Вычислительные алгоритмы и комплекс программ для численного моделирования течений неньютоновских жидкостей в кольцевом канале тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Гаврилов, Андрей Анатольевич

• Гаврилов, Андрей Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Гаврилов, Андрей Анатольевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Течение жидкости в кольцевом канале

1.1 Математическая постановка задачи. Уравнения движения

1.1.1 Регуляризация модели вязкопластической среды

1.2 Турбулентный режим течения

1.2.1 Осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (RANS)

1.2.2 Моделирование пристеночной турбулентности. Закон стенки

1.3 Турбулентный режим течения неньютоновских сред

1.3.1 Математическая модель

1.3.2 Модель турбулентности

1.3.3 Модель осредненной молекулярной вязкости

1.3.4 Новая модель осредненной вязкости

2 Численный метод

2.1 Метод контрольного объема для уравнения переноса

2.1.1 Дискретизация обобщенного уравнения переноса

2.1.2 Вычисление градиента величины

2.1.3 Дискретизация диффузионного члена

2.1.4 Дискретизация конвективного члена

2.1.6 Построение системы алгебраических уравнений

2.1.7 Процедура нижней релаксации

2.3 Дискретизация уравнений Навье-Стокса для несжимаемых сред

2.3.1 Особенности дискретизации уравнения количества движения

2.3.2 Метод расщепления. SIMPLE процедура

2.3.3 Граничные условия для давления

2.3.4 Процедура коррекции расхода

2.3.5 Процедура исключения продольного градиента давления

2.4 Метод пристеночных функций

3 Течения ньютоновских жидкостей

3.1 Ламинарные течения

3.1.1 Течение в концентрическом канале

3.1.2 Течение в кольцевом канале с эксцентриситетом

3.1.3 Течение в кольцевом канале с эксцентриситетом и вращением внутреннего цилиндра

3.2 Турбулентные течения

3.2.1 Тестирование программы

3.2.2 Развитое турбулентное течение в круглой трубе

3.2.3 Алгоритм построения сетки для расчета турбулентного течения в кольцевом канале83

4 Течения неньютоновских сред

4.1 Ламинарный режим течения

4.2.1 Влияние параметра регуляризации

4.2.2 Течение степенной жидкости в концентрическом кольцевом канале

4.2.3 Течение бингамовской жидкости в концентрическом кольцевом канале

4.2.4 Течение жидкости Гершеля-Балкли в концентрическом кольцевом канале с вращением внутренней трубы

4.2 Турбулентный режим течения

4.2.5 Тестовые расчеты на основе DNS данных

4.2.6 Течение степенной жидкости для больших чисел Рейнольдса

4.3 Винтовые течения неньютоновских сред с доминированием вращательного движения. 107 Основные результаты и выводы диссертационной работы

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЕ Л

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Проекционный метод

Многосеточный метод

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительные алгоритмы и комплекс программ для численного моделирования течений неньютоновских жидкостей в кольцевом канале»

ВВЕДЕНИЕ

За последние два десятилетия численный эксперимент в гидро-газовой динамике как инструмент решения научно-технических задач получил широкое развитие. Такой прогресс стимулирован растущими потребностями в решении прикладных задач в машиностроении и теоретических исследованиях в механике жидкости и газа и стал возможен благодаря высокой производительности современной вычислительной техники и развитию численных методов. Для практических приложений требуется все более точный расчет характеристик рабочих процессов для оценки режимов работы или поиска оптимальных конструкторских и технологических решений. Численный эксперимент позволяет получить информацию о структуре течения и выявить особенности, которые определяют рабочий процесс, при относительно небольших временных, трудовых и материальных затратах. Математическое моделирование не только помогает уменьшить количество необходимых дорогостоящих натурных или лабораторных экспериментов, но и может предоставить уникальные данные, получение которых в натурном эксперименте зачастую невозможно.

Задача о течении жидкости в канале между двумя цилиндрическими трубами является классической задачей гидродинамики, имеющей широкое практическое применение. Примером технических установок, где такие течения имеют место, могут служить теплообменники, подшипники скольжения, центрифуги, некоторые виды миксеров, буровые колонны и т.д. На практике важно знать характеристики течений в широком диапазоне параметров (геометрия капала, свойства жидкости и режим течения), а также их зависимость от этих параметров. Задачу существенно усложняет нсиьютоновская реология рабочей среды, вязкость которой нелинейно зависит от скорости деформации течения. Следует учитывать возможное существование ненулевого порога для напряжения сдвига.

Отсутствие систематических экспериментальных данных относительно турбулентных течений неньютоновских жидкостей инициировало появление работ по численному моделированию течений неныотоновской жидкости. Однако сложность состоит в том, что в настоящее время отсутствует замкнутая, хорошо обоснованная и экспериментально подтвержденная модель турбулентности для неньютоновских сред, в частности, для вязкопластических и псевдопластических жидкостей.

Несмотря на многолетнюю историю изучения данных течений, имеющийся материал все еще не может в полной мере дать необходимую информацию обо всех параметрах течения. В связи с этим необходимо иметь инструментарий, с помощью которого с хорошей точностью и в

широком диапазоне параметров можно было бы предсказывать характеристики течений рассматриваемого класса.

Цель работы заключается в разработке численного алгоритма на основе методов вычислительной гидродинамики и программного обеспечения для моделирования установившихся течений неньютоновских сред в кольцевом канале в широком диапазоне изменения параметров течения.

Задачи, решенные в ходе достижения поставленной цели:

1. Сформулированы математические модели для полностью развитых ламинарных и турбулентных режимов течений нелинейно-вязкопластичных сред в кольцевом канале.

2. Разработан численный алгоритм решения уравнений гидродинамики установившихся течений неньютоновских сред на основе метода конечного объема и методики расщепления.

3. Создан программный комплекс для моделирования течений пеньютоновских сред в кольцевом канале в широком диапазоне изменения параметров течения.

4. Проведена верификация разработанных алгоритмов и программного обеспечения посредством сопоставления результатов численных расчетов с аналитическими решениями, данными экспериментов и результатами, полученными другими авторами.

Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Предложена и численно обоснована оригинальная процедура определения градиента давления для установившихся течений с использованием интегральных балансных соотношений.

2. С использованием осреднения по Рейнольдсу обобщенных уравнений Навье-Стокса сформулирована новая модель осредненной молекулярной вязкости для турбулентных течений неныотоновских жидкостей.

3. Разработан двухшаговый алгоритм построения расчетной сетки для моделирования установившегося турбулентного течения в кольцевом канале.

4. На основе предложенных математических моделей и численных алгоритмов создан оригинальный инструментарий вычислительного эксперимента для моделирования течений неньютоновских сред в кольцевом канале. Программный комплекс позволяет проводить исследования пользователями, не обладающими специальными знаниями из области вычислительной гидродинамики.

Практическая значимость

Разработанные модели и их программная реализация позволяют проводить детальное исследование течения неньютоновской среды в кольцевом зазоре. Программный комплекс,

созданные автором, используется для исследования характера течения в кольцевом зазоре и построения базы данных, представляющей зависимость силовых факторов от геометрии задачи и режимных параметров.

Обоснованность и достоверность основных результатов, полученных в диссертации, основывается на строгом математическом описании используемых численных алгоритмов, детальных методических расчетах тестовых задач, сопоставлении результатов численных расчетов с данными экспериментов и результатами, полученными другими авторами.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие трём пунктам паспорта специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам:

1. Численный алгоритм решения уравнений гидродинамики установившихся течений неныотоновских сред в канале произвольного сечения на основе метода конечного объема и методики расщепления.

2. Двухшаговый алгоритм построения расчетной сетки для моделирования установившегося турбулентного течения в кольцевом канале.

3. Модель осредненной по Рейнольдсу молекулярной вязкости для турбулентных течений неньютоновских сред, подчиняющихся реологической модели Гершеля-Балкли.

4. Программный комплекс для моделирования течений неньютоновских сред в кольцевом канале в широком диапазоне изменения параметров течения.

5. Результаты тестовых расчетов с использованием разработанного программного обеспечения.

6. Результаты численного моделирования винтовых режимов течения неньютоновских сред, в частности, данные о формировании переходных режимов с разделением течения на область турбулентного движения, примыкающей к вращающемуся цилиндру, и область ламинарного течения.

Представление работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных мероприятиях: Международная конференция «Sixth International Symposium On Turbulence, Heat and Mass Transfer» (Рим, 2009); Всероссийский семинар по теплофизике и теплоэнергетике (Красноярск, 2009); Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2011); Международной конференции «Математические и информационные технологии» MIT-2011 (Врнячка Баня, Сербия, 2011); Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий» (Новосибирск, 2011); 4 Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий» (Новосибирск, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работы, из них 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, и 7 в тезисах международных и российских конференций.

Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в разработке математической модели и числеиного метода, создании специализированной расчетной программы и выполнении ряда тестовых расчетов. Автор участвовал в постановке задачи и анализе полученных результатов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 144 страниц, включая 38 рисунков и 6 таблиц. Библиография состоит из 102 наименований.

1 Течение жидкости в кольцевом канале

Задача о течении жидкости в канале между двумя цилиндрическими трубами является классической задачей гидродинамики, имеющей широкое практическое применение. Примером технических установок, где такие течения имеют место, могут служить теплообменники, подшипники скольжения, центрифуги, некоторые виды миксеров, буровые колонны и т.д. Течение в концентрическом канале для ньютоновской жидкости описывается известным аналитическим решением [1]. На практике, однако, приходится иметь дело с течением в канале с эксцентриситетом, а внутренняя (или внешняя) труба может вращаться или двигаться. Это существенно усложняет задачу описания течения.

В случае эксцентрических кольцевых каналов точное аналитическое решение неизвестно, однако предложено немало приближенных и асимптотических решений. Поскольку достаточно удовлетворительного решения до недавних пор получено не было, изучение данной проблемы активно продолжается. Одними из наиболее значимых работ последнего десятилетия по данной тематике являются статьи [2; 3], где приводятся результаты экспериментального, аналитического и численного исследования данного течения. Прежде всего, здесь экспериментально было изучено влияние скорости вращения внутреннего цилиндра на падение давления. Было установлено, что падение давления монотонно растет с ростом скорости вращеиия внутренней трубы, однако, характер этой зависимости нелинейный. К сожалению, авторы ограничились сравнительно низкими числами Рейнольдса, построенными по скорости вращения внутренней трубы. Для практических целей необходим диапазон чисел Рейнольдса по крайней мере на порядок или два выше.

Несколько позднее появилась работа [4], где также выполнено систематическое экспериментальное и теоретическое изучение данных течений. Для ряда режимов здесь получены профили аксиальной скорости в различных сечениях, приводятся некоторые данные о падении давления. Численные данные получены с достаточно высокой точностью. Тем не менее, их все еще недостаточно с практической точки зрения. Не удается восстановить картину течения в тех или иных ситуациях, выявить закономерности падения давления, изучить поле сдвиговых напряжений и т.д. Еще одна важная возникающая здесь задача связана с определением сил и моментов, действующих на внутренний вращающийся цилиндр.

Кроме того, помимо обычной ньютоновской жидкости в таком канале могут двигаться различные неньютоновские жидкости. Во всех таких случаях удовлетворительных аналитических решений задачи не существует. Но поскольку ее актуальность с практической точки зрения чрезвычайно высока, то в последнее десятилетие для этой цели было развито

несколько численных методов. Алгоритм, пригодный для описания течений ньютоновской жидкости, основанный на методе контрольного объема, был развит и авторами этой работы [5].

Первые данные о свойствах течений неньютоновских жидкостей в каналах с эксцентриситетом появились фактически лишь в восьмидесятых годах. Наибольший успех связан с изучением течений так называемых степенных жидкостей (см., например, [6; 7; 8] и цитированную там литературу). В последней работе [8] сделан сравнительный анализ нескольких формул, предложенных для нахождения падения давления в таких каналах. Оказалось, что все проанализированные соотношения, описывающие падение давления, неудачные. Наиболее успешной оказалась корреляция, предложенная в [9]. Ее точность составляет 10-15 %. Однако и она работает лишь при индексах жидкости п>0.4 и в ограниченном диапазоне отношений радиусов внешней и внутренней труб. Самые полные и последовательные численные исследования течения степенной жидкости в эксцентричном канале проведены в [10]. Результаты приведены для различных степенных жидкостей, чисел Тейлора и Рейнольдса.

Для жидкостей Бингама вплоть до настоящего времени вообще отсутствовали данные о течении в эксцентричном канале, а тем более с вращением. Некоторые экспериментальные данные содержатся в работе [10] (см. также цитированную там литературу). В недавней работе [11] сделана попытка решения задачи о напорном течении с помощью некоторого вариационного метода. Почти такое же положение для жидкостей Гершеля-Балкли, здесь можно упомянуть лишь работу [12]. Сложность решения задачи для неньютоновских жидкостей связана главным образом с двумя обстоятельствами: зависимостью коэффициента эффективной вязкости от скорости сдвига и наличием предельного напряжения.

Турбулентность неньютоновских жидкостей

Течения неньютоновских жидкостей в каналах, встречающиеся в различных приложениях, как правило, происходят в турбулентном режиме. Несмотря на это, экспериментальных данных по изучению таких течений чрезвычайно мало. В одной из первых работ [13] были проведены систематические измерения течений в цилиндрической трубе полимерных неньютоновских жидкостей. Здесь были получены распределения средних скоростей, интенсивности турбулентных пульсаций, одномерные спектры пульсаций и значения скоростей диссипации турбулентных пульсаций. Измерения были выполнены при помощи оптического лазерного доплеровского анемометра. Обнаружено увеличение скорости и интенсивности пульсаций при добавлении полимеров, при этом количественные изменения зависят от концентрации полимеров. При низких концентрациях полимеров энергетический

спектр пульсаций идентичен спектру турбулентного течения чистой воды. При высоких концентрациях в энергетическом спектре пульсаций наблюдается заметное уменьшение амплитуды пульсаций в области высоких волновых чисел (диссипативный интервал), тогда как энергонесущие пульсации (малые волновые числа) напротив усиливаются.

В работе [14] изучались течения в кольцевом канале нескольких неныотоновских жидкостей с полимерными добавками, и представлены данные по профилям скорости, распределению аксиальных и тангенциальных пульсаций скорости и коэффициенту сопротивления. Измерения средней скорости и ее пульсаций производились с помощью лазерного доплеровского анемометра. Наличие полимерных добавок приводит к существенному уменьшению сопротивления и к сдвигу вверх логарифмического участка распределения средней скорости.

Чрезвычайно сложное течение в кольцевом канале с эксцентриситетом и вращением внутреннего цилиндра изучалось для степенной жидкости [15]. Измерения скорости осуществлялись лазерным доплеровским анемометром. Показано, что вращение не влияет на интенсивность турбулентности в широком зазоре. В узком зазоре интенсивность турбулентности увеличивается для ньютоновской среды и уменьшается для неныотоновской среды. Получена зависимость сопротивления от числа Яе с вращением и без вращения внутреннего цилиндра.

В одной из недавних работ [16] выполнены исследования течений нескольких неньютоновских прозрачных жидкостей в цилиндрической трубе. Измерения скорости выполняются так же лазерным доплеровским анемометром. Для переходного режима показано, что псевдопластичность и наличие предела текучести увеличивают устойчивость течений, затягивая переход к турбулентности. Подробно рассмотрено поведение флуктуаций, приведены спектры пульсаций. Для турбулентного режима течения приведены распределения средних скоростей и интенсивности турбулентных пульсаций. Измерение трения (падения давления) и анализ профиля скорости показывают, что наблюдается уменьшение сопротивления при течении неньютоновских сред. Для неньютоновских сред вблизи стенки относительные продольные пульсации выше, чем в ньютоновском случае.

Хотя перечисленными работами не исчерпываются все экспериментальные исследования, их все еще чрезвычайно мало, чтобы получить достаточно надежный экспериментальный материал относительно поведения таких течений. Связано это, в частности, с необходимостью использовать для измерений чрезвычайно сложный инструментарий. Дело в том, что большинство неньютоновских жидкостей оказываются не прозрачными и использовать традиционную технику для измерения скорости и ее пульсаций не удается. В таких случаях

необходимо использовать различные бесконтактные методы измерения поля скорости. В настоящее время для измерения скорости и ее пульсаций используется ядерная магнитно-резонансная томография (см. работы [17] и [18] и цитируемую гам литературу). Технология позволяет получать ЗБ изображения, проекции изображения в любом направлении с достаточно хорошим пространственным разрешением. Однако данный метод помимо высокой стоимости имеет и другой существенный недостаток - необходимость создания достаточно мощных магнитных полей приводит к малым пространственным масштабам измерительной секции. Альтернативным методом мог бы стать ультразвуковой доплеровский анемометр [19] но, к сожалению, он имеет низкое разрешение, что не позволяет изучать турбулентную структуру течения.

Отсутствие систематических экспериментальных данных относительно турбулентных течений неньютоновских жидкостей и их практическая значимость инициировало в последние годы появление работ по численному моделированию течений неныотоновской жидкости. Однако сложность состоит в том, что в настоящее время отсутствует замкнутая, хорошо обоснованная и экспериментально подтвержденная модель турбулентности для неныотоновских сред, в частности, для вязкопластических.

В последние годы появилась серия работ, посвященных построению математической модели и соответствующего алгоритма для описания течений степенных жидкостей [20; 21; 22]. Развитая в этих работах модель, однако, непосредственно не обобщается на течения неньютоновских жидкостей с предельными напряжениями и применима лишь для описания для течений с достаточно простой геометрией. Таким образом, создание численного алгоритма, позволяющего регулярно описывать турбулентные течения неныотоновских жидкостей, актуально.

Несмотря на шестидесятилетнюю историю изучения данных течений, имеющийся материал все еще не может в полной мере дать необходимую информацию обо всех параметрах течения. В связи с этим необходимо иметь инструментарий, с помощью которого с хорошей точностью и в широком диапазоне параметров можно было бы предсказывать характеристики течений рассматриваемого класса. Цель настоящей работы и состоит в разработке такого инструментария. Разрабатываемый алгоритм должен быть пригоден для моделирования ламинарных и турбулентных течений неньютоновских жидкостей в кольцевом канале с эксцентриситетом и вращением внутренней трубы.

1.1 Математическая постановка задачи. Уравнения движения

Рассматривается полностью развитое стационарное течение несжимаемой жидкости в канале постоянного сечения. Реология рабочей среды описывается обобщенной ньютоновской моделью, в которой среда рассматривается как нелинейная вязкая жидкость с введением эффективной вязкости жидкости, в общем случае зависящей от скорости деформации среды. В этой постановке ламинарный режим течения описывается уравнениями Навье-Стокса:

= о (1|)

р(х-Ч)у = -Чр + У -с, (1.2)

где р - плотность жидкости, V - вектор скорости, р - давление. Для обобщенной ньютоновской модели тензор вязких напряжений т определяется следующим образом:

где /х - эффективная или кажущаяся молекулярная вязкость, Б - тензор скоростей деформации. Составляющие тензора скоростей деформации в имеют вид:

1'

ди, д и,

— н---

^ дх, Эх,

Интенсивность скоростей деформации среды у является вторым инвариантом тензора скоростей деформации:

7 = л/2^ = л/Цд7. (1.3)

Исследуемая рабочая среда может являться как вязкой ньютоновской жидкостью, так и неныотоповской вязкопластической жидкостью, поведение которой описывается одной из трех наиболее распространенных реологических моделей: степенная жидкость, бингамовская жидкость (жидкость Бингама) и среда Гершеля-Балкли. Реология среды задается тремя коэффициентами: показатель степени среды п (п<\), показатель консистенции ку и предел текучести вязкопластической жидкости То- Ниже определенного предельного значения напряжений среда ведет себя как жесткое тело (т<Хо), выше этого предела - как несжимаемая вязкая жидкость (1>То).

В зависимости от реологии рабочей среды эффективная вязкость имеет вид:

//(/) = ку - для ньютоновской среды, здесь ку - молекулярная вязкость среды;

М{у) = -Лля модели степенной среды;

т <-0

:-- для модели бингамовскои жидкости;

— - для модели жидкости Гершеля-Балкли.

Расчетная область представляет собой кольцевой канал, образованный двумя гладкими прямыми трубами круглого сечения (Рисунок 1.1). Радиус внутреннего цилиндра - Я\, радиус внешнего цилиндра - Яг , Ь - длина расчетной области. Ось внутренней трубы может смещаться относительно оси внешней трубы. Смещение описывается безразмерной величиной эксцентриситета:

где АЯ - расстояние между центрами цилиндров. Внутренняя труба вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью со. Задан постоянный массовый расход жидкости (2 в канале с площадью поперечного сечения 5 .

Результатом решения задачи являются силовые факторы, обеспечивающие заданную кинематику жидкости. Основная искомая величина - это продольный градиент давления (перепад давления на единицу длины канала), соответствующий заданному расходу. Сопротивление среды вращению цилиндра формирует суммарный момент вязких сил, действующих на цилиндр. При наличие эксцентриситета суммарный вектор нормальных

АЯ

.Т к

Рисунок 1.1 - Геометрия расчетной области и пример расчетной сетки.

напряжений на стенке (давление) отличен от нуля. Его величина и направление также представляют интерес для инженеров, анализирующих гидравлику колонны.

Для представления и обобщения результатов расчетов используются следующие величины и безразмерные параметры:

отношение радиусов смоченный периметр -

где Бши - суммарная площадь боковых стенок, линейный масштаб задачи

среднемассовая аксиальная скорость тангенциальная скорость

характерная скорость сдвига

характерная вязкость интегральные силовые факторы

продольный градиент давления

момент сил трения на стенке

суммарная сила давления на стенку

сила вязкого сопротивлания суммарные напряжения аксиальное число Рейнольдса

вращательное число Рейнольдса

V

z:

'wall

L '

R = 4— X

pS

uz =

uR - coRx

[ur2+Uz2~\ R

0.5

ЭP=J_ dz'SL

J tzdS

all

mwALL= J J (Tx(r-rc)-ez)rfS

wall

Fp=- J pndS

l wall

Fr = — | т dS

wall

F = Fp+FT

Re = Rez=^ Mf

Re., =

_puBR

число Тейлора Та —

Г \2 рсо

/V

/?2 -Я3

число Бингама 5/7 — 0

коэффициент сопротивления / —

кГ

Я Эр 1 _ Я др 1

4 дг ри22 /2 2 Эг коэффициент ]аЯе / ■ И.е

л,- 1 5

безразмерный момент сил м —--т-ггт-ТТт2

рсо 4(л;Я1){7гЯ22)

безразмерные суммарные напряжения -——ггР .

рсо 2 кЯ2

Течение жидкости в кольцевом канале в общем случае зависит от пяти безразмерных параметров: отношение радиусов 0, эксцентриситет е, показатель степени п, число Бингама Вп , аксиальное число Рейнольдса 11е, вращательное число Рейнольдса 11Ссо. Диапазон изменения безразмерных геометрических и реологических параметров: 0.91< 0 < 0.139, 0 < е < 1, 0< Вп <18000, 0.2 <п<\.

1.1.1 Регуляризация модели вязкопластической среды Основная сложность при использовании модели с эффективной вязкостью для расчета течений вязкопластической среды связана с бесконечно большим значением вязкости в областях, где скорость деформации равна нулю. Для вязкопластических жидкостей с предельным напряжением То в области течения т<Хо (область твердого тела) скорость сдвига стремится к нулю, из-за этого эффективная вязкость жидкости неограниченно возрастает. Для того чтобы преодолеть данную трудность, используют различные схемы регуляризации исходных реологических моделей. Простейшая из них состоит в искусственном ограничении эффективной вязкости жидкости в области "твердотельного" течения х<То некоторой максимально возможной величиной // . Однако точность получающегося алгоритма в общем

етах

случае существенно зависит от выбора ¡и . Заниженное значение ц приводит к

етах етах

искусственному уменьшению области канала, запятой твердым телом. С другой стороны, выбор заведомо завышенного значения // существенно снижает скорость сходимости задачи.

етах

Подобрать универсальное значение ц для всех рассматриваемых задач не удается. По этой

причине данный метод при создании универсального алгоритма неприемлем.

Второй подход заключается в аппроксимации выражения для эффективной вязкости некоторым сглаженным выражением с некоторым малым параметром регуляризации е. Наиболее простая алгебраическая модель для жидкости Бингама может быть построена следующим образом:

Две наиболее популярные и использующиеся на практике модели регуляризации формулируются следующим образом (для жидкости Гершеля-Балкли Це = (т0 + кхул)у"'1): модель Берковьера-Энгельмана [23]

При стремлении параметра регуляризации £ к нулю формулы регуляризации дают исходную модель.

Конечно, подход с введением гладких регуляризованных моделей также имеет свои проблемы. Среди главных можно отметить трудность определения границ жестких зон в потоке и плохую обусловленность матриц дискретизированных систем. Последнее при больших параметрах регуляризации удается преодолеть путем построения подходящих предобуславливателей [25]. Вместе с тем, метод регуляризации отличается простотой в реализации и его достаточно успешно можно применять при решении практических задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаврилов, Андрей Анатольевич, 2014 год

Список литературы

1. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л .Д. Ландау, Е.М. Лившиц — М.: Наука, 1986. — 735 с.

2. Ooms, G. Influence of Drill Pipe Rotation and Eccentricity on Pressure Drop Over Borehole During Drilling / Ooms G., Kampman-Reinhartz B.E. // European Journal of Mechanics. B/Fluids. — 1996.

— Vol. 15, N5. —P. 695-711.

3. Ooms, G. Influence of Drill Pipe Rotation and Eccentricity on Pressure Drop Over Borehole During Drilling / Ooms G., Kampman-Reinhartz B.E. // SPE Drill & Completion. — 2000. — Vol. 15, N 4.

— P. 249-253.

4. Escudier, M.P. Effects of inner cylinder rotation on laminar flow of a Newtonian fluid through an eccentric annulus / Escudier M.P., Gouldson I.W., Oliveira P.J., Pinho F.T. // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2000. — Vol. 21. — P. 92-103.

5. Гаврилов, Л.А. Численный алгоритм для моделирования ламинарных течений в кольцевом канале с эксцентриситетом / Гаврилов А.А., Минаков А.В., Дектерев А.А., Рудяк В.Я. // СибЖИМ. — 2010.— Т. 13, № 4(44). — С. 3-14.

6. Bird, R.B. Dynamics of polymeric fluids / Bird R.B., Hassager О.// Fluid Mechanics. — 1987. — Vol. 1,N4. — P. 169-253.

7. Uner, D., An approximate solution for Non-Newtonian flow in eccentric annuli / Uner D., Ozgen C., Tosun I. // Industrial & Engineering Chemistry Research. — 1988. — Vol. 27. — P. 698-701.

8. Sestak, J. Flow of purely viscous non-Newtonian fluids in straight non-circular ducts: A review and comparison of procedures for rapid engineering friction factor estimates / Sestak J., Zitny R., Dostal M. // European Congress on Rheology, Cambridge. — 2000.

9. Haciislamoglu, M. Practical pressure loss predictions in realistic annular geometries / Haciislamoglu M., Cartalos U. // SPE Annual Technical Conference. New Orleans. — 1994. — N Paper SPE. № 28304.

10. Escudier, M.P. Fully developed laminar flow of purely viscous non-Newtonian liquids through annuli, including the effects of eccentricity and inner-cylinder rotation / Escudier M.P., Oliveira P.J., Pinho F.T. // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2002. — Vol. 23. — P. 52-73.

11. Wachs, A. Numerical simulation of steady Bingham flow through an eccentric annular cross-section by distributed Lagrange multiplier/fictitious domain and augmented Lagrangian method / Wachs A. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2007. — Vol. 142. — P. 183-198.

12. Hussein, Q.E. Viscoplastic fluid flow in irregular eccentric annuli due to axial motion of the inner pipe / Hussein Q.E., Sharif M.A.R. // The Canadian Journal of Chemical Engineering. — 1997. — Vol. 75. —P. 1038-1045.

13. Allan, J.J. Laser-Doppler anemometer measurements of turbulent structure in non-Newtonian fluids / Allan J.J., Greated C.A., McComb W.D. // Journal of Physics D: Applied Physics. — 1984. — Vol. 17. —P. 533-549.

14. Escudier, M. P. Flow of shear-thinning fluids in a concentric annulus / Escudier M. P., Gouldson I. W., Jones D. M. // Experiments in Fluids. — 1995. — Vol. 18. — P. 225-238.

15. Nouri, J.M. Flow of Newtonian and non-Newtonian fluids in eccentric annulus with rotation of the inner cylinder / Nouri J.M., Whitelaw J.H. // Int. J. Heat and Fluid Flow. — 1997. — Vol. 18. — P. 236-246.

16. Peixinho, J. Laminar transitional and turbulent flow of yield stress fluid in a pipe / Peixinho J., Nouar C., Desaubry C., Theron B. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2005. — Vol. 128. —P. 172-184.

17. Fukushima, E. Nuclear Magnetic Resonance as a Tool to Study Flow / Fukushima E. // Annu. Rev. Fluid Mech. — 1999. — Vol. 31. — P. 95-123.

18. Callaghan, P.T. Rheo-NMR: nuclear magnetic resonance and the rheology of complex fluids / Callaghan P.T. // Rep. Prog. Phys. 62. — 1999. — P. 599-668.

19. Ultrasonic Doppler Velocity Profiler for Fluid Flow [ed. Yasushi Takeda], — Berlin: Springer, 2012.

20. Pinho, F.T. A GNF framework for turbulent flow models of drag reducing fluids and proposal for a k-epsilon type closure / Pinho F.T. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2003. — Vol. 114, —P. 149-184.

21. Cruz, D.O.A. Turbulent pipe flow predictions with a low Reynolds number k-e model for drag reducing fluids / Cruz D.O.A., Pinho F.T. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2003. — Vol. 114. —P. 109-148.

22. Cruz, D.O.A. Modelling the new stress for improved drag reduction prédictions of viscoelastic pipe flow / Cruz D.O.A., Pinho F.T., Resende P.R. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2004, —Vol. 121.—P. 127-141.

23. Bercovier, M. A finite-element method for incompressible non-Newtonian flows / Bercovier M., Engleman M. // J. Сотр. Phys. — 1980.— Vol. 36, —P. 313-326.

24. Papanastasiou, T.C. Flow of materials with yield / Papanastasiou T.C. // Journal of Rheology. — 1987. — Vol. 31. — P. 385-404.

25. Гриневич, П.П., Итерационный метод решения регуляризованной задачи Бингама / Гриневич П.П., Ольшанский М.А. // Вычислительные методы и программирование. — 2010.— Т. П. —С. 78-87.

26. Frigaard, I.A. On the usage of viscosity régularisation methods for visco-plastic fluid flow computation / Frigaard I. A., Nouar C. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2005. — Vol. 127, —P. 1-26.

27. Муравлёва, E. А. Разностные схемы для расчета течений вязко-пластической среды в канале / Муравлёва Е. А. // Матем. моделирование. — 2008.— Т. 20, 12. — С. 76-88.

28. Гаврилов, А.А. Численный алгоритм для моделирования установившихся ламинарных течений неньютоновских жидкостей в кольцевом зазоре с эксцентриситетом / Гаврилов А.А., Минаков А.В., Дектерев А.А., Рудяк В .Я. // Вычислительные технологии. — 2012.— Т. 17, № 1. — С. 44-56.

29. Монин, А.С. Статистическая гидромеханика, ч. 1—2 / Монии А.С., Яглом A.M. — M.: Наука, 1965-1967. —2 т.

30. Pope, S.B. Turbulent Flows / Pope S.B. — s.l.: Cambridge University Press, 2000. — 806 P.

31. Jones, W. P. The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence / Jones W. P., Launder В. E. // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1972. — Vol. 15. — P. 301-314.

32. Launder, В. E. The Numerical Computation of Turbulent Flows / Launder В. E., Spalding D. B. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1974. — Vol. 3. — P. 269-289.

33. Launder, В. E. Modelling Convective Heat Transfer in Complex Turbulent Flows / Launder В. E. // Engineering Turbulence Modeling and Experiments 2, Proceedings of the Second International Symposium. - 1993.

34. Wilcox, D.C. Re-assessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models / Wilcox D.C.//AIAA Journal. — 1988, —Vol. 26, N 11. —P. 1299-1310.

35. Menter, F.R. Zonal two equation k-omega turbulence models for aerodynamic flows / Menter F.R. // AIAA Paper. — 1993., N 93-2906. — P. 21.

36. Abe, K. A new turbulence model for predicting fluid flow and heat transfer in separating and reattaching flows - 1. Flow field calculations / Abe K., Kondoh T., Nagano Y.// Int. J. Heat Mass Transfer. — 1994. —Vol. 37. —P. 139-151.

37. Spalart, P.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows / Spalart P.R. and Allmaras S.R. // AIAA Paper 92-0439. — 1992.

38. Craft, T. J. Progress in the generalization of wall-function treatments / Craft T. J., Gerasimov A.V., Iacovides H., Launder B. E.// Int J Heat & Fluid Flow. — 2002. — Vol. 23. — P. 148-160.

39. Popovac, M. Compound Wall Treatment for RANS Computation of Complex Turbulent Flows / Popovac M., Hanjalic K.// Third MIT Conf. On Сотр. Fluid and Solid Mech. — 2005. — Vol. 1. — P.802-806.

40. Craft, T. J. A new wall function strategy for complex turbulent flows / Craft T. J., Gant S. E., Iacovides H., Launder В. E. // Numerical Heat Transfer Part B. — 2004. — Vol. 45. — P. 301-318.

41. Esch, T. Heat transfer predictions based on two-equation turbulence models with advanced wall treatment / Esch T., Menter F. R. // Turbulence, Heat and Mass Transfer 4. — 2003. — P. 6333-6640.

42. Grotjans, H. Wall functions for general CFD codes / Grotjans H., Menter, F.R. // In Proc. of 4 th European Comp. Fluid Dynamics conference. — 1998. — P. 1112-1117.

43. Rahman, M. M. Compound wall treatment with low-Re turbulence model / Rahman M. M., Siikonen T. // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 2012. — Vol. 68. — P. 706-723.

44. Kalitzin, G. Near-wall behavior of RANS turbulence models and implications for wall functions / Kalitzin G., Medic G., Iaccarino G., Durbin P. // Journal of Computational Physics. — 2005. — Vol. 204(1), N20. —P. 265-291.

45. Malin, M.R. Turbulent pipe flow of power-law fluids / Malin M.R. // International Communications in Heat Mass Transfer. — 1997. — Vol. 24, N 7. — P. 977-988.

46. Malin, M.R. The turbulent flow of Bingham plastic fluids in smooth circular tubes / Malin M.R. // International Communications in Heat Mass Transfer. — 1997. — Vol. 24, N 6. — P. 793-804.

47. Malin, M.R. Turbulent pipe flow of Herschel-Bulkley fluids / Malin M.R. // International Communications in Heat Mass Transfer. — 1998. — Vol. 25, N 3. — P. 321-330.

48. Dodge, D.W. Turbulent flow of non-Newtonian system / Dodge D.W., Metzner A.B. // A.I.Ch.E. Journal. — 1959. — Vol. 5, N 2. — P. 189-204.

49. Гаврилов, A.A. Моделирование коэффициента молекулярной вязкости вязкопластичных жидкостей в турбулентных течениях / Гаврилов A.A., Рудяк В.Я.// Доклады АН ВШ РФ. — 2013.—№2, Выпуск 21, —С. 55-66.

50. Гаврилов, A.A. Применение нового численного алгоритма решения уравнений Навье-Стокса для моделирования работы вискозиметра типа физического маятника / Гаврилов A.A., Минаков A.B., Дектерев A.A., Рудяк В.Я. // Теплофизика и аэромеханика. — 2008.— Т. 15, N 2. — С. 353-365.

51. Гаврилов, A.A. Моделирование задач гидродинамики, теплообмена и горения с использованием CFD программы SigmaFlow / Гаврилов A.A., Минаков A.B., Харламов Е.Б. Дектерев A.A. // Сборник тезисов VI Всероссийского семинара по теплофизике и теплоэнергетике. Красноярск. — 2009. — С. 24.

52. Гаврилов, A.A. Современные возможности CFD кода SigmaFlow для решения теплофизических задач / Гаврилов A.A., Минаков A.B. Дектерев A.A. // Сборник научных статей. Современная наука: исследования, идеи, результаты, технологии. Киев: «НПВК Триакон». — 2010,— Т. 2, 4. —С. 117-122.

53. Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / Ильин В.П. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 345 с.

54. Ferziger, J.H. Computational Methods for Fluid Dynamics / Ferziger J.H., Peric M. — Berlin: Springer Verlag, 2002. — 431 P.

55. Jasak, H. Error analysis and estimation for the Finite Volume method with applications to fluid flows : PhD Thesis / Jasak H. — 1996.

56. Leonard, B.P. A stable and accurate convective modeling procedure based on quadratic upstream interpolation / Leonard B.P. // Сотр. Math. Appl. Mech. Eng. — 1979. — Vol. 19. — P. 59-98.

57. Leschziner, M.A. Upstream monotonic interpolation for scalar transport with application to complex turbulent flows / Leschziner M.A., Lien F.S. // Int. J. Num. Meth. Fluids. — 1994. — Vol. 19, N6, — P. 527-548.

58. Alves, M. A. A convergent and universally bounded interpolation schemc for the treatment of advection / Alves M. A., Oliveira P.J., Pinho F.T. // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 2003. — Vol. 41.

— P. 47-75.

59. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / Патанкар С. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 152 с.

60. Chorin, A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems / Chorin A.J. // J. Comput. Phys. — 1967. — Vol. 2. — P. 12-26.

61. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Лойцянский Л. Г. — М.: Наука, 1978. — 736 с.

62. Issa, R.I. Solution of the implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting / Issa R.I. // J. Comput. Phys. — 1986. — Vol. 62. — P. 40-65.

63. Caretto, L. S. Two calculation procedures for steady, three-dimensional flows with recirculation / Caretto L. S., Gosman A. D., Patankar S. V., Spalding D. B. // Proceedings of the Third International Conference on Numerical Methods in Fluid Mechanics, Lecture Notes in Physics. — 1973. — Vol. 19.

— P. 60-68.

64. Van Doormal, J.P. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows / Van Doormal J.P., Raithby G.D. // Numer. Heat Transfer. — 1984. — Vol. 7. — P. 147-163.

65. Moukalled, F. A Unified Formulation of the Segregated Class of Algorithms for Fluid Flow at All Speeds / Moukalled F., Darwish M. // Numerical Heat Transfer, Part B. — 2000. — Vol. 37, N 2. — P. 227-246.

66. Белов, И.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости / Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А.— Л.: Судостроение, 1989. — 256 с.

67. Rhie, C.M. A Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Isolated Airfoil with trailing Edge Separation / Rhie C.M., Chow W.L. // AIAA Journal — 1983. — Vol. 21. — P. 1525-1532.

68. Blosch, E.L. The Role of Mass Conservation in Pressure-Based Algorithms / Blosch E.L., Shyy W., Smith R. // Numerical Heat Transfer, Part B. — 1993. — Vol. 24. — P. 415-429.

69. Быстров, Ю.А. Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах труб / Быстров Ю.А., Исаев С.А., Кудрявцев H.A., Леонтьев А.И.— СПб.: Судостроение, 2005. — 392 с.

70. Белов, И.А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб / Белов И.А., Кудрявцев H.A. — Л.: Энергоатомиздат, 1987. — 223 с.

71. Гаврилов, A.A. Численное моделирование установившихся ламинарных течений неньютоновских вязкопластических жидкостей в кольцевом зазоре / Гаврилов A.A., Минаков

A.B., Дектерев A.A., Рудяк В.Я. // Сборник тезисов Международной конференции «Математические и информационные технологии» MIT-2011. — 2011. — С. 78-79.

72. Kader, В.A. Temperature and concentration profiles in fully turbulent boundary layers / Kader

B.A. // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1981. — Vol. 24. — P. 1541-1544.

73. Wolfshtein, M.W. The velocity and temperature distribution in one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient / Wolfshtein M.W. // Int. F. Heat Mass Transfer. — 1969. —Vol. 12. —P. 301-318.

74. Kim, J. DNS of Turbulent Channel Flow up to Re_tau=590 / Kim J., Moser R. D„ Mansour N. N. // Phys. Fluids. — 1998. — Vol. 11. — P. 943-945.

75. Кириллов, П.Л. Справочник по теплогидравлическим расчетам / Кириллов П.Л. — Москва: Энергоатомиздат, 1984. — 296 с.

76. Идельчик, Е.И. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / Идельчик Е.И.— М.: Машиностроение, 1992. — 672 с.

77. Akgun, F. Determination of Friction Factor of Fluids Flowing Turbulently Through an Eccentric Annulus / Akgun F., Jawad R. H. // International Journal of Petroleum Science and Technology. — 2007. — Vol. 1, N 1. — P. 37-49.

78. Nouri, J.M. Flow of Newtonian and non-Newtonian fluids in concentric and eccentric annuli / Nouri J.M., Umur H., Whitelaw J.H. // J. Fluid Mech. — 1993. — Vol. 253. — P. 617-641.

79. Moin, P. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristics in turbulent pipe flow / Moin P., Wu X. // Journal of Fluid Mechanics. — 2008. — Vol. 608. — P. 81-112.

80. Escudier, M. P. Flow of shear-thinning fluids in a concentric annulus / Escudier M. P., Gouldson I. W., Jones D. M. // Experiments in Fluids. — 1995. — Vol. 18., Issue 4. — P. 225-238.

81. Ушаков, П.А. Влияние эксцентриситета на гидродинамические характеристики кольцевых каналов / Ушаков П.А. // Теплофизика высоких температур. — 1976.— №14, Выпуск 1. — С. 106-111.

82. Jones, О.С. An Improvement in the Calculation of Turbulent Friction in Smooth Concentric Annuli /Jones O.C., Leung J.M.C. // J. Fluids Eng. — 1981. — Vol. 103, N 4. — P. 615-623.

83. Fredrickson, A.G. Non-Newtonian flow in annuli / Fredrickson A.G., Bird R.B. // Ind. Eng. Chem. — 1958. — Vol. 50. — P. 347-352.

84. Laird, W.M. Slurry and suspension transport. Basic flow studies on Bingham plastic fluids / Laird W.M. // Ind. Eng. Chem. — 1957. — Vol. 49, N 1. — P. 138-141.

85. Escudier, M.P. Fully developed laminar flow of non-Newtonian liquids through annuli:comparison of numerical calculations with experiments / Escudier M.P., Oliveira P.J., Pinho F.T., Smith S. // Experiments in Fluids. — 2002. — Vol. 33. — P. 101-111.

86. Гаврилов, A.A. Математическая модель и численная методика моделирования развитого турбулентного течения неньютоновских вязкопластических жидкостей / Гаврилов A.A., Минаков A.B., Дектерев A.A., Рудяк В.Я. // Тезисы докладов международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко. — 2011. — С. 8586 (http://conf.nsc.ru/niknik-90/reportview/39228).

87. Minakov, A.V. Numerical simulation of fully developed turbulent non-Newtonian flow in eccentric annulus / Minakov A.V., Gavrilov A.A., Dckterev A.A., Rudyak V. Ya. // Proceedings of Sixth International Symposium On Turbulence, Heat and Mass Transfer. — 2009. — P. 333-335.

88. Гаврилов, A.A. Моделирование турбулентного течения неньютоповской жидкости на основе двухпараметрической модели турбулентности / A.A. Гаврилов, A.B. Минаков, A.A. Дектерев, В.Я. Рудяк // Тезисы докладов 3-го Всероссийского семинара «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий».- 2011. - Вып. 3. - С. 45^17.

89. Rudman, М. Turbulent pipe flow of shear-thinning fluids / Rudman M., Blackburn H.M., Graham L.J.W., Pullum L. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2004. — Vol. 118. — P. 33-48.

90. Rudman, M. Direct numerical simulation of turbulent non-Newtonian flow using a spectral element method / Rudman M., Blackburn H.M. // Applied Mathematical Modelling. — 2006. — Vol. 30. —P. 1229-1248.

91. Metzner, A. B. Flow of Non-Newtonian Fluids - Correlation of the Laminar, Transition, and Turbulent-Flow Regions / Metzner А. В., Reed J. C. // Aiche Journal. — 1955. — Vol. 1. — P. 434440.

92. Skelland A.H.P. Non-Newtonian Flow and Heat Transfer / Skelland A.H.P.— New York: Wiley, 1967, —P. 469.

93. Iaccarino, G. Reynolds-averaged modeling of polymer drag reduction in turbulent flows / Iaccarino G., Shaqfeha E.S.G., Dubief Y. // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. — 2010. — Vol. 165, N7-8, —P. 376-384.

94. Гаврилов, A.A. Прямое численное моделирование турбулентного течения степенной жидкости в круглой трубе / A.A. Гаврилов, В.Я. Рудяк, Е.В. Подрябинкин // 4 Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий». - 2012. - Вып. 4. - С. 113-116.

95. Гноевой, А. В. Основы теории течений бингамовских сред / Гноевой А. В., Климов Д. М., Чесноков В. М. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с.

96. Rudyak, V.Ya. Moment and Forces Exerted on the Inner Cylinder in Eccentric Annular Flow / Rudyak V.Ya., Podryabinkin E.V. // Journal of Engineering Thermophysics. — 2011. — Vol. 20, N 3.

— P. 320-328.

97. Подрябинкин, E.B. Моделирование течений неньютоновских жидкостей в цилиндрическом канале с эксцентриситетом / Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я. // Доклады АН ВШ РФ. — 2012.— Т.2, 19, —С. 112-122.

98. Подрябинкин, Е.В. Моделирование турбулентных течений в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом и вращением внутреннего цилиндра / Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я. // Вестник НГУ. Серия: Физика. — 2012,— Т.7, 4. — С. 79-86.

99. Самарский, A.A. Методы решения сеточных уравнений / Самарский A.A., Николаев Е.С. — М.: Наука, 1978. —590 с.

100. Barrett, R. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods / Barrett R., Berry M., Chan Т. — s.l.: SIAM, 1994, —P. 141.

101. Wesseling, P. An introduction to multigrid methods / Wesseling P. — New York: Wiley, 1991.

— P.284

102. Trottenberg, U. Multigrid / Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schuller A.— s.l.: Academic Press, 2000, — P. 631.