Некоторые задачи об устойчивости движения спутника - твердого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Чуркина, Татьяна Евгеньевна

• Чуркина, Татьяна Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чуркина, Татьяна Евгеньевна

Введение

1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА НА ЭЛЛИПТИЧЕ

СКОЙ ОРБИТЕ В СЛУЧАЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИИ

2.1. Постановка задачи.

2.2. Линейная задача.

2.2.1. Нормализация функции Гамильтона.

2.2.2. Случай параметрического резонанса.

2.2.3. Числеииое построение областей устойчивости в первом приближении.

2.3. Нелинейный анализ.

3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА, БЛИЗКОГО К ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМУ, В ОКРЕСТНОСТИ ГИ-ПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ ПРЕЦЕССИИ

3.1. Постановка задачи.

3.2. Преобразование гамильтониана.

3.3. Периодические движения спутника при резонансе =

3.3.1. Нормализация гамильтоииаиа

3.3.2. Изоэнергетическая редукция. Построение периодических решений.

3.3.3. Исследование устойчивости.

3.4. Периодические движения спутника при отсутствии резонаисов uJifQ — 2TV, i = 1,2 и их устойчивость.

3.4.1. Построение периодических движений.

3.4.2. Исследование устойчивости.

4. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩЕНИЙ СПУТНИКА ПРИ РЕЗОНАН

СЕ МЕРКУРИАНСКОГО ТИПА

4.1. Постановка задачи.

4.2. Изложение метода.

4.3. Изложение результатов.

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО ПЛОСКОГО РЕЗОНАНСНОГО ДВИ

ЖЕНИЯ СПУТНИКА ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

5.1. Постановка задачи.

5.2. Линейная задача.

5.3. Нелинейный анализ.

6. НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ГАМИЛЬТОНИАНА В СИСТЕМЕ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

6.1. Постановка задачи.

6.2. Алгоритм нормализации периодического гамильтониана

6.2.1. Построение отображения

6.2.2. Линейная нормализация отображения.

6.2.3. Нелинейная нормализация отображения.

6.2.4. Нормальная форма гамильтониана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи об устойчивости движения спутника - твердого тела»

В диссертационной работе рассматривается движение спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Орбита центра масс спутника может быть как эллиптической, так и круговой. Данная задача интересна не только с прикладной точки зрения, но и имеет самостоятельный теоретический интерес, поскольку охватывает большой раздел динамики твердого тела. К практическим вопросам, связанным с данной задачей, можно отнести вопросы, касающиеся гравитационной стабилизации искусственных спутников, их ориентации, вопросы о резонансных вращениях планет Солнечной системы (Луны, Меркурия, Венеры и др.).

В середине XX века в связи с запуском первых искусственных спутников Земли возник повышенный интерес к исследованию движения небесных тел. Так, в пятидесятые-шестидесятые годы появился ряд работ В.В. Белецкого [3-5] и Г.Н. Дубошина [11,13], где были опубликованы полные уравнения поступательно-вращательного движения тяготеющих тел и их первые интегралы. В.В. Белецким была предложена постановка задачи [3], называемая теперь «ограниченной постановкой», при которой / размеры спутника полагаются малыми по сравнению с расстоянием до притягивающего центра, орбита считается кеплеровской и рассматривается независимое от поступательного движение около центра масс. В это же время Г.Н. Дубошиным [12] и В.Т. Кондурарем [15] были получены стационарные режимы для симметричных спутников. При этом Г.Н. Дубошиным впервые был проведен линейный анализ устойчивости этих стационарных режимов. Дальнейшие исследования устойчивости некоторых стационарных движений проводились В.Томсоиом [62] и Т.Кейном [59].

Значительный вклад в исследование задачи устойчивости стационарных движений симметричного спутника внесла работа Ф.Л. Черноусь-ко [52], в которой были приведены достаточные условия всех стационарных режимов и установлено, что, помимо найденных в [12, 15] трех стационарных режимов для динамически симметричного спутника на круговой орбите, других не существует. В работе П.Ликинса [60] впервые были введены термины гиперболоидальная, цилиндрическая и коническая прецессии соответственно, в зависимости от вида поверхности второго порядка, описываемой осью симметрии в абсолютном пространстве.

В работе В.А.Сарычева [41] впервые было показано, что решение, соответствующее цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника, существует и на эллиптической орбите. Устойчивость цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника на эллиптической орбите исследована в статье [64]. Отмстим, что в работе [41] также найдены решения уравнений движения динамически симметричного спутника на эллиптической орбите, переходящие в стационарные при нулевом эксцентриситете (в коническую и гиперболоидальную прецессии). Данные решения представлены в виде рядов по степеням эксцентриситета. Обширная библиография по дайной тематике дана в обзоре [42].

Следующим существенным этапом в исследовании явился цикл работ А.П. Маркеева [21,23,24], в которых при помощи разработанных методов теории гамильтоновых систем был проведен подробный нелинейный анализ колебаний симметричного спутника в окрестности стационарных движений, а также получены результаты о резонансных движениях спутника.

В статье А.П.Маркеева, Т.Н.Чеховской [38] был подробно рассмотрен случай цилиндрической прецессии не закрученного вокруг своей оси спутника, проведено полное нелинейное исследование, причем орбита спутника предполагалась эллиптической, а не круговой. Продолжением работ по данной тематике также служит работа О.В.Холостовой [51], в которой задача об устойчивости цилиндрической прецессии спутника решена в предположении, что геометрия масс спутника отвечает тонкой пластии-ке.

В последние годы исследования в области устойчивости стационарных режимов динамически симметричных спутников ведутся, в частности, в направлении изучения кратных резонапсов, а также особых случаев параметрического резонанса, когда характеристическое уравнение невозмущенной линейной системы дифференциальных уравнений имеет две пары совпадающих между собой чисто мнимых корней (работа А.П.Маркеева [33]).

Существование периодических движений спутника, близкого к динамически симметричному, с периодом 27Гп/О, (п — целое число), аналитических по б и при 6=0 переходящих в гиперболоидальную прецессию, доказано в статье А.П.Маркеева [27]. Для динамически симметричного спутника существование периодических движений (короткопериодиче-ских и долгопериодических) при начальных условиях, мало отличающихся от начальных условий гиперболоидальной прецессии, показано в работе А.Г.Сокольского, С.А.Хованского [44]. Там же в строгой нелинейной постановке проведено исследование их орбитальной устойчивости. В работе [45] для упомянутых короткопериодических движений найдено их численное продолжение по двум безразмерным инерционным параметрам и по постоянной энергии. Для цилиндрической прецессии в случае резонанса 3 : 1 задача об устойчивости движений, рождающихся из нее, решена в работе Б.С.Бардина [2].

Дифференциальные уравнения движения спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле допускают решения, отвечающие так называемым плоским движениям, когда одна из главных центральных осей инерции тела перпендикулярна плоскости орбиты во все время движения. Впервые уравнение, описывающее данный тип движения, было получено В.В.Белецким в работе [3], и поэтому часто называется уравнением Белецкого. После работы [3] появился целый ряд работ, посвященных исследованию этого уравнения. Так, в [65] В.А.Златоустовым и А.П.Маркеевым проведено нелинейное исследование устойчивости нечетных 27г—периодических решений уравнения Белецкого, существование которых было показано в статье А.П.Торжевского [46], и линейное исследование которых проведено в [14] группой авторов. Продолжением данной тематики служит работа А.П.Маркеева [36], в которой изложены результаты нелинейного исследования задачи о плоских периодических колебаниях спутника относительно фиксированного в абсолютном пространстве направления (линейная задача исследована также в [14]), в ней отдельно изучены вопросы, касающиеся случаев малого эксцентриситета, почти симметричного спутника, а также случай произвольных значений параметров. В работе А.П.Маркеева [37] решена нелинейная задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений спутника около центра масс в предположении, что имеют место одновременно и плоские, и пространственные возмущения; в работе [34] решена линейная задача об устойчивости плоских колебаний малой амплитуды по отношению к пространственным возмущениям, причем особое внимание уделено случаю наличия в системе кратного резонанса.

Частным случаем плоских движений спутника является движение меркуриансккого типа (движение с соотношением 3: 2 между периодами орбитального и осевого вращения соответственно). Впервые 27т и 47гпериодические решения уравнения Белецкого, отвечающие такому движению, были найдены и в линейной постановке исследованы на устойчивость в работе В.В.Белецкого и Э.К.Лавровского [7]. Впоследствии результаты линейного исследования данной задачи были уточнены в работах [43,63]. В работе [7] также произведена оценка моментов инерции планеты Меркурий, движение которой хорошо поддается описанию при помощи уравнения Белецкого, и при движении которой имеет место указанный резонанс 3:2. В работе А.Д.Брюпо [9] сопоставлены различные как упомянутые здесь ранее, так и вновь полученные результаты, касающиеся периодических решений уравнения Белецкого; выявлены общие закономерности строения обобщенно периодических решений; помимо этого в данной работе приведена подробная библиографическая справка по данному вопросу.

В данной диссертационой работе проводится исследование устойчивости некоторых частных случаев движений для цилиндрической прецессии спутника, движений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника, а также исследование устойчивости плоских движений в том случае, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите. При исследовании применялись такие классические и современные методы, как метод Пуанкаре [17], метод нормальных форм [26], метод Депри—Хори [26]. Были использованы известные результаты по устойчивости гамильтоновых систем при резонансах [26] и результаты КАМ-теории [1].

При решении одной из задач в диссертации (глава 4) использовался алгоритм исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем, предложенный в работе А.П.Маркеева [32]. Алгоритм основан на построении и анализе симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя. При этом осуществляется нормализация не самой функции Гамильтона, а производящей функции отображения. В данной работе приведены также условия устойчивости и неустойчивости, выраженные через коэффициенты производящей функции. В работе [35] упомянутый алгоритм обобщен на системы с двумя степенями свободы, в которой помимо нормализации производящей функции отображения по ее нормальной форме восстанавливается нормальная форма функции Гамильтона. Алгоритм нормализации [35] использовался в диссертации при решении задачи об устойчивости цилиндрической прецессии (глава 2). В главе 6 диссертационной работы разработан алгоритм, аналогичный алгоритму [35], но для систем с тремя степенями свободы, проведена нормализация производящей функции отображения, получены формулы, явно выражающие коэффициенты нормальной формы через коэффициенты производящей функции отображения в различных случаях (как при наличии резопансов третьего или четвертого порядка, так и при их отсутствии).

Исследования периодических движений в окрестности гиперболои-дальной прецессии, проведенные в диссертации (глава 3), опирались на теорию периодических движений систем, близких к системам с циклической координатой, разработанную в работах О.В.Холостовой [49,50]. При этом исследование устойчивости периодических движений систем со многим числом переменных, согласно этой теории, на некотором этапе требует исследования модельной системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях. Системы с таким гамильтонианом и различные вопросы их динамики рассмотрены в работах [8,39,40,48,58].

Данная диссертационная работа структурно состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Чуркина, Татьяна Евгеньевна

Заключение

В заключении отметим основные результаты данной диссертационной работы.

1. Изучена устойчивость движения динамически симметричного спутника относительно центра масс на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии в двух частных случаях прямых и обратных вращений. В пространстве параметров задачи в областях устойчивости в первом приближении проведен строгий нелинейный анализ.

2. Проведено исследование движений близкого к динамически симметричному спутника — твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Построены новые классы периодических движений в окрестности известного частного решения невозмущенной задачи — гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника. В строгой нелинейной постановке решен вопрос об их устойчивости.

3. Для случая плоского движения меркурианского типа (т.е. движения с соотношением 3:2 между периодами орбитального обращения и осевого вращения соответственно) проведен нелинейный анализ устойчивости периодических решений уравнения Белецкого как при наличии резонансов третьего или четвертого порядков, так и при их отсутствии, а также на границах областей устойчивости в первом приближении.

4. Исследовано движение несимметричного спутника относительно центра масс иа эллиптической орбите в одном частном случае плоского движения, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите. Возмущения предполагаются произвольными (как плоскими, так и пространственными). В пространстве параметров задачи получены области неустойчивости по Ляпунову и области устойчивости в первом приближении. В областях устойчивости в первом приближении построены резонансные кривые третьего и четвертого порядков, на которых проведено нелинейное исследование устойчивости движения.

5. Разработан алгоритм получения коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона для системы с тремя степенями свободы, основанный на построении симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чуркина, Татьяна Евгеньевна, 2008 год

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

2. Бардин Б.С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т.З. №1. С. 57-74.

3. Белецкий В.В. О либрации спутника, в сб.: «Искусственные спутники Земли». М.: АН СССР, 1959. № 3. С. 13-31.

4. Белецкий В.В. Некоторые вопросы поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском поле сил, в сб.: «Искусственные спутники Земли». М.: АН СССР, 1963. Вып. 16. С. 46-56.

5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

6. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Издательство Московского университета, 1975. 308 с.

7. Белецкий В.В., Лавровский Э.К. К теории резонансного вращения Меркурия // Астрон. журнал. 1975. Т.52. Вып.6. С. 1299-1308.

8. Брюио А.Д. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1990. 295 с.

9. Брюио А.Д. Семейства периодических решений уравнения Белецкого // Космические исследования. 2002. Т.40. №3. С. 295-316.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

11. Дубошин Г.Н. О дифференциальных уравнениях поступательно-вращательного движения взаимно-притягивающихся тел // Астрон. журнал. 1958. Т.35. №2. С. 265-276.

12. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. ИТА АН СССР. 1960. Т.7, №7. С. 511-520.

13. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.

14. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжевский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1964. Т.2. Вып.5. С. 657-666

15. Кондурарь В.Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара // Астрон. журнал. 1959. Т. 36. №5. С. 890-901.

16. Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч. Т.1. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 327-401.

17. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.-Л.: ОГИЗ, 1949. 244 с.

18. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

19. Маркеев А.П. Устойчивость стационарного вращения спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1965. Т.З. №5. С. 674-676.

20. Маркеев А.П, О вращательном движении динамически-симметричного спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1967. Т.5. №4. С. 530-539.

21. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника //Космические исследования. 1967. Т.5. №3. С. 365-375.

22. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // ПММ. 1968. Т.32. Вып.4. С. 738-744.

23. Маркеев А.П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.З. С. 563-569.

24. Маркеев А.П. Исследования устойчивости движения в некоторых задачах небесной механики, М.: Институт прикладной математики АН СССР, 1970. 163 с.

25. Маркеев А.П. О нормализации гамильтоновой системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // ПММ. 1972. Т.36. Вып.5. С. 805-810.

26. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

27. Маркеев А.П. О периодических движениях спутника на круговой орбите // Космические исследования. 1985. Т.ХХШ. Вып.З. С. 323-330.

28. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика» ЧеРо, 1999. 569 с.

29. Маркеев А.П. Исследование устойчивости периодических движений автономной гамильтоновой системы в одном критическом случае // ПММ. 2000. Т.64. Вып.5. С. 833-847.

30. Маркеев А.П. Динамические причины асимметрии расположения люков в поясе астероидов // Письма в Астрон. журнал. 2001. Т.27. №7. С. 554-559

31. Маркеев А.П. Устойчивость гамильтоновых систем // Нелинейная механика. М.: Физматлит, 2001. С. 114-130.

32. Маркеев А.П. Об одном способе исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // Изв. РАН. МТТ. 2004. №6. С. 312.

33. Маркеев А.П. Об одном особом случае параметрического резонанса в задачах небесной механики, Письма в Астрон. журнал. 2005. Т.31. №5. С. 388-394.

34. Маркеев А.П. О кратном резонансе в линейных системах Гамильтона // Доклады АН. 2005. Т.402. № 3. С. 339-343.

35. Маркеев А.П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. 2005. Т.69. Вып.З. С. 355-371.

36. Маркеев А.П. Об устойчивости колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты // Доклады АН. 2007. Т.413. №3. С. 340-344.

37. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите // МТТ. 1977. №4. С. 46-57.

38. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите // ПММ. 1976. Т.40. С. 10401047.

39. Маркеев А.П., Чеховская Т.Н. О резонансных периодических решениях гамильтоновых систем, рождающихся из положения равновесия // ПММ. 1982. Т.46. Вып.1. С. 27-33.

40. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром // ПММ. 1975. Т.39. Вып.4. С. 621-632.

41. Сарычев В.А. Асимптотически устойчивые ствционарные вращения спутника // Космические исследования. 1965. Т.З. Вып.5. С. 667-673.

42. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники, серия «Исследование космического пространства», 1978. Т.Н. 224 с.

43. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические вращения спутника в плоскости эллиптической орбиты // Космические исследования. 1979. Т. 17. Вып.2. С. 190-207.

44. Сокольский А.Г., Хованский С.А. Периодические движения, близкие гиперболоидальной прецессии симметричного спутника на круговой орбите // Космические исследования. 1979. Т.ХУП. Вып.2. С. 208-217.

45. Сокольский А.Г., Хованский С.А. О численном продолжении периодических решений лаграижевой системы с двумя степенями свободы //

46. Космические исследования. 1983. Т.ХХ1. Вып.6. С. 851-860.

47. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите // Космические исследования. 1964. Т.2. Вып. 5. С. 667.

48. Хентов A.A. Об устойчивости по первому приближению одного вращения искусственного спутника Земли вокруг своего центра масс // Космич. исследования. 1968. Т.6. Вып.5. С. 793-795.

49. Холостова О.В. О движении гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансе в вынуженных колебаниях // Известия РАН. МТТ. 1996. №3. С. 167-175.

50. Холостова О.В. О внутреннем резонансе в автономной гамильтоновой системе, близкой к системе с циклической координатой // ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С. 366-380.

51. Холостова О.В. Периодические движения близкого к динамически симметричному спутника в окрестности конической прецессии // ПММ. 2004. Т.68. Вып.З. С. 414-432.

52. Холостова О.В. Об устойчивости цилиндрической прецессии спутника в одном частном случае // Космич. исследования. 2008. Т.46. Вып.З. С. 270-278.

53. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. 1964. Т.28. Вып. 1. С. 155-157.

54. Чуркина Т.Е. Об устойчивости движения спутника на эллиптической орбите в случае цилиндрической прецессии // Математическое моделирование. 2004. т. 16. т. С. 3-5.

55. Чуркина Т.Е. К задаче об одном частном случае плоских движений спутника на эллиптической орбите // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. №12. С. 63-69.

56. Чуркина Т.Е. Об устойчивости одного плоского резонансного движения спутника при наличии пространственных возмущений // Известия АН. МТТ. 2007. №4. С. 14-25.

57. Якубович В.А., Старжииский В.M. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.

58. Glimm J. Formal stability of hamiltonian systems // Communs Pure and Appl. Math. 1964. Vol.17. No.4. P. 509-526.

59. Henrard J., Lemaitre A. A Second fundamental model for resonance // Celest. Mech. 1983. V.30. №2. P. 197-218.

60. Kane T.R., March E.L., Wilson W.G. Discussion on the paper: «Spin stabilization of attitude against gravity tourque», by W.T. Thomson // J. Astonaut Sci. 1962. V. 9 No. 4. P. 108-109.

61. Likins P.W. Stability of symmetrical satellite in attitudes fixed in an orbiting reference frame //J. Astronaut. Sci. 1965. Vol. 12. №1. P. 1824.

62. Moser J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems // Communs, Pure and Appl. Math. 1958. Vol.11. No.l. P. 81-114.

63. Thomson W.T. Spin stabilization of attitude against gravity tourque // J. Astonaut Sci. 1962. V.9 No. 1. P. 31-33.

64. Varin V.P. Degeneracies of periodic solution of the Beletskii equation // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. V.5. № 3. P. 313-328.

65. Wallace F.B., Jr., Meirovich L. Attitude instability regions of a spinning symmetrical satellite in an elliptic orbit // AIAA J. 1967. V.5. № 9. P. 16421650.

66. Zlatoustov V.A., Markeev A.P. Stability of Planar Oscillations of a Satellite in an Elliptic Orbit // Celestial Mechanics. 1973. № 7. P. 31-45.