Решение конструктивно нелинейных задач строительной механики адаптационными методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Холькин, Сергей Александрович

• Холькин, Сергей Александрович
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Холькин, Сергей Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ КОНСТРУКТИВНО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Теорема об изменении потенциальной энергии деформаций при добавлении новых связей.

1.2. Вариационные принципы механики конструктивно нелинейных систем.

1.3. Конечно-элементный алгоритм расчета строительных конструкций с учетом истории возведения.

1.4. Рациональная посадка зданий в условиях сложившейся застройки.

1.5. Определение геометрических параметров плиты, взаимодействующей с двухпараметрическим основанием.

Глава 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ РАВНОПРОЧНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Вариационный принцип механики конструктивно нелинейных систем с ограничениями

2.2. Адаптационные методы определения энергетически равнопрочных систем.

2.3. Энергетически равнопрочные металлические балки.

2.4. Влияние начальной формы на итоговую рациональную структуру.

2.5. Определение рациональных физических и геометрических параметров железобетонной балки.

2.6. Наследственные задачи механики конструктивно нелинейных систем.

2.7. Определение рациональных физических и геометрических параметров опоры путепровода при переменном нагружении.

Глава 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПЛИТНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ.

3.1. Адаптационный метод определения рациональных геометрических параметров пространственной плитно-стержневой системы.

3.2. Пример адаптационного расчета пространственной плитно-стержневой системы.

3.3. Расчет пространственной плитно-стержневой системы с учетом истории возведения.

Глава 4. КОНЦЕПЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА "ЭВОЛЮЦИЯ". ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И

АЛГОРИТМЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение конструктивно нелинейных задач строительной механики адаптационными методами»

Требования к проектируемым сооружениям многообразны: с одной стороны, необходимо обеспечить их достаточную прочность, устойчивость и жесткость, а с другой - добиться предельной легкости и экономичности. В связи с этим, оптимизация проекта является главной целью, по существу, каждого инженера, который стремится создать отдельный элемент, устройство или систему для удовлетворения определенным потребностям. Проблемы оптимизации конструкций давно привлекают большое внимание, и им посвящено значительное число работ, опубликованных в последние десятилетия. Интерес к исследованиям в области оптимального проектирования значительно усилился в связи с быстрым развитием авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения. На основе оптимального проектирования достигается значительное снижение веса летательных аппаратов, строительных конструкций, а также улучшение их механических характеристик. Проблемы оптимизации возникают также при проектировании строительных сооружений. Таким образом, исследования в этой области имеют несомненное прикладное значение.

Проблемы оптимального проектирования имеют и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет при оптимальном проектировании различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач. Отыскание оптимальных форм и структуры упругих тел наталкивается на серьезные математические трудности. Так, в ряде случаев оптимальное проектирование сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами и игровых задач оптимизации, для которых отсутствуют регулярные методы исследования. Известные трудh(x) ности связаны также с тем, что задачи оптимизации упругих тел относятся к числу нелинейных задач механики. Нелинейность этих задач обусловливается нелинейностью условий оптимальности.

Тем не менее, первые задачи оптимизации были решены уже почти четыре века назад. В 1638 г. Г. Галилей [125] ввел понятие равнопрочное™ и определил форму равнопрочной балки. Им рассматривался q i случай изгиба консольной балки (прямо

Р х угольного поперечного сечения постоянной ширины и переменной высоты) под действием сосредоточенной силы, приложенной к свободному концу (рис. 1), и было пока-Рис. 1 зано, что условие равнопрочности выполняется, если высота балки h меняется по параболическому закону. Как оказалось впоследствии, задача о форме балки минимального веса при условии, что нормальные напряжения сх не превосходят заданной величины ао, т.е. ох<оо, сводится к задаче, решенной Г. Галилеем. Таким образом, равнопрочная консольная балка в то же время является балкой минимального веса. Были найдены и другие примеры, когда условие равнопрочности обеспечивает минимальный вес конструкции. Это обстоятельство во многом определило интерес к отысканию равнопрочных конструкций. Однако при дальнейших исследованиях изгиба балок и усложнениях постановок задач выяснилось, что понятия равнопрочности и оптимальности тождественны далеко не всегда. Различные вопросы отыскания оптимальных и равнопрочных форм балок и стержневых систем (при учете собственного веса, кручения и других факторов) рассматривались в работах [1, 50, 85-87, 106, 107, 122, 123, 136, 138, 140, 142, 144, 145, 147, 158].

Существенное развитие теория оптимального проектирования получила в связи с исследованиями задачи отыскания форм сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным весом и выдерживающего без потери устойчивости заданную нагрузку (рис. 2). Эта задача была поставлена Ж. Лагранжем [133], однако полученное им решение оказалось ошибочным.

Оптимальная форма упругого сжатого стержня была найдена Т. Клаузеном [124] (рис. За). При приближении к незакрепленному концу стержня толщина оптимального стержня стремится к нулю, а напряжения сжатия неограниченно возрастают. Для устранения этой особенности Е.Л. Николаи [74, 75] ввел до-/У/J//// /У/)//// полнительное ограничение на Рис.3 величины допустимых напряжений. Полученное в этом случае распределение толщин представлено на рис. 36. В последующих работах [15, 111, 129-131, 143, 146, 159, 160] было проведено подробное исследование данной задачи для различных типов стержней и условий закрепления. При этом рассматривалась как указанная задача минимизации веса балки при фиксированной величине силы потери устойчивости, так и двойственная к ней задача максимизации критической силы при условии, что объем балки задан. В частности, было показано [129], что среди всех стержней выпуклого поперечного сечения оптимальным является стержень, сечение которого представляет собой равносторонний треугольник.

Перечисленные выше задачи оптимального проектирования упругих элементов конструкций обладают той особенностью, что «управляющая» функция, описывающая распределение толщин, входит в коэффициенты уравнения. Данное обстоятельство связано с приближенным характером используемых определяющих уравнении, в которых произведено осреднение по одной из пространственных переменных (толщине). В общем же случае для определения оптимальных форм упругих тел требуется решать задачи, в которых отысканию подлежит сама форма области, где определены уравнения равновесия. Это так называемые задачи с неизвестными границами. По-видимому, первая задача такого типа была поставлена Б. Сен-Венаном [100] в связи с отысканием формы сечения упругого цилиндрического стержня, обладающего максимальной жесткостью при кручении. В [100] было сделано предположение (подкрепленное некоторыми расчетами и сравнениями), что среди сплошных стержней с заданной площадью поперечного сечения стержень круглого сечения обладает максимальной крутильной жесткостью. Доказательству этой гипотезы и близких к ней утверждений был посвящен ряд исследований [79, 149]. Строгое ее доказательство, основанное на использовании теорем о симметризации, было проведено Г. Полиа и Г. Сеге [79]. Широкие возможности для отыскания оптимальных форм дает использование в этих задачах метода возмущений и развитого аппарата теории функций комплексного переменного. Ряд результатов по проблеме оптимизации неизвестных границ [6, 9, 18, 39, 55, 56, 63, 83, 112, 127, 137, 164] получен с применением этих методов сравнительно недавно.

В связи с широким применением в технике и строительстве композиционных материалов в теории оптимального проектирования начали изучаться вопросы оптимизации внутренней структуры упругих тел. К настоящему времени выполнен ряд исследований, в которых рассмотрены задачи оптимального проектирования конструкций из неоднородных материалов и вопросы оптимизации анизотропных свойств упругих тел [3, 10, 12, 14, 17, 25, 27, 43, 70, 71, 76, 77, 131,132].

Обычно в теории оптимального проектирования конструкций предполагается, что внешние воздействия, условия закрепления и свойства материала конструкции известны точно. Ставится задача отыскания формы и внутренней структуры конструкции, доставляющих минимум (или максимум) заданному критерию качества. Естественным усложнением такой детерминированной постановки являются задачи, в которых внешние воздействия и свойства среды известны неточно. Возможны различные математические описания этих задач. При вероятностном подходе прикладываемые нагрузки и свойства среды предполагаются случайными величинами, а минимизируется математическое ожидание веса или другого критерия качества конструкции. При использовании минимаксного (или гарантированного) подхода, характерного для теории игр, считается заданным множество, содержащее все возможные реализации внешних сил, граничных условий и свойств материалов, из которых изготовляется конструкция. Разыскивается форма конструкции и ее внутренняя структура, оптимизирующие критерий качества и обеспечивающие удовлетворение прочностных и геометрических ограничении для всех возможных реализаций сил и других указанных выше факторов [7, 8, 11].

Ряд исследований, выполненных в теории оптимального проектирования, посвящен вопросам многоцелевой оптимизации, в частности проектированию конструкций при подвижных нагрузках. Задачи оптимизации при подвижных нагрузках рассматривались в рамках предельного пластического проектирования М. Савом и В. Прагером [153], а задачи многократного нагружения - Р. Шилдом [156].

В [151] решена простейшая задача многоцелевой оптимизации для упругого трехслойного стержня, поочередно нагружаемого изгибающими и растягивающими усилиями. В проведенных исследованиях предполагалось, что перемещение нагрузок, а также их смена происходят и квазистатическом режиме, и тем самым динамические эффекты исключались из рассмотрения. Нетрудно заметить, что задачи многоцелевой оптимизации и оптимального проектирования при подвижных нагрузках эквивалентны некоторым задачам оптимального проектирования при неполной информации о внешних воздействиях, рассматриваемых в рамках минимаксного подхода. Так решение, полученное В. Прагером и Р. Шилдом [151], можно получить, рассматривая задачу оптимального проектирования стержня в условиях, когда неизвестно, какая именно из указанных двух нагрузок реализуется, и допуская к рассмотрению любую из возможностей. Аналогично в задаче с подвижной сосредоточенной нагрузкой [153] решение не изменится, если считать, что к проектируемой балке приложена постоянная сосредоточенная сила, но точка приложения неизвестна.

Разработке методов исследования и решению конкретных задач многоцелевой оптимизации упругих тел посвящены работы [13, 45, 9699,119,139].

Общим вопросам теории оптимального проектирования конструкций, таким, как исследование условий оптимальности, доказательство существования и единственности оптимальных решений, выделение классов задач, допускающих решение стандартными методами, посвящены работы [9, 16, 64, 83, 120, 128, 140, 150, 152, 154, 155, 157, 161163].

Большая часть исследований в области оптимизации упругих конструкций выполнена с применением классических методов вариационного исчисления. Наряду с широким применением этих методов имеются также работы, основанные на использовании методов теории управления. Так, начиная с работы А.И. Лурье [62], для оптимизации конструкций применяются методы теории оптимального управления, в частности принцип максимума Л.С. Понтрягина [81] (а также [24, 57, 58, 118,

134-136, 148]). Находят приложение и методы теории управления системами с распределенными параметрами [4, 29, 51, 59-61, 63].

Как уже отмечалось, определение оптимальных форм упругих тел сводится к решению нелинейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Нелинейность задач сильно ограничивает возможности применения известных аналитических методов. Среди аналитических методов, предназначенных для решения нелинейных проблем, наиболее общим и широко используемым является метод возмущений. Применение этого метода открывает большие возможности при исследовании задач оптимального проектирования. Метод возмущений позволяет получить простые приближенные формулы и проанализировать зависимость решения от параметров. Эффективность метода возрастает при решении многопараметрических задач, когда численный анализ зависимости решений от параметров затруднителен. Отметим, что в теории оптимального управления метод возмущений используется довольно широко [113]. Приложению метода к решению одномерных и двумерных задач оптимизации конструкций посвящены работы [9, 121, 165].

Сложностью вопросов оптимизации объясняется то, что приблизительно до середины 60-х годов исследования в этой области концентрировались вокруг небольшою числа одномерных задач. Проведение же достаточно общих исследований стало возможно в последующий период в связи с развитием математических методов оптимизации (методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др.) и появлением мощной электронно-вычислительной техники. В настоящее время большая часть исследований по оптимизации упругих тел выполняется с использованием мощных ЭВМ. В связи с этим в ряде работ разрабатываются вычислительные алгоритмы, предназначенные для решения определенных классов задач оптимального проектирования. Основы для создания вычислительных алгоритмов содержатся в теории оптимального управления [26, 53, 54, 81, 115], нелинейном программировании, вариационном исчислении, численных методах оптимизации [67, 68, 114,117].

Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и условий работы конструкции, доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкции при ряде дополнительных ограничений. Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагружение и деформирование конструкции, и требования, предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки, колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и динамические нагрузки, тепловые воздействия), видов управляющих переменных (форма конструкции, распределение физических свойств по конструкции), предположений о степени полноты информации об условиях работы конструкции (задачи с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных также влияет на постановку задач.

Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений, оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения «управлений» в основные соотношения (управление коэффициентами уравнений и границами областей), полноты информации об исходных данных (задачи с полной и неполной информацией) и других обстоятельств.

При создании конструкций из композиционных материалов в распоряжении конструктора имеется широкий спектр переменных проектирования. Оптимальное сочетание материалов, рациональный выбор формы изделия и схемы проектирования может привести к существенному усовершенствованию традиционных проектов.

Для различных конструкций, изготовляемых из композиционных материалов, в качестве управляющих функций и параметров проектирования могут приниматься [21]:

- полная толщина тонкостенной конструкции или толщина слоев различных материалов. Как сама функция распределения толщины по срединной поверхности, так и ее производные должны быть ограничены для применимости моделей тонкостенных конструкций [5, 77, 83, 104];

- углы ориентации армирующих волокон или направления осей анизотропии отдельных монослоев. Кривизна линий укладки волокон должна быть ограничена [5, 52];

- относительное количество монослоев с заданными направлениями укладки. Функции, задающие относительное количество монослоев, положительны, а градиенты их ограничены. Сумма этих функций по всевозможным направлениям укладки в каждой точке равна единице [104];

- коэффициент объемного армирования монослоев, который равен объемному содержанию включений в композите. Коэффициент армирования изменяется в пределах, допустимых технологией изготовления, а градиент распределения этой величины по конструкции ограничен [3, 20];

- количество, толщина, форма и расположение ребер жесткости на поверхности тонкостенного элемента конструкции [89]; функции, определяющие конфигурацию поверхности оболочки [52, 77];

- функции, задающие форму сплошного тела [19]. В таких задачах оптимизации очертание области, в которой определены уравнения состояния, считается неизвестной и подлежит определению из условия экстремальности функционала качества.

По способу вхождения управляющих функций в основные соотношения задачи оптимизации можно разделить на две группы: задачи с неизвестными границами и задачи с неизвестными коэффициентами. В последних от управляющих функций зависят коэффициенты уравнений состояния. Это проблемы выбора оптимальной схемы армирования, толщин тонкостенных конструкций и формы поверхности оболочек. В задачах с неизвестной границей отыскивается оптимальная геометрия сплошных трехмерных тел с заданной внутренней структурой.

Выбор критерия качества и ограничений, которые являются основными функционалами задачи, обусловлен назначением и условиями эксплуатации конструкции. К основным функционалам, определяющим механические свойства конструкции, относятся масса, жесткость, собственные частоты колебаний, критические нагрузки потери устойчивости, прочность. Для элементов конструкций летательных аппаратов большое значение имеют массовые или весовые характеристики. Масса элемента пропорциональна объему, занятому материалом, и линейно зависит от концентрации и плотности фаз. Жесткостные свойства можно охарактеризовать податливостью и локальной жесткостью. Податливость пропорциональна величине работы, производимой внешними силами при квазистатическом нагружении упругого тела, и служит интегральной мерой жесткости. Локальная жесткость определяется как величина обратно пропорциональная максимальному смещению точек конструкции при нагружении. Для тонкостенных конструкций жесткость обратно пропорциональна максимальному прогибу по нормали.

Наряду с задачами максимизации жесткостных свойств, для технических приложений представляет большой интерес отыскание таких схем армирования конструкций, для которых минимально максимальное значение "интенсивности" напряжений.

Существенными элементами постановок задач оптимального проектирования являются выбор модели, управляющих функций функционалов, определенных на функциях состояния (фазовых переменных) и управляющих функциях, выбор одного функционала, подлежащего оптимизации, и системы ограничений, накладываемых на управляющие переменные, функции состояния и рассматриваемые функционалы. Сначала выбираются фазовые переменные и и уравнения

L{h)u = q (1) связывающие эти переменные с физическими и геометрическими параметрами упругого тела и внешними воздействиями. Здесь и={щ(х), ., ит(х)} - вектор-функция, определяющая состояние среды; q={q\, ., qm) - вектор-функция внешних воздействий, причем независимая векторная переменная jc={jcb ., принимает значения из области Q, занимаемой упругим телом. Через L(h) в (1) обозначен дифференциальный оператор по пространственным координатам xt. Оператор предполагается линейным, поскольку в дальнейшем рассматриваются только линейно упругие тела. Коэффициенты оператора зависят от управляющей вектор-функции h={hi(x), ., h„(x)}. Натуральные числа т, п, s заданы.

Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять фазовые переменные, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор управляющих переменных, рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.

Функции hi{x) определяют форму и физические свойства деформируемого тела. В качестве ht{x) могут, например, выбираться распределения толщин и площадей сечений тела, функции, определяющие положение срединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей анизотропии в каждой точке упругого тела.

Кроме функций фазового состояния и управляющих переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют интегральные и локальные характеристики конструкции

Через ft обозначены заданные дифференциальные выражения относительно переменных и и h, а гь г2 - заданные целые числа, причем r]+r2:=r.

Интегрально или посредством комбинации интегралов вида (2) представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частота собственных колебаний, критическая нагрузка, при которой конструкция теряет устойчивость. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений.

2)

J ■ = max ^ /, (х, и{х), h{x)), j=rx+\, ., n+r2.

3)

Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям на управления и фазовые переменные

Д. (4) где Fi и к заданы. В конкретных задачах в качестве неравенств (4) могут выступать ограничения разных типов. К одному типу относятся прочностные условия, сводящиеся к ограничениям на напряжения. В качестве прочностных условий могут рассматриваться, например, условия max,

- ст° < 0 (ст// - компоненты тензора напряжений, а® - заданные положительные константы), ограничивающие в отдельности допустимые значения каждой из компонент тензора напряжений, либо условие max, giOjj)-к <0, представляющее собой критерий перехода среды в пластическое состояние (к - константа пластичности, g(cTy) в теории Ми-зеса - второй инвариант тензора напряжений). К другому типу относятся ограничения на упругие перемещения, вытекающие из геометрических или жесткостных требований, предъявляемых к конструкции. К локальным ограничениям также относится двустороннее неравенство §! < h(x) < S2 (5i<82 - заданные константы), накладываемое на распределение толщин в некоторых задачах оптимального проектирования упругих балок и пластин, которое может быть записано в форме (4) либо в виде системы неравенств max.,. h -S2 < 0, Sj-min^A^O, либо в виде одного неравенства maxx(h -bx)(h -82) < 0.

Примерами ограничений на интегральные функционалы (ограничений интегрального типа) могут служить изопериметрическое условие постоянства объема пластинки jhdx = V, а также ограничение на ее податливость Jwqdx -с < 0. Здесь q - поперечная нагрузка, w - функция прогибов, Кис - заданные положительные константы. Интегрирование ведется по области, занимаемой пластинкой.

В качестве оптимизируемого функционала принимается один из рассматриваемых функционалов вида (2), (3) или их функция, т. е.

J=F(Ju.,Jr) (5)

Задача оптимизации (1) - (5) заключается в отыскании функции h(x), доставляющей минимум (максимум) функционалу (5) и удовлетворяющей условиям (1) - (4).

Большую роль при выборе модели и формулировке задачи играет априорная информация о свойствах искомого решения. Информация о модели и знание принципиальных свойств ее решения позволяют при постановке задач оптимизации выделить существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить имеющимися численными или даже аналитическими методами. Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании относится к хорошо изученным моделям. Часто, однако, оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого оптимального решения и задача оптимизации оказывается сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решавшихся задач оптимизации форм пластин искомое распределение толщин обладало большими градиентами, что нарушает предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие известные особенности связаны с появлением на оптимальных решениях нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении отклонений от модели или нарушении других, не учтенных в задаче, условий требуется введение в постановку задачи дополнительных ограничений, например, в задаче об изгибе пластинки -дополнительных ограничений на толщины. Таким образом, постановка оптимизационной задачи связана с процессом ее решения, и это неявно предполагается в теории оптимального проектирования.

При формулировке и решении задач оптимального проектирования используются два основных подхода: континуальный и дискретный. Континуальный подход основан на непрерывном пространственном описании конструкций. При этом функции состояния (перемещения, деформации, напряжения) и переменные проектирования представляются как функции координат. Переменные проектирования в континуальном подходе иногда называются также управляющими функциями. В качестве оптимизируемых критериев принимаются интегральные и локальные функционалы, зависящие от функций состояния и переменных проектирования. Механические характеристики конструкций, на значения которых наложены ограничения, иногда для удобства также записываются в виде функционалов от переменных состояния и проектирования. Кроме того, на переменные проектирования накладываются ограничения, выражающие требования технологии и адекватности принятой модели описания конструкции. От переменных проектирования могут зависеть коэффициенты уравнений, описывающих поведение конструкции, или форма занимаемой ею области пространства. Решение прямых задач расчета напряженно-деформированного состояния позволяет находить переменные состояния при фиксированных управляющих функциях и затем вычислять требуемые механические характеристики элемента конструкции. Исследование вопросов оптимального проектирования проводится с применением методов оптимизации систем с распределенными параметрами и вариационного вычисления. Отыскание переменных проектирования сводится к решению краевых задач для системы уравнений состояния, сопряженных уравнений и условий оптимальности.

Дискретный подход основан на конечномерном описании конструкции, т.е. представлении ее в виде конечного числа взаимосвязанных элементов. Переменные состояния аппроксимируются выражениями, зависящими от набора неизвестных параметров. Эти параметры находятся из решения матричных уравнений состояния. Матричные уравнения обычно получаются при помощи стандартных процедур метода конечных элементов или непосредственной дискретизацией дифференциальных уравнений. Переменные проектирования, в свою очередь, выражаются при помощи конечного набора параметров, от которых зависит величина функции цели. Функция цели представляет собой конечномерный аналог функционала качества. Определение значений параметров проектирования, доставляющих экстремум функции цели, осуществляется методами математического программирования.

К преимуществам континуального подхода следует отнести возможности использования дифференциальных уравнений механики деформированного твердого тела и получения точных аналитических решений, рассматриваемых в качестве эталонных при применении численных методов, широкую механическую интерпретацию получаемых результатов. Континуальные методы позволяют проводить качественный анализ проектов и представлять оптимальные решения в удобной аналитической форме. С другой стороны, дискретный подход, ориентированный на вычисление с помощью ЭВМ, при существующих развитых численных методах позволяет получать решения задач высокой размерности.

В случае континуальной постановки задачи рассматривается область занимаемая материалом конструкции, задается система дифференциальных уравнений напряженно-деформированного состояния конструкции

Lu = q (6) с краевыми условиями на границе

Nu\r = 0. (7)

Здесь й(х) = {и1(х),и2(х),.,ип(х)}, dimй = п - вектор обобщенных переменных состояния, включающий перемещения, деформации, напряжения и их производные; q(x) = {q{(x), q2(x),., qm(x)}, dimg = m - вектор обобщенных нагрузок; L = [Ltj], N - [Ntj],i= 1,2, .,«; j= 1, 2, матрицы, компонентами которых являются дифференциальные операторы Ly и Ny. Коэффициенты этих операторов зависят от управляющих функций h(x) = {hx(л;),h2(*),.,hs(x)}. Вектор управлений принадлежит допустимому множеству D: h eD . Принимается, что при любом h е D краевая задача имеет единственное решение й(х), которое может быть охарактеризовано набором интегральных и локальных функционалов: J = J[u, h] = {j0[u, h\Jl[u,h\.,Jl[u, /г]} (8)

Рассматривается задача оптимизации h] —> min^ (9) при ограничениях

J№,h]<c, (10)

Задача (6).(10) относится к классу задач оптимизации систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными. Основным моментом, важным для применения как аналитических, так и численных методов, является вывод условий оптимальности и соотношений анализа чувствительности. Под условиями оптимальности понимают систему уравнений, которой должны удовлетворять переменные проектирования оптимальной конструкции. Условия оптимальности, как правило, представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения, связывающие управляющие функции, переменные состояния и сопряженные функции. Вместе с уравнениями состояния и уравнениями для сопряженных переменных условия оптимальности образуют замкнутую нелинейную краевую задачу относительно переменных состояния и проектирования и сопряженных функций.

В ряде случаев удается решить уравнения нелинейной краевой задачи и аналитически определить оптимальное решение. Однако надеяться на получение точных аналитических решений, возможно не всегда, поэтому представляет особый интерес разработка эффективных приближенных и численных методов. В этих условиях формулы анализа чувствительности являются той основой, на которой строятся процедуры решения. Соотношения анализа чувствительности связывают вариации функционалов с вариациями переменных проектирования. Роль этих соотношений и условий оптимальности многогранна. Во-первых, сам вид условий оптимальности часто обеспечивает получение априорной информации о свойствах оптимального решения. Во-вторых, условия оптимальности и формулы чувствительности позволяют определять улучшающие вариации и естественно приводят к градиентным методам оптимизации. В-третьих, критерий уменьшения невязки в выполнении условий оптимальности применяется для контроля сходимости итерационных процессов. Сказанное свидетельствует о важности исследования и получения конструктивных формул чувствительности и условий оптимальности.

Одним из методов вывода условий оптимальности и формул чувствительности в задаче с неизвестными коэффициентами в случае континуальной постановки является метод неопределенных множителей Лагранжа. В данном случае интегральный функционал задачи оптимизации имеет вид:

В соответствии с общим правилом составляется расширенный функционал Лагранжа: т ( п ^

JL(u,h;v,X) = j2>, ^NyUj ri=i \j=i Q dT; m f n ^ i=О /=1 V -/=1 причем множители Лагранжа X г (0 < / < /) удовлетворяют требованиям неотрицательности

Я,,- > 0,/ = 0,1,2,.,/ (11) и условиям дополнительной нежесткости

А,,(./,-с,) = 0,/ = 0,1,2,.,/. (12)

Здесь, vz =v;(x), (/ = 1, 2, ., m) - сопряженные переменные. Множители Лагранжа определяются из (11), (12) с точностью до одного произвольного коэффициента и, если задача оптимизации не вырожденная, их можно выбрать так, чтобы Х0 = 1. При этом вариация функционала Лагранжа bJL, будет равна условной вариации Ы0 функционала качества J0. Вариации функционалов J. (/ = 0, 1, 2, .,/) и уравнения в вариациях имеют вид: дй dh dQ.,

L{h)bu+M{u,h)bh=0\

N(h)bu + Т(й, h)bh = 0. Выражая вариацию функционала Лагранжа, через вариации управляющих функций, получим окончательное выражение bJL = ]бА Q

У хМ+м-v

U dh dQ+ jdhfvdr. г

Данное соотношение известно как формула анализа чувствительности, поскольку с его помощью можно определять вариации функционала при малом изменении переменных проектирования. На основе данного соотношения, представляющего собой скалярное произведение вариации вектора переменных проектирования 5h на вектор градиента функционала bJL (при Т • v = 0), строятся различные оптимизационные процедуры, поскольку по данному выражению вычисляется и вариация функционала качества JQ.

Задачи оптимизации конструкций относятся к числу нелинейных задач механики, для которых отсутствуют общие аналитические методы решения. Поэтому развитие теории оптимального проектирования и эффективные аналитические методы решения прикладных задач связаны с разработкой вычислительных алгоритмов и программ для ЭВМ. Подход, заключающийся в дискретизации задачи оптимизации, и является основой построения численных методов решения задач. Дискретный подход предполагает замену непрерывной конструкции ее дискретным аналогом. При этом физическая область задачи делится на подобласти, или конечные элементы. Непрерывные функции состояния й(х) аппроксимируются базисными функциями определенного вида ui (х), 1 < i < N на каждом конечном элементе во всей области, причем коэффициенты этих аппроксимаций Ul,(1 </<N)становятся искомыми векторами состояния.

В методе конечных элементов они называются узловыми векторами.

Непрерывные управления - переменные проектирования h(x) - также . Q ~ аппроксимируются некоторыми функциями \(х), h(x) = ^yjti(x)Hi,

1 <i<Q). Коэффициенты аппроксимаций образуют вектор параметров проектирования Н1, (1 < i < S, S < Q). Подстановка аппроксимаций функций состояния yyui(x)Ui в определяющие уравнения или использование вариационных принципов дает систему алгебраических уравнений относительно параметров состояния; коэффициенты матрицы системы зависят от переменных проектирования Н{. Решение этих уравнений дает действительные значения параметров состояния Ut и, следовательно, позволяет приближенно определить функции состояния ^ul(x)U[ = и(х).

Зная приближенно функции и(х), можно вычислить значения основных функционалов задачи. Для этого в рассматриваемые функционалы подставляются аппроксимации функций состояния и вычисляются значения функционалов как функции параметров Ut и Ht. В итоге оптимизация сводится к решению задачи нелинейного программирования.

При решении задач нелинейного программирования предполагается, что конструкция условно разделена на конечные элементы; уравнения, приближенно описывающие напряженно-деформированное состояние, записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений fjLij(Hl,.,Hs)Uj=qi, (13)

7=1 где Ltj = Ly {Нх,., Hs), (1 < i < М, 1 <j<N) - коэффициенты матрицы системы, зависящие от компонент вектора параметров проектирования Н = {Я,,H2,.,HS}; qt- коэффициенты вектора внешних воздействий. Система уравнений (13) имеет решением вектор U = {UliU2,.,UN), компоненты которого естественно также зависят от Н, т.е. U -U(Н). Это решение может быть охарактеризовано набором функций, полученных подстановкой в (8) аппроксимаций функций состояния

Jj N

YfiiWJt, i=1 i=l где Fj = Fj (U), fj = fj (H), (0 <j < Г) - значения основных функционалов задачи на аппроксимациях функций состояния и проектирования как функции параметров U и Н соответственно. Эти функции являются эквивалентами основных функционалов задачи при использовании дискретного подхода. Соответствующая задача оптимизации состоит в нахождении вектора Н, доставляющего минимум целевой функции

0(Я)=/0(Я1,.:.,Я5)^шшя (14) при ограничениях fi(H) = fi(Hl,.,Hs)<ci; i=l, 2, ., /ь

15) fi(H) = fi(Hl,.,Hs) = ci; i= h+l,.,/; Задача (14).(15) является общей задачей нелинейного програмирования. Следует только заметить, что функции fi (0 < / < /) в оптимальном проектировании конструкций почти никогода не задаются явными аналитическими формулами, и для их построения необходимо приближенно вычислять напряженно-деформированное состояние.

Основной проблемой, возникающей при использовании численных методов решения оптимизационных задач, является создание алгоритма построения минимизирующей последовательности [41, 84]. В вариационном исчислении и оптимальном управлении под минимизирующей последовательностью понимается последовательность управляющих функций, таких, что соответствующие значения оптимизируемого функционала сходятся к экстремальной величине.

Одним из эффективных алгоритмов является метод последовательной оптимизации [5]. В этом методе осуществляется построение минимизирующей последовательности параметров проектирования с использованием соотношений анализа чувствительности и условий оптимальности континуальной задачи, аппроксимированных в соответствии с заранее выбранной дискретизацией конструкции. Метод последовательной оптимизации носит итерационный характер. На каждой итерации осуществляется расчет напряженно-деформированного состояния конструкции (прямая задача) методами конечных или граничных элементов на разностных сетках, затем по градиентным формулам производится варьирование параметров проектирования. Если норма вектора градиента, т.е. невязка в выполнении необходимых условий оптимальности, не стала меньше некоторого достаточно малого фиксированного числа, то осуществляется следующая итерация. Этот метод использует необходимые условия первого порядка, скорость его сходимости (характерная для градиентных методов) порядка скорости сходимости геометрической прогрессии. Разработаны также варианты метода последовательной оптимизации, в которых для получения градиентов угловой функции используются не дискретизированные условия оптимальности, а непосредственно вычисленные производные матриц системы Ltj (Я) из (13).

Для решения задач оптимизации с ограничениями типа равенств эффективным оказывается вариант метода проекции градиентов, идея которого принадлежит Розену.

Рассматривается задача оптимизации J0[u,K\-±mmh\

16)

А]<0;/=1,2,.,/.

Определим е - активные ограничения, т.е. такие, которые с точностью до параметра ек > 0 обращаются в равенства 1к = {г,^[ик,}гк]>- ek, \<i<l}

Линеаризируя функционал J0 и е - активные ограничения в точке hk и найдем направление изменения параметров проектирования, которое является допустимым для линеаризованной задачи и приводит к наиболее быстрому убыванию функционала J0. Допустимым является направление, для которого достаточно малый шаг изменения параметров проектирования не нарушает неравенств (16). В качестве допустимого для осуществления вариации параметров проектирования можно выбрать направление проекции антиградиента на многообразие Qk, задаваемое при помощи линеаризованных активных ограничений = {Я; (V/„ Я) <; 0-,ielk}. Данный вариант метода проекции градиентов относится к методам возможных направлений [80]. В этих методах каждая новая реализация переменных проектирования удовлетворяет системе неравенств (16).

В некоторых задачах оптимизации при наличии большого числа ограничений алгоритмы проекции градиентов становятся неэффективными. Опыт показывает, что для решения оптимизационных задач, на каждом шаге которых требуется большой объем вычислений, целесообразно применять алгоритмы, основанные на принципах методов штрафных функций.

Идея метода штрафных функций заключается в замене задачи условной оптимизации (16) последовательностью задач безусловной оптимизации {п — 1, 2, 3, .)

J[u, A,e„]->minA;

J[u, h,cn]=J0[u, к]+Ф(е~1 Jx[u, h],., e^1 Jx[u, h]), где Ф = ,s2,.,sl) - функция штрафа; e„ —» 0 - при n —» oo. Натуральное число n обозначает номер задачи безусловной оптимизации.

Среди методов штрафа различают методы внутренние (называемые еще барьерными), когда любое приближение для переменных проектирования h лежит строго внутри допустимого множества (Jt{u, К) < 0, i= 1, 2, .,/), и внешние, когда в процессе решения участвуют и недопустимые точки, в которых ограничения нарушаются. В ряде задач оптимального проектирования применяются комбинированные методы с функциями штрафа. В этих методах допускаются контролируемые нарушения части ограничений в процессе поиска оптимального проекта. Например, могут быть превзойдены пределы изменений частот колебаний, жесткости, сил потери устойчивости. Относительно другой части аналогичные нарушения не допускаются, так как это приводит к определенным некорректностям, таким как отсутствие решения прямой задачи. Недопустим выход за пределы геометрических и структурных ограничений: толщина каждого из монослоев композита, радиус кривизны параллели оболочки вращения, плотность материала должны быть всегда положительными.

Рассматривая развитие методов оптимизации, прослеживается их ориентация, особенно в последнее время, на использование вычислительной техники, получая при этом решения задач высокой размерности. Это в значительной степени стало возможным благодаря развитию и широкому распространению метода конечных элементов.

В настоящее время метод конечных элементов занимает ведущее место в инженерных расчетах. Впервые МКЭ появился, как видоизменение процесса Ритца, разработанного в статье Р. Куранта [125]. Современная трактовка МКЭ базируется на методах сплайн-функций, которые применяются в качестве координатных функций при решении краевых задач математической физики приближенными методами Бубнова-Галеркина, Ритца, Трефтца, коллокаций и др. Сплайнами называют функции, которые склеены из различных кусков многочленов по фиксированной системе [2, 47, 101]. Наиболее простой и исторически самый первый пример сплайна - ломаная, составленная из прямолинейных отрезков.

Существует обширная литература, посвященная исследованию МКЭ, включающая монографии [22, 28, 30, 42, 46, 48, 49, 65, 72, 78, 82, 91—95, 102, 105, 116 и др.] и большое количество статей. Такая популярность метода, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации, математической сути и гибкостью алгоритма. Наиболее распространен МКЭ в форме метода Ритца. Классический подход в решениях задач механики имеет два существенных недостатка. Во-первых, построение координатных функций возможно для некоторых несложных областей и, во-вторых, матрица Ритца является полностью заполненной и зачастую плохо обусловлена. В МКЭ координатные функции выбираются в виде локальных сплайнов и вычисляются очень просто для областей общего вида. Основная особенность МКЭ состоит в том, что координатные функции финитны, т.е. обращаются в нуль повсюду, кроме некоторого числа подобластей, на которые разбивается заданная область. Применение сплайн-аппроксимации влечет за собой разреженность и ленточную структуру матрицы Ритца, устойчивость процесса решения системы линейных алгебраических уравнений.

В предлагаемой диссертации при определении рациональных величин параметров структуры механической системы будет использоваться конечно-элементный подход. При этом для расчетов стержневых, плитно-стержневых систем, плоской задачи теории упругости, двухпа-раметрического основания будут использованы хорошо известные конечные элементы, применение которых на сегодняшний день не вызывает никаких сомнений в полученных результатах.

На протяжении всего изложения мы будем пользоваться такими общими философскими понятиями, как система, элемент, структура, которые идут непосредственно от категорий "целое и часть" и "вещь и отношение" и используются во всей совокупности наук, характеризуя и материальные объекты, и создаваемые нами образы, модели, схемы этих объектов. Несмотря на широкое использование в строительной науке понятий система, элемент, структура приведем общепризнанные определения этих терминов.

Система (греч. systema - целое, составленное из частей) - множество закономерно связанных друг с другом элементов, представляющее собой определенное целостное образование. Для наших целей в узком смысле определения - конструкция, сооружение, составленные из твердых деформируемых тел.

Элемент (от лат. elementum - стихия, первоначальное вещество) -составная часть чего-либо. По тексту - часть конструкции, сооружения, стержня, пластины, оболочки, массива и т.д.

Структура (лат. structura) - взаиморасположение и связь составных частей чего-либо, строение, устройство. При конкретизации этого термина для строительной механики под структурой будем понимать геометрию формы сооружения, физические характеристики материала, способ соединения - характер связей элементов в конструкции или сооружении.

Житейское понимание формы как внешнего вида, очертаний предмета, фигуры в пространстве по Гегелю называют внешней формой. Например, в геометрии линия, ограничивающая фигуру на плоскости или поверхность, ограничивающая тело в пространстве и т.п. Более глубокое определение формы - внутренней формы неразрывно связано с понятием содержания и применяется при анализе процесса развития сложных систем, обладающих внутренней организацией и взаимодействующих с другими системами. Именно такое глубинное определение формы системы будет использовано в дальнейшем.

Функционирование системы, взаимодействующей с внешней средой, предполагает, что все ее элементы выполняют определенные, согласованные друг с другом функции. Так, например, элементы здания наряду с главнейшей своей функцией обеспечивать общие требования по прочности, жесткости, устойчивости при различных внешних воздействиях, имеют и свои существенно дифференцированные функции. Например, наружные стены должны обеспечивать необходимую теплозащиту, иметь проемы для достаточной освещенности внутренних помещений, а покрытие сооружения или фундаментная часть гидроизолиру-ются; стены, перегородки, перекрытия должным образом обеспечивают звукоизоляцию и т.д. Различное функциональное назначение элементов системы предопределяет и их различие, т.е. система при анализе расчленяется на части не только по субстратному, материальному признаку, но и по функциональному. Именно поэтому, крайне важна приоритетность или иерархия требований к элементам и структуре системы. Например, плиты покрытия имеют необходимый водонепроницаемый слой, но обладают недостаточной несущей способностью. Результат - разрушение, авария, катастрофа. Наоборот, для правильно запроектированных плит по прочности, но пропускающих влагу необходимо нанести новый гидроизоляционный слой. Сопоставляя последствия, мы приходим к выводу, что первым, главнейшим требованием в иерархии будет обеспечение прочности. Неудобно и противно жить в доме с плохой звукоизоляцией и невозможно жить в разрушенном доме.

Требования прочности, жесткости, устойчивости при проектировании сооружений являются приоритетными. При этом возникают такие вопросы - как организовать наилучшим образом структуру системы, т.е. как изменять геометрию и физические параметры, получая при этом наивысшую сопротивляемость? Каков критерий отбора проектов рациональных несущих конструкций? Может ли быть внешне нелепая конструкция рациональной?

Разработке общих принципов и методов определения рациональных систем, обладающих наивысшей сопротивляемостью внешним воздействиям посвящена настоящая работа. При этом предусматривается разрешение вопросов многоцелевой программы - от элементарных понятий, определений, методов, приемов, которые можно использовать в учебных курсах, до ознакомления с общими научными и методическими идеями при проведении научно-исследовательской и проектной работы.

Само тройственное общефилософское понятие система - элемент - структура удивительным образом ложится на хорошо подготовленный и широко используемый математический аппарат решения задач математической физики методом конечных элементов. При чтении этой работы любой специалист в области инженерных расчетов и сооружений поймет, что известные вычислительные комплексы МКЭ при определенной доработке могут быть в полной мере использованы при решении рассматриваемого класса задач.

Для определения рациональных физических и геометрических параметров структуры механических систем в диссертации использованы общие вариационные принципы и адаптационные методы, разработанные проф. Васильковым Г.В. [31-33]

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 165 наименований и двух приложений. Полный объем диссертации 145 стр., включая 72 рисунка и 2 таблицы. Основной текст (без оглавления, списка литературы, рисунков, таблиц и приложений) излагается на 93 страницах машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Холькин, Сергей Александрович

Заключение

1. На основе вариационных принципов механики конструктивно нелинейных систем разработаны варианты адаптационного метода, позволяющего решать конструктивно нелинейные задачи по физическим и геометрическим параметрам структуры системы.

В частности были решены следующие задачи:

• определение рациональных геометрических параметров плиты, взаимодействующей с деформированным основанием;

• определение положения нагрузки на сооружение;

• определение оптимальной формы металлических конструкций, а также формы и армирования для железобетонных конструкций нагруженных в своей плоскости.

2. Разработан алгоритм адаптационного метода, позволяющего определять рациональную структуру системы при варьировании внешних воздействий. Решены следующие задачи наследственного типа:

• определение рациональной формы ленточного фундамента при варьировании модуля упругости среды, при многоступенчатом нагружении;

• определение рациональной формы и армирования опоры путепровода при многоступенчатом переменном нагружении;

3. Разработана методика определения геометрических параметров плитно-стержневых систем на деформируемом основании (размеры сечений стержней, толщины фундаментных плит и плит перекрытия).

4. Разработана методика выбора последовательности возведения и построен алгоритм расчета с историей возведения плитно-стержневой пространственной системы, взаимодействующей с деформируемым основанием.

117

5. Создан программно-вычислительный конечно-элементный комплекс "Эволюция", реализующий разработанные теоретические положения и алгоритмы. Программное средство разработано на основе концепций объектно-ориентированного программирования в среде Borland Delphi 5 и работает под управлением операционной системы Windows.

Разработанные методики решения проектных задач строительной механики позволяют получить рациональные параметры несущих элементов конструкций и сооружений при решении прикладных задач. Предложенные методики алгоритмы и программное средство использованы в учебном процессе (34), используются при выполнении научно-исследовательских работ студентами строительного факультета, при чтении спецкурса по строительной механике, и могут быть реализованы при реальном проектировании.

Полученные в диссертации результаты - методики, алгоритмы и программы, реализующие их, - могут быть использованы в системах автоматизированного проектирования, конструирования и технологической подготовки строительного производства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Холькин, Сергей Александрович, 2002 год

1. АбгаряиК.А. К теории балок минимального веса. В кн.: Расчеты на прочность. - М.: Машгиз. - 1962. - вып. 8. - С. 136-151.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

3. Аннин Б.Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных неоднородных тел. Третий национальный конгресс по теоретической и прикладной механике. Болгария, Варна. - 1977. - С. 275280.

4. Арман Ж.-Л. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир. - 1977. - 142 с.

5. БаничукН.В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986.-304 с.

6. БаничукН.В. Задача оптимизации формы отверстия в пластинке, работающей на изгиб. Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. - № 3. - С. 8188.

7. Баничук Н.В. Некоторые задачи оптимального проектирования балок для классов сил. Изв. АН СССР. МТТ. - 1973. - № 5. - С. 102110.

8. Баничук Н.В. Об игровом подходе к задачам оптимизации упругих тел. ПММ. - 1973. - т. 37. - вып. 6. - С. 1098-1108.

9. БаничукН.В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и определении оптимальных форм упругих тел. ПММ. - 1975. - т. 39. - вып. 6. - С. 1082-1092.

10. БаничукН.В. Об одной задаче на экстремум для системы с распределенными параметрами и определении оптимальных свойств упругой среды. ДАН СССР. - 1978. - т. 242. - № 5. - С. 1042-1045.

11. БаничукН.В. Об одной игровой задаче оптимизации упругих тел. -ДАН СССР. 1976. - т. 226. -№ 3. - С. 497-499.

12. БаничукН.В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней. Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 4. - С. 73-79.

13. БаничукН.В. Оптимальное проектирование в одномерных задачах изгиба для фиксированных и подвижных нагрузок. Изв. АН СССР. МТТ. - 1974.-№5.-С. 113-123.

14. БаничукН.В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред в плоских задачах теории упругости. Изв. АН СССР. МТТ. -1979. -№ 1.- С. 71-77.

15. БаничукН.В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой. Изв. АН СССР. МТТ. - 1974.-№ 4. - С. 150-154.

16. БаничукН.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980, 256 с.

17. БаничукН.В. Оптимизация формы и распределения модулей упругих тел. Труды 14-го югосл. конгр. по теорет. и прикл. механике. -Порторож. - 1978. - С. 319-326.

18. БаничукН.В. Условия оптимальности в задаче, отыскания форм отверстий и упругих телах. ПММ. - 1977. - т. 41. - вып. 5. - С. 920925.

19. БаничукН.В., ВельскийВ.Г., КобелевВ.В. Оптимизиция в задачах теории упругости с неизвестными границами. // Изв. АН СССР. МТГ, 1984. №3,- С. 46-52.

20. БаничукН.В., КобелевВ.В. Об оптимальной пластической анизотропии. // Прикл. мат. и мех. 1987. т. 51. вып 3. С. 489-495

21. БаничукН.В., КобелевВ.В., РикардсР.Б. Оптимизация элементов конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988,224 с.

22. БатеК., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат. - 1961 - 537 с.

23. Бердичевский B.J1. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 447 с.

24. Бирюк В.И., Моисеенко В.П. О применении дискретно-непрерывного принципа максимума к задачам оптимального проектирования конструкций. Учен. зап. ЦАГИ. - 1973. - т. 4. - № 4.

25. Болотин В.В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов, В кн.: Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение. - 1966. —вып. 12.-С. 3-31.

26. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир. - 1972. - 544 с.

27. Брызгалин Г.И. К рациональному проектированию анизотропных плоских тел со слабым связующим. Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. -№4.-С. 123-131.

28. Бурман З.И. и др. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методами конечных элементов с применением ЭЦВМ. Казань.: Изд. КГУ. - 1973-567 с.

29. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. - 1965. - 568 с.

30. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий А.С. и др. Метод конечных элементов. К.: Вища школа - 1981. - 176.

31. Васильков Г.В. Новые вариационные принципы механики конструктивно нелинейных систем. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. - Естественные науки. - 2001 №1.

32. Васильков Г.В. О вариационных принципах и методах определения энергетически равнопрочных систем. // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. - Естественные науки. - 2002. №2.

33. Васильков Г.В. Теорема об изменении потенциальной энергии механической системы при добавлении новых связей // Изв. вузов, Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. - №4.

34. Васильков Г.В., Холькин С.А. Адаптационные методы определения энергетически равнопрочных систем. // Известия ВУЗов. Строительство. Новосибирск. - 2002

35. Васильков Г.В., Холькин С.А. Адаптационные методы решения наследственных задач определения рациональной структуры сооружения. // Сборник докладов IV Всероссийского семинара «Проблемы оптимального проектирования сооружений». Новосибирск: НГАСУ - 2002.

36. Васильков Г.В., Холькин С.А. О решении проектных задач строительной механики. Ростов н/Д: РГСУ. - 2001. Деп. в ВИНИТИ 19.06.01, № 1461- В2001

37. Васильков Г.В., Холькин С.А. О решении проектных задач строительной механики с учетом генезиса конструкций и сооружений. // Известия ВУЗов. Строительство. Новосибирск. - 2001 № 7.

38. Вигдергауз С.Б. Об одном случае обратной задачи двумерной теории упругости. ПММ. - 1977. - т. 41. - вып. 5. - С. 902-908.

39. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966.-300 с.

40. ГиллФ., МюррейУ., РайтМ. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

41. Городецкий А.С., Здоренко B.C. Расчет железобетонных балок-стенок с учетом образования трещин методом конечных элементов. //Сопротивление материалов и теория сооружений, Вып XXVII. К.: Буд1вельник. - 1975-с. 59-66.

42. Григорович В.К., Соболев Н.Д., Фридман Я.Б. О наивыгоднейшем направлении волокон и изделиях из анизотропных материалов. -ДАН СССР. 1952. - т. 86. - № 4. - С. 703-706.

43. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970.-328 с.

44. Гура Н.М., Сейранян А.П. Оптимальная круглая пластинка при ограничениях по жесткости и частоте собственных колебаний. Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. - № 1. - С. 13 8-145.

45. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир. - 1976. - 93 с.

46. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука. 1980. -352 с.

47. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. -1975. 541 с.

48. Зенкевич О. Морган. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир.- 1986.-318 с.

49. Иеги Э.М. Оптимальная конструкция и ее проектирование Труды Таллиннского политехи, ин-та. - 1967. - № 257. - с. 63-85.

50. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.: Мир. - 1975. - 160 с.

51. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из ар-мир. пластмасс. М.: Машгиз, 1965. 272 с.

52. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. - 1968. - т. 1. - С. 179-244.

53. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука.1968.-476 с.

54. Куршин JI.M. К задаче об определении сечения стержня максимальной крутильной жесткости. ДАН СССР. - 1975. - т. 223. - № 3. -С.585-588.

55. Куршин JT.M., Оноприенко П.Н. Определение форм двусвязных сечений стержней максимальной крутильной жесткости. ПММ. -1976. - т. 40. - вып. 6. - С. 1078-1084.

56. Лепик Ю.Р. Применение принципа максимума Понтрягина в задачах прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций. -В кн.: Механика. -М.: Мир. 1974. -№ 6. - С. 126-141.

57. Лепик Ю.Р. Применение принципа максимума Понтрягина для оптимального проектирования цилиндрических оболочек из жестко-пластического материала. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. - М.: Наука - 1975. - С. 340-349.

58. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. - 1972. - 414 с.

59. Литвинов В.Г. Некоторые вопросы оптимизации пластин и оболочек. Прикладная механика. - 1972. - т. 8. - № 11. - С. 33-42.

60. Литвинов В.Г. Некоторые обратные задачи для изгибаемых пластин. ПММ. - 1976. - т. 40. - вып. 4. - С. 682-691.

61. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики. Труды Ленингр. политехи, ин-та. - Л.; М.: Машиностроение. - 1965. - № 252. - С. 34-46.

62. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука. - 1975. - 480 с.

63. Лурье К.А., Черкаев А.В. О применении теоремы Прагера к задаче оптимального проектирования тонких пластин. Изв. АН СССР. -МТТ. - 1976. - № 6. - С. 157-109.

64. Мавлютов P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. -М.: Наука. 1981. - 141 с.

65. Маркин С.Г. Определение рациональных геометрических параметров в рамных системах. Ростов н/Д: РГСУ. - 2001. Деп. в ВИНИТИ 29.05.01, № 1372-В2001

66. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука.- 1970.-512 с.

67. Моисеев Н.Н. Численные методы и теории оптимальных систем. -М.: Наука. -1971. -424 с.

68. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 351 с.

69. Муштари Х.А. Теория изгиба пластинок минимального веса из композитного материала. Прикладная механика. - 1967. - т. 3. - № 4. -С. 1-7.

70. Немировский Ю.В. Рациональное проектирование армированных конструкций с точки зрения прочности и устойчивости. Всесоюз. межвуз. сб. «Прикладные проблемы прочности и пластичности». -Горький. - 1977. - вып. 6. - С. 70-80.

71. Нерри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир,- 1981.-304 с.

72. Нестеров И.В. Решение плоской задачи теории упругости по МКЭ на адаптивных сетках. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М. 1993. 108с.

73. Николаи E.JI. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн. Изв. Петербург, политехи, ин-та. - 1907. - т. 8.

74. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат. - 1955. - 584 с.

75. Образцов И.Ф., Васильев В.В. Некоторые вопросы расчета и проектирования оптимальных конструкций из ориентированных стеклопластиков. Труды Моск. авиац. ин-та. - 1971. - вып. 180. - С. 201— 216.

76. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение. - 1977. - 144 с.

77. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, - 1976, 464 с.

78. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз. - 1962. - 336 с.

79. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1984. - 384 с.

80. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука. 1969. - 384 с.

81. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение. - 1974. - 342 с.

82. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир. - 1977. - 111 с.

83. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 342 с.

84. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. М.: Трансжелдориздат. - 1933.

85. Рабинович И.М. Стержневые системы минимального веса. В кн.: Труды II Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике: Обзорные доклады. - М.: Наука. - 1966. - вып. 3. - С. 265-275.

86. Радциг Ю.А. Статически неопределимые фермы наименьшего веса. Казань: Изд-во Казан, ун-та. - 1969. - 287 с.

87. Радциг Ю.А., Колу паев А.Н. Зеркальные функции и их применение при решении задач строительной механики. М.: СИ, 1980. 166 с.

88. Рикардс Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых цилиндрических оболочек из композитов, работающих на устойчивость при внешнем давлении. // Механика композ. матер. 1980. №3. С. 468475.

89. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1978. 223 с.

90. Розин Л .А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.-Л.: Стройиздат. 1977. - 129 с.

91. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Л.: Энергия. - 1971.-214 с.

92. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд. Ленинград, ун-та. - 1976.

93. Розин Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем. Л.: Изд. ЛГУ. - 1986. -276 с.

94. Сахаров А.С. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. К.: Вища школа. - 1982. - 479 с.

95. Сейранян А.П. Исследование экстремума в оптимальной задаче о колебаниях круглой пластинки. Изв. АН СССР. МТТ. - 1978. - № 6.-С. 113-118.

96. Сейранян А.П. Квазиоптимальные решения задачи оптимального проектирования с различными ограничениями. Прикладная механика. - 1977. - № 6. - С. 18-26.

97. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости. -Изв. АН СССР. МТТ.- 1976.-№ 1.-С. 147-152.

98. Сейранян А.П. Упругие пластины и балки минимального веса при наличии нескольких видов изгибающих нагрузок. Изв. АН СССР. МТТ. - 1973. -№ 5. - С. 95-101.

99. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм.

100. М.: Физматгиз. 1961. - 518 с.

101. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976, 248 с.

102. Стренг Г., Фиш Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. -1977.-349 с.

103. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука. М.,Л.: Гостехтеориздат, 1940.-499 с.

104. Тетере Г.А., Рикардс Р.В., Нарусберг В.Л. Оптимизация оболочек из слоисых композитов. Рига: Зинатне, 1978. 238 с.

105. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. М.: МИСИ. - 1973.

106. Филин А.П., Гуревич А.И. Применение вариационного исчисления к отысканию рациональной формы конструкций. Труды Ленингр. ин-таинж. ж.-д. трансп. - 1962. - вып. 190. - С. 161-187.

107. Филин А.П., Соломещ М.А., Гольдштейн Ю.Б. Классическое вариационное исчисление и задача оптимизации упругих стержневых систем. В кн.: Исследование по теории сооружений. - М.: Строй-издат. - 1972. - вып. 19. - С. 156-163.

108. Холькин С.А. О решении конструктивно нелинейных задач наследственного типа. // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство-2002». Ростов-н/Д: РГСУ. — 2002

109. Холькин С.А. Оптимизация размеров фундаментной плиты с использованием новых вариационных принципов механики конструктивно нелинейных систем. // Материалы международной научно-практической конференции «Строительство-2001». Ростов-н/Д: РГСУ.-2001

110. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 456 с.

111. ЧенцовН.Г. Стойки наименьшего веса. Труды ЦАГИ. - 1936.вып. 265. С. 1-48.

112. Черепанов Г.П. Обратные задачи плоской теории упругости. -Прикл. матем. и мех. 1974. - т. 38. - вып. 6. - С. 963-979.

113. Черноусько Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. Прикл. матем. и мех. - 1968. т. 32. - вып. 1. -С. 15-26.

114. Черноусько Ф.Л., Баничук. Н.В. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы. М.: Наука. - 1973. - 238 с.

115. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. - М.: ВИНИТИ. - 1977. - т. 14.

116. Шапошников Н.Н., Тарабасов Н.Д. Петров В.Б. и др. Расчеты машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. М.: Машиностроение. 1981. - 333 с.

117. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального регулирования. Космические исследования. - 1966. -т. 4.-№5.

118. Armand J.-L. Applications of optimal control theory to structural optimization: analytical and numerical approach. In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structural Design. Warsaw. - 1973. -Berlin: Springer-Verl. - 1975. - P. 15-39.

119. Banichuk N.V., Karihaloo B.L. Minimum-weight design of multipurpose cylindrical bars. Int. Solids and Struct. - 1976. - vol. 12. N 4, P. 267273.

120. Banichuk N.V., Karihaloo B.L. On the solution of optimization problems with singularities. Int. J. Solids and Struct. - 1977. vol. 13. - N 8. -P. 725-733.

121. Banichuk N.V., Optimization of elastic bars in torsion. Int. J. Solidsand Struct.- 1976.-vol. 12.-N 4. P. 275-286.

122. BarnettR.L. Minimum deflection design of a uniformly accelerating cantilever beam. J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1963. - vol. 30. - N 3.1. P. 466-467.

123. Blasius H. Trager kleinster Durchbeigung und Stabe grosster Knickfes-tigkeit bei gegebenem Materialverbrauch. Z. Math, und Phys. — 1914. — vol. 62.-P. 182-197.

124. Clausen T. Uber die Formarchitektonischer Saulen. Bull phys.-math. Acad. St.-Peterbourg. - 1851. - т. 9. - P. 279-294.

125. CourantR. Variotional metods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc. 49, N1 (1943), C. 1-23

126. Galilei G. Discorsi e dimonstrazioni matematiche. Leiden. - 1638.

127. Gurvitch E.L. On isoperimetric problems for domains with partly known boundaries. J. Optimiz. Theory and Appl. - 1976. - vol. 20. - N 1. -P. 65-79.

128. Keller J.B. The shape of the strongest column. Arch. Rational Mech. and Anal. - 1960. - vol. 5. - N 4. - P. 275-285.

129. Keller J.B., NiordsonF.I. The tallest column. J. Math, and Mech. -1966.-vol. 16.-N 5.-P. 433-446.

130. Klosowicz B. Sur la nonhomogeneite optimal d'une barre tordue. Bull. Acad, polon. sci. ser. sci. techn. - 1970. - vol. 18. -N 8. - P. 611-615.

131. Klosowicz В., LurieK.A. On the optimal nonhomogeneity of torsional elastic bar. Arch. Mech. - Warszawa. - 1971. - vol.24. - N 2. -P. 239-249.

132. Lagrange J.L. Sur la figure des colonnes. Miscellanea Taurinensia. -1770- 1773,-1. 5.

133. LepikU. Application of Pontryagin's maximum principle for minimum weight design of rigid plastic circular plates - Int. J. Solids and Struct.- 1973.-vol. 9.-P. 615-624.

134. LepikU. Minimum weight design of circular plates with limited thickness. Int, J. Non-Linear Mech. - 1972. - vol. 7. - N 4. - P. 353-360.

135. LepikU. Optimal design of beams with minimum compliance. Int. J. Non-Linear Mech. - 1978. - vol. 13. - P. 33-42.

136. Majerczyk-Gomulkowa J., Mioduchowski A. Optymalna niejednorod-nosc plastyczna skreconego preta ze wzgledu na nosnosc graniczna. -Rozpr. inz.- 1969.-vol. 17.-N4.-P. 583-599.

137. Mansfield E.U. Optimum tapers of eccentrically loaded ties. J. Roy. Aeronaut. Soc. - 1967. - vol. 71. - N 681. - P. 647-650.

138. Martin J.B. Optimal design of elastic structures for multi-purpose loading. J. Optimiz. Theory and Appi. - 1970. - vol. 6. - N 1. - P. 22-40.

139. MasurE.F. Optimality in the presence of discreteness and discontinuity.- In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structural Design. Warsaw 1973. Berlin: Springer-Verl. - 1975. - P. 441-453.

140. MasurE.F. Optimum stiffness and strength of elastic structures. ASCE J. Engr, Mech. Div. - 1970. - vol. 96. -N 5. - P. 621-640.

141. Maxwell C. Scientific Paper. Cambridge Univ. Press. 1980. - vol. 2. -P. 175-177.

142. Mcintosh S.C., Eastep F.E. Design of minimum-mass structures with specified stiffness properties. AIAA Journal. - 1968. - vol. 6. - P. 962964.

143. Michell A.J.M. The limits of economy of material in framestructures. -Phil. Mag. 1904. - vol. 8. - N 47.

144. Pedersen P. Optimal joint positions for space trusses. J. Struct. Div. Proc. Amer. soc. civ. eng. - 1973. - vol. 99. -N ST12. - P. 2459- 2476.

145. Pierson B.L. An optimal control approach to minimum weight vibrating beam design. J. Struct. Mech. - 1977. - vol. 5. - P. 147-148.

146. PolyaG. Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity and symmetrization. Quart. Appl. Math. - 1948. - vol. 6. - N 3.

147. Prager W. Optimality criteria in structural design. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1968. - vol. 61, - N 3. - P. 794-796.

148. Prager W., Shield R.T. Optimal design of multi-purpose structures. Int. J. Solids and Struct. - 1968. - vol. 4. - N 4. - P. 469-475.

149. Prager W., Taylor J.E. Problems of optimal structural design. J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1968. - vol. 35. - N 1. - P. 102-106.

150. Save M., Prager W. Minimum-weight design of beam subjected to fixed and moving loads. J. Mech. and Phys. Solids. - 1963. - vol. 11. - N 4. - P. 255-267.

151. Save M.A. Some aspects of minimum-weight design. Enginnering plasticity / Ed. by J. Heyman, F.A. Leckie. Cambridge: Univ. Press. - 1968. -P. 611-626.

152. Seyranian A.P. Homogeneous functional and structural optimization problems. Int. J. Solids and Struct. - 1979. - vol. 15. -N 4.

153. Shield R.T. Optimum design methods for multiple loading. ZAMP. -1963.-vol. 14.-P. 38-45.

154. Shield R.T. Optimum design of structures through variational principles.132- Lect. Notes Phys. 1973. - Bd. 21. - N 1.

155. Shield R.T., Prager W. Optimal structural design for given deflection. -ZAMP. 1970. - vol. 21. - N 2.

156. Tadjbaksh I., Keller J.B. Strongest columns and isoperimetric inequalities for eigenvalues. J. Appl. Mech. - 1962. - vol. 29. - N 1. - P. 159-164.

157. Taylor J.E. The stronges column, an energy approach. J. Appl Mech. Trans. ASME. - 1967. - vol. 34. - N 2. - P. 486-487.

158. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength. Bull. Acad. pol. sci. ser. sci. techn. - 1960. - vol. 8. - N 6. - P. 259-268.

159. Wasiutynski Z. On the criterion of minimum deformability design of elastic structures; effect of own weight of material. Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. - 1966. - vol. 14. - N 9. - P. 875-878.

160. Wasiutynski Z. On the equivalence of design principles: minimum potential-constant volume and minimum volume constant potential. —Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. - 1966. - vol. 14. - N 9. - P. 883-885.

161. Wheeler L. On the role of constant-stress surfaces in the problem of minimizing elastic stress concentration. Int. J. Solids and. Struct. -1976. - vol. 12. - N 11. - P. 779-789.

162. Wu C.H. The strongest circular arch-a perturbation solution. J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1968. - vol. 35. - N 3. - P. 476-480.