Резонансные акустические эффекты в анизотропных слоистых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Горкунова, Анна Сергеевна

• Горкунова, Анна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горкунова, Анна Сергеевна

ВведениеЗ

Глава I Упругие волны в одномерно-неоднородных анизотропных средах

Глава II Упругие волны в анизотропнойруктуреой на подложке

Глава III Фазовый резонанс при отражении упругих волн от системы пьезокралличихоевэкранирующими пройками

Глава IV Поперечные акустические волны в пьезокристаллических и сегнетоэлектричих антифазныхерхрешетках

Глава V Особенности отражения акустических волн в кристаллических структурахграницами раздела типаользящего контакта

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансные акустические эффекты в анизотропных слоистых средах»

Упругие волны в анизотропных средах на протяжении многих лет остаются популярным объектом исследования среди специалистов, работающих в достаточно удаленных друг от друга областях от фононной физики и кристаллоакустики до континуальной механики и сейсмологии. Монокристаллические пластины с различными физическими свойствами широко используются в акустоэлектронике для создания всевозможных приборов, таких как ультразвуковые линии задержки, фильтры, фазовые преобразователи, твердотельные усилители и.т.д. В последнее время широко изучаются периодические многослойные структуры (так называемые сверхрешетки), которые можно применять на практике в качестве дифракционных решеток с заданными спектральными характеристиками. Кроме того, акустика анизотропных сред до сих пор вызывает и чисто научный интерес, поскольку протекающие в последних волновые процессы, особенно в неоднородных средах с поверхностями и границами раздела, отличает удивительное многообразие, а порой и весьма нетривиальное поведение, включая сингулярные свойства волновых характеристик и резонансное взаимодействие парциальных мод.

Исследование упругих волн в изотропных средах с границами раздела началось гораздо ранее соответствующего анизотропного аналога. Например, поверхностная волна в изотропной среде была открыта Рэлеем еще в 1885 г. [1], а свойства подобной волны в кристаллах изучаются по сей день. Поначалу в кристаллах рассматривалось распространение упругих волн лишь в отдельных высокосимметричных направлениях [2-3]. Затем была создана общая теория объемных упругих волн в однородных кристаллах [4]. Параллельно разрабатывался другой формализм, который позволял описывать как объемные, так и неоднородные волны в анизотропных средах с границами раздела. Речь идет о 6-мерном формализме Стро [5] (см. также [6]), который до сих пор остается одним из мощнейших инструментов при решении задач акустики. Отличительной чертой формализма является тот факт, что аналитические результаты в его рамках получают без конкретизирования класса симметрии кристалла, и они как правило выражены через собственные векторы и собственные значения задачи Стро. С помощью формализма Стро, в частности, были исследованы волны Рэлея и Стоунли в произвольных анизотропных средах [7-10]. В дальнейшем формализм Стро удалось модифицировать для случая пьезокристаллических сред [11-13], что значительно расширило круг решаемых на его основе задач (см., например [14-16]). Кроме того, формализм Стро нашел свое применение в широкой области исследования распространения упругих волн в анизотропных слоистых, в частности, периодических, средах.

Решение задач упругости в произвольных анизотропных неоднородных средах, очевидно, крайне сложно. В свою очередь, изучение упругих волн в изотропных слоистых средах ведется уже давно. Основные теоретические подходы и описание всевозможных явлений в рамках этой темы изложены в монографии [17]. Большое внимание всегда уделялось исследованию дифракции упругих волн в периодических слоистых средах с изотропными составляющими, из-за интересных фильтрационных особенностей таких структур, обусловленных блоховской структурой волновых спектров [18-23]. При решении подобных задач находилось дисперсионное соотношение для блоховских волн, вычисление которого уже при двух слоях в элементарной ячейке было чрезвычайно громоздко, а затем использовалась теорема Блоха для распространения волнового поля на всю решетку. При большем числе слоев в элементарной ячейке, тем более для анизотропных слоев, задача казалась аналитически нерешаемой. Однако комбинирование теоремы Блоха с методом матричного пропагатора (концепция которого уже была разработана для задач о распространении волн в слоистых средах [24-26]), позволило свести дисперсионное соотношение к характеристическому многочлену матрицы, чья размерность не зависела от числа слоев в элементарной ячейке. В дальнейшем метод матричного пропагатора стал успешно использоваться при решении задач о волновой дифракции в периодических слоистых средах как с жидкими, так и с твердыми изотропными и анизотропными слоями [27-38].

В работе [39] была рассмотрена общая задача о распространении волн в анизотропных многослойных, в том числе периодических, структурах. При решении этой задачи авторы использовали формализм Стро, который в сочетании с методом матричного пропагатора позволил формально получить в компактной аналитической форме рапределение волновых полей в дискретно-неоднородных непьезоактивных кристаллических структурах с составляющими произвольной анизотропии. Были проанализированы блоховские дисперсионные соотношения для периодических решеток с различной симметрией слоев. С другой стороны, в [40] на основе формализма Стро был разработан метод нахождения распределения статических упругих полей в непрерывно-неоднородной в одном направлении анизотропной среды в присутствии сторонних сил и дислокаций.

Результаты последних двух работ существенно используются в главе I диссертации для посторения формализма, позволяющего решать динамическую задачу упругости в непрерывно-неоднородных в одном направлении анизотропных средах, возможно обладающих пьезоэлектрическими (пьезомагнитными) свойствами. Далее результаты конкретизируются для кусочноно-неоднородных сред, а затем и для периодических сред. В случае кусочной неоднородности среды рассматриваются границы раздела, обеспечивающие непрерывность волновых полей, а также границы, на которых происходит разрыв отдельных компонент волнового поля.

Знание распределения всех волновых полей в неоднородной структуре как в задаче отражения, так и в задаче о собственных волновых состояниях, позволяет далее изучать различные, в том числе резонансные, эффекты, присущие данной структуре. Например, если у структуры существует собственное решение оттекающего типа, следует ожидать интересных результатов при резонансном взаимодействии падающей и собственной оттекающей моды, см. главу II. В главе II разработаный в главе I формализм применяется к конкретной структуре слой на подложке с произвольной анизотропией кристаллических составляющих.

В главах III, IV изучаются резонансы отражения брэгговской природы в периодических кристаллических структурах. В главе III исследовано явление акустического фазового резонанса, который наблюдается на фоне постоянного единичного модуля коэффициента отражения. В главе IV был рассмотрен амплитудный резонанс отражения от регулярной структуры сегнетоэлектрических доменов при произвольных углах падения любых значениях параметра электромеханической связи.

В главе V рассмотрен эффект полного запирания (ЭПЗ) при отражении от скользящей границы раздела, заключающийся в том, что в присоединенную среду не проходят ни объемные ни неоднородные моды. Затем для периодической системы плоских скользящих контактов в орторомбическом кристалле исследовано одновременное влияние ЭПЗ и явления брэгговского резонанса на спектры отражения-прохождения сагиттальных мод.

В итоге отметим, что научная новизна результатов состоит в следующем:

• предсказан эффект резонансного возбуждения поверхностных мод в структуре слой на подложке при отражении вблизи собственной оттекающей моды (см. раздел И.6, II.7.2);

• впервые исследован эффект акустического фазового резонанса, имеющего брэгговскую природу, от периодической системы пьезокристаллических слоев с экранирующими прослойками (см. раздел III.3);

• построен модифицированный метод матричного пропагатора, позволивший впервые получить точные аналитические выражения для спектров отражения от регулярной структуры сегнетоэлектрических доменов при любых углах падения и произвольной величине параметра электромеханической связи (см. раздел IV.3.2);

• для скользящей границы раздела предсказана возможность существования эффекта полного запирания и получены его критерии на скользящей границе раздела между орторомбическим полупространством и произвольной средой, и на "выходной" границе орторомбического слоя в скользящем контакте с двумя произвольными подложками (см. У.4, У.5);

Практическая ценность работы заключается в том, что

• предложен эффективный метод возбуждения поверхностных волн в кристаллических пластинах, при котором интенсивность установившейся рэлеевской волны может в десятки раз превосходить интенсивность падающей волны накачки (см. раздел II.7.3);

• полученный эффект фазового резонанса в периодической структуре пьезокристаллических слоев с экранирующими прослойками позволяет использо-вать данную структуру в качестве перестраиваемого акустического фазового фильтра; другая идея использования таких структур может быть связана с резкой перестройкой амплитуды интерференционного волнового поля на входе структуры в условиях резонанса (см. раздел III.5);

• высокая селективность спектров отражения от регулярной структуры сегнетоэлектрических доменов, также как и характерный ступеньчатый вид брэгговских максимумов вблизи скользящего падения волны могут быть использованы при создании различных акустических приборов (см. раздел 1У.4);

• явление полного запирания, имеющее место при определенных углах падения для двух полупрстранств в скользящем контакте и носящее частотно-дисперсионный 7 характер для слоя в скользящем контакте с двумя подложками, также как и вызванные этим явлением чрезвычайно интересные особенности спектров отражения-прохождения для периодической системы скользящих контактов в орторомбической среде, могут найти применение в методах неразрушающего контроля упругих сред, а также в сейсмологии (см. разделы У.4, У.5, У.7).

Включенные в диссертацию результаты расчетов в основном получены лично автором. Постановка задач, выбор применяемых математических методов и обсуждение результатов проводились совместно с научными руководителями.

Основные результаты работы опубликованы в 8 научных трудах [97-104].

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Горкунова, Анна Сергеевна

Основные результаты

1. Найдены распределения акустических волновых полей в произвольной анизотропной структуре слой на подложке со свободной и зажатой поверхностью применительно к задаче отражения и задаче о собственных волнах. Получено дисперсионное уравнение, определяющее скорости собственных волновых решений структуры, и доказана его вещественность. В предельных случаях тонкого и толстого по сравнению с длиной волны слоя найдены скорости возмущенных рэлеевских волн подложки и слоя соответственно. Указаны условия трансформации рэлеевской волны на свободной поверхности слоя в оттекающую моду с экспоненциально слабой парциальной волной утечки в подложке. Вычислена комплексная поправка к скорости оттекающей моды.

2. Показан резонансный характер отражения от слоя волны в подложке с приведенной скоростью, близкой к фазовой скорости оттекающей моды. Выявлен резонансный режим возбуждения такой волной поверхностной рэлеевской волны в слое. Применительно к случаю отражения гауссовского акустического пучка показана практическая реализуемость возбуждения рэлеевской волны в десять и более раз превышающей по интенсивности падающую волну накачки.

3. Предсказан эффект фазового резонанса при отражении акустической сдвиговой волны от периодической структуры пьезокристаллических слоев с прослойками, экранирующими сопутствующее электромагнитное поле. Особенность данного эффекта в том, что он наблюдается на фоне постоянной (единичной) амплитуды коэффициента отражения. Последнее обеспечивается свободной поверхностью на выходе струтуры, на которой происходит полное отражение упругой волны.

Отражение на каждой границе раздела целиком обусловленно пьезоэффектом и мало в меру малости электромеханической связи. Фазовый резонанс обусловлен тем, что на входе структуры вклады от отражений на каждой границе оказываются синфазны.

4. Разработан алгебраический метод, позволяющий аналитически находить спектры отражения-прохождения акустических волн в периодических многослойных структурах при возбуждении на границах раздела сопутствующих неоднородных мод (размерность матрицы-пропагаторы 4x4).

5. Исследован брэгговский резонанс отражения сдвиговой волны от периодической антифазной структуры сегнетоэлектрических доменов. Отражение на границах раздела обусловлено противоположным знаком пьезоэлектрических модулей в соседних доменах. Применение разработанного метода позволило описать эффект для произвольных углов падения и величины параметра электромеханической связи .

6. Для скользящей границы раздела, моделирующей тонкий зазор, наполненный невязкой жидкостью, предсказан эффект полного запирания, заключающийся в том, что в присоединенную среду не проходят ни объемные, ни неоднородные волны. Обнаруженное явление обусловлено разрывом тангенциальных смещений и потому присуще исключительно данному типу контакта. Характерная особенность данного явления состоит в том, что угол падения, при котором возникает полное запирание, зависит только от параметров среды, содержащей падающую волну, и не зависит от присоединенной среды. Вычислен угол падения, обеспечивающий полное запирание на скользящей границе орторомбического кристалла.

7. Установлен эффект полного запирания при падении упругой волны на слой, находящийся в скользящем контакте с произвольными подложками. Критерий эффекта представляет собой уравнение, содержащее параметры слоя и угол падения с частотой волны. При выполнении критерия рассматриваемый слой обеспечивают полное запирание независимо от прилегающих к нему подложек. Исследовано совместное проявление эффекта полного запирания и брэгговской дифракции при падении упругой волны на периодическую систему скользящих контактов в орторомбическом кристалле.

Заключение

Существующие аналитические методы решения динамической задачи упругости в неоднородных анизотропных средах наряду с развитыми новыми подходами (см. главы I, IV) позволили решить граничные задачи для целого ряда дискретно-неоднородных сред, в рамках которых были исследованы как новые эффекты (акустический фазовый резонанс, эффект полного запирания), так и характерные для конкретной стуктуры черты уже изученных явлений (явления брэгговской дифракции).

Глава I является обзорной. При существенном использовании результатов предшествующих работ построен метод единообразного решения задач о распределении волновых полей в самых различных неоднородных анизотропных средах. Материалы главы I применяются во всех последующих главах.

В главе II рассмотрено распространение волновых полей в структуре слой на подложке с произвольной анизотропией кристаллитов. Для задачи о собственных волновых состояниях получено аналитическое представление общего дисперсионного уравнения и доказана его вещественность, что снимает парадокс кажущейся переопределенности поставленной задачи. Полностью решена задача отражения, результатом которой стало найденное распределение волновых полей во всей структуре (в терминах собственных векторов и собственных значений задачи Стро для слоя и подложки). Выявлена резонансная связь волновых решений при падении на структуру объемной волны с тангенциальной проекцией волнового вектора, близкой к волновому вектору волны Рэлея в слое. При этом возникает резонанс отражения на оттекающей моде, приводящий, в частности, к резонансному (экспоненциально сильному) возбуждению поверхностных волн на границе структуры. Для случая гексагональных материалов, составляющих структуру, определены физические параметры, приводящие к резонансному возбуждению рэлеевской волны в слое реальным падающим акустическим волновым пучком.

В главе III исследовано явление акустического фазового резонанса в периодической многослойной структуре пьезокристаллических слоев, разделенных экранирующими электромагнитное поле прослойками. В условиях постоянной амплитуды коэффициента отражения (при свободной поверхности структуры происходит полное отражение упругого волнового поля) его фаза демострирует резонансные особенности брэгговского типа. Таким образом, при полном отсутствии классического" амплитудного брэгговского резонанса, дифракционные эффекты на каждой границе раздела приводят к фазовому аналогу данного явления.

В главе IV изучено явление брэгговской дифракции, возникающее при наклонном распространении сдвиговой волны через антифазную сверхрешетку, представляющую собой систему противоположно ориентированных сегнетоэлектрических доменов либо антипараллельных пьезоэлектрических слоев. Наличие электромеханической связи обуславливает возбуждение неоднородных мод на границах разделов, и, таким образом, в дифракции участвуют в целом четыре моды, и для ее описания строится матрица-пропагатор размерностью 4x4. Если длина волны существенно меньше толщины доменов, что является условием, лежащем в основе дифракционных резонансов, две неоднородные моды характеризуются большими коэффициентами экспонененциального убывания/возрастания. Эта особенность приводит к экспоненциально сильным неравенствам между соответствующими собственными значениями матрицы \¥. Учет последнего обстоятельства наряду с использованием методов линейной алгебры позволили получить точное аналитическое описание спектров отражения и прохождения. В свою очередь, это дало возможность исследовать резонансные особенности дифракции, управляемые параметром электромеханической связи, частотой, углом падения, числом доменов и отношением толщин доменов в элементарной ячейке структуры.

В главе V показано, что отражение-прохождение на границе раздела в виде скользящего контакта допускает существование эффекта полного запирания (ЭПЗ), который заключается в том, что ни объемные, ни неоднородные моды не проходят в присоединенную среду при определенных углах падения. Для скользящей границы раздела между содержащим падающую моду орторомбическим полупространством и произвольной средой ЭПЗ для сагиттальных мод может иметь место, помимо случаев нормального падения и трансзвуковых состояний, лишь при единственном угле падения. Для орторомбического слоя в скользящем контакте с двумя произвольными подложками ЭПЗ имеет частотно-дисперсионный характер, и существует, когда угол падения и частота падающей моды удовлетворяют уравнению (У.49). Далее рассмотрено распространение сагиттальных акустических волн сквозь систему одинаковых орторомбических слоев, помещенных между двумя подложками из того же материала, со скользящими контактами на границах раздела. Применение модифицированного матричного метода позволило получить точные аналитические соотношения, полностью описывающие спектры отражения-прохождения. Специфические особенности этих спектров обусловлены сочетанием эффекта полного запирания, который имеет место в случае скользящего контакта, и явления резонанса брэгговского типа, возникающего благодаря дифракции. Заметим, что особенно резкое изменение спектров отражения и прохождения происходит при малых отклонениях Ав от нормального падения быстрой моды а = 4 или от угла падения (У.73) медленной моды а = 5 (последний случай предполагает существование вогнутости у полости поверхности медленностей, соответствующей медленной волновой ветви).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горкунова, Анна Сергеевна, 1999 год

1. Lord Rayleigh. On waves propagated along the plane surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. 1887 V. 17 P. 4-11.

2. Stoneley R. Elastic waves at the surface of the separation of two solids. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1924. V. 106. P. 416-428.

3. Synge J.L. Elastic waves in anisotropic media.//J. Math. Phys. 1957. V. 35. P. 323-340.

4. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука. 1965. 388 с.

5. Stroh A.N. Steady state problems in anisotropic elasticity // J. Math. Phys. 1962. V. 41. P. 77103.

6. Ingebrigtsen K.A., Tönning A. Elastic surface waves in crystals.//Phys. Rev. 1969. V. 184. P. 942-951.

7. Lothe J., Barnett D.M. On the existence of surface-wave solutions for anisotropic elastic halfspaces with free surface.//J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 428-433.

8. Chadwick P., Smith G.D. Foundations of the theory of surface waves in anisotropic elastic materials.//Adv. in Appl. Mech. 1977. V. 17. P. 303-376.

9. Barnett D.M., Lothe J. Free surface (Rayleigh) waves in anisotropic elastic half-spaces: the surface impedance method. //Proc. R. Soc. Lond. A. 1985 V. 402. P. 135-152.

10. Barnett D.M., Lothe J., Gavazza S.D., Musgrave J.P. Considerations of the existence of interfacial (Stoneley) wave in bonded anisitropic elastic half-spaces. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1985. V. 402. P. 153-166.

11. Lothe J., Barnett D.M. Integral formalism for surface waves in piezoelectric crystals. Existence considerations.//J. Appl. Phys. 1976. V. 47. P. 1799-1807.

12. Lothe J., Barnett D.M. Furthe development of the theory for surface waves in piezoelectric crystals.//PhysicaNorvegica. 1977. V. 8. P. 239-257.

13. Alshits V.l., Darinskii A.N., Lothe J. On the existence of surface waves in half-infinite anisotropic elastic media with piezoelectric and piezomagnetic properties. // Wave Motion. 1992. V. 16. P. 265-283.

14. Abbudi M., Barnett D.M. On the existence of interfacial (Stoneley) waves in bonded piezoelectric half-spaces. // Proc. R. Soc. Lond. A. 1990. V. 429. P. 587-598.

15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР. 1957. 502 с.

16. Delph T.J., Herrann G., Kaul R.K. Harmonic wave propagation in a periodically layered, infinite elastic body: antiplane strain. //ASME J. Appl. Mech. 1978. V. 45. P. 343-349.

17. Delph T.J., Herrann G., Kaul R.K. Harmonic wave propagation in a periodically layered, infinite elastic body: plane strain, analytical results. // ASME J. Appl. Mech. 1979. V. 46. P. 113-119.

18. Delph T.J., Herrann G., Kaul R.K. Harmonic wave propagation in a periodically layered, infinite elastic body: plane strain, numerical results. // ASME J. Appl. Mech. 1980. V. 47. P. 531-537.

19. Golebiewska A. A. On dispersion of periodically layered composites in plane strain. // ASME J. Appl. Mech. 1980. V. 47. P. 206-207.

20. Braga A.M.B., Herrmann G. Dynamic response of submerged layered composites. // J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1. 1987. V. 82. P. 34.

21. Touratier M. Floquet waves in a body with slender periodic structure. // Wave Motion. 1986. V. 8. P. 485-495.

22. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium. // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. P. 89-93.

23. Haskell N.A. The dispersion of surface waves in multilayered media. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1953. V. 43. P. 17-34.

24. Gilbert F., Backus G.E. Propagator matrices in elastic wave and vibration problems. // Geophysics. 1966. V. 31. P. 326-332.

25. Gilbert K.E. A propagator matrix method for periodically stratified media. // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V. 73. P. 137-142.

26. Schoenberg M. Wave propagation in alternating fluid and solid layers. // Wave Motion. 1984. V. 6. P. 303-320.

27. Helbig K. Anisotropy and dispersion in periodically layered media. // Geophysics. 1984. V. 49. P. 364-373.

28. Nayfeh A.N. The propagation of horizontally polariezed shear waves in multilayered anisotropic media.//J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 86. P. 2007-2012.

29. Djafary-Rouhani В., Dobrzynski L., Hardouin Dupare O., Camlei R.E., Maradudin A.A. Sagittal elastic waves in infinite and semi-infinite superlattices. // Phys. Rev. B. 1983. V. 28. P. 17111720.

30. Nougaoui A., Djafary-Rouhani B. Elastic waves in periodically layered infinite and semi-infinite anisotropic media.//Surface Sci. 1987. V. 185. P. 125-153.

31. Nougaoui A., Djafary-Rouhani B. Dynamics of infinite and semi-infinite piezoelectric superlattices: shear horizontal waves and effective medium approximation. // Surface Sci. 1987. V. 185. P. 154-174.

32. Rosseau M. Floquet wave properties in a periodically layered medium. // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 86. P. 2369-2376.

33. АЛЫШЩ В.И., Шувалов А.Л. Брэгговское отражение звука в периодической структуре пьезокристаллических слоев со сверх-проводящими или металлизированными прослойками. // ЖЭТФ. 1993. Т. 103. С. 1356-1370.

34. Alshits V.I., Shuvalov A.L. Bragg resonance of elastic wave reflection in a piezomagnetic layered structure with superconductive interfaces.//Phys. Lett. A. 1993. V. 177. P. 253-258.

35. Alshits V.I., Shuvalov A.L. Resonant reflection and transmission of shear elastic waves in multilayered piezoelectric structures. // J. Appl. Phys. 1995. V.77. P. 2659-2665.

36. Nayfeh A.H. The general problem of elastic wave propagation in multilayered anisotropic media. //J. Acoust. Soc. Am. 1991. V. 89. P. 1521-1531.

37. Braga A.M.B., Herrmann G. Floquet waves in anisotropic periodically layered composites. // J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. P. 1211-1227.

38. Alshits V.I., Kirchner H.O. Elasticity of multilayers I. Basic equations and solutions. // Philosophical Magazine A. 1995. V. 72. P. 1431-1444.

39. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука. 1975. 680 с.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука. 1987. 248 с.

41. Alshits V.I., Lothe J. Comments on the relation between surface wave theory and the theory of reflection.//Wave Motion. 1981. V. 3. P. 297-310.

42. Bluestein J.L. A new surface wave in piezoelectric materials. // Appl. Phys. Lett. 1968. V. 13. P. 412-413.

43. Гуляев Ю.В. Поверхностные электрозвуковые волны в твердых телах. // Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 9. С. 63-65.

44. Берестецкий В.Б., Лифщиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электро-динамика. М.: Наука. 1989. 728 с.

45. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах, М.: Мир. 1987. 616 с.

46. Barnett D.M., Gavazza S.D., Lothe J. Slip waves along the interface between two anisotropic elastic half-spaces in sliding contact.//Proc. Roy. Soc. London A. 1988. V. 415. P. 389-419.

47. Алыниц В.И., Даринский A.H., Радович А. Резонансное отражение упругих волн на границе двух кристаллов со скользящим контактом. // Кристаллография. 1995. Т. 40. С. 404-415.

48. Даринский А.Н. Резонансные явления при отражении упругой волны на границе гексагональный кристалл анизотропная пленка. // ЖЭТФ. 1995. Т. 107. С. 585598.

49. Альшиц В.И., Герулски В., Любимов В.Н., Радович А. Резонансное возбуждение квазирэлеевских волн в пластинах на мягких и жестких подложках. // Кристаллография. 1997. Т. 42. С. 26-33.

50. Иванов Л.Д., Кессиних Г.Г. О существовании поверхностной акустической волны в слоистых пьезоэлектрических структурах. // Акустический журнал. 1989. Т. 35. С. 659-666.

51. Алыпиц В.И., Любимов В.Н., Шувалов А.Л. О поверхностных упругих волнах на нагруженной границе кристалла. // ЖЭТФ. 1994. Т. 106. С.828-847.

52. Darinskii A.N. Leaky waves and the resonance reflection on a crystal-thin solid layer interfaces. II. Leaky waves given rise to by exceptional bulk waves. // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 102. P. 283-295.

53. Грамотнев Д. К. Взаимное преобразование объемных и поверхностных акустических волн в слоистой структуре. // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. С. 86-90.

54. Альшиц В.И., Любимов В.Н., Радович А. Резонансное возбуждение волн Лява в структуре типа "сэндвича". // ФТТ. 1996. Т. 38. С. 1091-1099.

55. Альшиц В.И., Лоте И. О поверхностных волнах в гексагональных кристаллах. // Кристаллография. 1978. Т. 23. С. 901-913.

56. Алыииц В.И., Даринский А.Н., Котовски Р.К., Шувалов А.Л. Аналог эффекта Шоха при отражении акустических пучков от свободной границы кристалла. // Кристаллография. 1988. Т. 33. С. 541-553.

57. Bertoni H.L., Tamir Т. // Unified theory of Rayleigh-angle phenomena for acoustic beams at liquid-solid interfaces. J. Appl. Phys. 1973. V.2. P. 157-172.

58. Альшиц В.И., Любимов В.Н. Сверхпроводящая прослойка в пьезо-кристалле и обусловленные ею акустические эффекты. //Кристаллография. 1990. Т. 35. С. 1328-1331.

59. Афанасьев A.M., Кон В.Г. Внешний фотоэффект при дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с нарушенным поверхностным слоем. // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 300-313.

60. Ковальчук М.В., Кон В. Г. Рентгеновские стоячие волны новый метод исследования структуры кристаллов. // УФН. 1986. Т. 149. С. 69-103

61. Alshits V.I., Lothe J., Lyubimov V.N. The phase shift for reflection of elastic waves in hexagonal piezoelectric crystals.//Wave Motion. 1984. V. 6. P. 259-264.

62. Алыпиц В.И., Любимов В.Н. Кристаллы со сверхпроводящим покрытием: поверхностные и объемные акустические волны. // ФТТ. 1989. Т 31. С. 181-188.

63. Альшиц В. И., Любимов В.Н. О существовании пьезоэлектрических и пьезомагнитных свойств анизотропных сред. // Кристаллография. 1990. Т. 35. С. 48-4843.

64. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука. 1982. 240 с.

65. Fernandez L., Velasko V.R., Garcia-Moliner F. Transverse waves in piezoelectric superlattices. //Europhys. Lett. 1987. V. 3. P. 723-728.

66. Alshits V.I., Antipov V.V., Chizhikov S.I., Darinskii A.N., Sorokin N.J., Shuvalov A.L. Acoustical and optical diffractional phenomena in ferroelectrics with regular domain structure under electric bias.//Ferroelectrics. 1989. V. 96. P. 91-96.

67. Tamura S. Localized vibrational modes in superlattices. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. 12611269.

68. Xingjiao Li, Yibing Li, Shaoping Li, Cross L.E., NewnhamR.E. Excitations of laminnar domains in ferroelectrics.//J. Phys.: Condens. Matter. 1990. V. 2. P. 9577.

69. Можаев В.Г., Морозова Г.Н., Сердобольская О.Ю. Распространение акустических волн вдоль границ сегнетоэлектрических доменов. // ФТТ. 1990. Т. 32. С. 3230-3233.

70. Zhu Y.Y., Ming N.B. Ultrasonic exitation and propagation in an acoustic superlattice. // J. Appl. Phys. 1992. V. 72. P. 904-914.

71. Zhu Y.Y., Ming N.B., Shuvalov A.L. Backward-traveling second harmonic generation and the quasi-phase-matching in an optical superlattice. // J. Phys.: Condens. Matter. 1993. V. 5. P. 1139-1142.

72. E1 Boudouti E.H., Djafary-Rouhani В., Nougaoui A. Surface elastic waves in superlattices: Sagittal localized and resonant modes.//Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 13801-13804.

73. Roshchupkin D.V., Tkachev S.V., Ticoulou R., Brunei M., Sergeev A. Surface acoustic wave interactions with regular domain structures in LiNb03 crystals. // Ferroelectr. Lett. 1995. V. 19. P. 139-144.

74. Shenderov E.L. Reflection of a plane sound wave from a semi-infinite periodic transversely isotropic set of layers.// J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 101. P. 1239-1249.

75. Kato H. Acoustic SH phonons in a superlattice with (111) interfaces. // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 101. P. 1380-1387.

76. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, M.: Наука. 1966. 576 с.

77. Marfeld С., Tournois P. Pure shear wave guided by the interface of two semiinfinite media. // Appl. Phys. Lett. 1971. V. 19. P. 117-119.

78. Турик А.В. Упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства монокристаллов ВаТЮз со слоистой доменной структурой. // ФТТ. 1970. Т. 12. С. 892-899.

79. Ting Т.С.Т. Anisotropic Elasticity. New York Oxford: Oxford University Press. 1996. p. 675.

80. Nayfeh A.H., Wave propagation in Layered Anisotropic Media. North-Holland, Amsterdam-New York. 1995.

81. Alshits V.I., Darinskii A.N., Shuvalov A.L. Specific features of reflection of acoustoelectric waves in piezoelectrics. // Ferroelectric Letters. 1990.V. 11. P. 11-19.

82. Алышщ В.И., Даринский A.H., Шувалов А. Л. Теория отражения акустоэлектрических волн в полубесконечной пьезоэлектрической среде. III. Резонансное отражение в окрестности ветви оттекающих волн. // Кристаллография. 1991. Т. 36. С. 284-297.

83. Алыпиц В.И., Даринский А.Н., Шувалов А. Л. Резонансное отражение и преломление звука на границе жидкость-кристалл. // ФТТ. 1992. Т. 34. С. 24932503.

84. Alshits V.I., Darinskii A.N., Shuvalov A.L. Effect of resonant reflection of acoustic waves on 180°-domainwall.//Ferroelectrics. 1992. V. 126. P. 323-328.

85. Алыниц В.И., Даринский A.H., Шувалов А.Л. Акустоэлектрические волны в бикристаллических средах в условиях жесткого контакта или вакуумного зазора на границе раздела. // Кристаллография. 1993. Т. 38. С. 22-43.

86. Musgrave M.J.P. Crystal Acoustics. Holden-Day, Cambridge. 1970.

87. Shuvalov A.L., Every A.G. Curvature of acoustic slowness surface of anisotropic solids near symmetry axes.//Phys. Rev. B. 1996. V. 53. P. 14906-14916.

88. Landolt-Bornstein Group III, volume 11. Elastic, Piezoelectric, Pyroelectric, Piezooptic, Electrooptic Constants, and Nonlinear Dielectric Susceptibilities of Crystals. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York. 1979. p. 854.

89. Mook H.A., Nicklow R.M. Neutron-scattering investigation of the phonons in intermediate valence Smo.75Yo.25S.//Phys. Rev. B. 1979. V. 20. P. 1656-1662.

90. Boppart H., Treindl A., Wachter P., Roth S. First observation of a negative elastic constant in intermediate valent TmSe. // Solid State Commun. 1980.V35. P. 483-486.

91. BirchF.-J. .//Geophys.Res. 1960. V. 65. P. 3885.

92. Sotiropoulos D.A., Vakakis A.F. On the propagation zones of weakly bonded layered materials. //J. Sound and Vibrations. 1995. V. 187. P. 178-183.

93. АЛЫШЩ В.И., Горкунова А.С., Шувалов А.Л. Фазовый резонанс при отражении упругих волн от системы пьезокристаллических слоев с экранирующими прослойками. // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. С. 924-937.

94. Shuvalov A.L., Gorkunova A.S. Transverse acoustic waves in piezoelectric and ferroelectric antiphase superlattices.//Phys. Rev. B. 1999. V. 59. P. 9070-9077.

95. Алыпиц В.И., Горкунова A.C., Любимов B.H., Новацки Е.П. Упругие волны в анизотропной структуре слой на подложке I.Общая теория. // Кристаллография. 1999. Т. 44. № 4. С. 639-649.

96. ЮЗ.Алыниц В.И., Горкунова А.С., Любимов В.Н., Котовски Р.К. Упругие волны в анизотропной структуре слой на подложке II.Случай поперечной изотропии. // Кристаллография. 1999. Т. 44. № 5. С. 858-864.

97. Shuvalov A.L., Gorkunova A.S. Cutting-off effect at reflection-transmission of acoustic waves in anisotropic media with sliding-contact interfaces. // Wave Motion. 1999. V. 30. № 4. P. 345-365.