Обратные задачи монодромии для систем с иррегулярными особенностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бибило, Юлия Петровна

• Бибило, Юлия Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бибило, Юлия Петровна

Введение

1 Мероморфные системы

1.1 Мероморфная система на сфере Римана.

1.2 Особые точки.

1.3 Формальная фундаментальная матрица решений в окрестности особой точки.

1.4 Данные Стокса.

2 Общий вид формы деформации

2.1 Допустимая деформация

2.2 Изомонодромная деформация.

2.3 Связь с другими определениями.

2.4 Общий вид дифференицальной формы, следствия.

Теорема об общем виде формы изомонодромной деформации

Следствия и примеры.

2.5 Теорема о дифференциальной форме

3 Изомонодромные слияния

3.1 Слияние особенностей минимальных рангов Пуанкаре

4 ©-дивизор

4.1 Деформации Мальгранжа.

4.2 Определение 0-дивизора

4.3 Обобщенная проблема Римана-Гильберта.

4.4 Теорема о ©-дивизоре.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи монодромии для систем с иррегулярными особенностями»

Данная диссертация посвящена изомонодромным деформациям систем линейных дифференциальных уравнений на сфере Римана с иррегулярными особыми точками. Рассматривается система вида при этом допускается, что среди ее особых точек а®,., а® есть иррегулярные, то есть фундаментальная матрица системы имеет экспоненциальный рост в окрестности этих особых точек.

Впервые вопрос об изомонодромных (то есть сохраняющих характер ветвления решений) деформациях скалярных дифференциальных уравнений был поставлен Б. Риманом [34]. Позже Л. Фукс, Р. Гарнье, Л. Шлезингер опубликовали ряд работ, посвященных изомонодромным деформациям скалярных линейных дифференциальных уравнений высокого порядка и систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Долгое время изучались деформации только фуксовых систем.

Фуксова система (то есть система, все особые точки матрицы коэффициентов А (г) которой — полюсы первого порядка, см. определение 2 п Гг+1 <1

1)

параграфа 1.2) имеет вид

2) сіг

Для описания изомонодромных деформаций фуксовых систем важна следующая теорема, устанавливающая связь между изомонодромными семействами и дифференциальными 1-формами. Обозначим через И (а?) С Сп окрестность в пространстве параметров с центром в точке а0 = (а®,., а®).

Теорема 1. [12] Семейство фуксовых систем является изомонодромным тогда и только тогда, когда найдется матричная дифференциальная 1-формаш (форма деформации), определенная

2. йш = и Ли.

Условие 2 - это условие интегрируемости Фробениуса системы с\у = шу, в контексте теории изомонодромных деформаций его называют условием изомондромности семейства (3). Наиболее известным видом изомоно-дромной деформации является изомонодромная деформация Шлезингера [36, 37], определяемая дифференциальной формой

Для деформации Шлезингера условие 2 теоремы 1 (условие изомонодром-ности) эквивалентно уравнению Шлезингера,

3) на С х £)(а°)\— аг = 0}, такая что

1. ш — Агг-а^для любого фиксированного а Є О(а0); гіДд(а)

Г- [Лд(а),Л,д(а)] а% — г = 1,

Оказалось, что уравнение Шлезингера сводится к нелинейным уравнениям, обладающим свойством Пенлеве. В частности, уже в простейшем нетривиальном случае (для систем 2 х 2 с 4 особыми точками) уравнение Шлезингера сводится к уравнению Пенлеве 6. Подобная связь позволяет устанавливать свойства нелинейных уравнений, исследуя линейные задачи. Позже выяснилось, что к уравнениям Пенлеве 1-5 приводят деформации систем, содержащих как иррегулярные, так и фуксовы особенности.

Однако не все изомонодромные деформации фуксовых систем являются шлезингеровскими деформациями. Если сделать замену неизвестной функции у = С(а)у, С (а) : D(a°) GL(d, С), (4) матрица коэффициентов семейства (3) изменится и уже, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнению Шлезингера.

Кроме того, есть и существенно отличные деформации фуксовых систем. Заметим, что представление монодромии зависит от выбора фундаментальной матрицы решений. При выборе другой фундаментальной матрицы решений представление монодромии изменится с точностью до сопряжения на постоянную невырожденную матрицу. Поэтому разумно называть семейство изомонодромным, если его представление монодромии сохраняется с точностью до сопряжения на постоянную матрицу [1]. А. А. Болибрух исследовал общий вид формы изомонодромной деформации фуксовой системы и получил следующие результаты. Если все фук-совые особые точки нерезонансны, то соответствующая изомонодромная деформация может быть получена из шлезингеровской заменой (4), и общий вид формы деформации в таком случае следующий:

П ,/ Ч п где фг{а) - некоторые голоморфные в И (а0) матричные функции. Если же фуксова система имеет по крайней мере одну резонансную особенность, то порядки полюсов дифференцальной формы могут быть больше 1, форма изомонодромной деформации в таком случае имеет вид: п Л ( \ П п Мг /ч П ш = £ ^ + £ £ £ ^ + ^ иа)Лаи г=1 г г=1 ^=1 к=1 ^ г) г=1 где 7^¿(а) - голоморфные в £>(а°) матричные функции. При этом порядок полюса М{ в точке щ не превосходит максимума целочисленных разностей собственных значений матрицы [14, 11, 10].

В качестве примера изомонодромной деформации, которая не является шлезингеровской и не сводится к шлезингеровской, можно рассмотреть семейство, задаваемое дифференциальной формой [14, 11, 10]:

Изомонодромные деформации систем вида (1) с иррегулярными особыми точками впервые были построены М. Джимбо и Т. Мивой [28] (см. также книгу А. Р. Итса, А. А. Капаева, В. Ю. Новокшенова, А. С. Фокаса [27]). Они рассматривали системы общего положения, то есть системы, у которых все иррегулярные особые точки нерезонансные (см. главу 1, параграф 1.2, определение 6). Построение изомонодромных деформаций во

3 -3 + За \ ф + 1) 9 г + 1

2 а п ] г + а

0 0 \ ¿а

5) многом стало возможным после доказательства ряда теорем о свойствах систем линейных дифференциальных уравнений и их решений в окрестности иррегулярной особой точки [19, 4, 5]. Определение изомонодромной деформации Джимбо и Мивы требует сохранения расширенного набора данных, когда речь идет о поведении системы в окрестности иррегулярной особой точки. Это обусловлено, в частности, теоремой Сибуйи [38]:

Теорема 2. Две системы линейных дифференциальных уравнений вида (1) локально мероморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы Стокса совпадают.

Таким образом, поведение системы в окрестности иррегулярной особой точки определяется не только представлением монодромии, но и набором матриц Стокса (см. параграф 1.4).

Деформация Джимбо и Мивы, построенная для системы с иррегулярными и фуксовыми особыми точками, в случае, если все особые точки фуксовы, сводится к деформации Шлезингера. Другими словами, определение Джимбо и Мивы не включает деформацию (5).

Б. Мальгранж построил изомонодромную деформацию иррегулярной системы общего положения (и в специальном случае для системы с иррегулярными резонансными особенностями), рассматривая семейство как семейство пар [30, 31, 32]. Каждая пара включает в себя голоморфное векторное расслоение Е на сфере Римана и мероморфную связность V, заданную на расслоении Е. Множество значений параметров ©, при которых расслоение Е нетривиально (и, значит, деформация не может быть продолжена на это множество), называется 0-дивизором Мальгранжа. ©-дивизор

Мальгранжа может быть описан как множество нулей некоторой аналитической функции, такую функцию традиционно называют т-функций. В двумерном случае (д = 2) Болибрухом был доказан следующий результат [16] о порядке полюсов матриц Дд (а) вдоль 0.

Теорема 3. Пусть монодромия (2x2)-системы (2) неприводима и пусть точка а* £ © такова, что ограничение -Б|сх{а*} имеет вид

Е\сх{а*} = 0(1)®0(-1).

Тогда в окрестности О {а*) точки а* ©-дивизор является аналитическим подмногообразием и матричные функции имеют полюса не выше, чем второго порядка вдоль -О(а*) П ©.

Другими словами, утверждается, что произведение т2(а) Дд (а) является голоморфной матричной функцией в И (а*). Доказательство теоремы 3 (сформулированной в более общем случае) приведено, например, в [21].

В теории изомонодромных деформаций центральными являются следующие вопросы [12, 27]:

• построение изомонодромного семейства;

• исследование общего вида дифференциальной формы деформаций;

• анализ условий изомонодромности;

• вычисление ©-дивизора и т-функции и другие.

Построением и исследованием изомонодромных деформаций систем с резонансными иррегулярными особенностями занимались в разное время

Б. Мальгранж, А. А. Болибрух [14], В. Ю [25], М. Бертола и М. Ю. Мо [6], М. В. Федорюк [22]. Необходимость отдельных исследований вызвана тем, что семейства систем с резонансными иррегулярными особенностями имеют существенные отличия от семейств систем общего положения (в том числе отличия, связанные с вычислением фундаментальной матрицы, видом формальной нормальной формы, описанием формальных и мероморфных локальных инвариантов).

Помимо перечисленных проблем также рассматривается вопрос о слиянии особых точек при изомонодромной деформации. Система dy/dz = B(z)y называется результатом изомонодромного слияния, если у матрицы коэффициентов изомонодромного семейства dy/dz = A(z,t)y существует предел

B(z)= lim A(z,t). ai,.,am—¥ao

В. И. Арнольд сформулировал два вопроса, связанные с изомонодром-ными слияниями:

1. «Построить теорию версальных деформаций фуксовых систем. Верно ли, что регулярные особенности - изомонодромные пределы фуксовых? Какие матрицы группы монодромии стремятся к матрицам Стокса при нерегулярном вырождении?» ([3, задача 1984-7]);

2. «Исследовать разбиения пространства линейных комплексных уравнений с особенностями на классы изомонодромных (особенно интересны пределы изомонодромных систем со сливающимися особыми точками - их версальные деформации, бифуркационные диаграммы и т.д.)» ([3, задача 1987-12]). Приведенные задачи Арнольда включают в себя вопрос о том, как описать множество систем с регулярными особыми точками в терминах изомонодромных деформаций (пределов) фуксовых систем? Болибрух, рассматривая так называемые нормализованные изомонодромные слияния особых точек фуксовых систем, получил два результата, достаточно исчерпывающе отвечающих на него:

Теорема 4. [11] Результатом нормализованного изомонодромного слияния особых точек семейства фуксовых систем является система с регулярными особыми точками.

Теорема 5. [13] Любая система линейных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками на сфере Римана является результатом нормализованного изомонодромного слияния особых точек семейства фуксовых систем.

Данная диссертация состоит из четырех глав. В главе 1 рассматривается система с мероморфной матрицей коэффициентов, даются основные определения и формулируются основные теоремы, посвященные особенностям, формальным инвариантам, мероморфным инвариантам, структуре формальной фундаментальной матрицы.

В главе 2 сперва дается определение допустимой деформации (см. определение 10), а затем и изомонодромной деформации иррегулярной системы. Изомонодромность понимается в следующем смысле. Семейство линейных систем

-АЬЪ, (6)

1 1с—1 является изомонодромной деформацией системы (1), если для каждого значения параметра t G D(t°) (D(t°) - окрестность в пространстве параметров) найдется фундаментальная матрица решений семейства (6) такая, что представление монодромии и матрицы Стокса совпадают с представлением монодромии и матрицами Стокса исходной системы (1) (такую фундаментальную матрицу решений будем называть изомонодромной) (точная формулировка преведена в определении 12 параграфа 2.2). Предлагаемое определение использует идею Болибруха, предложенную им для деформаций фуксовых систем, и таким образом включает в себя более широкий класс деформаций фуксовых систем. Кроме того, это определение согласовано с изомонодромными деформациями Мальгранжа.

Одним из важных результатов, доказанных в главе 2, является следующая теорема, которая является обобщением теоремы 1 на случай иррегулярной системы необщего положения.

Теорема 6. Допустимая деформация является изомонодромной тогда и только тогда, когда существует матричная дифференциальная мероморфная 1-форма ш, определенная на С х D(t°), с особенностями вдоль гиперплоскостей {z — щ = 0}; такая, что

1. ш = A(z,t)dz, при каждом фиксированном значении параметра t е D(t°),

2. du = и Леи.

Доказательство данной теоремы опирается на следующее утверждение, доказанное в параграфе 2.2 главы 2.

Теорема Т. Пусть задана изомонодромная деформация, тогда найдется аналитическая в С х 1)(£°)\ — аг = 0} изомонодромная фундаментальная матрица решений.

В связи с теоремой 6 возникает задача вычисления общего вида дифференциальной формы изомонодромной деформации.

Теорема 8. Дифференциальная 1-форма и, определенная на С х 1=1{г - аг — 0} и задающая изомонодромную деформацию (6), имеет вид

1 к—1 г=13=\ ^ г / 3=\ г=1 7=1 4 4 ' ' 3=1 где матричные функции {Фг;/^(£), Фг)^(£), Ф^} голоморфны в

В параграфе 2.4 проводится оценка порядков Ми /Уг полюсов этой формы, соответствующих так называемым формально фуксовым иррегулярным особым точкам (см. определение 9, параграф 1.3). Основные результаты главы 2 опубликованы в [7].

В главе 3 рассматриваются изомонодромные слияния иррегулярных и регулярных особых точек. Если бы систему с иррегулярной особой точкой можно было представить как предел при изомонодромном слиянии фуксовых особенностей и установить связь данных Стокса с матрицами монодромии сливающихся особенностей, это бы упростило изучение иррегулярных особенностей. Однако оказалось, что такое представление невозможно. Задачи Арнольда можно распространить на случай слияния фуксовых и иррегулярных особых точек:

1. Представить мероморфную систему как предел семейства более простого вида при изомонодромном слиянии особых точек;

2. Классифицировать мероморфные системы как результаты изомоно-дромного слияния более простых особенностей.

Основным результатом главы 3 является теорема, частично отвечающая на вопрос 1):

Теорема 9. [£] Любая система является результатом изомонодромно-го слияния особых точек семейства, ранги Пуанкаре всех особенностей которого минимальны.

В главе 4 обсуждается локальная структура т-функции для изомоно-дромной деформации иррегулярной системы общего положения. Кроме того, доказана теорема о глобальном виде т-функции в частном случае.

Теорема 10. [9] Пусть монодромия (2 х 2)-системы, у которой две иррегулярные нерезонансные особые точки а®, а®, ранги Пуанкаре которых равны 1, и п — 2 фуксовые особые точки а®,., а?п, имеющей вид ¿у ( А% А°22 " \

Ь ~ и - а?)2 + (* - О2 + Ь. г а"Г ( ) неприводима и пусть (Е, V) - мальгранжева изомонодромная деформация этой системы. Пусть, кроме того, точка t* 6 © такова, что

Е\ёх{г} = 0(1)®0{-1).

Тогда в окрестности D(t*) точки t* 0-дивизор является аналитическим подмногообразием и матричные функции Aij(t) имеют полюсы не более чем второго порядка вдоль D(t*) П 0.

Заметим, что деформации, приводящие к уравнениям Пен леве 3 и 5, удовлетворяют требованиям теоремы 4.6.

Я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, академику РАН Дмитрию Викторовичу Аносову, за постановку задач, многочисленные советы, неисчерпаемое терпение, внимание и ценные замечания. Кроме того, я выражаю глубокую признательность участникам семинара по аналитической теории дифференциальных уравнений за расширение моего научного кругозора и полезные советы, в частности, Ренату Равилевичу Гонцову, за многочисленные обсуждения, критические замечания и идеи, использованные при получении результатов главы 4.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бибило, Юлия Петровна, 2012 год

1. D. V. Anosov, Concerning the definition of isomonodromic deformation of Fuchsian systems, Ulmer Seminaire Euber Funktionalysis und Differentialgleichungen, 2 (1997), pp. 1-12.

2. D. V. Anosov, A. A. Bolibruch, The Riemann-Hilbert problem, Aspects Math., E22, Vieweg, Braunschweig, 1994.

3. Задачи Арнольда, ФАЗИС, Москва, 2000.

4. W. Baiser, W. В. Jurkat, D. A. Lutz, A general theory of invariants for meromorphic differential equations. I. Folmal invariants, Funkcialaj Ekvacioj, 22:2 (1979), pp. 197-221.

5. W. Baiser, W. B. Jurkat, D. A. Lutz, A general theory of invariants for meromorphic differential equations. II. Proper invariants, Funkcialaj Ekvacioj, 22:2 (1979), pp. 257-283.

6. M. Bertola, M. Y. Mo, Isomonodromic deformation of resonant rational connections, Int. Math. Res. Papers, 2005:11 (2005), pp. 565-635.

7. Ю. П. Бибило, Изомонодромное слияние особых точек, Матем. заметки, 87:3 (2010), стр. 330-336.

8. Ю. П. Бибило, Изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярными особенностямц Матем. сборник, 203:6 (2012), стр. 63-80.

9. Ю. П. Бибило, Р. Р. Гонцов, Некоторые свойства изомонодромных деформаций Малъгранжа линейных (2 х 2)-систем, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 277 (2012), стр. 22-32.

10. А. А. Болибрух, Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами, Совр. пробл. матем., 1 (2003), pp. 29-82.

11. А. А. Болибрух Об изомонодромных слияниях фуксовых особенностей, Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 221, вып.1 (1998), стр. 127142.

12. А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, МЦНМО, Москва, 2009.

13. А. А. Болибрух, Регулярные особые точки как изомонодромные ели-яния фуксовых, Успехи матем. наук, 56:4 (2001), стр. 135-136.

14. A. Bolibruch, Inverse problems for linear differential equations with meromorphic coefficients, CRM Proceeding and Lecture Notes, 31 (2002), pp. 3-25.

15. А. А. Болибрух, О tau-функции уравнения изомонодромных деформаций Шлезингера, Матем. заметки, 74:2 (2003), стр. 184-191.

16. A. A. Bolibruch, On orders of movable poles of the Schlesinger equation, J. Dyn. Contr. Syst. 6:1 (2000), pp. 57-74.

17. A. A. Bolibruch, On isomonodromic deformations of Fuchsian systems, J. Dyn. Contr. Syst. 3:4 (1997), pp. 589-604.

18. A. A. Bolibruch, S. Malek, C. Mitschi, On the generalized Riemann-Hilbert problem with irregular singularities, Expo. Math., 24:3 (2006), pp. 235272.

19. В. Вазов, Ассимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, «Мир», Москва, 1968.

20. D. G. Babbitt, V. S. Varadarajan, Local moduli for meromorphic differential equations, Bulletin of the Amer. Soc., 12:1 (1985), pp. 95-98.

21. И. В. Вьюгин, P. P. Гонцов, О дополнительных параметрах в обратных задачах монодромии, Матем. сб., 197:12 (2006), pp. 43-64.

22. М. В. Федорюк, Изомонодромные деформации уравнений с иррегулярными особенностями, Матем. сб., 181:12 (1990), pp. 1623-1639.

23. Р. Р. Гонцов, Уточненные неравенства Фукса для систем линейных дифференциальных уравнений, Изв. РАН. Сер. матем., 68:2 (2004), pp. 39-52.

24. P. Hartman, Ordinary differential equations, Wiley, New York, 1964.

25. V. Heu, Universal isomonodromic deformations of meromorphic rank 2 connections on curves, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 60:2 (2010), pp. 515— 549.

26. Yu. S. Ilyashenko, S.Yakovenko, Lectures on analytic differential equations, AMS Publ. Graduate Studies in Math. 86, 2008.

27. А. Р. Итс, А. А. Капаев, В. Ю. Новокшенов, А. С. Фокас, Трансцен-денты Пенлеве. Метод задачи Римана. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005.

28. M. Jimbo, T. Miwa, К. Ueno, Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficientes: Physica D, 2 (1981), pp. 306-352.

29. A. Levelt, Hypergeometric functions. Ц Proc. Konikl. Nederl. Acad. Wetensch. Ser. A 64 (1961), pp. 373-385.

30. B. Malgrange, Deformations of differential systems. II, J. Ramanujan Math. Soc., 1:1-2 (1986), pp. 3-15.

31. B. Malgrange, Sur les déformations isomonodromiques. II. Singularités irrégulières, Progr. Math. 37 (1983), pp. 427-438.

32. B. Malgrange, Connexions méromorphes, II: Le réseau canonique, Inv. Math. 124 (1996), pp. 367-387.

33. J. Palmer, Zeros of the Jimbo, Miwa, Ueno tau function, J. Math. Phys. 40:12 (1999), pp. 6638-6681.

34. Б. Риман, Сочинения, ОГИЗ, Москва, 1949.

35. R. Schafke, Formal Fundamental Solutions of Irregular Singular Differential Equations Depending Upon Parameters, Journal of Dynamical and Control Systems, 7:4 (2001), pp. 501-533.

36. L. Schlesinger, Über die Lösungen gewisser linearer Differentialgleichungen als Funktionen der singulären Punkte, J. Reine Angew. Math. 129 (1905), pp. 287-294.

37. L. Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentialsystem beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten, J. Reine Angew. Math. 141 (1912), pp. 96145.

38. Y. Sibuya, Stokes phenomena, Bulletin of the American Mathematical Society, 83:5 (1977), pp. 1075-1077.