Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Алтайский, Михаил Викторович

• Алтайский, Михаил Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Алтайский, Михаил Викторович

Введение

1 Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании

1.1 Об истории вейвлет-преобразования.

1.2 Некоторые сведения из теории групп.

1.3 Разложение по представлениям аффинной группы.

1.4 Спектральная форма вейвлет-преобразования.

1.5 Анализ локальной регулярности.:

1.6 Дуальные вейвлеты.

2 Случайные процессы и квантовая теория поля

2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа

2.2 Случайные процессы и СДУ.

2.3 Квантовая механика.

2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики

2.5 Сингулярности и перенормировка.

2.6 Применение квантовополевых методов для описания классических систем с большим числом степеней свободы.

3 Многомасштабные случайные процессы

3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба.

3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций.

3.2.1 Случайные вейвлет-коэффициенты.

3.2.2 Распределение энергии по масштабам.

3.2.3 Дельта-коррелированные процессы.

3.3 Многомасштабная стохастическая динамика.

3.3.1 Уравнение Ланжевена.

3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений

3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой

3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами

3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе.

3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике

3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности

3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования.

3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой

3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам.

3.4.5 Гипотезы Колмогорова.

3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности

4 Стохастическое квантование

4.1 О методе стохастического квантования.

4.2 Операторный формализм Намики и Ямонака.

4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений.

4.4 Многомасштабное стохастическое квантование

4.5 Поля Янга-Миллса .ИЗ

5 Квантовая механика иерархических систем

5.1 Иерархические системы и квантовая информация.

5.2 Квантовое измерение.

5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем

6 Вейвлеты и устранение расходимостей в теории поля

6.1 Ультрафиолетовые расходимости.

6.2 Теория ф4.

6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей

7 Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля

7.1 Геометрия и числовые поля в физике.

7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в математической физике

7.3 Поле р-адических чисел.

7.4 р-адическая квантовая теория поля.

7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля.

7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля.

7.5 О возможной связи неархимедовой геометрии с анизотропией реликтового излучения .".

7.5.1 Фрактальная геометрия распределения массы во Вселенной

7.5.2 Дискретные симметрии и квантовая гравитация

7.5.3 Дискретные симметрии как возможная причина анизотропии реликтового излучения.

7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование.

7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp.

7.6.2 р-адическое вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара

8 Некоторые приложения вейвлетов к биологии и анализу данных

8.1 О биологических приложения вейвлетов.

8.1.1 Многомасштабные разложения и первичная структура ДНК

8.1.2 Цветовые карты вейвлет-коэффициентов как инструмент исследования первичной структуры нуклеотидных последовательностей

8.1.3 Дальние корреляции в первичной структуре нуклеотидных последовательностей.

8.2 Применение вейвлетов для разделения гауссовых пиков.

8.2.1 Проблема разделения близколежащих пиков в ядерных экспериментах

8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков.

8.2.3 Распределение с одним гауссовым пиком.

8.2.4 Распределение с двумя гауссовыми пиками

8.2.5 Применение вейвлет-преобразования к калибровке пластиковых сцинтилляторов в эксперименте NEMO.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля»

Многомасштабные разложения широко используются во всех разделах теоретической физики - везде, где решение физической задачи не сводится к монохроматической волне или к устойчивому стационарному решению. В простейшем случае многомасштабность появляется уже в классической механике, когда решение системы гамильтоновых уравнений приводит к спектру из нескольких отличных друг от друга собственных частот. Для линейных систем это приводит к разложению решения в сумму гармонических компонент и(х) — ^2кСкегкх; для нелинейных систем взаимодействие гармонических компонент между собой приводит к сложным интерференционным эффектам и вызывает стохастическое поведение.

При описании реальных физических, биологических, экономических и других систем с достаточно большим числом степеней свободы точное описание всех нелинейных взаимодействий, как правило, не возможно. Это приводит к необходимости перехода от детерминистического описания процессов с помощью дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) к описанию в рамках стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), в которых неизвестные взаимодействия системы с флуктуирующей средой и сложные нелинейные эффекты взаимодействия внутренних степеней свободы описываются с помощью случайных сил. Такое описание характерно как для классических нелинейных диссипативных систем - например, гидродинамической турбулентности, - так и для задач квантовой теории поля (КТП), в которых выполняется закон сохранения энергии, однако необходимость интегрирования по всем конечным квантовым состояниям, обусловленная вероятностной сущностью квантовой механики, приводит к эквивалентности квантовополевой задачи описанию некоторого случайного процесса в пространстве большей размерности [127, 74, 226].

Простым, однако весьма специфическим случаем применения многомасштабного разложения является разложение в ряд Фурье, однако, его использование для нелинейных систем весьма ограниченно. Разложение в ряд (или инте9 грал) Фурье представляет собой разложение по представлениям группы сдвигов G : х = х + Ь, следовательно, его применение полностью оправдано лишь в случае, когда сама физическая система однородна, т.е. инвариантна относительно сдвигов. Во всех остальных случаях приходится применять различные дополнительные приемы: разложение по малому параметру, методы ренормализационной группы (РГ), вейвлет-разложение.

Одной из целей данной диссертационной работы является унификация многомасштабных методов, применяемых в стохастических задачах и теории поля, на общей основе. Этой основой служит разложение по представлениям аффинной группы

G \ х = ах + b, x,b€Rd,a€R+®SO(d), где d-размерность евклидова пространства, известное как непрерывное вейвлет-преобразование, или вейвлет-анализ.

Несмотря на огромное число статей и монографий посвященных применению вейвлет-преобразования к анализу сигналов и экспериментальных данных, численному решению дифференциальных уравнений и численному моделированию случайных процессов, использование вейвлет-преобразования для аналитического описания нелинейных систем и квантовополевых моделей пока не нашло широкого применения. В связи с этим, важное значение приобретает вопрос о связи вейвлет-методов с методами РГ, нашедшими самое широкое практическое применив в квантовополевых и нелинейных задачах, но часто подвергаемых сомнениям, как не имеющих ясной физической основы, а представляющих лишь математический способ устранения расходимостей.

Работа построена по следующему плану. Глава 1 содержит краткий исторический обзор развития многомасштабных методов, связанных с вейвлетами. Здесь описаны основные идеи метода вейвлет-преобразования и физические задачи, в которых эти методы нашли успешное применение. Глава 2 посвящена связи между теорией случайных процессов и квантовой теорией поля. В главе 3 вводится понятие многомасштабного случайного процесса, обобщающее обычное понятие вейвлет-преобразования случайных процессов. Параграф 3.3 этой главы посвящен применению многомасштабных случайных процессов для решения стохастических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа, в частности, их применению к задаче о динамике границы раздела фаз во флуктуирующей среде; в параграфе 3.4 многомасштабные методы решения стохастических уравнений применяются к стохастическому уравнению Навье-Стокса. В главе 4, на основе разработанной концепции многомасштабных случайных процессов, вводится многомасштабная процедура стохастического квантования, основанная на

10 вейвлет-преобразовании. Глава 5 посвящена обобщению идей вейвлет-анализа на квантовые иерархические системы. В главе 6 исследуется возможность построения евклидовой теории поля на аффинной группе, вместо обычно используемой группы трансляций. Показано, что при соответствующей зависимости константы связи от масштаба, являющегося координатой на аффинной группе, расходимости в такой теории не возникают. Глава 7 посвящена связи многомасштабной теории поля и дискретной геометрии, прежде всего р-адической, используемой в космологических моделях. Глава 8 посвящена некоторым приложениям непрерывного вейвлет-преобразования, опубликованным в работах автора, к анализу экспериментальных данных, имеющих тот или иной элемент случайности. В Заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту. В Приложение вынесены некоторые детали вычислений.

11

12

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Алтайский, Михаил Викторович

Основные результаты выносимые на защиту

1. На основе непрерывного вейвлет-преобразования сформулирована концепция многомасштабных случайных процессов как случайных функций на аффинной группе [13, 193]. Разработан итерационный способ решения стохастических дифференциальных уравнений, в том числе содержащих многомасштабные случайные процессы, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании. Этот способ применен к решению уравнения Ланжевена и его частного случая, уравнения Кардара-Паризи-Занга, описывающего динамику границы раздела фаз в флуктуирующей среде. Вычислена поправка к коэффициенту поверхностного натяжения, возникающая при действии масштабно-зависимой случайной силы [193].

2. Показано, что два различных многомасштабных случайных процесса после обратного вейвлет-преобразования могут иметь совпадающие образы в пространстве процессов второго порядка. Данное свойство применено для построения многомасштабной процедуры стохастического квантования. Показано, что использование многомасштабных случайных процессов в процедуре стохастического квантования для определенного вида случайной силы обеспечивает регуляризацию теории [15, 193, 196].

3. Метод итерационного решения стохастических дифференциальных уравнений применен для решения уравнения Навье-Стокса с масштабно-зависимой случайной силой. В однопетлевом приближении вычислены корреляционная функция и функция отклика. Показано, что математическая формулировка гипотез Колмогорова может быть наиболее адекватным образом дана именно в терминах многомасштабных случайных функций [195].

4. На основе непрерывного вейвлет-преобразования предложен метод построе

195 ния квантовой теории поля непосредственно на аффинной группе. Построены упорядочение операторов и канонические коммутационные соотношения для многомасштабных квантовых полей [19, 194].

5. Предложен формализм квантования иерархических систем. Построены гильбертово пространство состояний для иерархических систем и матрица плотности. Данный формализм может быть использован для описания процессов записи информации в квантовые иерархические структуры [16].

6. Построено непрерывное вейвлет-преобразование над полем Qp как разложение по представлениям р-адической аффинной группы. Построен аналог дискретного вейвлет-преобразования с вейвлетом Хаара над полем Qp [8, 17]. Предложен геометрический подход к р-адической квантовой теории поля, на основе которого выдвинуто предположение о том, что наблюдаемая анизотропия микроволнового реликтового излучения может быть следствием дискретной р-адической геометрии ранней Вселенной [20, 25, 17].

7. Путем применения вейвлет-преобразования к кумулятивной мере, определенной для первичной структуры нуклеотидных последовательностей, обнаружен [24, 12] самоподобный характер распределения нуклеотидов, что подтверждает гипотезу Оно об иерархическом кодировании информации в первичной структуре ДНК, что подтверждается также наличием межмасштабных корреляций, обнаруженных в первичной структуре нуклеотидных последовательностей [22].

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам и соавторам, с которыми обсуждались результаты данной диссертации. Среди них автор особо признателен Н.В.Антонову, Н.М.Астафьевой, Дж.Боуману, И.В.Воловичу, М.Гнатичу, В.Н.Горбачеву, И.М.Дремину, Н.С.Ерохину, С.В.Козыреву, В.А.Крылову, С.С.Моисееву, О.А.Морневу, Л.Ноталлю, Г.А.Ососкову, Р.В.Полозову, В.Б.Приезжеву, Б.Г.Сидхарту, О.Г.Чхетиани, Д.В.Ширкову, Е.В.Щепину, М.Юрчишину.

196

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Алтайский, Михаил Викторович, 2006 год

1. Agakishiev, H. Cherenkov ring fitting techniques for the CERES RICH detectors / H. Agakishiev, a.o. // Nuclear Instruments and Methods. —1996. — Vol. A371. — Pp. 243-247.

2. Aizawa, Y. Soliton turbulence in one-dimensional cellular automata / Y. Aizawa, I. Nishikawa, K. Kaneko // Physica D. —1990. Vol. 45. - Pp. 307327.

3. Aldroubi, A. Wavelets in biology and medicine / A. Aldroubi, M. Unser. — CRC Press, 1999.

4. Altaiski, M. Fitting distributions with wavelets / M. Altaiski, 0. Kochetov, К. V. // Engineering Simulation. 1998. - Vol. 15. - Pp. 343-350.

5. Altaiski, M. V. On the incorporation of the concept of resolution to the definition of a coordinate system / M. V. Altaiski // Differential equations and dynamical systems. — 1996. — Vol. 4. — Pp. 267-274.

6. Altaiski, M. V. p-adic wavelet decomposition vs fourier analysis on spheres / M. V. Altaiski // Indian J. of Pure and Appl. Math. 1997. — Vol. 28, no. 2. — Pp. 195-207.197

7. Altaisky, M. фА-field theory on a Lie group / M. Altaisky // Frontiers of Fundamental Physics 4 / Ed. by B. Sidharth, M. Altaisky; B.M.Birlas Science Centre. NY: Kluwer Academic, 2001. - January. - Pp. 121-128.

8. Altaisky, M. Renormalization group and geometry / M. Altaisky // Frontiers of Fundamental Physics 5 / Ed. by B. Sidharth, M. Altaisky.— Hyderabad, India: 2003. — January.

9. Altaisky, M. V. Wavelet decomposition of the Schrodinger equation / M. V. Altaisky. — quant-ph/9505013.

10. Altaisky, M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis / M. V. Altaisky // Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. - Т. 74. - С. 35-60. -Переименован в "Письма в ЭЧАЯ".

11. Altaisky, М. V. Scale-dependent function in statistical hydrodynamics: a functional analysis point of view / M. V. Altaisky // European Journal of Physics B. 1999.- Vol. 8, no. 4. - Pp. 613-617.

12. Altaisky, M. V. Quantum states of hierarchic systems / M. V. Altaisky // Int. J. Quantum Information.— 2003.— Vol. 1, no. 2.— Pp. 269-278. quant-ph/0110043.

13. Altaisky, M. V. p-adic wavelet-transform and quantum physics / M. V. Altaisky // Труды Математического Института имени В.А.Стеклова. 2004. - Т. 245. - С. 41-46.

14. Altaisky, М. V. Wavelet based regularization for euclidean field theory and stochastic quantization / M. V. Altaisky // Trends in Field Theory Research /198

15. Ed. by 0. Kovras.- NY: Nova Science Publishers, Inc., 2004.- Pp. 105-118. hep-th/0311048.

16. Altaisky, M. V. Wavelets: Theory, Applications, Implementation / M. V. Altaisky. — India: Universities Press Ltd., 2005.

17. Altaisky, M. V. Fractal structure of quantum gravity and relic radiation anisotropy / M. V. Altaisky, V. A. Bednyakov, S. G. Kovalenko // Int. J. Theor. Phys. 1996. - Vol. 35. - Pp. 253-261.

18. Altaisky, M. V. Field theory model for two-dimensional turbulence: vorticity-based approach / M. V. Altaisky, J. C. Bowman // Acta Physica Slovaca.— 2002.- Vol. 52.- Pp. 553-558.

19. Altaisky, M. V. Multiscale properties ofDNA primary structure: cross-scale correlations / M. V. Altaisky, V. V. Ivanov, R. V. Polozov // Письма в ЭЧАЯ. 2000. - Т. 4. - С. 19-28.

20. Altaisky, М. V. On scale invariance and Ward identities in statistical hydrodynamics / M. V. Altaisky, S. S. Moiseev // J. de Physique I France.— 1991. Vol. 1. - Pp. 1079-1084.

21. Altaisky, M. V. Wavelet analysis of DNA sequences / M. V. Altaisky, O. A. Mornev, R. V. Polozov // Genetic Analysis. -1996. Vol. 12. - Pp. 165169.

22. Altaisky, M. V. p-adic physics below and above planck scales / M. V. Altaisky, B. G. Sidharth // Chaos, Solitons and Fractals. — 1999. — Vol. 10. Pp. 167176.

23. Altaisky, M. V. On standard and nonstandard applications of wavelet analysis. / M. V. Altaisky // Краткие сообщения ОИЯИ. 1996. - Т. 74. - С. 35-60.

24. Ambj0rn, J. Quantum gravity, dinamical triangulations and higher derivative regularization / J. Ambj0rn, J. Jurkiewicz, C. Kristjansen // Nucl.Phys. В.— 1993.- Vol. 393, no. 3.- Pp. 601-632.

25. Analytical and numerical study of a model of dynamically triangulated random surfaces / D. V. Boulatov, V. A. Kazakov, I. K. Rostov, A. A. Migdal // Nucl. Phys. В.- 1986.-Vol. 275.-Pp. 641-686.199

26. Arneodo, A. Wavelet transform of multifractals / A. Arneodo, G. Grasseau, M. Holschneider // Phys. Rev. Lett. 1988. - Pp. 2281-2284.

27. Aslaksen, E. W. Unitary representations of the affine group / Б. W. Aslaksen, J. R. Klauder // J.Math.Phys. 1968,- Vol. 9.- Pp. 206-211.

28. Battle, G. Wavelets and renormalization group / G. Battle. — World Scientific, 1989.

29. Baulieu, L. Equivalence of stochastic quantization and the Faddeev-Popov ansatz / L. Baulieu, D. Zwanziger // Nucl. Phys.B. — 1981. — Vol. 193, no. 1. — Pp. 163-172.

30. Bausch, R. Renormalized field theory of critical dynamics / R. Bausch, H. K. Jansen, H. Wagner // Z. Phys. В.- 1976.- Vol. 24.- Pp. 113-127.

31. Becchi, C. Renormalization in gauge theories / C. Becchi, A. Rouet, R. Stora // Ann. Phys.(NY).- 1976.-Vol. 98.- Pp. 287-321.

32. Bernaola-Galvan, P. Compositional segmentation and long-range fractal correlations in DNA sequences / P. Bernaola-Galvan, R. Roman-Roldan, J. L. Oliver И Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53, no. 5.- Pp. 5181-5189.

33. Best, C. Wavelet-induced renormalization group for Landau-Ginzburg model / C. Best // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.).- 2000.- Vol. 83-84.- Pp. 848-850.

34. Bowman, J. C. Spectral reduction: A statistical description of turbulence / J. C. Bowman, B. A. Sbadwick, P. J. Morrison // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 83, no. 26. Pp. 5491-5494.

35. Breit, J. Stochastic quantization and regularization / J. Breit, S. Gupta, A. Zaks // Nuclear Physics В.- 1984.- Vol. 233.- Pp. 61-68.

36. Brekke, L. p-adic numbers in physics / L. Brekke, P. Freund // Phys. Reports. — 1993.-Vol. 231.-Pp. 1-66.

37. Burgers equation with correlated noise: Renormalization-group analysis and applications to directed polymers and interface growth / E. Medina, M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang // Phys. Rev. A. — 1989. — Vol. 39, no. 6.- Pp. 30533075.200

38. Caire, G. Wavelet transforms associated with finite cyclic groups / G. Caire, R. L. Grossman, H. V. Poor // IEE Trans. Inf. Theory.— 1993,- Vol. 39, no. 4.-Pp. 1157-1166.

39. Caldirola, P. / P. Caldirola // Relativity Quanta and Cosmology. — New York: Jhonson Reprint Corporation, 1979.

40. Calude, C. Bio-steps beyound Turing / C. Calude, G. Paun // BioSystems.— 2004. Vol. 77. - Pp. 175-194.

41. Carey, A. L. Square-integrable representations of non-unimodular groups / A. L. Carey // Bull. Austr. Math. Soc. 1976. - Vol. 15,- Pp. 1-12.

42. Chi, Z. Construction of stationary self-similar generalized fields by random wavelet expansion / Z. Chi // Probability theory and related fields. — 2001. — Vol. 121, no. 2.-Pp. 269-300.

43. Continuous regularization of quantum field theory / Z. Bern, M. Halpern, L. Sadun, C. Taubes // Phys. Lett. В.- 1985.- Vol. 165.- Pp. 151-156.

44. Dahlke, S. Multiresolution analysis and wavelets on S2 and 53 / S. Dahlke, W. Dahmen, I. Weinreich // Numer. Funct. Anal, and Optimiz.— 1995. — Vol. 16.-Pp. 19-41.

45. Daubechies, I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets / I. Daubechies // Comm. Pure. Apl. Math.- 1988.- Vol. 41.- Pp. 909-996.

46. Daubechies, I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis /1. Daubechies // IEEE Trans. Inf. Theory. 1990. - Vol. 36, no. 5. -Pp. 961-1005.

47. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies.— Philadelphie: S.I.A.M., 1992.201

48. Dickhaus H. Khadra, L. Quantification of ecg late potentials by wavelet transformation / L. Dickhaus, H. Khadra, J. Brachmann // Comput. Methods Programs Biomed.- 1994.- Vol. 43,- Pp. 185-192.

49. Dubrulle, B. Possible statistics of scale invariant systems / B. Dubrulle, F. Graner // J. de Physique II France.- 1996.- Vol. 6, no. 5.— Pp. 797815.

50. Duflo, M. On regular representations of nonunimodular locally compact group / M. Duflo, С. C. Moore // J. Func. Anal. 1976. - Vol. 21.- Pp. 209-243.

51. Eswaran, V. Direct numerical simulations of the turbulence mixing of a turbulence mixing a passive scalar / V. Eswaran, S. B. Pope // Phys. Fluids. — 1988.- Vol. 31.- Pp. 506-520.

52. Farge, M. Wavelets and their application to turbulence / M. Farge // Annual review of fluid mechanics. — 1992. — Vol. 24. — Pp. 395-457.

53. Federbush, P. A new formulation and regularization of gauge theories using a non-linear wavelet expansion / P. Federbush // Progr. Theor. Phys. — 1995. — Vol. 94.-Pp. 1135-1146.

54. Feynman, R. P. Quantum mechanics and path integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. MacGraw-Hill, 1965.

55. Finkelstein, D. R. Quantum Relativity: a synthesis of the ideas of Einstein and Heisenberg / D. R. Finkelstein. — Berlin: Springer, 1996.

56. Forster, D. Long-distance and long-time properties of a randomly stirred fluid / D. Forster, D. R. Nelson, M. J. Stephen // Phys. Rev. A. 1977.- Vol. 16, no. 2.-Pp. 732-749.

57. Fournier, J. D. Remarks on the renormalization group in statistical fluid dynamics / J. D. Fournier, U. FYisch // Phys. Rev. A.- 1983.- Vol. 28.-Pp. 1000-1002.

58. Fractal landscapes and molecular evolution: modeling the myosin heavy chain gene family / S. V. Buldyrev, A. L. Goldberg, S. Halvin et al. // Biophys. J. — 1993.- Vol. 65.- Pp. 2673-2679.202

59. Fractal structure of two-dimensional gravity coupled to с = —2 matter / N. Kawamoto, V. Kazakov, Y. Saeki, Y. Watabiki // Phys. Rev. Lett. —1992. — Vol. 68, no. 14.-Pp. 2113-2116.

60. Freund, P. G. 0. Adelic string amplitudes / P. G. 0. Freund, E. Witten // Phys. Lett. В.- 1987.- Vol. 199, no. 2.- Pp. 191-194.

61. Frish, U. Turbulence / U. Frish. — Cambridge University Press, 1995.

62. Gabor, D. Theory of communication / D. Gabor // Proc. IEE. 1946. — Vol. 93.-Pp. 429-457.

63. Gale, J. M. Localization of DNA sequences of a replication origin in the rhodopsin gene locus of Chinese hamster cells / J. M. Gale, R. A. Tobey, J. A. D'Anna // J. Mol. Biol.- 1992.-Vol. 224.-Pp. 343-358.

64. Gawedzki, G. Anomalous scaling of a passive scalar / G. Gawedzki, A. Kupiainen // Phys. Rev. Lett.- 1995.- Vol. 75, no. 21.- Pp. 3834-3837.

65. Gell-Mann, M. Quantum electrodynamics at small distances / M. Gell-Mann, F. E. Low // Phys. Rev.- 1954.- Vol. 95, no. 5.- Pp. 1300-1312.

66. Germano, M. Turbulence: the filtering approach / M. Germano // J. Fluid. Mech. 1992. - Vol. 238. - Pp. 325-336.

67. Giovannini, M. Theoretical tools for CMB physics / M. Giovannini. astro-ph/0412601.

68. Glim, J. Quantum physics / J. Glim, A. Jaffe. — NY: Springer-Verlag, 1981.

69. Glimm, J. Quantum Physics: A functional integral point of view / J. Glimm, A. Jaffe. NY: Springer-Verlag, 1996.

70. Gowpillaud, P. Cycle-octave and related transforms in seismic signal analysis / P. Goupillaud, A. Grossmann, J. Morlet // Geoexploration.— 1984/85. — Vol. 23.-Pp. 85-102.

71. Gozzi, E. BRS symmetry in classical mechanics / E. Gozzi // Phys. Lett. B. — 1988.-Vol. 201.-P. 525.

72. Gozzi, E. The algebraic characteristic of ergodicity / E. Gozzi, M. Reuter // Phys. Lett. В.- 1989.- Vol. 233.- P. 383.203

73. Grossman, A. Wavelet analysis of the Navier-Stokes flow / A. Grossman, M. Lohden 11 Z.Phys.B.- 1996.- Vol. 100.- Pp. 137-147.

74. Grossmann, A. Transforms associated to square integrable group representations. I. general results / A. Grossmann, M. J., T. Paul // J. Math. Phys. 1985.- Vol. 26. - Pp. 2473-2479.

75. Grossmann, A. Decomposition of Hardy functions into square-integrable wavelets of constant shape / A. Grossmann, J. Morlet / / SI AM J. Math. Anal. — 1984.- Vol. 15, no. 4.- Pp. 723-736.

76. Hagan, S. Quantum computation in brain microtubules: Decoherence and biological feasibility / S. Hagan, S. R. Hameroff, J. A. Tuszynski // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65. - P. 061901.

77. Halliday, I. Simulation of field theories in wavelet representation / I. Halliday, P. Suranyi // Nucl. Phys.B.- 1995.- Vol. 436, no. 1/2.- Pp. 414-427.

78. Halpern, M. B. Universal continuum regularization of quantum field theory / M. B. Halpern // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1993. - Vol. 111. - Pp. 163-184.

79. Handy, С. M. Continuous wavelet transform analysis of one-dimensional quantum bound states from first principles / С. M. Handy, R. Murenzi // Phys. Rev. A.~ 1996.- Vol. 54, no. 5.- Pp. 3754-3763.

80. Hehre, W. G. Ab initio molecular orbital theory / W. G. Hehre, et al. — NY: Wiley, 1986.

81. Holschneider, M. Wavelet analysis on the circle / M. Holschneider // J. Math. Phys. 1990. - Vol. 31. - Pp. 39-44.

82. Holschneider, M. Regularite locale de la fonction "non-differentiable"de Riemann / M. Holschneider, P. Tchamitchan 11 Les Ondeletes / Ed. by L. P.G.- Berlin: Springer, 1990.- Pp. 102-124.

83. Holtzman, J. A. Microwave background anisotropics and large-scale structure in the universes with cold dark matter, baryons, radiation, and massive and massless neutrinos / J. A. Holtzman // Astophys. J. Suppl. — 1989. — Vol. 71, no. l.-Pp. 1-24.

84. Horii, T. Organization of the reca gene of escherichia coli / T. Horii, T. Ogawa, H. Ogawa 11 Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.- 1980.- Vol. 77.- Pp. 313-317.204

85. Houdr6, С. Wavelets, probability, and statistics: Some briges / C. Houdr6 // Wavelets, Mathematics and Applications / Ed. by J. Benedetto, M. Prazier. — CRC Press Inc., 1994.- Pp. 365-397.

86. Ни, S.-T. Elements of modern algebra / S.-T. Hu. — San Francisco: Holden-day, Inc., 1965.

87. Hiiffel, H. Generalized stochastic gauge fixing / H. Hiiffel, G. Kelnhofer // Phys. Lett. B. 1997. - Vol. 408, no. 1/4. - Pp. 241-244.

88. Isolation and characterization of Dobrava hantavirus carried by the striped field mouse (Apodemus agrarius) in Estonia / K. Nemirov, 0. Vapalahti, A. Lundkvist et al. // J. Gen. Virol. 1999.- Vol. 80. - Pp. 371-379.

89. Ito, K. On a formula concerning stochastic differentials / K. Ito // Nagoya Math. J. 1951. - Vol. 3. - Pp. 55-65.

90. Kaneko, A. Long-range correlations and 1// spectrum in noncoding DNA sequences / A. Kaneko, W. Li // Europhys. Lett. — 1992.— Vol. 17, no. 7.— Pp. 655-660.

91. Kaneko, H. Liouville theorems based pn symmetric diffusions / H. Kaneko // Bull. Soc. Math. France.- 1996.-Vol. 124,-Pp. 545-557.

92. Kardar, M. Dynamic scaling of growing interfaces / M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang 11 Phys. Rev. Lett.- 1986,- Vol. 56, no. 9,- Pp. 889-892.

93. Kawamoto, N. Fractal structure of quantum gravity in two dimensions: INS-Rep. 972 / N. Kawamoto. — Tokyo: Institute for Nuclear Study of Tokyo, 1993.

94. Kennedy, D. A. / D. A. Kennedy, S. Corrsin // J.Fluid. Mech.- 1961.-Vol. 10.-P. 366.

95. Knizhnik, V. Fractal structure of 2d-quantum gravity / V. Knizhnik, A. Polyakov, A. Zamolodchikov // Modern. Phys. Lett. A. — 1988.— Vol. 8, no. 3.-Pp. 819-826.205

96. Kreinovich, V. Causality explains why spatial and temporal translations commute: A remark / V. Kreinovich // Int.J.Theor.Phys. — 1996.— Vol. 35, no. 3.-Pp. 693-695.

97. Lewalle, J. Energy dissipation in the wavelet-transformed navier-stokes equations / J. Lewalle // Phys. Fluids A. 1993. - Vol. 5. - Pp. 1512-1513.

98. Lewalle, J. Wavelet transforms of the navier-stokes equations and the generalized dimensions of turbulence / J. Lewalle // App. Sci. Res. — 1993. — Vol. 51.-Pp. 109-113.

99. Lewalle, J. Wavelet transforms of some equations of fluid mechanics / J. Lewalle // Acta Mechanica. 1994. - Vol. 104. - Pp. 1-25.

100. Li, W. Expansion modification systems: a model for spatial 1// spectra / W. Li // Phys. Rev. A. — 1991. —Vol. 43.-Pp. 5240-5260.

101. Li, W. Understanding long-range correlations in DNA sequences / W. Li, T. G. Maar, K. Kaneko // Physica D. -1994. Vol. 75, no. 1-3. - Pp. 392-416.

102. Li, Z. Wavelet analysis for random processes / Z. Li, Q. Wang, Y. Wu // Mod. Phys. Lett.- 2001.- Vol. 16, no. 9.- Pp. 583-588.

103. Long-range correlations in nucleotide sequences / С. K. Peng, S. V. Buldyrev,

104. A. L. Goldberg et al. // Nature.- 1992.- Vol. 356. Pp. 168-171.

105. Ma, S.-K. Critical dynamics of ferromagnets in 6 — e dimensions: General discussions and detailed calculations / S.-K. Ma, G. Mazenko // Phys. Rev.

106. B. 1975. - Vol. 11, no. 11. - Pp. 4077-4100.

107. Mallat, S. A theory for multiresolution signal decomposition: wavelet transform / S. Mallat.— Preprint GRASP Lab. Dept. of Computer an Information Science, Univ. of Pensilvania.

108. Mallat, S. Multiresolution approximation and wavelets / S. Mallat // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. - Vol. 315. - Pp. 69-88.206

109. Martin, P. С. Statistical dynamics of classical systems / P. C. Martin, E. D. Sigia, H. A. Rose // Phys. Rev. 1973,- Vol. A8.- Pp. 423-437.

110. McComb, W. D. The Physics of turbulence / W. D. McComb.- Oxford: Clarendon Press, 1990.

111. Meneveau, C. Analysis of turbulence in orthonormal wavelet representation / C. Meneveau // J. Fluid. Mech.- 1991.- Vol. 232.- Pp. 469-520.

112. Mensky, M. B. Quantum measurement and decoherence / M. B. Mensky.— Kluver Academic, 2000.

113. Morlet, J. Sampling theory and wave propagation / J. Morlet // Proc. 51st Annu. Meet. Soc. Explor. Geophys. — Los-Angeles: 1981.

114. Morlet, J. Wave propagation and sampling theory / J. Morlet, G. Arens, I. Fourgeau // Geophysics. 1982. - Vol. 47. — Pp. 203-226.

115. Mosaic organization of DNA nucleotides / С. K. Peng, S. V. Buldyrev, S. Halvin et al. // Phys. Rev. E.— 1994.- Vol. 49, no. 2.- Pp. 1685-1689.

116. Muzy, J. F. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Phys. Rev. left. 1991.-Vol. 67.-Pp. 3515-3518.

117. Muzy, J. F. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: Application to turbulence data / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - Pp. 3515-3518.

118. Nakano, T. Direct interaction approximation of turbulence in wave packet representation / T. Nakano // Phys. Fluids.— 1988.— Vol. 31, no. 6.— Pp. 1420-1430.

119. Namiki, M. Stochastic quantization / M. Namiki.— Springer, 1992. — Vol. m9 of Lecture notes in physics.

120. Namiki, M. Stochastic quantization method in operator formalism / M. Namiki, Y. Yamanaka // Progr. Theor. Phys. 1983. - Vol. 69, no. 6. - Pp. 1764-1793.

121. Nelson, E. Probability theory and Euclidean field theory / E. Nelson.— Springer-Verlag, 1973.207

122. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson.— New Jersey: Princeton University Press, 1985.

123. Nielsen, M. Quantum computation and quantum information / M. Nielsen, I. Chuang. — Cambridge University Press, 2000.

124. Nonlinear analysis of network traffic / P. Akritas, P. Akishin, I. Antoniou et al. // Chaos, solitons and fractals. — 2002. — Vol. 14, no. 4. — Pp. 595-606.

125. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar / M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, L. V. // Phys. Rev. E.- 1995.- Vol. 52, no. 5.- Pp. 4924-4941.

126. Nottale, L. On scale relativity / L. Nottale. — Pergamon Press, 1993.

127. Nottale, L. Scale relativity and fractal space-time: Applications to quantum physics, cosmology and chaotic systems / L. Nottale // Chaos, Solitons and Fractals. 1996. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 877-938.

128. Ohno, S. Codon preference is but an illusion created by the construction principle of the coding sequences / S. Ohno // Proc. Natl. Acad. Sci. (USA). — 1988.- Vol. 85.- Pp. 4378-4382.

129. On multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems / R. Benzi, G. Paladin, G. Parizi, A. Vulpiani // J. Phys. A. -1984. Vol. 17. -Pp. 3521-3531.

130. Ondelettes, multifractales et turbulence / A. Arneodo, F. Argoul, E. Bacry et al. — Paris: Diderot, 1995.

131. Optical wavelet transform of fractal aggregates / E. Freysz, B. Pouligny,

132. F. Argoul, A. Arneodo // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - Pp. 745-748.

133. Ord, G. N. Fractal space-time: a geometric analogue of relativistic quantum mechanics / G. N. Ord // J. Phys. A.- 1983.- Vol. 16.- Pp. 1869-1884.

134. Orszag, S. A. Numerical simulation of turbulence / S. A. Orszag,

135. G. S. Patterson // Statistical models and turbulence / Ed. by M. Rosenblatt, C. Van Atta. — Springer, 1972. — Vol. 12 of Lecture notes in physics. — Pp. 127147.

136. Ostrowski, A. / A. Ostrowski // Acta Math. 1918. - Vol. 41. - P. 271.208

137. Parisi, G. Perturbation theory without gauge fixing / G. Parisi, Y.-S. Wu // Scientica, Sinica. 1981. - Vol. 24. - Pp. 483-496.

138. Parker, D. / D. Parker // Fundamental Questions in Quantum Mechanics / Ed. by L. M. Roth, A. Inomata.- NY: Gordon & Breach, 1986.

139. Patel, A. Why genetic information processing could have a quantum basis / A. Patel // J. Biosciences. — 2001. — Vol. 26.-P. 145. quant-ph/0105001.

140. Peierls, R. Suprises in theoretical physics / R. Peierls. — Princeton University Press, 1979.

141. Peyrin, F. Construction of wavelet decompositions for tomographic images /

142. F. Peyrin, M. Zaim, R. Goutte // Journal of Mathematical Imaging and Vision.- 1993.-Vol. 3.-Pp. 105-121.

143. Polyakov, A. M. Quantum geometry of bosonic string / A. M. Polyakov // Phys. Lett. В.- 1981.- Vol. 103, no. 3.-Pp. 207-210.

144. Qian, S. Wavelets and the numerical solution of partial differential equations / S. Qian, J. Weiss // Journal of Computational Physics. — 1993. — Vol. 106. — Pp. 155-175.

145. Quantification of DNA patchiness using long-range correlation measures /

146. G. Viswanathan, S. Buldyrev, S. Halvin, H. Stanley // Biophys. J. — 1997. — Vol. 72.-Pp. 866-875.

147. Ramal, R. Ultrametricity for physisists / R. Ramal, G. Toulouse, M. A. Virasoro // Rev. Mod. Phys. 1986. - Vol. 58.- Pp. 765-788.

148. Ramond, P. Field Theory: A modern Primer / P. Ramond. — Massachussets: Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1981.

149. Restero, J. M. Wavelet-Galerkin discretization of hyperbolic equations / J. M. Restero, G. K. Leaf // J.Comp.Phys.- 1995.- Vol. 122.- Pp. 118128.

150. Rioul, D. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms / D. Rioul, P. Duhamel // IEE Trans. Inf. Theory. 1992.— Vol. 38, no. 2.-Pp. 569-586.209

151. Rovelli, С. Narada's Quest: Conceptual problems and present approaches to quantum gravity / C. Rovelli // Advances in Gravitation & Cosmology / Ed. by B. Iyer, A. Prasanna, R. Varma, C. Vishveshwara. — New Delhi: Wiley Eastern, 1993.

152. Sancisi, R. HI rotation curves of galaxies / R. Sancisi, T. S. van Albada // Dark Matter in the Universe / Ed. by J. Kormendy, G. Knapp. — IAU Symposiuum No. 117.-Dordrecht: Reidel, 1987.-Pp. 67-80.

153. Schild, A. Discrete space time and integral lorentz transformations / A. Schild 11 Phys. Rev. 1948.- Vol. 73.- Pp. 414-415.

154. Sequences of the recA gene and protein / A. Sancar, C. Stachelek, W. Konigsberg, R. W. D. // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.-1980.- Vol. 77.-Pp. 2611-2615.

155. Shiff, L. I. Quantum mechanics / L. I. Shiff. — Singapore: McGraw-Hill, 1968.

156. Shirkov, D. V. The Bogoliubov renormalization group and solution symmetry in mathematical physics / D. V. Shirkov, V. F. Kovalev // Physics Reports.— 2001.- Vol. 352, no. 4/6.- Pp. 219-249.

157. Shneider, K. Wavelet approach for modelling and computing turbulence / K. Shneider, M. Farge. — Bruxelles: Von Karman Institute for Fluid Dynamics, 1998. — Vol. 1998-05 of Advances in turbulence modelling.

158. Simmons, G. F. Introduction to topology and modern analysis / G. F. Simmons. New York: McGraw Hill, 1963.

159. Smirnov, V. A. Renormalization in p-adic quantum field theory / V. A. Smirnov // Mod. Phys. Lett. A. — 1991. — Vol. 6.- Pp. 1421-1427.

160. Smoot, G. Structure of the СОВЕ differential microwave radiometer first-year maps / G. Smoot, et al. // Astrophys. J. 1992. - Vol. 396. - P. LI.

161. Sonego, S. Is there a space-time geometry? / S. Sonego // Phys.Lett.A.— 1995.-Vol. 208.-Pp. 1-7.210

162. Stanley, H. Fractal landscapes in biological systems: Long-range correlations in DNA and interbeat heart intervals / H. Stanley, et. al. // Physica A. —1992. — Vol. 191.-Pp. 1-12.

163. Stratonovich, R. A new representation for stochastic integrals an equations / R. Stratonovich // SIAM J. Control- 1966.- Vol. 4.- P. 362.

164. Strukov, I. A. Anisotropy of relic radiation in the RELICT-1 experiment and parameters of grand unification / I. A. Strukov, D. P. Brukhanov, A.

165. A. Skulachev, M. V. Sazhin // Phys. Lett. В. 1993.- Vol. 315, no. 1,2.-Pp. 198-202.

166. Struzik, Z. R. Wavelet transform based multifractal formalism in outlier detection localization for financial time series / Z. R. Struzik, A. P. J. B. Siebes // Physica A. 2002.- Vol. 309, no. 3-4. - Pp. 388-402.

167. Stueckelberg, E. C. La normalisation des constantes dans la theorie des quanta / E. C. Stueckelberg, A. Petermann // Helv. Phys.Acta.- 1953,- Vol. 26.-Pp. 499-520.

168. Torresani, B. Phase Space Decomposition: Local Fourier analysis on Spheres /

169. B. Torr6sani. — Prepint Univ. of Marceile CPT-93-2878.

170. Turbulence with pressure: Anomalous scaling of a passive vector field / N. Antonov, M. Hnatich, J. Honkonen, M. Jurcisin // Phys. Rev. E.— 2003.— Vol. 68.- P. 046306.

171. Van der Waerden, B. L. Modern algebra / B. L. Van der Waerden. — in 2 volumes edition. — NY: Frederick Ungar Publishing Co.,, 1949.

172. Vergassola, M. Wavelet transforms of self-similar processes / M. Vergassola, U. Frisch // Physica D.- 1991.- Vol. 54.- Pp. 58-64.

173. Vidakovich, B. A note on random densities via wavelets / B. Vidakovich.— Institute of Statistics & Decision Sciences, Duke University. Preprint DP 94-13.

174. Volovich, I. p-adic string amplitudes /1. Volovich // Class, and Quant. Grav. — 1987. Vol. 4. - Pp. L83-L87.

175. Wavelet analysis of a Gaussian Kolmogorov signal / M. Vergassola, R. Benzi, R. Bifale, D. Pisarenko // J.Phys.A. 1993. - Vol. 26. - Pp. 6093-6099.

176. Wavelet analysis of DNA sequences / A. A. Tsonis, P. Kumar, J. B. Eisner, P. A. 'bonis // Phys. Rev. E.- 1996.- Vol. 53, no. 2.- Pp. 1828-1834.

177. Wavelet analysis of high-resolution ECGs in post-infarction patients: role of the basic wavelet and of the analyzed lead / D. Morlet, J. P. Couderc, P. Touboul, P. Rubel // Int. J. Biomed. Comput.- 1995. — Vol. 39,- Pp. 311-325.

178. Wavelet-based detection of coherent structures and self-affinity in financial data / B. J. W. Fleming, D. Yu, R. G. Harisson, D. Jubb // European Physical Journal B. 2001. - Vol. 20. - Pp. 543-546.

179. Weyl, H. Gruppentheorie und Quantenmechanik / H. Weyl. — Lepzig: Hirzel, S., 1928.

180. Wheeler, J. A. Superspace and the nature of quantum geometrodynamics / J. A. Wheeler // Battelle Rencontres / Ed. by C. DeWitt, J. Wheeler. NY: Benjamin, 1968.

181. Wilson, K. G. Non-Lagrangian models of current algebra / K. G. Wilson // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 179, no. 5.-Pp. 1499-1512.

182. Wilson, K. G. Quantum field-theory models in less than 4 dimensions / K. G. Wilson // Physical Review D.— 1973.- Vol. 7, no. 10.- Pp. 29112927.

183. Wright, E. L. Interpretation of the cosmic microwave background radiation anisotropy detected by the СОВЕ microwave radiometer / E. L. Wright, et al. // Astrophys. J.- 1992.- Vol. 396, no. 1.- Pp. L13-L18.

184. Wyld, H. W. Formulation of the theory of turbulence in an incompressible fluid / H. W. Wyld 11 Annals of Physics.- 1961.-Vol. 14, no. 2.- Pp. 143-165.

185. Yakhot, V. Renormalization group analysis of turbulence / V. Yakhot, S. Orszag // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57, no. 14.- Pp. 1722-1724.212

186. Yomo, Т. Concordant evolution of coding and noncoding regions of DNA made possible by the universal rule of TA/CG deficiency-TG/CT excess / T. Yomo, S. Ohno // Proc. Natl. Acad. Sci. (USA).- 1989.- Vol. 86.- Pp. 8452-8456.

187. Zinn-Justin, J. Renormalization and stochastic quantization / J. Zinn-Justin // Nuclear Physics B. 1986. - Vol. 275, no. FS17.- Pp. 135-159.

188. Zwanziger, D. Covariant quantization of gauge fixing without Gribov ambiguity / D. Zwanziger // Nucl. Phys. B. -1981. Vol. 192. - Pp. 259-269.

189. Аджемян, JI. Ц. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности: размерности составных операторов / JI. Ц. Аджемян, А. Н. Васильев, Ю. М. Письмак // Теор. Машем. Физ.- 1983.-Т. 57.-С. 268-281.

190. Алтайский, М. В. Методы квантовой теории поля в задачах статистической гидродинамики: Ph.D. thesis / Институт космических исследований РАН. Москва, 1992.

191. Алтайский, М. В. Уравнение Ланжевена с масштабно-зависимым шумом / М. В. Алтайский // Доклады РАН. 2003. - Т. 392, № 2. - С. 180-182.

192. Алтайский, М. В. Причинность и многомасштабные разложения в квантовой теории поля / М. В. Алтайский // Письма в ЭЧАЯ.— 2005.— Т. 2, № 6.-С. 7-11.

193. Алтайский, М. В. Многомасштабная теория турбулентности в вейвлет-представлении / М. В. Алтайский // Доклады РАН. 2006. — Т. 410, № 3. -С. 326-330.

194. Алтайский, М. В. Многомасштабное стохастическое квантование / М. В. Алтайский // Нелинейный мир. 2006. - Т. 4, № 4/5. - С. 246-255.

195. Алтайский, М. В. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов / М. В. Алтайский, В. А. Крылов // Вестник РУДН— 2002,— Т. 1,№ 1.-С. 98-106.

196. Антонов, Н. В. Квантово-полевая ренормгруппа в задаче о растущей границе фаз / Н. В. Антонов, А. Н. Васильев // ЖЭТФ.- 1995.- Т. 108, № 3(9).-С. 885-893.213

197. Астафьева, Я. М. Вейвлет анализ: основы теории и некоторые приложения / Н. М. Астафьева // УФН 1994. - Т. 166, № 11.- С. 1146-1170.

198. Белоцерковский, О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. — Москва: Наука, 1984.

199. Белоцерковский, О. М. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу / О. М. Белоцерковский, А. М. Опарин. — Москва: Наука, 2000.

200. Боголюбов, Я. Я. Условие причинности в квантовой теории поля / Н. Н. Боголюбов // Изв. АН СССР. сер. физ. -1955.- Vol. 19, по. 2. Pp. 237-246.

201. Боголюбов, Н. Я. К теории умножения сингулярных причинных функций / Н. Н. Боголюбов, О. С. Парасюк // ДАН СССР. 1955. - Т. 100. - С. 2528.

202. Боголюбов, Н. Н. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. — Москва: Наука, 1973.

203. Дирак, П. А. М. К созданию квантовой теории поля / П. А. М. Дирак. — Москва: Наука, 1990.

204. Дмитриев, В. Ф. Производящий функционал для корреляционных функций гидродинамических течений, порождаемых случайной силой: Препринт 81-114 / В. Ф. Дмитриев. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1981.

205. Дмитриев, В. П. Стохастическая механика / В. П. Дмитриев. — Москва: Высшая школа, 1990.

206. Дремин, И. М. Дальние корреляции частиц и вейвлеты / И. М. Дремин // УФН. 2000. - Т. 170, № 11. - С. 1235-1244.

207. Дремин, И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // УФН.- 2001.- Т. 171, № 5.- С. 465-501.

208. Фейнман, Р. Статистическая механика / Р. Фейнман. — Москва: Мир, 1975.

209. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флет-чер. — Москва: Мир, 1991. — в 2х т.214

210. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гих-ман, А. В. Скороход. — Киев: Наукова думка, 1968.

211. Горбачев, В. Н. Физические основы современных информационных процессов / В. Н. Горбачев, А. И. Жилиба.— Санкт-Петербург: Издательство "Петербургский институт печати", 2004.

212. Колмогоров, А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А. Н. Колмогоров // ДАН СССР. 1941. - Т. 30. - С. 299-303.

213. Конструктивная теория поля / Под ред. А. Н. Колмогоров, С. П. Новиков. Математика, Новое в зарубежной науке № 6. — Москва: Мир, 1977.

214. Козырев, С. В. Вейвлет-анализ как р-адический спектральный анализ / С. В. Козырев // Известия РАН. Серия Математическая. — 2002. — Т. 66, № 2. — С. 149-158. http://xxx.lanl.gov/abs/math-ph/0012019.

215. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва: Наука, 1988.

216. Ландау, Л. Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва: Наука, 1989.

217. Моисеев, С. С. Спектры и способы возбуждения турбулентности в несжимаемой жидкости / С. С. Моисеев, А. В. Тур, В. В. Яновский // ЖЭТФ.— 1976. Т. 71, № 9. - С. 1062-1073.

218. Монин, А. С. Статистическая гидромеханика / А. С. Монин, А. М. Яг-лом. — Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1994.

219. Найфэ, А. X. Методы возмущений / А. X. Найфэ. — Москва: Мир, 1976.

220. Ососков, Г. А. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы: Tech. Rep. PI 1-97-347 / Г. А. Ососков, А. Б. Шитов. Дубна: ОИЯИ, 1997.

221. Понтрягин, Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. — 4е изд.— Москва: Наука, 1984.

222. Славнов, А. А. Введение в квантовую теорию калибровочных полей / А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев. — Москва: Наука, 1988.215

223. Условная матрица плотности: системы и подсистемы в квантовой механике / В. В. Белокуров, О. А. Хрусталев, В. А. Садовничий, О. Тимофеев-ская // Письма в ЭЧАЯ.- 2003.- Т. 1. — С. 16-29.

224. Васильев, А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А. Н. Васильев. — Санкт-Петербург: Издательство ПИЯФ, 1998.

225. Владимиров, В. С. р-Адический анализ и математическая физика / В. С. Владимиров, И. В. Волович, Е. И. Зеленое. — Москва: Наука, 1994.

226. Зимин, В. Д. Иерархическая модель турбулентности / В. Д. Зимин // Известия АН СССР.- 1981.- Т. 17, № 12.- С. 941-946.216