Синхронизация и образование структур в сложных осцилляторных ансамблях: колебания на нескольких временных масштабах, нерегулярная топология связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Иванченко, Михаил Васильевич

• Иванченко, Михаил Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванченко, Михаил Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ СИНХРОНИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ С "МНОГОМАСШТАБНЫМ" ХАОСОМ

1.1 Объединение временных масштабов.

1.2 Разделение временных масштабов.

1.3 Синхронизация лазеров в режиме генерации беретов.

L 1.4 Выводы.

2 КОЛЛЕКТИВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ГЕНЕРАЦИИ КОЛЕБАНИЙ НА НОВОМ ВРЕМЕННОМ МАСШТАБЕ В АНСАМБЛЯХ НЕЙРОННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

2.1 Генерация беретов в цепочках спайковых нейронов.

2.2 Генерация беретов в ансамблях с химическими синапсами.

2.3 Генерация беретов в ансамблях со сложной топологией связей.

2.4 Генерация коллективных беретов модельными нейронами Ходжкина-Хаксли

2.5 Выводы.

3 СИНХРОНИЗАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУР: КОНКУРЕНЦИЯ КОЛЕБАНИЙ НА РАЗЛИЧНЫХ ВРЕМЕННЫХ МАСШТАБАХ

3.1 Взаимная синхронизация между колебаниями на различных временных масштабах

3.2 Структуры синхронизации конкурирующих колебаний на нескольких временных масштабах.

3.3 Выводы.

4 ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ СЕТЕЙ

4.1 Структура сложных сетей.

4.2 Нединамические методы анализа.

4.3 Кластерная синхронизация: динамический анализ.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация и образование структур в сложных осцилляторных ансамблях: колебания на нескольких временных масштабах, нерегулярная топология связи»

К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении и понимании процессов синхронизации, десинхронизации и структурообразования в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов [1]-[8]. Результаты этих исследований используются для решения весьма различных прикладных задач: от передачи информации с помощью динамического хаоса [9] и исследования колебательных режимов в решетках микро- и напоме-ханических осцилляторов [10] до анализа способов обработки и кодирования информации биологическими нейронными ансамблями [20]. В этом промежутке лежат задачи разработки широкополосных радиолокационных систем на базе динамического хаоса [14, 15], криптографических алгоритмов [11, 12, 13].

Исследование процессов синхронизации и связанного с ними структурообразования в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. Теория синхронизации регулярных колебаний была в основном построена в 30-х - 60-х годах XX века и исчерпывающе описывала вынужденную синхронизацию автогенератора внешним периодическим сигналом и взаимную синхронизацию двух автоколебательных систем [1, 3]. Эта теория была положена в основу решения многих прикладных задач радиофизики, в частности, задач когерентного приема в системах связи, построения радиолокационных и навигационных систем, исследования динамики ансамблей сверхпроводящих джозефсоновских контактов и т.д. Тем не менее, в последние два десятилетия наблюдается крайне высокая активность в исследованиях синхронизации и связанных с ней динамических процессов, в частности, образования пространственных структур. Это продиктовано как интересом к процессам синхронизации сложных и хаотических колебаний, так и появлением целого ряда задач, требующих анализа коллективной динамики больших ансамблей со сложной топологией связи.

Во-первых, большое число природных физических систем может рассматриваться как класс распределенных, пространственно дискретных или непрерывных нелинейных активных колебательных систем, обладающих некоторым спектром колебательных мод. Примерами служат системы с турбулентностью [7], ансамбли многомодовых лазеров [95], джо-зефсоновских контактов [18], микро- и наномеханических осцилляторов [10, 17]. Одним из распространенных коллективных эффектов в таких системах, является синхронизация большого числа взаимодействующих, зачастую хаотических, нелинейных мод.

Во-вторых, явление динамического хаоса - сложного, квазислучайного поведения полностью детерминированной системы, по-видимому, может быть использовано для разработки новых подходов в задаче передачи информации. Преимущества хаотического сигнала над регулярным заключаются в его широкополосности (и, как следствие, большей помехоустойчивости и информационной емкости) [9]. Синхронизация идентичных или слабо неидентичных хаотических колебаний позволяет реализовать когерентный прием в схемах для передачи с помощью динамического хаоса, управлять распределением фаз в радиолокационных системах, декодировать сообщения, зашифрованные с помощью хаотического сигнала.

Наконец, идеи и методы радиофизики сейчас находят применение в анализе способов передачи, хранения и обработки информации биологическими нейронными сетями [16]. Здесь одним из ключевых вопросов является механизм координации работы отдельных нейронов. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования отводят эту роль процессам синхронизации[49, 50,16]. Поскольку значительная часть нейронов может генерировать хаотические колебания, наиболее адекватной постановкой задачи, сформулированной в терминах теории колебаний, здесь является изучение процессов хаотической синхронизации в больших ансамблях хаотических автоколебательных систем со сложной, нерегулярной топологией связи.

Следует отметить, что под синхронизацией регулярных колебаний всегда понималось совпадение их частот в результате взаимодействия. Для хаотических колебаний существует сразу несколько подходов к определению синхронизации, основанных на сравнении их различных характеристик. Мы будем рассматривать исключительно фазовую хаотическую синхронизацию, критерием которой является совпадение средних частот колебаний, как наиболее близкую к синхронизации регулярных колебаний.

Несмотря па обширную литературу, посвящепную исследованию фазовой хаотической синхронизации и структур синхронизации (B.C. Апищенко, В.В. Астахов, Б.П. Безручко, В.Н. Белых, А.С. Дмитриев, А.А. Короновский, А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, А.Ю. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, А.С. Пиковский, Д.Е. Постнов, М.И. Рабинович, М. Розенблюм, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, Н. Abarbahel, S. Boccaletti, B.G. Ermentrout, E.M. Izhekevich, M. Hasler, J. Kurths, Y. Kuramoto, U. Parlitz, L. Pecora, S. Strogatz), большинство работ ограничивается случаем, когда автоколебания во взаимодействующих системах слабо хаотичны, имеют ярко выраженный максимум в спектре мощности, соответствующий некоторой средней частоте колебаний. Синхронизация таких систем имеет много общего с классическим случаем синхронизации периодических осцилляторов. В ряде работ (А.А. Короновский, А.Е. Храмов) затрагивается вопрос синхронизации систем с более развитым хаосом, спектр мощности которых имеет несколько ярко выраженных максимумов (соответствующих различным характерным временным масштабам колебаний). Однако сколько-нибудь полная теория синхронизации таких систем в настоящее время отсутствует. Коллективная динамика ансамблей подобных осцилляторов, в том числе, характеризующихся сложной, нерегулярной топологией связи, является на настоящий момент одной из наиболее актуальных задач нелинейной динамики и радиофизики. Она имеет принципиальное значение для понимания основных закономерностей синхронной динамики распределенных активных систем с колебаниями на нескольких временных масштабах, таких как антенные решетки, цепочки связанных лазеров, модели турбулентных сред, нейронные ансамбли. Именно эти вопросы определяют актуальность темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теории фазовой хаотической синхронизации и образования структур в сложных ансамблях осцилляторов с хаотическими колебаниями на нескольких временных масштабах и нерегулярной топологией связи, и ее применении для исследования динамики связанных лазеров в режиме генерации береговых импульсов, механизмов генерации и синхронизации беретов нейронными ансамблями, а также разработки метода динамического анализа структуры сложных сетей.

Методы исследования и достоверность научных результатов. Представленные в работе результаты получены путем численного моделирования, а также с использованием качественных методов теории колебаний. Их достоверность и общность подтверждены воспроизводимостью результатов численного моделирования; воспроизводимостью результатов на базе различных математических моделей (ансамбли отображений, ансамбли обыкновенных дифференциальных уравнений); соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы. Эффективность предложенного метода анализа структуры сетей показана путем сравнения с характеристиками известных методов.

Научная новизна.

• Построена теория фазовой хаотической синхронизации колебаний на нескольких временных масштабах, в основу которой положены новые способы определения фазы и средней частоты. Исследованы основные закономерности процессов синхронизации и десинхронизации подобных систем (осцилляторы Ресслера в режиме аттрактора "воронка", отображения и осцилляторы Лоренца с хаотической перемежаемостью, лазеры в режиме генерации сложных хаотических импульсов).

• Обнаружен и исследован механизм генерации пакетов электрических импульсов (спай-ков) в нейронных ансамблях (как колебаний на новом временном масштабе) за счет неустойчивости режима синхронизации одиночных спайков, возникающей при увеличении силы связи.

• Для взаимодействующих малых ансамблей нейронных осцилляторов в режиме генерации спайковых пакетов (за счет конкуренции) впервые продемонстрировано существование областей взаимной синхронизации на высоких субгармониках (как синхронизации между колебаниями на различных временных масштабах), сравнимых по ширине с областями на основной гармонике и низких субгармониках.

• Впервые исследованы закономерности формирования структур синхронизации многомасштабных колебаний нейронных осцилляторов (в виде спайковых пакетов - беретов) при наличии конкуренции между ними.

• Впервые предложен метод анализа структуры сложных сетей с использованием явлений десинхронизации и кластерной синхронизации в ансамблях фазовых осцилляторов.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут найти применение при решении задач, связанных с исследованием коллективной динамики сетей сложных хаотических осцилляторов с колебаниями на нескольких ярко выраженных временных масштабах. Обнаруженный механизм генерации беретов в нейронных ансамблях, как было показано, наблюдается при различных типах моделируемой синапти-ческой связи, различных топологиях нейронного ансамбля, а также и при использовании реалистичных моделей типа Ходжкина-Хаксли в моделировании, в связи с чем его присутствие и экспериментальное обнаружение в биологических экспериментах представляется вполне вероятным. Кроме того, ожидается, что подобный механизм может наблюдаться и в других системах с иейроноподобной динамикой, например в связанных лазерах в режиме генерации одиночных импульсов. Результаты исследования взаимной синхронизации па субгармониках в малых нейронных ансамблях с берстовой динамикой типа конкуренция без победителя, а также формирования структур синхронизации беретов в нейронных ансамблях с конкуренцией могут найти применение как в задачах изучения процессов обработки и хранения информации иейропиыми ансамблями, так и для разработки алгоритмов для искусственных интеллектуальных систем, конструируемых па базе нейробиологических принципов. Динамический метод анализа структуры сложных сетей имеет вполне конкурентоспособные характеристики среди известных методов и представляется перспективным для анализа больших метаболических, протеиновых, социальных и физических сетей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 154 страницы, включая 92 рисунка и список литературы из 127 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Иванченко, Михаил Васильевич

4.4 Выводы

В данной главе были исследованы процессы десинхронизации и структурообразования в сложных осцилляторных сетях с неодородными асимметричными связями. Известно, что при нарушении глобальной фазовой синхронизации (вызванном, например, уменьшением силы связи) в регулярных и неругулярпых ансамблях наблюдается образование структур (кластеров) синхронизации. Разбиение всей сети на кластеры определяется как ее топологией, так и рапределением собственных частот осцилляторов. Согласно полученным нами результатам, введение весовых коэффициентов для связей между отдельными осцилляторами по предложенному алгоритму позволяет существенно понизить зависимость структуры кластеров синхронизации от распределения частот и усилить зависимоть от топологии сети. В результате, структура кластеров синхронизации, получаемая при изменении контрольного параметра, отражает т.н. модульную структуру сети, т.е. кластеры синхронизации отвечают группам осцилляторов, тесно связанных внутри и менее тесно -между собой.

Таким образом, данный эффект может быть использован для решения прикладной задачи распознавания модулей в сложном графе. Анализ точности и вычислительных затрат (0(N2)) этого метода и сравнение с характеристиками известных методов (не базирующихся па использовании динамических элементов в вершинах графа) показал, что предложенный метод не уступает им в точности, а для графов со слабо выраженной структурой превосходит по точности, а также улучшает показатели вычислительных затрат в случае больших сетей (порядка десятков тысяч узлов). Поэтому особенно перспективным представляется использование метода динамического структурирования для анализа метаболических, белковых, социальных сетей, модульная структура которых определяет их функциональные свойства, а большие размеры требуют черезмерпых временных затрат при современных вычислительных мощностях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена развитию теории фазовой хаотической синхронизации и образования структур в сложных сетях элементов с хаотическими колебаниями на нескольких временных масштабах и нерегулярной топологии связей.

Показано, что для широкого класса хаотических осцилляторов с колебаниями па нескольких ярко выраженных временных масштабах фаза и средняя частота колебаний могут быть определены с использованием одного из двух подходов: объединения временных масштабов (когда фаза, объединяющая колебания на всех временных масштабах вводится через мгновенную угловую скорость изображающей точки при движении вдоль фазовой траектории в определенной проекции) или разделения временных масштабов (когда фаза определяется только для одного из временных масштабов). С помощью предложенных методов исследован переход к хаотической синхронизации в хаотических системах с колебаниями на нескольких временных масштабах. На примере хаотической модели Ресслера продемонстрировано, что необходимым условием фазовой синхронизации осцилляторов, допускающих объединение временных масштабов, является установление функциональной связи пе только между фазами, но и амплитудами колебаний взаимодействующих осцилляторов. На примере систем с хаотической перемежаемостью и нейроноподобной береговой динамики связанных лазеров показано, что при разделении временных масштабов на одном из них (как правило, медленном) при увеличении силы связи устанавливаются синхронные колебания, десинхронизующиеся при дальнейшем усилении связи, в то время как на другом колебания остаются несипхронизированными.

Обнаружено, что за счет взаимодействия, коллективной динамики нейроноподобные осцилляторы могут демонстрировать генерацию колебаний на новом, быстром временном масштабе колебаний. Механизмом такой генерации является неустойчивость режима фазовой хаотичекой синхронизации одиночных электрических импульсов (спайков), разделенных большим временным интервалом, при увеличении силы связи выше определенного порогового значения. В результате наблюдается появление быстрых повторных спайков и формирование последовательностей из нескольких электрических импульсов (беретов). Этот эффект был объяснен с помощью анализа структуры фазового пространства автономного осциллятора. Существование обнаруженного механизма было подтверждено для различных типов связи между нейронами, различных математических моделей нейрона, различных вариантов топологии ансамбля, что указывает на общность данного механизма.

Были исследованы механизмы синхронизации между колебаниями на разных временных масштабах. Показано, что области взаимной синхронизации береговых колебаний в малых ансамблях пейроноподобных осцилляторов, генерируемых за счет конкуренции, на субгармониках сравнимы по ширине с полосой синхронизации иа основной частоте. Предложенный метод синхронизации посредством вспомогательного, промежуточного нейронного ансамбля позволяет обеспечить синхронизацию при очень большой кратности отношения частот беретов (порядка 20) при сохранении широких областей синхронизации.

Были изучены процессы формирования структур синхронизации многомасштабпых (береговых) колебаний в нейронных ансамблях с конкуренцией (за счет ингибиторных связей). Установлено, что параметром, определяющим изменение характеристик беретов при усилении взаимного ингибирования является соотношение между длительностью последовательности спайков, образующих берет, и полным периодом берета в автономном нейроне. При наличии узких беретов взаимодействие носит кооперативный характер: не меняя своей структуры береты генерируются последовательно каждым нейроном. При усилении ипгибиторной связи период беретов, среднее число спайков в берете меняются плавно. При наличии широких беретов взаимодействие носит характер конкуренции: сперва усиление ингибирования ведет к разрушению структуры беретов, их укорачиванию, хаотизации, и только затем береты организуются в упорядоченную последовательность.

На базе полученных результатов по процессам образования структур кластерной синхронизации в сетях фазовых осцилляторов с асимметричными неоднородными связями разработан динамический метод анализа структуры больших сложных сетей. Было показано, что он характеризуется более высокой точностью результатов, чем другие известные не динамические методы, а также, асимптотика его вычислительных затрат в сетях большого размера улучшает показатели почти всех имеющихся методов. Поэтому он является крайне перспективным для задач анализа структуры больших метаболических, протеиновых и социальный сетей, недоступных для имеющихся методов при современных вычислительных мощностях.

Необходимо отметить, что полученные результаты вызывают несомненный интерес с точки зрения возможных приложений. Так, рассмотренные закономерности процессов синхронизации колебаний на нескольких временных масштабах могут быть использованы для решения различных прикладных задач, среди которых - создание систем передачи информации на базе хаотического сигнала, разработка широкополосных хаотических радиолокационных систем, а также использование динамического хаоса в криптографических алгоритмах. Общность коллективного механизма генерации беретов в модельных спайко-вых нейронных ансамблях позволяет высказать гипотезу о возможности его наблюдения в нейробиологических экспериментах, а также может объяснять устойчивость и надежность генерации беретов в нейронных ансамблях. Взаимная синхронизация малых ансамблей с ингибиторными беретами на субгармониках, возможно, дает ответ на вопрос о механизме координации ритмов центральной нервной системы, принадлежащих различным частотным диапазонам. Представляется вероятным, что метод динамического анализа с помощью кластерной синхронизации сделает доступным исследование сетей размером порядка десятков и сотен тысяч узлов (метаболических, протеиновых, социальных), которые при существующих вычислительных возможностях персональных компьютеров не поддаются исследованию с помощью других методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванченко, Михаил Васильевич, 2007 год

1. М.И.Рабинович, Д.И.Трубсцков. Введение в теорию колебаний и волн. М.:Наука 1984.

2. Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer: Berlin, 1984.

3. A.C. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация: фундаментальное нелинейное явление, Москва: Техносфера, 2003.

4. В.С.Анищепко, Т.Е.Вадивасова, В.В.Астахов,Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского университета. 1999.

5. S. Boccaletti, J. Kurths, G. Osipov, D. L. Valladares, and C. S. Zhou, Phys.Rep. 366, 1, 2002.

6. M. C. Cross and P. C. Hohenbcrg, Pattern formation outside of equilibrium, Rev. Mod. Phys. 65, 851-1112(1993).

7. I. S. Aranson and L. Kramer, The world of the complex Ginzburg-Landau equation, Rev. Mod. Phys. 74, 99-143 (2002).

8. A.C. Дмитриев, А.И. Панас, Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002.

9. Y. Buks and M.L.Roukes, Electrically tunable collective response in a coupled micromechanical array, J. Micromech. Sys., 11, p. 802, 2002.

10. R. Mislovaty, E. Klein, I. Kanter, and W. Kinzel, Public channel cryptography by synchronization of neural networks and chaotic maps, Phys. Rev. Lett. 91, p. 118701, 2003.

11. W.-H. Kye et al., Encryption with synchronized time-delayed systems, Phys. Rev. E 71, p. 045202, 2005.

12. E. Klein, R. Mislovaty, I. Kanter, and W. Kinzel, Public-channel cryptography using chaos synchronization, Phys. Rev. E 72, p. 016214, 2005.

13. J.N. Blakely and N.J. Corron, Experimental observation of delay-induced radio frequency chaos in a transmission line oscillator, Chaos 14, 1035 (2004).

14. Fan-Yu Lin and Jia-Ming Liu, IEEE J. of Quantum Electronics, Vol. 40, No. 6, 2004, p. 815.

15. M. I. Rabinovich et al., Dynamical principles of neuroscience, Rev. Mod. Phys. 78, p.1213, 2006.

16. M. C. Cross et al, Synchronization by Nonlinear Frequency Pulling, Phys. Rev. Lett. 93, 224101 (2004).

17. K. Wiesenfeld, P. Colet, and S. H. Strogatz, Synchronization transition in a disordered Josephson series array. Phys. Rev. Lett., 76, 404 (1996).

18. Special focus issue on phase synchronization: Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 10,11, 2000.

19. Special focus issues on chaotic synchronization: Chaos 7 (1997) and Chaos 13(1), 2003;

20. И. И. Блехман, Синхронизация в природе и технике, М.: Наука, 1981.

21. А.А. Короновский, А.Е. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамический систем с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖЭТФ 79, 391-395, 2004.

22. O.E. Rossler, Phys. Lett. A, 57, 397, 1976.

23. G.V. Osipov, B. Hu, Ch. Zhou, M.V. Ivanehenko, J. Kurths, Three types of transition to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett., 91, p.0241041, 2003.

24. J. Kurths, M.C. Romano, M. Thiel, G.V. Osipov, M.V. Ivanehenko, I.Z. Kiss, J.L. Hudson, Synchronization analysis of coupled noncoherent oscillators, Nonlinear Dynamics, Vol. 44 (1-4), pp. 135-149 (2006).

25. M.A. Zaks, E.-H. Park, M.G. Rosenblum, and J. Kurths, Phys. Rev. Lett., 82, p.4228, 1999.

26. N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, and H. D. I. Abarbanel, Generalized Synchronization Of Chaos In Directionally Coupled Chaotic Systems, Phys. Rev. E 51, p.980, 1995.

27. L. Kocarcv and U. Parlitz, Phys. Rev. Lett. 76, p.1816, 1996.

28. JI. Д. Ландау и E. M. Лифщиц "Механика", 1976.

29. E.N. Lorcnz, J. Atmos. Sci., 20, p.130, 1963.

30. E. Reibold, W. Just, J. Becker, and H. Benner, Stochastic resonance in chaotic spin-wave dynamics, Phys.Rev.Lett., 78, p.3101, 1997.

31. M.V.Ivanchenko, G. V. Osipov, V. D. Shalfeev, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations, Phys. Rev. Lett. 92, 134101 (2004).

32. G. Ahlers, P. C. Hohenberg and M. Liickc, Thermal-Convection Under External Modulation Of The Driving Force. 1. The Lorenz Model, Phys.Rev. A, 32, p.3493, 1985.

33. J. E. Hirsch, B. A. Huberman, D. J. Scalapino, Intermittency In The Presence Of Noise -A Renormalization-Group Formulation, Phys.Rev. A, 25, 519, 1982.

34. J. K. Bhattacharjee and K. Banerjee, Intermittency In The Presence Of Control-Parameter Modulation, Phys.Rev. A, 29, p.2301, 1984.

35. Nakahara, H.,and K.Doya, Near-saddle-node bifurcation behavior as dynamics in working memory for goal-directed behavior, Neural Comput. 10, p. 113, 1998.

36. Kistler, W. M., and С. I. de Zeeuw, Dynamical working memory and timed responses: The role of reverberating loops in the olivo-cerebellar system, Neural Comput. 14, p.2597, 2002.

37. T. Sugawara, M. Tachikawa, T. Tsukamoto, and T. Shimizu, Observation Of Synchronization In Laser Chaos, Phys. Rev. Lett 72, p.3502, 1994.

38. Y. Liu and J. R. Rios Leite, Phys. Lett. A 191, p.134, 1994.

39. Y. Liu, P. C. de Oliveira, M. B. Danailov, and J. R. Rios Leite, Phys. Rev. A 50, p.3464, 1994.

40. C. S. Zhou, J. Kurths, E. Allaria, S. Boccaletti, R. Meucci, and F. T. Arecchi, Noise-enhanced synchronization of homoclinic chaos in a C02 laser, Phys. Rev. E 67, p.015205, 2003.

41. R. Meucci, E. Allaria, F.Salvadori, and F. T. Arecchi, Attractor selection in chaotic dynamics, Phys. Rev. Lett. 95, p.184101, 2005.

42. R. Meucci, F.Salvadori, M.V.Ivanchenko, K. al Naimee, Ch.Zhou, F. T. Arecchi, J.Kurths, Synchronization of spontaneous bursting in a C02 laser, Phys. Rev. E 74, 066207, 2006.

43. Дж.Николлс, Р.Мартин, Б.Валлас, П.Фукс, От нейрона к мозгу, Москва: Едиториал УРСС, 2003.

44. X.-J.Wang and J. Rinzel, in Handbook of Brain Theory and Neural Networks (ed. M.A.Arbib, Cambridge, MA: MIT Press 1995).

45. E.Marder and R.L.Calabrese, Principles of rhythmic motor pattern generation, Physiol. Rev. 76, p.687, 1996.

46. S. Grillner, The motor infrastructure: From ion channels to neuronal networks, Nature Rev. Neurosci. 4, p.573 , 2003.

47. M. Steriadc, D. A. McCormick, and T. J. Sejnowski, Thalamocortical oscillations in the sleeping and aroused brain, Science 262, p.679, 1993.

48. A.K.Engel, P.Fries, and W.Singer, Dynamic predictions: Oscillations and synchrony in top-down processing, Nat. Rev. Neurosci. 2, p.704, 2001.

49. A. Schnitzler and J. Gross, Normal and pathological oscillatory communication in the brain, Nature Rev. Neurosci. 6, p.285, 2005.

50. J.E.Lisman, Bursts as a unit of neural information: Making unreliable synapses reliable, Trends Neurosci. 20, p.38,1997.

51. W. D. Hutchison et al., J. Neurosci. 24, p.9240, 2004.

52. I. Timofeev and M. Steriadc, Neocortical seizures: Initiation, development and cessation, Neuroscience 123, p.299, 2004.

53. P. Tass et al., Detection of n : m phase locking from noisy data: Application to magnetoencephalography, Phys. Rev. Lett. 81, p.3291, 1998.

54. L. M. Pecora and T. L. Carroll, Master stability functions for synchronized coupled systems, Phys. Rev. Lett. 80, p. 2109, 1998.

55. L. M. Pecora, Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems, Phys. Rev. E 58, p.347, 1998.

56. A. Sherman, Antiphase, Asymmetric And Aperiodic Oscillations In Excitable Cells .1. Coupled Bursters, Bull. Math. Biol. 56, p.811, 1994.

57. M. Dhamala, V. K. Jirsa, and M. Ding, Transitions to synchrony in coupled bursting neurons, Phys. Rev. Lett. 92, p.074104, 2004.

58. I. Bclykh, E. de Langc, and M. Hasler, Synchronization of bursting neurons: What matters in the network topology Phys. Rev. Lett. 94, p.188101, 2005.

59. H. D. Abarbanel et al., Synchronized action of synaptically coupled chaotic model neurons, Neural Comput. 8, p.1567, 1996.

60. R. С. Elson et al., Synchronous behavior of two coupled biological neurons, Phys. Rev. Lett. 81, p.5692, 1998;

61. N.F.Rulkov, Regularization of synchronized chaotic bursts, Phys. Rev. Lett. 86, p.183, 2001.

62. M. I. Rabinovich et ai, Dynamical Encoding by Networks of Competing Neuron Groups: Winnerless Competition, Phys. Rev. Lett. 87, p.068102, 2001.

63. R. Levi et al., Dual sensory-motor function for a molluskan statocyst network, J. Neurophysiol. 91, p.336, 2004.

64. R. Levi et al., The role of sensory network dynamics in generating a motor program, J. Neurosci. 25, p.9807, 2005.

65. E. Maeda, H. P. C. Robinson, A. Kawana, The Mechanisms Of Generation And Propagation Of Synchronized Bursting In Developing Networks Of Cortical-Neurons, J.Neurosci. 15, p.6834, 1995.

66. I. Timofeev et al., Origin of slow cortical oscillations in deafferented cortical slabs, Cerebral Cortex 10, p.1185, 2000.

67. V.B.Kazantsev V.I. Nekorkin, S. Binczak, et al., Spiking patterns emerging from wave instabilities in a one-dimensional neural lattice, Phys. Rev. E 68, p.017201, 2003.

68. A.Sherman and J.Rinzel, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 89, p.2471, 1992.

69. C.C.Chow and N.Kopell, Dynamics of spiking neurons with electrical coupling, Neural Comput. 12, p.1643, 2000.

70. A.O.Komendantov and C.C.Canavier, Electrical coupling between model midbrain dopamine neurons: Effects on firing pattern and synchrony, J.Neurophys. 87, p.1526, 2002.

71. G. V. Osipov, M. V. Ivanehenko, J. Kurths, B. Hu, Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains, Phys. Rev. E 71, p.056209, 2005.

72. M.V.Ivanchenko, G.V.Osipov, V.D.Shalfeev, J.Kurths, Network Mechanism for burst generation, Phys. Rev. Lett. 98, 108101 (2007).

73. M.B. Иванченко, Генерация беретов в ансамблях спайковых нейронов с нелокальными связями, Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, Т.З, 2007.

74. А. О. Komendantov and N. I. Kononenko, Deterministic chaos in mathematical model of pacemaker activity in bursting neurons of snail, Helix pomatia, J. Theor. Biol. 183, 219 (1996).

75. A. Destexhe, Z. F. Mainen, T. J. Sejnowski, An Efficient Method For Computing Synaptic Conductances Based On A Kinetic-Model Of Receptor-Binding, Neural Computation 6 (1) pp. 14-18, 1994.

76. N.F. Rulkov, Modeling of spiking-bursting neural behavior using two-dimensional map, Phys. Rev. E 65, p.041922, 2002.

77. N.F. Rulkov, I. Timofeev, M. Bazhcnov, Oscillations in large-scale cortical networks: Map-based model, J. Сотр. Neuroscience, 17, p.203, 2004.

78. G.B. Ermentrout and N. Kopell, Frequency Plateaus In A Chain Of Weakly Coupled Oscillators .1., I. SIAM J. Math. Anal., 15, p.215, 1984.

79. G. V. Osipov and M. M. Sushchik, Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies, Phys.Rev.E, 58, p.7198, 1998.

80. N. F. Rulkov, Regularization of synchronized chaotic bursts, Phys. Rev. Lett. 86, p.183. 2001.

81. D.J. Watts, S.H. Strogatz, Collective dynamics of 'small-world' networks, Nature 393, p.440, 1998.

82. S. H. Strogatz, Exploring complex networks, Collective dynamics of 'small-world' networks, Nature 410, p.268, 2001.

83. V.M. Eguiluz et al., Scale-free brain functional networks, Phys. Rev. Lett., 94, p.018102, 2005.

84. S. Moldakarimov, J. E. Rollenhagen, C. R. Olson, and С. C. Chow, Competitive dynamics in cortical responses to visual stimuli, Journal Of Neurophysiology, 94 (5): 3388-3396, 2005.

85. J. E. Rollenhagen and C. R. Olson, Low-frequency oscillations arising from competitive interactions between visual stimuli in macaque inferotemporal cortex, Journal Of Neurophysiology 94 (5): 3368-3387, 2005.

86. M. I. Rabinovich, A. Volkovskii, A. P. Lecanda, R. Huerta, H. D. I. Abarbanel, and

87. G. Laurent, Dynamical encoding by networks of competing neuron groups: Winnerless competition, Phys. Rev. Lett. 87, p.068102, 2001.

88. G. Laurent, M. Stopfer, R. W. Friedrich, M. I. Rabinovich, A. Volkovskii, and

89. H. D. I. Abarbanel, Odor encoding as an active, dynamical process: Experiments, computation, and theory, Annu. Rev. Neurosci. 24, p.263, 2001.

90. O. Mazor and G. Laurent, Transient dynamics versus fixed points in odor representations by locust antennal lobe projection neurons, Neuron 48, p.661, 2005.

91. R. M. May and W. J. Leonard, SIAM J. Appl. Math. 29, p.243, 1975.

92. F. H. Busse and К. E. Heikes, Convection In A Rotating Layer Simple Case Of Turbulence, Science 208, p.173, 1980.

93. D. Armbruster and P. Chossat, Heteroclinic Orbits In A Spherically Invariant System, Physica D, 50, p.155, 1991.

94. P. Beltrame and C. Egbers, in Progress in Turbulence, ed. by J. Peinke, A. Kittel, S. Barth, and M. Oberlack (Springer, New York, 2005), p. 133.

95. R. Lopez-Ruiz and S. Boccaletti, Symmetry induced heteroclinic cycles in a C02 laser, Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 14, p.1121, 2004.

96. F. T. Arecchi, S. Bocaletti, and P. L. Ramazza, Pattern formation and competition in nonlinear optics, Phys. Rep. 318, p.l, 1999.

97. V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich, and P. Varona, Heteroclinic contours in neural ensembles and the winnerless competition principle, Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 14, p.1195, 2004.

98. M. I. Rabinovich, R. Huerta, and P. Varona, Heteroclinic synchronization: Ultrasubharmonic locking, Phys. Rev. Lett. 96, p.014101, 2006.

99. J. L. Hindmarsh and R. M. Rose, A Model Of Neuronal Bursting Using 3 Coupled ISt Order Differential-Equations, Proc. Roy. Soc. Lond. В 221, p.87, 1984.

100. S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwanga, Complex networks: Structure and dynamics, Phys. Rep. 424, p.175, 2006.

101. R. Albert, A.-L. Barabasi, Topology of evolving networks: Local events and universality, Phys. Rev. Lett. 85, p.5234, 2000.

102. A. L. Hodgkin and A. F. Huxley, J. Physiol. 117, p.500, 1952.

103. M.E.J.Newman and M. Girvan, Finding and evaluating community structure in networks, Phys. Rev. E 69, p.026113, 2004.

104. M.E. J.Newman, Analysis of weighted networks, Phys. Rev. E 70, p.056131, 2004.

105. M. R. Garey and D. S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness (W. H. Freeman к Company, 1979).

106. A. Pothen, H. Simon, and K.-P. Liou, Partitioning Sparse Matrices With Eigenvectors Of Graphs, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 11, p.430, 1990.

107. S. Wasserman and K. Faust, Social Networks Analysis, (Cambridge University Press, Cambridge, 1994).

108. G. Palla, I. Derenyi, I. Farkas and T. Vicsek, Uncovering the overlapping community structure of complex networks in nature and society, Nature 435, p.814, 2005.

109. I. Derenyi, G. Palla and T. Vicsek, Clique percolation in random networks, Phys. Rev. Lett. 94, p.160202, 2005.

110. W. W. Zachary, J. of Anthropological Res. 33, p.452, 1977.

111. M. Girvan and M. E. J. Newman, Community structure in social and biological networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 99, p.7821, 2002.

112. M. E. J. Newman, Fast algorithm for detecting community structure in networks, Phys. Rev. E 69, p.066133, 2004.

113. A. Clauset, M. E. J. Newman, and C. Moore, Finding community structure in very large networks, Phys. Rev. E 70, p. 066111, 2004.

114. F. Radicchi, C. Castellano, F. Cecconi, V. Loreto and D. Parisi, Defining and identifying communities in networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 101, p. 2658, 2004.

115. R. Guimera and L. A. N. Amaral, Functional cartography of complex metabolic networks, Nature 433, p.895, 2005.

116. A. Arenas, A. Diaz-Guilera and C. J. Рёгег-Vicente, Synchronization reveals topological scales in complex networks, Phys. Rev. Lett. 96, p.114102, 2006.

117. S.Boccaletti, M.V. Ivanchenko, A.Pluchino, V.Latora, A.Rapisada, Dynamical clustering methods to find community structures, ArXiv: physics/0607179 vl.

118. M.Chavez, D.Hwang, A.Amann, H.G.E. Hentschel and S.Boccaletti, Synchronization is enhanced in weighted complex networks, Phys. Rev. Lett. 94, p.218701, 2005.

119. V.N. Belykh, I.V. Belykh, M. Hasler, Connection graph stability method for synchronized coupled chaotic systems, Physica D, 195, p.159, 2004.

120. I.V. Belykh, V.N. Belykh, M. Hasler, Blinking model and synchronization in small-world networks with a time-varying coupling, Physica D, 195, p.188, 2004.

121. S. Fortunato, V. Latora and M. Marchiori, Method to find community structures based on information centrality, Phys. Rev. E 70, p.056104, 2004.

122. G.V. Osipov, M.V. Ivanchenko, Ch. Zhou, J.Kurths, Routes to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Proceedings of NDES, May 18-21, 2003, Switzerland; 189-192.

123. M.V. Ivanehenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, Synchronization of Chaotic Oscillators with Type-I Intermittency, Proc. of PhysCon 2003, August 20-22, 2003, Saint Petersburg, Russia, 563-568.

124. M.V.Ivanchenko, G.V.Osipov, Synchronization and desynchronization in chaotic spiking chain ensembles, Proc. of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications, Bruges, Belgium, October 18-21, 2005, pp.703-706.

125. G.V. Osipov, M.V. Ivanehenko, V.D. Shalfeev, J. Kurths, Synchronization of Chaotic Intermittent Behavior, 2nd International Conference Physics and Control, Saint Petersburg, Russia, August 24-26, 2005.

126. M.B. Иванченко, Синхронизация и десинхронизация спайковой ди-намики в ансамблях нейроноподобных осцилляторов, Тезисы конфереп-ции молодых ученых Нелинейные волновые процессы, Нижний Новго-род 1-7 марта 2006 г., стр.71-72.