Моделирование напряженно-деформированного состояния крупногабаритного трансформируемого рефлектора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Усманов, Давид Бисенович

• Усманов, Давид Бисенович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Усманов, Давид Бисенович

Введение.

1.3адачи моделирования конструкции рефлектора.

1.1. Характеристика процессов деформирования трансформируемых конструкций рефлекторов.

1.2. Декомпозиция сложной модели.

1.3. Типы формулировок задач для моделирования конструкции.

1.4. Кинематика деформирования односвязной области.

1.5. Описание деформации и меры деформации.

1.6. Силы внутренних напряжений.

1.7. Лагранжевы формулировки слабой формы.

1.8. Конечно-элементная дискретизация слабой формы.

1.9. Типы постановок задач для моделирования рефлектора.

2.Нелинейная конечно-элементная аппроксимация упругого движения тела.

2.1. Дискретизация модифицируемой лагранжевой формулировки.

2.2. Элементные координаты.

2.3. Матрица масс.

2.4. Матричная форма уравнений модифицируемой лагранжевой формулировки.

2.5. Численное интегрирование.

2.6. Уравнения полной лагранжевой формулировки.

2.7. Дискретизация полной лагранжевой формулировки.

3.Алгоритмы решения дискретной задачи.

3.1. Формулировка задачи с начальными условиями.

3.2. Алгоритм метода неявного интегрирования.

3.3. Линеаризация дискретных уравнений.

3.4. Матрицы тангенциальной жесткости.

3.5. Алгоритмы решения дискретных уравнений.

3.6. Критерии сходимости итерационных процедур.

3.7. Автоматический контроль длины шага.

3.8. Моделирование интерфейсов.

3.9. Формирование многосвязной области.

4.Размерно-редуцированные модели компонент рефлектора.

4.1. Представление конечных поворотов.

4.2. Модель мягкой оболочки зеркала рефлектора.

4.3. Модель балки в трехмерном пространстве.

5.Результаты численного моделирования.

5.1. Крупногабаритный рефлектор как объект моделирования.

5.2. Проектная геометрия офсетного рефлектора.

5.3. Модель формообразующей структуры рефлектора.

5.4. Модель силовой конструкции рефлектора.

5.5. Реализации алгоритма отыскания равновесной конфигурации на модельных задачах.

5.6. Определение монтажных напряжений в опорных сетях.

5.7. Базовое напряженно-деформированное состояние рефлектора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование напряженно-деформированного состояния крупногабаритного трансформируемого рефлектора»

Прецизионные трансформируемые крупногабаритные конструкции антенных рефлекторов становятся ключевыми компонентами технологии современной спутниковой связи, однако их создание представляет собой сложную техническую задачу. В ряде практических случаев гладкая поверхность зеркала из тонкой металлической сетки аппроксимируется предварительно-напряженной фермой из гибких элементов - тонких нитей, t лент и т.п., обеспечивающих трансформируемость конструкции рефлектора его развертывание из сложенной конфигурации в рабочую.

Такая аппроксимация зеркала приводит к образованию фасетов (многоугольников) с криволинейными границами. Достижению высокого качества отражения электромагнитных волн от зеркала рефлектора препятствуют в первую очередь эффекты седлообразования формы отражающей сетки внутри границ фасетов, которые носят устойчивый характер и характеризуются как систематические отклонения поверхности, т.е. являются присущими самой природе конструкции рефлектора, и, следовательно, подлежат коррекции в процессе проектирования.

Обеспечение качества поверхности зеркала вместе с другими техническими требованиями требуют адекватного прогнозирования эксплуатационных характеристик конструкции рефлектора в силу того, что их экспериментальная отработка затруднительна. Механическое поведение полностью ассемблированной системы рефлектора невозможно спрогнозировать рассмотрением изолированного поведения отдельной ее компоненты, каждая из которых, физически представляет собой определенное объединение тел.

Целями работы настоящей работы являются:

1) разработка математической модели механического поведения крупногабаритного трансформируемого рефлектора на основе его представления в виде совместной системы деформируемых твердых тел различной пространственной размерности;

2) разработка алгоритма пошагового расчета процесса деформирования конструкции рефлектора, включающего генерацию односвязных субдоменов размерно-редуцированных моделей конструктивных элементов рефлектора и их связывания в совместную систему;

3) исследование напряженно-деформированное состояние конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора при воздействии внутренних и внешних нагрузок;

4) определение формы зеркала крупногабаритного трансформируемого рефлектора для различных деформированных конфигураций конструкции

Формулировки задач механики деформируемого твердого тела для вантово-мембранных систем принято считать нелинейными, поскольку для гибких тел являются характерными малые удлинения и сдвиги, а также большие относительные повороты волокон материалов [1]. Наряду с учетом нелинейности геометрических соотношений, необходимо принимать во внимание и появляющиеся при этом нелинейности определяющих соотношений физического состояния материала. Кроме того, в нелинейных задачах текущая конфигурация системы не отождествляется с ее отсчетной конфигурацией.

В механике деформируемого твердого тела конструкция рассматривается как многосвязное сплошное тело, объединенное из отдельных односвязных областей. Характеристики деформирования многосвязного тела могут быть получены с помощью методов анализа односвязных тел (областей) [2,3]. Тогда вопросы, связанные с деформацией конструкции в целом, сводятся к определению внутренних сил, возникающих в интерфейсах компонент и точках закрепления конструкции.

Прогнозирование формы тонкой мембраны зеркала подкрепленной вантовой сетью формулируется как обратная задача механики деформируемого твердого тела по отысканию равновесной формы тонкой напрялсенной мембраны в многосвязной системе. Эта задача эквивалентна отысканию минимальной поверхности [4]. С механической точки зрения, минимальные поверхности определяются изотропным полем напрялсений. Математически эта задача формулируется как отыскание оптимального распределения поля перемещений тонкой мембраны при заданном распределении поля напряжений. Для технических приложений этот подход является более предпочтительным, поскольку он непосредственно формулируется в терминах напряжений, которые предопределяют конфигурацию мембранной конструкции.

При описании напряженного состояния гибких элементов в текущей конфигурации с помощью тензора напряжений Коши с возникают определенные сложности, связанные с отсутствием априорной информации об актуальной конфигурации. В связи с этим в механике деформируемого твердого тела используются альтернативные описания напряженного состояния с использованием отсчетной конфигурации [2,3,5-15], которая входит в число известных данных. В некоторых случаях это позволяет упростить постановки и решение нелинейных задач.

Традиционно различают два основных подхода к рассмотрению задач механики деформируемого твердого тела как сплошной среды: лагранжев и эйлеров [2,5-15]. Известным преимуществом лагранжевой формулировки является неизменность области изменения пространственных переменных. В таких задачах также крайне необходимой является информация о деформированной конфигурации. При этом уравнения движения являются обычно нелинейными.

Промежуточное положение между двумя приведенными типами подходов занимает текущая лагранжева формулировка [5], которая является непосредственным развитием аналогичных подходов в теории малых деформаций.

Для данной формулировки характерным является:

- разбиение всего интервала нагружения на ряд достаточно малых этапов по некоторому параметру нагружения (например, времени);

- в начале каждого этапа конфигурация считается известной;

- для каждого этапа система уравнений записывается однотипно;

- отсчетная конфигурация известна в начале каждого этапа.

Мерой скорости изменения напряженного состояния является субстанциональная (материальная) производная о-тензора напряжений Коши [5,6], которая не удовлетворяет свойству индифферентности (хотя сам тензор Коши а является индифферентным). Поэтому непосредственное использование а в определяющих соотношениях может привести к нереалистичному описанию поведения среды вследствие зависимости параметров состояния среды от движения ее как жесткого целого. В связи с этим в геометрически нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела широко применяются относительные скорости изменения тензоров напряжений, которые позволяют исключить изменение последних вследствие движения среды как жесткого целого.

В качестве относительных скоростей могут использоваться коротационные производные. Не единственность представления движения сплошной среды совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого и деформационного движения порождает разнообразие коротационных производных.

В терминах скорости изменения тензора напряжений Коши а уравнение равновесия занимает одно из центральных мест в общей скоростной постановке начально-краевой (нестационарной) задачи конструкции. Решение задачи в нестационарной постановке, по сути, сводится к отысканию вектор-функции скорости v(7) точек среды, а вектор перемещений u(t) и тензор напряжений a(t) определяются интегрированием по времени [5].

Обычно, вектор перемещений u(t) отсчитывается от положения, в котором материал исследуемой области находится в естественном ненапряженном и недеформированном) состоянии. Если момент времени t = О соответствует естественному состоянию, то и0= 0, а0 = 0. Данная постановка позволяет формулировать задачи, в которых состояния материала могут отличаться от естественного, т.е. в момент времени / = О, которые имеют место во многих технологических процессах [5,14,15].

Альтернативной к приведенной выше является постановка нестационарной задачи процесса деформирования конструкции в терминах тензоров напряжений, деформаций и т.д., определяемых относительно отсчетной конфигурации [5,6,10-15]. Деформированная конфигурация тела определяется полем перемещений. Тогда задача состоит в определении полей перемещений, скоростей перемещений, тензоров напряжений и деформаций и их скоростей изменения, удовлетворяющих W б (0, со) системе определяющих уравнений.

Получить классическое решение краевых задач в перечисленных выше общих формулировках в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим рассматривается обобщенное (слабое) решение задачи определения напряженно-деформированного состояния для различных постановок, упомянутых выше [5,6]. Для получения обобщенного решения широкое распространение получили вариационные принципы [2,5-16].

Обычно предполагается, что в обобщенном решении ряд уравнений выполняются точно, а остальные - в обобщенном смысле [5,6]. К числу точно выполняющихся соотношений обычно относят определяющие соотношения физического состояния материалов, меры деформаций, начальные и статические граничные условия. Граничные условия в скоростях удовлетворяются за счет выбора класса функций, на котором ищется решение. Уравнение сохранения количества движения (или статического равновесия) удовлетворяются в обобщенном (или слабом) смысле.

Для слабой формы различают два вида граничных условий, которые известны как существенные граничные условия (условия Дирихле) и естественные граничные условия (условия Неймана), естественным образом вовлекаемые в слабую форму [3,6]. Одним из преимуществ обобщенного решения является понижение порядка входящих в него производных искомых функций [5,6]. Слабая форма в скоростной постановке использует интегралы по деформированной (текущей) конфигурации [5,6].

Для численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела исходят из линеаризации нелинейной слабой формы, а для решения линеаризованной задачи применяются численные методы, сводящие исходную задачу к системе алгебраических уравнений [5,6].

Исходным пунктом для приближенного решения краевых задач является дискретизация континуума, т.е. переход от бесконечного числа степеней свободы, которым он обладает, к конечному числу степеней свободы. В последнее время чрезвычайно широкое распространение в механике сплошной среды получил предложенный Р. Курантом метод конечных элементов, теоретические аспекты и вопросы реализации которого достаточно подробно изложены в монографиях, например, [2,6-10].

В настоящее время метод конечных элементов обладает весьма мощным программным обеспечением, ориентированным на решение сложных краевых задач механики деформируемого твердого тела; в данном случае он трактуется именно как специфический метод аппроксимации искомого решения кусочно-непрерывными функциями [6,7-10].

Если уравнения сохранения выразить в терминах лагранжевых мер напряжений и деформаций в отсчетной конфигурации, то такие формулировки в литературе по механике деформируемого твердого тела принято считать лагранжевыми, в то время как в литературе по конечным элементам такие формулировки считаются полными лагранжевыми формулировками [6].

В лагранжевых сетках узлы и элементы перемещаются вместе с материалом. Границы и интерфейсы совпадают с краями конечных элементов. Точки квадратуры конечных элементов также перемещаются с материалом, поэтому уравнения физического состояния материала всегда оцениваются в одних и тех же материальных точках. Конечно-элементные дискретизации на основе лагранжевых сеток классифицируются на модифицируемую лагранжеву и полную лагранжеву формулировки [6].

В модифицируемой лагранжевой формулировке для слабой формы используются интегралы по деформированной (текущей) конфигурации, а производные берутся по пространственным (эйлеровым) координатам. Слабая форма использует уравнения количества движения, граничные условия в напряжениях, условия внутренней непрерывности сил напряжений, которые составляют совместно обобщенный баланс количества движения в терминах текущей конфигурации деформируемого твердого тела. При этом, выражение для слабой формы будет соответствовать принципу виртуальной мощности [6Д5].

В полной лагранжевой формулировке слабая форма использует интегралы по отсчетной (недеформированной) конфигурации и производные берутся по материальным координатам [6-9]. Слабая форма полной лагранжевой формулировки использует уравнения количества движения, граничные условия в напряжениях и условия внутренней непрерывности в напряжениях, которые совместно выражают обобщенный баланс количества движения в терминах отсчетной конфигурации тела. Выражение для слабой формы соответствует принципу виртуальной работы.

С фундаментальной точки зрения модифицируемая и полная лагранжевы формулировки являются идентичными [6]. Каждая из формулировок может иметь преимущества для определенных уравнений физического состояния материала или нагружений за счет сокращения числа необходимых преобразований.

Для численного интегрирования по времени уравнений движения совместной системы обычно привлекается j3 -метод Ньюмарка [6]. В результате применения неявного метода интегрирования по времени получаются дискретные уравнения, которые являются нелинейными алгебраическими уравнениями, определяющие нестационарный отклик системы в дискретных точках временного интервала.

В связи с этим описание процедуры решения статических задач часто комбинируют с описанием неявных процедур решения динамических задач. При решении статической задачи внешние нагрузки и другие условия, рассматриваемые как функции времени в динамической задаче, получают приращения (инкременты) в квазивременном интервале, время при этом не имеет физического смысла и часто заменяется монотонно возрастающим параметром [6-10].

В такой постановке статический или квазистатический анализ совместной системы охватывается посредством псевдо-временного параметра эволюции системы. При этом, для квазистатического процесса стандартная задача с начальными условиями будет включать значения напряжений в точках интегрирования конечных элементов и перемещения на границах совместной системы, известных в некоторый начальный момент времени t = 0, определяющего начальную конфигурацию совместной системы.

Время в данном процессе установления статического равновесия представляет собой некий псевдо-временной параметр эволюции системы. Если при этом математическая модель используемых материалов не включает в себя зависимостей от скорости деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях.

В большинстве случаев начальная, отсчетная и недеформированная конфигурации совпадают. Здесь важно отметить, что при рассмотрении итерационного решения системы алгебраических уравнений конечно-элементной дискретизации отсчетная геометрия модели обычно выступает в качестве начального приближения к текущей конфигурации.

Во избежание сильных искажений конечных элементов в геометрически сильно-нелинейной задаче и обеспечения сходимости алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений в общем случае многосвязную область разбивают на систему непересекающихся субдоменов (подобластей) [17]. По соображениям удобства и с учетом особенностей процесса деформирования при трансформировании конструкции рефлектора границы этих субдоменов могут совпадать с границами соответствующих моделей компонент конструкции, при этом односвязные области отдельных многосвязных компонент могут быть также разбиты на субдомены по указанным выше причинам.

Такое разбиение конечных односвязных областей позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния многосвязной области, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы [18].

Многосвязная модель конструкции рефлектора состоит из размерно-редуцированных моделей с разным порядком редуцирования пространственной размерности. Например, зеркало рефлектора представлено дискретной моделью из оболочечных (мембранных) конечных элементов и связывается с моделями стержней (телами меньшей размерности).

Используются два основных типа математически корректного связывания моделей тел смешанной пространственной размерности [18]:

1) объединение моделей тел различной геометрической размерности с одинаковым количеством степеней свободы;

2) объединение моделей тел различной геометрической размерности с использованием уравнений связей, обеспечивающих переходы между различными типами конечных элементов.

Вычислительная эффективность обычно связывают с расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели [19]. Очевидно, что соображения по расщеплению квазивременного интервала не исчерпываются только обеспечением вычислительной эффективности, но и необходимостью адекватного учета «начальных» напряженных состояний отдельных односвязных областей в результирующее напряженное состояние многосвязной области в конце каждого этапа квазивременного интервала посредством изменения статуса границ текущих односвязных областей модели.

В конце квазивременного интервала текущая геометрия, напряженно-деформированные состояния односвязных областей, а также системы внутренних и внешних сил определяют равновесную форму (конечное состояние) совместной системы для заданных граничных условий. Полученная равновесная форма многосвязной области может далее рассматриваться как базовое состояние [6] дискретной модели, определяемое ненулевыми перемещениями и поворотами в узлах конечно-элементной модели.

На каждом этапе эволюции многосвязной области отыскивается приближенное решение нелинейной системы алгебраических уравнений равновесия с невязкой, представляющей дисбалансные силы в системе. Приближенное решение нелинейной системы уравнений равновесия многосвязной области отыскивается в результате итерационного решения последовательности линейных моделей с требуемым уровнем точности. Линейная модель является тангенциальной к нелинейной функции невязки нелинейных уравнений [6,7-10].

Соответствующая матрица линейной модели называют системной матрицей Якоби, которую также называют эффективной матрицей тангенциальной жесткости [6], а вклады инерционных, внутренних и внешних узловых сил линеаризуются отдельно. При этом матрица масс в лагранжевой сетке оказывается постоянной по времени. Численные значения матриц в полной и модифицируемой лагранжевой форме являются идентичными [6].

Матрицу Якоби внутренних узловых сил или матрицу тангенциальной жесткости представляют в виде суммы матрицы жесткости материала и матрицы геометрической жесткости («начальных напряжений») [6].

В статической задаче время заменяется монотонно возрастающим параметром, а соответствующие решения процессов равновесия представляют собой инкрементальные решения [6-10]. В схеме реализации алгоритма неявного интегрирования матрица Якоби оценивается и инвертируется на каждой итерации процедуры, что соответствует полному алгоритму Ньютона [6,7,10]. Существует модифицированный алгоритм Ньютона [6], более быстрый, но менее надежный, в котором матрица Якоби собирается и триангулируется только в начале шага или внутри шага.

Главным недостатком интегратора Ньюмарка [6] является возникновение высокочастотного шума в решении. С другой стороны, когда добавляется линейное демпфирование или искусственная вязкость, то точность заметно деградирует. Расширением метода Ньюмарка является метод Hilber-Hughes-Taylor (ННТ или а-метод), с помощью которого можно ввести численную диссипацию (демпфирование) без деградации порядка точности, и оно поддается непрерывному контролю. Такое демпфирование слабо влияет на низкочастотные моды и сильно влияет на высокочастотные моды. Оно зависит от отношения шага по времени к периоду колебаний [6].

Метод Ньюмарка имеет второй порядок точности [6]. При большом шаге стартовая итерация может быть далекой от решения, поэтому сходимость метода Ньютона становится проблематичной. Для улучшения сходимости алгоритма Ньютона требуются малые шаги по времени [6,7]. Для статических задач существует множество алгоритмов по автоматическому контролю величины шага, реализованных в современном программном обеспечении метода конечных элементов.

Прерывание итерационной процедуры при неявном и равновесном решениях с использованием метода Ньютона определяется критериями сходимости [6,7]. Эти критерии относятся к сходимости дискретного решения для уравнений равновесия, а не к сходимости дискретного решения к решению дифференциальных уравнений в частных производных.

Скорость сходимости итераций в методе Ньютона является квадратичной [6], если матрица Якоби удовлетворяет определенным условиям. Одним из условий для обеспечения квадратичной сходимости является непрерывная дифференцируемость и однородная ограниченность в окрестности решения невязки, и существование матрицы, обратной матрице Якоби. Эти условия обычно не выполняются в технических задачах. Проблемы со сходимостью наиболее часто встречаются в задачах статического равновесия, поэтому часто квазивременной интервал расщепляется на ряд шагов с тем, чтобы конфигурация совместной системы в конце предыдущего шага была хорошим приближением для конфигурации системы в начале следующего шага. При этом на каждом шаге число субдоменов многосвязной области уменьшается как минимум на единицу, а в конце квазивременного интервала достигается требуемая конфигурация равновесной формы.

Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые разработана математическая модель мембранно-вантовых конструкций * рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированные состояния в ее элементах с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности механического поведения материалов. Предложен новый алгоритм оценки равновесной формы зеркала рефлектора и необходимых усилий в конструкции для реализации данной формы при заданных уровнях напряженного состояния элементов конструкции. Разработан метод многоуровневого моделирования совместной системы, позволяющей охватить многообразие возможных конфигураций и эволюцию

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная модель и алгоритм решения задачи о деформации конструкции крупногабаритного рефлектора позволяет решать широкий спектр задач проектирования, связанных с технологиями сборки рефлектора, настройки и регулировки формы зеркала, что, в конечном счете, позволяет повысить качество и оперативность проектных работ и достигать требуемых значений технических характеристик рефлектора. Разработанные математические модели и алгоритмы использованы при проведении проектных работ по созданию реального изделия в НПО прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева (г. Железногорск Красноярского края).

В первой главе рассматриваются задачи проектирования трансформируемых антенных рефлекторов - ключевых компонент технологии современной спутниковой связи. В конструкции рефлектора применение тонкостенных элементов (мембран, вантовых структур, ферм) представляет собой стратегию натуральной оптимизации с целью уменьшения массы материала. Физически, каждая компонента рефлектора представляет собой объединение (ансамбль) тел одной пространственной размерности, например, ансамбль стержней силовой конструкции, вантовая структура и т.п.

При изготовлении и в условиях эксплуатации на орбите (воздействия температур, инерционных нагрузок и т.п.) отражающая поверхность рефлектора испытывает отклонения [20] от проектной формы, которые считаются подушкообразной дисторсией [21,22] в направлении, противоположном кривизне отражающей поверхности, создающие препятствия для поддержания требуемой амплитуды и фазы электромагнитных полей на апертуре антенны [23], вызывая деградацию всех ее характеристик.

Во второй главе с единых позиций на основе лагранжевого подхода и законов сохранения рассматривается формулировка адекватного представления движения обобщенной компоненты конструкции как твердого деформируемого твердого тела на основе метода конечных элементов.

В модифицируемой лагранжевой формулировке текущая область Q разбивается на элементы Qe так, что Q = (jQe, а движение x(X,i) г аппроксимируется выражением x{X,t) = N{ (X)xf (t), где N{(X) интерполяционные функции , х{- радиус-вектор /-го узла [6].

Для дискретной модели текущей области Q деформируемого твердого тела формулируется стандартная задача с начальными условиями для дифференциальных уравнений первого порядка в скоростях и напряжениях в точках квадратуры конечных элементов. Начальные условия в узлах и точках квадратуры конечных элементов являются исходными данными [6].

В квазистатических задачах определяющие уравнения примут вид уравнений равновесия [5-13]. Если уравнения не зависят от скоростей деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях [6].

В третьей главе рассматривается применение алгоритмов неявных методов интегрирования по времени уравнений движения для задач с начальными условиями для численного решения нелинейных уравнений равновесия.

Для решения нелинейных алгебраических уравнений равновесия используется метод Ньютона-Рафсона, идентичный методу Ньютона [6]. В качестве стартового значения обычно используется решение с последнего шага по времени.

Предложено рассматривать конструкцию рефлектора как многосвязное сплошное тело [3] в виде системы непересекающихся субдоменов (подобластей) для того, чтобы избежать существенных искажений конечных элементов в геометрически сильно-нелинейной задаче и обеспечить сходимость алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений. Рекомендовано совмещать границы этих субдоменов с границами соответствующих односвязных областей.

Такое разбиение многосвязной области позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы. При этом вычислительная эффективность обычно обеспечивается расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели.

Тогда поиск равновесной конфигурации совместной системы будет представлять своего рода процесс преобразования начальной конфигурации в конечную конфигурацию, в результате которой совместная система будет претерпевать некоторую эволюцию. В начале каждого этапа конфигурация совместной системы считается известной.

Предложено связывать модели различной пространственной размерности в многосвязную систему на основе математически корректных типов объединений моделей тел с одинаковым количеством степеней свободы и с использованием уравнений связей, а также их сочетанием.

В четвертой главе рассматриваются вопросы представления моделей механического поведения тонкостенных гибких тел (мембран и стержней).

Движение гибкого тела представляется совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого и деформационного движения. Для представления напряженного состояния используются встроенные (коротационные) системы координат, которые поворачиваются вместе со стержнем или элементом оболочки.

В пятой главе приводятся результаты численного моделирования напряженно-деформированного состояния офсетного крупногабаритного трансформируемого рефлектора, у которого две идентичные параболоидные триангулированные сети крепятся к развертываемой ободной ферме. Эта сборка нагружается растяжками (тонкими нитями), присоединенными к зеркальным узлам двух сетей. Нижние значения нормальных напряжений в элементах фронтальной сети предложено определять необходимостью формирования жестких границ фасетов отражающей поверхности. Чем жестче граница фасета, тем меньше будет прогиб вовнутрь ее натянутой границы от результирующей поперечной нагрузки натянутой мембранной оболочки внутри каждого фасета.

На ряде простых модельных задач рассматриваются реализация алгоритма пошагового отыскания равновесной формы для предварительно-напряженной мембраны и модификация ее формы при взаимодействии с предварительно-напряженной тонкой нитью. Представлены результаты исследований напряженно-деформированного состояния крупногабаритного рефлектора и определение равновесной формы его зеркала.

Автор выражает свою искреннюю благодарность руководству ФГУП «Научно-производственное объединение прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева» (НПО ПМ) (г. Железногорск Красноярского края) за предоставленную возможность участвовать в техническом проекте по разработке «Инженерной модели параболической трансформируемой крупногабаритной антенны S-диапазона» и В.И. Халимановичу, Главному конструктору и Директору Отраслевого Центра трансформируемых механических систем, д.т.н. Е.Н. Головенкину, руководителю технического проекта, д.т.н. А.К. Шатрову, а также всем своим коллегам за их поддержку, обсуждение результатов исследований и высказанные полезные замечания, без которых было бы невозможно достичь целей настоящей работы.

Автор выражает свою искреннюю признательность всем сотрудникам ОСП НИИПМ ТГУ (г. Томск) к.ф.-м.н. С.В. Пономареву, д.ф.-м.н. В.Г. Бутову, к.ф.-м.н. В.А. Солоненко, а также сотрудникам кафедры механики деформируемого твердого тела физико-технического факультета ТГУ, работы которых оказали большое влияние на ход проведенных исследований.

Автор выражает свою огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Скрипняку, заведующему кафедрой механики деформируемого твердого тела физико-технического факультета ТГУ (г. Томск).

1. ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИИ РЕФЛЕКТОРА

В данной главе рассматриваются формулировки задач физико-математического моделирования конструкции крупногабаритного рефлектора.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Усманов, Давид Бисенович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана математическая модель вантово-оболочечных конструкций рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированные состояния элементов с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности механического поведения материалов. Конечно-элементная модель механического поведения вантово-оболочечных конструкции рефлектора, как многосвязного деформируемого твердого тела, создается в результате объединения размерно-редуцированных математических моделей конструктивных элементов рефлектора.

2. Получено численное решение нелинейных квазистатических задач по определению равновесного состояния конструкций рефлектора, как многосвязного твердого деформируемого тела, с использованием расщепления квазивременного интервала на последовательность шагов, определяющих эволюцию напряженно-деформированного состояния конструкции.

3. Разработан алгоритм пошагового моделирования процесса деформирования трансформируемых конструкций рефлектора. В процессе эволюции конструкции рефлектора совокупность односвязных областей совместной системы на каждом шаге квазивременного интервала преобразуется в окончательную деформированную конфигурацию. Число шагов квазивременного интервала определяется сходимостью итерационной процедуры Ньютона-Рафсона для решения уравнений равновесия. Деформированная конфигурация совместной системы односвязных областей на момент окончания предыдущего шага становится отсчетной конфигурацией («начальным приближением») для текущего шага.

4. Промежуточные подсистемы в виде ансамбля (сборки) односвязных областей различной пространственной размерности можно сформировать объединением односвязных областей с одинаковым количеством степеней свободы, а также с использованием уравнений связей для степеней свободы в интерфейсных узлах различных типов конечных элементов.

5. Показано, что декомпозиция совместной системы на совокупность подсистем допускает их автономную эволюцию в процессе проектирования сложной конструкции с сохранением интерфейсной совместимости между ними, что повышает гибкость и эффективность моделирования и сокращает временные затраты.

6. Получено решение обратной задачи определения формы зеркала рефлектора численным методом на основе процедур неявного интегрирования уравнений динамики совместной системы односвязных областей.

7. С использованием разработанной модели выполнены расчеты параметров напряженно-деформированного состояния реальной конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора и формы ее отражающей поверхности для различных условий эксплуатации с учетом технических требований. Предложены рекомендации по формированию начальной конфигурации конструкции, обеспечивающие выполнение технических требований. На основании проведенных расчетов предложены рекомендации по способам точной настройки рефлектора в наземных условиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Усманов, Давид Бисенович, 2006 год

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости,—М.:1. Гостехиздат, 1948. -212с.

2. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер с англ. М., Мир, 1987. -542с.

3. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. —М.:

4. Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1957.—476с.

5. Усманов Д.Б. Функционал для отыскания формы равнонапряженной мембраны / С.В.Пономарев, В.А.Скрипняк, Д.Б. Усманов // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: доклады конференции. -Томск. Изд-во Том. ун-та, 2002. -С. 180-181.

6. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластическиедеформации: теория, алгоритмы, приложения. —М.: Наука, 1986. —232с.

7. Belytschko Т., Liu W. К., Morgan В. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. -Chichester, England: J. Wiley & Sons LTD., 2000. -650pp.

8. Bathe K.J. Finite Element Procedures. -Eagle Wood Cliffe, New Jersey:

9. Prentice Hall, Inc., 1996. -1050p.

10. Crisfiled C. A. Non-linear Finite Analysis of Solids and Structures. Vol. 2: Advanced Topics. -England: John Wiley & Son Ltd, 1997. -494p.

11. Zienkiewicz O.C., Taylor RL. The Finite Element Method. 5th ed. Vol.l: The Basis. —Woburn, MA: Butterworth-Heinemann, 2000. —707p.

12. Zienkiewicz O.C., Taylor RL. The Finite Element Method. 5th ed. Vol.2: Solid Mechanics. -Woburn, MA: Butterworth-Heinemann, 2000. -258 p.

13. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. —М.: Изд-во МГУ, 1978. -287с.

14. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. —М.: Наука, 1980. —512с.

15. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. —М.: Наука, 1972. —492с.

16. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979.-744 с.

17. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. -Л.: Машиностроение, 1986. -336 с.

18. Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. -912с.

19. Workshop.-Bled, Slovenia, 2004. Режим доступа: http://arw-bled2004.scix.net/

20. Files/ acceptedpapers/NATO-ARW.Felippa.paper.rev.pdf, свободный.

21. Марчук Г.И. Методы расщепления. —М.: Наука. Гл. ред. физ. мат.лит., 1988. -264 с.

22. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. -М.: Радио и связь, 1987. 72 с.

23. Meyer R.X. Precision of mesh-type reflectors for large space-borne antennas. //AIAA/ASME/AHS 23rd Structures, Structural Dynamics and Materials

24. Conference (May 10-12, 1982)-New Orleans: 1982. -Vol. 22. -No.l —pp.80-84.

25. Tibert A.G. Deployable Tensegrity Structures for Space Applications// Электронный ресурс.: Technical Report 2002:04. ISSN 0348-467X. ISRN KTH/MEK/TR-02/04- SE. Режим доступа: http://www2.mech.kth.se/~gunnart/ TibertDocThesis.pdf, свободный.

26. Жук М.С., Молочков Ю.Б. Проектирование антенно-фидерныхустройств. -M.-JL: Энергия, 1966. —648с.

27. Thomson M.W. Astromesh deployable reflectors for Ku- and Ka-band commercial satellites// Электронный ресурс.: 20th AIAA International Communication Satellite Systems Conference and Exhibit (May 12-15, 2002).

28. Режим доступа: http://www.st.northropgrumman.com/astro-aerospace/SiteFiles/docs/pdfs/IMSCPaper99.pdf, свободный.

29. Tibert A. G., Pellegrino, S. Deployable Tensegrity Reflectors for Small Satellites// Электронный ресурс.: Department of Engineering, University of

30. Cambridge. —Режим доступа: http://www-civ.eng.cam.ac.uk/dsl/publications/tensereflect.pdf, свободный.

31. Tibert A.G. Optimal design of tension truss antennas/ AIAA-2003-1629// Электронный ресурс.: 44th AIAA/ASME/ASCE/AHS Structures, Structural

32. Dynamics, and Materials Conference (7-10 April, 2003). -Norfolk, 2003. -Режимдоступа: http://www2.mech.kth.se/~gunnart/AIAA-2003-1629.pdf.

33. Гуляев В.И., Гайдачук, Чернявский А.Г., Шалино JI. О динамике крупногабаритного разворачивающего рефлектора// Прикладная механика.-Киев, 2003. -39. -№9. -С.109-115.

34. Зимин В.Н., Колосков И.М., Мешковский В.Е. Особенности расчета динамических характеристик раскрывающейся ферменной космическойконструкции// Проблемы машиностроения и надежности машин. -2001. -№ 1, -С. 12-15.

35. Зимин В.Н. Особенности расчета раскрывающейся ферменной космической конструкции// Проблемы машиностроения и надежности машин. -2005.-№ 1.-С. 20-25.

36. Зимин В.Н., Колосков И.М., Мешковский В.Е. Динамические испытания раскрывающейся зеркальной космической антенны// Проблемы машиностроения и надежности машин. -2000 г. -№ 2. С. 120-124.

37. Усманов Д.Б. О методах расчета НДС тонких мембран/ Пономарев С.В., Скрипняк В.А., Усманов Д.Б. //Сб. докладов конференции " Физика ихимия высокоэнергетических систем". —Томск: ТГУ, 2003.-С.97-98.

38. Усманов Д.Б. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранных конструкций. Часть 1./Д.Б. Усманов, С.В. Пономарев // Вестник ТГУ, №32. Томск: -2004. -С. 6-14.

39. Усманов Д.Б. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранных конструкций. Часть 2./Д.Б. Усманов, С.В. Пономарев // Вестник ТГУ, №32. Томск: -2004. -С. 15-24.

40. Yi Lin. General Systems Theory: A mathematical approach. -New York:

41. Kluwer Academic Publishers, 2002. —385p.

42. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. —М.: Физматлит, 1958.-568с.

43. Ransom J. В. Interface technology for geometrically nonlinear analysis of multiple connected subdomains// Электронный ресурс.: AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASС 38th Structures, Structural Dynamics, and Materials

44. Conference, (April 7-10, 1997).-Kissimmee, 1997.-Режим доступа: http://citeseer.ist.psu.edu/148113.html, свободный.

45. Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -940с.

46. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. —М.: Гос. издат. физ.-мат. лит-ры, 1959. —440 с.

47. Ibrahimbegovic A., Taylor R. L. On the role of frame-invariance in structural mechanics models at finite rotations// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2002. —191. — pp.5159-5176.

48. Zhang W., Leonard J.L., Accorsi M.L. Analysis of geometrically nonlinear anisotropic membranes: theory and verification//Finite Elements in Analysis and Design. 2005—41. —pp. 963-988.

49. Кабриц C.A., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамна В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек/Отв.ред. К.Ф. Черных, С.А. Кабрица. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. —388с.

50. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. —М.: Гл. ред. физ. мат. лит., 1958.-568с.

51. Libai A., Simmonds J.G. The Nonlinear Theory of Elastic Shells: Second Edition. —Cambridge: Cambridge University Press, 1998.—544p.

52. Eschenauer H., Olhoff N., Scnell W. Applied Structural Mechanics/ Fundamentals of Elasticity, Load-Bearing Structures, Structural Optimization including exercises. Berlin: Springer-Ferlag, 1997. —407p.

53. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. — Киев: Изд-во АН УССР, 1963. —356с.

54. Simo J.C., Rifai M.S., Foz D.D. On a Stress Resultant Geometrically Exact Shell Model/Part IV: Variable Thickness Shells with Through-the-Thickness

55. Stretching// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1990. —81, —pp. 91-126.

56. Reissner E. On finite deformations of space-curved beams// J. Appl. Math. Phys, 1981. —32. —pp.734-744.

57. Reissner E. Some considerations on the problem of torsion and flexure of prismatical beams// Int. J. Solids Structures. 1979. —15. —pp.41-53.

58. Reissner E. Further considerations on the problem of torsion and flexure of prismatical beams// Int. J. Solids Structures. 1983. —19. — №5. —pp. 385-392.

59. Atluri S.N., Iura M. A consistent theory of finite stretches and finite rotations, in space-curved beams of arbitrary cross-section// Computational Mechanics. —Springer-Verlag, 2001. —27. —pp.271-281.

60. Simo J.C., N. Tarnow, and M. Doblare. Non-linear dynamics of three-dimensional rods: Exact energy and momentum conserving algorithm// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995.—38. pp.1431-1473.

61. Iura M., Atluri S.N. Dynamic analysis of finitely stretched and rotated three-dimensional space-curved beams // Computers & Structures. 1988. —29. —pp.875889.

62. Iura M., Atluri S.N. On a consistent theory and variational formulation of finitely stretched and rotated 3-D space-curved beams// Computational Mechanics. 1989.—4,—pp.73-88.

63. Simo J.C. A finite strain beam formulation: three-dimensional dynamics/ Part I// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1985. —49. —pp.55-70.

64. Simo J.C, Vu-Quoc L. A three-dimensional finite-strain rod model/ Part II: Geometric and computational aspects// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. —58.—pp. 79-116.

65. Cordona A., Greradin M. A beam finite element non-linear theory with finite rotations// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988. —26. —pp. 2403-2438.

66. Ibrahimbegovic, A., Frey, F., Kozar, I. Computational Aspects of VectorLike Parametrization of Three-Dimensional Finite Rotations// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. —38. —pp. 3653-3673.

67. Simo J.C., Tarnow N., Doblare M. Non-linear dynamics of three-dimensional rods: Exact energy and momentum conserving algorithm// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. —38. —pp. 1431-1473.

68. Simo J.C., Vu-Quoc L. A geometrically-exact rod model incorporating shear and torsion-warping deformation// International Journal of Solids and Structures. 1991. —27. —No.3. —pp.371-393.

69. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. -2-е изд. —М.: Наука, 1979. —560с.

70. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. -240с.