Строение пылевых комплексов, связанных со спутниками планет тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Орлов, Сергей Алексеевич

• Орлов, Сергей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Орлов, Сергей Алексеевич

Введение

1 Пылевой тор в невозмущенном случае

1.1 Семейство траекторий.

1.1.1 Сфера параметров.

1.2 Элементы орбиты частицы.

1.3 Область D2: плоский случай.

1.4 Область D3: пространственный случай.

1.5 Свойства поверхности S.

1.5.1 Симметрия.

1.5.2 Ограниченность.

1.5.3 Окрестность конической точки.

1.5.4 Окрестность перетяжки.

1.6 Форма и динамика облака частиц как функция времени.

1.6.1 Низкоорбитальные искусственные спутники Земли.

1.6.2 Фобос и Деймос.

2 Пылевой тор с учетом вековых возмущений; случай нулевого наклона

2.1 Постановка задачи.

2.2 Поведение частот Uk.

2.2.1 Плоский случай.

2.2.2 Пространственный случай; экваториальный спутник Oi.

2.2.3 Пространственный случай; произвольный наклон орбиты спутника Ох.

2.3 Плоский случай.

2.4 Пространственный случай.

2.5 Построение области D2.!.

2.6 Свойства кривых Sn.

2.6.1 Исследование кривой Sj

2.6.2 Взаимное расположение кривых.

2.6.3 Исследование множества S&

2.6.4 Основной результат.

2.6.5 Свойство вложенности

2.7 Случай малого

2.7.1 Кривая S7.

2.7.2 Кривая S8.

2.8 Размеры пылевого тора.

2.8.1 Линейные размеры

2.8.2 Размеры сечения.

2.8.3 Объем тора D3.-.

3 Пылевой тор с учетом вековых возмущений; случай произвольного наклона

3.1 Основное отображение

3.2 Определение S.

3.3 Исследование кривых.

4 Численные эксперименты и примеры

4.1 Орбита и положение частицы на орбите в произвольный момент времени

4.2 Интегратор.

4.3 Ящики орбит.

4.4 Касание кривых орбитами.

4.5 Численная модель выброса.

4.5.1 Метод гауссовой сетки

4.5.2 Метод отталкивающихся зарядов.

4.6 Профиль концентрации частиц

4.7 Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Строение пылевых комплексов, связанных со спутниками планет»

Актуальность проблемы

Проблема космического мусора как естественного, так и техногенного происхождения занимает важное место в научных исследованиях и уже длительное время время привлекает пристальное внимание специалистов. В результате различных процессов в окрестности планеты образуются кольца (или более сложные структуры), состоящие из твердых обломков, двигающихся вокруг планеты с большими скоростями.

Существует, как минимум, две причины появления таких образований: природная (например, в случае бомбардировки метеоритами естественного маломассивного спутника) и техногенная (в случае распада искусственного спутника Земли). Природные пылевые комплексы давно известны в системе Сатурна, а в космическую эру они открыты в системах всех планет-гигантов. Есть веские основания считать, что метеорные рои присутствуют и в системе Марса, обладающего двумя маломассивными спутниками. В 1960-е гг. обнаружилось, что взрыв ИСЗ, а также столкновение двух ИСЗ ведут к образованию роя осколков, напоминающего пылевой рой вокруг орбит естественных спутников. Со времени начала освоения околоземного пространства произошло множество событий, ведущих к появлению обломков космических аппаратов. Из последних крупных таких событий стоит отметить намеренное уничтожение китайского спутника Feng Yun-lC („Фэн юнь" — „Ветер и облако") 11 января 2007 г., а также столкновение и разрушение российского и американского спутников („Космос" — „Iridium") 10 февраля 2009 г.

Исследуемая проблема имеет пересечения и с другими родственными задачами, как например, образование связанных с кометами метеорных роев [4, 5, 30, 31], определение области достижимости в астродинамике [20] и др.

Опишем кратко предложенный впервые С.Сотером [45] механизм образования роя метеорной материи в окрестности спутника типа Фобоса. Время от времени на спутник падают метеориты с характерными скоростями порядка 10 км/с. Образование кратера сопровождается выбросом вещества, по массе на несколько порядков превосходящего массу ударника [2]. Поэтому характерные скорости выброса частиц значительно меньше скорости ударника, но из-за малости массы спутника большинство частиц приобретает скорости, превышающие параболическую. Таким образом, вещество поступает в космос и остается на орбитах, близких к орбите спутника. Множественность ударов в совокупности с действием возмущающих сил приводит к образованию эллипсоидального тора с осевой линией вдоль орбиты спутника.

Вторая космическая скорость на Фобосе составляет порядка 10 м/с, так что практически все вещество выбрасывается в космос и остается на ареоцептрической орбите, близкой к орбите Фобоса. После каждого удара выброшенные частицы зачерчивают семейство эллипсов с общей линией узлов, образующее топологический тор переменного сечения с точечной перетяжкой в месте выброса и перетяжкой в виде отрезка с обратной от Марса стороны. Возмущения от сжатия Марса и от Солнца ведут к исчезновению перетяжек и превращению роя метеороидов за год-два в тор приблизительно эллипсоидального сечения с осевой линией вдоль орбиты Фобоса. Поскольку бомбардировка Фобоса происходит постоянно, в различных его точках, образование усредненного полнотория происходит еще быстрее.

По мере накопления вещества в рое вступает в действие механизм вычерпывания. Частицы снова падают на спутник, но уже с малыми скоростями, и вторичные выбросы практически отсутствуют. В результате одновременного протекания двух процессов в рое устанавливается динамическое равновесие. Очевидно, плотность равновесного роя выше межпланетной [22].

Опубликовано много работ по указанной теме, в которых исследуются различные возмущения, вызванные сжатием центрального тела, притяжением Солнца, других планет и спутников, световым давлением, магнитным полем и т.д. Подавляющее большинство этих работ ограничивается либо качественным подходом [40, 41], либо численным, давая приближенное решение на ограниченном временном интервале [12, 13, 14, 27, 38].

Мы рассматриваем относительно крупные частицы с массами более 10~7 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется электромагнитным взаимодействием с фотонным и корпускулярным солнечным излучением. Как показано в работах [22, 45], механизм выметания крупных частиц световым давлением с учетом эффекта Пойнтинга-Робертсона, а также механизм взаимных соударений, приводящий к уплощению тора и образованию кольца, не играют роли на временах порядка сотни лет, которыми мы здесь ограничимся. Орбиту спутника — источника частиц считаем круговой, что допустимо в большинстве приложений.

Цели работы

Рассматривалось три типа задач: случай невозмущенного движения; случай возмущенного движения, при котором спутник находится в плоскости экватора планеты; случай возмущенного движения, при котором орбита спутника имеет ненулевой наклон к плоскости экватора планеты.

В данной работе были определены следующие основные цели:

• Определение точной границы области возможных движений частиц и ее исследование.

• Исследование формы облака частиц на начальном этапе формирования и в процессе эволюции.

• Получение профиля плотности роя частиц внутри границы их возможных движений.

Научная новизна

Представляемая здесь работа призвана восполнить недостающие знания о возникновении пылевых комплексов, об их формировании и эволюции. Основным объектом поиска и исследования является граница пылевого образования. Метод получения решения в данной работе является аналитическим. Новый подход заключается в применении методов дифференциальной геометрии для поиска границы пылевого комплекса, с учетом законов движения тел в небесной механике.

Предлагается следующая постановка задачи: Спутник Oi движется по круговой кеплеровой орбите вокруг планеты О со скоростью w. В некоторый момент to из Oi происходит изотропный выброс частиц бесконечно-малой массы с одинаковой относительно Oi скоростью Ь. Орбита родительского спутника Oi либо расположена в плоскости экватора планеты (случай нулевого наклона), либо повернута относительно этой плоскости на некоторый угол (случай ненулевого наклона).

Новым является: разработка аналитического метода поиска границы пылевого комплекса как огибающей семейства траекторий его частиц; успешное применение метода для нахождения границы пылевого комплекса в трех классах задач (невозмущенный случай, возмущенный случай с нулевым наклоном и возмущенный случай с произвольным наклоном) и исследование топологических и геометрических свойств границы; исследование аналитическими методами поведения частиц в момент рождения пылевого комплекса и в процессе его дальнейшей эволюции.

Практическая значимость работы

Проведенная работа позволила определить искомую границу, детально рассмотреть ее структуру и строение, а также выявить интересные научные факты, как например, то, что невозмущенные орбиты экстремального наклона расположены целиком на границе области невозмущенного движения. Впервые разработана методика получения точной границы области возможных движений частиц. Она успешно апробирована на трех типах задач и может быть применена и в более сложных случаях, чем те, которые рассмотрены в диссертации.

Фиксирование скорости выброса влечет появление общего для всех частиц параметра выброса с, равного отношению спутникоцентрической скорости частиц к планетоцен-трической скорости спутника, а также еще двух сферических координат направления выброса — долготы Л и дополнения до широты 9. Эти параметры составляют минимально необходимый и при этом достаточный набор величин, с помощью которых можно описать семейства орбит. Элементы орбит частиц явно выражаются через три указанные величины.

Аналитические результаты сравнивались с численными, проведеппыми в этой же работе, а также и с работами других авторов. Сравнение показало впечатляющее сходство результатов, по крайней мере на качественном уровне.

Стоит отметить, например, работу [43], в которой объектом исследования является метеорный поток Геминиды. Схема образования потока, предложенная автором данной статьи, более сложная, но все же подходит под наше исследование. В этой работе проводится процесс численного моделирования движения фрагментов распада астероида 3200 Фаэтон и строится область их возможных движений. Предполагается, что распад произошел на короткой дуге вблизи перицентра орбиты. Форма и размеры образовавшегося потока весьма напоминают описанные в главе 1 диссертации. Интересен следующий факт: время жизни невозмущенного тора частиц как единого объекта невелико. Если за характерный размер данного пылевого образования принять радиус орбиты астероида, то это время оценивается в десятки или сотни оборотов. Кроме того, факт одномоментного распада конкретного естественного объекта маловероятен, однако с учетом огромного числа известных малых тел Солнечной системы подобные события отнюдь не редки. Согласно [26] в настоящее время известно 208 тысяч нумерованных и 233 тысячи ненумерованных астероидов, 214 нумерованных короткопериодических и 4000 долгопериодических комет, 162 спутника планет и 45 наблюдаемых метеорных потоков. В отличие от спутниковых роев метеорный поток (точнее, его построенная модель) является удачным примером наглядной демонстрации результатов главы 1. Он продолжительное время может сохранять свою форму, вследствие того, что все возмущающие факторы (сжатие Солнца и притяжение других планет), влияющие на ее изменение, малы и проявляются лишь в течение длительного времени воздействия.

В работе [14] численно и приближенно-аналитически исследуется образование пылевого облака. Постановка задачи и модель выброса в одной из подзадач точно соответствуют нашей работе. Однако, авторы проводят исследование путем приближенного решения дифференциальных уравнений движения частиц. При таком подходе, по признанию самих авторов, возникшие расхождения с результатами численного интегрирования не позволяют доверять точности их аналитического исследования на время более чем одного оборота спутника. Между тем, на качественном уровне аналитические результаты нашей работы хорошо подтверждают выводы авторов. В настоящей работе удалось не только подтвердить, но и дополнить некоторые выводы работы [14], например, установить время замыкания пылевого роя (формирования топологического полнотория) при малой скорости разлета частиц.

В работе [13] рассматривается выброс частиц из геостационарного спутника и их эволюция. В качестве одного из результатов приводятся экстремальные значения большой полуоси, наклона и эксцентриситета по всем частицам в пяти реализациях выбросов при различном значении с. Мы воспользовались этими значениями для того, чтобы получить недостающую информацию об орбитальном комплексе. Воспользовавшись нашей теорией, можно установить значение с и размеры пылевого комплекса, а точнее минимальное гтгп и максимальное гтах расстояние от границы комплекса до центра планеты. На основании этих выражений можно приблизительно восстановить неизвестные параметры в работе [13]. Восстановленные значения гтах,етах, а также вычисленные с, гтгп, гтах приведены в табл. 1. Расхождения между восстановленными значениями в [13] и в данной работе неустранимы. Это связано с тем, что в [13] приведены экстремальные значения большой полуоси по имеющимся дискретным наборам частиц, а, следовательно, эти значения не являются истинно экстремальными. Кроме того, параметр выброса с в работе [13] предполагался не постоянным, а случайным в некотором узком диапазоне. Отсутствие величины R радиуса орбиты геостационарного спутника, используемой в [13], затрудняет сравнительный анализ. Очевидно, что оно для всех рассмотренных случаев было одинаковым. Нам пришлось воспользоваться своим значением R. Автором работы [13] приведены значения ътгп минимального наклона. Однако, его минимальное значение, очевидно, равно максимальному, взятому с обратным знаком. Возможно, приведенные значения являются минимальными по модулю, так как в нашей теории \emin\ и [гшгп| равны пулю и достигаются лишь в конкретных точках. Даже несмотря на вышеперечисленные различия видно, что етах и imax хорошо согласуются друг с другом. Сравнение отражено в последнем столбце, отвечающем относительной погрешности значения еТпах, взятому из обеих работ. Принятое здесь значение радиуса геостационарной орбиты

R = 42164 км.

N° п/п ttmax &тах 1>тах 1>min с &тах 2max Ттах Ттпгп 5Т

1 32691 63006 0.3321 9.261 0.0025 0.1546 0.3331 8.893 1.999 0.5560 0.3%

2 34237 58934 0.2892 8.319 0.0033 0.1302 0.2775 7.486 1.768 0.6082 4.0%

3 36892 49701 0.1531 4.472 0.0031 0.0735 0.1525 4.218 1.359 0.7517 0.3%

4 38953 45609 0.1032 3.701 0.0029 0.0392 0.0801 2.252 1.174 0.8569 22%

5 40352 44963 0.0562 2.670 0.0015 0.0270 0.0547 1.547 1.115 0.8988 2.6%

Табл. 1 Слева приведены экстремальные орбитальные параметры из работы [13] в пяти реализациях выбросов. Справа — вычисленные по ним с применением нашей теории значения параметра выброса с, контрольные значения emax, гтах (в градусах), восстановленные гтах, гтгп (в радиусах геостационарной орбиты) и относительное расхождение двух величин етах (в процентах).

В работе [22], где речь идет о выбросах из Фобоса и формировании тороидальной пылевой области, размеры сечения тора оцениваются и составляют 0.3 х 1.5 Мм. Т.е. отношение полуосей составляет 1 : 5. Перейдя к безразмерным величинам, выразив размеры в радиусах орбиты Фобоса 9.3 Мм) получим отношение 0.161 : 0.032. Пользуясь выводами, сделанными в нашей работе, получим, что характерное значение параметра выброса при формировании пылевого комплекса Фобоса равно 0.02. При этом параметре, согласно нашей теории, отношение полуосей должно составлять 0.16 : 0.04. Небольшое различие в этих результатах свидетельствует, скорее всего, о гравитационном влиянии Солнца и негравитационных эффектах, не учитываемых в нашей работе.

Сравнение с некоторыми другими работами показало, что и результаты, которые совпадают лишь на качественном уровне, представляют значительный интерес. Так например, во второй главе линейные размеры области распространения частиц, такие как ее внешний и внутренний радиусы, а также размеры сечения получены точно, в рамках модели. В то же время, авторы многих работ, которые проводят похожие исследования с применением численных методов, подразумевающих богатый набор возмущающих факторов, получают пылевые образования, имеющие некоторые отличия от приведенных в работе (изменение размеров, нарушение симметрии). Эти расхождения позволяют оценить вклад неучтенных возмущений в общую эволюцию пылевых комплексов.

Апробация работы

Результаты представляемой работы докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, семинаре ИПА РАН и семинаре ГАО РАН. Кроме того, они были представлены на следующих научных конференциях:

1. 30-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2001.

2. Всероссийская астрономическая конференция, г. Санкт-Петербург, Петергоф, 2001.

3. 31-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2002.

4. Fifth US-Russian Space Surveillance Workshop, 2003, Pulkovo, Russia.

5. 33-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2004.

6. 34-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2005.

7. Sixth US-Russian Space Surveillance Workshop, 2005, Pulkovo, Russia.

8. 35-я международная конференция „Физика Космоса1', г. Екатеринбург, 2006.

9. Астрономия-2006: традиции, настоящее и будущее, г. Санкт-Петербург, Петергоф, 2006.

10. 37-я международная конференция „Физика Космоса", г. Екатеринбург, 2008.

11. Международная конференция „Динамика тел Солнечной системы", г. Томск, 2008.

Положения, выносимые на защиту

• создан и апробирован метод поиска границы области возможных движений частиц пылевого комплекса как огибающей семейства их траекторий;

• найдена граница пылевого комплекса в трех классах задач и исследованы ее топологические и геометрические свойства;

• установлена форма и динамика пылевого комплекса на начальном этапе разлета и в процессе эволюции.

По результатам исследования, приведенного в диссертации, опубликовано 5 научных работ. Диссертация изложена на 176 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемых литературных источников (45 наименований), 2 приложений, содержит 47 рисунков и 5 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Орлов, Сергей Алексеевич

Выводы Отображение (1.67) нетривиально. Кривая L 6 S переходит в точку Oi € S. Каждой из точек Qz и Q\ на сфере S соответствует одна из двух орбит экстремального наклона. Поверхность S исследована полностью. Она преставляет собой топологический тор с одной точечной перетяжкой и одной перетяжкой — отрезком. Изображение поверхности S помещено на рис. 2 и рис. 16.

1.6 Форма и динамика облака частиц как функция времени

Для сохранения наглядности и, в то же время, чтобы не нарушать определений и не перегружать лишними обозначениями, в данном параграфе частицу обозначаем той же буквой Qn, что и точку на S, которая соответствует данной частице.

Ограниченная поверхностью S область D3 сплошь заполнена траекториями Т. Но последние — не более чем математические абстракции. Материальные же частицы сначала образуют рой около точки выброса 01; потом рассеиваются, а затем снова собираются у Ох. Но из-за различия периодов они приходят туда в разное время. Далее облако частиц все более размывается, и наконец сплошь заполняет D3. Оценим требуемое для этого время. Воспользуемся системой отсчета О' (рис. 4). В этой системе модуль скорости частицы |v0| не зависит от А'. Поэтому большая полуось орбиты частицы также не будет зависеть от А': в силу (1.28,1.87) а = (1 + 2ecos 9' —с2)-1. (1.98)

Рассмотрим частицу Qi, выброшенную строго вперед (9' = 7г) и частицу Q2, выброшенную строго назад (9' = 0). Их большие полуоси, средние движения и периоды экстремальны: сц = R( 1 - 2с - с2)-1, а2 = Д(1 + 2с - с2)~\ гц = п0(1-2с-с2)3/2, п2 = гс0(1 + 2с-с2)3/2, (1.99)

Тг = Г0(1 - 2с - с2)"3/2, Т2 = Т0(1 + 2с - с2)"3/2.

Здесь „д-з/2 Т0 = — = —R3'2

По >с суть среднее движение и период спутника Ох. Обратим внимание, что мы восстановили радиус R орбиты Ох

Интерес представляют также частицы Q5(А'), описывающие окружность. Для них тройка (a, n, Т) совпадает с таковой для Ох, т.е. это (R, п0, Т0). Частицы Qr,(X') соответствуют параметру 9' = 9'0 = arccos(c/2) и произвольному А. Векторы начальной скорости частицы А') образуют конус. Для орбит частиц при 9' < 9'0 точка выброса служит апоцентром, а при & > 9'0 — перицентром.

Учитывая вышесказанное, можно описать динамику частиц на начальном этапе разлета. Непосредственно после вылета частицы заполняют сферу. Потом группа V\ частиц, окружающих Qu уйдет на медленное движение по высоким орбитам. Группа V2 частиц, окружающих Q2, обгонит их по низким быстрым орбитам. Переход от V\ к V2 непрерывен, их разделяет группа V3 частиц Q5(А'). Опережать всех будет частица Q2, а замыкать — Qt. Все частицы будут регулярно с некоторым периодом (разным у разных частиц) проходить через точку выброса и перетяжку. Рой замкнется через некоторое критическое время Тс. Последнее дается условием (пг — п\)Тс = Ъг, так что

2ir

Тс =-—. (1.100)

П2 — ni

При малых с знаменатель в (1.100) представляет собой разность близких чисел. Можно избавиться от этого неудобства, используя тождество з/2 ьг/2 = (а-Ь)(а + Vab+b) y/a + Vb

Формула (1.100) приобретает вид m VI + 2с - с2 + VI -2 С-с2 тс = ----Тр. (1.101)

4с(2 - 2с2 + VI - 6с2 + с4) V У

Представляя правую часть (1.101) рядом Лорана по степеням с, получим + 5 + Ж + (1Л02>

Поскольку правая часть (1.101) — нечетная функция от с, разложение (1.102) содержит лишь нечетные степени с. Ближайшие к началу особые точки квадратных корней лежат на окружности |с| = стах. Ближайшие к началу корни знаменателя (1.101), не считая с = 0, лежат на окружности \с\ = 1. Поэтому ряд (1.102) сходится при

0 ^ С ^ Стах •

Для ориентировки вычислим значения Тс для ситуаций с ИСЗ, Фобосом и Деймосом. Для Земли [33] х2 - 3.9860 х 1014 м3/с2, До = 6.3782 х 106 м, где Rq — экваториальный радиус Земли. Нам понадобятся также среднее движение п° и период Т° минимального спутника, движущегося по круговой орбите радиуса До п° = xR~m - 107.087 сут-1, Т° = 'Щ = —R30f2 = 0.058674 сут.

71 УС в этих обозначениях

Для спутников Марса 0.42828 х 1014 м3/с2, R = 9377.2 км (Фобос), R = 23459 км (Деймос).

Т0 - 0.319089 сут (Фобос), Т0 = 1.2626 сут (Деймос).

В таблице 2 приведены значения Тс для ИСЗ в зависимости от его большой полуоси R и скорости выброса Ь.

Заключение

Все заявленные цели работы достигнуты. Найдена точная граница области возможных движений частиц пылевого комплекса в трех типах задач: в невозмущенном случае, в возмущенном случае при распаде экваториального спутника и, в возмущенном случае при распаде спутника с произвольным углом наклона его орбиты к плоскости экватора.

Определяющим явился тот факт, что все основные уравнения удалось решить аналитически, не прибегая к численным методам, хотя заранее предвидеть такое положение вещей было невозможно. Все решения выражены через элементарные функции, что существенно упрощает их исследование, свидетельствует о правильной постановке задачи и позволяет легко использовать полученные решения в других сходных задачах в качестве первого приближения и для контроля. Во многом это явилось следствием компромиссной модели (задача круговая, взрыв изотропен, скорость выброса постоянна). Усложнение модели (например, появление ненулевого эксцентриситета орбиты родительского тела), возможно, приведет к появлению неэлементарных функций или даже заставит пользоваться численными методами. Впрочем, сравнение с результатами работы [43], в которой родительский астероид, в предположении авторов, имел сильно эллиптичную орбиту, оставляет исследователям надежду па полностью аналитический вариант решения и таких задач, поскольку на качественном уровне смоделированный поток и область движения частиц в невозмущенном случае совпадают.

Конечно, полностью обойтись без численных методов не удалось. Это касается уточняющих результатов. Во-первых, получение роя частиц на произвольный момент времени невозможно без решения уравнения Кеплера. Во-вторых, не представляется возможным создать точную аналитическую теорию при подходе к анализу распределения частиц внутри границы возмущенного движения и получения плотности частиц в профиле. В-третьих, при выводе формул площади сечения пылевого тора пришлось отказаться от рассмотрения „зазубринок"возле кривой SV, так как они заметно усложнили процесс поиска площади, не внося при этом существенного вклада, ввиду собственной малости. При выводе же формулы для вычисления объема, даже без учета „за-зубринок", при интегрировании пришлось столкнуться с появлением неэлементарных функций и, как следствие, перейти к приближенным вычислениям. Однако, как уже было сказано, эти численные и приближенные методы не коснулись получения главного объекта исследования — границы пылевого комплекса и послужили дополнительными факторами проверки и получения добавочной информации.

Проведенное аналитическое исследование является важным при решении задач о взрывах на орбите. Как правило, в подобных задачах для определения границы используют метод Монте-Карло. Однако, этот метод слишком затратен по времени выполнения и при этом дает лишь приближенные результаты. А именно, он не дает полной гарантии, что найдена точная граница. К тому же, как можно видеть в главе 2, часть границы имеет тонкую структуру (орбиты некоторых частиц выходят за пределы очевидной кривой Sj) и ее можно определить только аналитическими методами.

Автор предполагает, что в будущих исследованиях возможно снятие некоторых ограничений (появление неизотропности выброса, учет эксцентриситета орбиты родительского спутника и др.) с сохранением апробированного здесь аналитического метода исследования или с минимальным применением численных методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Орлов, Сергей Алексеевич, 2009 год

1. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. // М. Наука. 1977. 360 с.

2. Артемьева Н.А., Шувалов В.В. Численное моделирование высокоскоростных ударов при падении на Луну комет и астероидов // Астрон. вестн. 2008. Т. 42. N 4. С. 351-356.

3. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала // М. Наука. 1988. 272 с.

4. Бабаджанов П.В., Обрубов Ю.В. Метеороидные рои: образование,эволюция, связь с кометами и астероидами // Астрон. вести. 1991. Т. 25. N 4. С. 387-407.

5. Бабаджапов П.В., Обрубов Ю.В. Динамика и размеры короткопериодических ме-теороидных роев // Астрон. журнал. 1991. Т. 68. N 5. С. 1074-1085.

6. Проскурин В.Ф., Батраков Ю.В. Возмущения в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли // Бюлл. ИТА. 1960. Т. 7. N 7. С.537-548.

7. Бордовицына Т.В. Космический мусор. Образование и динамическая эволюция // Физика Космоса. Труды конференции. Екатеринбург. 2007. С. 1-8.

8. Бордовицына Т.В., Дружинина И.В. Численное моделирование катастрофического распада и эволюции пространственного распределения фрагментов КА различных классов орбит // Околоземная астрономия. Труды конференции. 1998. С. 102-117.

9. Б pay эр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики // М. Мир. 1964. 515 с.

10. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей // М. Мир. 1988. 262 с.

11. И. Брекер Т., Лапдер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. // М. Мир. 1977. 208 с.

12. Василъченко О.И., Бордовицына Т.В. Численное моделирование распада и эволюции фрагментов космического аппарата на геостационарной орбите // Фунд. и прикл. пробл. совр. мех. Труды конференции. 2000. С. 125-126

13. Головкина А.Г. Особенности динамической эволюции космического мусора, образовавшегося в геостационарной зоне в результате взрыва К А / / Изв. вузов. „Физика". 2007. т. 50, N 12. С. 26-32

14. Горелов С.Л., Зарубкин А. С. Начальная стадия образования облака „космического мусора"при распаде спутника планеты // Косм, исслед. 2005. Т. 43. N 4. С. 269273.

15. Дикарев В.В., Кривое А.В. Динамика и пространственное распределение частиц кольца Е Сатурна // Астрон. вестн. Т. 32. N 2. С. 147-163.

16. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения // М. Наука. 1968. 352 с.

17. Залгаллер В.А. Теория огибающих // М. Наука. 1975. 104 с.

18. Кайзер Г. Т., Кузнецов Э.Д., Хремли Г.П. Эволюция элементов орбит геосинхронных спутников на длительном интервале времени // Околоземная астрономия. Труды конференции. 2003. Инст.астрономии РАН.-СПб.:ВВМ. Т. 2. С. 60-65

19. Кинг-Хили Д. Теория орбит искусственных спутников в атмосфере // М. Мир. 1966. 186 с.V

20. Кулешова Л.А., Кирпичников С.Н. Минимальные по длительности импульсные перелеты между круговыми некомпланарными орбитами // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 1999. N 22. С. 94-101.

21. Коблик В.В., Холшевников К.В. Огибающая орбит изотропно выброшенных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. N 1. С. 98-102.

22. Кривое А.В., Соколов Л.Л., Холшевников К.В., Шор В.А. О существовании роя частиц в окрестности орбиты Фобоса // Астрон. вестн. 1991. Т. 25, N 3. С. 317-326.

23. Кузнецов Э.Д., Гламазда Д.В. Динамическая эволюция частиц, образовавшихся в результате взрыва объекта на геосинхронной орбите // Околоземная астрономия. Труды конференции. 2003. С. 52-59.

24. Левитан Б. М. Почти-периодические функции // М. Гостехтеориздат. 1953. 396 с.

25. Малеев Ю.В., Марков Ю.Г., Панин В.А. Определение границы области достижимости // Пробл. мех. упр. движения. Оптимизация процессов управления. Меж-вуз. сб. науч. трудов. Пермь. 1978. С. 132-136.

26. Мишкин А.В. Моделирование эволюции фрагментов распада геостационарного спутника на больших интервалах времени // Физика Космоса. Труды конференции. Екатеринбург. 2002. С. 140.

27. Новиков С.П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии // М. Наука. 1987. 432 с.

28. Прохоренко В.И. Долговременная эволюция орбит ИСЗ под влиянием гравитационных возмущений, обусловленных сжатием Земли, с учетом возмущений от внешних тел // Изв. вузов. Физика. 2006. N 2. С. 63-73.

29. Рябова Г. О. Влияние вековых возмущений и эффекта Пойнтинга-Робертсона на структуру метеорного потока Геминид // Астрон. вестн. 1989. Т. 23. N 3. С. 254264.

30. Рябова Г. О. Моделирование выброса крупных пылевых частиц из ядра кометы Галлея // Астрон. вести. 1997. Т. 31. N 4. С. 314-326.

31. Рябова Г. О. Автореферат диссертации иа соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, 2002

32. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию // М. Наука. 1968. 800 с.

33. Усанин B.C. Динамическая эволюция частиц, выброшенных из кометы Холмса. // Физика Космоса. Труды конференции. Екатеринбург. 2009. С. 332.

34. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии // М. ИЛ. 1960. 560 с.

35. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // СПб. изд-во "Лань". 1997. Т. 1. 608 с.

36. Холшевииков К.В., Титов В.Б. Задача двух тел // Учеб. пособие. СПб. 2007. 180 с.

37. Шайдулин В.Ш. Динамическая эволюция облака частиц образовавшегося в результате взрыва объекта на геостационарной орбите // Физика Космоса. Трудыконференции. Екатеринбург. 2005. С. 241.

38. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли // М. Наука. 1965. 540 с.

39. Krivov А. V., Sokolov L.L., Dikarev V. V. Dynamics of Mars-orbiting Dust: Effects of Light Pressure and Planetary Oblateness // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1996. N 63, P. 313-339.

40. Krivov A. On the dust belts of Mars // Astron. Astrophys. 1994. N 291. P. 657-663.

41. Kholshevnikov K.V, Krivov A.V., Sokolov L.L., Titov V.B. The Dust Torus around Phobos Orbit // Icarus. 1993. N 105. P. 351-362.

42. Ryabova G.O. Mathematical modelling of the Geminid meteoroid stream // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2007. V. 375. P. 1371-1380

43. H.Krag, H.Klinkrad Detection Of Small-Size Debris With The FGAN and EISCAT Radars // Seventh US-Russian Space Surveillance Workshop. 2007. California

44. Soter S. The Dust Belts of Mars // Rept. of Center for Radiophysics and Space Res. 1971. N 462.