Режимы течения и устойчивость потоков на склонах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Зайко Юлия Сергеевна

• Зайко Юлия Сергеевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Зайко Юлия Сергеевна

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Обзор работ, иосвящёниых моделированию природных склоновых потоков

1.2 Обзор работ по устойчивости склоновых потоков

2 Моделирование склоновых потоков, захватывающих и вовлекающих в движение материал дна

2.1 Постановка задачи

2.2 Результаты расчётов

2.3 Асимптотические формулы для скорости захвата

2.4 Выводы

3 Устойчивость потока на склоне относительно двумерных возмущений

3.1 Постановка задачи

3.2 Анализ дисперсионного уравнения

3.3 Примеры условий устойчивости для потоков с различными функциями, задающими трение на дне

3.4 Выводы

4 Асимптотика волн в слое вязкой жидкости на наклонной плоскости

4.1 Постановка задачи

4.2 Применение метода перевала

4.3 Выводы

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Режимы течения и устойчивость потоков на склонах»

Актуальность темы

Работа посвящена изучению поведения потоков, движущихся по склонам под действием силы тяжести. Примерами таких потоков являются лавины, сели и оползни, а также тонкие плёнки на наклонных плоскостях, которые часто встречаются в различных технических приложениях, например, в теплообменниках, конденсаторах, абсорберах, испарителях, струи но-плёночной аппаратуре и т.д.

Снежные лавины, оползневые и селевые потоки могут представлять значительную опасность для людей и сооружений на склонах гор. Для организации защиты необходимы данные о дальности распространения этих потоков и их динамических параметрах в конкретном месте склона. Эти данные могут быть получены из измерений при наблюдении реального явления, что, однако, является сложной и затратной задачей. Другой источник данных о склоновом потоке — математическое моделирование. Наиболее широко применяются для описания склоновых потоков модели, использующие уравнения механики сплошных сред, осредненные по глубине (уравнения в гидравлическом приближении); более же подробные модели основаны на полных, не осреднённых по глубине, уравнениях МСС, эти модели в настоящее время находятся в процессе разработки.

При моделировании лавин, селей и оползней возникают, в частности, следующие задачи:

1. Учёт сложных реологических свойств движущейся среды, которые проявляются, например, в том, что снежный поток или оползень может останавливаться на наклонном склоне (данная особенность не может быть описана в рамках линейно-вязкой жидкости).

2. Моделирование процесса захвата и вовлечения в движение материала, лежащего на склоне.

Эти задачи являются новыми и актуальными для приложений. Большинство моделей, учитывающих захват и вовлечение в движение материала склона, основаны на осреднённых по глубине уравнениях МСС. В первой

части настоящей работы с использованием полных уравнений МСС изучается влияние на ламинарный поток сложной реологии движущейся среды (рассмативаются модели Хершеля-Балкли и Кросса) и захвата донного материала. Проведённое численное исследование является необходимым этапом при разработке полной трёхмерной модели, способной описывать поведение природных склоновых потоков.

В настоящее время наиболее широко применяются модели природных склоновых потоков, основанные на уравнениях в гидравлическом приближении. Актуальным является вопрос устойчивости этих потоков с учётом режима течения (ламинарный или турбулентный) и реологии движущейся среды. Неустойчивость приводит, в частности, к образованию катящихся волн, при наличии которых поток может выходить из берегов или переливаться через стенки канала, что является нежелательным. Также при моделировании важно учитывать возможность неустойчивости потока, которая влияет на выбор численной схемы. Устойчивость открытых потоков на наклонных плоскостях широко исследована относительно одномерных продольных возмущений. Однако, важно знать, могут ли в этих потоках косые возмущения приводить к неустойчивости раньше, чем продольные. Исследование этого вопроса проведено для частных случаев сред Рейнера-Ривлина и Кольмана-Нолла (в работах [33] и [101], соответственно) и численно для среды Карро (в работе [53]). В настоящей работе аналитически выводится критерий устойчивости относительно двумерных возмущений. Он применим к потокам различной реологии при различных режимах течения и показывает, при каких параметрах потока и склона косые возмущения являются более опасными, чем продольные. Отметим, что в более поздней работе Могилевского [117] в длинноволновом приближении был доказан аналог теоремы Сквайра для течения неньютоновской среды по склону, а численное решение задачи в полной постановке в этой же работе показало, что трёхмерные (косые) возмущения могут приводить к неустойчивости при меньших числах Рейнольдса, чем продольные, в потоках как псевдопластических, так и дилатантных неньютоновских сред.

Изучение асимптотики при £ ^ то локализованного возмущения в вертикально стекающей плёнке жидкости проводилось для течения, описывае-

мого моделью Шкадова [42], в работе Демёхина с соавторами [85] и течения, описываемого слабонелинейным уравнением Курамото-Сивашипского, в книге [70]. В работе [4] эволюция трёхмерного локализованного возмущения вертикальной плёнки изучалась численно с использованием модели, предложенной в работе 2013 года [3]. В настоящей работе аналитически методом перевала изучается асимптотика локализованного по пространству и времени возмущения потока вязкой жидкости на плоскости, наклонённой к горизонту на угол 0 < а < п/2. Поток описывается уравнениями в гидравлическом приближении.

Степень разработанности темы подробно проанализирована в главе 1.

Цель и задачи работы

1. Исследование влияния процесса вовлечения материала дна и реологических свойств движущейся среды на динамику длинного ламинарного потока, движущегося под действием силы тяжести по однородному склону.

2. Анализ устойчивости открытых однородных склоновых потоков, описываемых уравнениями в гидравлическом приближении, относительно возмущений, распространяющихся под произвольным углом к направлению скорости потока.

3. Изучение асимптотического поведения локализованного возмущения потока вязкой жидкости на наклонной плоскости.

Новизна работы

Задача моделирования посредством полных уравнений МСС процесса уноса склоновым потоком донного материала с учётом сложных реологических свойств движущейся среды является новой и актуальной. В данной работе проводится исследование влияния на динамику потока этих факторов. В качестве реологических моделей рассматриваются среды Хершеля-Балкли и Кросса.

Устойчивость открытых склоновых потоков, описываемых уравнениями в гидравлическом приближении, изучается в данной работе аналитически. Новыми результатами, полученными в работе, являются: условие на параметры потока и склона, которое показывает, что при некоторых параметрах косые возмущения могут приводить к неустойчивости при меньших числах Фруда, чем продольные (найдены также диапазоны углов распространения растущих возмущений); полученные методом перевала асимптотика локализованного возмущения потока на склоне, геометрия области, занятой растущим возмущением, и поведение волн внутри этой области.

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты работы важны для развития знаний о поведении течений по наклонным плоскостям, в частности, об устойчивости и развитии возмущений в них. Уравнения, свойства решений которых изучены в работе, могут использоваться для описания таких природных явлений, как лавины, сели и оползни. Исследованные в работе свойства склоновых потоков важны при проектировании сооружений и организации защиты от лавин и селей в горах, а также при подготовке наблюдений за реальными потоками и их моделировании.

Методология и методы исследования

Для исследования влияния реологических свойств среды и вовлечения в движение материала дна на динамику склонового потока рассматривается плоское течение по длинному однородному склону, все величины считаются зависящими лишь от нормальной ко дну координаты. Сформулирована модель (уравнения и граничные условия), создана программа на основе неявной разностной схемы, проведены расчёты, для результатов которых проверена сходимость по сетке и, когда это возможно, результаты сравнены с аналитическими решениями.

Изучение устойчивости потоков на склоне проводится аналитически, выполняется линейный анализ устойчивости. Для исследования дисперсионного уравнения при получении критерия устойчивости используется

принцип аргумента, а для получения асимптотики локализованного возмущения при больших £ — метод перевала.

Положения, выносимые на защиту

1. В ламинарном потоке среды Хершеля-Балкли, а также среды Кросса на склоне постоянного уклона при больших временах с момента начала захвата подстилающего материала а) зависимости глубины и скорости от времени близки к линейным, б) профили скорости имеют расширяющийся со временем близкий к линейному участок в области около дна.

2. Скорость захвата потоком материала дна стремится к константе, которая зависит от угла склона, ускорения свободного падения, предела прочности на сдвиг материала дна и реологических параметров движущейся среды. Асимптотическая (при больших £ с момента начала вовлечения) скорость захвата падает при уменьшении предела текучести движущейся среды. Показано, что асимптотическая скорость захвата линейно зависит от синуса угла наклона к горизонту.

3. В рамках гидравлического приближения в однородном потоке на склоне постоянного уклона косые малые возмущения могут приводить к неустойчивости при меньших числах Фруда, чем продольные. В частности, это выполнено в ламинарных потоках среды Хершеля-Балкли с показателем степени п > 2.

4. В неустойчивом однородном слое вязкой жидкости на склоне постоянного уклона при £ ^ то область, запятая растущим возмущением от локализованного точечного воздействия, имеет форму сегмента круга, центр которого движется вдоль оси х с невозмущённой скоростью потока щ (ось х направлена вдоль вектора М0). Внутри области, занятой растущим возмущением, скорость его роста постоянна на линиях,

х

ласти и стремится к нулю на задней её границе. Фазовая скорость возмущения превышает групповую. Гребни растущих волн представляют собой дуги окружностей с центром в той же точке, что и центр кру-

га, в сегменте которого лежат все растущие возмущения. Длина волны стремится к нулю при приближении к передней границе сегмента.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием классических математических методов механики сплошных сред и теории функций комплексного переменного. Для численных расчётов использованы стандартные методы решения уравнений параболического типа, проверена сеточная сходимость, а также, где это возможно, проведено сравнение расчётных результатов с аналитическими.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

1) Семинар по механике сплошных сред под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, профессора В.П. Карликова, член-корр. РАН О.Э. Мельника, профессора А.Н. Осипцова.

2) Семинар отдела механики Математического института им. В.А. Стекло-ва Российской академии наук.

3) Семинар под руководством В.Ю. Ляпидевского, H.H. Макаренко, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

4) Семинар «Физическая гидродинамика» под руководством академика РАН C.B. Алексеенко, Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН.

5) Семинар кафедры газовой и волновой динамики под руководством академика Р.И. Нигматулина, проф. H.H. Смирнова, проф. A.B. Звягина.

6) VII Всероссийская конференция с участием зарубежных учёных «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Красноярск, 2020).

7) 10-ая международная научная школа молодых учёных «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 2019).

8) Конференция-конкурс молодых учёных НИИ механики МГУ (Москва, 2019).

9) Всероссийская конференция молодых учёных-механиков «YSM-2018» (Сочи, 2018).

10) XI и XII всероссийские съезды по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015, Уфа, 2019).

11) Генеральные ассамблеи Европейского союза наук о Земле EGU-2015 и EGU-2018 (Австрия, Вена, 2015, 2018).

12) 18-я, 19-я международные школы-семинары «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2018, 2019).

13) Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», посвягцённая памяти академика Леонида Ивановича Седова в связи со стодесятилетием со дня его рождения (Москва, 2017).

14) III международный симпозиум «Физика, химия и механика снега» (Южно-Сахалинск, 2017).

15) Конференция «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2017).

16) XVI гляциологический симпозиум «Прошлое, настоящее и будущее криосферы Земли» (Санкт-Петербург, 2016).

17) VIII международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 115-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2015).

18) Конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, 2013, 2014, 2018 и 2019).

19) Конференция «Ломоносов-2013» (Москва, 2013).

Результаты диссертации опубликованы в пяти статьях в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science, Scopus [16,52,95,147,148], a также в работах [14,15,17-25,28,48-50,145,146].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 120 страниц, включая 34 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 148 наименований.

Глава 1 представляет собой обзор литературы, состоящий из двух частей. Первая посвящена моделированию природных потоков, вторая — устойчивости потоков на склонах.

Глава 2 посвящена моделированию потока на склоне с учётом сложных

неньютоновских свойств движущейся среды и вовлечения в движение материала, лежащего на склоне. В разделе 2.1 содержится постановка задачи, сформулирована гипотеза, используемая для описания процесса захвата материала дна, приведён вариант обезразмеривания системы с учётом параметров, входящих в реологические соотношения, используемые для описания потока. Приводится расчётная схема и описание программы. Изучение влияния сложной реологии и захвата донного материала на динамику склонового потока проводится в следующей постановке: изучается нестационарный (h = h(t)) ламинарный поток на длинном однородном склоне, движение считается плоским, все параметры зависят только от координаты z, нормальной ко дну. Течение описывается уравнением движения в проекции па ось x. Кроме стандартных граничных условий прилипания на дне и равенства нулю силы трения на свободной границе, ставится дополнительное граничное условие на дне. Оно следует из гипотезы о захвате донного материала [108] и формулируется следующим образом: захват происходит тогда, когда касательное напряжение на дне в потоке тъ = Txz\z=h(t) равно пределу прочности на сдвиг тс материала дна: тъ = тс. В качестве реологических моделей рассмотрены модель Хершеля-Балкли и модель Кросса. В разделе 2.2 приводятся результаты расчётов движения потока по склону с захватом донного материала, проверяется сходимость по сетке. Показано, что в рамках принятой постановки задачи независимо от реологии движущейся среды

1. Захват начинается, если начальная глубина потока h\t=o больше глуби-

| тъ |

ности па сдвиг материала дна тс, или если предел прочности на сдвиг материала дна оказывается меньшим, чем касательное напряжение на дне в потоке: тс < \тъ\.

2. В области, прилегающей ко дну, профили скорости имеют участок, близкий к линейному, причём его толщина со временем увеличивается.

3. В потоке, захватывающем донный материал, зависимости глубины и

t

начала захвата.

t

и

Проведены расчёты при различных значениях предела текучести и угла склона, показано влияние этих величин на скорость вовлечения донного материала. В разделе 2.3 получены асимптотические (при больших временах с момента начала захвата) формулы для скорости захвата. Используются три предположения, которые основаны на результатах численного моделирования. Из полученных формул видно, что при больших £ скорость захвата — константа, зависящая от угла склона, ускорения силы тяжести, предела прочности на сдвиг материала дна и параметров реологической модели. Показано, что константы, к которым стремятся скорости вовлечения материала дна, полученные в расчётах, близки к значениям, полученным аналитически. Скорости базового захвата (то есть захвата подстилающего слоя вдоль нижней границы потока), полученные численно и аналитически в настоящей работе, по порядку величин близки к значениям в реальных лавинах [137]. Расчетные зависимости глубины и скорости от времени становятся близкими к линейным через 10 - 20 секунд с момента начала захвата. Это свидетельствует о возможности применения предложенной математической модели к реальным склоновым потокам. Результаты и выводы исследования, проведённого в главе 2, обобщены и кратко сформулированы в разделе 2.4.

Глава 3 посвящена исследованию устойчивости потока на склоне относительно двумерных возмущений. Поток описывается уравнениями в гидравлическом приближении. Реология среды и режим течения (ламинарный или турбулентный) учитываются посредством функции, задающей трение на дне. Аналитически проводится линейный анализ устойчивости безграничного однородного потока на склоне постоянного уклона относительно возмущений, направленных под произвольным углом к вектору скорости невозмущенного движения. Для исследования дисперсионного уравнения применяется принцип аргумента. В разделе 3.1 приводится постановка задачи, описывается вывод используемой далее системы уравнений гидравлики, обсуждаются некоторые свойства этой системы, выводится система уравнений для малых возмущений и выписывается дисперсионное соотношение, анализу которого посвягцён Раздел 3.2. Для определения числа корней дисперсионного уравнения с положительно мнимой частью (нали-

чие которых говорит о неустойчивости течения) используется принцип аргумента. В этом разделе сформулирован критерий устойчивости, найдены диапазоны углов распространения растущих возмущений. Установлено, что при определённых параметрах потока и склона косые возмущения являются более «опасными» (раньше приводят к неустойчивости), чем продольные. В разделе 3.3 приведены примеры применения полученного критерия устойчивости к склоновым потоком различных реологий и режимов течения. В частности, показано, что для ламинарного потока среды Хершеля-Балкли с показателем степени п > 2 выполнено условие, при котором косые возмущения приводят к неустойчивости при меньших числах Фруда, чем продольные. Кратко результаты исследования устойчивости склонового потока относительно двумерных возмущений и выводы приведены в разделе 3.4.

Глава 4 посвящена аналитическому изучению асимптотического поведения локализованного возмущения неустойчивого однородного потока линейно-вязкой жидкости на склоне. Постановка задачи и метод перевала, используемый для получения асимптотики, приведены в разделе 4.1. В разделе 4.2 описывается процедура применения метода перевала к исследуемому дисперсионному соотношению. Найдена область, занятая растущим возмущением. Определены свойства волны внутри этой области. Результаты исследования, проведённого в главе 4, резюмируются в разделе 4.3.

1 Обзор литературы

Глава представляет собой обзор литературы и состоит из двух частей. Первая часть посвящена работам по моделированию природных склоновых потоков, в основном лавин, селевых потоков и оползней. Во второй части рассмотрены работы по устойчивости открытых потоков на наклонных и вертикальных поверхностях.

1.1 Обзор работ, поевящённых моделированию природных склоновых потоков1

Модели природных склоновых потоков можно разделить на три вида. К первому, наиболее простому, относятся модели, в которых поток представляется материальной точкой, движущейся по склону под действием силы тяжести и испытывающей сопротивление окружающей среды. Этот подход является крайне упрощённым, однако, после проведения калибровки модели для конкретного региона и типа склона даёт возможность корректно оценить порядки величин скорости потока и дальности выброса [5]. Более сложные модели основаны на уравнениях гидравлического типа — уравнениях МСС, осреднённых по глубине [9-11, 58, 72, 73, 91, 92,119,120,130, 137, 138,141]. Впервые такая модель для описания снежных лавин была предложена в [141], однако, использованная система уравнений не была замкнутой — не учитывалось дифференциальное уравнение неразрывности. Полная же система уравнений в частных производных для описания движения плотных лавин была опубликована в работе [10], также в этой работе для описания вовлечения лежащего на склоне снега предложена модель захвата снега на переднем фронте потока (в англоязычной литературе такой механизм называется "plough entrainment"). Для замыкания системы уравнений в гидравлическом приближении, описывающей движение потока по склону, необходимо знать закон для трения на единицу площади дна т на нижней границе потока и закон, по которому происходит захват. Как правило, в соотношения, описывающие трение на дне, входят эмпирические

1 Содержание этого раздела опубликовано в обзорной работе [95].

коэффициенты. Для турбулентных потоков воды наиболее широко используются формула Шези

т = -gpu2, C = const — коэффициент Шези, (1.1)

C

формула Маннинга, учитывающая зависимость коэффициента Шези от глубины:

2

9Х 2 /1 о\

т = "гг"Pu , I1-2)

h з

Х — параметр, связанный с шероховатостью дна, u — средняя по глубине скорость течения, p — плотность среды, g — ускорение силы тяжести, h — глубина потока. В турбулентных потоках, содержащих глину и камни, лат

ния Td, которое не исчезает в остановившемся потоке, и гидравлического т^ (см., например, [10,46, 64,141]). Для та многие авторы используют закон Кулона (например, [58,115,118,121,122,124,125,141]). С.С. Григоряном была предложена модификация этого закона, учитывающая, что как движущийся материал, так и материал дна обладают пределом прочности на сдвиг, так что касательные напряжения не могут быть больше их предела прочности [11]. В простейшем варианте модификация закона Кулона записывается в виде

при ßdp < т* выполнен о та = ßdp,

при ßdp > т* выполнен о та = т*, (1.3)

здесь ßd — коэффициент кулоновского трения, а — угол наклона склона к горизонту, p = pgh cos а — нормальное давление, т* — наименьший из пределов прочности на сдвиг материалов потока и дна [46]. Закон сухого трения Григоряна использовался для моделирования лавин, в частности, в работах [12,13,47,64].

Несмотря на свою широкую распространённость, модели склоновых потоков, основанные на осреднённых по глубине уравнениях, имеют некоторые недостатки [95]. Например, они не позволяют рассчитать распределение параметров поперёк потока, которые важны для определения силы

воздействия потока на препятствие [93]. Кроме того, модели гидравлического типа включают в себя эмпирические коэффициенты, величины которых могут быть оценены только обратными расчетами реальных потоков в конкретных региональных условиях (см., например, [64]).

Модели, основанные на полных, не осреднённых по глубине уравнениях МСС, лишены этих недостатков и находятся в настоящее время в процессе разработки. При моделировании таких природных течений, как селевые потоки, лавины и оползни, должно учитываться множество факторов. В частности, должны моделироваться неньютоновская реология движущейся среды, процессы вовлечения материала, лежащего на склоне, в движение и отложение материала потока, сложная геометрия склона. Использование неньютоновских реологических моделей необходимо, чтобы описать некоторые свойства природных склоновых потоков, например, возможность остановки потока на наклонном склоне. В рамках линейно-вязкой жидкости такое поведение потока не может быть описано. Различными исследователями применяются различные реологические соотношения: в [69,108,136] применяется модель Багнольда [55], используемая для гранулированных потоков; в [125] для снежной лавины применяется модель Criminale-Ericksen-Filbey fluid [82]; в работах [16,38,65,87,94,106,111,132] для моделирования оползневых потоков и снежных лавин используются среды Бингама (см. [63]) и Хершеля-Балкли (см. [104]); среда Кросса (см. [83]) рассматривается в [16,111]. В главе 2 настоящей работы для моделирования открытого потока на склоне выбраны модели Хершеля-Балкли и Кросса, которые использовались в [111,132] для описания измеренного профиля скорости снежного потока в наклонном лотке. В простом сдвиговом течении выполняются следующие соотношения между напряжениями и скоростями деформаций для среды Хершеля-Балкли:

— = 0, если |txz| < Ту,

' du dz

ii du

| Txz | = Ту + K

xz

\

dz

(1.4)

если |Txz | > Ту,

n

для среды Кросса:

ди

ро + ухк,

\ тхг \

дг

1 + кс:

ди

дг

ди дг

(1.5)

Обозначения:

# х ...................... координата вдоль склона, г — координата то нормали ко дну, и —

компонента скорости вдоль дна, тхх — компонента тензора касательных напряжений;

• параметры реологической модели Хершеля-Балкли: ту — предел текучести, К (размерность — М-Тп-2-Ь-1) — индекс консистенции, п —

показатель степенного закона;

• параметры реологической модели Кросса: кс — константа размерности Т, р0, — константы, имеющие размерность динамического коэффициента вязкости (М-Ь-1 -Т-1), причём р0 — предельная эффективная вязкость при ду/дг ^ 0 — при ду/дг ^ ж.

Процесс вовлечения в движение материала склона является одним из наиболее существенных факторов, влияющих на динамику склонового потока [131,137]. Существуют различные модели, описывающие данный процесс (например, [9,65,99,130,131]), гидравлические модели используют заданные зависимости скорости захвата от средней скорости потока и глубины (см. обзоры в работах [92,95,107]). Модели гидравлического типа применяются, в частности, к мутьевым потокам (движущимся вдоль дна водоёма в окружающей жидкости под действием силы тяжести), в которых также моделируется процесс вовлечения окружающей жидкости (например, [112,113]). В главе 2 настоящего исследования, наряду с неньютоновской реологией движущейся среды, изучается именно влияние захвата материала, лежащего на склоне, на парамеры потока. В качестве условия, определяющего процесс захвата материала дна, применяется гипотеза, предложенная в работе [108]. Она формулируется следующим образом: захват происходит тогда, когда касательное напряжение на дне в потоке ть = тхх \г=щ) равно пределу прочности на сдвиг тс материала дна: ть = тс (заметим, что ть не может превышать тс). Эта гипотеза позволяет опреде-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зайко Юлия Сергеевна, 2020 год

Литература

1. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волновое течение пленок жидкости. — Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1992. — 256 с.

2. Алексеенко C.B., Архипов Д.Г., Цвелодуб О.Ю. Дивергентная система уравнений для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости // Докл. АН. 2011. Т. 436. № 1. С. 1 - 4.

3. Актершев С.П., Алексеенко C.B. Модель волнового течения стекающей пленки вязкой жидкости // ПМТФ. 2013. Т. 54. № 2. С. 21 - 31.

4. Актершев С.П., Алексеенко C.B. Моделирование трехмерных волн в пленке жидкости // ПМТФ. 2014. Т. 55. № 6. С. 84 - 96.

5. Благовещенский В.П., Эглит М.Э., Жданов В.В., Аскарбеков Б.Б. Калибровка математических моделей лавин по данным о реальных лавинах в Иле (Заилийском) Алатау // Лёд и Снег. 2017. Т. 57. № 2. С. 213 - 220.

6. Веденеев В.В. Математическая теория устойчивости плоскопараллельных течений и развитие турбулентности. — Долгопрудный: ИД «Интеллект», 2016. — 152 с.

7. Ведерников В.В. Условия на фронте волны попуска, нарушающей установившееся движение реальной жидкости // Докл. АН СССР. 1945. Т. 48. №4. С. 256 - 259.

8. Войтковский К.Ф. Механические свойства снега. — М.: «Наука», 1977. _ 126 с.

9. Григорян С.С., Остроумов A.B. Математическая модель склоновых процессов лавинного типа // Научный отчёт № 1955. НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, 1977.

10. Григорян С.С., Эглит М.Э., Якимов Ю.Л. Новая математическая постановка задачи о движении лавины и решение этой задачи // Труды Высокогорного геофизического института. 1967. № 12. С. 104 - 113.

11. Григорян С. С. Новый закон трения и механизм крупномасштабных горных обвалов и оползней. // Докл. АН СССР. 1979. Т. 244. № 4. С. 846 - 849.

12. Данилова Е.М., Эглит М.Э. Движение снежных лавин в условиях предельного трения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 5. С. 30 - 37.

13. Данилова Е.М., Эглит М.Э. Движение лотковых лавин // Материалы гляциологических исследований. 1977. Т. 31. С. 65 - 74.

14. Зайко Ю.С. Математическое моделирование склоновых потоков с учётом захвата материала дна / / Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2013». Сборник трудов конференции. — г. М.: изд-во МАКС Пресс, 2013. — С. 1^2.

15. Зайко Ю.С. Численное исследование движения склоновых потоков с различными реологическими свойствами //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сборник трудов. — г. Казань: изд-во Казанского университета, 2015. — С. 1408 - 1410.

16. Зайко Ю.С. Численное моделирование склоновых потоков различной реологической природы // Изв. РАН. МЖГ. 2016. №4. С. 3 - 11.

17. Зайко Ю.С. Исследование устойчивости потока на склоне относительно косых возмущений // Тезисы Конференции-конкурса молодых учёных Научно-исследовательского инсти-

тута механики МГУ имени М.В. Ломоносова 21 - 25 октября 2019 г. — Место издания НИИ механики МГУ, Москва. — С. 11.

18. Зайко Ю.С., Эглит М.Э. Исследование устойчивости склоновых потоков // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 16 - 27 апреля 2018 года. — г. Москва: изд-во Московского университета, 2018. — С. 85 - 86.

19. Зайко Ю.С., Эглит М.Э. Об устойчивости потоков на склонах // Всероссийская конференция молодых учёных-механиков У8М-2018. Тезисы докладов. — г. Москва: изд-во Московского университета, 2018. — С. 86.

20. Зайко Ю.С., Эглит М.Э. Критерий устойчивости неньютоновских склоновых потоков с учетом косых возмущений // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 15 - 25 апреля 2019 года. — г. Москва: изд-во Московского университета, 2019. — С. 85 - 86.

21. Зайко Ю.С., Эглит М.Э. Анализ устойчивости потоков на склонах // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 4: Материалы симпозиумов. — г. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. — С. 43-45.

22. Зайко Ю.С., Эглит М.Э. Численная модель для описания движения снежных лавин, учитывающая неньютоновскую реологию среды, турбулентность и вовлечение в движение снега со склона // III Международный симпозиум «Физика, химия и механика снега»: сборник докладов, часть II, Южно-Сахалинск, 2-6 октября 2017 г. — г. Южно-Сахалинск, изд-во Сахалинского филиала ФГБУН Дальневосточного геологического института ДВО РАН, 2018. — С. 22 - 25.

23. Зайко Ю.С., Эглит М.Э., Якубенко А.Е. Численное исследование природных потоков с неньютоновскими свойствами, движущихся по склонам постоянного уклона // VIII Международная конференция, посвященная 115-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева, «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». 7 - 11 сентября 2015 г. Новосибирск. Тезисы докладов. — С. 110.

24. Зайко Ю.С., Эглит М.Э., Якубенко А.Е. Моделирование склоновых потоков с учетом неньютоновских свойств движущейся среды // Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященная памяти академика Л.И. Седова в связи со 110-летием со дня его рождения. МИАН, Москва, 13 - 15 ноября 2017 г. Тезисы докладов. — Изд-во МИАН, 2017. — С. 106^107.

25. Зайко Ю.С., Эглит М.Э., Якубенко А.Е., Якубенко Т.А. О влиянии предела текучести на динамику ламинарных и турбулентных склоновых потоков // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. 16 - 27 апреля 2018 года. Тезисы докладов. — М.: Издательство Московского университета, 2018. 206 с. — С. 86 - 87.

26. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоёв вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1948. Т. 18. Вып. 1. С. 3 - 28.

27. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика, часть 1. — М: Физматгиз, 1963. — 584 с.

28. Куликовский А.Г., Зайко Ю.С. Асимптотика локализованного возмущения слоя вязкой жидкости на склоне // Сборник тезисов докладов VII Всероссийской конференции с участием зарубежных учёных «Задачи со свободными границами: терия, эксперимент и приложения» — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2020. С. 141.

29. Куликовский А.Г., Эглит М.Э. Двумерная задача о движении снежной лавины по склону с плавно меняющимися свойствами // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 5. С. 837 - 848.

30. Кутепов A.M., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин A.B., Казе-нинД.А. Химическая гидродинамика: справочное пособие. — М: Кван-тум, 1996. — 336 с.

31. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. — М: «Наука», 1973. — 736 с.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. — 3-е изд., перераб. — М: «Наука». Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. — 736 с.

33. Листров А. Т. Об устойчивости параллельных течений неньютоновских сред // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164. №5. С. 1001 - 1004.

34. Лущик В.Г., Павельев A.A., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель сдвиговой турбулентности // 1978. Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. №3. С. 13 - 25.

35. Маурин Л.Н., Сорокин B.C. О волновом течении тонких слоёв вязкой жидкости // ПМТФ. 1962. № 4. С. 60 - 67.

36. Могилевский Е.И., Шкадов В.Я. Неустойчивость и волны при течении пленки обобщенно-ньютоновской жидкости по вертикальной стенке // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 3. С. 43 - 56.

37. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. — М: «Наука», 1981. - 368 с.

38. Романова Д. И. Трехмерное моделирование схода лавинных потоков средствами пакета Open FOAM // Тр. Ин-та системного программирования РАН. 2017. Т. 29. т. С. 85 - 100.

39. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. — М: «Наука», 1970. — 492 с.

40. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. — М., ИЛ, 1959.

41. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 638 с.

42. Шкадов В. Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 1. С. 43 - 51.

43. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 2. С. 20 - 25.

44. Шкадов В.Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 1. С. 63 - 66.

45. Шкадов В.Я., Сисоев Г.М. К теории одиночных волн в стекающем слое вязкой жидкости // Доклады РАН. 2001. № 380(6). С. 774 - 778.

46. Эглит М.Э. Неустановившиеся движения в руслах и на склонах. — М: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 96 с.

47. Эглит М.Э. Динамика снежных лавин // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 186. С. 162 - 167.

48. Эглит М.Э., Леонтьев Н.Е., Зайко Ю.С. Численное моделирование движения бингамовской жидкости по наклонному дну с захватом донного материала // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 15

— 23 апреля 2013 г., Москва, МГУ имени М. В. Ломоносова.

— М.: Издательство Московского университета, 2013, 171 с.

— С. 151.

49. Эглит М.Э., Зайко Ю.С. Влияние реологических свойств на динамику склоновых потоков // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 14 — 23 апреля 2014 г., Москва, МГУ имени М. В. Ломоносова. — М.: Издательство Московского университета, 2014, 177 с. — С. 71 - 72.

50. Эглит М.Э., Зайко Ю.С., Якубенко А.Е. Неустойчивость потока на склоне относительно косых возмущений // Модели и методы аэродинамики. Материалы XIX международной школы-семинара. Евпатория, 2019 г. — Место издания ЦАГИ. — С. 118 - 119.

51. Эглит М.Э., Якубенко А.Е. Влияние захвата донного материала и неньютоновской реологии на динамику турбулентных склоновых потоков // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 3. С. 3 - 15.

52. Эглит М.Э., Якубенко А.Е., Зайко Ю.С. Математическое моделирование склоновых потоков с учетом неньютоновских свойств движущейся среды // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2018. Т. 300. С. 229 - 239.

53. Allouche М.Н., Millet S., Botton V., Henry D., Ben Hadid H., Rousset F. Stability of a flow down an incline with respect to two-dimensional and three-dimensional disturbances for Newtonian and non-Newtonian fluids // Phys. Rev. E. 2015. V. 92. 063010.

54. Ancey C., Meunier M. Estimating bulk rheological properties of flowing snow avalanches from field data //J. Geophys. Res. 2004. V. 109. F01004.

55. Bagnold R. Experiments on a gravity-free dispersion of large solid particles in a Newtonian fluid under shear // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1954. V. 255. P. 49 - 63.

56. Balmforth N.J., Burbidge A.S., Craster R.V., Salzig J., Shen A. Visco-plastic models of isothermal lava domes //J. Fluid Mech. 2000. V. 403. P. 37 - 65.

57. Balmforth N.J., Liu J.J. Roll waves in mud //J. Fluid Mech. 2004. V. 519. P. 33 - 54.

58. Barbolini M.. Gruber U., Keylock C.J., Naaim M.. Savi F. Application of statistical and hydraulic-continuum dense-snow avalanche models to five real European sites // Cold Reg. Sci. Technol. 2000. V. 31. P. 133 - 149.

59. Baylocq PCartalos U., Piau J.M. Rheological characterisation and structural modelling of clay polymer systems //in Progress and Trends in Rheology IV, C. Gallegos (Ed.), Steinkopf, Darmstadt, p. 618 - 620. 1994.

60. Benjamin T.B. Wave formation in laminar flow down an inclined plane // J. Fluid Mech. 1957. V. 2. P. 554 - 574.

61. Benjamin T.B. The development of three-dimensional disturbances in an unstable film of liquid flowing down an inclined plane //J. Fluid Mech. 1961. V. 10. P. 401 - 419.

62. Bentrad H., Esmael A., Nouar C., Lefevre A., Ait-Messaoudene N. Energy growth in Hagen-Poiseuille flow of Herschel-Bulkley fluid // J. NonNewton. Fluid Mech. 2017. V. 241. P. 43 - 59.

63. Bingham E.G. An investigation of the laws of plastic flow // Bulletin of the Bureau of Standards. 1916. V. 13(2). P. 309 - 353.

64. Blagovechshenskiy V., Eglit M.. Naaim M. The calibration of an avalanche mathematical model using field data // Nat. Hazards Earth Syst. Sei. 2002. V. 2. P. 217 - 220.

65. Bovet E., Chiaia B., Preziosi L. A new model for snow avalanche dynamics based on non-Newtonian fluids // Meccanica. 2010. V. 45(6). P. 753 - 765.

66. Bottaro A., Corbett P., Luchini P. The effect of base flow variation on flow stability //J. Fluid Mech. 2003. V. 476. P. 293 - 302.

67. Brevdo L., Laure P., Dias FBridges T.J. Linear pulse structure and signaling in a film flow on an inclined plane //J. Fluid Mech. 1999. V. 396. P. 37 - 71.

68. Briggs R.J. Electron-Stream Interaction with Plasmas. MIT Press, Cambridge. 1964.

69. Campbell C.S. Rapid granular flows // Annu. Rev. Fluid Meeh. 1990. V. 22. P. 57 - 92.

70. Chang H.-C., Demekhin E.A. Complex Wave Dynamics on Thin Films. D. Mobius and R. Miller. Elsevier. Amsterdam. 2002.

71. Chhahra R.P., Richardson J.F. Non-Newtonian Flow and Applied Rheology: Engineering Applications. Elsevier: Amsterdam, The Netherlands, 2008. 536 p.

72. Christen M.. Imposimato S., Roddeman D. Numerical modelling of entrainment/deposition in rock and debris-avalanches // Engineering Geology. 2009. V. 109. P. 135 - 145.

73. Christen M.. Kowalski J., Ba/rtelt P. RAMMS: Numerical simulation of dense snow avalanches in three-dimensional terrain // Cold Reg. Sci. Technol. 2010. V. 63. P. 1 - 14.

74. Coleman B.D., Noll W. An approximation theorem for functionals, with applications in continuum mechanics // Arch. Rational Mech. Anal. 1960. V. 6. P. 355 - 370.

75. Cornish V. Ocean Waves and Kindred Geophysical Phenomena. Cambridge University Press, 1934.

76. Coussot P. Steady, laminar, flow of concentrated mud suspensions in open channel //J. Hydraul. Res. 1994. V. 32. P. 535 - 559.

77. Coussot P., Leonov A.I., Piau J.M. Rheology of concentrated dispersed systems in a low molecular weight matrix // J. Non-Newt. Fluid Mech. 1993. V. 46. P. 179 - 217.

78. Coussot P., Piau J. A large-scale field coaxial cylinder rheometer for the study of the rheology of natural coarse suspensions //J. Rheol. 1995. V. 39. P. 105 - 124.

79. Coussot P. Mudflow Rheology and Dynamics. A. A. Balkema: Rotterdam, The Netherlands, 1997. 272 p.

80. Craster R.V., Matar O.K. Dynamics and Stability of Thin Liquid Films // Rev. Mod. Phys. 2009. V. 81. P. 1131 - 1198.

81. Cray a A. The criterion for the possibility of roll wave formation // Proceedings of the Gravity Wave Symposium (National Bureau of Standards, 1951).

82. Criminale W.O.Jr., Ericksen J.L., Filby G.L. Steady shear flow of Non-Newtonian Fluids // Arch. Rational. Mech. Anal. 1958. V. 1. P. 410 -417.

83. Cross M.M. Rheology of non-Newtonian fluids: a new flow equation for pseudoplastic systems // Journal of Colloid Science. 1965. V. 20. P. 417 -437.

84. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S.Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. I. Scenarios of two-dimensional-three-dimensional transition // Phys. Fluids. 2007. V. 19. 114103.

85. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S.Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. II. A solitons // Phys. Fluids. 2007. V. 19. 114104.

86. Dent J.D., Lang T.E. Modeling of snow flow // J. Glaciol. 1980. V. 26. P. 131 - 140.

87. Dent J.D., Lang T.E. A biviscous modified Bingham model of snow avalanche motion // Ann. Glaciol. 1983. V. 4. P. 42 - 46.

88. Di Cristo C., Vacca V. On the convective nature of roll waves instability // J. Appl. Math. 2005. V. 3. P. 259 - 271.

89. Dressler R.F., Pohle F.V. Resistance effects on hydraulic instability // Commun. Pure Appl. Math. 1953. V. 6. P. 93 - 96.

90. Dressier R.F. Mathematical solution of the problem of roll-waves in inclined open channels // Commun. Pure Appl. Math. 1949. V. 2. P. 149

_ 194.

91. Eglit M.E. Some Mathematical Models of Snow Avalanches, in Advances in the Mechanics and the Flow of Granular Materials // M. Shahinpoor, Editor, Trans. Tech. Publications: Clausthal-Zellerfeld, 1983.P. 577 - 588.

92. Eglit M.E., Demidov K.S. Mathematical modeling of snow entrainment in avalanche motion // Cold Reg. Sci. Technol. 2005. V. 43. P. 10 - 23.

93. Eglit M.. Kulibaba V., Naairn M. Impact of a snow avalanche against an obstacle. Formation of shock waves // Cold Reg. Sci. Technol. 2007. V. 50. P. 86 - 96.

94. Eglit M.E., Yakubenko A.E. Numerical modeling of slope flows entraining bottom material // Cold Reg. Sci. Tech. 2014. V. 108. P. 139 - 148.

95. Eglit M., Yakubenko A., Zayko J. A Review of Russian Snow Avalanche Models — From Analytical Solutions to Novel 3D Models // Geosciences. 2020. V. 10. 77.

96. Engelund F., Wan Zh. Instability of hyperconcentrated flow //J. Hydraul. Eng. 1984. V. 110(3). P. 219 - 233.

97. Fernandez-Nieto E.D., Noble P., Vila J.-P. Shallow Water equations for Non-Newtonian fluids //J. Non-Newton. Fluid Mech. 2010. V. 165. P. 712 - 732.

98. French R.H. Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill Book Company, New York, 1985.

99. Gauer P., Issler D. Possible erosion mechanism in snow avalanches // Ann. Glaciol. 2004. V. 38. P. 384 - 392.

100. Gerbeau J.F., Perthame B. Derivation of viscous Saint-Venant system for laminar shallow water; numerical validation // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2001. V. 1(1). P. 89 - 102.

101. Gupta A.S., Rai L. Note on the stability of a visco-elastic liquid film flowing down an inclined plane //J. Fluid Mech. 1968. V. 33(1). P. 87 -91.

102. Hanks R. W., Pratt D.R. On the flow of Bingham plastic slurries in pipes and between parallel plates // Soc. Pet. Eng. J. 1967. V. 87(4). P. 342 -346.

103. Haldenwang R. Flow of non-Newtonian fluids in open channels. PhD thesis, Cape Technikon, Cape Town. 2003.

104. Herschel W.H., Bulkley R. Measurement of consistency as applied to rubber-benzene solutions // Am. Soc. Test. Proc. 1926. V. 26. Part II. P. 621 - 633.

105. Huerre P., Monkewitz P.A. Absolute and convective instabilities in free shear layers //J. Fluid Mech. 1985. V. 159. P. 151 - 168.

106. Issler D. Experimental information on snow avalanches // Experimental information on snow avalanches. In: Hutter, K., Kirchner, N. (Eds.), Dynamic Response of granular and porous materials under large and catastrophic deformations. Springer, 2003. P. 109 - 160.

107. Issler D. Dynamically consistent entrainment laws for depth-averaged avalanche models //J. Fluid Mech. 2014. V. 759. P. 701 - 738.

108. Issler D., Pastor Perez, M. Interplay of entrainment and rheology in snow avalanches: a numerical study // Annals of Glaciology. 2011. V. 52(58). P. 143 - 147.

109. Jeffreys H. The flow of water in an inclined channel of rectangular section // Philos. Mag. 1925. V. 49. P. 793 - 807.

110. Kalliadasis S., Ruyer-Quil C., Scheid B., Velarde M.G. Falling Liquid Films. Springer, London, 2012.

111. Kern M.A., Tiefenbacher F., McElwaine J.N. The rheology of snow in large chute flows // Cold Reg. Sci. Technol. 2004. V. 39. P. 181 - 192.

112. Liapidevskii V, Dutykh D., Gisclon M. On the modelling of shallow turbidity flows // Adv. Water Resour. 2018. V. 113. P. 310 - 327.

113. Liapidevskii V.; Dutykh D. On velocity of turbidity currents over moderate slopes // Fluid Dyn. Res. 2019. V. 51. P. 1 - 39.

114. Liu K., Mei C. Roll waves on a layer of a muddy fluid flowing down a gentle slope^A Bingham model // Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 2577 - 2590.

115. McClung D.M., Nettuno L., Savi F. One dimensional modelling for flowing avalanche runout and runup // International Symposium on Snow and Related Manifestation, Snow and Avalanche Study Establishment, Manali (HP), India, Sep. 1994.

116. Mogilevskiy E., Vakhitova R. Falling film of power-law fluid on a high-frequency oscillating inclined plane //J. Non-Newton. Fluid Mech. 2019. V. 269. P. 28 - 36.

117. Mogilevskiy E. Stability of a non-Newtonian falling film due to three-dimensional disturbances // Phys. Fluids. 2020. V. 32. 073101.

118. Naairn M.. Ancey C. Dense avalanche model // European Summer University, Chamonix, Cemagref. 1992. P. 173 - 181.

119. Naairn M.. Faug T., Naaim-Bouvet F. Dry granular flow modelling including erosion and deposition // Surv. Geophys. 2003. V. 24. P. 569 - 585.

120. Naairn M.. Naaim-Bouvet F., Faug T., Bouchet A. Dense snow avalanche modeling: flow, erosion, deposition and obstacle effects // Cold Reg. Sci. Technol. 2004. V. 39. P. 193 - 204.

121. Natale L., Nettuno L., Savi F. Numerical simulation of snow dense avalanche: an hydraulic approach // Proceedings of the 24th Annual Pittsburg International Conference on modelling and simulations, Pittsburg (IASTED 1994).

122. Nettuno L. La modellazione delle valanghe di neve densa: aspetti modellistici e sperimentali (On modeling of flowing avalanches: modélisation and experimentation) // PhD Thesis, University of Pavia. 1996.

123. Ng C., Mei C. Roll waves on a shallow layer of mud modelled as a power-law fluid //J. Fluid Mech. 1994. V. 263. P. 151 - 183.

124. Norern H., Irgens F., Schieldrop B. A continuum model for calculating snow avalanche velocities // Avalanche formation, movements and effect (Proc. of the Davos Symposium, September 1986). 1987. IAHS Publ. no 162. P. 363 - 379.

125. Norern H., Irgens F., Schieldrop B. Simulation of snow-avalanche flow in run-out zones // Annals of Glaciology. 1989. V. 13. P. 218 - 225.

126. Nouar C., Bottaro A. Stability of the flow of a Bingham fluid in a channel: eigenvalue sensitivity, minimal defects and scaling laws of transition //J. Fluid Mech. 2010. V. 642. P. 349 - 372.

127. Nouar C., Kabouya N., Dusek J., Mamou M. Modal and non-modal linear stability of the plane-Bingham-Poiseuille flow //J. Fluid Mech. 2007. V. 577. P. 211 - 239.

128. Peregrine D.H. Equations for water waves and the approximation behind them. In: Waves on beaches and resulting sediment transport (Meyer, R. M., ed.). New York: Academic Press, 1972.

129. Pignon F., Magnin A., Piau J.M. Thixotropic colloidal suspensions and flow curves with minimum: identification of flow regimes and rheometric consequences //J. Rheol. 1996. V. 40. P. 573 - 587.

130. Rauter M.. Kofler A., Huber A., Fellin W. faSavageHutterFOAM 1.0: depth-integrated simulation of dense snow avalanches on natural terrain with OpenFOAM // Geosci. Model Dev. 2018. V. 11. P. 2923 - 2939.

131. Rauter M.. Kohler A. Constraints on Entrainment and Deposition Models in Avalanche Simulations from High-Resolution Radar Data // Geosciences. 2020. V. 10(1). 9.

132. Rougier J., Kern M. Predicting snow velocity in large chute flows under different environmental conditions // Appl. Statist. 2010. V. 59. Part 5. P. 737 - 760.

133. Ruyer-Quil C., Mannevile P. Modeling film flows down inclined planes // Eur. Phys. J. 1998. V. 6(2). P. 277 - 292.

134. Ruyer-Quil C., Mannevile P. Improved modeling of flows down inclined planes // Eur. Phys. J. B. 2000. V. 15(2). P. 357 - 369.

135. Ruyer-Quil C., Mannevile P. Further accuracy and convergence results on the modelling of flows down inclined planes by wighted-residual approximations // Phys. Fluids. 2002. V. 14(1). P. 170 - 183.

136. Silbert L.E., Erta§ D., Grest G.S., Halsey T.C., Levine D., Plimpton S.J. Granular flow down an inclined plane: Bagnold scaling and rheology // Physical Review E. 2001. V. 64. 051302.

137. Sovilla, B., Burlando, P., Bartelt, P. Field experiments and numerical modeling of mass entrainment in snow avalanches // J. Geophys. Res. 2006. V. 111. F03007.

138. Sovilla, B., Margreth, S., Bartelt, P. On snow entrainment in avalanche dynamics calculations // Cold Reg. Sei. Tech. 2007. V. 47. P. 69 - 79.

139. Thual O., Plumerault L R., Astruc D. Linear stability of the ID Saint-Venant equations and drag parameterizations //J. Hydraul. Res. 2010. V. 48:3. P. 348 - 353.

140. Trowbridge J.H. Instability of concentrated free surface flows // J. Geophys. Res. 1987. V. 92(C9). P. 9523 - 9530.

141. Voellmy A. Uber die Zerstörungskraft von Lawinen. III. Zur Dynamik der Lawinen. // Schweiz. Bauzeitg. 1955. V. 73. P. 212 - 217.

142. Yakubenko P.A., Shugai G.A. Note on two-dimensional instability in shallow-water flows // Acta Mech. 1999. V. 135. P. 101 - 112.

143. Yih C-S. Stability of liquid flow down an inclined plane // Phys. Fluids. 1963. V. 6(3). P. 321 - 334.

144. Zanuttigh, B., Lamberti A. Instability and surge development in debris flows // Rev. Geophys. 2007. V. 45. RG3006.

145. Zayko J., Eglit M. Mathematical Modeling of Slope Flows With Entrainment as Flows of Non-Newtonian fluids // European Geosciences Union General Assembly 2015, Geophysical Research Abstracts. — Copernicus GmbH on behalf of the European Geosciences Union (Germany), 2015. — V. 17.

146. Zayko J., Eglit M., Yakubenko A. Investigation of the influence of rheological properties on laminar and turbulent geophysical flows characteristics // Geophysical Research Abstract, EGU General Assembly 2018 — Copernicus Gesellschaften (Germany). — V. 20.

147. Zayko J., Eglit M. Stability criteria for open downslope flows under oblique perturbations // Journal of Physics: Conference Series. 2018. V. 1129.

148. Zayko J., Eglit M. Stability of downslope flows to two-dimensional perturbations // Phys. Fluids. 2019. V. 31. No. 8. 086601.