не перемешивает. Более того, никакая замена времени (изменение скорости), удовлетворяющая условию Липшица, не может сделать его перемешивающим. 10 в этой же работе впервые была приведена идея построения перемешивающего потока над поворотом окружности. Эта идея была реализована в работе автора [66] (1973), где доказано, что перемешивающий специальный поток с непрерывной «крышей» можно построить над любым эргодическим автоморфизмом (если мера борелевская и неатомарная), а в любом апериодическом непрерывном потоке на компактном метрическом пространстве, эргодическом относительно борелевской меры, можно добиться перемешивания непрерывной сколь угодно малой заменой времени. Эта замена времени может бытъ глад- кой вдоль траекторий и сосредоточена в любой окрестности положительной меры. (Примерно тогда же Н. Фридман и Д. Орнстейн [42] доказали существование перемешивающего производного автоморфизма для всякого эргодического автоморфизма.) В настоящей работе область возможного перемешивания для специальных потоков над поворотом окружности пододвинута ближе к липшицевым функциям, а именно показано, что для любого в определенном смысле регулярного условия непрерывности функции более слабого, чем условие Липшица, (в частности, для условия Гельдера) существует перемепшваюпщй специальный поток, построенный по некоторому повороту окружности и функции удовлетворяющей данному условию непрерывности. Это же утверждение верно для любого условия убывания коэффициентов Фурье функции более слабого, чем 0(1/п), что является дополнением к результату М. Леманчика [55] (2000), который сформулировал достаточное условие отсутствия перемешивания в специальном потоке над поворотом окружности в терминах коэффициентов Фурье «крыши». А именно, он доказал, что если ее коэффициенты Фурье 0(1/п), то специальный поток, построенный по повороту окружности и функции не перемешивает. Заметим, что отсутствие перемешивания для гладких потоков без неподвижных точек является свойством, присущим именно двумерному тору. Для торов большей размерности Б. Файад [38], [39] построил класс аналитических перемешиваюпщх потоков. Другой вид перемешивающих потоков на поверхностях это потоки с неподвижными точками. 11 в работе автора [68] (1975) было показано, что эргодический относительно гладкой меры поток на торе или другой ориентируемой поверхности рода 2, имеющий только вырожденные неподвижные точки, перемешивает. Время прохождения точки в окрестности вырожденной неподвижной точки зависит степенным образом от расстояния, на котором она проходит, поэтому гладкий поток на двумерной поверхности с гладкой инвариантной мерой и вырожденными неподвижными точками можно представить как специальный поток, построенный по перекладыванию отрезков и функции, гладкой всюду, за исключением степенных особенностей. Если перекладывание отрезков эргодично, то специальный поток перемешивает. В гладком эргодическом потоке на Т перемешивания можно добиться, «вклеив» в поток вырожденную неподвижную точку. (Примером такой точки может служить точка (0; 0) в потоке, задаваемом функцией Гамильтона Н{х,у) 2/(а: у)). Заметим, что различия во времени прохождения точек в окрестности невырожденного седла, вообш;е говоря, не хватает для перемешивания, что показано в работе автора [69]. Зависимость времени нахождения точки в окрестности описывается логарифмом расстояния, на котором траектория проходит от неподвижной точки, поэтому поток на поверхности с невырожденными неподвижными точками, сохраняюш;ий меру с плотностью, удовлетворяюш;ей условию Гельдера, изоморфен специальному потоку, построенному по перекладыванию отрезков окружности S и функции вида т Мх) J2 (А, In j в.. In Щ) (0.2.1) где Ai,Bi О, Х{, (г 1,... ,К) концы перекладываемых отрезков, /о функция ограниченной вариации на S, имеющая непрерывную производную всюду, кроме особых точек. Если поток на поверхности эргодичен, то перекладывание отрезков тоже эргодично и Yi-i Ai i=i Bi. Мы говорим, что эта функция симметрична. В отдельных случаях это перекладывание отрезков является поворотом окружности (А.А. Блохин в [5] построил такой пример на поверхности рода д 2] аналогичный пример приведен в учебнике [18, гл. 4, §2, 12 пример 11].) Если угол поворота допускает аппроксимацию рациональCOnst /л л N ными дробями со скоростью.--;—, а функция имеет вид (0.2.1), то qlnq специальный поток не перемешивает [69]. Доказательство опирается на следующее общее достаточное условие отсутствия перемешивания для специального потока, построенного по автоморфизму Т пространства Лебега {X,fj,), сохраняющего меру fi, и функции Пусть существует возрастающая последоват.ельность натуральных чисел Qn, последовательность мнооюеств An d X и числа М и с О такие, что Т" сходится к тоэюдественному автоморфизму в слабой топологии, для любого номера п выполняются неравенства 1{Ап) с О и |Я"(а;) /"(у)! М при всех х,у е An. Тогда специальный поток, построенный по автоморфизму Т и функции f, не перемеиливает. Аналогичное достаточное условие использовал позднее А.Б. Каток [50] при доказательстве отсутствия перемешивания для перекладывания отрезков и для специального потока, построенного по перекладыванию отрезков и функции ограниченной вариации (такие потоки возникают при исследовании биллиардов в многоугольниках). Независимо аналогичный результат получил В.В. Рыжиков [22]. М. Леманчик [55] слегка расширил класс функций, для которых справедлив результат из [69], но рассматриваемый класс углов поворота в его работе тот же. Автору не известно доказательство отсутствия перемешивания для углов, разложение которых в цепную дробь удовлетворяет условию кп+1 o(lngn). Нет также и примера перемешивающего специального потока над поворотом с симметричной функцией с логарифмическими особенностями. В общем случае эргодического перекладывания отрезков тоже не известно доказательство отсутствия перемешивания такого специального потока, точно так же, как не известны примеры перемешивающих специальных потоков, построенных по перекладыванию отрезков, отличному от поворота окружности, и симметричной функции с логарифмическими особенностями. В работе В.И. Арнольда [2] естественным образом возник по13 ток на двумерном торе, фазовое пространство которого распадается на ячейки, ограниченные замкнутыми сепаратрисами невырожденных особых точек и заполненные периодическими траекториями, и эргодическую компоненту. Эргодическая компонента изоморфна специальному потоку, построенному по повороту окружности S R/Z на иррациональный угол и функции с логарифмическими особенностями. В общем случае функция является асимметричной за счет того, что с одной стороны от особой точки траектория проходит вдвое чаще, чем с другой. В исключительных случаях функция может быть симметричной. В работе В.И. Арнольда, в частности, поставлен вопрос о перемешивании для таких потоков в асимметричном случае. Я.Г. Синай и К.М. Ханин [23] доказали свойство перемешивания для некоторого класса диофантовых углов. В главе 4 получен ряд новых теорем, существенно дополняющих их результаты. Перемешивание это сильное статистическое свойство, которое называют иногда свойством убывания корреляций. Такое название обусловлено тем, что перемешивание можно определить с помощью группы W L(У,/2) LOi) сопряженных с 5* операторов, задаваемых формулой {UF){x) F{S*x). Поток S* перемешивает тогда и только тогда, когда для любых F,G Е L{Y, 2) I—* 00 lim(C/F,C?> (F,l>(G,l> скалярное произведение). Скорость убывания корреляций (на некотором всюду плотном множестве функций), которая называется также скоростью перемешивания, тесно связана со свойствами спектра потока 5*, т.е. спектра группы С/*. Специальные потоки над поворотом окружности это потоки с относительно медленным перемешиванием. Я.Г. Синай и К.М. Ханин [23] оценили скорость перемешивания для специального потока над поворотом окружности с функцией, имеющей логарифмические особенности, которые они рассматривали и получили оценку для тех углов, которые они рассматривали, порядка (Int), где в 1/2, и оно зависит от угла поворота. Для некоторого потока над поворотом окружности с функцией, имеющей одну степенную особенность, Б. Файад получил степенную 14 оценку скорости перемешивания, однако показатель степени очень маленький (порядка 1/100). В главе 3 дается оценка скорости перемешивания для некоторого специального потока над поворотом окружности с функцией, удовлетворяюп];ей условию Гельдера. 0.3. Когомологическое уравнение Уравнение f{x) д{х) (р{Тх) ip{x) относительно ср иногда называется когомологическим (раньше оно называлось также гомологическим), функция f д в случае разрешимости уравнения называется кограницей, а решение (р иногда называется функцией переноса. Происхождение последнего термина мы попытаемся объяснить ниже. Когомологические уравнения (как в аддитивной, так и в мультипликативной форме) возникают и в различных других задачах, например, в связи с проблемой изоморфизма косых произведений, специальных и производных автоморфизмов, нахождения (или доказательства отсутствия) собственных функций и собственных значений для специальных потоков, автоморфизмов и косых произведений и т.д. [51]. Как уже отмечалось, А.Н. Колмогоров исследовал вопрос о когомологичности (он, правда, не использовал такого термина) заданной функции и постоянной, решая уравнение (0.1.1) с помош;ью разложения в ряд Фурье. При этом он высказал предположение о том, что если ряд, с помоп];ью которого получается решение уравнения (0.1.1), расходится, то уравнение неразрешимо. Однако, как выяснилось позднее, не для всякого решение (р уравнения (0.1.1) может быть найдено в виде ряда Фурье. Д.В. Аносов [1] (1973) показал, что существует аналитическая функция и поворот Т окружности на иррациональный угол, для которых ср измерима, но не суммируема. При этом ряд Фурье, получаюп];ийся при решении уравнения с помощью разложения, расходится. Естественно, специальный поток, построенный по Т и изоморфен линейному потоку на торе. 15 Мы рассмотрим когомологическое уравнение с чуть более широких позиций: существует ли функция д с заданными свойствами (например, непрерывная или гладкая), когомологичная Такая постановка связана, в частности, с вопросом о соотношении метрических свойств потока с его гладкостью. В работе автора [71] (1976) был предложен «почти геометрический» метод последовательных приближений для параллельного построения функции с требуемыми свойствами и соответствуюп],ей функции переноса. Этот метод излагается в главе 5 в доказательстве теоремы о том, что всякая суммируемая функция когомологична над произвольным эргодическим автоморфизмом ограниченной, непрерывной и даже почти дифференцируемой (если эти понятия совместимы в определенном смысле с мерой). Несколько позднее чуть более слабый результат опубликовали Д. Орнстейн и М. Смородинский [60] (1978). Похожая техника используется в работе У. Кренгеля [53], предложившего подробное доказательство теоремы Д. Рудольфа [62] о том, что любой эргодический специальный поток над автоморфизмом Т изоморфен специальному потоку над Т с функцией принимаюш;ей лишь два значения р и q с любым наперед заданным иррациональным отношением p/q и любым наперед заданным соотношением мер множеств f{p) и f{q) (см. также [14]). В дальнейшем аналогичный метод последовательных приближений с различными модификациями использовали А.Б. Каток, А. Уиндзор и Б. Файад [41] (2001) при построении «крыши» потока и собственных функций специального вида, а также ряд авторов в работах по исследованию так называемых косых сдвигов Анзаи, о которых пойдет речь ниже. Отметим терминологическое, а иногда и техническое сходство в исследованиях потоков и косых сдвигов Анзаи [34], [44] на двумерном торе, задаваемого формулой T,j{x, у) {{х {у или в мультипликативной записи 1Ш), 16

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кочергин, Андрей Васильевич, 2004 год

1. Д.В. Аносов, Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с эргодическим поворотом окружности. Изв. АН СССР, сер. матем., 37 (1973), 1259-1274.

2. В.И. Арнольд, Топологические и эргодические свойства замкнутых 1-форм с несоизмеримыми периодами. Функц. анализ и его прилож., 25 (1991), №2, 1-12.

3. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков, Лекции по математическому анализу. М., Высшая школа, 1999.

4. Г.Р. Белицкий, О локальной сопряженности диффеоморфизмов. Докл. АН СССР, 191 (1970), №3, 515-518.

5. А.А. Блохин, Гладкие эргодические потоки на поверхностях. Труды Моск. Матем. Общ., 27 (1972), 113-128.

6. A.M. Вершик, И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, Общая эргодическая теория групп преобразований с инвариантной мерой.Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. (1985) Т. 2. М.: ВИНИТИ, 5-111.

7. А.Б. Каток, Спектральные свойства динамических систем с интегральным инвариантом на торе. Функцион. анализ и прилож., 1 (1967), 45-56.

8. А.Б. Каток, Монотонная эквивалентность в эргодической теории. Изв. АН СССР, сер. матем., 41 (1977), 104-157, 231.

9. А.Б. Каток, Е.А. Сатаев, Стандартность автоморфизмов перекладываний отрезков и потоков на поверхностях. Матем. заметки, 20 (1976), №4, 479-488.

10. А.Б. Каток, A.M. Степин, Аппроксимации в эргодической теории. Успехи матем. наук, 5 (137), (1967), №5, 81-106.

11. А.Б. Каток, Я.Г. Синай, A.M. Степин, Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой. В сб. Итоги науки, Математический анализ, т. 13 (1975), 129-262.

12. А.Н. Колмогоров, О динамических системах с интегральным инвариантом на торе. Докл. АН СССР, 93 (1953), 763-766.

13. A.N. Kolmogorov, Theorie generate des systemes et mecanique clas-sique, Proceedings of the Internatioal Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1, p. 315-333. Erven P. Nordhoff N.V., Groningen, 1957.

14. И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин, Эргодическая теория. М., Наука, 1980.

15. А.Б. Крыгин, Пример непрерывного потока на торе со смешанным спектром. Матем. заметки, 15 (1974), №2, 235-240.

16. А.Б. Крыгин, Примеры эргодических цилиндрических каскадов. Матем. заметки, 16 (1974), №6, 981-991.

17. А.Б. Крыгин, Пример цилиндрического каскада с аномальными метрическими свойствами. Вестник МГУ (1975), сер. 1, №5, 2632.

18. Ж. Пэлис, ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.

19. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JL: ГИТТЛ, 1947."

20. А.В. Рождественский, Об абсолютно непрерывных слабо перемешивающих коциклах над иррациональными поворотами окружности. Матем. сб. (готовится к печати).щ

21. В.А. Рохлин, Общее преобразование с инвариантной мерой не есть перемешивание. ДАН СССР, 60 (1948), №3, 349-351.

22. В.В. Рыжиков Отсутствие перемешивания у специальных потоков над перекладыванием отрезков. Матем. заметки, 55 (1994), № 6, с. 146-149.

23. Я.Г. Синай, К.М.Ханин, Перемешивание некоторых классов потоков над поворотом окружности. Функцион. анализ и его при-лож., 26 (1992), №3, 1-21.

24. A.M. Степин, О гомологическом уравнении теории динамических систем, В сб. Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Издательство Ярославского университета, 1982, 106-117.

25. A.M. Степин, О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов. Матем. заметки, 13 (1973), №3, 403-409.

26. A.M. Степин, О когомологиях групп автоморфизмов пространства Лебега. Функц. анализ и его прилож., 5 (1971), №2, 91-92.

27. А.Т. Таги-Заде. Замена времени в специальных потоках. Матем. заметки, 25 (1979), №5, 725-732.

28. П.Р. Халмош, Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.

29. А.Я. Хинчин, Цепные дроби. М., Физматгиз, 1961.

30. М.Д. Шкловер, О классических динамических системах на торе с непрерывным спектром. Изв. вузов, Математика, 10 (1967), 113124.

31. С.А. Юзвинский, О метрических автоморфизмах с простым спектром. Докл. АН СССР, 172 (1967), №5, 999-1002.

32. J. Aaronson, М. Lemanczyk, С. Mauduit, Н. Nakada, Koksma's inequality and group extensions of Kronecker transformationsAlgorithms, Fractals and Dynamics, editedby Y. Takahashi, Plenum Press 1995, 27-50.

33. W. Ambrose, S. Kakuktani, Structure and continuity of measurable flows. Duke Math. J. (1942), 9, 25-42.

34. Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus. Osaka math, journal. 3 (1951), №1, 83-99.

35. W. Bulatek, M. Lemanczyk, D. Rudolph, Constructions of cocycles over irrational rotation. Studia Mathematica, 125 (1) (1997), 1-11.

36. R.V. Chacon, Transformations having continuous spectrum. J. Math. Mech., 16 (1966), 399-415.

37. R.V. Chacon, Change of velocity in flows. J. Math. Mech., 16 (1966), №5, 417-431.

38. B. Fayad, Reparametrage de flots irrationnels sure le tore, PhD Thesis, L'Ecole Polytechnique. Paris, 2000.

39. B. Fayad, Analityc mixing reparametrizations of irrational flows. Ergodic Theory Dymam. Systems, 22 (2002), №2, 437-468.

40. B. Fayad, Weak mixing for reparameterized linear flows on the torus. Ergodic Theory Dynam. Systems, 22 (2002), №1, 187-201.

41. B. Fayad, A. Katok, A. Windsor, Mixed spectrum reparametrizations of linear flows on T2. Mosc. Math. J., 4, (2001), .

42. N.A. Friedman, D.S. Ornstein, On partially mixing transformations. Indiana Univ. Math. J., 20 (1972), №8, 767-775.

43. N.A. Friedman, D.S. Ornstein, Ergodic transformations induce mixing transformations. Adv. Math., 10 (1973), №1, 147-163.

44. H. Furstenberg, Strict ergodicity and transformations on the torus. Amer. J. Math., 83 (1961), 573-601.

45. P.R. Halmos, In general, a measure-preserving transformation is mixing. Ann. of Math., ser 2, 45 (1944), №4, 784-792.

46. В. Hasselblatt, A. Katok, Principal Structures, Handbook in Dynamical Systems, v. 1A, Elsevier, 2002, 1-203.

47. M.R. Herman, Exemples de flots hamiltoniense dont aucune perturbation en topologie C°° n'a d'orbites periodiques sur un ouvert de surfaces d'energies. C.R Acad. Sci. Paris, 312 (1991), 989-994.

48. M.R. Herman, Sur la conjugasion differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 49 (1979), 5-233.

49. A. Iwanik, M. Lemanczyk, D. Rudolph, Absolutely continuous cocy-cles over irrational rotation. Israel J. Math., 83 (1993), 73-95.

50. A.B. Katok, Interval exchange transformations and some special flows are not mixing. Israel. J. Math., 35 (1980), 301-310.

51. A. Katok, E.A. Robinson, Jr. Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory, in Smooth Ergodic Theory and its applications, Proc. Symp. Pure Math, AMS, 69 (2001).

52. K.M. Khanin, Ya.G. Sinai, A new proof of M. Herman's theorem, Commun. Math. Phys., 112 (1987), 89-101.

53. U. Krengel, On Rudolph's representation of aperiodic flows. Ann. Inst. Poincare, 12, 1976 (77), №4, 319-338.

54. J. Kwiatkowski, M. Lemanczyk, D. Rudolph, A class of real cocycles having an analytic coboundary modification. Israel J. Math., 87 (1994), 337-360.

55. M. Lemanczyk, Sur I'absence de melange pour des flots speciaux au dessus d'une rotation irrationelle. Colloquium mathematicum, 84/85, (2000), 29-41.

56. M. Lemanczyk, C. Mauduit, Ergodicity of a class of cocycles over irrational rotation. J. London Math. Soc. (2), 49 (1994), 124-132.

57. M. Lemanczyk, F. Parreau, D. Volny, Ergodic properties of real co-cycles and pseudo-homogeneous Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 348 (1996), 4919-4938.

58. J. von Neumann, Zur Operatorenmethode in der klassischen Mechanik, Ann. of Math., 33 (1932), 587-.

59. D. Ornstein, D. Rudolph, B. Weiss, Equivalence of measure preserving transformations, Memoirs of AMS, 37 (1982), №262.

60. D. Ornstein, M. Smorodinsky, Continuous speed changes for flows, Israel J. Math., 31 (1978), 161-168.

61. W. Parry, Cocycles and velocity changes, J. London Math. Soc., 5 (1972), №, 511-516.

62. D. Rudolph, A two-valued step-coding for ergodic flows. Proc. of the Intern. Conference on Dynamic Systems in Math. Phys., Rennes, Sept 14-21, 1975.

63. B. Weiss, Equivalence of measure preserving transformations, Preprint (1976).

64. A. Windsor, Liouville phenomena in smooth ergodic theory. PhD Thesis, Pennsylvania State University, 2002.Работы автора

65. A.B. Кочергин, Об отсутствии перемешивания у специальных потоков над поворотом окружности и у потоков на двумерном торе. Докл. АН СССР, 205, (1972), 515-518.

66. А.В. Кочергин, Замена времени в потоках и перемешивание. Изв. АН СССР, сер. матем., 37 (1973), 1275-1298.

67. А.В. Кочергин, О перемешивании в потоках на поверхностях, тезисы доклада. УМН, ХХХ:2 (182), (1975), 202-203.

68. А.В. Кочергин, О перемешивании в специальных потоках над перекладыванием отрезков и в гладких потоках на поверхностях. Матем. сб., 96 (138), (1975), №3, 471-502.

69. А.В. Кочергин, Невырожденные седла и отсутствие перемешивания. Матем. заметки, 19 (1976), №3, 453-468.

70. A. Kochergin, Causes of stretching of Birkhoff sums and mixing in flows on surfaces, в сб. «Recent Progress in Dynamics», Cambridge University Press, 2004, 12 p.Работы автора по теме диссертации

71. А.В. Кочергин, О гомологичности функций над динамическими системами. Докл. АН СССР, 231, (1976), 795-798.

72. А.В. Кочергин, Перемешивающий специальный поток над поворотом окружности с почти липшицевой функцией. Математический сборник, 193 (2002), №3, 51-78.

73. А.В. Кочергин, Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе. Матем. сб., 194 (2003), №8, 83-112.

74. А.В. Кочергин, Невырожденные неподвижные точки и перемешивание в потоках на двумерном торе II. Математический сборник, 195 (2004), №3, 15-46.

75. А.В. Кочергин, Гелъдерова замена времени и скорость перемешивания в потоке на двумерном торе. Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 244 (2004), 216-248.

76. А.В. Кочергин, Некоторые обобщения теорем о перемешивающих потоках с невырожденными седлами на двумерном торе. Матем. сб., 195 (2004), №9, 19-36.

77. А.В. Кочергин, Перемешивание в потоках на торе. В сб. тезисов докладов на Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003), 101-102.

78. A. Kochergin, Well арртохгтаЫе angles and mixing for flows on T2 with nonsingular fixed points. Electronic Research Announcements of American Mathematical Society, 10 (2004), 113-121.