Неравенства Фуксова типа и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гонцов, Ренат Равилевич

• Гонцов, Ренат Равилевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гонцов, Ренат Равилевич

Введение

I. Неравенства Фукса для систем линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами

§1. Системы с регулярными особыми точками

1.1. Нормирования системы в регулярной особой точке

1.2. Локальное устройство фундаментальной матрицы. Показатели

1.3. Неравенства Фукса

§2. Системы с иррегулярными особыми точками

2.1. Локальное устройствое формальной фундаментальной матрицы. Формальные показатели

2.2. Неравенства Фукса

§3. Скалярные уравнения с мероморфными коэффициентами

3.1. Соотношения Фукса

3.2. О построении по системе скалярного уравнения

II. Кратности нулей компонент решения системы линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами

§1.0 порядке нуля многочлена на траектории решения системы с регулярными особыми точками

§2. О порядке нуля компоненты решения системы с неприводимой монодромией

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства Фуксова типа и их приложения»

1. Данная работа посвящена некоторым вопросам аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. В основном нас будет интересовать система g = *(.)„, ^ ^ (1) состоящая из р линейных дифференциальных уравнений, с матрицей B(z) ме-роморфных на расширенной комплексной плоскости С (сфере Римана) коэффициентов, голоморфных вне множества особых точек а\,.,ап.

Скалярные линейные дифференциальные уравнения в комлексной области подробно начали изучаться еще в середине XIX столетия известным немецким математиком Б. Риманом [10], уделившим особое внимание одному специальному классу таких уравнений — классу уравнений второго порядка со множеством особенностей, состоящим из трех точек, и обладающих следующим свойством: решения в окрестности этих точек имеют не более чем степенной рост (поскольку решения как правило являются многозначными функциями, то, говоря о степенном росте, следует ограничиваться случаем, когда аргумент стремится к особой точке, оставаясь при этом в некоторой секториальной окрестности этой точки). Исследования Б. Римана продолжил его соотечественник JL Фукс, некоторые результаты которого были получены еще Б. Риманом для ^ вышеупомянутого класса уравнений. Одно из наиболее известных достижений

JI. Фукса состоит в том, что он полностью описал класс уравнений произвольного порядка р, все решения которых имеют не более чем степенной рост в особых точках.

Судя по всему, системы вида (1) стали рассматриваться несколько позднее. JI. Соваж, А. Пуанкаре, JI. Шлезингер, Дж. Биркгоф и другие известные математики рубежа XIX-XX веков начали исследования этих систем с различных точек зрения. Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применением к задачам математической физики (теория изомонодромных деформаций), аналитической теории чисел и др. Здесь можно выделить таких математиков современности как А. X. М. Левель, Б. Мальгранж, И. Сибуйя, В. Бальзер, Д. Бертран. Особо отметим имя А. А. Болибруха, удостоенного в 2002 году Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл работ "Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами" [4]. Среди полученных им результатов наиболее известным является отрицательный ответ на проблему, включенную Д. Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе 1900 года в число своих " Математических проблем" под номером 21.

О том, какие именно вопросы изучаются в данной работе, скажем чуть позже, а перед этим опишем основные понятия теории линейных дифференциальных уравнений с особенностями.

Пусть разложение в ряд Лорана матрицы B(z) коэффициентов системы (1) в окрестности особой точки а,- ф оо имеет вид

B(z) = ( + — + + (2) z - at'J 1 z - ai если а,- = оо, то главная часть матрицы B(z) в окрестности бесконечности — многочлен степени Г{ — 1). Тогда число г,- называется рангом Пуанкаре системы в особой точке аг\ Если точка оо не входит в число особенностей ai,.,a„ системы (1), то матричная дифференциальная форма w = B(z)dz - £ (. + • • • + dz kj ftl \(z - fli)ri+1 z-qij голоморфна на всей сфере Римана. Действительно, эта форма голоморфна в комплексной плоскости по построению, а в точке оо она голоморфна по следующей причине. В координате t = 1/z в окрестности бесконечности (t — 0) форма и) имеет вид ы- B(Mi\dt I f , , BUt\dt

Согласно теореме о сумме вычетов, resa. B(z)dz = 0, т. е. £ В^ = 0. i=i i=i

Таким образом, форма и голоморфна в окрестности точки t = 0, поскольку там голоморфно слагаемое ± BL^-^ + ^Ut ti (1 - dit)t (1 - ait)t i-i t i=i l — ait i=i l — ait

Итак, матричная дифференциальная форма ui голоморфна на всей сфере Римана, т. е. uj = 0. Следовательно, если точка оо не является особой для системы (1), то матрица B(z) коэффициентов этой системы может быть записана в виде

BL,, . В z - ai)r'+1 z-ai)

Рассмотрим точку zq € C\{al5., a„} и некоторый диск D С C\{ai,., а„} с центром в этой точке. Согласно общей теореме существования и единственности, для всякого вектора уо пространства Ср найдется единственное решение y(z) системы (1), голоморфное в D и удовлетворяющее условию y(zQ) = уо. Из этого следует, что множество решений системы (1) в окрестности ее неособой точки является векторным пространством размерности р (если значения в точке zq каких-либо решений линейно зависимы, то по теореме существования и единственности будут линейно зависимыми и сами решения). Всякая матрица Y(z), столбцы которой образуют базис в этом пространстве, называется фундаментальной матрицей системы (1) и удовлетворяет матричному уравнению

Две фундаментальные матрицы Y(z) и Y'(z) связаны соотношением Y(z) = Y'(z)C, где С — невырожденная постоянная матрица (столбцы этих матриц образуют два базиса в векторном пространстве, которые должны быть связаны невырожденной матрицей перехода).

Всякое решение системы (1) из окрестности D неособой точки zq может быть продолжено в окрестность неособой точки z\ вдоль любого пути 7, соединяющего эти две точки и не задевающего особенности а\,., о„. Для такого продолжения достаточно покрыть путь 7 дисками, лежащими в С \ {ai,., an} и обладающими тем свойством, что центр каждого последующего диска лежит в предыдущем.

Особенность а,- называется регулярной, если любое решение системы (1) при приближении аргумента 2 к точке аг- по любой секториальной окрестности с вершиной в точке аг- и раствора меньше 2т: растет не быстрее некоторой степени величины \z — aj|. В противном случае особенность а,- называется иррегулярной.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим систему dy(l/z 1 fz2 dz ~ [ 0 2/z У

Поскольку фундаментальная матрица Y(z) пространства решений этой системы имеет вид то особенность 2 = 0 является регулярной особой точкой ранга Пуанкаре г = 1. Для системы (состоящей из одного уравнения) dy 1 dz 22 ^ точка 2 = 0 является иррегулярной особой точкой, так как общее решение данного уравнения имеет вид y(z) = се-1/г, с = const.

Особенность а; называется фуксовой, если ее ранг Пуанкаре г,- равен нулю. Фуксова особая точка всегда является регулярной (теорема Соважа, см. [11, Глава IV], [2, Лекция 4]), но регулярная особенность не обязана быть фуксовой (пример 1). Фуксова система — система, все особые точки которой фуксовы. Матрица В(z) коэффициентов фуксовой системы имеет вид п тзг i=i z — а,если некоторая особенность а,- является бесконечно удаленной точкой, то нужно исключить слагаемое Bli/(z — а,) из этой записи).

Рассмотрим в окрестности неособой точки zo некоторую фундаментальную матрицу Y{z) пространства решений системы (1). Вдоль любой петли 7, начинающейся в точке zo и лежащей в С \ {oi,., а„}, матрица Y(z) допускает аналитическое продолжение, результатом которого является (вообще говоря, другая) фундаментальная матрица Y'(z). Матрицы Y(z) и Y'(z) связаны соотношением

Y{z) = Y'(z)G1, G^eGLip, С).

Соответствие 7 зависит лишь от гомотопического класса [7] петли 7 и задает гомоморфизм

X : 7Ti(C\{ai,.,a„},z0) -> GL(p, С) фундаментальной группы пространства С \ {ai,., ап} в группу невырожденных комплесных матриц порядка р. Данный гомоморфизм называется представлением монодромии системы (1), а группа Imx — группой монодромии этой системы. При заменах фундаментальной матрицы Y(z) (на матрицы Y(z)S, со всевозможными S G GL(p, С)) матрицы монодромии G7 заменяются на матрицы S^G^S. Таким образом, монодромия системы (1) определена с точностью до эквивалентности.

В малой окрестности каждой из точек а,- зафиксируем по неособой точке z%0 и обозначим через Sj малую петлю с началом в точке Zq, соответствующую однократному обходу точки аг-. В качестве образующих фундаментальной группы 7Ti(C\{aj,. ,a„},zo) выберем гомотопические классы петель gi,. , <7П) где каждая из петель gi есть результат последовательного обхода некоторого пути 7г, соединяющего точку Zq с точкой петли и того же пути проходимого в обратном направлении (петли 5{ и пути 7; выбраны так, чтобы петля П"=1 7А7Г1 была гомотопна нулю). Матрица Gi — X (<?»') называется матрицей монодромии системы (1) в особой точке аг-, г = 1,., п. Поскольку образующие <?1,., дп фундаментальной группы связаны соотношением д\ - • • дп = е, то

G\" - Gn = I.

ПРИМЕР 2. Фундаментальная матрица У(,г) = ( * системы из примера 1 при аналитическом продолжении вокруг нуля переходит в матрицу

Строение пространства решений системы (1) в окрестности регулярной особой точки описано А. X. М. Левелем [21] (см. также [1, Глава I], [2, Лекция 5], [4]). Для регулярной особенности системы определены показатели — числа, характеризующие скорость степенного роста решений в окрестности особой точки. Понятие показателей связано с понятием монодромии, а также — с понятием нормирований решений системы в регулярной особой точке (понятия нормирований и показателей определяются в §1 главы I).

Случай иррегулярной особой точки сложнее, и известен вид формальной фундаментальной матрицы системы (1) в окрестности этой точки (т. е. матрицы, в записи которой присутствуют степенные ряды с нулевым радиусом сходимости, но которая при формальной подстановке в систему обращает ее в верное равенство), см. [24], [5, Глава V]. В работе [14] авторы получают разложение специального вида для формальной фундаментальной матрицы, уточняя известные результаты. По такой формальной фундаментальной матрице определяются формальные показатели системы (1) в иррегулярной особой точке (см. §2 главы I).

2. Основная цель данной работы — представление некоторых оценок для суммы показателей системы (1) по всем особым точкам, так называемых неравенств Фукса (при этом в регулярных особых точках берутся классические показатели Левеля, а в иррегулярных — формальные).

Изначально Л. Фуксом в 1866 году было получено соотношение для суммы Е показателей линейного дифференциального уравнения dpu dp~lu порядка р с регулярными особыми точками ai,., ап. Определение регулярной особой точки для уравнения — такое же, как и для системы, в то время как фуксова особая точка определяется следующим образом. Особенность ф оо уравнения (3) называется фуксовой, если в этой точке функции (z — ai)b\(z), (z — а,)2б2(г),., (z — ai)pbp(z) голоморфны.

Чтобы изучить уравнение (3) в окрестности точки г = оо, нужно переписать его в координате t = 1 /z относительно неизвестной функции x(t) = y(l/t). Свойства полученного уравнения в окрестности точки t = О определяют свойства уравнения (3) в окрестности бесконечности. Так, вычисление коэффициентов уравнения, записанного в координате t, показывает, что 2 = оо является фуксовой особой точкой уравнения (3), если функции zbi(z), z2b2(2),., zpbp(z) голоморфны в окрестности бесконечности.

Существуют стандартные способы перехода от уравнения вида (3) к системе вида (1). Если особенность а,- ф оо является фуксовой для уравнения (3), то с помощью замены у1 = и, у2 = (z- а{) du yp=(z~ а>У dP

-1 и dz' y v " dzP-1 можно перейти к системе (1) (где у = (у1,., ур)) с матрицей коэффициентов

B(z) = 1

2 - а: О О 0 1 р-1 1

2 — а; О О z - a,i)pbp . (z - a{)bi

Следовательно, точка 2 = щ будет фуксовой особой точкой для получившейся системы. По теореме Соважа эта точка будет регулярной, а поскольку первая компонента решения построенной системы является решением уравнения (3), то особенность z = а,- будет регулярной и для уравнения. Итак, фуксова особая точка уравнения (3) является регулярной. Справедливо и обратное. Таким образом, в отличие от системы, для скалярного уравнения понятия фуксовой и регулярной особой точки эквивалентны (теорема Фукса [20], см. также [11, Глава IV], [2, Лекция 4]). Фуксовым уравнением называется уравнение, все особенности которого фуксовы.

Соотношение для суммы показателей уравнения (3), полученное Л. Фуксом [20], имеет вид (п - 2)р(р - 1) 2 и называется классическим соотношением Фукса.

В 1985 году Д. Бертран и Ж. Ламон [15] обобщили это соотношение на случай дифференциального уравнения с иррегулярными особенностями, добавив к правой части классического соотношения слагаемое, связанное с одним из индексов иррегулярности Мальгранжа в особой точке уравнения. Индексы иррегулярности irrM,i, Irr^j Мальгранжа и индекс иррегулярности irrx i Катца в особой точке а^ определяются как для системы (1), так и для уравнения (3), по формальной фундаментальной системе решений (см. §2 главы I). Для уравнения (3) индексы гггд/j- и irrx,i также могут быть определены непосредственно по его коэффициентам согласно Б. Мальгранжу [23] (см. §3 главы I).

Вернемся вновь к системе (1). До недавнего времени было известно, что сумма S показателей такой системы, bee особые точки которой регулярны, является целым числом, не превосходящим нуль, при этом Е = 0 тогда и только тогда, когда система фуксова (см. [1, Глава I], [2, Лекция 7]).

В 1999 году французским математиком Э. Корелем [17] были получены эффективные оценки суммы показателей системы (1) с регулярными особыми точками, зависящие от размера системы р и рангов Пуанкаре п,., гп:

1 i=l t=l (из этих оценок, в частности, следует, что для суммы показателей системы двух уравнений (р = 2) с регулярными особыми точками выполнено соотношение

Е = -ЕГ=1Г1-).

В случае, когда ранги матриц Вгг.х, соответствующих не фуксовым особенностям а,{ системы (1), максимальны (и все особенности регулярны), Э. Корель [18] нашел точное выражение для величины Е:

1 t=l

В 2001 году им же (в [19]) были получены неравенства Фукса для системы (1) общего вида (с иррегулярными особенностями): v(v — 1) " 1 " " " £ г,- + - Е IrrM,i < s < - Е п + Е irrKti. i=l t=l izz 1 i= 1

В утверждении 1 данной работы уточняются полученные Э. Корелем неравенства Фукса для системы с регулярными особыми точками, а в утверждении 2 — для системы общего вида. Уточнение происходит за счет появления в оценке зависимости от величин rankи dimker (Blr—i — <М/), где Л] (j = 1 ,.,/ij) — собственные значения матрицы Вгг.-\ (если особенность а,-регулярна и г,- > 0, то Blr.i — нильпотентная матрица, т. е. А, = 0 — единственное ее собственное значение).

Утверждение 1. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с регулярными особыми точками а\,., ап рангов Пуанкаре ., гп соответственно справедливы неравенства р(р - 1) " " Ыкг - 1) " , .

V^ Е г; + Е V 9 J < Е < - Е rank B*r iri, i=l t=l * г=1 где ki = р — rank 5Lr.i = dim ker если г,- > 0, и к{ = 0, если гг- = 0 (см.

§1 главы I).

Утверждение 2. Для суммы Е показателей системы (1), (2) с (произвольными) особыми точками а\,., ап рангов Пуанкаре г\,., г„ соответственно справедливы неравенства р(р- 1) " 1 "

Е ri + - Е Irrjif,,- + Е К{ < S < - Е rank Bl^ri - irrK>i),

2 tl 1 ' 2 i t'=i * i=i t=i i=i где Ki — (1/sj) HjLi si — порядок формального ветвления системы в точке z — а,-, Ц = dimker (Blr г — Ц1), если г,- > 0, и Ц = О, если г,- = О (см. §2 главы I).

В случае системы (1) двух уравнений (р = 2) общего вида удается получить точное выражение для величины S. Обозначим через с^ число подряд идущих

В1r j в* скалярных матриц (начиная с В*г.1) в "не фуксовой" части Ч----разложения (2) матрицы B(z) в окрестности особой точки г = а,-. В частности, ai = 0, если матрица ВгГ.г не является скалярной.

Утверждение 3. Для суммы Е показателей системы (1), (2) размера р = 2 с (произвольными) особыми точками ai,.,a„ рангов Пуанкаре Г],.,Г„ соответственно справедливо соотношение п п 1 п = - + + X £ 1ггМ,г i=l г=1 * 1=1 см. §2 главы I).

§3 главы I посвящен скалярным линейным дифференциальным уравнениям с мероморфными коэффициентами (здесь подробнее рассказывается о соотношениях Фукса для этих уравнений). Одна из наиболее известных задач, связанных со скалярными уравнениями — задача о построении фуксова уравнения с заданными особенностями и заданным представлением монодромии (21-я проблема Гильберта). Эта задача в общем случае имеет отрицательное решение, поскольку число параметров, от которых зависит такое уравнение, меньше числа параметров, от которых зависит множество классов эквивалентности представлений

X : tti(C\ {аь., an},20) -> GL(p, С) см. [1, Глава III], [2, Лекция 8]). Поэтому при построении фуксова уравнения возникают дополнительные яложные" особые точки (т. е. точки, решения в которых голоморфны, но коэффициенты уравнения могут иметь особенности). А. А. Болибрухом было получено точное выражение для минимально возможного числа таких точек (см. теорему 4.4.1 из [1]) для неприводимого представления х (т- е> представления, для которого не существует невырожденной матрицы 5, приводящей все матрицы G; = x(<7i) к одинаковому блочному верхнетреугольному виду

S~lGiS = ( °0 G" ) ' где G'i, G'l — блоки положительного размера). Здесь предлагается некоторая оценка числа дополнительных особенностей, возникающих при построении скалярного уравнения по представлению монодромии системы (1). После этого, используя результат И. Племеля начала XX столетия о существовании системы (1) с заданными регулярными особыми точками и монодромией, можно по произвольному представлению х построить фуксово уравнение и получить оценку числа дополнительных особых точек этого уравнения.

21-я проблема Гильберта применительно к фуксовым системам получила название проблемы Римана-Гильберта. В общем случае эта проблема (так Жб^ кяк и для скалярного уравнения) имеет отрицательное решение. Контрпример к проблеме Римана-Гильберта был построен А. А. Болибрухом в 1989 году, после чего им были проделаны обширные исследования, результатом которых явились многочисленные достаточные условия положительного решения проблемы. Среди наиболее известных — теорема о реализуемости любого неприводимого представления \ как представления монодромии некоторой фуксовой системы (теорема 4.3.1. [1]), а также теорема о возможности построения по любому фуксову уравнению фуксовой системы с теми же особыми точками и той же монодромией (теорема 3.2.1. [1]).

3. Одно из возможных применений неравенств Фукса — их использование для получения оценок порядков нулей многочлена P(z,xi,. ,жр), рассмотренного на траектории решения системы линейных дифференциальных уравнений. С помощью оценок подобного рода А. Б. Шидловским была установлена однородная алгебраическая независимость значений у*(£),., Ур(£) целых функций y1(z),., yp{z) некоторого класса, являющихся компонентами решения системы (1) и однородно алгебраически независимых над полем С (г) рациональных функций (где £ — ненулевое алгебраическое число, не принадлежащее множеству особенностей системы). Напомним, что число £ называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Числа ац,. ,ар называются (однородно) алгебраически независимыми, если Р(а\,., о;р) ф 0 для любого (однородного) многочлена Р(х 1,., хр) ф 0 с алгебраическими коэффициентами. Функции f\(z),., fp(z) называются (однородно) алгебраически независимыми над полем С (г), если P(z, f\{z),., fp(z)) ф 0 для любого (однородного по переменным xi,.,xp) многочлена P{z,x\,. ,хр) ф 0 (см. [12, Глава III]).

Если компоненты решения у = (у1,. ,ур) системы (1) алгебраически независимы над полем рациональных функций, то оценка сверху кратности нуля ordZoP(z,y1(z),.,yp(z)) функции P(z,y1(z),.,yp(z)) в точке z0 (через параметры deg2 Р и degx Р) может служить мерой алгебраической независимости функций yl(z),., yp(z) над полем С (г).

В работе Д. Бертрана и Ф. Бейкерса [16] на основе аналитического подхода был получен следующий результат. Пусть P(z,x 1,.,жр) — многочлен степени т по z и однородный степени I по xi,.,xp, a y(z) = (у1 (2),. ,yp{z)) — решение системы (1), голоморфное в окрестности точки zq. Обозначим через

R(z) функцию R(z) = P(z, y1{z),., yp(z)), а через s — размерность векторного пространства над полем С (г), порожденного всеми производными функции R(z) (поскольку y(z) является решением системы (1), данное пространство содержится в векторном пространстве над полем С(z), порожденном мономами степени / от функций y1(z),. ,yp{z), т. е. s < оо). Тогда существуют такие постоянные с\ и сг, зависящие только от системы (1), что либо функция R{z) тождественно равна нулю, либо ordZ0 R(z) < sm + c\sl + c^s2.

Приведем также оценку, полученную Ю. В. Нестеренко [9] с помощью алгебраических методов. Пусть P(z,xi,. ,хр) — многочлен степени m по z и степени I по х\,. ,жр, не равный тождественно нулю, a y{z) = (у1 (г),. ,yp(z)) — решение системы (1), голоморфное в окрестности точки zq, и функции yx{z),. ,yp(z) алгебраически независимы над полем C(z). Тогда существует такая постоянная с, зависящая от системы (1) и функций yl(z),., yp{z), что ord,0 P(z, y\z),., yp(z)) < c(m + 1 )lp.

В §1 главы II неравенства Фукса используются для оценки порядков нулей многочлена P(z,x\,. ,жр), рассмотренного на траектории решения системы (1) с регулярными особыми точками (в дополнение к результатам А. А. Боли-бруха [3]).

В §2 главы II с помощью неравенств Фукса оцениваются порядки нулей компонент решения системы (1) с неприводимым представлением монодромии и произвольными особыми точками.

4. Основным методом, используемым для получения неравенств Фукса, является метод локальных калибровочных преобразований вида

У' = Г(*)у, где Г(г) — голоморфно обратимая (или мероморфно обратимая) в окрестности точки а{ матричная функция. Голоморфная обратимость матрицы Г(г) означает, что эта матрица голоморфна в окрестности точки аг- и detr(a;) ф О, мероморфная обратимость — что матрица Г(г) мероморфна в точке аг- и detr(^) ф 0. Данное преобразование переводит систему (1) в систему (заданную в окрестности точки аг-) с матрицей коэффициентов

B'(z) = Г(2)В(2)Г-1(2) + ^Г-'М. (4)

Голоморфно обратимое преобразование не меняет ранг Пуанкаре rf, заменяя старший коэффициент — матрицу Вгг. 1 — на матрицу Г(а,)Б!г.1Г~1(а,). Мероморфно обратимое преобразование может как повышать, так и понижать ранг Пуанкаре. В качестве мероморфно обратимых преобразований будут использованы преобразования с матрицами Г(,г) = (z — а,)^, где К — диагональная целочисленная матрица. В силу формулы (4) такое преобразование переводит систему (1) в систему с матрицей коэффициентов

B'{z) = (z-ai)KB(z){z-ai)-K + К

Z — tti что часто позволяет проследить, как меняется ранг Пуанкаре г,-. В случае иррегулярной особенности а,- также будет использовано скалярное преобразование вида

У' = е'Му, где q(z) — многочлен от 1 J{z — й{). Хотя функция е9^ имеет существенную особенность в точке аг-, матрица B'(z) преобразованной системы вследствие формулы (4) мероморфна в этой точке: = *(,) +

Способ оценки порядков нулей многочлена на траектории решения системы с регулярными особыми точками состоит в следующем. Сначала с использованием неравенств Фукса оценивается порядок нуля произвольной компоненты решения в произвольной точке сферы Римана. Затем строится система большего размера с теми же особыми точками, одной из компонент решения которой и является данный многочлен. Переход к такой системе осуществляется с помощью тензорного произведения фундаментальных матриц исходной системы. Этот метод изложен в работе А. А. Болибруха [3] и является некоторой интерпретацией метода, используемого Д. Бертраном в своих работах [16], [15]. Мы следуем данному аналитическому подходу, лишь уточняя оценки А. А. Болибруха после получения уточненных неравенств Фукса. Напомним здесь, что если А = (a,ij) и В — квадратные матрицы размера р, то их тензорное произведение А® В определяется формулой а\\В . а\рВ А®В= ; : ар\В . аррВ и является квадратной матрицей размера р2. Если данные матрицы рассматривать как матрицы линейных операторов А и В в базисе {t>i,. ,vp} р-мерного векторного пространства V, то матрица определенного выше тензорного произведения будет матрицей оператора А® В в базисе {v,-(g> vj} (при соответствующем упорядочении элементов) р2-мерного векторного пространства V ®V (оператор А<%>В действует по формуле А<£>В(u<g>v) = A(u)<g>B(v), u,v €V; подробнее о тензорном произведении векторных пространств и операторов см., например, в [8]).

•

Результаты данной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 5-10 июля 2004 года) и на международной конференции "Особенности дифференциальных уравнений, интегрируемые системы и квантовые группы" (Страсбург, 24 - 27 ноября 2004 года). Основные результаты работы опубликованы в [Г1], [Г2].

Выражаю особую благодарность Андрею Андреевичу Болибруху — своему первому научному руководителю — за постоянное внимание и большую помощь в написании работы. Им были предложены аналитические доказательства результатов Э. Кореля, послужившие основой для дальнейших уточнений этих результатов (сам Э. Корель использовал алгебраический подход для получения своих оценок).

Благодарю Д. В. Аносова и В. П. Лексина за оказанные внимание и помощь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гонцов, Ренат Равилевич, 2004 год

1. Болибрух А. А. 21 -я проблема Гильберта для линейных Фуксовых систем // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 1994. Т. 206.

2. Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М.: МЦНМО, 2000.

3. Болибрух А. А. Кратности нулей компонент решений системы с регулярными особыми точками // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2002. Т. 236. С. 61-65.

4. Болибрух А. А. Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами // Современные проблемы математики (препринт Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН). 2003. Вып. 1. С. 29-82.

5. Базов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

7. Зеегер А., Лай В., Славянов С. Ю. Вырождение фуксовых дифференциальных уравнений второго порядка // Теор. и матем. физика. 1995. Т. 104. С. 233-247.

8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. М.: Наука, 1981.

9. Нестеренко Ю. В. Оценки числа нулей функций некоторых классов // Acta Arithm. 1989. V. 53. P. 29-46.

10. Риман Б. Сочинения. М.: Гостехтеоретиздат, 1948.

11. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

12. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

13. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. Springer-Verlag, New York, 2000.

14. Balser W., Jurkat W. В., Lutz D. A. A general theory of invariants for meromorphic differential equations. I. Formal invariants // Funk. Evac. 1979. V. 22. P. 197-221.

15. Bertrand D. Exposants des systemes differentiels, vecteurs cycliques et majorations de multiplicities // Strasbourg, Preprint IRMA. 1985. P. 61-85.

16. Corel E. Inegalites de Fuchs pour les systemes differentiels reguliers // C. R. Acad. Sci. Paris. 1999. V. 328. Ser. I. P. 983-986.

17. Corel E. Relations de Fuchs pour les systemes differentiels reguliers // Bull. S. M. F. 2001. V. 129. P. 189-210.

18. Corel E. Relations de Fuchs pour les systemes differentiels irreguliers // C. R. Acad. Sci. Paris. 2001. V. 333. Ser. I. P. 297-300.

19. Fuchs L. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten // Journal fur Math. 1866. V. 66. P. 121-160.

20. Levelt A. H. M. Hypergeometric functions. II // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A. 1961. V. 64. P. 373-385.

21. Lutz D. A., Schafke R. On the identification and stability of formal invariants for singular differential equations j j Linear Algebra and its Applications. 1985. V. 72. P. 1-46.

22. Malgrange B. Sur les points singuliers des equations differentielles // Enseign. Math. 1974. V. 20. P. 147-176.