Решение сингулярных линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Товбис, Александр Исаакович

• Товбис, Александр Исаакович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Товбис, Александр Исаакович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ЛАППО-ДАНИЛЕВСКОГО.

§ I. Основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений.

§ 2. Общий вид решения линейного дифференциального уравнения.

§ 3. Канонический вид Еиркгофа решения дифференциального уравнения.

§ 4. Решение линейного дифференциального уравнения с малым коэффициентом

ГЛАВА П. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОШЯ КОНЕЧНОМЕРОМОРШЫХ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНВДАЛЬШХ УРАВНЕНИЙ.

§ 5. Формальное расщепление

§ 6. Исследование структуры решения.

ГЛАВА Ш. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОШЯ КОНЕЧНОМЕРШОРВДЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 7. Асимптотическое решение

§ 8. Построение решения методом последовательных приближений.

§ 9. Пример.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение сингулярных линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве»

Исследование решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки восходит к работам Фукса, Фробениуса, Пуанкаре. При этом наибольшую трудность.представляет исследование уравнений с иррегулярной особой точкой. Такие уравнения изучались Еяркгофом, И.А.Лаппо-Данилевским, Тржизинским, Территиным и другими. Биркгоф, по-видимому, первым начал изучать системы линейных .дифференциальных уравнений или, иначе, матричные линейные дифференциальные уравнения с иррегулярной особой точкой (см.

34 - 36 К 1930 году И.А.Лаппо-Данилевский построил фундаментальные решения таких уравнений в виде композиционных рядов. Территин в работе 43 ] построил формальное решение матричного дифференциального уравнения с иррегулярной особенностью. Ряд авторов (см.

16

39 изучал матричные уравнения с иррегулярной особенностью над произвольным алгебраически замкнутым полем характеристики 0 . Аналитическая теория матричных линейных дифференциальных уравнений и в настоящее время привлекает внимание многих исследователей. Сюда относится большая серия работ Н.И.Шкиля и его учеников (

46 - 48 и другие), ряд работ зарубежных авторов (Балсер, Дкуркат, Лутц бо

41 Си буя,

42

30 - 33 Оку последние исследования матриц Стокса (В.П.Гурарий, В.И.Мацаев, А.Я.Повзнер). В последнее время обнаружена интересная связь между теорией матричных линейных дифференциальных уравнений и квантовой теорией поля (см.

20

Уравнения с регулярной особенностью в банаховом пространстве впервые были рассмотрены.в работе Хилле

38 а затем в работах Ю.Л.Далецкого и.И.К.Коробковой, а также П.А.Шварцман см. 8 глава У1). П.А.Шварцман принадлежит, по-видимому, наиболее полный результат о решении таких уравнений. В работе Миллера [4cj было найдено частное решение уравнения с иррегулярной особенностью при довольно жестких ограничениях на коэффициент уравнения. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с иррегулярной особенностью изучались также в работах И.В.Денисова

9-10

48 Н.А.Сотниченко и Г.П.Давидюка В настоящей работе, в частности, результаты И.В.Денисова получают дальнейшее развитие.

Приведем теперь необходимые определения и факты. Пусть 23 - некоторое комплексное банахово пространство, ^ (- алгебра линейных непрерывных операторов, действующих из /2> в 22>. •

Определение 0.1. Пусть оператор-функция А (?) определена на шожестве Т комплексной плоскости Z , для которого точка г? = является предельной. Степенной ряд

ОО

L V' J'0 где off-S)J называется асимптотическим разложением оператор-функции j\ (В)в Т*, если при любом И € Д/

А (2) - i Aj2-'+0(E-») при ? с*? f 2 € т . Пишут

ОО .

А Г2) ^ Z , геТ.

Г-с

Асимптотические разложения оператор-функций обладают теми. же свойствами, что и асимптотические разложения скалярных функций. Пусть оператор-функция & (2) имеет асимптотическое разлооо

В 12) - Z B>jz-', J--0 жение

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1. Оператор-функция A (Z) не может иметь двух различных степенных асимптотических разложений при , 2 £ Т.

Теорема 0.2. Если о(б С ^ С 1 то

Теорема 0.3. Асимптотическое разложение оператор-функции А (£) Ё)&) является произведением соответствующих асимптотических разложений.

Теорема 0.4. Если оператор А0 обратим, то оператор-функция A (Z) определена в части /£ множества Т , для которой/i?/ > /Z0/ ( Е0 - некоторое комплексное число),

И / оо j=0 J

Коэффициенты А ; могут быть последовательно вычислены, ес0 ли в развернутом выражении для

Оо — ^ it / /—1 ^

ZAkBk (ZAjb к-о * /V j=o о -s коэффициенты при Z приравнять I для S = 0 и нулю для 3^0. Теорема 0.5. Если область Т есть часть сектора azpz < % , \г\>ио1 где ^ > fy , и оператор-функция А (?) голоморфна в области Т"7 » то при j? в каждом собственном подсекторе Т С Г:

6f< < < . Теорема 0.6. Для всякого формального степенного ряда ^

Z A; f и для любого сектора Т существует такая голоморфная в Т при /г?/ > / 20] оператор-функция /\ (g) , что

Схэ

А(Ю ~ Z А;2~' , ,ге Т. j=o ё

Рассмотрим дифференциальное уравнение

У(г)=2г"А(г)У(г), (0.1) где оператор-функция А (i) : С (JB1) голоморфна в некотором открытом секторе Т с вершиной в нуле при /if/ > /Е0\ и допускает в нем асимптотическое разложение ею

А(*)~ Ак2'*, (0.2) к=о ' причем Число называется рангом Пуанкаре уравнения (0.1).

Уравнению (0.1) поставим в соответствие формальное уравнение

Формальный операторный ряд (ФОР) оо

I Ь.г

-К t.

К J

IK/ к = где YV) € l/Y , называется конечномероморфным, если при К <0 операторы Е)^ - конечномерные.

Уравнение (0.1) и соответствующее ему формальное уравнение (0.3) называются конечномероморфными, если v к = о J конечномероморфный ФОР.

Цусть оператор-функция

Рч) голоморфна и обратима в секторе т при I F/ > IZo!и оо

Р(г)~

J--0 J ■

Преобразования замены неизвестных

У (г) - Р(г)Х(г), (0-4)

У(г)- Pjz-j)X(t) ««> приво.дят уравнения (0.1), (0.3) к уравнениям X г*; = [zz-<P4(2)A(z)P(?l-faXlV-z" (г»1 Ркг-КТ'(2АКГК)*

0.7)

- Xwz'" (13. г"' соответственно, где S€ jP , Q ф О • Для формальных уравнений говорят также, что преобразование (0.5) приводит ФОР zwz А,*-*

К'О к ФОР

Х> И к-0 к '

Обозначим через множество операторов из ^ вида

X* ft , где - конечномерный оператор.

Определение 0.2. Обратимый конечномероморфный ФОР с коэффициентом при из множества^9^назовем нормальным мероморфным ФОР.

Определение 0.3. Голоморфный ФОР с обратимым, принадлежащим множествукоэффициентом при 2 ° назовем нормальным голоморфным ФОР.

Имеет место следувдее утверждение.

Теорема 0.7. Множества нормальных мероморфных и голоморфных ФОР образуют группы относительно умножения.

Теорема 0.7 по существу содержится в работе [б J . Эта теорема остается справедливой и в том случае, когда коэффициентами ФОР являются линейные операторы, действующие в произвольном линейном пространстве JJ3 •

Преобразование (0.5) называется - преобразованием (где * обозначает мероморфное, голоморфное, нормальное мероморфное, нормальное голоморфное), если ФОР

Оо

Z* Z j=o i и обратный к нему являются * - ФОР,

Преобразованием Биркгофа называется голоморфное преобразование с единичным коэффициентом при

Преобразование (0.4) будем называть преобразованием того же типа, что и соответствующее ему формальное преобразование (0.5).

Уравнения (0.3) и (0.7) называются - эквивалентными, если уравнение (0.3) может быть приведено к уравнению (0.7) преобразованием (включая преобразование Биркгофа). В этом случае уравнения (0.1) и (0.5) называются формально - эквивалентными. Изучению различных классов формально эквивалентных матричных уравнений посвящена статья [зо] .

Определение 0,4. Уравнение (0.1) имеет иррегулярную особенность в бесконечности, если оно имеет положительный ранг Пуанкаре.

Определение 0.5. Уравнение (0.1) имеет регулярную особенность в бесконечности, если его ранг Пуанкаре равен О .

Если в уравнении (0.1) число Z < О , то говорят, что это уравнение регулярно в бесконечности при ? £ Т .

Для формального уравнения (0.3) сохраняется аналогичная терминология.

Рассмотрим формальное уравнение правая часть которого не имеет особенности в бесконечности.Пусть

-^Pj - обратимый ФОР и <£> - оператор Фредгольма индекса О . Тогда i является конечномероморфным J

ФОР (см., например, [ю] ) и уравнение i^Hl^-'T il является конечномероморфным дифференциальным уравнением. Таким образом, конечномероморфные уравнения образуют довольно широкий класс уравнений.

Для уравнения (0.8) с коэффициентами, голоморфными в окрестности особой точки Z = О , в работах £l3 - I4j , £21 - 22j , [19] были построены некоторые частные решения.

Приведем теперь необходимые свойства матриц над алгебраичес-т ки замкнутым полем Д' .

1. Любая квадратная матрица над полем преобразованием подобия приводится к жордановой нормальной форме (см. £2J , стр. 323).

2. Уравнение

АХ-ХВ=0, где - неизвестная прямоугольная матрица, , В) - квадратные матрицы над полем /С соответствующих размерностей, имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда у матриц /\ и Q имеется хотя бы одно общее собственное значение. Доказательство этого утверждения для поля И^ такое же, как и для поля £ (см., например, [ij , стр. 32).

Отметим еще, что фробениусовой матрицей называется квадратная матрица вида

О 1 ■ ■ ■ о \ 1 : •/ Л, . . . ап)

Настоящая диссертация посвящена исследованию структуры обратимых решений операторного дифференциального уравнения if У (г) = У(г)А (?) (ге С) (о.э) в комплексном банаховом пространстве J£3 в окрестности изолированной особой точки оператор-функции /{(g): <£(]&) Как известно, эта задача эквивалентна аналогичной задаче для союзного уравнения с/ достаточно малая величина :

К=-оо

В настоящей работе построено решение уравнения (0.9) в виде композиционного ряда операторов /\к - коэффициентов ряда Лорана оператор-функции /\ (z) в точке 2? • Далее изучена структура этого решения в двух случаях:

D I IAJI

К=-оО Л

2) операторы /\ к при К< 0 вполне непрерывны и являются пределами по норме пространства J?3 конечномерных операторов (совокупность таких операторов обозначим через ^J ). Наиболее полные результаты получены в случае, когда оператор-функция/)^ конечномероморфна в окрестности точки Zf .

Перейдем к изложению основных результатов .диссертации.

Положим оо

А С Ак(г -г,)к (о.ю)

- разложение оператор-функции /j (g) в ряд Лорана в некоторой выколотой окрестности ]/ точки Bf .

В случае, когда — Q и точка является полюсом оператор-функции /\ (gj » И.А.Лаппо-Дани левский Jjs] построил решение уравнения (0.9), как функцию от Я и операторов (/( С .В работе Н.П.Еругина [jl] отмечается, что этим же способом можно построить решение уравнения (0.9) и в случае существенно особой точки -г?/ . Глава I в целом посвящена уточнению и обобщению этого результата. В § I приведены основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений. § 2 посвящен обобщению результата И.А.Лаппо-Данилевского на случай произвольного комплексного банахова пространства и существенно особой точки . Положим zf = О ,

V=[zeC- 0<w<z} для некоторого Z > / . Обозначим через Vf область л— где ° <fi <£<, < г »а через \/ - область, лежащую на конечном числе листов римановой поверхности ^ Z » все точки которой при проектировании на плоскость £ попадут в область \/ . Кроме того, пусть к

J><«> fa: К < о , кеЖ).

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1.4. Для всех Z0 € Vi и?£ ]/ решение

- 13 уравнения (0.9) (J(z) c начальным условием

У (zj =1 ~ есть равномерно целая функция операторов к , представимая композиционным рядом

ОО ОО Л» Л'

L AP.>.Apvfp * x Z0 II C^J , ^^ где V} - некоторые функции от js, , , равдональные числа с/ , определены приведенными в [I8J на стр. 188 рекуррентными соотношениями из которых, в частности, вытекает, что если Pt,.-.,Pi/ ~ неотрицательны, то

В теореме 1.4 решение уравнения (0.9) найдено в неудобном для исследования виде. В частности, трудно что-либо сказать о поведении решения в окрестности особой точки = О . Оставшаяся часть главы I посвящена уточнению структуры решения, которое заключается в разложении У (£) на более простые множители. Такое разложение может быть сведено к задаче о факторизации обратимой в области ]/ оператор-функции, имеющей в нуле изолированную особенность. Эта задача изучалась, в частности, в работах

3 - б] , [37].Для матриц-функций нужная факторизация была построена Биркгофом (см. [з4*3 , [зб] ).

Приведем лемму, которая позволяет применить теорему 0.1 из

- 14 б]для факторизации решения уравнения (0.9) в случае, когда в этом уравнении при К<0 .

Лемма 1.2. Предположим, что в уравнении (0.9) операторы /\к £ <7 при К<0 • Тогда решение этого уравнения имеет ВИД // ^ )

Я» где HeJ,&0 -Ie J , & € J при К < О .

Обозначим через £ расширенную комплексную плоскость. Сформулируем основной результат § 3.

Теорема 1.7. Если при К < О операторы J , то к решение уравнения (0.9) имеет вид

У(г)=гИЕ(в)0(г)В(г), где Не!]* В) СЮ ~ голоморфная, обратимая при /«?/ < 2Т , Е- делая относительно , обратимая при всех Е€ £

Z 1* О оператор-функции, оператор-функция О СЮ имеет вид л г1 * ° ' причем операторы /? (/-/ п) являются взаимно дизъюнктными i V У одномерными проекторами из ОЙ^* = I~ Z Р и jsi <f

К1 ^ . ^ - некоторые, отличные от нуля целые числа. Кроме того, fife) =1 и коэффициенты ряда

Е(г) = t F г'*

-оо К принадлежат при К < О .

На основании леммы о факторизации близкого к единичному элемента банаховой алгебры ( [7J , стр. 51 ) получен основной результат § 4.

Теорема 1.8. Существует такое ^ > О , что при выполнении неравенства

1 IIAJI <п (о.п)

К=-оо L ' решение уравнения (0.9) имеет вид

В&)- голоморфная, обратимая при /£/ < Z £(Е) - целая относительно Z , обратимая при всех £££ £ Ф О оператор-функции, ^(о)=Х • При этом оператор-функции %

Е (г), В (г) для всех 2 € Vi являются равномерно голоморф

М- 1 ОО к]к~-о& » удовлетворяющего неравенству (0.11).

В теореме 1.8 также приведены формулы для коэффициентов композиционных рядов, которые определяют оператор-функции Е(л) и

В главах П - Ш рассматривается конечномероморфное уравнение (0.1) в окрестности особой точки Zi = . Исследование решения уравнения

0.1) У (В) обычно разделяют на две самостоятельных задачи. Первая задача - найти решение соответствующего формального уравнения (0.3). Вторая задача - зная , определить асимптотические свойства У (2). Иногда рассматривается и третья задача - построить У(£) в виде равномерно сходящегося ряда в некоторой области Ы сТ , имеющей предельную точку (см. [23J , [28 - 29] ).

В главах П - Ш рассматриваются эти три задачи для конечномероморфного уравнения (0.1).

Первая задача, являющаяся, на наш взгляд, наиболее важной и сложной, носит чисто алгебраический характер. Поэтому в § 5 главы П уравнение (0.3) рассматривается в линейном пространстве чала это уравнение расщепляется на два независимых уравнения, одно из которых конечномерно, а другое имеет не более чем регулярную особенность и конечномерный старший коэффициент (теорема 2.1), а затем известными способами строится решение каждого уравнения (теорема 2.2).

Пусть В ~ произвольное линейное пространство над алгебраследувдее утверждение.

Теорема 2.1. Существует такое нормальное мероморфное / строится следующим образом: снаотносительно £ , где ц - положительное целое число, преобразование которое сводит уравнение (0.3) к двум уравнениям

Djihxu)

J-0 И У J

0.12)

0.13) в подпространствах и + И3 пространства J?3 венно, причем c/im £ < сх=> (1-^2.) соответсти матрица оператора имеет вид

Здесь и всюду в работе знак + означает прямую сумму подпространств линейного пространства . Подпространством банахова пространстваJJ3 называется его замкнутый линеал).

Каждое из уравнений (0.12), (0.13), как уже отмечалось, можно решить известным способом. В § 6 для К~£ построено решение уравнения (0.3) (так называемое S -решение) вида

У (г) = Г (г) G, C2)J где и в некотором разложении пространства л

J£= Z/ + JU , Jin, матрица оператора & (2) имеет вид о

2) = c/iag (Gj'te), I) .

Оператор-функция

GrW-F.Pcv^e^i где F , К , L, - постоянные операторы, Q(Z) " полиномы без свободного члена по ё и г v , где V - некоторое положительное целое число, соответственно, и в некотором базисе J. подпространстваХ/ матрицы операторов Р(2) , КIуц имеют следующий вид: Q(Z)j „ , - диагональная матрица ; я/

KL - диагональная матрица целых чисел ;

Р(Щ - шжне - треугольная матрица, причем c/lQQ[H(2/19 > J~ fy ^

В работе [зо] было построено В -решение уравнения (0.3) в конечномерном случае.

Вторая и третья задачи рассмотрены в параграфах 7 и 8 главы Ш соответственно.

Теорема 3.1. Решение уравнения (0.1) имеет вид

У (2) = Гг2) £ (В),

Г(г) ~ Fe(z), г f Т.* где

Г*

- произвольный собственный достаточно малый подсектор сектора •

О ^f

Пусть £ - произвольный собственный подсектор из пересечения сектора Т с некоторым нормальным (см. ниже) сектором. Обозначим через р" (z) сумму первых S + / членов ФОР Положим

Теорема 3.2. Решение уравнения (0.1) имеет вид

У (в) = Fs СЮ 1сг) &Е сг) где S - достаточно большое натуральное число, которое определяется по (Z) , а оператор-функция Zu) в секторе s* может быть определена методом последовательных приближений как решение интегрального уравнения Б

ГСю

Здесь DCtj^Df (t) » Г(В) - набор контуров интегрирования.

Идея применяемого при доказательстве теоремы 3.2 метода восходит к работе Н.П.Еругина [12] по теории приводишх систем. Она была использована затем В.В.Хорошиловым [28 - 29] , Л.И.Донской [44] , И.Б.Сороговцем [45] для построения решения уравнения (0.1) в некоторых частных случаях. В нашем случае основная трудность доказательства состоит в правильном выборе набора контуров интегрирования в интегральном уравнении. Теорема 3.2 является новой и для конечномерного пространства J^ .

Теорема 3.3. Имеет место асимптотическое разложение

Zcz; ~ (l + L F; % (г), г zeS*

J=-t J

В § 9, в качестве примера, рассматривается интегро-диффе-ренциальное уравнение

ЭУ(2Х) 1 / ГУ /

-jr в банаховом пространстве ~ Сс конечномероморфным интегральным оператором с ядром К (В Т", S) •

Основные результаты диссертации опубликованы в работах J24-2б] , [49] и докладывались на семинарах в Воронежском ордена Дружбы Народов лесотехническом институте, а также на ХУЛ - ХУШ Воронежских зимних математических школах и УШ - IX школах по теории операторов в функциональных пространствах.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителго профессору С.Г.Крейну за постоянное и всестороннее внимание к работе, помощь и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Товбис, Александр Исаакович, 1984 год

1. Вазов В, Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968. - 464. с.

2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. - 648 с.

3. Гохберг И.Ц., Лайтерер Ю. Факторизация оператор-функций, относительно контура. I. Конечномероморфные оператор-функч™- ~ Moih> Notchг> ^2, 3d. 52, /?. 259-282.

4. Гохберг И.Ц., Лайтерер Ю. Факторизация оператор-функций относительно контура. П. Каноническая факторизация оператор-функций, близких к единичной. Moth. Nocht., 1972, Bd.54,p. 41-74. .

5. Гохберг И.Ц., Лайтерер Ю. Факторизация оператор-функций относительно контура. Ш. Факторизация в алгебрах. -Moth.l^cicht, 1973, 3d 55, 33-61.

6. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Операторное обобщение теоремы , о логарифмическом вычете и теоремы £уше. Матем.сборник, 1971, т.84, JS 4, с. 607^630.

7. Гохберг И.Ц., Фельдман.И.А. Уравнения в свертках и. проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

8. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость.решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 536 с.

9. Денисов И.В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярного уравнения в банаховом пространстве. УМН, 1982, т.37, вып. 5, с. 181-182.

10. Денисов И.В. Сингулярные дифференциальные уравнения в. банаховом.пространстве. Дисс. на соиск.уч.степ.канд.физ.-мат. наук. - М., 1982. - ПО с.

11. Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных,уравнений. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1956. - 108 с.

12. Еругин Н.П. Приводимые системы. Труды Матем. ин-та им. Стеклова, 1946, т. 13, с. 1-94.

13. Кведарас Б. 0 свойствах решений вырожденного линейного дифференциального уравнения. Литовский матем. сб., 1977,т. ХУЛ, № I, с. 115-125.

14. Кведарас Б. Об асимптотическом поведении формального решения вырожденного дифференциального уравнения в особой точке. Литовский матем. сб., 1978, т. ХУШ, № I, с. 123-130.

15. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: ИЛ, 1958. - 474 с.

16. Кузнецов А.Н. Дифференцируемые решения вырождавшихся систем обыкновенных уравнений. Функц.анализ и его прилож., 1972, т. 6, вып. 2, с. 41-51.

17. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967, - 464 с.

18. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к. теории линейных.систем обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: ГИТГЛ, 1957. -.456 с.

19. Логинов Б.В. 0 ветвлении решений задачи Коши.для линейных дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1975,т. XI, № 9, с. 1709-1712.

20. Сато М., Дзимбо М., Мива Т. Голономные квантовые поля. Сборник статей. М., Мир, 1983. - 303 с.

21. Сидоров Н.А. Задача Коши для одного класса дифферен- . циальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1972, т. УШ, № 8, с. I52I-I524.

22. Сидоров Н.А. 0 ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением. Дифференц.уравнения, 1973, т. IX, № 8, с. 1464-1481.

23. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: ГИТТЛ, 1957, т. Ш, часть П. - 674 с.

24. Товбис А.И. Об одном уточнении и обобщении результатов Лаппо-Данилевского. Воронеж, 1982. - 15 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехнич. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 18 нояб. 1982, № 6000-82.

25. Товбис А.И. О методе Еругина построения решения в окт-рестности иррегулярной особой точки. Воронеж, 1983.- 19 с. рукопись представлена Воронеж.лесотехнич. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 13 мая 1983, № 2921-83.

26. Товбис А.И. Исследование решений линейных мероморфных дифференциальных уравнений. Воронеж, 1984.- 35 с. Рукопись представлена Воронеж.лесотехнич. ин-том. Деп. в ВИНИТИ II апр. 1984, № 2192-84.

27. Трофимов В.П. О корневых подпространствах операторов, аналитически зависящих от параметра. Матем. исследования, 1968, т. 3, № 3, с. 1Г7-125.

28. Хорошилов В.В. О решениях системы линейных дифференциальных уравнений с.иррегулярной особой точкой. ШМ, X95I, т. 15, № I, с. 37-55.

29. BcdZg&i Щ Jwblcd LuU D. А Ощtli£s ZCc/ucttQH of вОИИ&сЖсОИ рЪР'ё&ЛХ'З -forecliffzx&HtCcd e^uatcons, teeth mi czta^&oc sСмиЛсоь pocu£ ~6o ohj&L with оиАр iCuvulosUti^ I. SMM. / McUh Аиа£y /96/, u !Z, A/5.; />. 691- 7Z0.

30. BibUkoff SB. ScULjfUJ&U/C pOLt4^£ of obcloitanj^ dtwzzVb defft/ULu^co^Tuws. Auwc. Mcdb. Soc.y 140% К JO, p. i/9-^З/.

31. BitsLkoff Q, D. A Ikwmic ОИ MCI^'Uof ci\Aci£uj ice fuMsotCousАпт ft13, v. M, p. /22 -133.

32. BCz4tko^f D. bCHCJCJJ&tfL pocu^s ®f uctrcu бсш^сас C&ffeJULutcai£ effitcdCouz- Ma^h. Лит/ки; /Щ v. p. /34-133.

33. Не&$ои H. iTeoto^o^ fuM^c^Con tkswuQ- Рь&с. Ьоис/ои Joe., /36?; v.' /7, M3, P- 499 50V

34. E. <£lH£,ci/i c/cff e^u^otttc>n<s. си ВсшхьсМ Ptoc.SijwjooziuMb Oia Spoucm^J fj-ercusOL MC , /660, р.ЯбЪ-275.

35. Leire&t A.H.M. ^огебсио сЬгсо^роьсtCc>K -foX, ct c^OeSS of sCiaj^cJajl eUffcT^id^co/, opeJlcdots.-AiA. /97J* <ir. /3, p. t-Z?.

36. Донская Л.И. 0 структуре решения системы трех линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки I . - ДАН.СССР, 1951, т.80, В 2, с. 321-324.

37. Сороговец И.Б. 0 решениях систем линейных дифферен-. циальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Дифференц.уравнения, 1984,.т. XX, № 5, с. 786-792.

38. ШкХль.МЛ. Асимптотичн1 метода в дифференц1альних р1вняннях. К.: Вшца.школа, 1971. - 324 с.

39. Григоренко В.К. Построение решений системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. УМЖ, 1982, №.6, с. 753-756.

40. Сотниченко Н.А., Давидюк Г.П. Линейные дифференциальные уравнения с.иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве. Докл. АН.УССР, Сер. А, 1983, № 5, стр. 18-21.

41. Товбис А.И. Матричные сингулярные линейные дифференциальные уравнения. I. Формальная теория. Воронеж, 1984.-20 с. рукопись представлена Воронежским лесотехнич. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 24 июля 1984, 5332-84.

42. Федорюк М.В. Асимптотические методы, для линейных . обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. -352 с. .

43. Денисов И.В. Дифференциальные.уравнения с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве. -Л^ла, 1984. 66 с. рукопись представлена Тульским пед.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 5 марта 1984, № 1301-84.