Редукция к одномерному уравнению Фоккера-Планка модели электрической активности ансамбля нейронов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Турбин, Андрей Александрович

• Турбин, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Турбин, Андрей Александрович

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР.

1.1. Единичный нейрон.

1.1.1 Устройство и морфология нейронов.

1.1.2 Нейрон как электрическая система.

1.1.3 Классификация моделей единичных нейронов.

1.2. Нейронный ансамбль.

1.2.1. Модульная организация коры головного мозга, гиппокамп.

1.2.2. Классификация современных моделей нейронных ансамблей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Редукция к одномерному уравнению Фоккера-Планка модели электрической активности ансамбля нейронов»

В настоящее время область применения традиционных физических подходов всё больше расширяется, и предлагаемая работа тому пример. Нейрофизиология и радиофизика объединяются общими математическими подходами: уравнениями Ланжевена и Фоккера-Планка-Колмогорова. Для механических систем и радиофизики эти уравнения появляются, например, при рассмотрении броуновского движения, флуктуаций в генераторах [1], замедления нейтронов [9] и плазмы, а также при описании распространения волн в случайной неоднородной среде [13]. Объектом исследования в механике, в случае броуновского движения, является ансамбль частиц (в настоящей работе под ансамблем понимается некая совокупность однотипных элементов), описываемых координатой и скоростью

Хь = на которые оказывается воздействие в виде случайных толчков.

А в нейрофизиологии объектом является ансамбль нейронов, находящийся под воздействием случайных синаптических «толчков». Состояние нейрона описывается неким вектором состояния Хп. Если понимать под элементом механической системы частицу, а в нейрофизиологии нейрон, то можно записать единое уравнение Ланжевена для элемента ансамбля: где F отражает действие регулярных сил, a Y - случайных. При рассмотрении ансамбля частиц при броуновском движении интересуются плотностью распределения в пространстве Хь, а для нейронов в пространстве Хп. На основании уравнения Ланжевена, можно написать уравнение Фоккера-Планка, позволяющее проследить эволюцию плотности распределения р : dt ~ Y dxt dxfdxJ ' где Xj и Xj - компоненты вектора X, A(x,t) отражает влияние регулярного воздействия F(x,tj, a B{x,t) - случайного воздействия Y{x,t). Таким образом, хотя уравнение Фоккера-Планка описывает процессы разной природы (блуждание частиц и синаптическое воздействие на нейроны), вид уравнения тот же.

Броуновские частицы могут находиться в поле действия внешних регулярных сил, например, силы тяжести. А нейроны могут быть под воздействием химических веществ, например, каинат оказывает постоянное возбуждающее синаптическое действие [45]. Для плазмы со слабым взаимодействием можно ввести самосогласованную силу, действующую на данную частицу со стороны всех остальных частиц. А для нейронов эта сила эквивалентна возбуждению или торможению, действующему со стороны нейронов ансамбля, имеющих синаптические контакты от нейронов этого же ансамбля. Математически это подобным образом отражается в функции

F{x,t) для уравнения Ланжевена и в функции а(х, для уравнения Фоккера-Планка.

В работе рассматриваются электрические свойства элемента ансамбля, нейрона. Нейрон суммирует электрические сигналы, приходящие от других нейронов и может переходить в возбуждённое состояние (спайк), тогда он выдаёт сигнал, поступающий на другие нейроны. Вектор состояния Хп должен отражать внутреннее состояние нейрона и однозначно разделять возбуждённое состояние и невозбуждённое, в таком случае можно называть фазовым вектором. Поскольку нейрон - сложная система, то выбор конкретного вектора состояния является неоднозначной задачей, сопровождаемой упрощениями, редукцией. Наиболее подробным вектором

Хп при рассмотрении нейрона, представляющего собой распределённый проводник второго рода, погруженный в проводящую межклеточную жидкость и отделённый от наружного проводника тонкой мембраной с особыми проводящими свойствами, является вектор состояний на графе. А одним из вариантов упрощенного вектора состояний Хп является единственная переменная - разность потенциалов V на мембране (Хп = (v)).

В работе предлагается новый вариант упрощённого вектора состояний Хп -универсальная величина - предполагаемое время до спайка т.

Актуальность исследований. Разработка математических методов исследования нейронных структур является одной из актуальных проблем современной нейрофизиологии. Развитие вычислительных средств и экспериментальных методик делает актуальным построение математических моделей активности нервной ткани, в частности, модели нейронного ансамбля (под нейронным ансамблем понимается некая совокупность однотипных, возбуждающих или тормозных, нейронов).

Нервная ткань представляет собой распределённую электродинамическую систему взаимодействующих источников тока в трёхмерном пространстве слабопроводящей среды (электролита), находящуюся под воздействием детерминированного и случайного воздействия. Распределение этих источников сложно и допускает целую иерархию упрощений. Во-первых, они объединены в некие замкнутые поверхности - нейроны. Во-вторых, распределение этих нейронов в ряде случаев можно рассматривать однородным. А в-третьих, согласно современным представлениям нейрофизиологии корковой ткани, нейроны часто работают коррелированно в ансамбле (например, в колонке). Поэтому создание целостной «полевой» модели ансамбля нейронов является актуальным. «Полевое» описание нейронного ансамбля, в отличие от «многочастичного», не рассматривает активность конкретного нейрона, а описывает ансамбль в терминах плотности распределения нейронов по параметрам состояния.

Среди существующих ансамблевых моделей нет общепризнанных, и задача построения вычислительно простой, но достаточно точной полевой модели нейронного ансамбля является актуальной. Решение этой задачи найдено в применении традиционных для физики (в частности, для радиофизики) математических подходов: используются уравнения Ланжевена и Фоккера-Планка, а также анализ колебательных систем для сведения модели нейрона к одномерной модели.

Цель работы состояла в разработке модели нейронного ансамбля. Для этого необходим переход от многочастичного (многоэлементного) описания нейронного ансамбля к полевому, то есть к описанию в терминах плотности распределения. Эта цель достигалась путём решения нескольких производных задач.

- Необходимым для полевого описания нейронного ансамбля являлось построение модели нейрона с малым числом переменных (с единственной переменной), характеризующих его состояние. Эта модель определялась выбором фазовой переменной и уравнениями для описания состояния нейрона.

- На этапе разработки средств численного моделирования были разработаны компьютерные программы для моделирования единичного нейрона и многочастичного ансамбля нейронов на основе уравнений Ходжкина-Хаксли.

- Была решена задача разработки уравнений для полевой модели ансамбля нейронов, и выведены формулы для связи параметров уравнений с параметрами уравнений единичного нейрона.

- Проводился сравнительный анализ исследуемых моделей.

- Также решалась задача моделирования экспериментально наблюдаемого гамма ритма активности участка нервной корковой ткани.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы статистической физики и математического моделирования.

- Для вывода уравнений модели ансамбля использовался формализм Фоккера-Планка, применяемый, в частности, в статистической радиофизике.

- Использовались и анализировались модели нейронов: модель Ходжкина-Хаксли, пороговый интегратор (Leaked-Integrate-and-Fire), спайковый нейрон (Spike Response Model) и нейрон - частотный генератор (Firing Rate). - Применялись численные методы, такие как: сеточный метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, метод прогонки для реализации неявной численной схемы уравнения теплопроводности, метод расщепления по физическим процессам для построения численной схемы уравнения переноса, метод наименьших квадратов для решения задач оптимизации коэффициентов аппроксимационных зависимостей.

Положения, выносимые на защиту:

- Предложенная модель нейрона, основанная на фазовой переменной -предполагаемом времени до спайка, достаточно точно описывает состояние нейрона между спайками.

- Предложенная полевая модель ансамбля достаточно точно описывает работу совокупности одинаковых нейронов под воздействием зашумлённого синаптического стимула.

Достоверность результатов.

- Достоверность модели единичного нейрона на основе фазовой переменной - предполагаемом времени до спайка - обеспечивается детальным сравнением её свойств со свойствами эталонной модели распределённого нейрона Ходжкина-Хаксли.

- Достоверность полевой модели нейронного ансамбля обеспечивается сравнением предлагаемой модели ансамбля и аналогичного многочастичного описания ансамбля нейронов.

- Модель ансамбля даёт непротиворечивые эксперименту результаты моделирования индуцированного гамма ритма активности нервной корковой ткани.

Научная новизна. Предложена новая модель нейронного ансамбля, в основе которой лежит новая однопараметрическая модель единичного нейрона. Модель единичного нейрона отличается от известных тем, что впервые в качестве единственной фазовой переменной выбрано предполагаемое время до следующего спайка.

Научная ценность. Полученные в диссертационной работе результаты представляют собой аналитические средства описания нейронных ансамблей. Тем самым они заполняют пробел в иерархии моделей от моделей единичных нейронов к моделям ЭЭГ. В частности, приведённый в диссертации пример моделирования гамма ритма в корковой ткани показывает возможность описания сложных нейрофизических процессов с помощью предлагаемой модели.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и обсуждались:

- на XIV Международной конференции по нейрокибернетике (Ростов-на-Дону 2005);

- на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург 2005);

- на пятой всероссийской научно-технической конференции «Нейроинформатика 2003» (Москва 2003);

- на научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург 2002);

- на заседании секции «Математические методы и модели в физиологии, биофизике и биохимии» физиологического общества им И.М.Сеченова (Санкт-Петербург 2002).

Краткое содержание. Работа состоит из трёх частей. В первой, обзорной, части рассказывается о моделях нейрона и нейронного ансамбля.

Вторая часть, состоящая из пяти глав, содержит сведения о новой предлагаемой т -модели нейрона и нейронного ансамбля. Первая глава второй части посвящена моделям нейрона, используемым в работе: Leaked-Integrate-and-Fire (LIF), Spike Response Model (SRM) и модели Ходжкина-Хаксли (XX). Во второй главе описывается сеть из модельных нейронов. В третьей главе представляется новая фазовая переменная т - предполагаемое время до состояния спайка, а в четвертой главе приводится модель единичного нейрона на основе этой переменной. Последняя глава второй части посвящена «полевой» т -модели нейронного ансамбля (ПМНА).

Третья часть, состоящая из двух глав, содержит результаты сравнения моделей и сравнение с экспериментом по вызванному гамма ритму гиппокампа. В первой главе повествуется об исследованиях х -модели нейрона, а вторая глава - о ПМНА.

Диссертация завершается обсуждением результатов и выводами. В приложения вынесены уравнения аппроксимации потенциал-зависимых каналов Migliore, описание известной полевой модели ансамбля, г & аналитический вывод функции перехода le ~ , вывод коэффициентов Е уравнения х -модели нейронного ансамбля и некоторые исходные коды.

1. ОБЗОР

В настоящем разделе рассказывается о нейронах мозга, о корковых отделах головного мозга и о моделировании электрофизиологических свойств нейронов и нейронных ансамблей.

Наиболее поверхностное представление о нервной системе, которое необходимо для понимания целей диссертации, состоит в следующем. Мозг состоит примерно из Ю10 нервных клеток [12], называемых нейронами. Нейроны - основные элементы мозга (существуют и вспомогательные элементы - глиальные клетки, кровеносные сосуды и др.). В нервных клетках ф возникают и распространяются электрические импульсы; нейроны взаимодействуют друг с другом в соответствии со сложной, в значительной степени генетически предопределённой «схемой соединения». Нейроны взаимодействуют и с мышцами (мотонейроны), и с рецепторами (сенсорные нейроны), преобразующими различные внешние и внутренние для организма сигналы в нервные импульсы.

1.1. Единичный нейрон

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Турбин, Андрей Александрович

Выводы

В настоящей работе предложена новая однопараметрическая модель нейрона (т -модель), построенная на новой универсальной фазовой переменной - предполагаемом времени достижения спайка (х). Показано, что х -модель достаточно точно отражает состояние нейрона.

Предложена новая полевая модель нейронного ансамбля (ПМНА), основанная на х-модели нейрона. ПМНА представляет собой уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. На примере сравнения с сетью распределённых нейронов показано, что ПМНА позволяет значительно упростить описание сети, состоящей из большого количества нейронов. С Щ использованием ПМНА успешно описано физиологическое явление по вызванной гамма активности гиппокампа.

ПМНА может быть использована для анализа нейросетей, а также для построения моделей более высокого уровня, например, модели участка корковой ткани.

3.4. Заключение

В третьей части показано, что т -модель единичного нейрона достаточно точно описывает модель распределённого нейрона XX, а также то, что т -модель - не хуже известной модели SRM по критерию чувствительности нейрона при подаче возмущения в разные фазы нейронной активности между спайками F(A).

Показано, что можно построить ПМНА как для ансамбля простейших нейронов, эмитирующих спайки, LIF-нейронов, так и для ансамбля распределённых нейронов XX. ПМНА хорошо описывает сеть из нейронов. ПМНА, построенная по LIF нейронам, моделирует LIF ансамбль не хуже • известной полевой модели [43], основанной на частной фазовой переменной - потенциале и.

Построена модель двух взаимосвязанных популяций возбуждающих и тормозных нейронов. Эта модель воспроизводит активность популяций, согласующуюся с известными экспериментальными данными по регистрации гамма ритма в гиппокампе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Турбин, Андрей Александрович, 2005 год

1. Ахманов СЛ., Дьяков Ю.Е., Чиркина А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука. 1981. 640 с.

2. Батуев А.С., Бабминдра В.П. Модульная организация коры головного мозга. // Биофизика. 1993. том 38, № 2, 351 355с.

3. Блум Ф., Лейзерсон А., Хофстедтер Л. Мозг, разум и поведение. М.: Мир, 1988.-248 с.

4. Борисюк P.M., Кириллов А.Б. Качественное исследование модели нейронной сети из двух однородных популяций. Пущино, 1982 17 с.

5. Глинка Н. Л. Общая химия. Химия: 1965. 688 с.

6. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методыанализа. / Под редакцией Б.П. Демидовича. М.: 1962г. - 400 с.

7. Жадин М.Н. Теория ритмических процессов в коре головного мозга. Пущино, 1982.-37 с.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 704 с.

9. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 337 с.

10. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. 320 с.

11. Ноздрачёв А.Д., Янцев А.В. Автономная передача. СПб, 1995. 281с.

12. Покровский А.Н. Процессы управления в нервных клетках. Л.: 1987. -83с.

13. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. М.: Наука: 1976. 491с.

14. Сентаготаи Я., Арбиб Н. Концептуальные модели нервной системы. М.: Мир, 1976.- 198с.

15. Турбин А.А., Чижов А.В. Изменение чувствительности нейрона ксинаптическому воздействию в период между спайками. //

16. Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара. Самара, 2004, 63-64с.

17. Чижов А.В. Модель вызванной активности популяций нейронов гиппокампа. // Биофизика. 2002. 47, №6,1007-1015с.

18. Чижов А.В., Грэм JI. Популяционная модель нервной ткани для трактовки экспериментальных гамма и тета ритмов в гиппокампе. // Проблемы нейрокибернетики. Труды международной конференции. -Ростов-на-Дону, 2005. Том 2. с 198-203.

19. Acker C.D., Kopell N., White J.A. Synchronization of Strongly Coupled Excitatory Neurons: Relating Network Behavior to Biophysics. // Journal of Computational Neuroscience. Kluwer Academic Publishers. 2003. № 15, 71-90 pp.

20. Araki O., Aihara K. Dual Information Representation with Stable Firing Rates and Chaotic Spatiotemporal Spike Patterns in a Neural Network Model. // Neural Computation. The MIT Press. 2001. Volume 13, № 12, 2799-2822 pp.

21. Brown Т.Н., Zador A.M. Hippocampus. In: The Synaptic Organization of the Brain. /Edited by and Shepherd G. M. New York: Oxford, 1990, p. 346-388.

22. Buhl E.H., Fisahn G.T.A. Cholinergic activation and tonic excitation induce persistent gamma oscillations in mouse somatosensory cortex in vitro. // Journal of Physiology. 1998. № 513.1. 117-126 pp.

23. Dayan P., Abbott L.F. Theoretical neuroscience. The MIT Press, 2001 -576 p.

24. De Schutter E., Smolen P. Calcium dynamics in large neuronal models, in Methods in neuronal modeling: from ions to networks. /Edited by Koch C. and Segev I. MIT Press, Boston. - 1998. 211-250 pp.

25. Destexhe A., Mainen Z.F., Sejnowski T.J. An efficient method for computing synaptic conductances based on kinetic model of receptor binding. //Neural computation. 1994. №6, 14-18 pp.

26. Destexhe A., Mainen Z.F., Sejnowski T.J. Methods in neuronal modeling (2nd Edition) / Edited by Koch C. MIT Press, Cambridge, MA, 1998, pp. 1-25.

27. Ermentrout G. В., Kleinfeld D. Viewpoint Traveling Electrical Waves in Cortex: Viewpoint Insights from Phase Dynamics and Speculation on a Computational Role. // Neuron Cell Press, 2001, № 29, 33^14 pp.

28. Ernst U.A., Eurich C.W. Cortical Population Dynamics and Psychophysics. In: The Handbook of Brain Theory and Neural Networks. / Edited by Arbib M. A. MIT Press, Cambridge MA, 2003,294-300 pp.

29. Fiala J.C., Harris K.M. Dendrite Structure. In: Dendrites. / Edited by G. Stuart, N. Spruston, M. Hausser, Oxford University Press, 1999.

30. Fisahn A., Pike F.G., Buhl E.H., Paulsen O. Cholinergic induction of network oscillations at 40Hz in the hippocampus in vitro. // Nature. -Macmillan Publishers, 1998, №394, 186-189 pp.

31. Fourcaud N., Brunei N. Dynamics of the Firing Probability of Noisy Integrate-and-Fire Neurons. // Neural Computation. 2002. № 14, 20572110 pp.

32. Freeman J.A., Skapura D.M. Neural networks: algorithms, applications, and programming techniques. Addison-Wesley Publishing Company, 1991.

33. Freund T.F., Buzsaki G. Interneurons of the hippocampus. // Hippocampus. 1996. №6, 347-470 pp.

34. Gerstner W., Kistler W.M. Spiking Neuron Models: Single Neurons, Populations, Plasticity. Cambridge University Press, 2002. - 400 pp.

35. Hajos N., Palhalmi J., Mann E.O., Nemeth В., Paulsen O., Freund T.F. Spike timing of distinct types of GABAergic interneuron during hippocampal gamma oscillations in vitro. // The Journal of Neuroscience 2004. №24, 9127-9137 pp.

36. Jackson M.B. Neurophysiology. In: Current Protocols in Neuroscience -1997. John Wiley & Sons, New York. 6.6.1-6.6.30.

37. Jaffe D.B., Carnevale N.T. Passive Normalization of Synaptic Integration Influenced by Dendritic Architecture. // The Journal of Neurophysiology. 1999. Volume 82, № 6 3268-3285 pp.

38. Kandel E.R., Schwartz J.H., Jessell T.M. Principles of neural science. -Forth edition, Mc Craw-Hill, 2000, 1414 pp.

39. Khazipov R., Holmes G.L. Synchronization of Kainate-Induced Epileptic Activity via GABAergic Inhibition in the Superfused Rat Hippocampus In Vivo. // The Journal of Neuroscience. 2003. Volume 23. № 12. 5337-5341 pp.

40. LeBeau F.E.N., Towers S.K., Traub R.D., Whittington M.A., Buhl E.H. Fast network oscillations induced by potassium transients in the rat hippocampus in vitro. // Journal of Physiology. The Physiological Society. 2002. № 542.1, 167-179 pp.

41. Mann E.O., Suckling J.M., Hajos N., Greenfield S.A., Paulsen O. Perisomatic Feedback Inhibition Underlies Cholinergically Induced Fast Network Oscillations in the Rat Hippocampus In Vitro. // Neuron. 2005 Volume 45, 105-117 pp.

42. Migliore M., Hoffman D.A., Magee J.C. Role of an A-type K+ conductance in the back-propagation of action potentials in dendrites of hippocampal pyramidal neurons. // Journal of computational neuroscience. 1999. № 7, 5-15 pp.

43. Nykamp D., Tranchina D. A Population Density Approach That Facilitates Large-Scale Modeling of Neural Networks: Analysis and an Application to Orientation Tuning. // Journal of Computational Neuroscience. 2000. №8, 19-50 pp.

44. Omurtag A., Knight B.W., Sirovich L. On the Simulation of Large Populations of Neurons. // Journal of Computational Neuroscience. 2000. №8, 51-63 pp.

45. Pare D., Lang E. J., Destexhe A. Inhibitory Control Of Somatodendritic Interactions Underlying Action Potentials In Neocortical Pyramidal

46. Neurons In Vivo: An Intracellular And Computational Study. // Neuroscience. Elsevier Science. 1998. Volume 84, №2, 377-402 pp.

47. Purves D., et al. (eds.) Neuroscience (Third edition). Massachusetts U.S.A., 2004.-832 pp.

48. Sergev I., Rinzel J., Shepherd G. The theoretical foundation of dendritic function: selected papers of Wilfird Rail with commentaries. Cambridge, Massachusetts: 1995 460 pp.