Ренормализационная группа в N-компонентных моделях статистической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Степанов, Роман Григорьевич

• Степанов, Роман Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Роман Григорьевич

4 Введение

1 АГ-компонентные поля в евклидовом и р-адическом пространствах

1.1 Общие определения и обозначения.

1.2 (а — 3/2^)-разложение.

1.3 (4 — с?)-разложение.

1.4 Случай р-адического пространства.

1.5 Сравнение (о; — 3/2с?)- и (4 — с/)-разложений. 1.6 Доказательство теорем о контрчленах.

1.7 Вычисление вершинных частей фейнмановских графов

2 2]У-компонентная фермионная иерархическая модель

2.1 Описание модели.

2.2 Свойства преобразования ренормгруппы

2.3 Неподвижные точки преобразования РГ.

3 А^-компонентная бозонная иерархическая модель

3.1 Описание модели

3.2 е-разложения.

3.3 Связь между фермионной и бозонной моделями.

4 Задачи комбинаторной оптимизации в ультраметрических пространствах

4.1 Алгоритмы решения ЗКО.

4.2 Средние значения оптимальных решений ЗКО.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ренормализационная группа в N-компонентных моделях статистической физики»

Состояние систем с большим числом степеней свободы в статистической физике обычно описывается с помощью гиббсовских случайных полей. Увеличение масштаба в таких системах соответствует переходу от одного гиббсовского случайного поля к другому с помощью операций суммирования и нормировки. При этом речь идет о суммах сильно зависимых случайных величин. Один из возникающих вопросов - это вопрос отыскания случайных полей, инвариантных относительно этого преобразования.

Рассмотрим вещественное «¿-мерное Л^-компонентное случайное поле ется на £(&), - это стационарность случайного поля в узком смысле: для любого заданного а поле £'(к) = 4- а) имеет то же распределение, что и поле £(&). Второе условие - это О(Ы)-симметричность: для любой ортогональной матрицы А размерности ИхИ случайное поле £'(&) = имеет то же распределение, что и поле £(&).

Разобьем решетку на кубы Уп(к) со стороной п и объемом па:

Уп{к) = {] € ЪЛ : п(Ъ - 1) < л < пки * = 1,. ,<*}.

Определим векторное случайное поле = {€\,п(к),., £лг,п(&)) по формуле а - некоторый параметр модели. Пусть Р - распределение вероятностей случайного поля £(&)> ^п? - распределение вероятностей случайного где - целочисленная решетка. Первое условие, которое обычно налага

0.1) зеУп(к) поля £п(к). Семейство преобразований В^ образует полугруппу, так как Ягнгч = Дп1-КГг2- Эту полугруппу часто называют ренормализационной группой (РГ), или более коротко ренормгруппой.

Одним из основных вопросов является вопрос о том, какие виды распределений могут являться предельными для распределений Е^Р при п —У оо. При этом из-за сильной связи случайных величин предельное распределение не обязано быть устойчивым распределением вероятностей.

Распределение Р называют автомодельным, если ЛпР = Р для всех целых п > 1. Таким образом, автомодельность распределения Р означает, что случайные векторы подчиняются тем же совместным распределениям вероятностей, что и первоначальные случайные векторы £(&).

В физической литературе обычно используют другое определение РГ, называемое преобразованием РГ Вильсона в импульсном представлении.

Пусть задано обобщенное 0(Л^)-симметричное случайное поле сг^) = (°1(<7)>в шаРе = {я \я\ < Щ- Определим оператор скей-линга

8Ка*(я) = \\\~а12а{41\) и оператор ограничения

Здесь Л - параметр растяжения, а - параметр РГ, х(я) ~ индикатор шара Од. По сути гд)0! - это оператор ограничения поля 5л>асг(д), определенного в шаре на шар

Пусть Р - распределение вероятностей случайного поля сг(д), Д\Р -распределение вероятностей случайного поля гд)асг(д). Семейство преобразований образует полугруппу, так как Ях^ = Я\1 К\2 . Данную полугруппу называют ренормгруппой Вильсона. Случайное поле а(д) называется автомодельным, если его распределение вероятностей Р таково, что Р = для всех Л.

Традиция статистической механики состоит в том, чтобы представлять распределения вероятностей в гиббсовской форме с помощью гамильтонианов. Преобразование РГ может быть представлено, как преобразование в пространстве гамильтонианов. Гамильтониан, соответствующий автомодельному распределению вероятностей, называется неподвижным гамильтонианом преобразования РГ.

Основные положения теории гиббсовских случайных полей даны в [8]. Детальное изложение основных положений теории автомодельных полей (в том числе обобщенных автомодельных полей с непрерывным временем, и их связи с дискретными полями) дано в [4].

Интерес к преобразованиям ренормгруппы и к автомодельным распределениям вероятностей объясняется тем, что данные объекты возникают в фундаментальных вопросах статистической физики и квантовой теории поля. Как известно, макроскопические характеристики разнообразных физических систем с бесконечным числом степеней свободы при изменении температуры или некоторых констант связи могут иметь особенности (фазовые переходы). Оказывается, состояние таких систем в критической точке определяется автомодельными распределениями вероятностей.

Гауссовские автомодельные процессы, известные сейчас под названием дробного броуновского движения, впервые были рассмотрены А.Н. Колмогоровым [5]. Связь автомодельных распределений с предельными теоремами теории вероятностей обсуждалась Ламперти [35] и Р.Л. Добру-шиным [4]. Проблемой автомодельных распределений занимались также Галлавоти, Йона-Лазинио, М.Розенблатт, Такку, Я.Г.Синай [23,24] и другие.

Метод ренормализационной группы в теории критических явлений был создан К. Вильсоном [2,32], Л. Кадановым [34], М. Фишером [32] и другими. Данный метод позволяет вычислять критические показатели, характеризующие поведение систем в критической точке. Критический показатель г) определяет степень убывания бинарной корреляционной функции в критической точке. Предполагается, что при — оо. Используя определение автомодельиости поля, нетрудно установить, что 77 и а связаны соотношением г) = 2 +¿-а.

В физической литературе показатель г) называют также аномальной размерностью. Для вычисления критического показателя и, определяющего степень расходимости корреляционной длины в критической точке, в [2] была получена формула

1п А ^ЫА? где А1 - старшее собственное число дифференциала преобразования Н\, заданного в пространстве гамильтонианов, в нетривиальной (негауссов-ской) неподвижной точке.

В работах [29,39] рассматривались однокомпонентные (И = 1) обобщенные случайные поля а(д) в импульсном представлении, заданные в шаре ГИд. Для определения неподвижных гамильтонианов РГ и вычисления критических показателей был предложен формализм перенормированных проекционных гамильтонианов. Негауссовская ветвь автомодельных гамильтонианов строилась как бифуркация от гауссовской ветви по параметру е = а—3/2^ с использованием процедуры аналитической перенормировки. В работе [1] формализм перенормированных проекционных гамильтонианов был распространен на случай (4 — ^-разложения. В этом случае негауссовская ветвь бифурцирует от гауссовского гамильтониана, заданного оператором Лапласа, и используется процедура размерной перенормировки. Одна из задач, решаемых в диссертации, состоит в том, чтобы распространить данный формализм перенормированных проекционных гамильтонианов на случай ТУ-компонентных 0(Лг)-симметричных случайных полей.

Кроме моделей скалярного случайного поля на евклидовой решетке, интерес представляют модели на иерархической решетке. Исследованием иерархических моделей занимались Дайсон [31], Блехер и Синай [28], Колле и Экман [30], и другие. В них ренормгрупповой подход был полностью реализован без привлечения техники фейнмановских диаграмм и перенормировок. Распределения случайных полей здесь удобно задавать с помощью плотностей свободной меры, а преобразование РГ в пространстве плотностей свободной меры действует как обычное интегральное преобразование.

Ситуация еще более упрощается, если вместо бозонного (вещественно-значного) поля мы рассмотрим фермионное (грассмановозначное) поле на иерархической решетке. Основные положения, связанные с фермион-ными случайными полями, даны в [9].

В работах [10,12-14,37] была исследована четырехкомпонентная фер-мионная иерархическая модель. Оказалось, что преобразование РГ в этой модели вычисляется явно и описывается рациональным отображением в двумерном пространстве констант связи гамильтониана. Это обстоятельство позволило дать глобальное описание динамики РГ-преобразования для всех значений параметра а. В частности, были описаны все неподвижные точки ренормгруппы, их устойчивые инвариантные кривые, исследованы некоторые критические явления и симметрии преобразования РГ. В данной диссертационной работе исследуется 2^-компонентная ферми-онная иерархическая модель для произвольного N.

Из точного решения четырехкомпонентной фермионной иерархической модели следует, что (а — 3/2й)~ и (4 — ^-разложения в размерности й - 3 описывают одну и ту же негауссовскую неподвижную точку. Возникает гипотеза о том, что это верно и для бозонных моделей. Одной из задач данной диссертации является исследование этой гипотезы.

Непрерывным аналогом иерархической решетки является р-адическое пространство. Первые р-адические модели математической физики появились в работах B.C. Владимирова и И.В. Воловича [3]. Связь между иерархическими и р-адическими моделями была установлена в [6]. Важным достоинством р-адических моделей является то, что сложные проблемы современной математической физики получают точное решение. Одной из задач диссертации является распространение формализма ре-нормгруппы Вильсона на случай гиббсовских случайных полей, заданных в р-адическом пространстве.

Еще один класс задач, рассмотренных в диссертационной работе, представлен стохастическими версиями известных задач комбинаторной оптимизации (задача коммивояжера, задача о минимальном паросочетании и задача о минимальном остовном дереве) в р-адических пространствах. Идеи, близкие к идеям ренормгруппы, позволили явно вычислить математические ожидания оптимальных решений и исследовать их асимптотическое поведение.

Перейдем к основным результатам, полученным в данной работе.

В главе 1 формализм проекционных гамильтонианов, развитый в работах [1,29,39], обобщается на случай iV-компонентных 0(7У)-симмет-ричных гиббсовских случайных полей, заданных как в евклидовом, так и в р-адическом пространствах. Отличие гамильтонианов TV-компонентных полей от гамильтонианов однокомпонентных полей состоит в том, что в случае произвольного N в гамильтонианах необходимо учитывать "сим-метрийные" тензоры вида суммирование ^ ведется по всем разбиениям набора {1,., 2к} на пары.

В рамках (а — 3/2с?)-разложения негауссовский неподвижный гамильтониан преобразования РГ ищется на множестве перенормированных проекционных гамильтонианов вида: 7 где и\,и2 - константы связи,

N „ 2к

Нк(°) = / %1 + • • • + Ч2к) П <Тг,Ы Лд,

1 Аь-мвмеД" в=1 а, яС0") ~ гамильтониан автомодельного гауссовского поля в шаре с бинарной корреляционной функцией < <Хг(я1)сг;(<72) >= ¿¿,^(^1+72)^1(^1), где в1(5) = - х(д)); < • - связное упорядочивание Вика относительно этого гауссовского поля; А.Я,. - операция аналитической перенормировки.

Доказана теорема о контрчленах (теорема 1.1), в соответствии с которой

Не1^иьи2) = < ехр(-«1гУ1(«2)Я1 - т2(и2)Н2) где ю^и), т2(и) - формальные степенные ряды по и, вычисление которых связано с вычислением вершинных частей фейнмановских графов. Перед этим оказалось необходимым доказать вспомогательную лемму 1.4, в соответствии с которой для любого связного фейнмановского графа (3 и для любого тензора инвариантного относительно перестановок индексов ц,., %2к, выполняется соотношение: N п

Е1 I РгУ Яи I I А.«, х2к —

11 Ч .-»»а*, 11 »тц,«та г1,.,4Л1=1 (VI ,Ш1 ,У2 ,тг) еЬ((?) N (С?) ^

1,—>*2А; = 1 где п - количество вершин в графе 2&1,., 2&п - степени вершин в графе бг, 2к - количество внешних линий, (й^,Щ),., {й2к,Ш2к) - набор внешних линий графа (?, 1/(С?) - множество внутренних линий, коэффициент симметрии, определяемый формулой £ (1р,г.5Л ( П «а.* г},., 1^=1 \«=1 / \Ы,ГП1,Ь2 ,Ш2)6Х(С) п Уп 1

Заметим, что в случае N = 1 утверждение этой леммы очевидно и состоит в том, что (1)" • 1 • = 51 (С?) • 1 • А\утшд, где ^(О) = 1.

Показано (теорема 1.2), что на множестве перенормированных проекционных гамильтонианов г/г) преобразование РГ может быть задано с помощью формального дифференциального оператора

Ях,аНе}/{иЬи2) = ехр ^1п|А| А'^т^ Яе//(П1,1Х2), где формальные степенные ряды по и1,щ.

Система уравнений = 0, = 0 относительно щ,и2 имеет два решения: тривиальное решение щ = 0, г/2 = 0, и нетривиальное решение щ = 0, щ — и* ф 0. Негауссовский гамильтониан, неподвижный относительно преобразования РГ, задается гамильтонианом Не//(0,и*). Для критического показателя и получена формула

V = ад дщ

141=0, И2=и*

Приведено явное вычисление показателя и до второго порядка по е, где £ = а- 3/2(1.

Аналогичные результаты получены в случае (4 — с?)-разложения. В этом случае система уравнений на неподвижную точку приводит к зависимости а от что позволяет вычислить аномальную размерность 7). Формальное сравнение (а — 3/2с?)— и (4 — с£)-разложений в первых двух порядках теории возмущений показывает, что при этом а ответы для показателя V в обоих типах разложений совпадают.

Все указанные выше результаты, полученные для евклидового пространства, могут быть перенесены на р-адическое пространство. Особенностью р-адического случая является то, что в формализме (4 — «¿^разложения критический показатель т] = 0.

Сравнение вычисленных критических показателей для евклидовой и ]>-адической моделей в формализме (а—3/2с£)-разложения показало интересную связь между ответами. Оказалось, что во втором порядке теории возмущений ответы совпадают с точностью до замены функции Г (х) на ее р-адический аналог, а константы Эйлера у на — 1пр.

В главе 2 рассматривается 2Л^-компонентная фермионная модель на иерархической решетке. Обобщение четырехкомпонентной фермионной иерархической модели на случай, когда число компонент спина равно 2Ы, рассматривалось в работе [7]. Однако в ней был предложен лишь алгоритм для вычисления преобразования РГ в пространстве констант связи. Явных формул предложено не было. Вопрос о существовании не-гауссовской ветви неподвижных точек был исследован лишь локально в окрестности тривиальной (гауссовской) неподвижной точки.

В данной диссертации преобразование РГ явно вычислено в АГ-мерном проективном пространстве констант связи. Исследованы некоторые свойства этого преобразования, вычислено его обратное преобразование. В частном случае о: = 1 доказан аналог центральной предельной теоремы для фермионных случайных полей. А именно, показано, что при а = 1 для любого начального случайного поля итерации преобразования РГ сходятся к гауссовскому случайному полю.

Нахождение неподвижных точек преобразования РГ сводится к решению системы из N алгебраических уравнений. При фиксированном а она имеет несколько нетривиальных решений. При = 3 оказалось, что количество ее вещественных решений различно при различных значениях а.

Имеется две тривиальные неподвижные точки в пространстве формальных плотностей свободной меры - грассманова ¿-функция и функция, тождественно равная 1. Последняя соответствует гауссовскому автомодельному случайному полю. Значения а = 1/2,., 1 /ТУ являются бифуркационными значениями, в которых ветвь, задаваемая грассмановой ¿-функцией, пересекается с ветвями нетривиальных неподвижных точек. Значения а = 2 — 1/2, .,2 — 1/Ы являются бифуркационными значениями, в которых ветвь гауссовских неподвижных точек пересекается с ветвями нетривиальных неподвижных точек. При а —» 1 все нетривиальные неподвижные точки РГ сходятся к сингулярному значению, в котором преобразование РГ не определено.

Строгие результаты, полученные для фермионной 2А/"-компонентной иерархической модели позволяют глубже понять динамику преобразования РГ. Наблюдения, полученные для этой модели могут быть источником гипотез для других моделей математической физики.

В главе 3 мы рассматриваем ^-компонентную бозонную модель на иерархической решетке. Преобразование РГ записывается в виде интегрального преобразования в пространстве плотностей свободной меры. Исследуются свойства этого преобразования.

Показано, что для гауссовского распределения, неподвижного относительно преобразования РГ, бифуркационным значением является значение а = Ъ/2. В случае а = (2+с?)/с/, который соответствует выбору оператора Лапласа в качестве гауссовской части гамильтониана, бифуркационным значением является значение й = 4. Для N = 1 неподвижная точка преобразования РГ вычислена в первых двух порядках по £ = а — 3/2 и по 8 = 4—й. В физически наиболее интересном случае с? = 3, а = (2-М)/с? сравнение ответов для (а — 3/2)- и (4 — (Г)-разложений показывает, что коэффициенты разложений имеют одинаковую асимптотику при р —> оо, где р - размер элементарного блока иерархической решетки. Это говорит в пользу того, что (ск — 3/2)- и (4 — ^-разложения описывают одну и ту же неподвижную точку РГ в размерности 3.

Показано, что существует двойственность между фермионной и бозон-ной моделями. А именно, если преобразование РГ определить в пространстве констант связи, то преобразование РГ для фермионной модели будет переходить в преобразование РГ для бозонной модели при формальной замене N на —ТУ.

Класс задач, рассмотренных в главе 4, представлен известными задачами комбинаторной оптимизации (ЗКО) в ультраметрических пространствах. Примерами таких пространств являются иерархическая решетка и ее континуальный аналог - р-адическое пространство.

Рассмотрим задачу коммивояжера (ЗК), задачу о минимальном па-росочетании (МП) и задачу о минимальном остовном дереве (МОД). В задаче коммивояжера требуется найти кратчайший замкнутый путь, проходящий через заданные точки некоторого метрического пространства. В задаче о минимальном паросочетании требуется разбить множество точек на пары таким образом, чтобы сумма длин ребер, соединяющих полученные пары точек, была наименьшей из всех возможных. В задаче МОД требуется найти дерево, вершины которого совпадают с заданными "точками, а сумма длин ребер является наименьшей из всех возможных.

Естественно рассматривать вероятностную постановку этих задач, когда все точки равномерно распределены в некоторой области d-мерного пространства. Мезардом, Паризи, Вирасоро [38] было отмечено, что задачи комбинаторной оптимизации в вероятностной постановке можно в определенном смысле интерпретировать как модели теории неупорядоченных систем статистической физики. Действительно, допустимые решения задачи комбинаторной оптимизации можно рассматривать как состояния физической системы, значение целевой функции для допустимого решения - как энергию состояния, а оптимальное решение - как основное состояние системы.

Пусть fn - случайная величина, равная сумме длин ребер в оптимальном решении задачи комбинаторной оптимизации для п точек, равномерно распределенных в шаре единичного объема.

В работах [27], [45] было показано, что для вышеперечисленных задач комбинаторной оптимизации в евклидовом пространстве справедливо свойство "самоусреднения": существует константа C(d), для которой с вероятностью 1 lim = C(d). n->00 n1-1/"

Константа C(d) не вычислена явно.

В случае р-адических пространств идеи, близкие к идеям ренормгруп-пы, позволили явно вычислить математические ожидания величин /п и исследовать их асимптотику при п —>■ оо. Оказалось, что хотя величины ^/ф ограничены при п сю, но не сходятся к одному пределу. Однако при фиксированном вещественном х и натуральном параметре т существует предел

М/р(т+х)Л т^оо (р(т+х)<*)1-1/<*

Ит где II¿{х) - периодическая функция с периодом 1, явный вид которой дан в теореме 4.4.

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. Формализм перенормированных проекционных гамильтонианов распространен на случай ЛГ-компонентных О{Щ-симметричных полей. Получены формулы для симметрийных коэффициентов фейнманов-ских графов, доказаны теоремы о контрчленах, определены негаус-совские неподвижные гамильтонианы РГ.

2. Критические показатели г), V рассчитаны для евклидовых и р-ади-ческих пространств до второго порядка теории возмущений с использованием (а — 3/2с?)— и (4 — ^-разложений. Проведен их сравнительный анализ.

3. Исследовано преобразование РГ для 27У-компонентных фермионных случайных полей на иерархической решетке. Для а = 1 доказан аналог центральной предельной теоремы. Преобразование РГ представлено в виде конечномерного преобразования в пространстве констант связи, а для определения неподвижных точек предложена система алгебраических уравнений.

4. Исследовано преобразование РГ для АГ-компонентных бозоных случайных полей на иерархической решетке. Построены ^-разложения неподвижных точек РГ. Показано, что преобразование РГ в 2N-компонентной бозонной модели формально совпадает с преобразованием РГ в (—2Аг)-компонентной фермионной модели.

5. Исследованы стохастические задачи комбинаторной оптимизации в р-адическом пространстве. Удалось явно вычислить математические ожидания сумм длин ребер в оптимальных решениях данных задач, а также исследовать асимптотику этих величин при п —> оо, где п -количество точек.

Основные результаты диссертации опубликованы в [15-20,25,42,43,46, 47]. Кроме того, работы [21,26] приняты к печати.

Результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях: III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция «Вероятность и статистика» (Сочи, октябрь 2002), Международная конференция по р-адической математической физике (Москва, 1-5 октября 2003), XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Сочи, сентябрь 2004), VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, секция «Вероятность и статистика» (Санкт-Петербург, май 2005), Вторая международная конференция по р-адической математической физике (Белград, Сербия и Черногория, сентябрь 2005).

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, содержащего 48 наименований. Работа изложена на 122 листах и содержит 1 рисунок.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Степанов, Роман Григорьевич

Заключение

В главе 1 формализм перенормированных проекционных гамильтонианов распространен на случай ]У-компонентных 0(Л/")-симметричных случайных полей, заданных в евклидовом или р-адическом пространстве. Рассмотрены два метода разложений - метод (ск — 3/2с?)-разложений и метод (4 — с?)-разложений. Для обоих типов разложений доказаны теоремы о контрчленах. Преобразование РГ на многообразии перенормированных проекционных гамильтонианов записано в виде дифференциального оператора. Получены формулы для вычисления неподвижной точки РГ и критических показателей V и г) в виде формальных степенных рядов по параметру разложения.

Полученные ответы для критических показателей в евклидовом случае в рамках (4 —с?)-разложения совпали с аналогичными ответами, полученными на основе формализма уравнений Каллана-Симанзика [48].

Сравнение (4 —с?)- и (а—3/2с?)-разложений до второго порядка теории возмущений показывает, что при а = 2+с?—г}, где г] - аномальная размерность, ответы для критического показателя и в обоих типах разложения совпадают.

Сравнение ответов для евклидового и р-адического пространств показывает, что во втором порядке теории возмущений существует следующая связь между ответами: ответы совпадают вплоть до замены функции Г(х) в евклидовом случае на ее р-адический аналог /р(х), а константы Эйлера 7 - на — 1п р.

В главе 2 исследовано преобразование РГ в 27У-компонентной фер-мионной иерархической модели. Данное преобразование явно вычислено в Л^-мерном проективном пространстве коэффициентов связи. Доказана его симметрия относительно преобразования Фурье. Вычислено его обратное преобразование. Для случая а = 1 для фермионных случайных полей доказан аналог центральной предельной теоремы.

Показано, что неподвижные точки РГ могут быть определены, исходя из системы N алгебраических уравнений с N неизвестными. Оказалось, что при N > 1 данная система имеет несколько нетривиальных решений. При N = 3 количество нетривиальных решений зависит от а.

В главе 3 мы исследовали преобразование РГ в ^-компонентной бо-зонной иерархической модели. Многие свойства преобразования РГ в этой модели аналогичны свойствам преобразования РГ в фермионной иерархической модели. Нетривиальные неподвижные точки преобразования РГ можно искать по теории бифуркаций от гауссовской неподвижной точки. При этом можно пользоваться (а — 3/2)-разложением и (4 — ¿)-разложением. Ответы для неподвижных точек в случае в, = 3, полученные до второго порядка теории возмущений обоими типами разложений, имеют одинаковую асимптотику по параметру р, где р - диаметр элементарного блока иерархической решетки. Данный факт говорит в пользу того, что оба разложения описывают одну и ту же неподвижную точку в размерности (1 = 3.

Показано, что если формально определить преобразование РГ в пространстве констант связи, то преобразование РГ в 2А^-компонентной бо-зонной иерархической модели при замене N на — N переходит в преобразование РГ в 2-ЛГ-компонентной фермионной иерархической модели.

В главе 4 мы исследовали некоторые задачи комбинаторной оптимизации, в которых необходимо соединить ребрами случайно выбранные точки в ультраметрическом пространстве так, чтобы сумма длин ребер была наименьшей. Рассмотрены три известные задачи: задача коммивояжера, задача о минимальном паросочетании и задача о минимальном остовном дереве.

Для этих задач показано, что в ультраметрическом пространстве "жадные" алгоритмы дают оптимальное решение. Для случая р-адического пространства вычислены средние значения сумм длин ребер в оптимальных решениях, а также изучена их асимптотика при большом количестве точек п.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степанов, Роман Григорьевич, 2005 год

1. Блехер П.М. Инвариантные многоообразия ренормализационной группы Вильсона / П.М.Блехер, М.Д.Миссаров // Теоретическая и математическая физика. - 1988. - Т.74, № 2. - с. 203-209.

2. Вильсон К. Ренормализационная группа и е-разложение / К.Вильсон, Дж.Когут // М.: Мир. 1975.

3. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-адический анализ и математическая физика. М.: Наука. - 1994.

4. Добру шин P.J1. Автомодельность и ренормгруппа обобщенных случайных полей / P.JT. Добрушин // Многокомпонентные случайные системы. Москва, 1978 - с. 179-213.

5. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве / А.Н.Колмогоров // Докл. АН СССР. 1940. - 26, №2. - с.115-118.

6. Лернер Э.Ю. Скалярные модели р-адической квантовой теории поля и иерархическая модель Дайсона / Э.Ю. Лернер, М.Д. Мисса-ров //Теоретическая и математичекая физика. 1989. - Т.78, № 2. -с.248-257.

7. Лернер Э.Ю. Ренормализационная группа в фермионной иерархической модели / Э.Ю. Лернер, М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика. 1994. - Т. 101, № 2. - с.282-293.

8. Малышев В.А., Минлос JI.A. Гиббсовские случайные поля. М.: Наука. - 1985.

9. Малышев В.А., Минлос J1.A. Линейные операторы в бесконечноча-стичных системах. М.: Наука. - 1994.

10. Миссаров М.Д. Функциональные уравнения и теория перенормировок в р-адических моделях / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика. 1996. - Т. 109, № 1. - с.3-16.

11. И. Миссаров М.Д. РГ-инвариантные кривые в фермионной иерархической модели / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика. 1998. - Т. 114, № 3. - с.323-336.

12. Миссаров М.Д. Критические явления в фермионной иерархической модели / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика.- 1998. Т.117, № 3. - с.471-488.

13. Миссаров М.Д. Непрерывный предел в фермионной иерархической модели / М.Д. Миссаров // Теоретическая и математическая физика.- 1999. Т.118, № 1. - с.40-50.

14. Миссаров М.Д. Симметрии и циклы ренормализационной группы в фермионной иерархической модели, //Р.З. Даутов, М.Д. Миссаров.- Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 126, № 2. -с.238-246.

15. Миссаров М.Д. О построении неподвижных точек ренормализационной группы в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов //Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т.9, № 2. - с.425-426.

16. Миссаров М.Д. О задачах комбинаторной оптимизации в ультрамет-ричных пространствах / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. 2003. - Т.136, № 1. - с.164-176.

17. Миссаров М.Д. е-разложения в иерархической модели Дайсона / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика. 2004. - Т. 139, № 2. - с.268-275.

18. Миссаров М.Д. Преобразование ренормгруппы в 2АГ-компонентной фермионной иерархической модели, / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. -Т.11, № 3. - с.510-511.

19. Миссаров М.Д. Инвариантные многообразия ренормгруппы Вилсона в АГ-компонентной модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. - Т. 12, № 2. - с.439-440.

20. Миссаров М.Д. е-разложения в АГ-компонентной у>4-модели / М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). 2006. - Т. 146

21. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО. - 1999. - 336 с.

22. Синай Я.Г. Автомодельные распределения вероятностей / Я.Г. Синай // Теория вероятностей и ее применения. 1976. - 21, Я21. - с. 63-80.

23. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука. - 1980.

24. Степанов Р.Г. Эпсилон-разложения в //-компонентной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Тез. докл. Международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов-2004». Москва, 2004. -117.

25. Степанов Р.Г. Преобразование ренормализационной группы в 2TV-компонентной фермионной иерархической модели / Р.Г. Степанов // Теоретическая и математическая физика (Принято к печати). 2006.- Т. 146

26. Bearwood J. The Shortest path through many points / J. Bearwood, J.H. Halton, J.M.Hammersley // Proc.Cambridge Philos.Soc. 1959. -55. - p.294.

27. Bleher P.M. Investigation of the critical point in models of the type of Dyson's hierarchical models / P.M. Bleher, Ya.G. Sinai // Commun. Math. Phys. 1973. - V.33. - P.23

28. Bleher P.M. The Equations of Wilson's Renormalization Group and Analytic Renormalization /P.M. Bleher, M.D. Missarov // Commun. Math. Phys. 1980. - 74. - P.235-272.

29. Collet P. A renormalization group analysis of the hierarchical model in statistical mechanics. / P. Collet, J.-P. Eckmann // Lecture Notes in Physics. 74. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. - 1978

30. Dyson F.J. Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet / F.J. Dyson // Commun. Math. Phys. 1969. - V.12, N2.- P.91.

31. Fisher M. Critical exponents in 3.99 dimensions. / M. Fisher, K. Wilson // Phys. Rev. Lett. 1972. - V.28, N4 - P.240.

32. Gelfand I.M., Shilov G.E. Generalized functions. New York: Academic Press. - 1964.

33. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc / L.P.Kadanoff // Physics. 1966. - V.2, N6 - P.263-272.

34. Lamperti J. Semi-stable stochastic processes /J. Lamperti // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. - V.104, N1.- P.62-78.

35. Lerner E.Yu. p-adic Feynman and String Amplitudes / E.Yu. Lerner, M.D. Missarov // Commun. Math. Phys. 1989. - V.121, N 1. - P.35-48.

36. Lerner E.Yu. Fixed points of renormalization group in the hierarchical fermionic model / E.Yu. Lerner, M.D. Missarov // J.Stat.Phys. 1994.- V.76, N3/4. P.805-817.

37. Mezard M., Parisi G., Virasoro M. Spin-Glass Theory and All Beyond -Singapore: World Scientific. 1987.

38. Missarov M.D. The equations of Wilson's renormalization group in dimension 4 and analytic renormalization / M.D. Missarov // Journal of Stat. Phys. 1985. - V.38, N 5/6. - P.851-860.

39. Missarov M.D. Stochastic versions of combinatorial optimization problems in p-adic spaces /M.D. Missarov, R.G. Stepanov // 8th Vilnius Conference on Probability Theory, Abstracts. June 23-29, 2002. - P.214

40. Missarov M.D. Comparison of ^-expansions in the Euclidean and p-adic models, / M.D. Missarov, R.G. Stepanov, // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. 15-21.09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. - P.32.

41. Speer E.R. Dimensional and analytic renormaiization. In: Renormalization theory /Speer E.R.//Dordrecht. Reidel. 1976. -R25-93.

42. Steele J.M. Probability theory and combinatorial optimization : SIAM, Philadelphia. 1997.

43. Stepanov R.G. Critical exponents in the bosonic hierarchical model / R.G.Stepanov, // Тезисы докладов Международной конференции по р-адической математической физике. Москва, 1-5 октября 2003.

44. Stepanov R.G. Renormalization group in 2iV-component fermionic hierarchical model / R.G.Stepanov // 2nd International Conference on p-Adic Mathematical Physics, Abstracts. 15-21.09.2005, Belgrade, Serbia and Montenegro. - P.45-46.

45. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press. - 1996.