Эволюционные задачи проектирования сооружений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Решетников, Алексей Анатольевич

• Решетников, Алексей Анатольевич
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Решетников, Алексей Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ АДАПТИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ГЕО- И ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ.

1.1. От хаоса к порядку.

1.2. Вариантное проектирование.

1.3. Теория адаптивной эволюции механических систем.

1.4. Законы сохранения механических самоорганизующихся, саморазвивающихся систем.

1.5. Уравнения морфодинамики.

1.6. Линеаризация уравнений морфодинамики. Итерационный алгоритм решения эволюционных задач.

1.7. Нормируемая плотность энергии. Адаптационный метод определения энергетически равнопрочных систем.

1.8. Примеры определения рациональных структур.

1.9. Выводы по главе.

ГЛАВА 2. КОНЦЕПЦИЯ, СТРУКТУРА, ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ

И АЛГОРИТМЫ ПРОГРАММНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА «ЭРа».

2.1. Специфика разработки современных программных комплексов. Объектно-ориентированное программирование.

2.2. Объектная модель программно-вычислительного комплекса «ЭРа».

2.3. Реализация ПВК «ЭРа».

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА РАЦИОНАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ БЕТОННЫХ ПЛОТИН МЕТОДАМИ ТАЭМС.

3.1. Плотины. Основные понятия.

3.2. Конфигурирование формы плотины методами ТАЭМС.

3.3. Примеры определения рационального профиля плотины.

3.4. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ.

4.1. Обделки горизонтальных горных выработок и туннелей метрополитенов.

4.2. Инъекционное упрочнение вмещающих пород подземных сооружений.

4.3. Рациональные структуры обделок горизонтальных горных выработок и туннелей метрополитенов.

4.3.1. Круглая форма полости в грунте.

4.3.2. Многосекционная полость в грунте.

4.3.3. Прямоугольная полость в грунте.

4.3.4. Туннель в горном массиве.

4.4. Влияние вида энергии на итоговую структуру.

4.5. Сравнение полученной формы туннельной бетонной обделки с существующими типами обделок.

4.6. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ЗАЩИТЕ СКЛОНОВ ОТ ОПОЛЗНЕВЫХ ПРОЦЕССОВ И УКРЕПЛЕНИЮ СТЕН КОТЛОВАНОВ.

5.1. Оползни. Общие теоретические положения.

5.2. Рациональные мероприятия по стабилизации оползневых процессов.

5.3. Разработка мероприятий по укреплению стен котлованов методами ТАЭМС.

5.4. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюционные задачи проектирования сооружений»

Перед современными проектировщиками ставится задача по соблюдению таких требований, как эффективность, надежность, долговечность, технологичность, эстетичность, экономичность, продолжительность сроков проектирования и строительства, использование определенных ресурсов и материалов. Все эти требования имеют весьма противоречивый характер, и учесть их в строгой математической постановке очень трудно. Однако в практической постановке эта проблема все же разрешима, так как перечисленные требования можно определенным образом сгруппировать и решить задачу по уровням, представляющим определенные этапы в достижении цели.

В настоящее время проектно-конструкторские разработки подразделяются условно па три типичные ситуации [2]. Эти ситуации соответствуют трем уровням оптимизации: выбор наилучшей технической идеи, поиск наилучшей структуры или схемы, определение наилучших значений параметров для выбранной структуры [46]. В соответствии с таким делением проблему оптимизации строительных конструкций можно отнести в основном ко второму и третьему уровням.

Задача оптимизации строительных конструкций предусматривает решение таких важных вопросов, как анализ исходных предпосылок проектирования, постановка задачи оптимального проектирования, разработка математической модели конструкции, пути совершенствования последней, выбор математических методов оптимизации, разработка алгоритмов, возможность автоматизированного решения задачи оптимизации с помощью ПК (на уровне отдельной программы, пакета программ или автоматизированной системы), моделирование конструкций.

Таким образом, оптимизация конструкций имеет как прикладное, так и теоретическое значение. Интерес представляет выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет при оптимальном проектировании различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач.

История развития оптимального проектирования насчитывает уже почти четыре века. Исследования в области оптимизации восходят к классической работе Г.Галилея (1638 г.), посвященной проектированию равнопрочных балок [100]. Им рассматривался случай изгиба консольной балки (прямоугольного поперечного сечения постоянной ширины и переменной высоты) под действием сосредоточенной силы, приложенной к свободному концу, и было показано, что условие равнопрочности выполняется, если высота сечения балки меняется по параболическому закону. Как оказалось впоследствии, за/дача о форме балки минимального веса при условии, что нормальные напряжения сгх не превосходят заданной величины сг0, сводится к задаче, решенной Г. Галилеем. Таким образом, равнопрочная консольная балка в то же время является балкой минимального веса.

Впоследствии было решено значительное число задач, относящихся к оптимизации балок при изгибе, кручении, учете собственного веса и других факторов [1, 5, 8, 44, 87, 88, 96, 107, 109, 110]. Несмотря на значительное количество работ, посвященных оптимизации балок, в большей части современных исследований по оптимальному проектированию используется модель балки. Это связано с тем, что уравнения изгиба балок являются одними из простейших и удобны для рассмотрения новых постановок задач, сравнения различных алгоритмов и методик.

К числу классических проблем оптимального проектирования можно отнести задачи отыскания форм сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным весом и выдерживающего без потери устойчивости заданную нагрузку. Эта задача была поставлена Ж. Лагранжем [105], однако полученное им решение оказалось ошибочным. Впоследствии оптимальная форма упругого сжатого стержня была получена Т. Клаузеном [98] и уточнена

Е. Николаи [56]. В последующих работах было проведено подробное исследование данной задачи для различных типов стержней и условий закрепления. В частности, было показано, что среди всех стержней выпуклого поперечного сечения оптимальным является стержень, сечение которого представляет собой равносторонний треугольник [103]. В проведенных исследованиях по данной проблематике [10, 91, 104, 111, 112] было показано, что при оптимизации достигается значительный эффект, и тем самым была обоснована перспектива дальнейших разработок в этом направлении.

Вопросы оптимизации устойчивости упругих арок и круглых пластинок рассмотрены в [97, 99, 113], подпорных и причальных стенок в [46].

В период бурного развития строительства железных дорог возник вопрос проектирования ферм наименьшего веса. В одной из работ B.JI. Кирпичева была обнаружена связь между деформациями и объемом статически неопределимой фермы [45]. Одновременно, па связь вопросов экономии материала и потенциальной энергии обратил внимание Митчелл, положив тем самым начало применения энергетического метода при решении вопросов о минимальном весе конструкций [108]. Дальнейшее развитие энергетического направления связано с именами И.М. Рабиновича, А.И. Кефели и др.

В связи с развитием авиационной и космической техники появилась необходимость в проектировании конструкций минимального веса, так как любой летательный аппарат, может быть экономичным лишь в том случае, если его вес сведен к минимуму. В связи с широким применением в технике и строительстве композитных материалов в теории оптимального проектирования начали изучаться вопросы оптимизации внутренней структуры упругих тел. Задачи оптимального проектирования конструкций, выполненных из неоднородных материалов, а также анизотропных упругих тел рассмотрены в целом ряде исследований [70, 104, 4, 6, 7, 9, 11, 15, 16, 39, 51, 53, 57, 58]. Помимо этого внимание было уделено вопросам многоцелевой оптимизации [40, 80,95, 106].

Структура оптимизационных задач. При проектировании конструкций инженер может выбрать одну из двух следующих стратегий. Традиционная процедура проектирования состоит в том, что вначале интуитивно назначают геометрию конструкции и материалы, а затем при заданных нагрузках находят переменные, характеризующие поведение или состояние конструкции, такие как напряжения, деформации или перемещения. После модификации геометрии эта процедура повторяется, и процесс происходит до тех пор, пока найденное поведение конструкции не станет удовлетворять некоторым заданным требованиям, которые обычно выражаются в форме неравенств, определяющих верхние пределы напряжений и перемещений или нижний предел несущей способности. Недостатки описанной процедуры очевидны. Во-первых, последовательные перерасчеты требуют выполнения большого объема вычислений. Во-вторых, проект может оказаться весьма неэкономичным даже в том случае, когда выбранные интуитивно характеристики конструкции удовлетворяют ограничениям.

Если перестроить традиционную процедуру, можно исключить эти недостатки. При осуществлении оптимального проектирования, сначала задают требования к поведению конструкции вместе с расчетными нагрузками и геометрическими ограничениями, а затем определяют целевую функцию. Цель последующего расчета состоит в таком выборе геометрии и материала конструкции, при которых достигается требуемое поведение конструкции. Отыскание оптимальных форм и структуры упругих тел наталкивается на серьезные математические трудности. В математическом отношении задачи оптимизации сводятся к задачам по отысканию условного экстремума функции [76]. В ряде случаев оптимальное проектирование сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами и игровых задач оптимизации, для которых отсутствуют регулярные методы исследования. Известные трудности связаны также с тем, что задачи оптимизации упругих тел относятся к числу нелинейных задач механики. Нелинейность этих задач обуславливается нелинейностью условий оптимальности.

Множество задач оптимизации можно отразить общим процессом, приведенным на рис. 1. Вообще говоря, указанный процесс является циклическим и включает определение структуры системы, построение модели, оптимизацию параметров модели и анализ полученного решения.

В общем виде задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию f(x) N - мерного векторного аргумента х=(х\, х2, ., xN) при ограничениях: система уравнений hi(x)=0, к=\,.,К; набор неравенств g/x)>0, 7 = 1,.,J; ограничения сверху и снизу x\L^ <Xj <x\U\ i= i,.,N. Такая задача называется задачей с ограничениями или задачей условной оптимизации. Если же на целевую функцию не накладывают никакие ограничения K=J=0 и = -x\L^ = оо, /' = 1 ,.N, то такая задача называется задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации.

С математической точки зрения задачи оптимизации могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размерности задачи, способов вхождения «управлений» в основные

Рис. 1 соотношения (управление коэффициентами уравнений и границами областей), полноты информации об исходных данных (задачи с полной и неполной информацией) и других обстоятельств.

Методы решения задач оптимального проектирования. Несмотря на всю многогранность проблемы оптимизации строительных конструкций, можно отметить много общих черт в подходе к решению этой проблемы для разных конструкций. Эта общность проявляется, прежде всего, в способе формулирования задачи, выборе критерия оптимальности и в использовании методов ее решения. Такая задача может быть сформулирована как задача математического программирования и предусматривает наличие двух компонентов: целевой функции, соответствующей выбранному критерию оптимальности; системы ограничений, описывающих условия удовлетворительного функционирования рассматриваемого элемента.

Обычно в качестве критерия выступают экономические показатели конструкций, хотя возможны и другие критерии, в которых экономические требования выступают в неявной форме, например, срок возведения, или отсутствуют, например, уникальность, или эстетические соображения.

Для оптимизации строительных конструкций могут быть использованы такие методы математического программирования [34, 81], как методы линейного программирования, нелинейного программирования, метод множителей Лагранжа и др.

Задачи, решаемые методом линейного программирования, будут иметь решение, если: ограничения имеют форму неравенств; переменные неотрицательны; ограничения и функция линейны относительно переменных.

Задачи не будут иметь решения, если ограничения-неравенства несовместны.

Задачи линейного программирования обычно решаются симплекс-методом [67], который позволяет целенаправленно и последовательно за конечное число шагов получать оптимальное решение.

Задачами нелинейного программирования называют задачи, в которых сама функция или ограничения-неравенства нелинейны по отношению к неизвестным. Существуют различные способы отыскания локальных экстремумов функции [50]. Отыскание же глобального экстремума представляет определенные трудности, связанные с определением и перебором всех локальных экстремумов. Однако существуют задачи, в которых локальный экстремум является и глобальным. Условия такой задачи: область определения должна быть выпуклой; целевая функция должна быть вогнутой.

Задачи нелинейного программирования охватывают и задачи линейного программирования. Задачи нелинейного программирования могут быть решены методом наискорейшего спуска. Этот метод позволяет неограниченно приближаться к оптимальному решению за конечное число шагов.

Метод множителей Лагранжа позволяет осуществить переход от задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум. При этом под необходимым условием безусловного экстремума понимается равенство нулю частных производных функции Лагранжа по каждой переменной, включая множители Лагранжа. Следует, однако, отметить, что этот метод требует дополнительного исследования при конкретном числовом материале. Это в основном относится к следующим случаям:

1. Уравнения связи должны быть совместны. Если уравнения совместны, то необходимым условием применения метода Лагранжа является меньшее число уравнений по сравнению с числом неизвестных. При равенстве числа неизвестных и уравнений неизвестные могут быть пайдепы обычным способом;

2. Система разрешающих уравнений не соответствует содержанию задачи и не позволяет получать ее решение;

3. Равенство нулю частных производных функции Лагранжа при заданных ограничениях является лишь необходимым условием глобального экстремума. Для нахождения точек действительного экстремума требуется провести дополнительные исследования.

Следует, однако, отметить, что для целого ряда практических инженерных задач названные дополнительные исследования могут и не проводиться при условии четкости соблюдения математического описания и ясности физической сущности задачи.

В инженерной практике часто используются статистические методы нахождения оптимального решения. Эти методы требуют перебора значительного числа вариантов. Однако простой перебор трудоемок и может не дать оптимального решения. Такие статистические методы, как Монте-Карло, основываются на теории вероятностей. Точность метода Монте-Карло прямо пропорциональна корню квадратному из числа пробных точек [66]. К достоинствам метода Монте-Карло следует отнести возможность сужения области обследования, простоту вычислений, допустимость увеличения числа переменных без внесения существенных осложнений в решение, необходимость в малом объеме памяти ЭВМ.

Метод динамического программирования [13, 31, 62] весьма эффективен для сложных инженерных задач, которые с трудом поддаются решению в замкнутом виде, но могут быть разбиты на ряд более мелких и простых. Решение должно осуществляться в виде отдельных последовательных шагов. Каждый шаг представляет собой самостоятельную задачу, решение которой зависит от ее исходных данных. Критерий оптимальности системы должен представлять собой сумму критериев всех осуществляемых шагов. При решении задачи методом динамического программирования может быть учтено влияние всех возможных условий и выполнено их сравнение.

Оптимизационное исследование включает в себя не только знание и применение современных оптимизационных алгоритмов - это необходимое, но отнюдь не достаточное условие успешного проведения оптимизационного исследования. Необходимо правильно сформулировать стратегию оптимизационного исследования. Прежде всего, необходимо правильно поставить оптимизационную задачу и подготовить ее к решению; выбрать подходящий алгоритм, а также выбрать или написать эффективную программную реализацию этого алгоритма; наконец, получив надежное решение, проинтерпретировать его в терминах реальной системы и использовать на практике.

Принципы проведения оптимизационного исследования можно сформулировать следующим образом:

- Постановка задачи. Сюда входит установление границ подлежащей оптимизации инженерной системы, определение количественного критерия, на основе которого можно будет провести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», осуществление выбора внутрисистемных переменных, которые будут использоваться для определения характеристик и идентификации вариантов.

- Построение модели. Создается модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием. Описание и построение модели - важнейший этап оптимизационного исследования, определяющий практическую ценность получаемого решения и возможность его реализации. В таких исследованиях обычно используются модели трех основных типов [67]:

- Аналитические модели включают уравнения материального и энергетического баланса, соотношения между проектными техническими характеристиками и уравнения, описывающие физические свойства. Такая совокупность уравнений представляет собой систему зависимостей, описывающих поведение системы.

- Модели поверхности отклика составляют систему или ее части из аппроксимирующих уравнений выбранного вида, коэффициенты которых определяются на основе информации о работе системы. Такие модели используются обычно в ограниченной области значений переменных системы. Их преимуществом является упрощенная структура.

- Имитационные модели состоят из отдельных модулей, в которых сгруппированы основные уравнения, описывающие поведение системы. Каждый из таких модулей независим от других и содержит внутренние вычислительные процедуры. Имитационные модели обычно используются в тех случаях, когда трудно решать уравнения с неявно заданными переменными, когда от состояния системы зависит выбор алгоритма вычислительной процедуры или соответствующих уравнений, а также при введении в систему случайных возмущений.

В большинстве случаев выбор модели зависит от наличия информации о системе, степени понимания того, что происходит с системой, сложности самой системы.

- Реализация модели подразумевает выбор формы записи модели, выбор средств для подготовки оптимизационной задачи к решению, выбор стратегии счета при решении. Подготовка задачи к решению обычно включает три этапа [67]:

- Модификация модели для упрощения вычислительных процессов.

- Преобразование модели для повышения эффективности решения.

- Анализ модели с целью нахождения возможных признаков решения задачи.

При проведении указанных этапов необходимо рассмотреть вопросы, связанные с масштабированием задачи, преобразованием функций и переменных, исключением избыточных ограничений и последовательной подстановкой переменных в ограничения.

- Оценка решения. Это самая важная часть исследования, в которой необходимо обосновать правильность решения и выполнить его анализ чувствительности. Решение считается обоснованным, если ему соответствует некоторое реализуемое состояние системы, которое является оптимальным. Как правило, если модель достаточно точно отражает поведение системы, то она содержит необходимые ограничения. Однако необходимо проверить, не выходит ли полученное решение за границы достоверности модели, и является ли оно оптимальным. Рекомендуется общий метод обоснования правильности решения задачи [67]:

- Упростить модель так, чтобы можно было использовать простые алгебраические методы;

- Получить из вспомогательной модели оптимальное решение как функцию главных переменных модели;

- С помощью вспомогательной модели построить ряд прогнозов и проверить их на полной модели;

- Если оптимизационные расчеты совпадают с общим направлением, полученным из вспомогательной модели, то решение считается верным.

На следующем этапе оценки решения определяется его чувствительность к изменениям параметров модели или исходных данных. Согласно [67] детальный анализ чувствительности оказывается во многих случаях полезнее самого оптимального решения и проводится двумя способами: с помощью множителей Лагранжа или методом параметрического исследования.

При рассмотрении процесса развития методов оптимизации, прослеживается их ориентация на использование вычислительной техники. При этом есть возможность получения решения задач высокой размерности. Это в значительной степени стало возможно благодаря развитию и широкому распространению метода конечных элементов (МКЭ).

В настоящее время метод конечных элементов занимает ведущее место в инженерных расчетах. Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются математическим обоснованием МКЭ, т.е. проводят теоретический анализ его сходимости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают довольно сложные технические задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием применяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы проверяют на известных точных решениях [101].

Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как в 1963 г. было доказано, что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.

Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с помощью этого метода задач распространения тепла, задач гидромеханики и, в частности задач о течении жидкости в пористой среде.

Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию компьютерной техники.

Существует обширная литература, посвященная исследованию МКЭ, включающая монографии [3, 12, 17, 18, 37, 41 - 43, 49, 54, 59, 63, 71, 72 - 74, 78, 79, 86, 93] и большое количество статей.

В предлагаемой диссертации при определении рациональных величин параметров структуры механической системы использован конечно-элементный подход. При этом для расчетов плоской задачи теории упругости использованы хорошо известные плоские конечные элементы, применение которых на сегодняшний день не вызывает никаких сомнений в полученных результатах.

На протяжении всего изложения применяются такие общефилософские понятия, как система, элемент, структура, которые идут непосредственно от категорий "целое и часть" и "вещь и отношение" и используются во всей совокупности наук, характеризуя и материальные объекты, и создаваемые нами образы, модели, схемы этих объектов. Несмотря на широкое использование в строительной науке понятий система, элемент, структура приведем общепризнанные определения этих терминов.

Система (греч. systema - целое, составленное из частей) - множество закономерно связанных друг с другом элементов, представляющее собой определенное целостное образование. Для наших целей в узком смысле определения - конструкция, сооружение, составленные из твердых деформируемых тел.

Элемент (от лат. elementum - стихия, первоначальное вещество) - составная часть чего-либо. По тексту - часть конструкции, сооружения, стержня, пластины, оболочки, массива и т.д.

Структура (лат. structura) - взаиморасположение и связь составных частей чего-либо, строение, устройство. При конкретизации этого термина для строительной механики под структурой будем понимать геометрию формы сооружения, физические характеристики материала, способ соединения -характер связей элементов в конструкции или сооружении.

Понимание формы как внешнего вида, очертаний предмета, фигуры в пространстве по Гегелю, называют внешней формой. Более глубокое определение формы - внутренней формы неразрывно связано с понятием содержания и применяется при анализе процесса развития сложных систем, обладающих внутренней организацией и взаимодействующих с другими системами [22]. Именно такое глубинное определение формы системы использовано в дальнейшем.

Функционирование системы, взаимодействующей с внешней средой, предполагает, что все ее элементы выполняют определенные, согласованные друг с другом функции. Так, например, элементы здания наряду с главнейшей своей функцией обеспечивать общие требования по прочности, жесткости, устойчивости при различных внешних воздействиях, имеют и свои существенно дифференцированные функции. Например, наружные стены должны обеспечивать необходимую теплозащиту, иметь проемы для достаточной освещенности внутренних помещений, а покрытие сооружения или фундаментная часть гидроизолируются; стены, перегородки, перекрытия должным образом обеспечивают звукоизоляцию и т.д. Различное функциональное назначение элементов системы предопределяет и их различие, т.е. система при анализе расчленяется на части не только по субстратному, материальному признаку, но и по функциональному. Именно поэтому, крайне важна приоритетность или иерархия требований к элементам и структуре системы. Например, плиты покрытия имеют необходимый водонепроницаемый слой, но обладают недостаточной несущей способностью. Результат -разрушение, авария, катастрофа. Наоборот, для правильно запроектированных плит по прочности, но пропускающих влагу необходимо нанести новый гидроизоляционный слой. Сопоставляя последствия, мы приходим к выводу, что первым, главнейшим требованием в иерархии будет обеспечение прочности. Некомфортно жить в доме с плохой звукоизоляцией и невозможно жить в разрушенном доме.

Требования прочности, жесткости и устойчивости при проектировании сооружений являются приоритетными. При этом возникают такие вопросы -как организовать наилучшим образом структуру системы, т.е. как изменять геометрию и физические параметры, получая при этом наивысшую сопротивляемость? Каков критерий отбора проектов рациональных несущих конструкций? Может ли быть внешне нелепая конструкция рациональной?

Само тройственное общефилософское понятие «система - элемент -структура» удивительным образом ложится на хорошо подготовленный и широко используемый математический аппарат решения задач математической физики методом конечных элементов. При чтении этой работы любой специалист в области инженерных расчетов и сооружений поймет, что известные вычислительные комплексы МКЭ при определенной доработке могут быть в полной мере использованы при решении рассматриваемого класса задач.

Для определения рациональных физических и геометрических параметров структуры механических систем в диссертации использованы общие вариационные принципы и адаптационные методы, разработанные проф. Васильковым Г.В. [19 - 22].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка, включающего 113 наименований. Полный объем диссертации 190 стр., включая 113 рисунков и 16 таблиц. Ос

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Решетников, Алексей Анатольевич

5.4. Выводы по главе

Выполненные в настоящей главе исследования на тему проектирования мероприятий по защите склонов от оползневых процессов, а также стен котлованов вблизи существующих сооружений позволили сделать следующие выводы:

1. Обзор современных методов проектирования защитных мероприятий показал, что тот или иной вид защитной конструкции, ее расположение на склоне существенно зависит от экономического обоснования рациональности проекта. Зачастую экономический фактор оказывает влияние на качество выполненных работ, что в свою очередь может повлечь непредвиденные ситуации. Поэтому необходима строгая методика, позволяющая выбирать вид рациональной защитной конструкции, лучшей с точки зрения жесткости при одинаковых затратах материала.

2. Предложенная в работе методика позволяет определять как вид рациональной конструкции, так и ее местоположение в системе. При этом возможно рассмотрение наклонной части склона, в которой происходят процессы соскальзывания. Преимущество предложенной методики над общеизвестными методами заключается в отсутствии необходимости задавать поверхность скольжения оползневого склона;

3. По результатам решения ряда задач обнаружено, что эффективным противооползневым мероприятием является устройство подпорных стен в указанных ТАЭМС местах. Так при устройстве буронабивных свай в указанных ТАЭМС местах позволяют снижать максимальные значения компонентов НДС до 20-40%, а при устройстве в прочих, произвольных местах-до 10-20%;

4. Результаты решения задач по укреплению стен котлованов вблизи существующих сооружений показали, что система «грунт-здание» требует выполнения опорного устройства для передачи веса здания па материковый грунт. При ограничении зоны адаптации в районе, возможном для производства работ, результатом явилось требование системы устройства шпунтового ограждения с односторонним упрочнением на уровне дна котлована;

5. Полученные места упрочнений при адаптации массива грунта методами ТАЭМС также можно расценивать как наиболее неблагоприятные зоны, в которых начнет происходить разрушение структуры. Таким образом, методы ТАЭМС позволяют прогнозировать поведение структуры. Причем прогнозирование может быть проведено как без каких либо мероприятий по защите от разрушающих процессов, так и с наличием уже существующих сооружений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненный в настоящей диссертационной работе экспериментально-теоретический комплекс исследований проблем оптимального проектирования гео- и гидротехнических сооружений позволил сделать следующие выводы:

1. Обзор литературы по теме исследований показал, что начиная с XVII века человечество уделяет большое внимание оптимальному проектированию и развитию методов оптимизации. На основе вариациониых принципов механики конструктивно нелинейных систем были разработаны варианты адаптационного метода теории адаптивной эволюции механических систем, позволяющего решать геометрически и физически нелинейные задачи.

2. Показано, что существующие расчетные программные комплексы, охватывающие огромную область решаемых задач, «неповоротливы» для решения узконаправленного класса оптимизационных задач. В связи с этим в среде объектно-ориентированного языка программирования Delphi разработана компьютерная программа «ЭРа», реализующая теоретические положения теории адаптивной эволюции механических систем. Тот факт, что программа написана для работы под операционной системой Windows, позволяет использовать ее на большом количестве компьютеров. Ограничениями являются лишь объем ОЗУ и частота процессора, что влияет на скорость вычислений. Ограничений на количество конечных элементов, либо узлов отсутствует.

3. Разработана методика определения рациональной конфигурации обделок горизонтальных горных выработок и туннелей метрополитенов. На основе этой методики с использованием программного продукта «ЭРа» был выполнен расчет ряда задач. На основе результатов решения этих задач была предложена новая форма поперечного сечения обделки, основной особенностью которой являются дополнительные вертикальные ответвления. При сравнении компонентов НДС классической прямоугольной обделки и предложенной с ответвлениями обнаружено снижение максимальных значений напряжений до 8-30 раз, при условии равенства площадей поперечных сечений обделок.

4. В качестве доказательства гибкости адаптационного алгоритма, а также подтверждения практического применения ТАЭМС разработана методика определения рационального профиля бетонных плотин. На ее основе было получено, что оптимальной является форма, идентичная профилю гравитационных плотин.

5. Предложен алгоритм проектирования рациональных мероприятий по защите склонов от оползневых процессов. Был проведен ряд расчетов, в результате которого обнаружено, что рациональным противооползневым сооружениями являются ряды буронабивных свай, установленных в определенном порядке. Предложенный метод позволяет определять оптимальное местоположение свай, как в естественной структуре склона, так и в уже усиленной. Дополнительным положительным аспектом этого метода явилась возможность прогнозирования поведения склона на любом этапе состояния. Так в результате адаптационного расчета склона, находящегося в условиях плоской деформации, появляются упрочненные зоны. Эти зоны являются наиболее слабыми местами структуры, в которых начинает происходить разрушение. Усиления устанавливаются в таких местах либо сразу во всех, либо в некоторых, выбранных по усмотрению проектировщика.

6. Сформулирован алгоритм проектирования мероприятий по защите стен котлованов при их разработке вблизи существующих сооружений. На основе этого метода было показано, что оптимальным является вариант выполнения устройства под существующим сооружением для передачи его веса на материковый грунт. Получаемые зоны закрепления также могут быть расценены как слабые места структуры, в которых начинает происходить разрушение. Таким образом, ТАЭМС позволяет прогнозировать поведение системы в целом. При условии, что адаптации подвергается лишь зона, в которой возможно производство работ, обнаружено, что рациональным является устройство шпунтового ограждения с односторонним упрочнением на уровне дна котлована. Эти задачи подтверждают практическое применение ТАЭМС.

7. Предложенные методики алгоритмы и программное средство используются при выполнении научно-исследовательских работ студентами строительного факультета, при чтении спецкурса по строительной механике, и могут быть реализованы при реальном проектировании. Полученные в диссертации результаты - методики, алгоритмы и программа, реализующая их, - могут быть использованы в системах автоматизированного проектирования, конструирования и технологической подготовки строительного производства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Решетников, Алексей Анатольевич, 2008 год

1. Абгарян, К. А. К теории балок минимального веса / К. А. Абгарян // Расчеты на прочность. -М. : Машгиз, 1962. вып. 8. - С.136-151.

2. Половинкин, А. И. Алгоритмы оптимизации проектных решений / А. И. Половинкин и др.. М. : Энергия, 1976. - 264 с.

3. Александров, А. В. Основы теории упругости: Учебник для строит, спец. вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М. : Высш. шк., 1990. - 400 с.

4. Аннин, Б. Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных неоднородных тел / Б. Д. Аннин // Третий национальный конгресс по теоретической и прикладной механике. Болгария, Варна, 1977. - С. 275-280.

5. Баничук, Н. В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости дивергенции / Н. В. Баничук. Учен. зап. ЦАГИ. - 1978. - Т.9, №5. — С. 115128.

6. Баничук, И. В. Об одной задаче на экстремум для системы с распределенными параметрами и определении оптимальных свойств упругой среды / Н. В. Баничук // Изв. ДАН СССР. 1978. - Т. 242, № 5. - С. 1042-1045.

7. Баничук, Н. В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней / Н. В. Баничук // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 4. - С. 73-79.

8. Баничук, Н. В. Оптимальное проектирование в одномерных задачах изгиба для фиксированных и подвижных нагрузок / Н. В. Баничук // Изв. АН СССР. МТТ, 1974.-№ 5.-С.113-123.

9. Баничук, Н. В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред в плоских задачах теории упругости / Н. В. Баничук // Изв. АН СССР. МТТ.1979. -№ 1.-С. 71-77.

10. Баничук, Н. В. Оптимизация форм упругих тел / Н. В. Баничук. М. : Наука,1980.-256 с.

11. Баничук, Н. В. Оптимизация формы и распределения модулей упругих тел / Н. В. Баничук // Труды 14-го югосл. конгр. по теорет. и прикл. механике.-Порторож. 1978. - С. 319-326.

12. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. М. : Стройиздат, 1961. - 537 с.

13. Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. М. : ИЛ, 1960. -400 с.

14. Гришин, М. М. Бетонные плотины (на скальных основаниях) : Учеб. пособие для студентов ВУЗов, обуч. по специальности "Гидротехническое строительство речных сооружений и гидроэлектростанций" / М. М. Гришина и др.. М. : Стройиздат, 1975. - 352с.

15. Болотин, В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов / В. В. Болотин // Расчеты на прочность. М. : Машиностроение, 1966. - Вып. 12. - С. 3-31.

16. Брызгалин, Г. И. К рациональному проектированию анизотропных плоских тел со слабым связующим / Г. И. Брызгалин // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. -№4. - С. 123-131.

17. Бурман, 3. И. Расчет тонкостенных подкрепленных оболочек методами конечных элементов с применением ЭЦВМ / 3. И. Бурман. Казань : Изд. КГУ, 1973.-567 с.

18. Варвак, П. М. Метод конечных элементов / П. М. Варвак, И. М. Бузун, А. С. Городецкий. К. : Вища школа, 1981. - 176 с.

19. Васильков, Г. В. Новые вариационные принципы механики конструктивно нелинейных систем / Г. В. Васильков // Изв. ВУЗов Сев.-Кав. регион. Естественные науки. -2001. №1. - С. 15-20.

20. Васильков, Г. В. О вариационных принципах и методах определения энергетически равнопрочных систем / Г. В. Васильков // Изв. ВУЗов Сев.-Кав. регион. Естественные науки. 2002. - №2. - С. 22-27.

21. Васильков, Г. В. Теорема об изменении потенциальной энергии механической системы при добавлении новых связей / Г. В. Васильков // Изв. вузов Сев.-Кав. регион. Естественные иауки. 2000. - №4. - С. 33-39.

22. Васильков, Г. В. Эволюционные задачи строительной механики. Синергетическая парадигма : Учебное пособие / Г. В. Васильков. Ростов н/Д : ИнфоСервис, 2003. - 180 с.

23. Васильков, Г. В. Рациональное проектирование противооползневых мероприятий / Г. В. Васильков, А. А. Решетников // Строительство 2005 : Материалы Международной научно-практической конференции. Ростов н/Д : Рост. гос. строит, ун-т, 2005. — С. 69-71.

24. Васильков, Г. В. Эволюционные задачи строительства подземныхсооружений / Г. В. Васильков, А. А. Решетников // Изв. вузов Сев.-Кав. регион. Технические науки. 2005. - Специальный выпуск. - С. 14-19.

25. Васильков, Г. В. Рациональные структуры противооползневых мероприятий. / Г. В. Васильков, А. А. Решетников // Изв. вузов Сев.-Кав. регион. Технические науки. 2006. - Вып. 1. - С. 165-170.

26. Величкин, Е. А. Строительство тоннелей и метрополитенов / Е. А. Величкин, П. Т. Ленец. М. : Транспорт, 1971. - 390 с.

27. Вентцель, Е. С. Элементы динамического программирования / Е. С. Вентцель. М. : Наука, 1964. - 175 с.

28. Винер, Н. Информация и управление / Н. Винер. М. : Наука, 1986. - 326 с.

29. Винер, Н. Кибернетика / Н. Винер. -М. : Наука, 1968. 412 с.

30. Виноградов, А. И. Проблема оптимального проектирования в строительной механике (цикл лекций) / А. И. Виноградов. Харьков : Изд. объед. "Вища школа" и Харьковского гос. ун-та, 1973. - 117 с.

31. Волков, В. П. Тоннели и метрополитены. Учеб пособие для студентов ВУЗов ж.д. транспорта / В. П. Волков. М. : Транспорт, 1970. - 630 с.

32. Гинзбург, Л. К. Противооползневые удерживающие конструкции / Л. К. Гинзбург. М. : Стройиздат, 1979. - 81с.

33. Городецкий, А. С. Расчет железобетонных балок-стенок с учетом образования трещин методом конечных элементов / А. С. Городецкий, В. С. Здоренко // Сопротивление материалов и теория сооружений. К. : Буд1вельник, 1975. - Вып. XXVII. - С. 59-66.

34. ГОСТ Р 22.0.03-95. Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Природные чрезвычайные ситуации. Термины и определения. М. : Госстандарт1. России, 1995.-8 с.

35. Григорович, В. К. О наивыгоднейшем направлении волокон и изделиях из анизотропных материалов / В. К. Григорович, Н. Д. Соболев, Я. Б. Фридман // Изв. ДАН СССР. 1952. - Т. 86, № 4. - С. 703-706.

36. Гура, Н. М. Оптимальная круглая пластинка при ограничениях по жесткости и частоте собственных колебаний / Н. М. Гура, А. П. Сейранян // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - №1. - С. 138-145.

37. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. М. : Мир, 1976. - 93 с.

38. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М. : Мир, 1975.-541 с.

39. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимации / О. Зенкевич, К. Морган. -М. : Мир, 1986.- 318 с.

40. Иеги, Э. М. Оптимальная конструкция и ее проектирование / Э. М. Иеги // Труды Таллиннского политехи, ин-та. 1967. - № 257. - С. 63-85.

41. Кирпичев, В. J1. Лишние неизвестные в строительной механике / В. Л. Кирпичев. СПБ. - 1902. - 1 изд.

42. Корчагин, Е. А. Оптимизация конструкций подпорных стенок / Е. А. Корчагин. М. : Стройиздат, 1980. - 116 с.

43. Краснов, А. А. Адаптационные методы решения осесимметричных задач механики / А. А. Краснов, А. А. Решетников // Строительство-2003 : Материалы Международной научно-практической конференции. Ростов н/Д : Рост. гос. строит, ун-т, 2003. - С. 156.

44. Кузин, Л. Т. Основы кибернетики / Л. Т. Кузин. М. : Наука, 1973. - 514 с.

45. Мавлютов, Р. Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций / Р. Р. Мавлютов. М. : Наука, 1981. - 141 с.

46. Мажид, К. И. Оптимальное проектирование конструкций : Пер. с англ. В. И. Дорофеева, под ред. М.А. Колтунова. М. : Высш. Школа, 1979. - 237 с.

47. Муштари, X. А. Теория изгиба пластинок минимального веса изкомпозитного материала / X. А. Муштари // Прикладная механика. 1967. -Т. 3, № 4. - С. 1-7.

48. Моисеев, Н. Алгоритмы развития / Н. Моисеев. М. : Наука, 1987 - 63 с.

49. Немировский, Ю. В. Рациональное проектирование армированных конструкций с точки зрения прочности и устойчивости / Ю. В. Немировский // Прикладные проблемы прочности и пластичности : Всесоюз. межвуз. сб. -Горький. 1977. - Вып. 6. - С. 70-80.

50. Нерри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Нерри, Ж де Фриз. -М. : Мир, 1981.-304 с.

51. Нестеров, И. В. Решение плоской задачи теории упругости по МКЭ на адаптивных сетках : Дисс. канд. техн. Наук : 05.23.17 : защищена 22.01.93 : утв. 15.07.93 / Иван Владимирович Нестеров. М., 1993. - 108 с.

52. Николаи, Е. И. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн / Е. И. Николаи // Изв. Петербург, политехи, ин-та. 1907. - Т. 8. - С. 15-23.

53. Образцов, И. Ф. Некоторые вопросы расчета и проектирования оптимальных конструкций из ориентированных стеклопластиков / И. Ф. Образцов, В. В. Васильев // Труды Моск. авиац. ин-та. 1971. - Вып. 180. - С. 201-216.

54. Образцов, И. Ф. Оптимальное армироваиие оболочек вращения из композиционных материалов / И. Ф. Образцов, В. В. Васильев, В. А. Бунаков. М. : Машиностроение, 1977. - 144 с.

55. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. М. : Мир, 1976. - 464 с.

56. Одинцов, Н. В. Оползни и методы борьбы с ними / Н. В. Одинцов. -Волгоград : Ниж.-Волж. книжное издательство, 1972. 257 с.

57. Кораблин, М. А. Программирование, ориентированное на объекты : Учебное пособие / М. А. Кораблин. Самара : Самар. госуд. аэрокосм, ун-т, 1994. -97 с.

58. Пашкеев, С. Д. Машинные методы оптимизации в технике связи : Учеб.пособие для вузов / С. Д. Пашкеев, Р. И. Минязов, В. Д. Могилевский. М. : Связь, 1976.-272 с.

59. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. JI. : Судостроение, 1974. - 342 с.

60. Пригожий, И. Порядок из хаоса / И. Пригожий, И. Стенгерс. М. : Наука, 1986.-356 с.

61. Розанов, Ж. Проектирование и строительство больших плотин : Аварии и повреждения больших плотин / Ж. Розанов и др.. М. : Энергоатомиздат, 1986. - 128с.

62. Расстригин, А. А. Статистические методы поиска / А. А. Расстригин. М. : Наука, 1968. - 312 с.

63. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике : В 2-х кн. / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел : Пер. с англ. В. Я. Алтаева, В. И. Моторина. М. : Мир, 1986. - Кн.1. - 352 с.

64. Решетников, А. А. Форма и армирование плотин с учетом ТАЭМС / А. А. Решетников // Строительство 2005 : Материалы Международной научно-практической конференции. - Ростов н/Д : Рост. гос. строит, ун-т, 2005. - С. 75-76.

65. Решетников, А. А. ТАЭМС и вариантное проектирование / А. А. Решетников // Строительство-2006 : Материалы международной научно-практической конференции. Ростов н/Д : Рост. гос. строит, ун-т, 2006. - С. 138-140.

66. Рожваны, Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. М. : Стройиздат, 1980. - 318 с.

67. Розин, JI. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л. А. Розин. М.-Л. : Стройиздат, 1977. - 129 с.

68. Розин, Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ / Л. А. Розин. -Л. : Энергия, 1971.-214 с.

69. Розин, Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов / Л. А.

70. Розин. JI. : Изд. Ленинград, ун-та, 1976. - 114 с.

71. Розин, Л. А. Теоремы и методы статики деформируемых систем / Л. А. Розин. Л. : Изд. ЛГУ, 1986. - 276 с.

72. Руководство по проектированию бетонных и железобетонных конструкций гидротехнических сооружений. -М. : Стройиздат, 1983. 360с.

73. Рязанов, В. С. Улучшенный алгоритм программы оптимального проектирования бетонных причальных и подпорных стенок / В. С. Рязанов // Науч. тр. Новосибирск : Новосибирский ин-т ж.-д. трансп., 1971. - Вып. 66.

74. Сотников, С. Н. Проектирование и возведение фундаментов вблизи существующих сооружений : (Опыт строительства в условиях Северо-Запада СССР) / С. Н. Сотников, В. Г. Симагин, В. П. Вершинин.- М. : Стройиздат, 1986. 96 с.

75. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров и др.. К. : Вища школа, 1982. - 479 с.

76. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегернлинд. М. : Мир, 1976.-271 с.

77. Сейранян, А. П. Упругие пластины и балки минимального веса при наличии нескольких видов изгибающих нагрузок / А. П. Сейранян // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 5. - С. 95-101.

78. Сергеев, И. Д. Проблемы оптимального проектирования конструкций / И. Д. Сергеев, А. И. Богатырев. Л. : Стройиздат, 1971. - 114 с.

79. СНиП 2.01.15-90 Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов. Основные положения проектирования. -М. : Госстрой, 1991. -39 с.

80. СНиП 2.06.08-87 Бетонные и железобетонные конструкции гидротехнических сооружений. М. : Госстрой, 1988. - 50с.

81. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. 2-е изд. -М. : Сов. Энциклопедия, 1983. 1600 с.

82. СП 11-105-97 Часть 2. Инженерно-геологические изыскания для строительства. Правила производства работ в районах развития опасных геологических и инженерно-геологических процессов. М. : Стройиздат, 1997.- 101 с.

83. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фиш. М. : Мир, 1977.-349 с.

84. Филин, A. JI. Классическое вариационное исчисление и задача оптимизации упругих стержневых систем : Исследование по теории сооружений / А. Л. Филин, М. А. Соломещ, Ю. Б. Гольдштейн. М. : Стройиздат, 1972. -Вып. 19.-С. 156-163.

85. Филин, А. П. Применение вариационного исчисления к отысканию рациональной формы конструкций / А. П. Филин, А. И. Гуревич // Труды Ленингр. ин-та инж. ж.-д. трансп. 1962. - Вып. 190. - С. 161-187.

86. Хетагуров, Я. А. Проектирование информационно-вычислительных комплексов / Я. А. Хетагуров, Ю. Г. Древе. М. : Высшая школа, 1987. -280 с.

87. Часовитин, П. А. Тоннельные обделки из сборного железобетона / П. А. Часовитин. М., 1959. - 217 с.

88. Ченцов, Н. Г. Стойки наименьшего веса / Н. Г. Ченцов // Труды ЦАГИ. -1936.-Вып. 265.-С. 1-48.

89. Чугаев, Р. Р. Гидротехнические сооружения : Учеб. пособие для студ. гидротехн. спец. Вузов : В 2-х ч. / Р. Р. Чугаев. М. : Агропромиздат, 1985. -- 2-е изд., перераб. и доп. Ч. I. Глухие плотины. - 318 с.

90. Шапошников, Н. Н. Расчеты машиностроительных конструкций на прочность и жесткость / Н. Н. Шапошников и др.. М. : Машиностроение, 1981.- 333 с.

91. Юзвишин, И. М. Информациология / И. М. Юзвишин. М. : Наука, 1996. -412 с.

92. Banichuk, N. V. Minimum-weight design of multipurpose cylindrical bars / , N. V. Banichuk, B. L. Karihaloo. Inst. Solids and Struct. - 1976. - Vol. 12, N 4. - P. 267-273.

93. Blasius, H. Trager kleinster Durchbeigung und Stuebe groesster Knickfestigkeit bei gegebenem Materialverbrauch / H. Blasius // Zeitschrifit Math, und Phys. -1914. Vol. 62. - P. 182-197.

94. Budiansky, B. On optimal arches / B. Budiansky, J. C. Frauenthal, J. W. Hutchinson // Journal of Appl. Mech. Trans. ASME. 1969. - Vol. 36. - N 4. - P. 239-240.

95. Clausen, T. Ueber die Formarchitektonischer Saeulen / T. Clausen // Bull phys.-math. Acad. St.-Peterbourg. 1851. - V. 9. - P. 279-294.

96. Frauenthal, J. C. Constrained optimal design of circular plates against buckling / J. C. Frauenthal // Journal Struct. Mech. 1972. - Vol. 1. - P. 159-186.

97. Galilei, G. Discorsi e dimonstrazioni matematiche / G. Galilei. Leiden. - 1638.101. http : // cae . tgngu . tyumen . ru102. http : // slovari. yandex . ru

98. Keller, J. B. The shape of the strongest column / J. B. Keller // Arch. Rational Mech. and Anal. 1960. - Vol. 5, N 4. - P. 275-285.

99. Klosowicz, B. Sur la nonhomogeneite optimal d'une barre tordue / B. Klosowicz // Bull. Acad, polon. sci. ser. sci. techn. 1970. - Vol. 18, N 8. - P. 611-615.

100. Lagrange, J. L. Sur la figure des colonnes. Miscellanea Taurinensia . J. L. Lagrange. 1770-1773. - V. 5.

101. Martin, J. B. Optimal design of elastic structures for multi-purpose loading / J. B. Martin // Journal Optimiz. Theory and Appi. 1970. - Vol. 6, N 1. - P. 22-40.

102. Masur, E. F. Optimum stiffness and strength of elastic structures / E. F. Masur // ASCE J. Engr, Mech. Div. 1970. - Vol. 96, N 5. - P. 621-640.

103. Michell, A. G. M. The limits of economy of material in Fram-Structures / A. G. M. Michel // Philos. magaz. and Journ. of Sci. London. 1904. - Vol. 8, N. 6.

104. Rozvany, D. I. N. Optimal design of flexural systems : beams, grillages, slabs, plates and shells / D. I. N. Rozvany. Oxford; New York; Toronto; Sydney; Paris; Frankfurt, 1976.

105. Prager, W. Problems of optimal structural design / W. Prager, J. E. Taylor // Journal Appl. Mech. Trans. ASME. 1968. - Vol. 35, N 1. - P. 102-106.

106. Tadjbaksh I. Strongest columns and isoperimetric inequalities for eigenvalues /1. Tadjbaksh, J. B. Keller // Journal Appl. Mech. 1962. - Vol. 29, N 1. - P. 159-164.

107. Taylor, J. E. The stronges column, an energy approach / J. E. Taylor // Journal Appl Mech. Trans. ASME. 1967. - Vol. 34, N 2. - P. 486-487.

108. Wu, С. H. The strongest circular arch-a perturbation solution / С. H. Wu // Journal Appl. Mech. Trans. ASME. 1968. - Vol. 35, N 3. - P. 476-480.