Индефинитные функции Шура и их свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Андреищева, Елена Николаевна

• Андреищева, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андреищева, Елена Николаевна

Введение.

1 Обобщённые функции Шура. Основные понятия и теоретические факты

1.1 Определение и общие свойства обобщённых функций Шура, Неванлинны и Каратеодори.

1.2 Геометрия индефинитных пространств.

1.3 Пространства Понтрягина и операторные узлы. Основной объект исследования.

1.4 Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов.

2 Исследование некоторых вопросов аппроксимации обобщённых функций Шура в окрестности единицы

2.1 Постановка задачи. Теорема Крейна - Лангера.

2.2 Преобразование Кэли - Неймана.

2.3 Спектральный анализ унитарных и самосопряжённых операторов.

2.4 О принадлежности вектора области определения оператора.

2.5 Условия аппроксимации обобщённой функции Шура в окрестности единицы.

3 Преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в индефинитном случае на окружности

3.1 Классический анализ Шура. Вспомогательные определения.

3.2 Преобразование Шура для обобщённой функции Каратео-дори на окружности. Схема алгоритма.

3.3 Основная граничная интерполяционная задача.

3.4 Факторизация в классе функций^1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Индефинитные функции Шура и их свойства»

Конечномерные пространства с индефинитной метрикой впервые появились в работах учёных в конце XIX века в связи с запросами физики. Известно, что все законы механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Однако открытые в 1864 году Максвеллом уравнения распространения электромагнитных волн оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея. Поиски формул перехода от одной инерциальной системы координат к другой, не меняющих вида уравнений Максвелла, привели к преобразованиям, называемым ныне преобразованиями Лоренца. В 1905 году А. Пуанкаре обнаружил, что преобразования Лоренца соответствуют повороту в четырёхмерном пространстве, имеющем три пространственных измерения и одно временное. В этом же году А. Эйнштейн опубликовал статью "К электродинамике движущихся тел", в которой заложил основы специальной теории относительности. В 1908 году Г.Минковский завершил построение четырёхмерной картины мира и на её основе создал соответствующую физическую модель.

С.Л.Соболев [30] в 1943 году, моделируя движение симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью, построил бесконечномерное пространство с индефинитной метрикой. В 1944 году появилась работа Л.С. Понтрягина [24], посвящённая самосопряжённым операторам в индефинитных пространствах (относительно индефинитной метрики). Дальнейшее своё развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М.Г.Крейна [19, 20],

И.С.Иохвидова [16], Р.Филлипса [69], М.А.Наймарка [22, 23], Г.К.Лангера [68], П.Йонаса [64], Т.Я.Азизова [1, 2, 3], А.А.Шкаликова [31], а также совместной работе И.С.Иохвидова и М.Г.Крейна [17], ряде совместных работ М.Г.Крейна и Г.К.Лангера [65, 66, 67], совместной работе И.С.Иохвидова, М.Г.Крейна и Г.Лангера [63], совместных работах Д.Алпая, Т.Я.Азизова, А.Дайксмы и Г.Лангера [32, 33, 34, 35, 36] и многих-многих других математиков (подробнее см. монографии [6] или [55]).

Одновременно в теоретической физике в связи с построением нелинейной теории элементарных частиц появились работы, в которых затрагивались вопросы, связанные с индефинитной метрикой.

В настоящее время библиография по теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и её приложениям практически необозрима.

Данная диссертация посвящена исследованию свойств обобщённых функций Шура и её унитарной реализации, построению алгоритма Шура на окружности для обобщённой функции Каратеодори, а также решению основной граничной интерполяционной задачи и задачи факторизации для обобщённой функции Каратеодори.

Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определённых и ограниченных единицей на единичном круге. Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях. Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура, встречаются в теории наиболее часто. Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура.

Операторное обобщение понятия класса Шура определяется множеством функций S(z), заданных и голоморфных на подобласти единичного круга содержащей нуль и принимающих значения во множестве непрерывных операторов б), где (5 - гильбертовые, пространства Пон-трягина либо пространства Крейна.

Каждой такой функции поставим в соответствие три ядра

I - S(z)S(cv)* I - S(z)S(uy

KsM = 1-zSJ ' = 1-257 '

Ds(uj,Z) = Ks{u<z) S(z)-SW \ z-u / где S(z) = S(z)* и / обозначает скалярную единицу или единичный оператор в зависимости от контекста. Когда эти ядра неотрицательны, они являются воспроизводящими ядрами гильбертовых пространствfj(S), D(S) векторно-значных функций. Данные пространства появляются в канонической модели сжимающих операторов для случая гильбертовых пространств в теории JI. де Бранжа [56] и Дж. Ровняка [57]. В общем случае у данных трёх ядер предполагалось наличие к отрицательных квадратов, для некоторого неотрицательного целого числа х. Тогда мы говорим, что функция S(z) принадлежит обобщённому классу Шура Sx^, (5). Согласно теории Л. Шварца и П. Сорьонена, в случае обобщённого класса Шура пространства Sj(S), f)(S), также существуют, однако теперь как пространства Понтрягина с отрицательным индексом к. Заметим, что индефинитность появляется и тогда, когда пространства $ и 65 являются пространствами Понтрягина или Крейна. Данный подход при конечномерных б впервые исследовался В.П. Потаповым [25] .

Индефинитные случаи также были изучены в сериях работ Т.Я. Ази-зова [4, 5], М.Г.Крейна и Г.Лангера [65, 66, 67], и недавних работах Л. де Бранжа.

Теория Крейна-Лангера предполагает, что пространства # и б гильбертовы, и необходимость такого подхода мотивируется спектральной теорией, классическими представлениями резольвент и вопросами теории функций.

Теория де Бранжа охватывает различные системы точек зрения и использует понятие дополнения для создания ключевой конструкции.

Однако, несмотря на то, что получено множество выдающихся результатов, индефинитная теория менее изучена, нежели гильбертов случай.

В свете вышеизложенного исследование качественных свойств функций Шура представляет несомненный интерес.

В настоящей работе мы подробно остановимся на аналоге результатов исследования М.Г. Крейна и Г. Лангера [66], полученных в 1977 году и связанных с актуальными проблемами современной математики, а именно с теорией приближения и факторизации функций в пространствах с индефинитной метрикой. В третьей главе мы исследуем свойства обобщённой функции Каратеодори, близкие к полученным в 2006 году Д. Алпаем, А. Дайксмой и Г. Лангером [41] и касающиеся алгоритма Шура для функций Шура и Неванлинны. В качестве результата, в третьей главе построено обобщённое преобразование Шура для обобщённой функции Карате-одори для точки, принадлежащей окружности.

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия, собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

На протяжении всей работы мы рассматриваем три класса скалярных функций - Шура, Неванлинны и Каратеодори, которые связаны между собой дробно-линейными преобразованиями. Функции из этих трёх классов будем обозначать s,g, и / соответственно. Для их определения нам понадобятся некоторые понятия и обозначения. Через D всюду в диссертации будем обозначать открытый единичный круг D = {£ : |£| < 1}, через 0, - подобласть D, содержащую нуль.

Определение 1.1.1. Скалярная функция K(z,u) двух переменных, определённая на £1 х П называется эрмитовым ядром, если

K{z, ш) = К (и, z), cj, z е Q.

Определение 1.1.2. Говорят, что эрмитово ядро K(z,w) имеет к отрицательных квадратов, если для любых конечных наборов {А,-}[=1 С матрица (К{\, Aj))[j=i имеет не более я отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно к.

Символами Ks(X,fi), Kg(a,{3), Kf(z,u) будем обозначать ядра, порождённые функциями Шура, Неванлинны, Каратеодори соответственно.

Класс мероморфных на Р функций s, для которых ядро вида Ks(A,/z) = -—где X,fi из области голоморфости функции s, имеет конечное число отрицательных квадратов назовём обобщённым классом Шура и обозначим где к - число отрицательных квадратов с учетом их кратностей.

Символом С+ будем обозначать открытую верхнюю комплексную полуплоскость. Обобщённым классом Неванлинны назовём множество мероморфных в С+ функций д, для которых ядро Кд(а,(3) = ^^— ос — (3 где а,(3 из области голоморфости функции д, имеет конечное число к отрицательных квадратов, и обозначим Nx.

Обобщённым классом Каратеодори назовём множество мероморфных в В функций /, для которых ядро Kf(z, uS) = ^^ имеет конечное

1 — ZUJ число х отрицательных квадратов, и обозначим Ся.

В параграфе 1.2 напоминается понятие индефинитной метрики, рассматривается структура индефинитных пространств, а также приводятся индефинитные аналоги определений, характерных для гильбертова случая.

Через (£ обозначим векторное пространство над полем С комплексных чисел. Мы определим на <£ полуторалинейную эрмитову форму Q{x,y), то есть отображение Q : (£ х (8 —> С, линейное по первому аргументу:

Q{\iXi + \2X2}y) = \iQ{xi}y) + \2Q{x2,y)} {xhx2,ye<£; АьЛ2бС),

1.2.1) и эрмитово симметричное:

Q(y,x) = Q(x,y), (ж,у е€). (1.2.2)

Эрмитову форму Q(x, у) со свойствами (1.2.1) и (1.2.2) называют (^-метрикой. Нам удобно будет ввести для неё и более краткое обозначение x,y] = Q(x,y) (х,у£<В). (1.2.3)

Заметим, что вещественное число [х, х] = Q(x,x) может иметь любой знак. Это даёт основание называть Q-метрику [я, у] также индефинитной метрикой. Введём следующую классификацию векторов и линеалов пространства (£; при этом договоримся, прописная готическая буква £ (возможно с индексами: £+, £~, £° и т. д.) будет обозначать линеал.

Определение 1.2.1. Вектор х 6 назовём положительным, отрицательным или нейтральным в зависимости от того, будет ли [;х, х] > 0, [х, х) < 0 или [х, х] = 0 соответственно.

Положительные (соответственно отрицательные) и нейтральные векторы объединяются общим термином неотрицательные (соответственно неположительные) векторы. Множества всех положительных, отрицательных и нейтральных векторов пространства (£ обозначим соответственно через 03++, 03" и 03°.

Обозначим также через 23+, 03" множества всех неотрицательных и неположительных векторов из (£ соответственно: 03+ = 03++ U 03°, 03" = 03"" U 03°.

Определение 1.2.2. Линеал £ С (£ назовём неотрицательным, неположительным или нейтральным, если £ С 03+, £ С 03~, £ С 03° соответственно. Все эти три типа линеалов объединяются общим названием семидефинитные линеалы.

Определение 1.2.3. Линеал £ называется положительным (отрицательным), если £ С 03++ U {0} (£ С 03 U {0}). Положительные и отрицательные линеалы объединяются общим названием - дефинитные линеалы.

Напротив, линеал £, содержащий как положительные, так и отрицательные векторы называется индефинитным.

Определение 1.2.4. Векторы х,у € (£ называются Q-ортогональными, если [х,у] = 0. Этот факт обозначается символом [L] : х[А.]у.

-ортогональность произвольных множеств 9Л, 51 С 6 естественно определяется требованием х[±]у (для всех хе9Лиу€У1)и обозначается

Щ±]У1.

Q-ортогональным дополнением множества Ш С £ называется множество = {х | ж[1]Ш1}.

Вектор Хо G £ называется изотропным вектором для £ С <£, если хо ^ 0 и х0[±]£.

Определение 1.2.5. Линейная оболочка всех изотропных векторов Хо 6 £ называется изотропным для £ линеалом и обозначается £°. Иными словами, £° = £ П Равенство £° = {0} означает отсутствие в £ изотропных векторов. В случае £° = {0} линеал £ называется невырожденным, в противном случае - вырожденным.

Параграф 1.3 посвящён геометрии пространств Крейна - главной арены действия линейных операторов, изучаемых в диссертации. Важнейший частный случай пространств Крейна - пространства Понтрягина -также рассматривается в параграфе 1.3.

Пусть J и б - векторные пространства с индефинитной метрикой. Обозначим прямое произведение и прямую ортогональную сумму пространств $ и 0 через $х<3 и ^[-fjtS соответственно. Напомним некоторые определения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Определение 1.3.1. Пространство 6 с индефинитной метрикой [х,у], допускающее каноническое разложение (£ = (£+[+](£", где (£+ и <£~ являются гильбертовыми пространствами по отношению к нормам а;|| = [ж,я]2 (х € <£+) и ||я|| = (—[х,х\)ъ (х € <£~) соответственно, будем называть пространством Крейна и обозначать К.

Если на пространстве Крейна /С индефинитная метрика задаётся как [•, •] = («/•, •), где J - самосопряжённый унитарный оператор, то /С называют J-пространством, а метрику, заданную таким образом - J-метрикой.

Определение 1.3.2. Оператор Т : /С —> /С назовём J-сжатием, если для любого х 6 JC выполнено неравенство [Тх,Тх] ^ [ж, ж].

Если одновременно с Т J-сжатием будет иТс = JT* «7, где Т* - гильбертов сопряжённый оператор, то Т будем называть J-бисжатием.

Свяжем с пространством /С числа ind±K = dim/С*, которые являются целыми или бесконечностью, не зависят от выбора канонического разложения и называются положительным и отрицательным индексами этого пространства.

Частным случаем пространств Крейна является пространство Понтря-гина и обозначается Пх, где к иногда называют числом положительных или отрицательных квадратов, в зависимости от того размерность какого подпространства (положительного или отрицательного) в каноническом разложении Пх минимальна.

Далее без ограничения общностей будем считать я числом отрицательных квадратов (размерностью максимального отрицательного подпространства).

Всё это нам понадобится в дальнейшем изложении работы.

Определение 1.3.3. Операторным узлом назовём структуру (К, С, Т, и, г>,7); где JC является пространством Крейна с индефинитной метрикой [•, •] и называется пространством состояний, операторТ непрерывный и называется связующим оператором, элементы и, v являются векторами пространства 1С, у - комплексное число. Таким образом, с операторным узлом можно ассоциировать оператор

Оператор Т называется главным оператором узла.

Всюду далее мы будем рассматривать операторный узел V, предполагая, что главный оператор Т является J-сжатием.

Определение 1.4.1. Будем говорить, что функция V(X) порождается непрерывным оператором или оператор V порождает функцию К(Л)), где К,\ является J\-пространством, если в некоторой окрестности нуля

Определение 1.3.4. Характеристической функцией узла V называется функция, порождённая оператором V вида (1.3.4);

Далее для краткости речи всюду в работе операторный узел будем называть оператором.

Задача реализации функции состоит в её представлении, как характеристической функции некоторого операторного узла

V е L(JC@C,1C®C) вида

У(А) = Vn + ЛVl2{I - XV22)~lV2l.

Qv( Л) = 7 + A[(l - Л Т)-ги, v], и, ve 1С, Хеш. s(X) = QV(X)

1.3.5) на Р. А само представление (1.3.5) называется реализацией функции5(Л). Мы назовём реализацию унитарной, изометрической или коизометриче-ской, в зависимости от соответствующих свойств оператора V.

В параграфе 1.3 вводится основной объект исследования - обобщённая функция Шура и её унитарная реализация. В параграфе 2.5 предполагается, что оператор V унитарен, то есть справедлива следующая система равенств (здесь 7 = 5(0)):

Каждая функция Шура допускает унитарную реализацию, то есть может быть представлена в виде (1.3.5), где оператор V является унитарным.

Также в параграфе 2.5 предполагается, что реализация минимальна, что означает минимальность оператора V.

Определение 1.3.5. Оператор V называется минимальным, если

Минимальная реализация функции Шура единственна с точностью до унитарного подобия: вместе с V вида (1.3.4) минимальной будет и реализация, соответствующая оператору

ТТ =/-[•,«]«, [i>, v] + |s(0)|2 = 1,

Tv + s(0)u = 0, TTC = /-[•, u]u, M + |s(0)|2 = l, Tcu + s(0)v = 0.

1.3.6)

К = з.л.о.{Тпи, (Tc)mv : n, m = 0,1,2,.}. где оператор

S 0 .

- J-унитарный.

V0

Определение 1.3.6. Пусть Т — сжатие в пространстве Понтря-гина Пн. Скажем, что элемент и 6 Пх является порождающим для оператора Т, если I

Пх= з.л.о.{(1 - ХТ)~1и, ЛеП, -т<£аР(Т)}, А где О - малая окрестность нуля.

Определение 1.4.2 нам понадобятся в параграфе 1.4. Определение 1.4.2. Будем говорить, что V(X) Е ГIх, если оператор V является Jф Ji-унитарным, а пространство является пространством Понтрягина с к отрицательными квадратами.

В качестве одного из результатов в параграфе 1.4 приводится пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов.

Известно [6, стр.328], если V(X) = XlVi - голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, то следующие утверждения эквивалентны: а) V(X) 6 IF; б) отрицательные части спектров каждого из операторов jin)—y(n)*j(n)v^ состоят не более, чем из к отрицательных собственных значений, а отрицательные части спектров операторов J — VqJVq и J — VqJVq - из равного количества н\ ^ х отрицательных собственных значений (с учётом крат-ностей), где № = J ф J $ • • • ф J, V^ = (Kj')fj=o ~ теплицевы матп+1 рицы, действующие из /С^ в KSn\ где является -пространством, /С(п) = К, ф /С ф • • • ф К и выполнено V-j = 0 при i > j, Vy = Vj-i при n+l j, i,j = 0,n, n = 0, oo; . J-V(\)JV(n) . в) ядро -—— имеет не более к отрицательных квадратов,

1 — \\i а отрицательные части спектров каждого из операторов J — VqJVq и J — V0JVq состоят из к\ < х собственных значений (с учётом кратности).

Цель параграфа 1.4 - показать, что указанные в пунктах (б) и (в) уело- J-V(\)JV(H) вия нельзя ослабить, положив лишь, что ядро вида-=-име

1 — Хц ет х отрицательных квадратов. Заметим, что в [6, Лемма 3.14] показано, что при условии 1 6 p{V{0)) для выполнения пункта (а) достаточно, что-J - V*(\)JV{fi) бы лишь ядро-—— имело х отрицательных квадратов.

1 — X/I

Таким образом, в качестве примера в параграфе 1.4 мы рассматриваем ь Л функцию V(A) = V = :К+е/С- -*/С+ф/С', 0 U) где С/ : /С —» К - оператор сдвига по базису вправо такой, что всякий вектор вида х~ — (xj, х^ ,.) G Кг переходит в вектор Ux~ = (0, Xi, >•••)> 1+ ~ тождественный оператор, действующий в пространстве /С+.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов аппроксимации функций Шура в окрестности единицы. В параграфе 2.1 осуществляется постановка задачи, напоминаются некоторые определения, рассматривается вспомогательные теоремы 2.1.2 и 2.1.3. В параграфах 2.2-2.3 рассмотрены некоторые теоретические факты спектральной теории и гармонического анализа операторов, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 2.1.2 используется для доказательства основного результата второй главы - теоремы 2.5.1.

Пусть 5 - голоморфная в окрестности нуля функция. Если |s(0)| < 1 и для любого к ^ 2 выполнено условие 5(0) = . = ^(0) = 0, то справедливо преобразование Шура вида:

1 s(A)-s(0)

Sfc(A) = ке{ 1,2,.}.

Afcl-s(0)5(A):

Наиболее подробно о преобразовании Шура будет рассказано в третьей главе.

Теорема 2.1.2.[36] Пусть 5(A) голоморфная в окрестности нуля функция, |s(0)| < 1 и для некоторого натурального числа k ^ 2 выполнено: s(0) = . = s^k-1\0) = 0.

Пусть V — минимальный унитарный оператор, характеристическая функция которого совпадает с 5(A).

Тогда

С = з.л.о.{у, Tcv,., Т^-%}, С' = з.л.о.{и, Ти,., Т^Ц k-мерные положительные подпространства К, и функция sk(А) является характеристической для минимальных операторов Vk и V'k :

14

Tk Uk l,vk] sk(0)

С С с с

2.1.4)

Причём

Тк = РТР, 1 ик =

Vk =

Л-Н0)|2

1 РГЧ 5,(0)^

Ри

2.1.5)

Ш —|s(0)|2 где Р — ортопроектор в К на подпространство К, = K,Q С. vA

Vk =

Tk ч

Л) 4(0) с с с с

2.1.6)

Причём

T'k = QTQ, щ = 1 Qu,

V 1 ~ 1-®С°>1 to 1 71 v - 1 i (0) - 1 sW(0) (2'L7) k\l — |s(0)|2 ' где Q — ортопроектор в К на подпространство К' = 1С О

Через 5 = {Л} обозначим класс плотно заданных операторов Л, для каждого из которых при некотором а = а (Л) > 0 все /2 : Re/x > а являются регулярными и найдётся константа с = с(Л) такая, что

1Р-МПК с

Re !i — а Через Г1у обозначим множество

7Г = {//: | arg/z| ^ у»}, где 0 < <р < -.

В параграфе 2.4 доказываются следующие теоремы, необходимые нам в параграфе 2.5 при доказательстве леммы 2.5.1.

Теорема 2.4.4. Пусть Пх = П+[+]П~ - пространство Понтрягина с dimEL = к < оо. Пусть Т - сжатие в Пх и 1 ар(Т). Пусть х 6 Пх. Тогда для выполнения условия л

Шп[(/ - АТ)-1^, (/ - ЛТ)"1^] < оо, Л = j^p б Цр, (2.4.23) необходимо и достаточно, чтобы х G ran(Т — I). В этом случае lim(7 - ЛТ)"1^ = (/ - Т)"1^. (2.4.24)

А—* 1

Теорема 2.4.3. Пусть А - максимальный диссипативный оператор в пространстве Понтрягина

Пх = П+[+]ГГ, dimir = x<oo. (2.4.20)

Пусть при некотором х Е Т1Х имеет место неравенство: lim [L(fi, А)х, L(II, А)Х] < оо, (2.4.21) где Ь(ц, А) = ц + /л2(А - pi)'1. Тогда х G dom А.

Теоремы 2.4.1 и 2.4.2 параграфа 2.4 носят вспомогательный характер. Теорема 2.4.1. Пусть В - банахово пространство и оператор А : В В, пусть А € £. Тогда при каждом х € В имеем: lim ц(А - [il)~lx = -х. (2.4.16) ц-юо, цеПр

Теорема 2.4.2. Пусть В - рефлексивное банахово пространство и А 6 £. Обозначим через L(/i, А) = + /л2(Л — ju/)-1. Тогда при фиксированном х Е В множество

Ла1 = {L(/i, А)х\ Re ц ^ а! > а, /2 £ ограничено тогда и только тогда, когда х G dom Л. Если Afll ограничено, то lim L(fi,A)x = —Ах. (2.4.18)

В работе [66] была доказана следующая теорема

Теорема 2.1.1.(Крейн-Лангер)[66] Для функции g в некоторой области Wg следующие свойства:

1. 9 е NK

2. для некоторого целого числа п ^ О, существуют 2п вещественных чисел sq,s\,. ., S2n-i таких, что имеет место разложение:

2п-1 / 1 \ ffW + £ ^ТТ = 0 Ьяг . а - 00, а 6 (2.5.36) выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх , максимальный эрмитовый оператор А в Пх и порождающий элемент и Е dom Ап для оператора А такие, что справедливо: g(a) = [(А - aiy\u\, a 6 С+\ар{А). (2.1.2)

В этом случае:

Su={ J (2.1.3) [Апи, А"~пи], n<v^2n-l.

Наша цель - получить подобный результат для функции Шура. Идейно такой результат ожидаем, но только сейчас удалось решить его технически. С этим связаны кажущиеся слишком подробными вычисления второй главы.

Лемма 2.5.1. Для функции s, Хе Ад с 5(0) ф 0 следующие свойства:

1. 5 € Sx;

2. lims(A) = 1; л—>1 я —1 — |s(A)|2 выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, сжимающий оператор Т в Пх и порождающий элемент и £ dom(/ — Т)"1 для оператора Т такие, что справедливо представление: s(X) = lJ-^-[(I-XT)-1(I~T)-\Tcu], АеЮ), i фар(Т). (2.5.26) s(0) л

Теорема 2.5.1. Пусть s(A) = XkSk{X), sj.(0) Ф 0, k < п, тогда следующие свойства:

1. s £ SH, где Sx— обобщённый класс Шура;

2. для некоторого натурального числа п > 0, существуют 2п чисел Ci,C2,., С2п таких, что имеет место разложение:

2 п s{\) = 1 - СЛЛ - 1У + °((л - Ч2^1)' А 1, А е Л*; (2.5.31) и=1 выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, сжимающий оператор Т в Пх и порождающий элемент и € dom((/ - Т)"(п+1)) для оператора Т такой, что справедливо представление: s{А) = Xk - =Afc(A - 1)[(/ - ХТ)~\1 - Ту1Тк+\Тки], sfc(O)

AgB, \$ор(Т). (2.5.32) Л

В этом случае 1

Г С1~Ш - ТкиI - CI 1 < I/ < к + 1;

Су = - Ту^Ги, Тки], к + 1 ^ zy < п; - Т)~^Тпщ (/ - ТС)-^ТС^Т% п + Ю < 2п.

2.5.33)

Третья глава посвящена исследованию обобщённой функции Карате-одори, которая связана с обобщённой функцией Шура дробно-линейным преобразованием - преобразованием Кэли-Неймана.

Параграф 3.2 посвящён построению обобщённого преобразования Шура для обобщённой функции Каратеодори. Через Т обозначим единичную окружность. ПуСТЬ Z\, Zq £ Т, Z\ ф z0, \z\ < 1.

Мы рассматриваем обобщённую функцию Каратеодори f(z), которая для некоторого целого р ^ 1 имеет в^еТ ассимптотическое разложение

2р-1 f(z) = то + £ ф - z{f + 0((z - Zl)2n, z-*ZL (3.2.3)

Дробно-линейное преобразование f(z) = Xe~l(f(z)), гДе © ~ матричная функция, будем называть обобщённым преобразованием Шура для обобщённой функции Каратеодори.

По теореме [41, Теорема 1.1] функция Q(z) может быть представлена следующим образом где zq - точка единичной окружности, отличная от точки z\% G - подматрица размерности к матрицы Грама векторов fi(z), г = 0,1, .,р — 1 вида

Исходя из этого доказано, что матрица G имеет следующий вид

0(z) = h - (1 - z4)F(z)G-lF(z0yjf, тк 0 0 . О

П+1 п о . о G = 4+2 п+1 Тк . о ох j2k-l r2k-2 ^2fc-3 ••• Ч I

О О

О О

О C\z\ ~zl C\i2

О (-1 fCUz\

2 Jfc-Л

-1 r^ci^x-3 (-1 fcilZ

Лк-2

Функция F(z) представима в виде

ZTj

F(z) = I {l-zzl) {\-zz\Y

1 г

-«,*) (l-zz?)2

Иначе можно записать следующим образом где = z ro (1 -zz\)k rfe-i tn U = l-ZZjf) (1-ZZj)2

Обозначим через p(z) полином степени deg p(z) ^ к — 1 вида p(z) = (l-zzl)kR(z)G-lR(z0)\

-1

3.2.10)

Исходя из вышесказанного, формула представления матрицы 6(2:) имеет вид

9(г) = I2-(l-zz*0)R(z)G-lR{z0)*uu*Jf = /2

1 ~ zzS)

1 - zz\)k p(z)

-1

Найдём обратную матрицу Q(z)

-1 rv \-i г (12;2о) / ч I т° тото

1 - zz*)kJ

1 Tn

Итак, получили обобщённое преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в точке z\ на окружности: м =

1 - zz\)k - 7-0(1 - zzj)p(z)}f(z) - r0r0*(l - zz*0)p(z) -(1 - zz*0)p(z)f{z) + {(1 - ZZt)k - 7j( 1 - ZzS)p{z)} (3.2.13)

В параграфе 3.3 мы формулируем и приводим доказательство основной граничной интерполяционной задачи для обобщённой функции Каратео-дори.

Пусть z\ £ Т, где Т - единичная окружность, для целого числа к ^ 1 существует набор комплексных чисел то, г^, 1,., Tik-\ с условием то + ro = тк Ф 0 и такой, что матрица G вида (3.2.9) является эрмитовой.

Основная граничная интерполяционная задача состоит в том, чтобы определить все функции / 6 Сх такие, что имеет место асимптотика

2Jfc-l и=то+Y, - +- z (3-3-14) i—k

Через C^'2k обозначим обобщённый класс Каратеодори функций, голоморфных в точке z\ и для которых справедлива асимптотика (3.3.14).

Если функция f(z) является решением основной граничной интерполяционной задачи, то f(z) принадлежит некоторому классу С^'2к, где я е Ъ и к ^ *c-(G) - число отрицательных квадратов матрицы G.

Определим также точку zq е T\{zi} и полином p(z) по формуле (3.2.10).

Теорема 3.3.1. Дробно-линейное преобразование {(1 - zz\)k - т0*(1 - zz*Q)p(z)}f(z) + т0т0*(1 - zzSMz) (1 - z4)p(z)J(z) + {(1 - zz\Y - r0(l - zzl)p(z)} устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми решениями f(z) е С%;2к основной граничной интерполяционной задачи и всеми функциями f(z) 6 для которых liminf \f(z) — го| > 0, (3.3.16)

Z—tZi где к = я — х (G).

Цель параграфа 3.4 - исследовать факторизацию класса рациональных функций на элементарные множители.

Определение 3.4.1. Произведение (или факторизация) e(z) = 0i(z)©2(z), (3.4.18) где 0(2;), ©1(2), 02(z) - рациональные р х р матричные функции, называется минимальной, если deg©i@2 = degOi + deg©2, где степени deg@i@2,deg@i,deg©2 понимаются в смысле Макмиллана.

Факторизация (3.4.18) называется тривиальной, если не менее одного множителя является постоянной матрицей.

Рациональная функция @(z) называется элементарной, если она не допускает нетривиальных минимальных факторизаций.

Если функция Q(z) является J-унитарной, факторизация (3.4.18) называется J-унитарной только тогда, когда оба множителя ©1(2) и ©2(2) - J-унитарны.

В случае, когда @(z) является рациональной и J-унитарной функцией на Т, ядро . , Jf - e(z)jfe(wy

KQ(Z, W) = -i

1 - zw* имеет конечное число положительных и отрицательных квадратов.

Обозначим через V(Q) пространство Понтрягина, порождённое ядром Ke(z,w).

Обозначим через Щ1, где zi в Т, класс всех рациональных 2x2 матричных функций, обладающих свойством J-унитарности на T\{£i} и имеющих единственный полюс в точке z\. Класс Щ1 является подпространством ?(©).

Пусть точка zq € T\{2i} - фиксированная на окружности. Определение 3.4.2. Функция = 0(z)O(2;o)~1 называется нормализованной матричной функцией.

В параграфе 3.4 был доказан следующий результат Теорема 3.4.3. (1)Нормализованная матричная функция Q(z) е Щ1 элементарна тогда и только тогда, когда она представила в виде e<z) = h - (l-zSP(Z)UU'J'' (ЗА20) М где k G Z, к ^ 1, вектор - J-нейтральный: и* J и = 0, p(z)

-ч полином степени deg p(z) ^ к — 1 и удовлетворяющий условиям p(z) - z0(-zl)kzk-lp(l/zr = 0, p(Zl) ф 0.

2) Каждая функция 0(z) G Щ1 допускает единственную минимальную факторизацию e(z) = el(z)--.en(z)U, для которой каждая функция Oj(z) является нормированной элементарной матричной функцией из класса Щ1 и U = G(zo) является Jf-унитарной константой.

Это показывает, что функция 0(г), соответствующая обобщённому преобразованию Шура для обобщённой функции Каратеодори и основной граничной интерполяционной задаче в предыдущем параграфе, является нормированным элементарным множителем в Uzfl.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносовские чтения" 2006 года (Севастополь, Черноморский филиал МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006); Воронежской зимней математической школе им.С.Г.Крейна (Воронеж, 2006); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения -XVII" (Воронеж, 2006); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007); Международной научной конференции "Операторная теория в пространствах Крейна и операторные многочлены "(Берлин, 2006); Международной конференции "Современный анализ и его приложения "(Одесса, 2007); Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" "Петровские чтения - 2007"(Москва, 2007); на семинаре "Спектральная теория операторов в индефинитных пространствах" (Воронежский госуниверситет, руководитель проф. Т.Я. Азизов).

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00203-а).

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Т.Я. Азизову за постановку задачи, постоянное внимание к работе, поддержку и полезные советы в ходе исследования, а также профессору А.Дайксме (Нидерланды, Университет г.Гронингена) за внимание к работе и полезные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андреищева, Елена Николаевна, 2007 год

1. Азизов Т.Я. Инвариантные подпространства и критерии полнотысистемы корневых векторов J-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина П* / Т.Я. Азизов // ДАН СССР. 1971. -Т.200, №5. - С.1015-1017.

2. Азизов Т.Я. Об инвариантных подпространствах коммутативных семейств операторов в пространстве с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов // Укр.мат.журн. 1976. - Т.28, №3, с.293-299.

3. Азизов Т.Я. О полноте и базисности системы собственных и присоединённых векторов J-самосопряжённых операторов класса К{Н) Т.Я.Азизов // ДАН СССР. 1980. - Т.253, №5. - С.1033-1036.

4. Азизов Т.Я. К теории расширений изометрических и симметрических операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я.Азизов // Деп. ВИНИТИ., 1982, 29 с. №3420-82.

5. Азизов Т.Я. К теории расширений J-изометрических и Jсимметрических операторов/ Т.Я.Азизов // Функ.анализ и его прилож. 1984. - Т. 18, №1. - С.57-58.

6. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствес индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. М.: Наука, 1986. - -352 с.

7. Андреищева Е.Н. Об аппроксимации обобщённой функции ШураЕ.Н.Андреищева //Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2006: Тез. докл. - Воронеж, 2006. - С. 8-9.

8. Андреищева Е.Н. Условия представления обобщённой функции Шурав окрестности единицы /Е.Н.Андреищева // Современные методы теории краевых задач "Понтрягинские чтения XVII": материалы Воронеж весен, мат. школы. - Воронеж, 2006. - С. 6-7.

9. Андреищева Е.Н. Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов /Е.Н.Андреищева //Труды молодых ученых Воронежского государственного университета. Воронеж, 2006. -№ 1-2. - С. 4-6.

10. Андреищева Е.Н. Задача о представлении обобщённой функции Шура в окрестности единицы /Е.Н.Андреищева // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. школы. Воронеж, 2007. - С. 9-10.

11. Андреищева Е.Н. О некоторых задачах аппроксимации обобщённыхфункций Шура в окрестности единицы / Е.Н.Андреищева // Ма-тем.заметки. 2007. - Т.82, № 1. - С. 154-159.

12. Андреищева Е.Н. О некоторых задачах аппроксимации обобщённых функций Шура в окрестности единицы / Е.Н.Андреищева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2007. - Ж. - С. 86-94.

13. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966. -316 с.

14. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов / Ю. М. Березанский. К.: Наукова Думка, 1965. - 798 с.

15. Иохвидов И. С. Унитарные операторы в пространстве с индефинитной метрикой / И. С. Иохвидов // Зап. НИИ мат. и мех. Харьков, гос. ун-та и мат. о-ва. 1949. - № 21, - С. 79-86.

16. Иохвидов И. С. Спектральная теория операторов в пространствах синдефинитной метрикой / И. С. Иохвидов, М. Г. Крейн // Тр. московского матем. общества. Москва, 1956. - Т. 5. - С. 367-496.

17. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. М.: Наука, 1989. - 624 с.

18. Крейн М.Г. Об одном применении принципа неподвижной точки втеории линейных линейных преобразований с индефинитной метрикой / М.Г. Крейн // УМН. 1950. - Т.5, №. - С.180-190.

19. Крейн М.Г. О спектральной функции самосопряжённого оператора впространстве с индефинитной метрикой / М.Г. Крейн, Г.К. Лангер // ДАН СССР. 1963. - Т. 152, М. - С.39-42.

20. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

21. Наймарк М.А. О перестановочных унитарных операторах в пространстве Пж / М.А. Наймарк // ДАН СССР. 1963. - Т.149, №6. -С.1261-1263.

22. Наймарк М.А. Аналог теоремы Стоуна в пространстве с индефинитной метрикой / М.А. Наймарк // ДАН СССР. 1966. - Т.170, №6.- С.1259-1261.

23. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой / Л.С. Понтрягин // Изв. АН СССР, серия матем.- Москва, 1944. Т.VIII, № 6. - С. 243-280.

24. Потапов В.П. Мультипликативная структура J-нерастягивающихматриц-функций / В.П. Потапов // Тр. Москов. мат. о-ва. Москва, 1955. - Т.4, С.125-236.

25. Рудин У. Основы математического анализа. / Н. Рудин. М.: Мир,1966. 320 с.

26. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. М.: Мир, 1975. - 445 с.

27. Садовничий В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высшая школа, 1999. 368 с.

28. Секефальви-Надь Б. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш. М.: Мир, 1970. - 432 с.

29. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С.Л. Соболев. ЖПМТФ. - 1960. - Т.З. -С. 20-55.

30. Шкаликов А.А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна.Инвариантные подпространства и свойства сужений / А.А. Шкаликов // Функц.анализ и его прилож. 2007. - Т.41, №2. -С. 93-110.

31. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions, I:Coisometric realizations / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2001. -Vol.129. - P.l-36.

32. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions II: Jordanchains and transformations of characteristic functions / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Monatsh. Math. 2003. - Vol.138, M. - P. 1-29.

33. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions, III: Junitary matrix polynomials on the circle / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2003. - Vol. 369. -P.113-144.

34. Alpay D. A basic interpolation problem for generalized Schur functionsand coisometric realizations / D. Alpay, T. Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2003. - Vol. 143. - P. 39-76.

35. Alpay D. The Shur Algorithm for Generalized Schur Functions IV:Unitary Realizations / D. Alpay , T. Ya. Azizov , A. Dijksma , H. Langer , G. Wanjala // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 2004. - Vol. 149. - P. 23-45 .

36. Alpay D. Colligations in Pontryagin spaces with a symmetriccharacteristic function / D. Alpay , T. Ya. Azizov , A. Dijksma , J. Rovnyak // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 2002. -Vol. 130. - P. 55-82 .

37. Alpay D. Interpolation problems, extensions of symmetric operators andreproducing kernel spaces II / D. Alpay , P. Bruinsma , A. Dijksma , H. de Snoo // Integral Equations and Operator Theory. 1991. - Vol. 14. - P. 465-500.

38. Alpay D. Factorization of J-unitary matrix polynomials on the line anda Schur algorithm for generalized Nevanlinna functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2004. - Vol. 387. -P.313-342.

39. Alpay D. ^-unitary factorization and the Schur algorithm for Nevanlinnafunctions in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2006. - Vol. 419. - P. 675-709.

40. Alpay D. The transformation of Issai Schur and related topics in indefinitesetting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2007. - Vol. 176. - P.l-98.

41. Alpay D. The Schur transformation for generalized Nevanlinna functions:interpolation and self-adjoint operator realizations / D. Alpay, A.Dijksma, H. Langer, Y. Shondin // Complex Analysis and Operator Theory. 2006. - №1 (2). - P.l-56.

42. Alpay D. Basic boundary interpolation for generalized Schur functionsand factorization of rational J-unitary matrix functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Linear Algebra Appl. 2006. - Vol. 165. - P.1-29.

43. Alpay D. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernelPontryagin spaces / D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, H. de Snoo // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1997. -Vol. 96. - P.229.

44. Alpay D. Hilbert spaces of analytic functions, inverse scattering andoperator models, I / D. Alpay, H. Dym // Integral Equations and Operator Theory. 1984. - Vol. 7. - P. 589-641.

45. Alpay D. On applications of reproducing kernel spaces to the Schuralgorithm and rational J-unitary factorization / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1986. -Vol. 18. - P. 89-159.

46. Alpay D. On reproducing kernel spaces, the Schur algorithm, andinterpolation in a general class of domains / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1992. -Vol. 59. - P. 30-77.

47. Alpay D. On a new class of reproducing kernel spaces and a newgeneralization of the Iohvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1993. - Vol. 178. - P.109-183.

48. Alpay D. On a new class of realization formulas and their applications /D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1996. - Vol. 241-243. -P.3-84.

49. Alpay D. Unitary rational matrix functions / D. Alpay, I. Gohberg //Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1988. - Vol. 33. - P.175-222.

50. Alpay D. Discrete analogs of canonical systems with pseudoexponentialpotential. Definitions and formulas for he spectral matrix functions / D. Alpay, I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2006. - Vol. 161. - P.l-47.

51. Andreishcheva E. Approximation of Generalized Schur functions /E. Andreishcheva // International Conference "Sixth Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Operator Polynomials": Book of abstracts. Berlin, 2006. - P. 10.

52. Andreishcheva E. Representation of Schur function for case of unitaryrealization / E. Andreishcheva // International Conference "Modern Analysis and Applications": Book of abstracts. Kyiv, 2007. - P. 8-9.

53. Andreishcheva E. On the Representation of Schur function for case ofunitary realization / E. Andreishcheva // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы ": Сборник тезисов. Москва, 2007. - С. 18.

54. Bognar J. Indefinite inner product spaces /J. Bognar. Berlin: Springer,1974. 345p.

55. De Branges L. Some Hilbert spaces of analytic functions I / L.de BrangesTrans. Amer.Math.Soc. 1963. - Vol.106. - P.445-468.

56. De Branges L. Canonical models in quantum scattering theory / L.deBranges, J.Rovnyak // Wiley. New York, 1966. - P.295-392.

57. Dijksma A. Minimal realizations of scalar generalized Nevanlinnafunctions related to their basic factorization / A. Dijksma, H. Langer, A. Luger, Y. Shondin // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2004. - Vol. 154. - P. 69-90.

58. Dijksma A. Generalized Schur functions and augmented Schurparameters / A. Dijksma, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2005. - Vol. 162. - P. 135-144.

59. Dym H. J-contractive matrix functions, reproducing kernel Hilbert spacesand interpolation / H. Dym //Conference Board of the Mathematical Sciences, regional conference series in mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 1989. - Vol.71.

60. Dym H. On reproducing kernel spaces, J-unitary matrix functions,interpolation and displacement rank / H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1989. - Vol. 41. - P. 173-239.

61. Gohberg I. Schur methods in operator theory and signal processing / I.Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1986. - Vol. 18. - P. 30-77.

62. Iohvidov I. S. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaceswith an Indefinite Metric / I. S. Iohvidov, M. G. Krein, H. Langer,Berlin: Mathematical Research, Akademie-Verlag, Band 9, 1982. -120 p.

63. Jonas P. On the functional calculus and the spectral function fordefinizable operators in Krein space /Р. Jonas // Beitrage Anal. -1981. Vol.16. - P. 121-135.

64. Krein M.G. Uber die verallgemeinerte Rezolventen und die charakteristische Funktion eines isometrischen Operators in Raume Пк / M. G. Krein, H. Langer // Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai. Tihany (Hungary), 1970. - Vol.5. - P.353-399.

65. Krein M.G. Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit der Theoriehermitescher Operatoren im Raume П« zusammenhangen. I. Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen / M. G. Krein, H. Langer // Math. Nachr. 1977. - Vol.77. - P.187-236.

66. Krein M.G. Some propositions on analytic matrix functions related to thetheory of operators in the space Пк / M.G. Krein, H. Langer // Acta Sci. Math. Szeged. 1981. - Vol. 43. - P. 181-205.

67. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces /H.Langer // Lecture Notes in Mathematics. 1982. - №948, P.l-46.

68. Phillips R. The extension of dual subspaces invariant under an algebraR. Phillips // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces. Paris: Pergamon Press, 1961. - P. 366-398.

69. Wanjala H. Closely connected unitary realizations of the solutions to thebasic interpolation problem for generalized Schur functions /H. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2005. - Vol. 160. - P. 441-468.