Устойчивость равновесных состояний и течений бинарных смесей в плоских слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ефимова, Марина Викторовна

• Ефимова, Марина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ефимова, Марина Викторовна

Введение

Глава 1. Линеаризованная задача о малых возмущениях

Глава 2. Устойчивость равновесия плоского слоя

2.1 Состояние равновесия.

2.2 Задача о малых возмущениях.

2.3 Длинноволновые возмущения.

2.4 Стационарные возмущения.

2.5 Численное решение задачи на собственные значения и его анализ

Глава 3. Устойчивость термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре

3.1 Постановка задачи.

3.2 Длинноволновые возмущения

3.3 Стационарные возмущения.

3.4 Численное решение.

Глава 4. Эволюция возмущений движения бинарных смесей с плоской границей раздела под действием перепада давления и термоконцентрационных сил

4.1 Некоторые свойства преобразования Лапласа.

4.2 Методы численного обращения преобразования Лапласа

4.3 Постановка задачи.

4.4 Определение поля скоростей в слоях при заданном перепаде давления.

4.5 Определения возмущения поля скоростей, возникающего под действием термоконцентрационных сил.

4.6 Эволюция температурных возмущений.

4.7 Эволюция возмущений концентраций в слоях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость равновесных состояний и течений бинарных смесей в плоских слоях»

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [31], микроконвекции [34], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [13,42]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов, а также имеют чрезвычайно важное значение при изучении устойчивости течений. В условиях, близких к невесомости, существенное влияние на устойчивость равновесия и движения смесей с поверхностью раздела или со свободной поверхностью оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и концентрации.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [2]. Отметим также монографию [4], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Данная работа посвящена, в основном, численному изучению устойчивости равновесного состояния и течений плоского слоя конечной толщины бинарных смесей с учетом эффекта термодиффузии, а также изучению инвариантного решения уравнений термодиффузии, когда на поверхности раздела двух несмешивающихся бинарных смесей коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации, а источником движения являются нестационарные градиенты давления. Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе и имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [36, 37]. Термодиффузия применяется при определении состава нефти и разделения ее компонентов [57], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [11]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [49,56].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массоперепоса. Движение смеси описывается системой уравнений [13,42] (в отсутствие массовых сил) 1 ut + (и • V)u = —Vp + z/Ди, Р

0t + и • V0 = с* + и • Vc = dAc + adA9, divu = О, где и — вектор скорости, р — давление, р — плотность, v — коэффициент кинематической вязкости, х — коэффициент температуропроводности, d — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, а = кд/9с, где kg — коэффициент термодиффузии, 9С — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации.

Заметим, что в [27] доказана разрешимость плоской стационарной задачи о чисто термокапиллярном течении одной жидкости. В работе [55] доказана глобальная разрешимость одномерной нестационарной задачи с двумя коэффициентами вязкости, правда, без термокапиллярного эффекта. В [27] изучена линейная устойчивость поверхности при наличии диффузионного переноса между двумя несмешивающимися вязкими жидкостями. Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [16,58], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [13]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [15], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [32]. В статье [40] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [48], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии. Во всех этих работах границы, как правило, суть твердые стенки.

Перейдем к общей постановке задачи. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей границей раздела. Обозначим через ty (j = 1, 2) области, занятые жидкостями, с поверхностью раздела Г, Uj(x, t), pj(x,t) — соответственно вектор скорости и давление, 0j(x,t) и Cj(x, £) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил (g — 0) имеет вид [3] duj 1 . dO.

-Ж = dc- ^ djAcj + ajdjAOj, divuj = 0, где d/dt = d/dt + uj • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения сг на границе раздела зависит от температуры и концентрации а = сг(0, с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью сг(0, с) = сто - aei(0 - во) - 332(с - со), (0.2) где sei > 0 — температурный коэффициент, аег — концентрационный коэффициент (обычно эе2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г: ui = u2)xer (0.3) равенство скоростей; и • n = Vn, х Е Г (0.4) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г — движущаяся материальная поверхность. Здесь п единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в 0,2, Vn — скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скоростей обеих жидкостей на Г, попарно совпадающих в силу (0.3). Далее,

Р2 - Pi)n = 2сгНп + Vrа, х е Г (0.5) динамическое условие, оно означает равенство всех сил, действующих на поверхность (сил давления, сил трения, сил поверхностного натяжения и термокапиллярных сил). Здесь Pj = — pjE + 2pjVjD(u.j) — тензоры напряжений, D — тензор скоростей деформаций, Н — средняя кривизна поверхности Г, Vr = V — (п • V)n обозначает поверхностный градиент;

01 = 02, С! = Лс2, х € Г (0.6) условие непрерывности температур и условия баланса концентраций на границе раздела, Л — Постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела 0, х 6 Г. (0.7)

Соотношение (0.7) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные kj = XjPjcPj ~ коэффициенты теплопроводности. Еще одно условие — равенство потоков вещества через границу раздела (дс2 дв2\ J /да двЛ

Области и могут контактировать не только друг с другом но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Еj] на них ставится условие прилипания

Uj = aj-(x, £), х € Е^, (0.9) где аДх, t) — скорость движения стенки Ej. Кроме того, будем считать, что температура в точках Еу удовлетворяет одному из условий дО ■ t), вJ = 9JCT(x, t), X е Ey (0.10) с заданными функциями Q3CT и То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура и отсутствует поток вещества через поверхности Е^ (считается, что твердые стенки не растворяются): дсп дв* + = (0.11)

Области Qi и Q2 могут так же контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Ti границу раздела жидкости Qi с газом, тогда поверхность Гх называется свободной границей. На поверхности Г\ должны быть выполнены динамическое условие

Pgas ~ р)п + 2pi/D(u)n = 2сгНп + Vrcr, х G Гх (0.12) и кинематическое условие (/(х, t) = 0 есть уравнение Г\) ft + u- V/ = 0, хеГь (0.13) в (0.12) pgas — давление в газе является известной функцией.

Условие теплообмена смеси с газом запишется так: д9 кд^ь + № ~ ^ = Ql Х 6 Гь (°'14) где к = const — коэффициент теплопроводности, (3 > 0 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, 9gas — температура газа, Q — заданный внешний поток тепла.

Еще одно условие на Ti — дс дв , есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым в этом случае не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на IY Если учитывать ПАВ, то перенос ПАВ вдоль границы Ti описывается уравнением st + Vr • (us) - drATs = jn, (0.16) где Vr — поверхностный градиент, так что Vr • (us) — поверхностная дивергенция, s — поверхностная концентрация, d-p — коэффициент поверхностной диффузии ПАВ, Дг — оператор Лапласа-Бельтрами, jn — поток вещества с поверхности в объемную фазу. Величина потока jn определяется процессами переноса ПАВ вглубь жидкости и с учетом термодиффузии имеет вид х€Г1- (ол7)

Здесь с — концентрация примеси в жидкости. С другой стороны, обмен веществом между поверхностью и жидкостью происходит за счет процесса адсорбции-десорбции, и величина потока равна (в линейном приближении) jn = кАс - kDs, х е Гь (0.18) где кл и кв — коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно (при наличии химических реакций на Гх зависимость может быть и нелинейной).

Поверхностное натяжение есть функция температуры и концентрации: <т = <j(9,s). Часто используется линейная зависимость, например, для расплавов металлов (см. формулу (0.2)): т(0, s) = (7о — asi(0 — в0) — dd2(s - s0), aei, ав2 = const. (0.19)

Для полной постановки задачи к соотношениям (0.1)—(0.15) следует добавить начальные условия

Uj(x, 0) = u0j(x), х G Qj, divuoj = 0,

0.20)

0j(x, 0) = eoj(x),xeQj,

Cj(x, 0) = %'(х), x G Qj.

В случае присутствия ПАВ добавляется начальное условие s(x, 0) = so(x); х G Fi, Гх — свободная граница f2i. Далее в диссертационной работе для двуслойных смесей будем полагать j = 1,2, а для однослойных j = 1 и индекс "1" опускается.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании устойчивости состояния равновесия двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей поверхностью раздела и однослойного термодиффузионного движения смеси в плоском слое со свободной границей, а также изучении инвариантного решения уравнений термодиффузии под действием нестационарного градиента давления.

Методы исследования. В качестве математической модели используются уравнения термодиффузии с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхности раздела и свободной поверхности. С помощью метода нормальных возмущений исходные уравнения сводятся к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для получения результатов использовались методы решения дифференциальных уравнений, асимптотические и численные методы. Спектральные задачи решались методом ортогонализации с применением метода секущих. Кроме того использовался метод преобразования Лапласа, метод априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы устойчивость течения плоского слоя со свободной поверхностью, устойчивость равновесного состояния бинарных смесей с поверхностью раздела методом ортогонали-зации Годунова С.К., адаптированного для задачи с поверхностью раздела. Исследованы начально-краевые задачи, описывающие двуслойные течения бинарных смесей, получены априорные оценки возмущений скорости, температуры и концентрации.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенные исследования вносят определенный вклад в изучение факторов влияющих на устойчивость равновесия и движения бинарных смесей с общей поверхностью раздела, а также обладающих свободной границей. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании явлений, происходящих в смесях в условиях, близких к невесомости.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных расчетов.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, которые делятся на пункты, заключения и списка литературы. Нумерация формул в работе двойная и сквозная внутри каждой главы: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация рисунков сквозная по всей работе (рис. 1-16); основные графики вынесены в конец работы. Список литературы составлен в алфавитном порядке, в конце списка перечислены основные работы автора.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ефимова, Марина Викторовна

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Найдено равновесное состояние смесей с общей поверхностью раздела в плоских слоях, ограниченных твердыми стенками, и для монотонных возмущений этого равновесия получено явное представление числа Марапгони. Построенные нейтральные кривые показывают, что при увеличении числа Соре область устойчивости смещается в сторону больших чисел Марангони.

2. Полная спектральная задача решена численно методом ортогонализа-ции Годунова С.К., специально адаптированным для задачи с граничными условиями на двух твердых стенках и условиями на поверхности раздела. Показано, что при увеличении термокапиллярного эффекта на границе раздела устойчивость равновесного состояния понижается, усиление термодиффузионного эффекта приводит к увеличению поверхностного натяжения, а значит и к стабилизации границы раздела.

3. Исследована устойчивость точного стационарного решения уравнений термодиффузии, описывающего термокапиллярное течение в плоском слое со свободной границей (возвратное течение). Для стационарных плоских возмущений получена аналитическая зависимость нейтральных чисел Марангони от волнового числа и безразмерных физических параметров. Численное решение полной спектральной задачи приводит к выводу о том, что здесь наиболее опасными являются двумерные возмущения. Показано, что при росте числа Марангони уменьшается область длинноволновой устойчивости.

4. Изучено инвариантное решение задачи для термодиффузионного движения двух несмешивающихся смесей в плоских слоях с общей поверхностью раздела. Получены априорные оценки возмущений скорости и температуры.

Найдено стационарное состояние системы и показано, что если градиент давления в одной смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смесей за счет вязкого трения. То же самое справедливо для температуры и концентрации. Если градиент давления отсутствует, то скорости, температуры и концентрации выходят на стационарный режим: скорости — на течения Куэтта в слоях, а температуры и концентрации описываются полиномами третьего порядка по у. В случае существования конечного предела градиента давления скорости выходят на стационарный режим типа течения Пуазейля, а температуры и концентрации описываются полиномами четвёртого порядка по у.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ефимова, Марина Викторовна, 2008 год

1. Андреев В.К. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Труды 1.I Межд.конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 13-17.

2. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

3. Андреев В.К, Захватаев В.Е., Рябицкий Е.А. Термокапилярная неустойчивость. Новосибирск: Наука, 2000.- 280 с.

4. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

5. Андреев В.К., Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений тер-мокапилярного движения// Численные методы механики сплошношной среды. 1983.Т.14, №5. С.3-23 С. 182-191.

6. Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии// Дифференциальные уравнения. 2005.Т.41, Ш. С.508-517.

7. Бейтмен Б., Эрдейн А. Таблицы интегральнх преобразований. М.: Наука, 1969.- Т.1.

8. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982.- Ч.1.-327 с.

9. Беляев Н.М., Рядно А А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982.- Ч.2.-304 с.

10. Дж. Бетчелор Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.- 760с.

11. Бокштейн Б. С. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 4. - С. 40-43.

12. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий АА. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин JI.E. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММ. 1982. -Т. 46. - Вып. 1. - С. 66-71.

16. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин Л.Е. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ. -1980. Т. 44. - Вып. 5. - С. 823-830.

17. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. - Т. 16. -Вып. 3. - С. 171-174.

18. Гончаренко Б.Н., Уринцев A.JI. Об устойчивости движения, вызванного термокапиллярными силами // ПМТФ. 1977. - №6. - С. 94-98.

19. Гончарова О.Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. - Вып. 79. - С. 22-35.

20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегральных сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1965.

21. Жермен П. Курс механики сплошных сред.- М.: Высшая школа, 1983.399 с.

22. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

23. Катков B.J1. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ. -1968. Т. 32. - Вып. 3. - С. 482-487.

24. Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лаплпсса.- Минск: Наука и техника, 1968.

25. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласса.- М.: Наука, 1974.-224 с.

26. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

27. Лагунова О разрешимости плоской задачи термокапиллярной конвекции // Проб. мат. анализа, вып. 10 "Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория". Л.: Изд. ЛГУ, 1986. - С.33-47.

28. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 288 с.

29. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967736 с.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1986 - 736 с.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

32. Николаев Б.И., Тубин А.А. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси в плоской термодиффузионной колонне // ПММ. -1971. Т. 35. - Вып. 2. - С. 248-254.

33. Овсянников Л.В.Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

34. Пухначев В.В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6 (23), № 4. - С. 47-56.

35. Пухначев В.В. Неустановившееся движение вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично-инвариантными решениями уравнений навье-Стокса// Динамика сплошной среды. Вып.10. Институт гидродинамики СО АН СССР Новосибирск, 1972. С. 125-137.

36. Рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. -М.: Атомиздат, 1981. 144 с.

37. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.Н. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.

38. Рыжков И.И. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии j j Дис. . канд. физ.-мат. наук. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - 168 с.

39. Рябицкий Е.А. Возникновение термокапиллярного движения в плоском слое с учетом эффекта Соре // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. -2002. №3 - С. 3-9.

40. Смородин Б. Л. Конвекция бинарной смеси в условиях термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ. 2002. - Т. 43, № 2. -С. 54-61.

41. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972.

42. Шапошников И. Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17. - Вып. 5. - С. 604-606.

43. Федорюк М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977.-368 с.

44. Физические величины. Справочник /Под. ред. Григорьева И.С., Мейли-хова Е.З. М.: Энеоатомиздат, 1991- 1232 с.

45. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы- М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004.-400 с.

46. Хенненберг М., Биш П.М., Випь-Адлер М., Занфельд А. Неустойчивость поверхности раздела и продольные волны в системе жидкость-жидкость // Сб. "Гидродинамика межфазных поверхностей". 1984. -С.19-44.

47. Berg J.C., Acrivos A. The effect of surface active agents on convection cells induced by surface tension // Chem.Engng. Sci. 1965. - V. 20. - N 8 -P. 737-745.

48. Gershuni G.Z., Kolesnikov A.K., Legros J.C., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // J. Fluid Mech. 1997. - V. 330. - P. 251-269.

49. Huppert H.E., Turner J.S. Double-diffusive convection // J. Fluid Mech. -1981. V. 106. - P. 299-329.

50. Palmer H.J., Berg J.C. Hydrodynamic stability of surfactant solution heated from below // J. Fluid Mech. 1972. - V. 51. pt 2. - P. 385-402.

51. Pearson J.R. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. - V. 5. - №4 - P. 489-500.

52. Pukhnachov V.V. On a problem of viscous strip deformation with a free boundary// C.R. Acad. Scien. Paris, t.328, Serie 1, 1999-P.357-362.

53. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Pt 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech. 1983. - V. 132. -№ 7. - P. 119-144.

54. Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Pt 2. Surface wave instabilities // Ibid. P. 145-162.

55. Shelukhin V. Joint Motion of Viscous and Semi Viscous Flows // Intern. Workshop "Free Boundaries in Viscous Flows". - St. Peterburg, 1996. Abstracts. - P. 17.

56. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics // Oxford University Press. 1988. -519 p.

57. Wiegand S. Thermal diffusion in liquid mixtures and polymer solutions // J. Phys.: Condens. Matter., 16 (2004). P. 357-379.

58. Yanase S., Kohno K. The Effect of a Salinity Gradient on the Instability of Natural Convection in a Vertical Fluid Layer // J. of the Phys. Soc. of Japan. 1985. - V. 54, № 10. - P. 3747-3756.

59. Додонова М.В. Стационарные термодиффузионные течения плоского слоя. // Труды Межд.конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения" Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 91-95.

60. Додонова М.В. Возникновение конвекции в двухслойной жидкости при наличии термодиффузии // Труды Межд.конф. "Математические модели и методы их исследования" Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. -Т. 1. - С. 237-239.

61. Ефимова М.В. Решение линейной задачи об устойчивости равновесия плоских слоев с общей поверхностью раздела в модели термодиффузии // Труды III Межд.конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 90-96.

62. Андреев В.К., Ефимова М.В., Рябицкий ЕА. Малые возмущения конвективных течений с поверхностями раздела. // Препринт №4 -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003.

63. Ефимова М.В. Неустойчивость поверхности раздела при наличии термодиффузии в условиях невесомости. // Вычислительные технологии. -Новосибирск. 2006. Т. 11, №1. - С.63-69.

64. Андреев В.К., Ефимова М.В. Линеаризованная задача конвективного движения бинарной смеси с межфазной границей раздела // Вестник Красноярского государственного университета: физико-математические науки. КрасГУ. 2006. - Вып. 1. - С. 175-183.

65. Ефимова М.В. Неустойчивость поверхности раздела равновесного состояния двух бинарных смесей с учетом эффекта Соре. // Вычислительные технологии. Новосибирск. 2007. - Т. 12, №.6. - С. 34-43.

66. Ефимова М.В. Эволюция возмущений движения бинарных смесей с плоской границей раздела под действием перепада давления и термоконцентрационных сил. Препринт № 4. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2007. - 40с.