Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в плоских слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Картошкина, Александра Евгеньевна

• Картошкина, Александра Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Картошкина, Александра Евгеньевна

Введение

Глава 1. Точные решения для системы уравнений термодиффузионного движения двуслойных смесей

1.1 Вспомогательные предположения.

1.1.1 Преобразование Лапласа.

1.1.2 Методы численного обращения преобразования Лапласа и априорные оценки.

1.2 Начально-краевая задача для поля скоростей.

1.2.1 Постановка задачи. Интеграл энергии.

1.2.2 Решение в изображениях по Лапласу.

1.2.3 Линейное начальное поле скоростей.

1.2.4 Решение для полуограниченных слоев

1.3 Автомодельное движение бинарных смесей.

1.3.1 Постановка начально-краевой задачи.

1.3.2 Представление решения.

1.3.3 Асимптотическое поведение решения.

1.3.4 Численное решение и выводы.

1.4 Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей.

1.4.1 Постановка начально-краевой задачи.

1.4.2 Определение поля скоростей, возмущений температурных полей и концентрации

1.4.3 Выход решений на автомодельный режим.

1.4.4 Стационарное решение.

1.4.5 Асимптотическое поведениерешения при £ —>• оо

1.4.6 Результаты численного обращения преобразования Лапласа

Глава 2. Начально-краевые задачи для системы уравнений термодиффузионнго движения однослойных смесей

2.1 Об одном уравнении динамики вязкой жидкости

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Преобразование задачи и метод численного решения

2.1.3 Точное решение.

2.2 Влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами.

2.2.1 Задача о движении плоского слоя.

2.2.2 Молекулярный перенос тепла и примеси.

2.2.3 Расчет поля температур

2.2.4 Учет термодиффузии.

2.2.5 Конечно-разностный метод.

2.3 О движении плоского слоя жидкости с двумя свободными границами под действием эффекта Соре.

2.3.1 Решение специального вида

2.3.2 Преобразование исходной задачи (2.2.7)-(2.2.23).

2.3.3 Численное решение.

2.4 О движении плоского слоя жидкости со свободной границей и твердой стенкой

2.4.1 Постановка задачи и решение специального вида

2.4.2 Стационарное течение.

2.4.3 Безразмерная задача. Численное решение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение начально-краевых задач о движении бинарных смесей в плоских слоях»

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время 15 связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к исклассичс-ским моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [39], микроконвекции [42|, а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [16, 49]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжаю 1 играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [б]. Отметим также монографию [8], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Данная работа посвящена изучению подмоделей модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных плоских слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.

Термоднффузисй называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [44, 45]. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [57], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [10]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [54, 56].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкой компоненты:

Здесь ро — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через 0 и с обозначены малые отклонения от средних значений; ¡3\ -коэффициент теплового расширения смеси, ¡З2 — концентрационный коэффициент плотности (/% > 0, поскольку с — концентрация легкой компоненты). Движение смеси описывается системой уравнений [10, 49] 1 щ + (и • =--V? + иАи - + р2с),

Ро в1 + и-Х70 = хА 0,

1) сг + и-Ус = ¿Ас + (1 \уи = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, V — коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температуропроводности, с/ — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид а. = —с1д/(19о, где с1в — коэффициент термодиффузии, во — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0.

В частном случае (с = 0, а = 0) система (1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска) Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [16, 17]; они являются стационарными, то есть не зависят от времени. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [20], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [34] (см. также монографию [6]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.

Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [19, 58|. посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [1С|. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [18], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [40]. В статье [47] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [53], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.

В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (1), описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в [46], все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (1) в случае g = 0 изучены в [1]; там отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Исследование начально-краевых задач о движении смесей в плоских слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.

Перейдем к общей постановки задачи. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплоприводных вязких жидкостей с общей границей раздела. Обозначим через ^ = 1,2) области занятые жидкостями с поверхностью раздела Г. и(х, р(х, ¿) — соответственно векторы скорости и давления, в(х, ¿) и с(х, ¿) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил ^=0) имеет вид [7]: йщ 1 - Ур,- = ч Дш; а р3

Iс■ ^ Д с.} + Д0,;

2) сИУ = 0, где — средняя плотность, у^ — кинематическая вязкость, X] ~ температуропроводность, ^ — коэффициент диффузии, — коэффициент термодиффузии (коэффициент Соре); ¿¡¿Ь — д/дЬ + и • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры и концентрации <т = и(0,с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью а (в, с) = а0- XI {9 - 0О) - ае2(с - со), (3) где ае1 >0 — температурный коэффициент, ае2 — концентрационный коэффициент (обычно ае2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г: 112) х е Г (4) равенство скоростей; и • п = х е Г (5) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г движущаяся материальная поверхность. Здесь п единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в 0,2, Уп ~ скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скорости обеих жидкостей на Г, попарно совпадающие в силу (4).

Р2 - Р\)п = 2аНп + х <Е г (6) динамическое условие, оно означает равенство всех сил действующих на поверхность (сил давления, сил трения, сил поверхностного натяжения и тер-мокапилярных сил). Здесь Р) = —+ — тензоры напряжений, В - тензор скоростей деформаций, Н - средняя кривизна поверхности Г, Уг = V — (п • У)п обозначает поверхностный градиент. Далее, вХ = 02| С1 = ЛС'2, X 6 Г (7) условие непрерывности температур и концентраций на границе раздела, А — постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела

6 г- <8>

Соотношение (8) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные Щ — коэффициенты теплопроводности.

Еще одно условие — отсутствие потока вещества через границу раздела (дсг д$Л (да ^ двЛ

Области и 0,2 могут контактировать не только друг с другом но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Ена них ставится условие прилипания аДх, ¿), х £ Еу. (10) где а;(х,£) — скорость движения стенки Е^. Кроме того, будем считать, что температура в точках Е;- удовлетворяет одному из условий = = * е (11) с заданными функциями ф¿т и в3ст. То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура. Отсутствие потока вещества через твердые поверхности дсп дв« „ . .

В случае полуограниченных слоев необходимо добавит!, условие ограниченности функций и,-, 6] и Су

Области и могут так же контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Гх границу раздела жидкости Пх с газом, тогда поверхность Г1 называется свободной границей. На поверхности Г\ должны быть выполнены динамическое условие

Ррз - р)п + 2р1/1>(и)п = 2аНп + Уго", х 6 Г1 (13) и кинематическое условие (/(х, ¿) = 0 есть уравнение Гх)

Л + и • V/ = 0, хЕ Гх, (14) в (14) 25 — давление в газе является известной функцией. Условие теплообмена смеси с газом запишется так:

39 к— + ч(е-оъ а5) = д,хегь (15) где 7 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, вЕгв — температура газа, ф — заданный внешний поток тепла. Еще одно условие на Гх —

4£ + сЛ = о,хеГх (16) оп оп есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на Гх.

Для полной постановки задачи к соотношениям (2)-(16) следует добавить начальные условия иДх,0) = и0;(х), x€fij, х,0) = ^(х),хе% (17) х, 0) = со;'(х), х е

Далее в диссертационной работе для двуслойных смесей будем полагать ] = 1,2, а для однослойных j = 1 и индекс "1 "опускается.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двуслойные термодиффузионные движения смесей в плоских слоях, построение точных решений этих задач и вычисление их асимптотического поведения, а так же численное решение поставленных задач.

Методы исследования. В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а так же методы общей теории дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи были использованы следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутты, метод пристрелки и метод прогонки. Следует отметить, что численные результаты здесь носят, в основном вспомогательный иллюстративный характер.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двуслойные течения бинарных смесей. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решение некоторых задач хорошо подтверждает качественные результаты.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей термодиффузионного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а так же теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диффузии и термодиффузии в плоских слоях, а так же позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения так же можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы. Первая глава просвещена исследованию двуслойных термодиффузионных течений смесей, имеющих общую границу раздела. В пункте 1.1 даны известные определения и теоремы о преобразовании Лапласса. Описан один из численных методов его обращения, используемый в диссертации.

В пункте 1.2 изучена начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном. движении двух вязких жидкостей с общей поверхностью раздела. Жидкости так же граничат с плоскими твердыми стенками. Здесь рассматривается движение чистой жидкости без учета температуры и концентрации. Градиент давления в жидкостях отсутствует, поэтому движение определяется только под действием начального поля скоростей. Для описания однонаправленного совместного движения этой системы используется первое уравнение из (2) {] = 1,2), а также условия прилипания на неподвижных стенках, равенство скоростей и касательных напряжений на границе раздела. Доказана единственность решения этой системы, когда нет разрыва скоростей в начальный момент времени, то есть для гладкого решения. Так же доказана теорема о том, что гладкое решение исходной задачи при £ оо стремится к стационарному (нулевому) решению, причем справедливы оценки скорости сходимости \щ(у,1)\ < у/51\Е{ехр(-5£/2) и \щ(у, < у/М2Е(0)/ц2 ехр(-<^/2), равномерные по у из интервалов 0), (0, ¿2). Где Е(0) — значение интеграла энергии при Ь = 0,— толщина слоя, 6 = Для получения более точной информации о поведении функций скорости применяется преобразование Лапласа, в результате чего приходим к краевой задаче для изображений. Общее решение для функций-изображений находится без труда. Оригиналы для функций скорости восстанавливаются по формуле обращения преобразования Лапласа, по в общем случае для произвольных начальных данных выписать решения 15 явном виде не удается. Поэтому предполагается, что начальные функции представляют собой поля скоростей типа течения Куэтта. Полученные явные выражения для функций-изображений удовлетворяют свойствам преобразования Лапласа, которые описаны в пункте 1.1. Установлено, что при больших временах скорости в слоях стремятся к нулю: происходит торможение жидкости за счет трения ее о стенки и диффузии поверхности раздела.

Далее, решение ищется для полуограниченных слоев, то есть толщины слоев 1\ и ¿2 нужно устремить к бесконечности. Оригиналы для полученных выражений восстанавливаются по формуле обращения. Доказано, что это решение совпадаете решением, найденным в [22, с. 217-219]. Если обе жидкости одинаковые, то скорость вдоль поверхности раздела есть (^1+^2)/2, где у\ и г»2 — некоторые постоянные. С ростом времени для фиксированного у скорости щ(у,Ь) стремятся к нулю. Таким образом, поверхность раздела диффундирует вглубь обеих жидкостей, вызывая замедление, которое ведет к состоянию покоя в любой данной точке. В общем же случае из при £ —)• оо скорости стремятся к одному пределу [г^ + (ц/л/и^х] х (1 + ц/у/й)'1 и жидкости в каждой данной точке двигаются с постоянной скоростью.

В качестве иллюстрации данная задача решалась и методом численного обращения преобразования Лапласса при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности. Рассмотрен случай, когда обе жидкости одинаковы, t — фиксировано. Показано, что результаты численных расчетов совпадают с теоретическими выводами. В нашей задачи имеется разрыв ско-. ростей в начальный момент времени на границе раздела. Переходный слой от скорости в одном установившемся равномерном потоке к скорости в другом называется пограничным. Установлено, что толщина пограничного слоя изменяется с течением времени, его размер пропорционален y/vft.

Изученная задача, которая возникает ниже как подзадача в других пунктах, может быть так же интерпретирована как задача о распространении тепла в двух стержнях, контактирующих между собой.

В пункте 1.3 изучается автомодельное движение двух смесей. Ищется решение системы уравнений термодиффузии (2), которая допускает одио-параметрическую подгруппу, соответствующую оператору д/дх + Ajd/d9j+ +Bjd/dcj, Aj,Bj — постоянные. Таким образом инвариантное решение для температуры и концентрации ищется в виде 9j = AjX + Tj, Cj = BjX + Kj. Оно имеет следующую интерпретацию. На границе раздела двух смесей у = О коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации. В начальный момент времени первая смесь заполняет полупространство у < 0, а вторая — полупространство у > 0. Смеси находятся в покое, и при t — 0 во всем пространстве мгновенно создается поле температур = AjX и поле концентраций Cj = BjX. Термоконцентрационный эффект порождает движение смесей, в котором поверхность раздела остается плоскостью у = 0, а траектории являются прямыми, параллельными оси х. Для полуограниченных слоев решение этой задачи автомодельно и сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдено точное решение и вычислено асимптотическое поведение решения. Различаются два предельных случая: 1) при t оо и любом конечном у, \у\ < М = const, -> 0; 2) при \у\ оо и любом конечном £ £1 -> — оо, а £2 +оо, где — автомодельная переменная. В первом случае, поле скоростей неограниченно растет как £*/2. При С = —^ ■ > 0 смесь движется в отрицательном направлении оси, градиент температуры достаточно мал. При С < 0 — в положительном направлении, здесь термокапиллярные силы больше концентрационных и смесь движется в сторону возрастания поверхностного натяжения, а при С = О смеси находятся в покое — термокаиилляр-пые силы уравновешиваются концентрационными силами. Во всех случаях согласно асимптотикам абсолютные значения температуры и концентрации растут как г1/'2.

Что касается асимптотического поведения при больших \у\ и фиксированном £, то все функции скорости, температуры и концентрации экспоненциально стремятся к нулю. Таким образом, на бесконечности смеси стремятся занять положение равновесия.

Пункт 1.4 посвящен исследованию тех же уравнений что и в предыдущем пункте, за исключением того, что будем брать не нулевые начальные условия, а жидкости ограниченны твердыми стенками (в 1.3 рассматривались полубесконечные слои). Решение ищется в том же виде, что и в пункте 1.3. Задача сводится к начально-краевой задаче для последовательно решаемых параболических уравнений. Они линейны, и их решение определяется методом преобразования Лапласа. В результате получаем краевую задачу для системы обыкновенны дифференциальных уравнений в изображениях; найдено ее решение. Если толщина слоев стремится к бесконечности и начальные данные равны нулю, то решение выходит на автомодельный режим, то есть на решение полученное в пункте 1.3. В связи с поведением решения задачи при £ -»■ оо представляет интерес ее стационарное решение. Установлено, что функции и^{у) являются линейными, а Т;(у) и К ¿(у) — полиномы третьего порядка. Далее определяется асимптотическое поведение решения при £ -> оо. Для простоты выкладок и обозримости формул берутся нулевые начальные данные. Чтобы определить поведение функций при больших временах, необходимо вычислить lim рщ(у,р) = 0, где йЛу,р) функция-изображение для р-> о

Uj(y,t). Установлено, что поле скоростей нестационарной задачи выходит на стационарный режим — течение Куэтта в слоях. Для определения асимптотического поведения ноля температур дополнительно предполагается, что слои имеют одинаковые толщины и температура стенок равна нулю. Также как и для скоростей доказано, что температура выходит на стационарное решение при t —> оо. Аналогично ведет себя и концентрация, причем стационарное распределение концентрации существует только при В\ = = 0. В силу линейности задачи для Tj можно представить их решение в виде суммы Tj(y, t) = Т}(у, t)+Tj(y, t) + Tj(y, t), каждое из слагаемых которой является решение начально-краевой задачи. Одна из них в точности совпадает с задачей которая решена в пункте 1.2, следовательно справедлива оценка решения \Tj(y,t)\ < у/5ijE{Q)/kjexp{-81t/2), где = min{Ы\,к2Р2). Нетрудно оценить решения для Tj и Tj учитывая полученные выше результаты. Таким образом, справедлива теорема: рассматриваемая нестационарная задача для определения температуры при t -» оо выходит на ее стационарное решение и справедлива оценка \Tj(y,t) —Tj(y)| < y/5ijE(0)/kjexp (—¿ii/2), где tj(y) — стационарное распределение температуры. Задача для Kj представлена в виде суммы двух задач. Решение однородной задачи для Kj(y,t) с ненулевыми начальными данными при t —у оо выходит на постоянные К®, К®, причем К® = А К2. Таким образом, экспоненциальной сходимости Kj(y,t) к стационарному решению достичь не удается.

Обратное преобразование Лапласа в явном виде выполнить затруднительно, поэтому численное обращение преобразования Лапласа выполняется при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности. Рассмотрены смеси растворов глицерина с водой (80 % раствор) и метилового спирта с водой (90 % раствор). Анализ численных расчетов позволяет сделать следующие выводы. Вначале изучается поведение скорости, температуры и концентрации при фиксированной продольной координате. При малых временах функции üj (üj, Tj, Kj — функции-изображения для скорости, температуры и концентрации соответственно) мало отличаются от нуля (начальных данных) и имеют то положительные то отрицательные значения. С ростом времени при £ « 26.57 для щ и £ « 45.99 для щ скорости растут и при £ > 100(^1) и t > 130(иг) становятся почти постоянными. То же самое можно сказать про поведение функций 7} и Далее фиксировалось время £. Для фиксированных и > ЮО для щ и ¿* > 130 для щ функции скорости выходят на асимптотический режим, асимптотиками являются прямые. Для функций Ту асимптотиками являются кубические параболы, Т\ при > 770 выходит на параболу. Таким образом, численные результаты подтверждают выход решения данной задачи на стационарный режим.

Во второй главе изучаются однослойные термодиффузионные течения. Это движение описывает система уравнеий (2) в которой надо положит!. $ — 1. Рассмотрим ее четырехмерную подалгебру (дх, + ди, до, дс). На этой подалгебре система имеет частично инвариантные решения вида щ = щ(х, у^), и2 = у{у,Ь), р = ч(уЛ), 6 = 6(х,у^), с=с(х,у,Ь).

В пункте 2.1 исследуется начально-краевая задача возникающая при моделировании термодиффузионных движений в плоских слоях со свободной границей. Здесь рассматривается только поле скоростей, то есть без учета температуры и концентрации. Из уравнения сохранения массы следует вид решения для горизонтальной составляющей вектора скорости: она есть линейная функция от х. Рассматривается два случая: 1) плоское движение с двумя свободными границами, 2) плоское движение когда одна граница является свободной, а другая твердая стенка. Решение данной задачи сводится к решению интегродифференциального уравнения при определенных начальных и граничных условиях. Сложность в решении таких задач составляет то, что положение свободной границы также является неизвестной функцией и находится в процессе решения задачи. После подходящего введения безраз: мерных переменных получаем задачу уже в фиксированной области. Решение этой задачи ищется методом Галеркина, функции раскладываются по полиномам Лежандра. Для задачи с двумя свободными границами достаточно ограничиться только четными полиномами, в силу симметрии рассматриваемой обрасти, а когда рассматривается твердая стенка, разложение ведется по всем полиномам. Система сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решалась методом Рунгс-Кутты.

Численное, решение этой системы зависит от вида начальных данных. Рассматривая задачу с двумя свободными границами можно видеть, что когда начальные данные меньше нуля, то решение за конечный промежуток времени уходит па бесконечность (то есть движение разрушается), а при положительных начальных данных скорость и положение свободной границы убывают и стремятся к нулю (жидкость вначале оттекает от точки х — 0, после чего меняет направление движения и начинает притекать к эгой точке). Для задачи с твердой стенкой получены такие же результаты. В этом пункте представлено одно из точных решений для функции скорости полученное в [55]. Численные результаты для задачи с двумя свободными границами согласуются с качественными выводами.

В пункте 2.2 исследуется одно частично-инвариантное решение уравнений термодиффузионного движения в случае слоя с двумя свободными границами. Сначала рассмотрен молекулярный перенос тепла и примеси без влияния поля скоростей. В дальнейшем накладывается поле скоростей и исследуется его влияние на движение смеси. Ищется решение специального вида: температура и концентрация есть квадратичные функции переменной х, в = а(у,Ь)х2 + &(у,£), с = Ь,{у,£)х2 + д{у, ¿). Ему можно дать следующую физическую интерпретацию. Достаточно длинный слой смеси в окрестности точки х — 0 нагревается, причем внешняя температура вдаз{х, ¿) имеет в этой точке минимум или максимум. Тогда в окрестности х — 0 ддаз{х,Ь) также аппроксимируется по параболическому закону. В зависимости от знака а(у,£), И(у, ¿), температура и концентрация будут принимать максимальное или минимальное значение в точке х = 0. Поэтому в дальнейшем основной интерес представляет поведение функций а(у,£), Н(у,1).

Когда жидкость находится в состоянии покоя, то есть скорость равна нулю, в этом случае возможен только молекулярный перенос тепла и примеси. В этой системе вводятся безразмерные переменные и точное решение найдено методом Фурье. Различаются решения при Ы ф 0 и В{ = О, В1 — число Био. В случае, когда отсутствует теплообмен через свободную границу (В( = 0), безразмерные функции А(1,т), Н(1,т) стремятся к пулю, при т —> оо. Таким образом, при г оо температура и концентрация на свободной границе становятся постоянными. В случае В1 ф 0 поведение температуры зависит от температуры газа. Если задавать Адаз в виде различных функций, то можно видеть, что А(1,т) всегда ведет себя аналогично Ауая(т). Поведение концентрации веществ смеси обусловлено поведением температуры, то есть когда температура становится максимальной в точке х = 0, концентрация так же имеет максимум. И наоборот, если температура имеет минимум, то концентрация так же становится минимальной.

Поле скоростей оказывает существенное влияние на распределение температуры и концентрации. Учитывается поле скоростей для точного решения найденного в [55]. Задача решалась методом Галеркина. Если температура газа имеет минимум в точке х = 0, то температура жидкости на границе слоя и концентрация также имеют минимум. Если скорость уходит на бесконечность за конечный промежуток времени (движение разрушается), то и температура с концентрацией также стремятся к бесконечности. Заметим, что поведение функции скорости зависит от начальных данных. При определенных начальных данных скорость не уходит на бесконечность, тогда поведение скорости и положение свободной границы согласуются с асимптотиками. Если скорость больше нуля, тогда жидкость оттекает от точки х = 0. При стремлении скорости к нулю жидкость приходит в равновесное состояние. Если движение не разрушается, то температура на поверхности слоя так же стремиться к температуре газа как и в случае отсутствия поля скоростей. Концентрация вещества смеси стремится к постоянной.

Эта задача, для сравнения, также решена методом прогонки. Результаты решения задачи методом прогонки с высокой степенью точности совпадают с результатами ее решения методом Галеркина.

В пункте 2.3 рассматривается движение плоского слоя жидкости с двумя свободными границами. Ищется решение специального вида, которое представлено в пункте 2.2. При некоторых упрощениях задача сводится к системе последовательно решаемых параболических уравнений. Для решения этой системы используется метод Фурье; впоследствии построенное точное решение было использовано в качестве теста при отработке схемы численного решения. Общая задача решена методом Галеркина. Численные расчеты позволяют сделать следующие выводы: движение смеси происходит из области малых в область больших поверхностных натяжений. Смесь притекает и приносит концентрацию, температура па границе слоя стремится к температуре газа. При изучении влияния безразмерных параметров входящих в систему было получено, что при увеличении концентрационного и теплового чисел Марангони, числа Прандтля и числа Пекле интенсивность течения уменьшается, то есть жидкость позже по времени меняет направление течения. При увеличении числа Био и числа Соре — интенсивность течения увеличивается.

В пункте 2.4 исследуется та же система уравнений, что и в предыдущем пункте, но одна граница является свободной, а другая твердая стенка. Решена стационарная задача для этого случая. Показано, что в случае стационарного движения смесь может лишь покоиться. Нестационарная задача решалась численно. Если сравнивать с численными результатами полученными для течения жидкости со свободными границами, при тех же значениях параметров, можно увидеть, что скорость так же убывает и меняет направ ление течения, а концентрация в этот момент увеличивается. Температура стремится к температуре газа. Особый интерес представляет собой случай когда скорость в начальный момент времени равна нулю, а температура и концентрация отличны от нуля. Тем самым исследуется эффект Соре в чистом виде, когда движение жидкости вызывают эффекты термодиффузии. Функции А(1, т) и Н(1,т) убывают и стремятся к нулю. Когда они становятся равные нулю, в этот момент эффект Соре исчезает, но смесь продолжает свое движение по инерции.

Заключение содержит результаты и выводы проделанной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Получение априорных оценок и асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи, описывающей однонаправленное движение двух вязких несмешивающихся жидкостей в плоских слоях.

2. Нахождение точного решения и асимптотического поведения задачи для двуслойного термодиффузионного движения смесей в случае полуогра-ничепиых слоев и ограниченных слоев.

3. Определение стационарного двуслойного движения с твердыми стенками и доказательство того факта, что решение нестационарной задачи при больших временах выходит на ее стационарный режим.

4. Исследование влияния динамики на распространение тепла и примеси в случае термодиффузионного движения однослойных жидкостей. Построение методом Фурье точного решения для равновесного состояния, в котором распространение тепла и примеси осуществляется путем молекулярного переноса.

5. Исследование начально-краевой задачи для термодиффузионного движения однослойных смесей в случае двух свободных границ и когда одна из них является твердой стенкой.

Апробация.работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:

XXXV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2004),

V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004),

XXXVI Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2005),

Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения"(Бийск, 2005),

VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2005),

VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006),

XXXVII Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2006),

Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004-2006),

Семинаре Института Вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике"под руководством профессора В.К. Андреева.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [3, 9], [24]- [33].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12F003M (2005); Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05 — 01 — 00836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02 - 01 - 00934 (2004); интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006); Красноярского краевого фонда науки, индивидуальный грант, проект 16С202 (2006). •

Точные решения для системы уравнений термодиффузионного движения двуслойных смесей

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Картошкина, Александра Евгеньевна

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. Исследована начально-краевая задача, возникающая при однонаправленном движении двух вязких жидкостей с общей поверхностью раздела. Для скорости получена априорная оценка решения и установлена единственность решения. Найдено общее решение и для линейного начального поля скоростей изучены предельные случаи поведения решения. Получены оценки скорости сходимости решения. Если в начальный момент времени имеется разрыв скоростей па границе раздела, то вдоль нее возникает пограничный слой. Изученная задача может быть так же интерпретирована как задача о распространений тепла в двух стержнях, контактирующих между собой.

2. Найдено решение специального вида допускающие однопараметрическую подгруппу соответствующую оператору д/дх+А^д/дв^В^д/дс^, А^, Bj — постоянные. Для системы уравнений термодиффузии в случае полуограниченных слоев, зависящее только от поперечной координаты и времени. Получено точное решение и вычислено асимптотическое поведение.

3. Изучено движение двух смесей в случае, когда они ограничены твердыми стенками. Найдено стационарное решение. Доказано, что решение задачи при больших временах выходит на стационарное решение той же задачи. Задачу для определения температуры можно представить в виде суммы трех задач, а для концентрации в виде суммы двух задач. Получены оценки сходимости решения к стационарному. Примененный численный метод обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности хорошо подтверждает качественные результаты.

4. Исследована начально-краевая задача для скорости, возникающая при движении в однослойных смесях со свободной границей и твердыми стенками. Задача сводится к решению интегродифференциального уравнения, решение найдено численно методом Галеркина.

5. Изучено одно частично-инвариантное решение уравнений термодиффузии для однослойных жидкостей. Найдено равновесное состояние слоя, в котором процесс распространения тепла и примеси осуществляется путем молекулярного переноса. Показано, что учет динамики при определенных начальных данных приводит к разрушению движения смеси за конечное время.

6. Исследовано однослойное движение смесей в случае когда обе границы являются свободными. Найдено точное решение в котором температура и концентрация смеси представлены в виде рядов. Общая задача решена численно методом Галеркина.

7. Изучено однослойное движение жидкости когда одна граница является свободной, а другая твердой стенкой. Доказано, что стационарное решение может быть только покоем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Картошкина, Александра Евгеньевна, 2006 год

1. Андреев В.К., Картошкина А.Е. О движении плоского слоя жидкости со свободной границей под действием эффекта Соре// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2004.-вып.1 С. 182-191.

2. Андреев В.К., Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений тер-мокапилярного движения// Численные методы механики сплошношной среды. 1983.Т.14, №5. С.3-23 С. 182-191.

3. Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии// Дифференциальные уравнения. 2005.Т.41, Ш. С.508-517.

4. Андреев В.К., Бублик В.В., Бьггев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

5. Андреев В.К., Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000. - С. 280.

6. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

7. Андреев В.К., Картошкина А.Е., Родионов A.A. Об одном уравнении динамики вязкой жидкости// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2005 -вып.1 С. 204-210.

8. Бокштсйн B.C. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 4. - С. 40-43.

9. Дж. Бетчелор Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.- 700с.

10. Бейтмсн В., Эрдейн А. Таблицы интсгральнх преобразований. М.: Наука, 1969.- Т.1.

11. Беляев U.M., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982 - 4.1.-327 с.

12. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982 - Ч.2.-304 с.

13. Варгафтик Н.Б. Справочник по тегоюфизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомпящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. 1982.- Т. 46. Вып. 1. - С. 66-71.

17. Гсршупи Г.З., Жухопицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоскопараллслыгого конвективного течения бинарной смеси // ПММ. 1980. - Т. 44. - Вып. 5. - С. 823-830.

18. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. - Вып. 79. - С. 22-35.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

20. Жермен П. Курс механики сплошных сред.- М.: Высшая школа, 1983.399 с.

21. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

22. Картошкина А.Е. Влияние динамики на термодиффузию// Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Кемерово, 2005.-С.38.

23. Картошкина А.Е. Влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами// Вычислительные технологии. №4 Т.П. Новосибирск, 2006. С. 44-53.

24. Картошкина А.Е. Об одном движении семеси// Тезисы докладов Всеросийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи сосвободными границами: теория, эксперемент иприложения"Бийск, 2005. С. 45-46.

25. Картошкина А.Е. Об одном решении уравнений термодиффузии со свободной границей// Труды 36-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 141-145.

26. Картошкина А.Е. О нестационарном движении жидкости под действием эффекта Соре// Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2004.-С.20.

27. Картошкина А.Е. О нестационарном движении плоского слоя// Труды 35-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 138-143.

28. Картошкина А.Е. О численном обращении преобразования Лапласа// Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. -Красноярск, 2006.-С.52.

29. Картошкина А.Е. Развитие термоконцентрационного движения с плоской границей раздела// Труды 37-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математикикатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 205-209.

30. Картошкина А.Е. Решение начально-краевой задачи, возникающей при совместном движении двух слоев бинарных смесей.-Препинт №1-Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006.- 24 с.

31. Картошкина А.Е. Эволюция двух несжимающихся слоев вязкой жидкости// Вестник КрасГУ: физико-математические науки. Красноярск: КрасГУ, 2006.-вып. 1 С. 184-190.

32. Катков B.JI. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ. -1968. Т. 32. - Вып. 3. - С. 482-487.

33. Крылов В.И., Скобля Ц.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лаплнсса.- Минск: Наука и техника, 19С8.

34. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласса М.: Наука, 1974.-224 с.

35. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

36. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа- М.: Наука, 1967.— 736 с.

37. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

38. Николаев В.И., Тубип A.A. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. 1971. - Т. 35. - Вып. 2. - С. 248-254.

39. Овсянников Л.В.Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.

40. Пухпачев В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6 (23), № 4. - С. 47-50.

41. Пухпачев В.В. Неустановившееся движение вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично-инвариантными решениями уравнений навье-Стокса// Динамика сплошной среды. Вып.10. Институт гидродинамики СО АН СССР Новосибирск, 1972. С. 125-137.

42. Рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М.: Атомиздат, 1981. - 144 с.

43. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.Н. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.

44. Рыжков И.И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 168 с.

45. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 2. -С. 54-61.

46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.

47. Шапошников КГ. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 604-606.

48. Федорюк М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977.-368 с.

49. Физические величины. Справочник /Под. ред. Григорьева И.С., Мейли-хова Е.З. М.: Энеоатомиздат, 1991 1232 с.

50. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы,- М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004.-400 с.

51. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Lcgros J.С., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // ,1. Fluid Mech. 1997. - V. 330. - P. 251-209.

52. Huppert H.E.j Turner J.S. Double-diffusive convection // J. Fluid Mech. -1981. V. 10G. - P. 299-329.

53. Pukhnachov V.V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary// C.R. Acad. Seien. Paris, t.328, Serie 1, 1999—P.357-362.

54. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics // Oxford University Press. 1988. -519 p.

55. Wiegand S. Thermal diffusion in liquid mixtures and polymer solutions // J. Phys.: Condens. Matter., 16 (2004). P. 357-379.

56. Yanase S., Kohno K. The Effect of a Salinity Gradient on the Instability of Natural Convection in a Vertical Fluid Layer // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1985. - V. 54, № 10. - P. 3747-3756.