Нерегулярные линейные операторы, зависящие от параметра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ливчак, Алексей Яковлевич

• Ливчак, Алексей Яковлевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ливчак, Алексей Яковлевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. СВОЙСТВА ПОДПРОСТРАНСТВ, СВЯЗАННЫХ С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КОНЕЧНШЕРОМОРШЫМИ ОПЕРАТОР-ФУНКЩЯМИ.

§ I. Основные обозначения и определения

§ 2. Линейный операторный пучок.

§ 3. Голоморфные и конечномероморфные операторфункции

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ СВОЙСТВ НЕРЕГУЛЯШЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ПУЧКОВ ПШ ВОМЦЕНЙИ ЛИНЕЙНЫМИ НЕПРЕШВ

НЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

§ 4. Некоммутирукхцие возмущения.

§ 5. Коммутирующие возмущения.

§ 6. Вполне непрерывные возмущения.

Глава 3. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ПУЧКИ И ДИФФЕРЕНЩАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

§ 7. Разложение пространств на инвариантные пары для нерегулярного линейного операторного пучка.

§ 8. Операторные пучки и однородные дифференциальные уравнения

§ 9. Операторные пучки и неоднородные дифференциальные уравнения.

§ 10. Дифференциальные уравнения с параметром, неразрешенные . относительно производной.

§ II. Уравнения с коммутирующими операторами

Глава 4. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОР-ФУНКЩИ В ТЕОШИ ШФУР

КАЩЙ.

§ 12. Вывод уравнений разветвления.

§ 13. Бифуркация в случае нерегулярной линейной части

ЛИ ТЕРАТУРА. ИЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нерегулярные линейные операторы, зависящие от параметра»

Диссертация посвящена исследованию локальных свойств нерегулярных оператор-функций и их применению к изучению дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и к теории бифуркаций.

Рассматриваются функции Да) , определенные для X из некоторой окрестности 1л. комплексного числа ^-о , голоморфные или имеющие полюс в точке Х0 , значениями которых являются линейные непрерывные или замкнутые операторы, действущие из банахова пространства X в банахово пространство Y . Под нерегулярностью оператор-функции Аш понимается необратимость операторов A(V> при Хе И .

Изучаемые в работе свойства оператор-функций Ащ связаны с разрешимостью уравнений вида

Ашос(У) • (0-т)

Подобные уравнения возникают при решении широкого круга математических задач, находящих многочисленные применения.

Рассмотрение уравнений вида (0.1) своими истоками уходит в классические исследования по спектральной теории линейных операторов, т.е. изучение оператор-функций вида Многочисленные результаты, относящиеся к таким оператор-функциям, где А - замкнутый фредгольмов или полуфредгольмов оператор, подробно охарактеризованы в известной монографической работе И.Ц.Гохберга и М.Г.Крейна [9] .

Основой для исследования произвольных голоморфных оператор-функций послужила статья М.В.Келдыша [20] , в которой были введены понятия цепочки собственного и присоединенных векторов и кратности характеристического числа регулярного операторного полинома, а также получены формула для кратности характеристического числа и формула, выражающая главную часть резольвенты операторного полинома через его собственные и присоединенные векторы.

Понятия и результаты статьи [20] получили существенное развитие в работах И.Ц.Гохберга и Е.И.Сигала [l2] , [в] , [29] , в которых был разработан метод факторизации оператор-функций. Этот метод позволил обобщить указанные результаты на случай ко-нечномероморфных фредгольмовых оператор-функций, а также ввести понятие и получить формулу факторкратности характеристического числа для нерегулярных фредгольмовых оператор-функций.

А.С.Маркус [2б] доказал, что для голоморфной полуфред-гольмовой оператор-функции , определенной в области G"=£, размерность пространства собственных векторов Аоо бесконечной кратности в точке X постоянна для всех X из & , и всюду в G за исключением некоторого множества изолированных точек пространство нулей совпадает с Н(А,>0 . М.Кас-хук [48] рассмотрел линейный пучок = А + хВ , удовлетворящий свойству КС L = dim . Им было доказано,

HCL,^ что множество G точек X , для которых оператор L(>0 нормально разрешим и , является открытым в С , причем вне некоторого подмножества Гс G , состоящего из изолированных точек, выполняется . Этот результат был обобщен на случай голоморфных оператор-функций К.-Х. Фёрстером [42] с помощью метода линеаризации.

Систематическое исследование свойств нерегулярных оператор-функций было проведено в ряде работ Х.Барта, М.Касхука и Д.Лэя [34 - 36] . Работа [34] была посвящена исследованию поведения пространств нулей и образов 3i( A(V>) конечномероморфной оператор-функции A (Xs) , удовлетворящей для Хе G- условиям:

1) нулевой член Ав разложения Асх) в ряд Лорана нормально разрешим,

2) число устойчивости К(А,Х) , обобщающее соответствующее понятие работы [48] , конечно. В работе [51] такие оператор-функции были названы F& -мероморфными. В [ 34] были обобщены результаты работ [48] и [4l] , а также доказана непрерывность в метрике раствора пространств Н(А,х) и пространств связанных с

ЖАсху) . В работе [35] для случая, когда оператор А0 имеет обобщенный обратный, было доказано существование конечномероморфной обобщенной обратной оператор-функции А (X} и установлено, что такие оператор-функции допускают факторизацию, что позволило получить формулу для фактор-кратности характеристического числа р& -мероморфной оператор-функции [Зб] . При более общих предположениях существование мероморфной оператор-функции А СХ4) было доказано в [ 37] .

В ряде работ изучались следующие пространства, связанные с FG -мероморфной оператор-функцией АОу): IPfii.А,Х0)- пространство таких векторов ^ из Y , что для любого натурального к. существуют голоморфные в точке Хв функции и Н^СХ) , для которых выполняется равенство Acx^cXi = (Х-Х^ fh(X) ;

- пространство векторов ^ из Т , для которых существует голоморфное в точке Х0 решение эсСХ) уравнения Аоо-хШз^ ; пространство всех собственных и присоединенных к ним векторов АсХ) в точке Хо

Для линейного полуфредгольмового при Хе & цучка L(XN)= A~xl в работах И.Ц.Гохберга и А.С.Маркуса [ю] , А.С.Маркуса [2б] , М.А.Гольдмана и С.Н.Крачковского [2] была доказана независимость пространств и 7c(L,\) от параметра X , пробегагацего множество £\Г . Для линейного пучка К+хВ , удовлетво-ряицего условиям (I) и (2), аналогичные утверждения были получены в работах [48] и [4l] . Результаты последних работ были перенесены Фёрстером [42] на голоморфные оператор-функции в предположении равенства КС А, 50= о (см. также [13] ).

В случае, когда А-^1 , пространство WliL,о) о ^ . совпадает с пространством ^Iffli f\) = Л Ж А ) , 7Ц1,о ) совпа

И I даете T^A^UJvfA) и KCL.o) совпадает с числом

Н=1

Жк) = сiim t—: . В ряде работ ставилась задача изучения устойчивости свойств замкнутого оператора А , в частности, поведения пространств и % (А) , при возмущении линейными непрерывными операторами. М.А.Гольдманом и С.Н.Крач-ковским [4] - [7] была доказана устойчивость класса нормально разрешимых операторов, удовлетворяющих условию * , а также постоянство пространств W.(k+2>) и 7fl(А-*-£>") при возмущении малыми по норме коммутирующими с А операторами В Исследование устойчивости свойств оператора к при вполне непрерывных коммутирующих с А возмущениях было проведено в работах С.Грабинера [44] , [45] .

В последнее время результаты, касающиеся свойств линейных операторных пучков, нашли применение в теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. Вопросам изучения задачи Коши вида

A+eB) ■xtt,£) + Cxct,6)=oji6fo>eo)>efiC, (0.2)

-х(о,ОеХ , £е(С. (0.3) с точки зрения операторных пучков посвящены работы С.Г.Крейна и

К.И.Чернышева. [23] , С.П.Зубовой [15] , С.П.Зубовой и В.П.Трофимова [16] , [17] . В этих работах рассматривались вопросы существования решений octt?£) задачи (0.2)-(0.3) и сходимости x(t,e) при к решению предельной задачи

A 5c(t) -t-Cx(i) t(о.4) 5с(о) = х(о, г) .

->о

При изучении указанных вопросов важную роль играет разложение пространств X и Y на инвариантные относительно регулярного пучка пары подпространств, установленное методом спектральных проекторов в работе [38] (см. также [23] ). Для подуфред-гольмовых пучков другим способом разложение пространств на инвариантные пары было получено Т.Като [бо] и Т.Гамелином [43]

При изучении задачи (0.2)-(0.3) приходится сталкиваться с пучками от двух переменных К + бВ + ОХ , что обуславливает необходимость использования методов оператор-функций нескольких переменных. Большое количество глубоких результатов и обширную библиографию по теории оператор-функций нескольких переменных можно найти в обзорных работах [14] и [46 ] .

Методы теории оператор-функций также находят применение в теории бифуркаций при исследовании локального поведения решений нелинейного уравнения в банаховых пространствах

Fcx,:o =0 (0.5) с вещественным параметром X . Если отображение F(x,aO дифференцируемо в точке (о,о) , то, обозначив = } в окрестности этой точки можно записать F( х} = A CM х + паr( х, x). Во многих работах рассматривался случай, когда к (У) - регулярный пучок вида к-УА (см., например, [47] ). Для регулярных оператор-функций Аш общего вида и для некоторых классов нерегулярных оператор-функций уравнение (0.5) исследовалось в работах Дж.Изе [47] и В.А.Треногина и Н.А.Сидорова [30] . Использование собственных и присоединенных векторов оператор-функции

Аш для изучения решений уравнения (0.5) можно найти в работе Б.В.Логинова и Ю.Б.Русака [24] .

Диссертация содержит четыре главы. Первая глава посвящена изучению пространств, связанных с нерегулярными конечномероморф-ными оператор-функциями. Во второй главе исследуются свойства линейного пучка А + «х1 при возмущении малыми непрерывными и вполне непрерывными операторами. Результаты первых двух: глав применяются в третьей главе для исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной. В четвертой главе с помощью метода корневых функций изучаются вопросы существования точек бифуркации нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Нумерация параграфов в диссертации сквозная. Теоремы нумеруются по главам.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В § I приводятся основные определения и обозначения, используемые в последувдем изложении.

В § 2 и § 3 изучаются пространства, связанные со свойствами решений уравнения (0.1), где Аш- нерегулярная FG- - меро-морфная оператор-функция, определенная для X из некоторой области G- с (£ f принимающая значения в пространстве линейных непрерывных операторов L(X,Y) , действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y . Для произвольной точки ^о из G- рассматриваются определенные выше пространства а также вводятся: 7lc(А,Хо)~ пространство векторов X € X , являющихся коэффициентами разложения в ряд Тейлора в точке голоморфных решений УСУ) уравнения AcxWOO so , 101г(А,О - множество векторов yeY , для которых существует решение уравнения АсХ) УСЬ) , имеющее полюс в точке ; Фй(А?<0 - множество векторов х£ X , для которых существует голоморфная в точке функция такая, что 4>U0)=X и АсХ^Ш = Ах в некоторой окрестности точки <Х0

Во втором параграфе подробно изучается поведение пространств, связанных с линейным операторным пучком, введенных в работах [50] и [48] . Устанавливается ряд соотношений двойственности между ними. В § 3 указывается связь этих пространств с пространствами ^(AjX) и . С помощью метода линеаризации результаты § 2 переносятся на случай голоморфной, а затем, используя один из методов факторизации, - на случай

F& - мероморфной оператор-функции.

Пусть Г - множество точек X из & , являющихся полюсами к(DO или удовлетворяющих условию K(A,JO*o.

Теорема 1.8. Пусть оператор-функция Аш FG-- меро-морфна в области Gc С • Тогда для всех Хе G пространства и постоянны и выполняются соотношения двойственности и

Для Хе&\Г выполняются равенства 1i(f\}b) = У1с(к,ь) и Ш(к7ь) =/Лс(А;х)='№г(А;х) .Если ЛеГ , то ftcM We(M

Для голоморфной оператор-функции получены дополнительные утверждения.

Теорема 1.7. Если Аоо - голоморфная в G- оператор-функция, удовлетворяющая для всех Q- условиям (I) и

2), то для всех ^ из & выполняется равенство

IMA,*) ' ' КЛ^М где tm(A,y> - факторкратность характеристического числа «К оператор-функции A(V)

В случае линейного пучка Lcx'i описано строение пространств и .

Следствие 1.5. Если для линейного пучка L(M=T+bS выполняются условия теоремы 1.7, то для О^е G имеют место разложения yL(L}x) = 7lc(L^) ®У1Х , где линейная оболочка некоторого канонического набора собственных векторов L(V> конечной кратности в точке ^ и присоединенных к ним векторов. При этом

Результаты .главы I обобщают и развивают аналогичные результаты работ [41 ] , [42] и [l3] в следующих направлениях: а) рассмотрено поведение пространств , , в особых точках, т.е. точках ^ из Г ; б) получены утверждения двойственности ; в) результаты перенесены на случай F& -мероморфных оператор-функций.

Во второй главе изучается поведение пространств, связанных с нерегулярным линейным операторным пучком Lex.) = A + jJ , при возмущении оператора А . Полученные результаты можно рассматривать с точки зрения устойчивости свойств нерегулярного оператора.

В § 4 доказываются две теоремы об устойчивости некоторого класса операторов при возмущении малыми А -ограниченными и ограничено ными линеиными операторами.

Теорема 2.1. Пусть А - замкнутый нормально разрешимый оператор, действующий в банаховом пространстве X ,

Y(A) < °° . Тогда для достаточно малых А -ограниченных операторов В , удовлетворяющих условию В (ЖА) Г\Ш(А))с 'Ш(А) f оператор А+В нормально разрешим и КА+В) * Ш)

Теорема 2.2. Если для непрерывного оператора А выполняются условия теоремы 2.1, то для малых ограниченных операторов В , удовлетворяющих условию В (WA)) с 7fl(A) , пространство ЖА+В) замкнуто и м+в) й т).

Результаты § 4 обобщают результаты работы [б] , в которой утверждение, аналогичное утверждению теоремы 2.1 было получено при дополнительных предположениях перестановочности В с А и дополняемости одного из пространств или Ш) .

В § 5 изучается поведение пространств, связанных с оператором А при возмущении его малыми по норме операторами, коммутирующими с А .

Теорема 2.4. Если А - непрерывный оператор, для которого выполняются предположения теоремы 2.1, то для достаточно малых по норме коммутирующих с А операторов В выполняется равенство

А) = WA+B) •

При тех же предположениях относительно операторов А и В доказана

Теорема 2.5. Пространства N(A+ В) П W(A+B) и Л (А+В) + непрерывны в метрике раствора.

Основываясь на утверждениях теорем 2.4 и 2.5,делается вывод о том, что поведение пространств, связанных с пучком А+xI , при возмущении оператора А коммутирующими операторами сходно с поведением пространств, связанных с

FG -мероморфными оператор-функциями, изученных в главе I и в работе [34] , при изменении параметра Л .

Изучаются необходимые и достаточные условия выполнения равенства W0 = Y(A+B) .пусть ^ = С|иАх/1 и 1(A) «Ъд1 , S*(M,N) - раствор между подпространствами

М и N .

Теорема 2.6. Если оператор А удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и 0 - последовательность линейных непрерывных операторов, коммутирующих с А . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) tf(A+Bh) = А) для достаточно больших и е N ;

2) последовательность А^ВК) ;п = ограничена;

3) ^ A + Bh) — «А) ;

4) ;

5) ZZ-0 .

Следствие 2.4. Если В и и УСА+6 = и-d,!,. , то шаь ша+bj ;ш) = mtgj^-i^.

Теорема 2.7. Пусть - связное комплексное многообразие размерности к , А(Х) - оператор-функция на , значения которой являются линейными замкнутыми операторами в банаховом пространстве X с одинаковой областью определения 2) ; для каждой точки оператор-функция АоО - А(\0) принимает значения в и голоморфна. Если для всех X е ffi операторы А()0 нормально разрешимы, попарно перестановочны и то множество аналитично в я .

Утверждения теорем 2.6, 2.7 и следствия 2.4 показывают, что для оператора А , удовлетворяющего предположениям теоремы 2.1, условие является условием общего положения и соответствует "более простому" поведению пространств, связанных с пучком , при возмущении коммутирующими операторами.

В § 6 рассматриваются свойства пучка L(X) при возмущении оператора к компактными операторами.

Условиям теорем, доказанным в главах I и 2, удовлетворяют оператор-функции, значения которых являются полуфредгольмовыми или конечномерными операторами.

Глава 3 посвящена применению методов нерегулярных оператор-функций к исследованию дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной.

В § 7 рассматривается обобщенно обратимый в окрестности нуля операторный пучок L(X)=A+XB , где

А,В * L(X,Y) оператор А имеет обобщенный обратный и K(Lfo) . Получено разложение пространств X и Y на пары инвариантных относительно А и В подпространств.

На основании существования у L(>0 конечномероморфной в + нуле обойденной обратной оператор-функции L , для которой проекторы L^X^LlX4) и 1(Л)1+(.М голоморфны в нуле [35], доказывается

I +

Лемма 3.1. Оператор-функцию Lex) можно выбрать таким образом, что для достаточно малых Хфо и j*фо выполняется равенство

L+(JJO - = cx-juo L\ja)B>1^cx) .

Это равенство, аналогичное тождеству Гильберта для резольвенты, позволяет применить к нерегулярным операторным пучкам метод спектральных проекторов, изложенный в работах [23] и [38] .

Лемма 3.2. Имеет место разложение .+ г> ОО* К-4

LCMВ = Х Тгн. + Т1 - 2- С-Кв) X , где оператор является проектором, оператор К0 аннулируется в пространстве N = ЗЦ K.J и действует в пространстве К^ - нильпотентный оператор, обращающийся в нуль на М и действующий в N .

С помощью разложения в ряд Лорана оператор-функции определяются пространства N и М

Теорема 3.2. Имеют место прямые разложения пространств X и Y на инвариантные относительно А и В пары подпространств: X=N® М , Y=И , т.е. А (Н) ^ N

V ^м ^v '

B(N)eN , А(М) с М , ВШ) с И . При этом оператор В осуществляет изоморфизм между N и N

Установлена связь между полученным разложением и пространствами, изученными в главе I .

Теорема 3.3. Выполняются утверждения:

1) образ проектора K-i совпадает с подпространством размерности fUv\(.L,o) , порожденным некоторым каноническим набором собственных векторов LcX) конечной кратности и присоединенных к ним ;

2) ^(L;o)cM ;

3) сужение L^CX) пучка L(X} на М не имеет собственных векторов конечной кратности в нуле ;

4) Wl^L,o)n'M = '№c(L,o);

Результаты § 7 обобщают аналогичные утверждения работ [23], [38] , [43] и [50] .

В § 8 рассматривается задача Кош

А = (0.6) я X где A,B^L(X,Y) .

Вводится преобразование,сходное с преобразованием Бореля [i] , сопоставляющее голоморфной в окрестности нуля функции

00 К А К у ij= ZL X целую функцию ij(X) = 2 X . Преобразование А позволяет установить соответствие между голоморфными решениями задачи (0.6) и голоморфными решениями некоторого операторного уравнения, а также описать условия существования и единственности решения задачи (0.6) в терминах пространств, изученных в главе I и в работе [34] .

Теорема 3.4. Если оператор А нормально разрешим и для пучка Lcx) = A+xB выполняется КС L;о)<с>о , то задача (0.6) имеет голоморфное решение в том и только в том случае, когда существует голоморфное в некоторой окрестности нуля решение , Lj(o)^x0j уравнения

А+хВ) tjOO s Ах0 ,

Л V причем можно положить ХСХ} = Lj (X)

Теорема 3.5. Задача (0.6) имеет голоморфное решение для начальных значений x.0eQt(L,o) и только для них. Голоморфное решение задачи (0.6) при фиксированном х0 единственно в том и только в том случае, когда H(L,o)={o}

Более того, если ХСХ") - голоморфное решение задачи (0.6), то € L,o) для всех и выполняется

Следствие 3.1. Голоморфная разрешимость задачи

0.6) эквивалентна голоморфной разрешимости этой же задачи в пространствах Qc(L,o) и .

Лемма 1.7 показывает, что пространство Qc(L}o) находит

1 ft ся с помощью простого алгоритма: QC(L о) = П (В" А) (X) где В (Е) означает полный прообраз множества £

Теорема 3.5 развивает результаты работы [18] , в которой аналогичные вопросы изучались другими методами и при более ограничительных предположениях.

В § 9 с помощью преобразования А исследуются неоднородные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, неразрешенные относительно старшей производной. * А

Теорема 3.6. Пусть Аш = XL X Ак - обобщенно к=о обратимый операторный пучок,

- голоморфная в окрестности нуля функция со значениями в Y . Уравнение

Л'С, (0.7) с начальными данными хк е К, к-о,.(0.8) имеет голоморфное решение в том и только в том случае, когда существует голоморфное в некоторой окрестности нуля решение 00 к ^К=к!хк f к-о} ., ta-i , уравнения

Уг „К

Aoojjoo = I хк 2L AS^KS , л причем можно положить Х(Х"> = у(Х) .

Следствие 3.2. Если Аш - сюръективный при малых Х^о пучок и максимальная факторкратность собственных векторов А00 в нуле не превосходит порядка уравнения (0.7), л то уравнение (0.7) разрешимо для любой правой части вида j-CX}.

Преобразование А позволяет установить связь между радиусом сходимости ряда Лорана оператор-функции А и экспоненциальным типом решения задачи (0.7)-(0.8).

У\

Теорема 3.8. Пусть пучок имеет к.=о обобщенную обратную оператор-функцию А Ш , голоморфную при o^/XI<k0 , - голоморфная при Ш < 1г4 функция со значениями в Y . Если задача (0.7)-(0.8) имеет голоморфное решение, то существует голоморфное решение этой задачи экспоненциального типа не выше к= та*, {h0 , k±]

Методы, развитые в §§ 7-9, применяются в §§ 10-11 для исследования поведения голоморфных решений дифференциального уравнения с параметром при производной

А+е£) ч-Схсхд> =0 , хд еС, <о-9) d\ хсо,е)£К, (О.ю) причем функция хсо,d голоморфна в нуле. Изучается сходимость решений задачи (0.9)-(0.Ю) к голоморфным решениям предельной задачи

А + =о,хеС, 5с(о)еХ. (0.11) о(Х

Теорема 3.9. Пусть оператор А фредгольмов и в окрестности нуля пучок ТсХД) - А+£.В имеет такую мероморфную обобщенную обратную оператор-функцию Т(Х.,ЕЛ , что оператор-функции и Т(Х,1)Тс\,0 голоморфны,

СК,0) Ф ЕСТ) = { | olcmЛТсх^у) > и^г

СХ,! ) для малых . Тогда для некоторого £о>0 и всех Е0 пространство X представимо в виде суммы А/£о® А/21® — © М£ , порождаемой проекторами ,Р[ . Задача (0.9)-(0.10) при разрешима, если t(Tg,o) c^y , где и её решение представимо в виде = эс±(\;£) +• £ , где xtU,i>= Pe'xc\,L) , ~ Р£.х(Х,£) , i-i^.^p Для всех имеет место сходимость = хсх) , где х(х") - решение задачи (0.11). Если 3i(o,z)e}v\L то решение х(Х,£) голоморфно по £ при и всех

Х€ С.

Утверждения теоремы 3.9 обобщают результаты работ [l5 - 17] на случай нерегулярного пучка Тех, О

В § II рассматривается задача (0.9)-(0.10) с коммутирующими операторами. На основании результатов главы 2 получено сведение этой задачи к регулярному случаю или к случаю, для которого возможно применение теоремы 3.9.

В главе 4 изучаются вопросы существования точки бифуркации уравнения (0.5) при условии, что линейная часть Гх(о,х) = А(V) отображения Fca^x") в окрестности точки (о,о) является нерегулярной аналитической оператор-функцией. В § 12 с помощью корневых функций [22] сопряженной оператор-функции А (X) выводится система уравнений разветвления.

Теорема 4.1. Пусть Fbc,ao = Аоох бесконечно дифференцируемое в окрестности точки (о,о) £ XxlR, отображение, - фредгольмов оператор, co-ckm Ш/\«л) =и daw. Л/ТАсо)) = Я ; vnif<оо 7 ? = канонический набор кратноетей собственных векторов оператор-функд tf) ции п (X) в нуле, Ч 00 - соответствующие корневые функции кратностей hi- ? . Тогда систему уравнений разветвления для уравнений (0.5) можно представить в виде л. .

Где

II^U < £, Ш * 1, и матрица Н = ( h.jопределяется собственными и присоединенными векторами оператор-функций АсЮ и А(Х> в нуле.

В § 13 система уравнений разветвления, полученная в теореме 4.1, используется для доказательства ряда теорем существования точки бифуркации уравнения (0.5) в случае нерегулярной фредголь-мовой оператор-функции /\(Х) индекса нуль. Результаты формулируются в терминах пространств, характеризующих локальное поведение оператор-функции А(Х>

Пусть Р - проектор в пространстве

Y(A«») « Х4 е Н(А,о) .

Теорема 4.2. Пусть все собственные векторы конечной кратности Аш в нуле имеют одинаковую кратность Уп и Vp(oc) +и(.ъс}У) } где VpCx) - однородное отображение порядка 3*2. , U(£ М = °а г) при о , рассмотрим отображение Wcoc^X) пространства if(Aco)) *1Ц в ЖР) , определенное формулой

5с,У) = Х*Нос1 + PVfc5c) .

Если для некоторого вектора = С"эс.0, ^о) , ll'Xjl , выполняется равенство и образ якобиана ^Wcira) в точке совпадает с пространством , то точка onefold является точкой бифуркации уравнения (0.5).

При доказательстве ряда других теорем существования точки бифуркации используются результаты работы [ 52] о локальном строении решений уравнения (0.5) и [ 53] о точках бифуркации уравнения с постоянной нерегулярной линейной частью.

На защиту выносится:

1) Теоремы, описывающие поведение подпространств, связанных с нерегулярными конечномероморфными оператор-функциями ;

2) теоремы, описывающие поведение подпространств, связанных с нерегулярным линейным операторным пучком, при возмущении непрерывными операторами ;

3) разложение пространств на инвариантные пары относительно нерегулярного линейного операторного пучка;

4) метод исследования дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, неразрешенных относительно производной, основанный на сведении дифференциального уравнения к операторному уравнению ;

5) необходимые и достаточные условия существования и единственности и оценка экспоненциального типа голоморфных решений дифференциального уравнения в банаховых пространствах ;

6) исследование поведения решений дифференциального уравнения с параметром при производной в случае нерегулярного операторного пучка ;

7) исследование вопросов существования точки бифуркации нелинейного уравнения в банаховых пространствах с нерегулярной линейг. ной частью с помощью метода корневых функций.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах ХУЛ и ХУШ Воронежских зимних математических школ (1983-84 г.г.), на 43-й научной конференции Латвийского госуниверситета (1984 г.) на УШ школе по теории операторов в функциональных пространствах (1983 г.), на семинаре кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета (ру-воводитель профессор Б.Н.Садовский), а также неоднократно докладывались на семинаре по уравнениям с малым параметром Воронежского лесотехнического института (руководитель профессор С.Г.Крейн)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [58

64] .

Автор пользуется случаем выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Селиму Григорьевичу Крей-ну за постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ливчак, Алексей Яковлевич, 1984 год

1. Бибербах Л, Асимптотическое продолжение.- М.: Наука, 1967. - 240 с.

2. Гольдман М.А., Крачковский С.Н. Инвариантность некоторых пространств, связанных с оператором А~ . Докл. АН СССР, 1964, т. 154, № 3, с. 500-502.

3. Гольдман М.А., Крачковский С.Н. О возмущении гомоморфизмов операторами конечного ранга. Докл. АН СССР, 1967, т.174, № 4, с. 743-746.

4. Гольдман М.А., Крачковский С.Н. Об одном классе возмущений линейного замкнутого оператора с замкнутой областью значений. Докл. АН СССР, .1971, т.197, № 6, с. 1243-1246.

5. Гольдман М.А., Крачковский С.Н. Об устойчивости некоторых свойств линейного замкнутого оператора. Докл. АН СССР, 1973, т. 209, № 4, с. 769-772.

6. Гольдман М.А., Крачковский С.Н. Операторы, нули которых образуют конечномерный выступ на риссовском ядре. Докл. АН СССР, 1974, т. 215, № 6, с. I28I-I284.

7. Гольдман М.А., Крачковский С.Н. Поведение пространства нуль элементов с конечномерным выступом на риссовском ядре при возмущении операторов. - Докл. АН СССР, 1975, т. 221, № 3, с. 532-534.

8. Гохберг И.Ц. О некоторых вопросах спектральной теории конечномероморфных оператор-функций. Изв. АН Арм. ССР, 1971, т.6, J& 2-3, с. 160-181.

9. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. Успехи мат.наук, 1957, т. 12, вып. 2, с. 43-118.

10. Гохберг И.Ц., Маркус А.С. Об одном характеристическом свойстве ядра линейного оператора. Докл. АН СССР, 1955, т.105, № 5, с. 893-896.

11. Гохберг И.Ц., Маркус А.С. Об устойчивости некоторых свойств нормально разрешимых операторов. Матем. сб., 1956, т. 40, № 4, с. 453-466.

12. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теорема Р$ппе. Матем. сб., 1971, т. 81, № 4, с. 607-630.

13. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И. Глобальная факторизация меро-морфной оператор-функции и некоторые её приложения. Матем. исслед., Кишинев, 1971, т. 6, вып. I, с. 63-82.

14. Зайденберг М.Г., Крейн С.Г., Кучмент П.А., Панков А.А. Банаховы расслоения и линейные операторы. Успехи мат. наук, 1975, т. 30, вып. 5, с. I0I-I57.

15. Зубова С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве. Докл. АН СССР, 1982, т. 264, № 2, с. 286-290.

16. Зубова С.П., Трофимов В.П. О голоморфных решениях дифференциального уравнения с параметром, неразрешенного относительно производной. В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев, 1982, с. 12-19.

17. Зубова С.П., Трофимов В.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве с коэффициентами, зависящими от параметра. В кн.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах. Rira, т.1, с. 97-98.

18. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при цроизводной. Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс, 1976, вып. 14, с. 21

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

20. Келдыш М.В. 0 собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Докл. АН СССР, 195I, т. 77, № I, с. II-I4.

21. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1967. - 464 с.

22. КреЙн С.Г., Трофимов В.П. О голоморфных оператор-функциях нескольких комплексных переменных. Функц. анал. и его приложения, 1969, т. 3, вып. 4, с. 85-86.

23. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Школа по теории операторов в функциональных пространствах, Новосибирск, препринт, 1979. - 18 с.

24. Логинов Б.В., 1^сак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и её роль в теории ветвления.-Ташкент, 1977. 81 с. - Деп. в ШНИТИ 18 апр. 1977 г., № 1782-77.

25. Маркус А.С. 0 характеристическом свойстве ядра линейного оператора. Докл. АН СССР, 1955, т. 105, № 6, с. II44-II46.

26. Маркус А.С. О голоморфных оператор-функциях. Докл. АН СССР, 1958, т. 119, № 6, с. I099-II02.

27. Маркус А.С. О некоторых свойствах линейных операторов, связанных с понятием раствора. Зап.Кишиневского ун-та, 1959, т. 39, № I, с. 265-272.

28. ВДин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

29. Сигал Е.И. Фактор-кратность характеристического числа мероморфной оператор-функции. -Матем. исслед., Кишинев, 1970, т. 5, вып. 4, с. 136-152.

30. Треногин В.А., Сидоров Н.А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений. Дифферент и интегр. уравнения, Иркутск, 1972, вып. I, с. 216-247.

31. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, т.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1976. - 400 с.

32. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.-М.: Мир, 1969. 107I с.

33. В-ягй>Ь Н. of а^- CUv оуХПхлуЬу^fw. fhyed ыЛ CUMA. , W.A,

34. Ъллк H., \\<xjx>Xodk M.A., Lcuj Cd.C. StcUdvbjof ^uvlte. VyyjOlJJY^x/U^J^ (T^OudjO^ .— IwLcUj. Md/m,^. 36, p. Ш-253.

35. Wi/fc H., KoLo^bxA M.A., Lcuj2).C. Rzlcvb^e омы**r£ yvUitob^cftjdLic. oJ^AjscbfL ju^ytur^ смлА оц/ххъlahiA L^woV36. Вчя^ H.,ъяАмхлА a/^p^uxcc cr-JЫ^Л^СПГЬ^ШУЫ^ crb&sidrfcfr. ^Msctucr** . Rxrc. EM^jt^hJ^Lmg, p.

36. IW^fc KajUlto W. Lrc^i ^ УьМь^у^У^ (TEU/irirfc/L ^имм^Согуи^ m P^crc. RartyaJL rvM. CUxtd.j Suit. А, p. 31-5-0.

37. В-ял/t Lu^ 2>.C. c^ Я teAo&^vt o^ud^v . Pure. See*. /4,

38. H.? Lajj 2>.C. ^ ^oJLUm 4jojcUm^ oj-acrj- o^rwl НзЛ 30^-Ш40. о. R. ^yi, c^uitxaJtizeJl а^ЛАх^сПл . fttcfcf-. Э-. МаД. ; IW,^. //=£^.4.1-15".

39. KrH. LL&eJi. сил 1млглп1ауСЗЬ CLrJL^fLh. (IcLusnjL,doL 3btШ ObJiructdb Т-\А аяЛоЛ^ АлсЛ. \\xtk. у 1966,ъх>1. 1*, Л/Ч, j>. 56-64.42. ^Ьп^лп. КгН. \kJUn~ Силлалл. г а^длсХ^^т. ОряЛаЬ/Шу MJL OyuXAJufc^^JL пят. eine-rn Sxnjajmjdk/L а&ЛдошиtAatL. i

40. G<xmje£ua. T. C^ur^J^^tt^ ~tLsuftSLy*s> jot opvudoU.- Pcvuj.

41. G*Ul£±n2h. S. С1л<игЛ<Ь} OyiA (UfYHjZJZ^fcMail.

42. G-аа^илМ. S. W-mjo^ aiwi cu^c/ ctcrj-brUvJUL <гЫЛссЬ>Ы.-- ty. Hai^.Scvc. ? N4, p. 31+-зз?.b.}KdcMo W. S^ofc^/ tK^j jot FWct RjeWti I, Яо^-МЬснА ?mo, p. 319-342.

43. W 3*. BijWtcxCfcla»!. -ЬЬиЛм jfrt o^OuztcA*-fWtW^. KattL. 19*6, rvJi.llk.

44. Кac^J^k M.A. ЫсМЛи^ iLe/ш^ j&t cLruJ Ь^ияЛ. (ГШЛбМъ* . bkJjJbt. CLkad., %±гмл<с£. Ркт. 9 &лл. A , 43G5", wt. A/*3, p. 451-466.

45. КcMlMo W. lckJ ^иЛаМл^ Iws-еялСхтк-Мой.4<3K, an/. j>J5-96.

46. Кд^о Т. fetb^X-ai^rn. jot имХЫи , сЦсо^^смaW crtljtfi. a^^dztcM o^ ЬмясхЛ, obWbcrtc/U. ty. UmoJLM Maii.,4*5*, A/% p. K1-3U.51. Lcuj "J^viX fr.P.A.1.Ml. clUJ. ШлмлЛ. ftjc.,W.85, А/=3, р. ЪОЪ-ЪОв.

47. R, Л. Oyu t^c QcrccdL oj- ~tLs.Uai. } iW } nrol. XX, l\(4, p. 53-П.

48. I^Ul&UTlcl Y. ExU&yuJL o^J. ЩиЛссСЬсъ o^ Mtdio^ •Jot JUIJLO*£M. o-hAb-atbsiA ivVtA, ru>vJU)*JLcOb —

49. О&ЛХЛ. U.K. NoXk. оъ a (LuxJlvku njUcdiob erfKojxjdx^Jk- N*JmJL. QJUJ.55. ^cd^ti^jL^ 7). ^^ncjxturrx, OUui. ЛА^^тлЪь^in, a^W rwMt^dlcA CbwL*. HecbL. S^., 19 £0,m>£.3, A/% p. T-M-ZM.

50. А. Lo-са/ лЪъи-^Ъжя. <y\ HU. --Jjef-4 o^fЬАяЖкШ сии?/ cL&p&czcticrn. ~tbЫлопд.- Mcctl. f.VbX-UX.

51. К'cjbjULo W. Holxr>yu^Lj>L. S^ejyui^^Шгнлт. ofUue. Д^гН^гт^^еУгЛ^ё. BuAcllJl.(ЛаЫ,.

52. Ливчак А.Я. О постоянстве подпространств, связанных с присоединенными векторами конечномероморфной оператор-функции. -Воронеж, 1983. 17 с. - Рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ВИНИТИ 27 янв. 1983 г., № 488-83.

53. Ливчак А.Я. Операторы с конечномерным выступом нулейна риссовском ядре: двойственность и некоммутирувдие возмущения.-Воронеж, 1983. 18 с. - рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ШНИТЙ 27 янв. 1983 г., № 489-83.

54. Ливчак А.Я. Разложение на инвариантные пары для нерегулярного линейного операторного пучка. Воронеж, 1983.- 13 с,-Рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ВИНИТИ I июня 1983 г., № 2922-83.

55. Ливчак А.Я. Постоянство подпространств, связанных с ко-нечномероморфными оператор-функциями. В кн.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах. Рига, 1983, т.2, с. 14-15.

56. Ливчак А.Я. Операторные пучки и дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Воронеж, 1984. - 28 с. - рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ВИНИТИ 8 февр. 1984 г., № 784-84.

57. Ливчак А.Я. Фредгольмовы оператор-функции в теории бифуркаций. Воронеж, 1984. - 20 с. - Рукопись представлена Воронежским лесотехническим ин-том. Деп. в ШНИЭД 22 июня 1984 г.,4248-84.

58. Ливчак А.Я. Независимость от параметра подпространств, связанных с конечномероморфными оператор-функциями. Функц. анал. и его приложения, 1984, т. 18, вып. 3, с. 86-87.