Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат наук Куприянов, Владимир Викторович

• Куприянов, Владимир Викторович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Куприянов, Владимир Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1. Исторический обзор

1.1. Численное моделирование в задаче N тел

1.2. Численный эксперимент и динамический хаос

1.3. Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии

1.4. Выводы к первой главе

Глава 2. Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и максимальные характеристические показатели Ляпунова

2.1. Введение

2.2. Основные определения и алгоритмы

2.3. Аналитическое оценивание МХПЛ

2.4. Численные методы определения полных ляпуновских спектров

и МХПЛ

2.5. ХПЛ хаотического вращения спутников планет

2.6. Сравнение случаев плоского и пространственного вращения

2.7. Выводы ко второй главе

Глава 3. Хаотическое вращение спутников планет: ляпуновские спектры и константа Якоби

3.1. Введение

3.2. Вычисление ляпуновских спектров

3.3. Орбитальное движение и ХПЛ вращения

3.4. Аналитическое оценивание ХПЛ: границы применимости

3.5. Зависимость ХПЛ от значения константы Якоби

3.6. Точность вычисления компонент ляпуновского спектра

3.7. Выводы к третьей главе

Глава 4. Вращательная динамика спутников планет: обзор регулярного и хаотического поведения

4.1. Введение

4.2. Постановка численного эксперимента

4.3. Угловые скорости и ляпуновские времена

4.4. Устойчивость движения в синхронном резонансе

4.5. Приливное замедление вращения

4.6. Выводы к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программный комплекс для вычисления ля-пуновских спектров динамических систем на основе НС^ШЗ-

метода

А.1. Обозначения

А.2. Структура комплекса

А.З. Использование комплекса

А.4. Подключение интегратора, отличного от ЭОР853

А.5. Вопросы переносимости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет»

Введение

Актуальность работы

К настоящему времени в Солнечной системе открыто уже более 170 спутников планет [71]. Значительный материал об их орбитальных и физических характеристиках накоплен в результате как наземных наблюдений, так и космических миссий («Вояджер-1», «Вояджер-2», «Галилео», «Кассини»). Задачи динамики спутников и спутниковых систем, формирования их современных динамических состояний являются одними из актуальнейших в современной небесной механике и космогонии Солнечной системы. Орбитальная и вращательная динамика спутников связана с их физическими свойствами — массой, размерами, формой, составом и внутренним строением — и, таким образом, имеет важное значение в планетологии.

В результате исследований, выполненных в последние три десятилетия, стало ясно, насколько существенную роль в динамике Солнечной системы — и, в частности, в динамике спутниковых систем — играют резонансные явления (см. напр. книгу Мюррея и Дермотта [11]). Во многих случаях резонансы определяют пространственную конфигурацию орбит спутников и структуру колец планет. Многие из известных естественных спутников находятся в настоящее время в состоянии синхронного спин-орбитального резонанса, процесс захвата в который является важным событием в динамической истории спутника. Детали этого процесса, так же как и многих других эффектов, связанных с резонансами, все еще остаются мало изученными.

Взаимодействие резонансов порождает фундаментальный динамический эффект — хаотическое поведение. Уиздом и др. [70] в 1984 г. на основе анализа возможности существования основных резонансных спин-орбитальных состояний и их устойчивости у известных спутников планет сделали вывод, что вращение 7-го спутника Сатурна Гипериона должно быть хаотическим.

Позднее этот вывод был подтвержден в наблюдениях Клаветтером [42], Бл-эком и др. [26], А. В. Девяткиным и др. [2] и — строгим образом — путем моделирования кривых блеска А. В. Мельниковым [46]. Недавно обработка наблюдений с К А «Кассини» позволила Харбисон и др. [40] сделать вывод о неоднородности распределения вещества внутри Гипериона и несовпадении геометрических осей его фигуры с осями инерции.

Для полного качественного понимания вращательной динамики спутников планет необходимо развитие полноценной аналитической теории. Построение такой теории, однако, сопряжено с большими трудностями, и в настоящее время основным инструментом исследования в данной области, позволяющим решать задачу выявления тонких динамических эффектов в максимально реалистичной постановке, служит численное моделирование. В этом контексте настоящая диссертационная работа, в которой численными методами исследуются прежде всего резонансные и хаотические режимы вращения спутников планет, затрагивает тему, которая будет сохранять и приобретать новую актуальность по мере появления новых и более точных данных о вращательной динамике спутников.

Цель диссертационной работы. В работе были поставлены и решены следующие задачи:

1. Численно-экспериментальное исследование резонансных и хаотических режимов вращательной динамики спутников планет и анализ наблюдательных проявлений этих режимов.

2. Развитие методов и программных средств для исследования вращательной динамики спутников, основанное на массовом вычислении значений характеристических показателей Ляпунова путем численного интегрирования уравнений движения.

3. Построение диаграмм устойчивости вращательных режимов спутников планет, сравнение результатов численного моделирования с аналитической теорией; выявление качественных закономерностей в хаотическом вращении с целью определения границ применимости теории.

Научная новизна. В процессе выполнения работы был получен ряд новых результатов:

1. Создан новый программный комплекс для численного интегрирования и вычисления ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем, ориентированный на анализ вращательной динамики спутников планет.

2. Впервые численно-экспериментально подтверждены выводы теории се-паратрисных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спутников планет.

3. Впервые выявлены наиболее вероятные кандидатуры (помимо Гипериона) — спутники Сатурна Прометей и Пандора — для наблюдательного поиска проявлений хаоса во вращательной динамике спутников планет.

Научная и практическая значимость работы

Созданные в рамках данной диссертационной работы методика и программный комплекс для расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем могут быть использованы как инструмент моделирования для выявления различных качественных закономерностей во вращательной динамике спутников планет. Универсальность методов и их программной реализации позволяет распространить их использование также на более широкий круг задач динамики тел Солнечной системы — как вращательной, так и орбитальной.

Полученные в работе численные оценки ляпуновских времен и эмпирические зависимости их от орбитальных и инерционных параметров, выводы о возможных значениях динамических параметров и о физических характеристиках спутников могут быть использованы при планировании наземных наблюдательных программ и космических миссий к спутникам планет.

Следует отметить, что с использованием развитых в настоящей диссертационной работе программных средств и методик был получен результат о режимах вращения Гипериона и Фебы, вошедший в перечень НСА РАН важнейших достижений астрономических исследований в России в 2008 г.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Программная реализация алгоритмов расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем. Создание программного комплекса, ориентированного на анализ вращательной динамики спутников планет.

2. Численно-экспериментальное подтверждение выводов теории сепаратрис-ных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спутников планет.

3. Эмпирические зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных параметров в задаче о пространственном вращении спутника.

4. Выявление наиболее вероятных кандидатур планетных спутников (помимо Гипериона), которые могут находиться в хаотическом вращении, — а именно, 16-го и 17-го спутников Сатурна Прометея и Пандоры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах научных подразделений ГАО РАН и на следующих конференциях:

1. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК-2001», С.-Петербург, АИ СПбГУ, 6-11 августа 2001 г.;

2. «Небесная механика — 2002. Результаты и перспективы», С.-Петербург, ИПА РАН, 10-14 сентября 2002 г.;

3. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК-2004», Москва, ГАИШ МГУ, 2004 г.;

4. «Астрономия-2005 — современное состояние и перспективы», Москва, ГАИШ МГУ, 1-6 июня 2005 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, и 3 статьи в других изданиях.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В опубликованных по теме диссертации работах подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был равнозначным с соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 148 страниц с Приложением, включая 26 рисунков и 8 таблиц. Библиография включает 71 наименование.

Глава 1 Исторический обзор

Возникновение небесной механики как науки непосредственно связано с созданием Ньютоном теории тяготения. С ее открытием один из важнейших разделов практической астрономии - расчет эфемерид (положений небесных тел в заданные моменты времени) - обрел твердую математическую базу. Родившись из крайне насущных целей измерения времени и навигации, теория движения небесных тел явилась в то же время одним из наиболее ярких успехов в познании человеком законов строения Вселенной и, по мере роста точности предсказания положений Луны и планет и с открытием Адамсом и Леверье Нептуна, стала подлинным триумфом механистической картины мира. Это предопределило безграничную веру Лапласа в детерминизм, господствовавшую в науке в течение всего XIX столетия.

Но постепенно небесномеханические расчеты все усложнялись. Несмотря на простоту исходных уравнений, отыскать их точное аналитическое решение в применении к задачам движения тел Солнечной системы удалось только в нескольких простейших случаях. Поэтому, начиная с работ Лагран-жа и Лапласа в конце XVIII и начале XIX века, небесная механика пошла по пути использования теории возмущений. Однако ряды, даваемые аналитической теорией возмущений, требуют большого объема алгебраических выкладок, которые приходилось проводить вручную. Так, опубликованная Делоне в 1867 году в результате кропотливых 20-летних расчетов теория движения Луны состоит их трех формул, каждая из которых занимает 200 страниц.1 Подчеркнем, что теория Делоне при этом являлась не просто неким узко-

1 Интересно отметить, что эта теория не имеет ошибок вплоть до 9-го порядка, за исключением одного члена 7-го порядка, несущественного для конечного результата. Это было показано в 1970 году Депри с помощью средств компьютерной алгебры.

специальным ограниченным научным результатом, а служила еще и весьма насущной практической цели вычисления морских навигационных таблиц. Все это сдерживало развитие небесной механики, позволяя получить решение уравнений движения лишь на коротких интервалах времени и ограничивая число решаемых задач.

Развитие классической небесной механики достигло апогея в работах Пуанкаре в конце XIX века, в особенности в его важнейшей работе по этой теме «Новые методы небесной механики». Но эта же работа выявила и границы аналитических средств. Пуанкаре показал, что большинство небесномехани-ческих рядов расходится, так что с их помощью невозможно достичь сколь угодно точного решения. Также стало ясно, что в общем случае невозможно найти аналитическое решение важнейшей задачи небесной механики — задачи N тел. Вместе с тем, эта работа Пуанкаре содержала уже основные идеи современной теории динамических систем и, в частности, теории хаоса. Эти идеи определили ход развития небесной механики, начиная с середины XX века.

Вплоть до этого времени в науке господствовали два взаимно дополнительных взгляда на теорию динамических систем. С одной стороны, основанная на ньютоновой теории, а затем и на релятивистской теории Эйнштейна небесная механика была средоточием регулярности и детерминизма. С другой, статистическая механика, основы которой были заложены в XIX веке в работах Больцмана и Гиббса, рассматривала статистические свойства всей совокупности частиц в целом, игнорируя индивидуальные траектории частиц и полагая их случайными. Видимое противоречие между детерминистским характером уравнений, которым подчиняется динамика отдельных частиц, и их случайным поведением было преодолено в XX веке с созданием эргодиче-ской теории в работах Биркгофа, Синая и других; эта теория дала строгое математическое обоснование статистической механике. В астрономии первый

подход целиком господствовал в небесной механике, а второй получил распространение в звездной динамике. Так или иначе, было широко распространено мнение, что динамика реальных систем является либо регулярной (в случае небесномеханических систем — систем с малым числом тел), либо эргоди-ческой (в случае звезднодинамических систем — систем с большим числом тел).

Как было отмечено, точное решение большинства задач, связанных с взаимодействием трех и более тел, невозможно получить аналитическими методами. Численное же их решение вручную сопряжено с колоссальными вычислительными трудностями. Поэтому вполне естественно, что появление в середине XX века первых электронно-вычислительных машин сразу же привлекло внимание исследователей. Таким образом, история развития численных методов и применения их в научных исследованиях — и, в частности, в небесной механике и динамической астрономии — насчитывает всего полвека, и за это время компьютеры успели оказать огромное влияние на большинство областей науки.

Однако сама потребность в механизации процесса вычислений имеет, возможно, столь же древнюю историю, как и начало широкого использования математики в экономической и хозяйственной деятельности человека вообще. Древнейшее известное приспособление для счета — абак — достоверно упоминается с У-1У века до н. э. как «саламинская доска»; оно было известно также в Китае и Японии и в видоизмененном виде — как, например, созданные в XVI веке русские счеты — дошло до наших дней.

В первой половине XIX века прогресс прецизионной механики привел к появлению «бытовых» механических вычислительных устройств - арифмометров2, которые, наряду с логарифмической линейкой, широко применялись

2 Патент на первый арифмометр получил в 1820 году К. Томас из Германии, который занялся промышленным производством этих устройств и изготовил за 50 лет 1500 экземпляров.

в научных исследованиях в течение, по крайней мере, трех четвертей XX века. Однако эти устройства всего лишь облегчали выполнение ручных вычислений. В тот же период Чарлз Бэббедж сконструировал «аналитическую машину» совершенно нового типа, способную хранить данные и выполнять различные программы. Идеи Бэббеджа и его ученицы, первого программиста Ады Лавлейс, оказали большое влияние на кибернетику3 XX века, но сама машина, ввиду ее экзотичности и трудоемкости изготовления, распространения не получила. Качественный прорыв произошел лишь после создания электронно-вычислительных машин, основные элементы архитектуры которых — использование двоичной арифметики, процессор, работающий под управлением программы, наличие устройств хранения данных и устройств ввода-вывода — сохраняются и сейчас и, по мере развития электронных технологий и связанного с ним роста скорости вычислений, позволяют решать все более сложные задачи.

1.1. Численное моделирование в задаче N тел

Первая серьезная попытка использования цифровой электронно-вычислительной машины в задаче N тел была предпринята в 1953 году в Лос-Аламосе Ферми, Паста и Уламом на одном из первых компьютеров MANIAC. Рассмотренная этими исследователями система состояла из N осцилляторов, расположенных вдоль прямой и моделирующих колеблющуюся струну; сила взаимодействия между соседними осцилляторами полагалась линейной, с малой нелинейной добавкой. Если бы сила была в точности линейной, энергия каждой из колебательных мод, заданных начальными условиями, сохранялась бы. Наличие же нелинейного возмущения, как предполагал Ферми,

3 Термин «кибернетика» был введен в 1834 году Ампером для гипотетической науки об управлении обществом и государством.

приведет к тому, что энергия со временем равномерно распределится между всеми модами, то есть, в соответствии с предсказаниями статистической механики, система придет к тепловому равновесию. Вопреки этому, реальное поведение системы оказалось далеко от ожидаемого эргодического поведения и гораздо сложнее его — энергия каждой моды квазипериодически возвращалась к своему первоначальному значению. Позднее было показано, что парадокс Ферми-Пасты-Улама можно объяснить наличием двух различных режимов — квазипериодического, являющегося следствием наличия формального третьего интеграла движения системы, и хаотического, объясняемого перекрытием резонансов в фазовом пространстве. Этот результат явился полной неожиданностью для научного сообщества, воспитанного на представлении о том, что сложные системы подчиняются законам статистической механики. Он показал, насколько нетривиальным может быть поведение нелинейных систем, и продемонстрировал важность численных экспериментов для их исследования. С этим же результатом можно связать рождение нелинейной динамики как полноправного научного направления.

В 1956 году компьютер был использован П.-О. Линдбладом в Стокгольме для выявления механизма образования спиральной структуры галактик. Моделируя траектории движения звезд в плоской галактике, Линдблад показал, что спиральные рукава закручиваются в направлении против вращения галактики. В том же году к этой работе подключился Дж. Контопулос. Рассчитав трехмерные траектории звезд в галактике, он обнаружил, что, вопреки предсказаниям господствовавшей тогда эргодической теории, траектории не заполняют все пространство, а образуют ограниченные области, в проекции представляющие собой криволинейные параллелограммы, напоминающие деформированные фигуры Лиссажу. В 1960 году Контопулос доказал, что этот численный результат также можно объяснить посредством третьего интеграла движения, получившего впоследствии название «интеграла Конто-

пул оса».

Примерно в те же годы компьютерное моделирование применялось в задачах звездной динамики, для исследования звездных скоплений и галактик как систем N тел. Такие исследования были начаты фон Хорнером, использовавшим модели всего с несколькими десятками тел. Позднее аналогичные вычисления были распространены на системы, состоящие из тысяч и миллионов тел, и это позволило объяснить многие детали эволюции звездных систем.

Тем не менее, в эти годы использование компьютеров в научных приложениях встречало и суровое противодействие, особенно в среде математиков. Так, «после смерти Джона фон Неймана его бывшие коллеги из Института перспективных исследований в Принстоне на много лет очистили свои здания от компьютеров» [3, с. 127]. Однако общая тенденция была, все же, противоположной, и компьютеры в эти годы стали прочно входить в практику научных исследований.

В 1966 году Виктор Себехей предпринял попытку исследовать с помощью компьютера «пифагорейскую» задачу трех тел, в которой тела с массами, относящимися как 3:4:5, помещены в вершинах пифагорейского треугольника со сторонами, находящимися в том же отношении, имеют первоначально нулевые скорости и движутся под действием взаимного ньютоновского притяжения. Эта задача была исследована численными методами и ранее, математиками Мейсселем в конце XIX в. и Бурро в первой четверти XX в., однако трудоемкость ручных вычислений не позволила им достичь успеха и сделать какие-либо качественные выводы о динамике такой системы. Себехей выполнил расчеты первоначально с помощью М. Стендиша на компьютере Йельского университета, а затем, в соавторстве со Спинелли и Лекаром, в Нью-Йорке, в Институте космических наук NASA. Одновременно аналогичная работа была проведена JI. Станеком в Цюрихе. Полученный этими иссле-

дователями результат оказался крайне неожиданным: через некоторое время два тела из трех образуют связанную систему, а третье на огромной скорости выбрасывается из системы благодаря своего рода «эффекту рогатки». Сейчас этот результат широко известен, подтвержден на многочисленных примерах и доказан аналитически. Он проливает свет на образование двойных звездных систем и позволяет указать источник происхождения «звезд-странников», движущихся в Галактике с огромными скоростями и даже покидающих ее пределы.

В это же время в небесную механику проникли методы статистической физики, рассматривающие статистические ансамбли большого числа частиц. Характерным примером служат работы Тоомре 70-х годов, в которых моделируется поведение взаимодействующих галактик как больших ансамблей частиц. И, наоборот, специалисты в области звездной динамики осознали необходимость обратиться к методам небесной механики и рассмотрению индивидуальных траекторий звезд для разрешения таких парадоксов, как вычисленное Чандрасекаром время релаксации для звездной системы, превышающее возраст Вселенной — так что звезды не могли бы к настоящему времени достичь наблюдаемого состояния статистического равновесия.

В применении к динамике Солнечной системы один из наиболее масштабных численных экспериментов был выполнен в 1988 году Зюссманом и Уиздомом, которые использовали специально сконструированный для этого компьютер, названный «Цифровым планетарием», для вычисления орбит пяти внешних планет на интервале 1/5 возраста Солнечной системы. В ходе этого эксперимента было, в частности, показано, что орбитальное движение Плутона является хаотическим. Примерно тогда же был осуществлен проект LONGSTOP ("LONg-term Gravitational Stability Test of the Outer Planets" -долговременный тест гравитационной устойчивости внешних планет), заключавшийся в численном интегрировании движения пяти планет на интервале

в 100 млн лет. Кроме ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы и о ее будущем, такие эксперименты помогают, в частности, уточнить значения частот, амплитуд и фаз для возмущений, что позволяет вывести более точную вековую теорию движения планет. В дополнение к эксперименту LONGSTOP на компьютере Cray-lS Лондонского университета Нобили и ее коллеги провели моделирование движения известных тогда пяти спутников Урана, позволившее, в частности, уточнить значения масс этих спутников.

В свою очередь, потребности численного эксперимента привели к созданию новых эффективных вычислительных методов — таких, как симплекти-ческие интеграторы, широко используемые сейчас в задачах моделирования динамики гамильтоновых систем.

Рассмотренные выше примеры наглядно указывают на то, как компьютерное моделирование позволяет выявить новые, зачастую полностью неожиданные закономерности в динамике небесномеханических и звезднодинами-ческих систем.

1.2. Численный эксперимент и динамический хаос

Как отмечалось выше, до середины XX века считалось, что динамические системы являются либо регулярными, либо эргодическими. Развитие теории динамического хаоса, основы которой были заложены еще в работах Пуанкаре, показало, что практически любая нелинейная система может демонстрировать хаотическое поведение, определяющим свойством которого является непредсказуемость движения, то есть существенная зависимость его от малых изменений начальных условий, несмотря на детерминистский характер уравнений движения. В частности, Хенон и Хейлес в 1964 году в численном эксперименте впервые продемонстрировали хаотическое поведение простой неинтегрируемой гамильтоновой системы, названной впоследствии

в их честь системой Хенона-Хейлеса. При этом, однако, сохраняются острова устойчивого движения. Таким образом, полностью упорядоченные — так же, как и полностью хаотические — системы являются достаточно исключительным случаем в природе; абсолютное большинство реальных систем в динамической астрономии может характеризоваться обоими указанными типами движения.

Важность роли хаоса в динамике Солнечной системы была осознана в 80-е годы XX века. С этим связано понимание таких явлений, как наличие люков Кирквуда в поясе астероидов, в которых практически нет вещества, и нерегулярное пространственное вращение 7-го спутника Сатурна, Гипериона. Широко известное как «эффект бабочки» — непредсказуемость отдаленных последствий даже самых незначительных воздействий — явление хаоса имеет огромное значение и для эволюции всей Солнечной системы [20]. Принципиально непредсказуемый характер некоторых явлений заставляет, ни в коей мере не умаляя прогностической ценности научной теории, внести коррективы в интерпретацию ее результатов и связь их с наблюдательными данными — так же, как это произошло с квантовой теорией в 20-х годах прошлого века.

Наряду с аналитическими методами, обеспечивавшими «фундамент» и строгое обоснование теории хаоса, важнейшую роль в ее развитии играли численные методы. Дополняя данные наблюдений, численно-экспериментальные результаты позволяют проверить справедливость качественных оценок различных параметров хаотического движения — таких, как, например, характеристический показатель Ляпунова, величина, обратная которому, дает время предсказуемости движения — и определить границы применимости этих оценок. Например, критическая величина возмущения, при которой происходит скачкообразный переход к крупномасштабному хаосу, определяется, как правило, численно. Кроме того, численное моделирование, ставшее с появлением

компьютеров полноправным инструментом исследования, позволяет наглядно проиллюстрировать проявления хаотического поведения и поставляет богатый материал для выявления новых динамических закономерностей.

Именно с этим кругом проблем тесно связана тема настоящей диссертационной работы. Численное интегрирование позволяет установить границы применимости существующих качественных моделей и получить оценки, имеющие эвристическую значимость для построения новых моделей.

В качестве другой иллюстрации может служить численное моделирование возможной динамической эволюции орбиты астероида Хирон, выполненное Оикавой и Эверхардтом в 1979 году. Орбита этого астероида сильно вытянута, и перигелий ее лежит внутри орбиты Сатурна, а афелий — вблизи орбиты Урана. Численные эксперименты показали, что в будущем Хирон испытает несколько тесных сближений с планетами; при этом незначительная разница в начальных условиях, в пределах той точности, с которой была известна орбита Хирона, приводит к совершенно различным сценариям его дальнейшей судьбы после сближения с Сатурном — он может как перейти во внутреннюю часть Солнечной системы, так и полностью покинуть Солнечную систему. Это одно из наиболее наглядных проявлений динамического хаоса. Аналогичная картина имеет место в случае кометы Шумейкер-Леви 9, упавшей на Юпитер в июле 1994 года. Численное моделирование показывает, что первоначально эта комета имела, по-видимому, орбиту с малым эксцентриситетом, лежащую внутри орбиты Юпитера, но перешла на орбиту, пересекающуюся с орбитой Юпитера, примерно в первой половине XX века. Однако определить ее орбитальную эволюцию более точно невозможно — и именно по той причине, что траектория кометы является хаотической.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куприянов, Владимир Викторович, 2014 год

Список литературы

1. Вечеславов В. В. Движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса при высокочастотных возмущениях // ЖЭТФ. — 1996. — Т. 109, № 6. - С. 2208-2219.

2. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Грицук А. Н. и др. Наблюдения и теоретический анализ кривых блеска естественных спутников планет // Астрономический Вестник. - 2002. - Т. 36, № 3. — С. 269-281.

3. Диаку Ф., Холмс Ф. Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости: Пер. с англ. / Под ред. А. В. Борисова. — Москва-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2004. — 304 с.

4. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. — Москва : Наука, 1965. — 416 с.

5. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. — Москва-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 384 с.

6. Куприянов В. В., Шевченко И. И. О форме и резонансной вращательной динамике малых спутников планет // Астрон. Вестник. — 2006. — Т. 40, № 5. - С. 428—435.

7. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика: Пер. с англ. / Под ред. Б. В. Чирикова. — Москва : Мир, 1985. — 529 с.

8. Мельников А. В. Бифуркационный режим синхронного резонанса в поступательно-вращательном движении несферических естественных спутников планет // Космич. Исслед. — 2001. — Т. 39, № 1. — С. 74-84.

9. Мельников А. В., Шевченко И. И. Об устойчивости вращательного движения несферических естественных спутников относительно наклона оси вращения // Астрономический Вестник. —- 1998. — Т. 32, № 6. — С. 548-559.

10. Мельников А. В., Шевченко И. И. Об устойчивости вращения несфери-

ческих естественных спутников в синхронном резонансе // Астрономический Вестник. - 2000. - Т. 34, № 5. - С. 478-486.

11. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы: Пер. с англ. / Под ред. И. И. Шевченко. — Москва : Физматлит, 2009. — 588 с.

12. Песин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргоди-ческая теория // УМН. - 1977. - Т. 32, № 4. - С. 55-112.

13. Торжевский А. П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космич. Исслед. — 1964. — Т. 2, № 5. - С. 667-678.

14. Трещев Д. В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. — Москва : Фазис, 1998. — 184 с.

15. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. — Новосибирск : Изд-во НГУ, 1977. - 82 с.

16. Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. — Новосибирск : Изд-во НГУ, 1978. - 77 с.

17. Шевченко И. И. О геометрии хаотического слоя // ЖЭТФ.— 2000. — Т. 118, № З.-С. 707-719.

18. Шевченко И. И. О динамической энтропии вращения Гипериона // Изв. ГАО. - 2000. - Т. 214. - С. 153-160.

19. Шевченко И. И. О максимальных показателях Ляпунова хаотического вращения естественных спутников планет // Космич. Исслед. — 2002. — Т. 40, № З.-С. 317-326.

20. Шевченко И. И. Непредсказуемые орбиты // Природа. — 2010. — № 4. — С. 12—21.

21. Abdullaev S. S., Zaslavsky G. М. Self-similarity of stochastic magnetic field lines near the X-point // Phys. Plasmas. — 1995.— Vol. 2, no. 12.— P. 4533-4541.

22. Abdullaev S. S., Zaslavsky G. M. Application of the separatrix map to study

perturbed magnetic field lines near the separatrix // Phys. Plasmas. — 1996,- Vol. 3, no. 2. — P. 516-528.

23. Ahn T., Kim G., Kim S. Analysis of the separatrix map in Hamiltonian systems // Physica D. — 1996. — Vol. 89, no. 3-4. — P. 315-328.

24. Beletskii V. V. Tidal evolution of inclinations and rotations of celestial bodies // Celest. Mech. - 1981. - Vol. 23, no. 4.-P. 371-381.

25. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. A. — 1976. — Vol. 14, no. 6, —P. 2338-2345.

26. Black G. J., Nicholson P. D., Thomas P. C. Hyperion: Rotational dynamics // Icarus. — 1995, —Vol. 117, no. 1. — P. 149-161.

27. Bursa M. Estimating mean densities of Saturnian tri-axial satellites // Bull. Astron. Inst. Czech. — 1990. — Vol. 41, no. 2. —P. 104-107.

28. Catullo V., Zappala V., Farinella P. et al. Analysis of the shape distribution of asteroids // Astron. Astrophys. — 1984. — Vol. 138, no. 2. — P. 464-468.

29. Celletti A. Analysis of resonances in the spin-orbit problem in celestial mechanics - The synchronous resonance // Z. Angew. Math. Phys.— 1990. - Vol. 41. - P. 174-204.

30. Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. - 1979. - Vol. 52, no. 5.- P. 263-379.

31. Dobrovolskis A. R. Chaotic rotation of Nereid? // Icarus.— 1995.— Vol.

118, no. l.-P. 181-198. /

32. Ephemerides Astronomiques 1995 (Annuaire du Bureau des Longitudes). —

Paris : Masson, 1994. — 308 p. /

33. Ephemerides Astronomiques 1999 (Annuaire du Bureau des Longitudes). — Paris : Masson, 1998. — 356 p.

34. Gladman B., Kavelaars J. J., Holman M. et al. NOTE: The Discovery of Uranus XIX, XX, and XXI // Icarus. — 2000. — Vol. 147, no. 1. — P. 320324.

35. Gladman B., Kavelaars J. J., Holman M. et al. Discovery of 12 satellites of Saturn exhibiting orbital clustering // Nature. — 2001.— Vol. 412, no. 6843. - P. 163-166.

36. Gozdziewski K., Maciejewski A. J. On the Gravitational Fields of Pandora and Prometheus // Earth, Moon and Planets. — 1995.— Vol. 69, no. 1.— P. 25-50.

37. Gozdziewski K., Maciejewski A. J. Semi-analytical model of librations of a rigid moon orbiting an oblate planet // Astron. Astrophys. — 1998. — Vol. 339. — P. 615-622.

38. Grav T., Holman M. J., Kavelaars J. J. The short rotation period of Nereid // Astrophys. J. - 2003. - Vol. 591, no. 1. - P. L71-L74.

39. Hairer E., N0rsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. — Berlin : Springer-Verlag, 1987. — 480 p.

40. Harbison R. A., Thomas P. C., Nicholson P. C. Rotational modeling of Hyperion // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 2011.— Vol. 110, no. 1.— P. 1-16.

41. Kane T. R. Attitude stability of Earth-pointing satellites // AIAA Journal. - 1965. - Vol. 3, no. 4. - P. 726-731.

42. Klavetter J.J. Rotation of Hyperion. II - Dynamics / / Astron. J. — 1989. — Vol. 98. - P. 1855-1874.

43. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. On the chaotic rotation of planetary satellites: The Lyapunov exponents and the energy // Astron. Astrophys. - 2003. - Vol. 410. - P. 749-757.

44. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. Rotational dynamics of planetary satellites: A survey of regular and chaotic behavior // Icarus. — 2005. — Vol. 176, no. 1, —P. 224-234.

45. Meiss J. D. Symplectic maps, variational principles, and transport // Rev. Mod. Phys. - 1992. - Vol. 64, no. 3. - P. 795-848.

46. Melnikov A. V. Modelling of lightcurves of minor planetary satellites // IAA Transactions. — 2002. — no. 8. — P. 131-132.

47. Melnikov A. V., Shevchenko I.I. On the rotational dynamics of Prometheus and Pandora // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 2008. — Vol. 101, no. 1-2. —P. 31-47.

48. Melnikov A. V., Shevchenko I. I. The rotation states predominant among the planetary satellites // Icarus. — 2010. — Vol. 209. — P. 786-794.

49. Peale S. J. Rotation histories of the natural satellites // Planetary Satellites / Ed. by J. A. Burns. — Tucson : Univ. of Arizona Press, 1977. — P. 87-111.

50. Pravec P., Harris A. W. Fast and slow rotation of asteroids // Icarus.— 2000. - Vol. 148, no. 1. - P. 12-20.

51. Seidelmann P. K., Abalakin V. K., Bursa M. et al. Report of the IAU/IAG Working Group on cartographic coordinates and rotational elements of the planets and satellites: 2000 // Cel. Mech. Dyn. Astron. — 2002. — Vol. 82, no. l.-P. 83-110.

52. Shevchenko I. I. Marginal resonances and intermittent behavior in the motion in the vicinity of a separatrix // Phys. Scr. — 1998. — Vol. 57, no. 2. — P. 185-191.

53. Shevchenko 1.1. On the recurrence and Lyapunov time scales of the motion near the chaos border // Phys. Lett. A. — 1998.— Vol. 241, no. 1-2,— P. 53-60.

54. Shevchenko 1.1. The Separatrix Algorithmic Map: Application to the SpinOrbit Motion // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 1999. — Vol. 73, no. 1-4,— P. 259-268.

55. Shevchenko 1.1. Orbital Resonances and the Separatrix Algorithmic Map // The Chaotic Universe: Proceedings of the Second ICRA Network Workshop, Rome, Pescara, Italy, 1-5 February 1999 / Ed. by V. G. Gurzadyan,

R. Ruffini. - London : World Scientific, 2000. - R 599-608.

56. Shevchenko I. I., Kouprianov V. V. On the chaotic rotation of planetary satellites: The Lyapunov spectra and the maximum Lyapunov exponents // Astron. Astrophys. — 2002. — Vol. 394. — R 663-674.

57. Shevchenko I. I., Scholl H. Intermittent trajectories in the 3/1 Jovian resonance // Cel. Mech. Dyn. Astron. — 1997. —Vol. 68, no. 2,— P. 163-175.

58. Shevchenko 1.1., Sokolsky A. G. Hyperboloidal Precession of a Dynamically Symmetric Satellite. Construction of Normal Forms of the Hamiltonian // Celest. Mech. Dyn. Astron. — 1995. — Vol. 62, no. 4. — P. 289-304.

59. Simonelli S. P., Thomas P. C., Carcich B. T. et al. The generation and use of numerical shape models for irregular Solar System objects // Icarus. — 1993. - Vol. 103, no. 1. - P. 49-61.

60. Smith B. A., Soderblom L., Batson R. M. et al. A new look at the Saturn system - The Voyager 2 images // Science. — 1982. — Vol. 215.— P. 504537.

61. Tancredi G., Sánchez A., Roig F. A Comparison Between Methods to Compute Lyapunov Exponents // Astron. J.— 2001.— Vol. 121, no. 2.— P. 1171-1179.

62. Thomas P., Veverka J., Dermott S. Small satellites // Satellites / Ed. by J. A. Burns, M. S. Matthews. — Tucson : Univ. of Arizona Press, 1986. — P. 802-835.

63. Thomas P. C. The shapes of small satellites // Icarus. — 1989. — Vol. 77. — P. 248-274.

64. Thomas P. C., Black G. J., Nicholson P. D. Hyperion: Rotation, shape, and geology from Voyager images // Icarus. — 1995.— Vol. 117, no. 1.— P. 128-148.

65. Vecheslavov V. V. Chaotic layer of a nonlinear resonance driven by quasiperiodic perturbation // Physica D.— 1999.— Vol. 131, no. 1-4.—

P. 55-67.

66. von Bremen H. F., Udwadia F. E., Proskurowski W. An efficient QR based method for the computation of Lyapunov exponents // Physica D. — 1997,-Vol. 101, no. 1-2.-P. 1-16.

67. Whittaker E. T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. — 3rd edition. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1927.-456 p.

68. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gap // Icarus. — 1983. — Vol. 56. — P. 51-74.

69. Wisdom J. Rotational dynamics of irregularly shaped natural satellites // Astron. J. - 1987. — Vol. 94. - P. 1350-1360.

70. Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion // Icarus. — 1984. — Vol. 58. - P. 137-152.

71. Yeomans D. K. How Many Solar System Bodies. — http://ssd.jpl.nasa. gov/?body_count. — Дата обращения: 22.09.2013.