Резонансная вращательная динамика малых спутников планет тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Мельников, Александр Викторович

• Мельников, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мельников, Александр Викторович

Введение

Глава I Устойчивость вращательного движения.

§ 1.1 Система координат и уравнения движения.

§ 1.2 Статистический анализ мультипликаторов

§ 1.3 Положение центра синхронного резонанса на плоскости сечения фазового пространства.

§ 1.4 Применение метода статистического анализа мультипликаторов к исследованию устойчивости синхронного вращения спутников

§ 1.5 Вычисление и анализ максимальных показателей Ляпунова.

§ 1.6 Исследование устойчивости относительно наклона оси вращения независимо от типа траектории.

§1.7 Выводы.

Глава II Бифуркационные режимы синхронного вращения

§2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Амплитуда бифуркационных колебаний спутника.

2.2.1 Метод В. В. Белецкого.

2.2.2 Метод Г. М. Заславского и др.

2.2.3 Метод Б. В. Чирикова.

2.2.4 Сравнение различных методов.

§2.3 Возможность наблюдения бифуркационных режимов синхронного резонанса у естественных спутников планет.

§ 2.4 Последовательность бифуркаций удвоения периода.

§ 2.5 Выводы.

Глава III Моделирование кривых блеска.

§3.1 Система координат и уравнения движения.

§ 3.2 Алгоритм расчета кривых блеска.

§ 3.3 Модельные кривые блеска Гипериона.

§ 3.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансная вращательная динамика малых спутников планет»

По современным данным, у всех планет, кроме Меркурия и Венеры, есть спутники. Спутники планет, по их физическим размерам, можно разделить на две группы — большие (например, Луна, галилеевы спутники Юпитера) и малые (например, спутники Марса — Фобос и Деймос). Планеты-гиганты имеют множество (по современным данным до трех десятков у Сатурна) малых спутников. Наблюдаемая доля малых спутников (средний радиус менее 300 км) составляет порядка 80%. Большие спутники планет имеют правильную близкую к сферической геометрическую форму. Малые спутники, напротив, имеют ярко выраженную асимметрию формы.

Малые спутники со значительными эксцентриситетами и большими наклонениями орбит называются нерегулярными [51]. По современным данным, нерегулярные спутники составляют около 40% малых спутников планет. Недавно были открыты 12 новых нерегулярных спутников Сатурна [38] и 2 нерегулярных спутника Урана [37].

Теоретические исследования Уиздома и др. [56] и Уиздома [57] показали, что спутник несферической формы на эллиптической орбите может вращаться хаотическим, непредсказуемым образом. Этот вывод значительно повысил интерес к изучению вращательной динамики малых спутников планет. Наиболее вероятным кандидатом на хаотическое вращение из-за своей несферической формы и значительного эксцентриситета орбиты является седьмой спутник Сатурна Гиперион [56, 57].

Из теории следует (см., например, [8, 40, 51]), что наиболее вероятной конечной стадией долговременной динамической эволюции спутника является плоское (в плоскости орбиты) вращение в синхронном резонансе с орбитальным движением. При этом ось вращения спутника совпадает с главной центральной осью инерции спутника, соответствующей максимальному моменту инерции, и ортогональна плоскости орбиты. Действительно, наблюдательные данные указывают на то, что все большие спутники планет вращаются синхронно. Малые спутники планет, вращательное состояние которых установлено, также в большинстве вращаются синхронно. Исключение составляют девятый спутник Сатурна Феба [47], два спутника Юпитера — Гималия, Элара и два новых спутника Урана [50], находящиеся в быстром несинхронном вращении.

В ходе долговременной динамической эволюции спутник проходит через различные резонансные состояния, пока не будет захвачен в одно из них [40]. Возможность нахождения спутника в каком-либо резонансном состоянии напрямую связана с устойчивостью этого резонансного вращения спутника относительно наклона оси вращения [57]. Чтобы спутник в ходе вращательной эволюции мог быть захвачен в плоское резонансное вращение, это вращение должно быть устойчивым. Следовательно, актуальной задачей является исследование устойчивости плоских резонансных вращений и в первую очередь синхронного вращения.

При плоском синхронном вращении на эллиптической орбите ориентация спутника относительно центра масс испытывает вынужденные «экс-центриситетные» колебания [2]. Если значение параметра, характеризующего динамическую асимметрию формы спутника, принадлежит области параметрического резонанса, то вращательное движение спутника испытывает бифуркацию удвоения периода. Возникают «бифуркационные» колебания ориентации спутника с периодом в два раза большим периода обращения спутника по орбите. Эти колебания могут иметь значительную амплитуду, и, следовательно, могут быть относительно легко наблюдаемыми. Представляют интерес теоретические оценки, позволяющие определять амплитуду бифуркационных колебаний спутника. Выявление бифуркационного вращательного режима у конкретных спутников позволило бы наложить ограничения на их возможные динамические характеристики. Это указывает на актуальность исследования бифуркационных режимов вращения малых спутников.

Информацию о реальных режимах вращения спутников планет дает сопоставление их наблюдаемых кривых блеска с модельными, то есть рассчитываемыми теоретически при заданных предположениях. Такое сопоставление позволяет определить из наблюдений как характер вращательной динамики спутника и уточнить его инерционные параметры, так и получить информацию об отражательных свойствах его поверхности. Следовательно, важное значение имеет разработка методов моделирования вращательной динамики спутников планет.

Моделирование кривых блеска Гипериона, выполненное Кла.ветте-ром [46] на основе полученных им наблюдательных данных [45], позволило ему сделать вывод, что вращение Гипериона является, скорее всего, хаотическим. Моделирование, проведенное Блэком и др. [32] на основе данных наблюдений с межпланетной космической станции «Вояджер-2» [54], показало, что скорость вращения Гипериона в четыре раза выше скорости его обращения по орбите. При такой высокой скорости вращение могло бы быть регулярным. Однако Блэк и др. [32] на основании результатов моделирования более склонны считать вращение Гипериона хаотическим. Гиперион является наиболее вероятным кандидатом на хаотическое вращение среди малых спутников с известными динамическими параметрами [56, 57]. Поэтому задача об определении его вращательного состояния путем моделирования кривых блеска является актуальной.

В целом, изучение резонансной вращательной динамики малых спутников планет, особенно в свете недавних открытий большого числа новых спутников [37, 38], является актуальной задачей современной небесной механики.

Цели работы. Ставятся и решаются следующие задачи:

1. Получить данные об устойчивости/неустойчивости плоского вращения малых естественных спутников несферической формы относительно наклона оси вращения в различных резонансных спин-орбитальных состояниях.

2. Исследовать бифуркационные режимы синхронного вращения. Получить соотношения для оценки амплитуды бифуркационных колебаний ориентации спутника относительно его центра масс. Изучить возможность нахождения реальных малых спутников планет в бифуркационных режимах синхронного вращательного движения.

3. На основе наблюдательных данных, полученных в ГАО РАН, провести детальное моделирование вращательной динамики Гипериона — наиболее вероятного кандидата среди спутников планет на хаотическое вращение. Определить вращательное состояние Гипериона (хаотическое либо регулярное) и параметры его фазовой функции.

Научная и практическая значимость работы.

1. Результаты теоретического исследования устойчивости/неустойчивости синхронного и других резонансных состояний относительно наклона оси вращения позволяют наложить ограничения на возможные значения инерционных параметров реальных спутников планет, а также определить резонансные вращательные состояния, в которых спутники могут находиться в ходе долговременной динамической эволюции.

2. Выведенные соотношения для оценки амплитуды бифуркационных колебаний ориентации спутника позволяют прогнозировать возможность наблюдения бифуркационного режима плоского синхронного вращательного движения малых спутников планет. Выявление этого режима у реальных спутников даст возможность наложить ограничения на значения их инерционных параметров.

3. Разработанный алгоритм и программное обеспечение для построения теоретических кривых блеска спутников планет позволяет моделировать наблюдаемые кривые блеска реальных спутников. Посредством моделирования кривых блеска можно изучать вращательную динамику и динамические параметры спутников и отражательные свойства их поверхности.

В настоящем исследовании являются новыми и выносятся на защиту следующие результаты:

1. Исследована устойчивость вращательного движения несферического спутника в синхронном спин-орбитальном резонансе на эллиптической орбите. Путем вычисления мультипликаторов линеаризованных гамильтоновых уравнений движения, на плоскости инерционных параметров определены границы областей устойчивости и неустойчивости относительно наклона оси вращения. Найдены ограничения на возможные значения инерционных параметров Гипериона. Сделан вывод о неустойчивости вращательного движения Амальтеи относительно наклона оси вращения в одном из двух возможных синхронных резонансов.

2. Путем вычисления максимальных характеристических показателей Ляпунова для случаев Гипериона, Фобоса, Деймоса и Амальтеи проведена классификация траекторий плоского вращательного движения на устойчивые и неустойчивые относительно наклона оси вращения. Найдены основные устойчивые спин-орбитальные состояния.

3. Исследована зависимость амплитуды бифуркационных колебаний спутника в перицентре орбиты от значений эксцентриситета орбиты и параметра динамической асимметрии. Получены новые теоретические соотношения для вычисления амплитуды бифуркационных колебаний. Сделан вывод о возможности существования бифуркационного режима движения у Фобоса, Деймоса, Эпиметея, Елены и Пандоры, при этом наиболее вероятным кандидатом на нахождение в бифуркационном режиме синхронного вращения является Фобос.

4. Для случая среднего значения эксцентриситета орбиты седьмого спутника Сатурна Гипериона построено бифуркационное дерево и изучены его характеристики. Сделан вывод, что современные данные об инерционных параметрах Гипериона не исключают возможности присутствия бифуркационных мод в истории эволюции его вращательной динамики.

5. Проведено моделирование кривой блеска Гипериона по современным наблюдательным данным. Сделан вывод о хаотическом вращательном состоянии Гипериона, определены значения параметров, характеризующих его геометрическую форму и отражательные свойства его поверхности.

Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Мельников, Александр Викторович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

Рассмотрена устойчивость различных режимов плоского вращательного движения несферического спутника на эллиптической орбите, а именно устойчивость этих режимов относительно наклона оси вращения. В случае точного синхронного резонанса устойчивость исследовалась при помощи вычисления мультипликаторов линеаризованной гамильто-новой системы уравнений, описывающих вращение спутника. При этом применялся статистический метод для разделения плоских вращений на устойчивые/неустойчивые относительно наклона оси вращения. Критерий для данного разделения находился из анализа модальной структуры распределения модулей мультипликаторов. В случае любого вида движения (периодического, квазипериодического, хаотического) устойчивость исследовалась при помощи вычисления максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПЛ).

На плоскости инерционных параметров путем вычисления мультипликаторов линеаризованных гамильтоновых уравнений движения определены границы областей устойчивости и неустойчивости относительно наклона оси вращения для случая движения спутника в точном синхронном спин-орбитальном резонансе. Выявление этих границ с высоким разрешением позволило наложить дополнительные ограничения на реальные значения инерционных параметров Гипериона и определить устойчивость плоского синхронного вращения Фобоса и Деймоса.

Показано, что в случае Амальтеи существуют два синхронных резонанса плоского вращательного движения, обозначенных нами а и [3. Определено, что вращения Амальтеи в резонансе (3 является устойчивым относительно наклона оси вращения, а в резонансе а — неустойчивым. Таким образом, Амальтея не может находится в резонансе а.

Посредством вычисления значений МХПЛ на представительном множестве начальных данных для случаев Гипериона, Фобоса, Деймоса и Амальтеи проведена графическая классификация траекторий плоского вращательного движения на устойчивые/неустойчивые относительно наклона оси вращения. На представительном сечении фазового пространства вычислено местоположение и получены данные об устойчивости/неустойчивости относительно наклона оси вращения ряда спин-орбитальных резонансных состояний для перечисленных спутников.

Рассмотрены бифуркационные режимы плоского синхронного вращения несферического спутника на эллиптической орбите. Они имеют место в окрестности области параметрического резонанса в эксцентри-ситетных колебаниях ориентации спутника. При параметрическом резонансе возникают бифуркационные колебания с частотой в два раза ниже частоты обращения спутника по орбите. Приведены три метода оценки амплитуды бифуркационных колебаний ориентации спутника в перицентре орбиты. Выполнено сравнение эффективности оценок, даваемых этими методами. Отмечено, что вследствие чувствительности проявлений бифуркационного режима синхронного вращения к величине параметра динамической асимметрии формы спутника наблюдение бифуркационного режима позволило бы наложить жесткие ограничения на значение этого динамического параметра у наблюдаемого спутника.

Проанализирована возможность нахождения реальных малых спутников планет в бифуркационном режиме синхронного вращения. Определено, что наиболее вероятными кандидатами на нахождение в бифуркационном режиме синхронного резонанса являются спутники, имеющие достаточно большой эксцентриситет орбиты и значение параметра динамической асимметрии и)о ~ 1/2. Сделан вывод о том, что возможными кандидатами являются Фобос, Деймос, Эпиметей, Янус, Елена и Пандора, при этом наиболее вероятным кандидатом на нахождение в бифуркационном режиме синхронного вращения является Фобос.

Показано, что при увеличении параметра и>о в окрестности области параметрического резонанса сио = 1/2 ПРИ фиксированной величине е происходят последовательные бифуркации удвоения периода траектории плоского вращательного движения. Значения а;о, при которых происходят бифуркации, образуют сходящуюся последовательность.

Для случая среднего значения эксцентриситета орбиты Гипериона (е = 0.1) методом последовательных приближений построено бифуркационное дерево, которое образуют (при изменении шо) координаты центров синхронного резонанса на сечении фазового пространства, определенном в перицентре орбиты спутника. Найдены пять первых бифуркационных значений шо. Вычислен показатель последовательности. Сделан вывод, что современные наблюдательные данные об инерционных параметрах Гипериона не исключают возможности присутствия бифуркационных мод в истории эволюции его вращательной динамики.

Разработан алгоритм и программное обеспечение для построения модельных кривых блеска спутников планет. С их помощью на основе новых наблюдательных данных выполнено моделирование вращательной динамики Гипериона. Сделан вывод о том, что в период, охватываемый наблюдениями, Гиперион вращался хаотическим, непредсказуемым образом. Определены значения параметров, характеризующих геометрическую форму и отражательные свойства поверхности Гипериона.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мельников, Александр Викторович, 2001 год

1. Аллен К. У. Астрофизические величины. М.: Мир. 1977. 446 с.

2. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука. 1965. 416 с.

3. Белецкий В. В., Грушевский А. В. Модель формирования вращательных движений небесных тел с ограничениями на порядок резо-нансов // Астрономический вестник. 1990. Т. 24. № 2. С. 140-147.

4. Белецкий В. В., Хентов А. А. Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород: Нижегородский гуманитарный центр. 1995. 430 с.

5. Берже П., Помо И., Видалъ К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991. 368 с.

6. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 504 с.

7. Борисов А. В., Симаков Н. Я. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2. С. 64-74.

8. Веретенников В. Г., Марков Ю. Г., Эль-Хафез С. А. Динамический анализ эволюционных процессов в движении вязкоупругих небесных тел // Космические исследования. 1997. Т. 35. Вып. 5. С. 501-514.

9. Гуляев В. И., Зубрицкая А. Л., Кошкин В. Л. Универсальная последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний спутника на эллиптической орбите // Известия АН СССР. МТТ. 1989. № 3. С. 3-8.

10. Дарвин Дж. Г. Приливы и резонансы в Солнечной системе. М.: Наука. 1969. 192 с.

11. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Грицук А. Н., Мельников А. В., Шевченко И. И. Наблюдения и теоретический анализ вращательной динамики Гипериона // Препринт Лаборатории фотометрии ГАО РАН. С.-Петербург: ГАО РАН. 1999. № 17. 40 с.

12. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Грицук А. Н., Мельников А. В., Сидоров М. Ю., Шевченко И. И. Наблюдения и теоретический анализ вращательной динамики Гипериона. II // Препринт Лаборатории фотометрии ГАО РАН. С.-Петербург: ГАО РАН. 2000. № 18. 28 с.

13. Заславский Г. М., Сагдеев Р. М., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1991. 235 с.

14. Златоустов В. А., Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А., Торжевс-кий А. П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1964. Т. 2. Вып. 5. С. 657666.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1970. 720 с.

16. Макдональд Г. Приливное трение // «Приливы и резонансы в Солнечной системе» / Ред. Жаркова В. Н. М.: Мир. 1975. С. 9-96.

17. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука. 1990. 416 с.

18. Маркеев А. П. О поведении нелинейной гамильтоновой системы с одной степенью свободы на границе области параметрического резонанса // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. С. 569-580.

19. Мельников А. В., Шевченко И. И. Вращательная динамика несимметричных естественных спутников // С.-Петербург: ИТА РАН. 1997. Препринт № 69. 56 с.

20. Мельников А. В., Шевченко И. И. Об устойчивости вращательного движения несферических естественных спутников относительно наклона оси вращения // Астрономический вестник. 1998. Т. 32. № 6. С. 548-559.

21. Мельников А. В., Шевченко И. И. Об устойчивости вращения несферических естественных спутников в синхронном резонансе // Астрономический вестник. 2000. Т. 34. № 5. С. 476-486.

22. Мельников А. В. О последовательности бифуркаций удвоения периода относительного движения несферического спутника в синхронном резонансе // Известия ГАО РАН. Астрометрия и небесная механика. 2000. № 214. С. 161-168.

23. Мельников А. В. Бифуркационный режим синхронного резонанса в поступательно-вращательном движении несферических естественных спутников планет // Космические исследования. 2001. Т. 39. № 1. С. 74-84.

24. Раушенбах Б. В., Овчинников М. Ю. Лекции по динамике космического полета. М.: МФТИ. 1997. 188 с.

25. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир. 1990. 512 с.

26. Холостова О. В. О плоских квазистатических движениях вязкоупру-гого тела в гравитационном поле // Космические исследования. 1991. Т. 29. Вып. 2. С. 183-193.

27. Торжевский А. П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1964. Т. 2. Вып. 5. С. 667-678.

28. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1977. 82 с.

29. Шевченко И. И. О динамической энтропии вращения Гипериона // Известия ГАО. Астрометрия и небесная механика. 2000. № 214. С. 153-160.

30. Black G. J., Nicholson P. D., Thomas P. C. Hyperion: rotational dynamics // Icarus. 1995. V. 117. № 1. P. 149-161.

31. Bountis C. Period doubling bifurcations and universality in conservative systems // Physica. 1981. V. 3D. P. 577-589.

32. Chirikov В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Physics Reports. 1979. V. 52. № 5. P. 263-379.35. Éphémérides Astronomiques 1995 (Annuaire du Bureau des Longitudes). Paris: Masson. 1994. 308 p.

33. Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of non-linear transformation // Journal of Statistical Physics. 1978. V. 19. P. 25-52.

34. Gladman B., Nicholson P. D., Burns J. A. et al. Discovery of two distant irregular moons of Uranus // Nature. 1998. № 392. P. 897-899.

35. Gladman B., Kavelaars J. J., Holman M. et al. Discovery of 12 satellites of Saturn exhibiting orbital clustering // Nature. 2001. № 412. P. 163166.

36. Goldreich P. Final spin states of planets and satellites // Astron. J. 1966. V. 71. № 1. P. 1-7.

37. Goldreich P., Peale S. Spin-orbit coupling in the Solar system // Astron. J. 1966. V. 71. № 6. P. 425-438.

38. Greene J. M., MacKay R. S., Vivaldi F., Feigenbaum M. J. Universal behaviour in families of area-preserving maps // Physica. 1981. V. 3D. P. 468-486.

39. Gozdziewski K., Maciejewsky A. J. On the gravitational fields of Pandora and Prometheus // Earth, Moon and Planets. 1995. V. 69. № 1. P. 25-50.

40. Gozdziewski K. Rotational dynamics of Janus and Epimetheus // "Dynamics and astrometry of natural and artificial celestial bodies" / Ed. by Wytrzyszczak I. M. et al. Dordrecht: Kluwer. 1997. P. 269-274.

41. Kane T. R. Attitude stability of Earth-pointing satellites // AIAA Journal. 1965. V. 3. № 4. P. 726-731.

42. Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. 1. Observations // Astron. J. 1989. V. 97. № 2. P. 570-579.

43. Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. 2. Dynamics // Astron. J. 1989. V. 98. № 5. P. 1855-1874.

44. Kruse S., Klavetter J. J., Dunham E. W. Photometry of Phoebe // Icarus. 1986. V. 68. P. 167-175.

45. Lagerkvist С. -I., Williams I. P. Physical studies of asteroids. XV. Determination of slope parameters and absolute magnitudes for 51 asteroids // Astron. & Astrophys. Suppl. Ser. 1987. V. 68. P. 295-315.

46. Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Regular and chaotic dynamics. New York: Springer-Verlag. 1992. 670 p. (Имеется русский перевод 1-го издания: Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир. 1984. 528 с.)

47. Maris М., Carraro G., Cremonese G., Fulle M. Multicolor photometry of the Uranus irregular satellites Sycorax and Caliban // Astron. J. 2001. V. 121. № 5. P. 2800-2803.

48. Peale S. J. Rotation histories of the natural satellites // "Planetary satellites" / Ed. by Burns J. Tucson: Univ. of Arizona Press. 1977. P. 87-112.

49. Simonelli D. P., Kay J., Adinolfi D. et al. Phoebe: albedo map and photometric properties // Icarus. 1999. V. 138. P. 249-258.

50. Stellingwerf R. F. Period determination using phase dispersion minimization // Astrophys. J. 1978. V. 224. P. 953-960.

51. Thomas P. C., Black G. J. and Nicholson P. D. Hyperion: rotation, shape and geology from Voyager images // Icarus. 1995. V. 117. № 1. P. 128-148.

52. Thomas P., Veverka J. Hyperion — analysis of Voyager observations // Icarus. 1985. V. 64. № 12. P. 414-424.

53. Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion // learns. 1984. V. 58. № 2. P. 137-152.

54. Wisdom J. Rotation dynamics of irregularly shaped natural satellites // Astron. J. 1987. V. 94. № 5. P. 1350-1360.

55. Wisdom J. Urey prize lecture: chaotic dynamics in the Solar system // Icarus. 1987. V. 72. P. 241-275.