Потеря симметрии течения неньютоновской жидкости в плоском симметричном разветвляющемся канале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Кутузова, Эльвира Ризилевна

• Кутузова, Эльвира Ризилевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Кутузова, Эльвира Ризилевна

ВВЕДЕНИЕ...................................................8

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.....................................17

1.1. Построение моделей жидкостей, основанных на механике

сплошной среды..........................................17

1.1.1. Модель ньютоновской жидкости..................19

1.1.2. Модель упруговязкой жидкости Oldroyd-B........20

1.2. Построение моделей жидкостей, основанных на броуновской

динамике .............................................. 21

1.2.1. Механическая модель Рауза.....................23

1.2.2. Механическая модель «Гибкая гантель»..........25

1.2.3. Модель упруговязкой жидкости FENE-P...........33

1.3. Обоснование адекватности выбранных моделей упруговязких

жидкостей ..............................................36

1.4. Течение жидкостей в разветвляющихся каналах.........43

1.4.1. Течение биологических жидкостей ............. 44

1.4.2. Микрофлюидные устройства......................47

1.4.3. Микромиксеры..................................49

1.4.4. Физические основы эффекта потери симметрии....54

1.5. Численное моделирование ............................55

1.5.1. Программный комплекс OpenFoam ................56

1.5.2. Метод контрольного объема.....................57

1.5.3. Схемы дискретизации по времени и пространству.59

1.6. Заключение по главе.................................61

2

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ................62

2.1. Определяющие уравнения........................62

2.2. Приведение уравнений к безразмерному виду.....63

2.3. Граничные и начальные условия.................68

2.4. Построение расчетной области..................71

2.4.1. Сходимость и устойчивость...............73

2.5. Заключение по главе...........................74

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. РАСХОДЯЩЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ

ЖИДКОСТИ...........................................75

3.1. Течение упруговязкой жидкости в плоском Т-образном канале .. 75

3.1.1. Результаты, полученные для упруговязкой модели Oldroyd-B

и ньютоновской жидкости...................................75

3.1.2. Результаты, полученные для упруговязкой модели жидкости

FENE-P ...................................................80

3.2. Течение упруговязкой жидкости в плоском Т-образном канале с

каверной ................................................. 87

3.3. Моделирование в разветвляющемся канале с прямоугольной

каверной...................................................97

3.4. Моделирование в разветвляющемся канале с каверной различной

высоты...................................................101

3.5. Кривая устойчивости симметричной формы сходящегося течения 105

3.6. Заключение по главе.................................106

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. СХОДЯЩЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ

ЖИДКОСТИ.................................108

4.1. Течение ньютоновской жидкости в плоском разветвляющемся

канале ................................................. 108

4.2. Течение упруговязкой жидкости в плоском Т-образном канале 111

3

4.3. Течение упруговязкой жидкости в плоском Т-образном канале с

квадратной каверной ............................113

4.4. Заключение по главе.........................116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................118

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ...................121

4

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Размерные величины

Величина

Обозначение

Размерность (СИ)

/0 плотность жидкости 3* М

р Давление К2 2 М - С

А характерное время релаксации напряжения с

% вязкость раствора при нулевой сдвиговой скорости М - С

% динамическая вязкость полимерной составляющей жидкости К2 М - С

динамическая вязкость растворителя К2 М - С

С характерная скорость М С

Z характерный линейный масштаб М

модуль силы взаимодействия между бусинками К2 - М с2

жесткость пружинки К2 с 2

длина вектора конфигурации макромолекулы, находящейся в равновесном состоянии М

еъ максимально возможная длина вектора конфигурации М

5

Безразмерные векторные и тензорные величины

Величина

Обозначение

Г вектор скорости

(Г полный тензор напряжений

7 девиатор напряжения

неньютоновская составляющая напряжения

ньютоновская составляющая напряжения

ё,- = 8 - вектор конфигурации. Конститутивные соотношения Oldroyd-B и FENE-P используются для моделирования растворов, состоящих из вязкого растворителя и полимера. Макромолекулы полимера представляются в виде механической модели гибкой гантели (две бусинки, соединенные между собой пружинкой заданной жесткости).

и ^2 - радиус-векторы, определяющие положение бусинок гантели.

тензор конфигурации, где - диадное произведение векторов конфигурации

= з( ) = j j j ее - (8)- - осреднение по

ансамблю, где (8)- вероятность того, что случайно выбранная макромолекула имеет заданный размер, находящийся в интервале от 8 до 8 + ^8

6

D = 1(У + ( У У)

тензор скоростей деформации, где (.у -процедура траспонироввания

Безразмерные параметры

Величина

Обозначение

=— z

число Вайссенберга, характеризующее

относительное влияние упругих свойств жидкости по сравнению с вязкими свойствами

Re = ^

%0

число Рейнольдса, характеризующее режим течения жидкости

Z2 = 3

%

+

коэффициент ретардации, характеризующий степень разбавленности раствора

безразмерный параметр, характеризующий степень растяжения пружинки гибкой гантели, соединяющей бусинки

7

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Потеря симметрии течения неньютоновской жидкости в плоском симметричном разветвляющемся канале»

ВВЕДЕНИЕ

Неньютоновские жидкости - довольно широкий класс жидкостей, к которому относятся материалы с самыми различными свойствами. Предсказать поведение таких жидкостей довольно сложно в силу множества факторов. К ним относятся геометрические особенности каналов, условия протекания процессов и т.д. Моделирование таких течений осложняется тем, что реологические характеристики потока, такие как зависимость вязкости от сдвиговой скорости, именуемой аномалией вязкости, зависимость продольной вязкости от продольного деформирования, именуемой продольной вязкостью, и т.д. не являются однозначно определяемыми.

С конца прошлого столетия внимание ученых приковано к микротечениям жидкостей в разветвляющихся каналах: течениям в каналах малых размеров Т-образной формы. Эти течения нашли свое применение во многих сферах человеческой деятельности: авиакосмическая и автомобильная отрасль, полиграфия, оптика, и т.д. В частности, в области фармацевтики и биомедицины разветвляющиеся каналы являются частью конструкции устройств для диагностики, производства лекарств и хирургии [1]. В промышленности такие каналы используются для смешивания жидкостей. В макроскопических каналах этот процесс происходит при турбулентном режиме. Если это не крупнотоннажное производство, то такое смешивание имеет ряд недостатков: временные затраты, большой расход жидкости и затраты на конструирование таких каналов. Так как течения жидкости в микроканалах обычно являются ламинарными, то их смешивание невозможно без дополнительного воздействия. Смешивание ньютоновских жидкостей достигается за счет увеличения инерционных эффектов и использования специальных устройств - микромиксеров. Микромиксер представляет собой Y- и Т-образный канал, где смешение жидкостей достигается за счет изменения конструкции выходной части канала.

8

Ситуация с неньютоновскими микротечениями несколько иная. При течении упруговязких жидкостей при повороте потока возникают упругие напряжения. Зависимость между ними и скоростью потока приобретает нелинейный характер, что ведет к возникновению деформации и качественно влияет на характер потока при малых числах Re [2,3].

Моделирование течения жидкостей в микроканалах позволяет наблюдать за развитием неньютоновских эффектов при малых инерционных эффектах. Упруговязкие потоки проявляют неустойчивость, обусловленную упругими свойствами, причем, чем выше концентрация полимерных молекул, тем проявление неньютоновских эффектов более явное. Работы таких известных ученых как Стоун, Ким, Гавард, МакКинли, Сулаж, Афонсо, Пинхо и др. направлены на изучение эффектов течений жидкостей с разными свойствами в микроканалах. В их работах приведены теоретические и экспериментальные исследования течения упруговязких жидкостей в каналах различной формы, в том числе и в Т-образных каналах.

Актуальность проблемы связана, прежде всего, с интенсивным развитием микрофлюидных устройств. Их конструкция определяется теми операциями, которые планируется провести; но в основе любого устройства лежит организация течения жидкости по микроканалам. Чаще всего, такие жидкости являются неньютоновскими. Эти жидкости обладают свойствами аномалии вязкости, упругости, и для них возможно возникновение различных эффектов.

^елью настоящего исследования является изучение эффекта потери симметрии течения упруговязкой жидкости в плоском симметричном разветвляющемся канале.

Для достижения сформулированной цели были поставлены следующие забани:

* Провести тестовые расчеты эталонной задачи течения жидкости в сужающемся устройстве на проверку адекватности моделей Oldroyd-B и FENE-P;

9

* Смоделировать расходящееся и сходящееся течения упруговязкой жидкости с использованием моделей Oldroyd-B и FENE-P в симметричном канале;

* Изучить влияние параметров моделей на течение жидкости;

* Получить графики линий тока и распределения основных реологических характеристик жидкости, влияющих на степень ориентации макромолекул в зоне ветвления канала;

* Провести сравнение полученных результатов.

В соответствии с поставленными задачами работа включает в себя следующие разделы:

Д лороой представлен краткий обзор существующих численных и экспериментальных результатов моделирования течения упруговязких жидкостей в плоских каналах. Показано, что для неньютоновских жидкостей при определенных значениях числа возникает потеря симметрии течения в симметричном канале. Данный эффект может быть как положительным, так и отрицательным эффектом в зависимости от области приложения. Исходя из этого, были рассмотрены основные области применения разветвляющихся каналов, а так же основные подходы к построению реологических моделей упруговязких жидкостей и программный комплекс, с помощью которого проведены численные эксперименты с указанием численного метода и схем дискретизации по времени и пространству. Приведены результаты численного моделирования эталонной задачи течения жидкости в канале с резким 4:1, 8:1, 16:1 сужением для обоснования использования выбранных моделей течения упруговязких жидкостей Oldroyd-B и FENE-P.

До опорой 2ЛЙЯО представлена математическая постановка задачи с приведением определяющих уравнений к безразмерному виду. Рассматриваются граничные условия, построение расчетной области, обсуждаются критерии сходимости и устойчивости.

10

Д ^рс^ьс представлены результаты моделирования

расходящегося течения упруговязкой и ньютоновской жидкостей в плоском симметричном канале с каверной и без нее. Показаны изолинии основных величин (разность главных напряжений, первая разность нормальных напряжений и др.), их распределения по сечениям в канале. Представлена кривая неустойчивости.

Д ч^яср^ой представлены результаты моделирования

сходящегося течения жидкостей, представленной моделью ньютоновской жидкости, моделями жидкостей Oldroyd-B и FENE-P.

Научная новизна состоит в том, что впервые получены новые данные о влиянии свойств упруговязких жидкостей на потерю симметрии расходящегося и сходящегося потока жидкости в симметричном канале, на картину течения и на распределения напряжений в центральной части канала и на подходе к месту ветвления канала. Были получены результаты моделирования для модели ньютоновской жидкости, для модели Oldroyd-B, предсказывающей только упругие свойства жидкости, и для модели FENE-P, предсказывающей аномалию вязкости, упругие свойства, а так же зависимость продольной вязкости от скорости продольного деформирования. Была построена кривая неустойчивости для расходящегося течения жидкости, описываемой моделью FENE-P.

Практическая значимость заключается в том, что для эффективного использования разветвляющихся каналов в технических устройствах, промышленных процессах и при проведении хирургических операций необходимо хорошо понимать эффекты, возникающие при течении упруговязких жидкостей в канале. В зависимости от сферы применения потеря симметрии течения может быть как положительным эффектом, так и отрицательным. К примеру, при производстве лекарственных средств указанный эффект будет нежелательным, так как в таком случае конечный продукт будет иметь состав, отличный от требуемого. В то же время, при проведении экспресс-анализов требуется

11

отделить одни частицы от других, в таком случае потеря симметрия -благоприятный эффект. Поэтому численное моделирование является неотъемлемой частью изучения течения жидкостей в разветвляющихся каналах, а полученные результаты могут быть применимы во многих сферах человеческой деятельности.

Акором енереые:

+ проведены численные эксперименты течения упруговязких жидкостей моделей Oldroyd-B и FENE-P в разветвляющемся плоском симметричном канале с различной высоты каверны;

+ получены новые данные о влиянии неньютоновских свойств жидкости на потерю симметрии потоком жидкости в симметричном канале при Re<<1;

+ рассчитаны основные характеристики потока, такие как скорости, первая разность нормальных напряжений, разность главных напряжений, касательные напряжений и давление.

^ос^ояернос^ь полученных резуль^а^ое гарантируется применением современных методов моделирования, базирующихся на общих законах сохранения, обоснованностью используемых допущений, учитывающих особенности течения полимерных расплавов. Достоверность полученных результатов подтверждается путем сравнения полученных результатов с экспериментальными и теоретическими данными других авторов.

Да за^и^у еыносн^ся результаты численного моделирования течений жидкости моделей ньютоновской жидкости, Oldroyd-B и FENE-P. При этом представлены следующие результаты:

1. Сформулирована математическая постановка задачи нестационарного изотермического течения жидкостей.

2. Приведены контурные графики, характеризующие влияние реологических свойств жидкостей, представленных различными

12

моделями, на распределения напряжений, ориентацию и распутывание макромолекул полимера в месте ветвления канала.

3. Показано влияние параметров модели на поведение потока жидкости.

Алройл^ил. Основные положения диссертационной работы были представлены и обсуждались на семинарах, международных, всероссийских и региональных конференциях и симпозиумах:

1.Международная научно-практическая конференция «Проблемы и перспективы развития химии, нефтехимии и нефтепереработки», г. Нижнекамск, апрель 2014г.

2.IV конференция молодых специалистов «Инновация и молодежь - два вектора развития отечественной нефтехимии», г. Нижнекамск, май 2014г.

3.IX школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова, г. Казань, 2014 г, 2016 г.

4. Международная научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные науки сегодня», North Charleston, USA, 2015г., 2016г.

5. XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Казань, август 2015г.

6. Научная сессия ФГБОУ ВО КНИТУ (КХТИ), г. Казань, 2-6 февраля 2016 г.

7. Городской семинар по теоретической механике, КНИТУ (КАИ), г. Казань, апрель 2016 г.

8.IX Международная научно-практическая конференция «Современное состояние и перспективы инновационного развития нефтехимии», г.Нижнекамск, 5-7 апреля 2016 г.

9. XXVIII Симпозиум по реологии , г. Москва, 28 сентября - 2 октября 2016г.

Личный якллй ля^орл о району.

Все результаты были получены лично автором. Использованные материалы других авторов помечены ссылками. В постановке целей и задач принимал участие научный руководитель д.т.н., с.н.с., профессор кафедры «Теоретическая механика и сопротивление материалов» Тазюков Ф.Х.

13

СоЭаржлниа районы.

По теме диссертации имеется 9 публикаций. Основное содержание диссертации изложено в работах:

Научные с^й^ьм, онублмнонлнные е неЭу^мх ре^ензмруе^ых научных ^урноллх м мзЭлнмях, рено^енЭонлнных ВПА:

1. Кутузова Э.Р. Динамика течения упруговязкой жидкости через плоское 8:1 сужение / Э.Р. Кутузова, Ф.Х. Тазюков, Х.А. Халаф // Вестник Казанского технологического университета. - 2014.- № 16-Т. 17. - С. 83-85.

2. Тазюков Ф.Х. Потоки вязкоупругих жидкостей моделей Oldroyd-B и FENE-P / Ф.Х. Тазюков, Э.Р. Кутузова, Б.А. Снигерев // Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - № 18 - Т. 17- С. 118 - 120.

3. Кутузова Э.Р. Течение вязкоупругой жидкости модели FENE-P в несимметричном канале с сужением 4:1 / Э.Р. Кутузова, Ф.Х. Тазюков // Вестник Казанского технологического университета.- 2015.- № 19. - Т. 18-С.117-119.

4. Тазюков Ф.Х. Потеря симметрии течения упруговязкой жидкости плоском Т-образном канале / Ф.Х. Тазюков, Э.Р. Кутузова, G.C. Layek // Труды Академэнерго. - 2016. - № 2. - С. 20-28.

5. Кутузова Э.Р. Расходящееся течение неньютоновской жидкости / Э.Р.Кутузова, Ф.Х. Тазюков, Б.А. Снигерев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2016. - № 3. - С. 59-64.

Районы, олуйяикоялнныа я Эру^их изЭлнилх.

6. Кутузова Э.Р. Течение неньютоновской жидкости в несимметричном плоском канале /Э.Р. Кутузова, Ф.Х. Тазюков, Ф.А. Гарифуллин // В сборнике: XI Всероссийская съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - 2015. - С. 2220-2222.

7. Кутузова Э.Р. Постановка задачи течения вязкоупругой жидкости модели Oldroyd-B в 2D и 3D каналах / Э.Р. Кутузова, Г.Н. Лутфуллина, Ф.Р. Карибуллина, Ф.Х. Тазюков // В сборнике: Фундаментальные и прикладные

14

науки сегодня. Материалы VII международной практической конференции. -2016. - С. 139-141.

8. Кутузова Э.Р. Моделирование течения вязкоупругой жидкости модели Oldroyd-B / Э.Р. Кутузова, Ф.Х. Тазюков, Г.Н. Лутфуллина, Ф.Р. Карибуллина // В сборнике: Фундаментальные и прикладные науки сегодня. Материалы VII международной практической конференции. -2016. - С. 142144.

9. Кутузова Э.Р. Особенности течения упруговязкой жидкости в месте разветвления канала / Э.Р. Кутузова, Ф.Х. Тазюков // В сборнике: Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Материалы X школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е.Алемасова. - 2016. - С.85-89.

Работа выполнена в Казанском национальном исследовательском технологическом университете на кафедре «Теоретическая механика и сопротивление материалов».

Автор выражает глубокое почтение и искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору, доктору технических наук Тазюкову Фаруку Хоснутдиновичу за постоянное участие в обсуждении полученных результатов, за критику, которая способствовала написанию работы, соответствующей уровню кандидатской диссертации, и за проявленное терпение.

Автор выражает особую благодарность одному из самых компетентных специалистов в области реологии полимеров, д.т.н., заслуженному деятелю науки и техники РФ и РТ Гарифуллину Фаату Асадулловичу. Проявленное внимание к работе, положительная критика и замечания позволили улучшить качество диссертационной работы и публикаций.

Автор выражает особую благодарность д.т.н. Снигереву Борису Александровичу за проявленный интерес к работе и консультации по

15

использованию современных технических средств, применительно к моделированию проблем реологии.

Автор выражает благодарность профессору Горачанду Лайеку (Gorachand Layek) за внимание к работе и ценные замечания.

Автор также выражает благодарность всем своим соавторам. Совместная коллективная работа в области реологии жидкостей помогла автору дополнить, улучшить и завершить начатый научный труд.

16

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

В последние десятилетия наблюдается огромный интерес к течениям упруговязких жидкостей в разветвляющихся каналах. Примером таких жидкостей являются полимерные растворы, биологические жидкости, химические реагенты и т.д. Результаты, полученные при моделировании таких жидкостей, могут быть использованы как для макро-, так и для микросистем. Особенно интересной является задача о течении упруговязких жидкостей в симметричных разветвляющихся каналах.

В данной главе представлен обзор основных работ по исследованию упруговязких течений в Т-образных каналах, инженерных приложениях, включающих в себя разветвляющиеся каналы, а так же описание используемых для получения решения программного комплекса OpenFoam и численного метода.

1.1. Построение моделей жидкостей, основанных на механике сплошной среды

Математическое моделирование течения полимерных жидкостей включает в себя построение эффективных численных методов для компьютерного анализа течений неньютоновских жидкостей [3, 6, 9]. Выбор адекватной модели жидкости является важнейшим фактором для получения достоверных результатов и напрямую зависит от выбора подхода к построению реологического конститутивного соотношения. При численном моделировании необходимо определить, каким образом может быть применим математический аппарат исследования непрерывных функций для исследования движения частиц, имеющих молекулярное строение. Постулат Даламбера-Эйлера [4, 5], именуемый в литературе как гипотеза сплошности, дает ответ на этот вопрос и гласит, что при изучении направленного движения жидкостей и сил взаимодействия их с твердыми телами жидкости можно рассматривать как сплошную среду (континуум), лишенную

17

межмолекулярных пространств. Данная гипотеза является

основополагающей в механике сплошной среды [6, 7].

Полимерные растворы при течении показывают эффекты, не свойственные ньютоновским жидкостям, и являются упруговязкими материалами. Особенности полимерных растворов связаны со способностью макромолекул изменять свою конформацию. Эволюция микроструктуры существенно влияет на свойства полимерного раствора, хотя они [свойства] определяются не свойством одной отдельно взятой макромолекулы, а их взаимным расположением. Отличием таких жидкостей от ньютоновских является наличие памяти, то есть возникающие в потоке жидкости напряжения зависят от предыстории деформирования. Математические модели жидкостей, игнорирующие межмолекулярное взаимодействие, для связи напряжений с историей деформации используют реологические конститутивные соотношения. Построение таких соотношений основано на ряде принципов, центральное место среди которых занимает принцип материальной объективности. Суть этого принципа заключается в инвариантности материальных свойств к системам отсчета [4, 6, 8 - 12].

При построении моделей, основанных на этой гипотезе,

определяющими уравнениями являются:

1) Уравнение сплошности:

+V -(рй)= 0, (1.1)

2) Уравнение сохранения импульса:

V-(- - J +т)= 0. (1.2)

3) Соотношение, связывающее тензор скоростей деформации и тензор напряжений, вид которого зависит от выбранной модели жидкости.

18

1.1.1. Модель ньютоновской жидкости

Течения жидкостей описывается уравнениями движения и неразрывности. Для чисто вязких жидкостей касательные напряжения и градиент скорости линейно зависимы, а уравнения движения называются уравнениями Навье-Стокса.

+ = (1.3)

о?

Уй=0 (1.4)

Полное напряжение, именуемое в литературе так же как тензор Коши,

можно представить в виде суммы шарового тензора, отвечающего за

изменение объема, и девиатора напряжений, отвечающего за изменение

формы:

(Т = -/? / + т ,

(1.5)

Схема течения ньютоновской жидкости в упрощенном виде представлена на рис. 1. Нижняя стенка зафиксирована, в то время как под действием приложенной силы верхняя движется с некоторой скоростью.

у

с

й

Рисунок 1.1 - Течение ньютоновской жидкости

При ламинарном режиме течения каждый последующий слой жидкости (при движении от верхней стенки к нижней) будет двигаться с меньшей скоростью. Коэффициент пропорциональности между касательным напряжением и тензором скоростей деформации называется динамической вязкостью 7/ .

19

Реологическое соотношение для ньютоновских жидкостей будет выглядеть следующим образом:

f = 2^D. (1.6)

Особенности течения ньютоновской жидкости:

* скорость сдвига у линейно зависит от напряжения сдвига;

* продольная скорость с постоянна и пропорциональна сдвиговой;

* вязкость жидкость постоянна;

* при течении жидкости нормальные напряжения не возникают,

следовательно 1 = = 0 и 2 = = 0.

1.1.2. Модель упруговязкой жидкости Oldroyd-B

Жидкости, для которых реологическое конститутивное соотношение будет отлично от вязких жидкостей (1.6), называются неньютоновскими. Модель жидкости Oldroyd-B описывает поведение разбавленных полимерных растворов. По принципу расщепления напряжений девиатор напряжения ~ записывается в виды суммы вязкой (ньютоновской) компоненты напряжения и упруговязкой (неньютоновской) компоненты напряжения т , [13]. Аналогично напряжениям вязкость раствора представляется в виде суммы вязкости растворителя и вязкости полимера % =% .

Реологическое конститутивное соотношение Oldroyd-B запишется как:

+ ^~, = , (1.7)

Гр = ^^- + 'V ~~ ~. (1.8)

Выражение для ньютоновской составляющей напряжения записывается в виде:

~ = 2^..~ (1.9)

20

Реологическая модель Oldroyd-B используется для описания поведения полимерных растворов и предсказывает следующие свойства потока жидкости:

1) вязкость полимерной жидкости не обладает свойством аномалии вязкости, то есть суммарная вязкость раствора % является постоянной сдвиговой вязкостью;

2) напряжения, возникающие в жидкости, обладают конечным временем релаксации;

3) наличие постоянной продольной вязкости.

Реологическая модель Oldroyd-B может быть построена как при помощи подхода, основанного на механике сплошной среды, так и с помощью микроструктурного подхода (кинетическая теория) [14 - 16].

1.2. Построение моделей жидкостей, основанных на броуновской динамике

Подходы построения моделей жидкостей, основанных на молекулярнокинетической теории, исследуют эволюции как отдельных макромолекул, так и их скоплений, и игнорируют межатомные взаимодействия. Эта теория применима к жидкостям и газам и строится на основе положения о том, что все тела состоят из мельчайших частиц (атомов, молекул и ионов), которые находятся в непрерывном хаотическом движении. Броуновское движение частиц является одним из основных доказательств положений молекулярнокинетической теории [17-22].

Полимерами называют соединения, состоящие из макромолекул, образующих последовательности мономерных звеньев. Особенность полимерных макромолекул заключается в их цепном строении, что определяет химические и физические свойства полимерного раствора. Кроме того, именно благодаря тому, что макромолекулы могут принимать различные пространственные формы, возможно проявление таких свойств

21

как гибкость, эластичность, набухание, пленко- и волокнообразование и т.д. Особенности такого строения заключаются в ограничении траснляционного движения, что обуславливает пониженную энтропию полимерной системы, что в свою очередь вызывает упорядочивание макромолекул.

Полимерные макромолекулы имеют характерные размеры порядка 10100 нм, исключением из этого правила является молекула ДНК, размеры которой могут достигать от 0,5 до 10 мкм [23-25].

На рис. 1.2 представлены топологии полимерных макромолекул:

Рисунок 1.2 - Топологии полимерных молекул: а) линейная; б) разветвленная; в) сетчатая

Полимеры (а) и (б) обладают гибкостью и эластичностью. Это объясняется тем, что за счет ординарных связей атомы обладают способностью вращаться. Полимеры с линейной структурой легко размягчаются, растворяются и плавятся и по праву считаются самыми прочными. Примерами линейных структур являются полиэтилен низкого давления, волокна, пластическая сера.

22

Ветвления в структуре полимеров препятствуют сближению макромолекул, поэтому в сравнении с линейными полимерами они обладают меньшей вязкостью и прочностью. Примерами полимеров таких структур являются крахмал, полиэтилен высокого давления.

Сетчатые полимеры имеют узлы зацепления макромолекул, называемые сшивками, которые могут разрушаться под воздействием температур и при набухании. Отличительной особенностью таких полимеров является то, что они не плавятся без разложения, не растворяются, а их физические и химические свойства напрямую связаны с количеством сшивок. К полимерам с сетчатой топологией относят резину, фенолформальдегидные смолы, кварц [26-28].

1.2.1. Механическая модель Рауза

Исходя из многообразия теоретических представлений о строении полимерных макромолекул, выделяют не меньшее количество моделей, интерпретирующих структуру макромолекул. Остановимся на механических моделях для линейных полимеров. Одним из идеализированных представлений молекулярных цепочек является свободно-сочлененная модель полимерной цепи, которая состоит из 7V звеньев, последовательно связанных между собой, длиной / (рис. 1.3).

Рисунок 1.3- Модель Рауза

23

Полимерную макромолекулу можно разбить на V-ное количество куновских сегментов. Каждый участок может рассматриваться как гауссов клубок [29, 30], при деформации которого возникают препятствующие деформации силы. Это и определяет поведение сегмента как пружинки. Определим размеры полимерного клубка. Вектор , соединяющий концы полимерной цепочки, определяется как:

_ V

^v = Х , (1.10)

;=о

где V - количество звеньев в цепи, Z - порядковый номер сегмента.

Для упрощения примем, что длины сегментов одинаковые ]^] = Z. По правилу сложения векторов ^v можно определить как

^v = ^v-1 + ^V' (1.11)

Исходя из случайности поворота звеньев в цепочке, среднее расстояние между концами полимерной цепочки = 0. Размер полимерного клубка

определяется как , так как равновероятно может быть реализовано как положение ^v, так и - ^v. Тогда среднее расстояние определится как:

=(д2_1)+z2, (1.12)

Длину молекулярной цепочки можно представить как произведение количества сегментов в цепи на длину каждого сегмента Z:

L = V ' Z. (1.13)

Подставляя выражение (1.13) в формулу (1.11) получим, что средний размер молекулярной цепочки может быть представлен как:

Rv = L1/2 ' Z1/2. (1.14)

24

1.2.2. Механическая модель «гибкая гантель»

Существует более идеализированное представление полимерной макромолекулы - механическая модель «гибкая гантель». Она представляет собой две бусинки, соединенные между собой пружинкой (рис. 1.4).

Рисунок 1.4- Схема гибкой гантели

Разбавленный раствор подразумевает отсутствие взаимодействия макромолекул полимера между собой. Таким образом, поведение гибкой гантели определяется ее взаимодействием с растворителем, который является вязкой средой, то есть ньютоновской жидкостью.

Рассмотрим движение полимерной макромолекулы в растворителе. Гибкая гантель будет двигаться под действием упругих сил, сил трения Стокса и случайных сил. Тогда согласно уравнению движения обтекания частицы, уравнение движения можно записать в следующем виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кутузова, Эльвира Ризилевна, 2016 год

Список использованной литературы

1. Stone Н.А. Microfluidic: Basic issues, Apllications and Challenges / H.A.Stone, S. Kim // А1СҺЕ Journal. - 2001. - T. 47. - №. 6. - C. 1250-1254.

2. Matsumoto T. Stress birefringence in amorphous polymers under nonisothermal conditions / T. Matsumoto, D. C. Bogue // Journal of Polymer Science: Polymer Physics Edition. - 1977. - V. 15. - №. 9. - P. 1663-1674.

3. Soulages J. Investigating the stability of viscoelastic stagnation flows in T-shaped microchannels / J. Soulages, M.S.N. Oliveira, P.C. Sousa, G.H. McKinley // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2009. - T. 163. - №. 1. - C. 9-24.

4. Кутузов AT. Основы прикладной реологии полимеров и ее применение для решения технологических задач // Казань: РИЦ «Школа». - 2006. - 168 с.

5. Мхитарян А. М. Аэродинамика //М.: Машиностроение. - 1976. - С. 217-232.

6. Седов Л. И. Механика сплошной среды (том 1). - 1970.

7. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. - 1977.

8. Снигерев Б. А. Численное моделирование течения упруговязкой жидкости в вискозиметре с падающим грузом / Б.А. Снигерев, Ф. X. Тазюков, М. А. Кутузова // Вестник Казанского технологического университета. - 2007. - №. 1. - С. 74-85.

9. Снигерев Б.А. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью / Б.А. Снигерев, Ф. X. Тазюков, А. Г. Кутузов, Амер Аль Раваш // Вестник Казанского технологического университета. - 2007. - №. 1. -С. 86-93.

10. Гарифуллин Ф. А. Механика неньютоновских жидкостей // Казань : Фэн, 1998. - 416 с.

11. Снигерев Б. А. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью / Б.А. Снигерев, Ф. X. Тазюков, А. Г. Кутузов, Амер Аль Раваш // Вестник Казанского технологического университета. - 2007. - №. 1. -С. 86-93.

121

12. Гарифуллин Ф. А. Механика неньютоновских жидкостей // Казань : Фэн, 1998. - 416 с.

13. Graessley W. W. The entanglement concept in polymer rheology // The Entanglement Concept in Polymer Rheology. - Springer Berlin Heidelberg. -

1974. - P. 1-179.

14. Baaijens F. P. T. Analysis of viscoelastic polymer melt flow / F. P. T. Baaijens, W. M. H. Verbeeten, G. W. M. Peters // Glasgow: British Society of Rheology. - 2000. - P. 1023-1028.

15. Keunings R. Micro-macro methods for the multiscale simulation of viscoelastic flow using molecular models of kinetic theory //Rheology reviews. -2004. - P. 67-98.

16. Bird R. B. Transport properties of polymeric liquids / R. Bird, H. C. Ottinger //Annual Review of Physical Chemistry. - 1992. - Т. 43. - №. 1. - P. 371-406.

17. Einstein A. The theory of the brownian movement //Ann. der Physik. -1905. - Т. 17. - 549 pp.

18. Curtiss C. F. A kinetic theory for polymer melts. I. The equation for the single-link orientational distribution function / C. F. Curtiss, R. B. Bird // The Journal of Chemical Physics. - 1981. - Т. 74. - №. 3. - P. 2016-2025.

19. Bird R. B. Dynamics of polymeric liquids / R. B. Bird, R.C. Armstrong, O.Hassager // Wiley-Interscience. - 1977. - Т. 1. - 649 pp.

20. Doi M. The theory of polymer dynamics / S. F. Edwards // Oxford university press. - 1988. - Т. 73. - 403 pp.

21. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей // Рипол Классик. -

1975. - 582 c.

22. Капралова В. М. Химия и физика макромолекул / В. М. Капралова, В. И. Косяков // СПб.: - Издательство политехнического ун-та. - 2008. - 327 с.

23. Кревелен Д. В. В. Свойства и химическое строение полимеров / Д.В.В. Кревелен, Ф. Ф. Ходжеванов, А.Л. Малкин // М.: Химия. - 1976.- 416 с.

122

24. Даринский А. А. Броуновская динамика моделей полимерных цепей с жесткими связями / А.А. Даринский, И.М. Неелов, Л.И. Клушин // Математические методы для исследования полимеров: материалы II Всесоюзного совещания. - 1982. - С. 87.

25. Волькенштейн М. В. Молекулярная биофизика // М.: Наука. - 1975. -616 с.

26. Тутов И. И. Химия и физика полимеров // М.: Химия. - 1989. - 432 с.

27. Марихин В. А., Надмолекулярная структура полимеров / В. А. Марихин, Л.П. Мясникова, С.Я. Френкель // СПб.: Химия. - 1977. - 240 с.

28. Дашевский В.Г. Конформационный анализ макромолекул. / М.: Наука. - 1982.- 272ц

29. Kuhn W. uber die gestalt fadenformiger molektile in losungen // Kolloid-Zeitschrift. - 1934. -T. 68. -№. 1. -P. 2-15.

30. Кутузов А. Г. Течение неньютоновских жидкостей в рабочих каналах машин по переработке полимерных материалов: дис. ... докт. техн, наук: 01.02.05. - Казань, 2010.

31. Гарифуллин Ф.А. Макромолекулы и реологические уравнения // Казань, КГТУ. - 2008. - 536 с.

32. Van Heel А. Р. G., On the selection of parameters in the FENE-P model / A.P.G. Van Heel, M. A. Hulsen, B. Van den Brule // Journal of Non-Newtonian fluid mechanics. - 1998. - T. 75. - №. 2. - P. 253-271.

33. Башкиров А. Г., Статистический вывод уравнения Крамерса-Фоккера-Планка / А. Г. Башкиров, Д. Н. Зубарев // Теоретическая и математическая физика. - 1969. - Т. 1. - №. 3. - С. 407-420.

34. Tanner R. I. Rheology: an historical perspective / R. I. Tanner, K. Walters // Elsevier. - 1977. - 429 pp.

35. Giesekus H. Die elastizitat von fltissigkeiten //Rheologica Acta. - 1966. -T. 5. -№. 1. -C. 29-35.

123

36. Warner Jr H. R. Kinetic theory and rheology of dilute suspensions of finitely extendible dumbbells //Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals. - 1972.-T. ll.-№. 3.-C. 379-387.

37. Кутузов А. Г. Реологическая модель FENE-P для описания вязкоупругих свойств полимера, перерабатываемого в экструдере / А.Г.Кутузов, С.А. Кутузов, ЭР. Кутузова // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - Т. 16. - №. 12. - С. 191-196.

38. Alves М. A. On the effect of contraction ratio in viscoelastic flow through abrupt contractions / M. A. Alves, P. J. Oliveira, F T. Pinho //Journal of non-newtonian fluid mechanics.-2004.-T. 122.-№. l.-C. 117-130.

39. Larson R. G. A purely elastic instability in Taylor-Couette flow / R. G. Larson, E. S. G. Shaqfeh, S.J. Muller // Journal of Fluid Mechanics. - 1990. - V. 218.-P. 573-600.

40. Alves M. A. Divergent flow in contractions / M. A. Alves, R.J. Poole // Journal of Non-Newtonian fluid mechanics. - 2007. - V. 144. - №. 2. - C. MO-148.

41. McKinley G. H. Rheological and geometric scaling of purely elastic flow instabilities / G. H. McKinley, P. Pakdel, A. Oztekin A. //Journal of NonNewtonian Fluid Mechanics. - 1996. - V. 67. - P. 19-47.

42. Рудяк В.Я. Моделирование течений в микромиксерах / В.Я. Рудяк, А.В. Минаков, А.А. Гаврилов, А.А. Дектерев // Теплофизика и аэромеханика. -2010.-Т. 17.-№.4.-С. 601-612.

43. Haward S.J. Stagnation point flow of wormlike micellar solutions in a microfluidic cross-slot device: effects of surfactant concentration and ionic environment / S.J. Haward, G.H. McKinley // Physical Review E. - 2012. - T. 85. -№. 3. -P. 031502.

44. Poole R. J. Symmetry-breaking bifurcations in T-channel flows: effects of fluid viscoelasticity / R. J. Poole, S. J. Haward, M.A. Alves // Procedia Engineering. - 2014. - T. 79. - P. 28-34.

124

45. Павлова О.Е. Гемодинамика и механическое поведение бифуркации сонной артерии с патологической извитостью / О.Е. Павлова, Д.В. Иванов, А.А. Грамакова, А.А. Морозов, И.И. Суслов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. -2010. - Т. 10. - №. 2. - С. 66 - 74.

46. Misra J. С. Effect of magnetic field on blood flow through an artery: A numerical model / J.C. Misra, G. C. Shit //Вычислительные технологии. - 2007. -Т. 12.-№. 4.-С. 3-16.

47. Егоров В.А. Течение крови в микрососудистой сети мышцы при регуляторных реакциях: квазистационарные задачи / В.А. Егоров, С.А. Регирер, И Х. Шадрина // Изв. АН. Механика жидкости и газа. - 1993. - №. 1. -С. 137-145.

48. Бунин А. Я. Гемодинамика глаза и методы ее исследования // М.: Медицина. - 1971. - Т. 196. - С. 46.

49. Чернух А. М. Микроциркуляция / А. М. Чернух, И.И. Александров, О.В. Алексеев // М.: Медицина. - 1975. - 456 с.

50. Иванов К. И. Роль лейкоцитов в динамике микроциркуляции в норме и при патологии / К.П. Иванов, Н И. Мельникова // Журнал общей биологии. -

2004.-Т. 62.-№. З.-С. 3-13.

51. Руденко С. В. Агрегация эритроцитов как модель агрегации тромбоцитов //Биологические мембраны: Журнал мембранной и клеточной биологии. - 2006. - Т. 23. - №. 1. - С. 60-68.

52. Ашкинази И. Я. Агрегация эритроцитов и тромбопластинообразование // Бюлл. экспер. биологии и медицины. - 1972. - №. 7. - С. 28-31.

53. Муравьев А. В. Роль микрореологических свойств эритроцитов в неньютоновском поведении цельной крови / А.В. Муравьев, И.А.Тихомирова, П.В. Михайлов, А.А. Маймистова // Российский журнал биомеханики. - 2010. - Т. 14. - №. 4. - С. 50.

54. Гарифуллин Ф.А. Реология и реометрия. / Ф.А. Гарифуллин, Ф.Х. Тазюков // Казань: Идель-Пресс. - 2013. - 384 с.

125

55. Tazyukov F.Kh. Non-Newtonian flow of blood through a symmetric stenosed artery / F.Kh. Tazyukov, Jafar M. Hassan, H.A. Khalaf, B.A. Snigerev // Russian Journal of Biomechanics. - 2012. - v. 16(1). - p. 46-57.

56. Tazyukov F.Kh. Non-Newtonian flow of blood through a symmetric stenosed artery / F.Kh. Tazyukov, Jafar M. Hassan, H.A. Khalaf, B.A. Snigerev // Russian Journal of Biomechanics. - 2012. - v. 16(1). - p. 46-57.

57. Халаф Х. А. Нелинейные явления при течении обобщенной ньютоновской жидкости в плоском канале / Х.А. Халаф, Ф.Х. Тазюков, К.М. Алиев // Труды Академэнерго. - 2012. - №1. - С.44-50.

58. Шадрина Н. Х. О влиянии реологических и миогенных факторов на кровоток в резистивном сосуде // Российский журнал биомеханики. - 2013. -Т. 17. - №. 4. - С. 8-21.

59. Лин А. К вопросу о распределении скоростей частиц в сдвиговом потоке при малой объёмной доле частиц / А. Лин, А. И. Лобанов // Труды МФТИ. - 2014. - Т. 6. - С. 2.

60. Гончаренко А. Неизвестное сердце // Техника молодежи - 2004. - № 9. - С. 18-28.

61. Кухтевич И.В. Микрофлюидные чипы с интегрированными наноразмерными структурами для фиксации биологических объектов / И.В. Кухтевич, А.С. Букатин, И.С. Мухин, А.А. Евстрапов // Научное приборостроение. - 2011. - Т. 21. - №. 3. - С. 17-22.

62. Кухтевич И.В. Микрофлюидные устройства для исследования клеток (обзор) / И.В. Кухтевич, А.А. Евстрапов, А.С. Букатин // Научное приборостроение. - 2013. - Т. 23. - №. 4. - С. 66-75.

63. Белоусов К. И. Моделирование процессов массопереноса и фиксации микрочастиц в микрофлюидных чипах с гидродинамическими ловушками / К. И. Белоусов, И. В. Кухтевич // Письма в журнал технической физики. -2015. - Т. 41. - № 5. - С. 103-110.

64. Glawdel T. Microfluidic system with integrated electroosmotic pumps, concentration gradient generator and fish cell line (RTgill-W1)—towards water

126

toxicity testing / T. Glawdel , C. Elbuken, L.E. Lee, C.L. Ren // Lab on a Chip. -2009. - T. 9. - №. 22. - C. 3243-3250.

65. Kinoshita H. Miniaturization of integrated microfluidic systems / H. Kinoshita, K. Aoki, I. Yanagisawa, T. Fujii // Proc. 14th International Conference on Miniaturized Systems for Chemistry and Life Sciences. - 2010. - C. 3-7.

66. Becker H. Polymer microfluidic devices / H. Becker, L.E. Locascio // Taianta. - 2002. - T. 56. - №. 2. - C. 267-287.

67. Nguyen N.T. Micromixers — a review / N.T. Nguyen, Z. Wu //Journal of Micromechanics and Microengineering. - 2004. - T. 15. - №. 2. - C. Rl.

68. Hessel V. Micromixers—a review on passive and active mixing principles / V. Hessel, H. Lowe, F. Schonfeld // Chemical Engineering Science. - 2005. - T.

60.-№. 8.-C. 2479-2501.

69. Минаков А. В. Смешение в микромиксере Т-типа при умеренных числах Рейнольдса /А.В. Минаков, В.Я. Рудяк, А.А. Гаврилов, А.А. Дектерев // Теплофизика и аэромеханика. - 2012. - Т. 19. - №. 5. - С. 577-587.

70. Tabeling Р. Introduction to microfluidics // Oxford University Press. -

2005.-301 pp.

71. Karniadakis G. Microflows and nanoflows / G. Kamiadakis, A. Beskok, N. Aluru // Springer. - 2005. - V. 29. - 824 pp.

72. Li D. Encyclopedia of microfluidics and nanofluidics // Springer. - 2008. -2242 pp.

73. Vanka S. P. Numerical study of scalar mixing in curved channels at low Reynolds numbers / S. P. Vanka, C M. Winkler, G. Luo //А1СҺЕ journal. - 2004. -T. 50.-№. 10.-C. 2359-2368.

74. Aubin J. Design of micromixers using CFD modelling / J. Aubin, D.F. Fletcher, C. Xuereb //Chemical Engineering Science. - 2005. - T. 60. - №. 8. - C. 2503-2516.

75. Jimenez J. The growth of a mixing layer in a laminar channel //Journal of Fluid Mechanics. - 2005. - T. 535. - C. 245-254.

76. Минаков А.В. Численное моделирование химического реагирования в

127

микроканалах при высоких числах Рейнольдса / А.В. Минаков, В.Я. Рудяк, А.А. Гаврилов, А.А. Дектерев // Сборник тезисов докладов конференции: Фундаментальные основы мэмс- и нанотехнологий. - 2011.

77. Minakov A.V. On optimization f Mixing Process of Liquids in Microchannels / A.V. Minakov, V.Ya. Rudyak, A.A. Gavrilov, A.A. Dekterev // Journal of Siberian federal university of mathematics and physics. -2010. - №3-P. 146-156.

78. Рудяк В.Я. Моделирование течений в микромиксерах / В.Я. Рудяк, А.В. Минаков, А. А. Гаврилов, А. А. Дектерев // Теплофизика и аэромеханика. - 2010. - № 4. - Р. 601-612.

79. McKinley G. Н. Rheological and geometric scaling of purely elastic flow instabilities / G. H. McKinley, P. Pakdel, A. Oztekin // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 1996. - № 67. - Р. 19M7.

80. Groisman A. Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives / A. Groisman, V. Steinberg // Nature.- 2001. - V. 410. -P. 905-908.

81. Ozterkin A. Stability of planar stagnation flow of a highly viscoelastic fluid / A. Ozterkin, B. Alakus, G.H. McKinley // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 1997. -V. 72. - P.1-29.

82. Harris O. J. Instabilities of a stagnation point flow of a dilute polymer solution / O. J. Harris, J.M. Rallison //Journal of Non-Newtonian fluid mechanics. - 1994. - V. 55. - №. 1. - P. 59-90.

83. Pakdel P. Cavity flows of elastic liquids: purely elastic instabilities / P. Pakdel, G.H. McKinley // Physics of Fluids (1994-present). - 1998. - V. 10. - №. 5. -P. 1058-1070.

84. Oliveira M. S. N. Microfluidic Flows of Viscoelastic Fluids / M. S. N. Oliveira, M. A. Alves, F. T.Pinho //Transport and Mixing in Laminar Flows: From Microfluidics to Oceanic Currents. -2011.-C. 131-174.

128

85. Pakdel P. Cavity flows of elastic liquids: purely elastic instabilities / P. Pakdel, G.H. McKinley // Physics of Fluids (1994-present). - 1998. - V. 10. - №. 5. - P. 1058-1070.

86. Pakdel P. Elastic instability and curved streamlines / P. Pakdel, G.H. McKinley // Physical Review Letters. - 1996. - V. 77. - №. 12. - P. 2459.

87. Open C. F. D. OpenFOAM user guide // OpenFOAM Foundation. - 2011. -Т. 2. - №. 1.

88. Favero J. L. Viscoelastic flow simulation: development of a methodology of analysis using the software OpenFOAM and differential constitutive equations // Computer Aided Chemical Engineering. - 2009. - V. 27. - P. 915-920.

89. Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах //М.: Изд-во МЭИ. - 2003. - 312 c.

90. Роуч П. Вычислительная гидродинамика // М.: Мир. - 1980. - 618 с.

91. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей // М.: Мир. - 1991. - 504 с.

92. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред // М.: Наука. - 1994. - 448 с.

93. Формалев В.Ф. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики // М.: Физматлит. - 2015. - 280 с.

94. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е.С. Николаев // М.: Наука. - 1978. - 532 с.

95. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции // Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та. - 1990. - 228 с.

96. Андерсон Д. Вычислительная гидродинамика и теплообмен / Д.Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер // М.: Мир. - 1990. - 384 с.

97. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - 1967.

129

98. Нуриев А. Н. Решение задачи об осциллирующем движении цилиндра в вязкой жидкости в пакете OpenFOAM / А.Н. Нуриев, О.Н. Зайцева // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - Т. 16. - №. 8.

99. Холодов А. С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1980. - Т. 20. - №. 6. - С. 1601-1620.

100. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И. А. Марон, Э.З. Шувалова // М.: Наука. - 1967. - 368 с.

101. Ландау Л. Д. Механика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц // ОГИЗ. Гос. Изд-во техн.-теорет. лит-ры. - 1944. - 624 с.

102. Matallah H. Recovery and stress-splitting schemes for viscoelastic flows / H. Matallah, P. Townsend, M.F. Webster // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 1998. - Т. 75. - №. 2. - С. 139-166.

103. Sun J. Finite element method for viscoelastic flows based on the discrete adaptive viscoelastic stress splitting and the discontinuous Galerkin method: DAVSS-G/DG // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 1999. - V. 86. -№. 3. - С. 281-307.

104. Chen X. Numerical modeling and investigation of viscoelastic fluidstructure interaction applying an implicit partitioned coupling algorithm / X.Chen, M. Schafer, D. Bothe // Journal of Fluids and Structures. - 2015. - Т. 54. - С. 390421.

105. Ianniruberto G. Stress tensor and stress-optical law in entangled polymers / G. Ianniruberto, G. Marrucci // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1998. - V.79. - P. 225-234.

106. Muller R. Stress-optical behaviour near the Tg and melt flow-induced anisotropy in amorphous polymers / R. Muller, J. J. Pesce // Polymer. - 1994. -V.35. - № 4. - P. 734-739.

107. Soulages J. Investigating the stability of viscoelastic stagnation flows in T-shaped microchannels / J. Soulages, M.S.N. Oliveira, P.C. Sousa, G.H. McKinley // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2009. - Т. 163. - №. 1. - С. 9-24.

130