Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Пургин, Александр Викторович

• Пургин, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пургин, Александр Викторович

Введение

1 Дистрибутивность решеток операторов, в факторизациях которых отсутствуют параметры

1.1 Определения и вспомогательные факты

1.2 Вложимость Мз в интервал высоты 2.

1.3 Условие дистрибутивности решетки правых делителей ЛО

2 О дистрибутивных решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов

2.1 Определения и вспомогательные факты.

2.2 Комбинаторные вопросы теории факторизации ЛОДО

2.3 Алгоритм построения дистрибутивной решетки по ч. у. множеству ее неразложимых в объединение элементов.

2.4 Любая конечная дистрибутивная решетка является решеткой правых делителей некоторого ЛОДО.

3 Алгебраические свойства решеток правых делителей ЛОДО в случае, когда все факторы перестановочны

3.1 Определения и вспомогательные факты.

3.2 Геометричность и другие алгебраические свойства решетки Ьр в случае, когда все факторы перестановочны

3.3 Структурная теорема в случае, когда все факторы перестановочны

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов»

Теория решеток развилась из приложений частично упорядоченных множеств в 30-ые годы 20 века к геометрическим и алгебраическим свойствам (решетки подпространств, подмодулей, подгрупп). Один из создателей теории решеток О. Ope применял решетки в вопросах, связанных с делителями в некоммутативном кольце линейных обыкновенных дифференциальных операторов [26]. Данная диссертация посвящена приложениям общих результатов теории решеток к решеткам правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов.

В последнее время алгоритмические вопросы теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений получили значительное развитие. Некоторые из ранее полученных алгоритмов нахождения элементарных решений и решений, выражающихся в квадратурах, были реализованы в имеющихся системах компьютерной алгебры Maple, Matliematica, Reduce в виде больших прикладных пакетов. Продолжается как теоретическое исследование алгоритмов решения отдельных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, так и их реализация (см. [1], [20]-[26], [28]—[29]). Для решения конкретных уравнений часто полезно знать, как устроено множество правых делителей данного линейного обыкновенного дифференциального оператора (ЛОДО).

Пусть К — дифференциальное поле характеристики 0 с дифференцированием Б. Таким образом, И : К —» К, причем И (а + Ь) = Иа + ИЪ, В(аЬ) = (Оа)Ь + а(ОЪ) для любых а, Ъ 6 К. Простой пример дает поле К = С(х) (т.е. поле рациональных функций одной переменной с комплексными коэффициентами) с дифференцированием V = Линейному обыкновенному дифференциальному уравнению

Ру = апОпу + . + счБу + а0у = 0, (1) для которого ах,., ап Е К, соответствует линейный обыкновенный дифференциальный оператор

Р = ап£>?г + . + а11) + ао, (2) являющийся элементом кольца (порядок оператора огс1(Р) равен п, т. е. порядку старшей производной). Данное кольцо является некоммутативным. В дальнейшем мы без ограничения общности можем рассматривать только нормализованные операторы (т. е. операторы, у которых старшие коэффициенты равны 1) и их нормализованные делители.

Сложение в этом кольце определяется так же, как в кольце обычных полиномов. В то же время умножение о в К [.О] (некоммутативное) определяется, исходя из соотношения И о (аВт) = аОт+1 + (Х)а)£)т, справедливого для всех а Е К и неотрицательных целых т. Подробнее о структуре кольца К[Д] см. в [7].

В вопросах, связанных с поиском точных решений линейных дифференциальных уравнений в различных классах функций, разложение соответствующего оператора на множители играет важную роль. В частности, сведение поиска решения уравнения (1) к поиску решений уравнений меньших порядков путем разложения оператора (2) широко используется в компьютерной алгебре. Напомним, что необратимый (т.е. такой, для которого не существует обратного) элемент кольца называется неприводимым, если в любом его разложении в произведение двух множителей из данного кольца один из этих множителей оказывается обратимым; в противном случае элемент называется приводимым.

Другими словами, оператор Р будем называть неприводимым, если он не факторизуется на операторы более низкого порядка (подробнее см. [1|, [20]—[26], [28]—[29]).

Для элементов К [.О], вообще говоря, не гарантируется единственность разложения на неприводимые множители. Пусть, например, К = С(х) (поле рациональных функций), И = тогда

В1 = {В + —) о {В - —) х — с х — с для любого с £ С; можно допустить равенство с = оо, считая, что оба множителя в правой части в этом случае равны В. Имеем

В2 = В о В = (В + -) о (В - -) = (Б + —1—) о (£> - —

X X х — 1 х — 1 и т.д. Рассматривая какое-то одно разложение фиксированного оператора па неприводимые множители, приходится учитывать возможность такого рода неоднозначности. Для решения некоторых задач важна степень неоднозначности разложения, и желательно иметь представление о том, чем могут отличаться другие возможные разложения от да иного.

В настоящее время в литературе, и, в частности, в литературе по компьютерной алгебре, вместо термина «разложение на множители» часто прибегают к термину факторизация. Разложение на неприводимые множители называют полной факторизацией. В этой диссертации мы будем для краткости говорить просто о факторизации, подразумевая при этом полную факторизацию.

Одним из самых старых результатов, касающихся факторизаций ЛО-ДО, является следующая теорема Э.Ландау [21].

Предложение 0.0.1. Если Р\ о . о Рк и Р\ о . о Р^ — две различные полные факторизации одного и того же оператора Ь, то к = к, и между множителями, входящими в первую и вторую факторизации можно установить взаимно однозначное соответствие Р\ ч-> Р^, такое, что огд,(Р{) = ог^(Р^), г = 1,., к).

В некоторой конкретной факторизации могут встретиться совпадающие множители. Мы, однако, различаем операторы, имеющие разные порядковые номера.

В некоммутативном кольце ЛОДО есть левый (и правый) алгоритмы Евклида деления с остатком, а также для любых двух ЛОДО Ь и Р имеется их левое (правое) наименьшее кратное, то есть существуют операторы М и ./V, такие, что М о Ь — N о Р.

Через гОСО(Р1, Р2) будем обозначать оператор, являющийся правым наибольшим общим делителем ненулевых операторов Р\ и Р2, а через гЬСМ(Р1,Р2) — оператор, являющийся их правым наименьшим общим кратным.

Как известно (см. [1], [21]-[29]), для любых двух ЛОДО Р\ и Р2 существуют и единственны гССБ(Р1,Р2) и гЬСМ(Р1,Р2).

Определение 1. [28] Будем говорить, что оператор Р (справа) преобразуется в оператор Р\ оператором В и писать Р —> Р\, если rGCD(P,B) = 1 и К = rLCM(P,B) — Р\о В — В\ о Р. В этом случае операторы Р и Р\ будем называть сходными.

Отношение сходности является отношением эквивалентности (см. [28]).

Определение 2. [28] Два (для простоты неразложимых) оператора Р и Q будем называть перестановочными в произведении Р о Q, если PoQ = QloPl} Q1^pj рхф Q.

Отсюда легко видеть, что в этом случае Р сходен с Р\, Q сходен с Qi и Рг А Р.

Также классическим результатом является следующая теорема Леви [22, 23].

Предложение 0.0.2. Если оператор Р = Р\о Р2, т. е. факторизуется на два неприводим,ых оператора, то существуют три случая:

1) Эта факторизация единственная, а операторы Р\ и Р2 являются неперестановочными. Он,и могут быть как несходными, так и сходными.

2) Существует еще одна, и только одна факторизация Р\ о Р2 = p2°Pi- В этом случае операторы Р\ и P-¿ являются перестановочными, но не сходными.

3) Существует бесконечно много факторизации, Р = Р\ о Р2 с операторами Р{, зависящими от одного параметра. В этом случае операторы Р\ и Р2 являются перестановочными и сходными.

Множество работ 20 века, например, [1], [20]—[26], [28]—[29], посвящено алгоритмам факторизации линейных дифференциальных операторов.

Известно ([28]), что произвольный линейный обыкновенный дифференциальный оператор разлагается на неприводимые множители (фактори-зуется) с конечным числом параметров. Относительно недавно был получен алгоритм ([28]), который перечисляет все возможные факторизации заданного линейного обыкновенного дифференциального оператора с рациональными коэффициентами. Но общая структура всех фактори-заций операторов неизвестна. В данной диссертации для исследования этой структуры используются методы одного из важных разделов алгебры — теории частично упорядоченных множеств. Адекватным представлением структуры данных, выдаваемых упомянутым выше алгоритмом нахождения всех факторизаций данного оператора, является решетка — частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует их точная верхняя и точная нижняя грань.

Введем отношение частичного порядка на множестве всех правых делителей произвольного ЛОДО Р следующим образом: пусть Р[ и Р2 -некоторые правые делители оператора Р, будем говорить, что Р\ ^ Р2, если оператор Р\ является правым делителем оператора Р2. Рассмотрим пример. Оператор Р = Б2, очевидно, имеет такую факторизацию: Б2 — БоБ, т. е. три правых делителя: 1, Б, В2. Тогда 1 < Б < Б2, 1 < Б2, Б ^ Б. Данный оператор Р имеет другую факторизацию Б2 = {Б + 1/(х - с)) о (Б - 1/(х - с)). В этом случае 1 < (Б - 1/(х - с)) < В2. Но {Б - 1/(® - с)) £ {Б + 1/{х - с)) и (Б + 1/{х - с)) ЦБ- 1/(х - с)). Таким образом заданное частично упорядоченное множество правых делителей произвольного ЛОДО Р является решеткой (см. Приложение) с операциями взятия точной нижней грани т^Р^Рг} = ЮСБ^^Рг) и точной верхней грани 8ир{Рх, Р2} — гЬСМ(Рх, Р2).

Определение 3. Будем говорить, что элемент х покрывается элементом у (или у покрывает х) и писать х -< у, если х < у, и для любого г такого, что х ^ г ^ у, либо г — х, либо г — у. В этом случае элемент х будем называть нижним покрытием элемента у, а элемент у — верхним, покрытием х.

Через п будем обозначать п-элементиую цепь, т. с. решетку, в которой любые 2 элемента сравнимы. Например, решетка 2 изображена на рис. 1. и виде диаграммы Хассе (т. е. элементы решетки обозначены кружками и если х -< у, то элементы х и у соединены отрезком, и элемент х находится ниже элемента у).

Рис. 1 Решетка 2.

Определение 4. Длиной конечной цепи будем называть число, на единицу меньшее количества ее элементов.

Теоретико-решеточные операции будем обозначать следующим образом: зир{а:, у} = хУу = х + у, т£{ж, у} = х А у = ху.

Определение 5. Операцию взятия точной верхней грани множества элементов будем также называть объединением этого множества элементов, а операцию взятия точной нижней грани — соответственно пересечением множества элементов.

Будем обозначать наибольший элемент решетки Ь символом а наименьший — символом Оь- Решетку правых делителей оператора Р будем обозначать Ьр.

Определение 6. Решетка Ь называется дистрибутивной, если для любых х,у,г £ Ь выполняется тождество х(у + г) = ху + хг.

Определение 7. Решетка Ь называется модулярной, если для любых х,у, г £ Ь выполняется тождество х(у + хг) = ху + хг.

Известно ([8]) что решетка правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов является модулярной (см. Приложение).

Основные результаты диссертации мы будем называть теоремами, вспомогательные результаты — леммами, а известные результаты — предложениями.

Целью диссертационной работы является изучение структуры решеток правых делителей линейных обыкновенных дифференциалы!ых операторов в случае, когда все факторы непараметризованы, и в случае, когда все факторы перестановочны.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Целью первой главы диссертации является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1.3.1. Для ЛОДО Р следующие условия эквивалентны:

1. Дистрибутивное тождество х\{х2 + х%) = Х\Х2 + Ж1Ж3 выполняется на решетке правых делителей ЛОДО Р;

2. Все факторы оператора Р непараметризованы (что эквивалентно конечности решетки правых делителей оператора Р).

Определение 8. Интервалом I — [х,у] называется множество всех таких г Е Ь, что х ^ г ^ у.

Определение 9. Под высотой элемента х решетки Ь будем, понимать длину максимальной цепи в интервале [О/,, х]

Высоту элемента х будем обозначать Н(х).

Определение 10. Высотой ограниченной модулярной решетки Ь будем называть высоту элемента

Предложение 0.0.3. [6, стр. 225] (Жордан-Гельдер) В модулярной решетке конечной высоты любые две максимальные цепи имеют одинаковую длину.

Как очевидно, это предложение есть переформулировка на языке решеток результата Э. Ландау (предложение 0.0.1) о равенстве количества неприводимых множителей в различных факторизациях одного и того же оператора.

Высоту решетки Ь будем обозначать к{Ь).

Доказана следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес в теории решеток.

Лемма 1.2.1. Пусть Ь — модулярная решетка конечной высоты. Тогда, если решетка Мз вложима в решетку Ь, то вложима в некоторый интервал высоты 2 и решетка Ь не является дистрибутивной.

Во второй главе диссертации рассматриваются комбш(аторные вопросы и приводится алгоритм построения по заданному коночному ч. у. множеству М дистрибутивной решетки его порядковых идеалов в необходимой нам интерпретации.

Определение 11. Оператор Р называется Д'Аламберовым, если все его неприводимые множители Рг- являются операторами первого порядка: Рг = Б + аг(х), щ Е С{х).

Следующая теорема устанавливает, что любая дистрибутивная решетка является решеткой правых делителей некоторого ЛОДО.

Теорема 2.4.1. Пусть Ь - произвольная конечная дистрибутивная решетка высоты п. Тогда существует ДАламберов линейный обыкновенный дифференциальный оператор Р порядка п (не обязательно единственный) с коэффициентами из дифференциального поля рациональных функций такой, что решетка Ьр его правых делителей изоморфна Ь.

В третьей главе диссертации исследуются строение и алгебраические свойства решетки правых делителей Ьр линейного обыкновенного дифференциального оператора Р, когда все факторы в любой факторизации (т. е. в разложении на неприводимые множители) перестановочны.

Частично упорядоченное множество называется полной решеткой, если всякое его непустое подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань [14, стр. 42]. Пусть Ь - полная решетка. Элемент а 6 Ь называется компактным, если для любого подмножества А С Ь из а ^ \/ А следует а ^ V К для некоторого конечного подмножества К С А [5, стр. 27].

Определение 12. Элемент решетки Ь, покрывающий элемент называется атомом, а элемент, покрываемый элементом называется коатомом.

Решетка Ь называется алгебраической, если Ь ~ полная решетка и любой элемент из Ь есть точная верхняя грань некоторого множества компактных элементов [5, стр. 27]. Решетка Ь называется полу модулярной, если она удовлетворяет условию покрываемости сверху, т. е. а-<Ь=>а-\-с^Ь-\-с или а + с = Ь + с [6, стр. 224]. Решетка Ь называется геометрической, если она алгебраическая, полумодулярная, и компактными элементами которой являются конечные объединения атомов и только они [6, стр. 233].

Следующий результат дает алгебраическую характеризацию решетки правых делителей ЛОДО Р в случае, когда в любой факторизации оператора Р все факторы перестановочны.

Теорема 3.2.1. Решетка Ьр является геометрической тогда и только тогда, когда у оператора Р порядка п все факторы перестановочны.

В следующей теореме рассматривается независимое (в терминах теории решеток) подмножество атомов решетки правых делителей ЛОДО Р.

Элементы а^ ., ап модулярной решетки Ь с назовем независимыми^ если ох + . 1 + 0,1+1 + • • • + ап)щ = 0ь для всех г = 1,. ,п [14, стр. 108].

Метод пузырьковой сортировки описан в Приложении.

Теорема 3.2.11. Пусть Р = Р\ о . о Рп и все факторы перестановочны. Переместим Р^ вправо до /г((Д)) = 1 методом пузырьковой сортировки (г = 1,., п — 1). Тогда (Рг),., (Рп-1)5 (Рп) ~ независимое мноэюество атомов решетки Ьр и подрешетка, пороэтденная этим множеством конечна, дистрибутивна и булева.

Третий параграф посвящен доказательству теоремы о прямом разложении решетки Ьр в случае, когда все факторы перестановочны. В следующей теореме описывается строение решетки Ьр в этом случае.

Теорема 3.3.3. Пусть у оператора Р все факторы перестановочны. Тогда существует факторизация

Р = Р1оР2о.оР1оРкпо. ,.оРк1ч оРк21о.оРк2Я2о.оРкг1о.оРкгвг в которой мы имеем I ( где 1^0) попарно несходных факторов и г (где г^О) множеств факторов, в каждом из которых все факторы одного цвета, т. е. сходные) и решетка Ьр изоморфна прямому произведению I экземпляров 2 иг экземпляров решеток М^ подпространств камерных векторных пространств, г = 1,., г .

В силу принципа двойственности из теории частично упорядоченных множеств [6, стр. 17] все результаты настоящей работы справедливы для решеток левых делителей Л О ДО. Здесь рассматриваются сопряженные операторы, см. [4].

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Интегрируемые уравнения и стохастические системы» (г. Красноярск, КГПУ, рук. проф. В.М. Логинов, октябрь 2008),

Красноярском алгебраическом семинаре (рук. проф. В.М. Левчук, март 2009), семинаре «Математические модели и методы интегрирования» (г. Красноярск, ИВМ СО РАН, рук. проф. О.В. Капцов, март 2009), международной конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, август 2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9] - [13].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пургин, Александр Викторович, 2009 год

1. ГРЕТЦЕР Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. - 456 с.7. джекобсон Н. Теория колец. М.: Государственное издательство интстранной литературы, 1947. - 287 с.

2. ПИРС Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. - 543 с.9. пургин А. В. О решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов // Программирование. 2006.- N 2. С. 40-47.

3. СТЕНЛИ Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. -440 с.

4. BEKE E. Die Irreducibilität der homogenen linearen Differentialgleichungen.// Math. Annalen 1894. - V. 45. - P. 278-300.

5. BjöRK J. E. Rings of differential operators. 1979, North-Holland.18. cameron Peter J. Combinatorics: Topics, techniques, algorithms. Cambridge University Press. 1994.

6. COHN P. M. Algebra. V. 2. John Wiley Sons Ltd. 1977.20. van hoeij m. Factorization of differential operators with rational functions coefficients // J. Symbolic Comput. 1997. - V. 24. - P. 537-561.

7. Landau E. Uber irreduzible Differentialgleichungen // «/. für die reine und angewandte Mathematik. 1902. - V. 124. - P. 115-120.

8. Loewy A. Uber reduzible lineare homogene Differentialgleichungen// Math. Annalen. 1903. V. 56. P. 549-584.

9. LOEWY A. Uber vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen// Math. Annalen. 1906. - V. 62. - P. 89-117.

10. ORE O. Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen (Erster Teil) // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1932. - V. 167.- P. 221-234.