Разработка волновых конечных элементов и методик расчёта динамики рабочих колёс турбомашин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Давыдов, Данила Петрович

• Давыдов, Данила Петрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Давыдов, Данила Петрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1 Обзор и анализ современного состояния проблемы математического моделирования динамики рабочих колёс турбомашин

2 Разработка дискового конечного элемента для расчёта динамических характеристик неравномерно нагретых вращающихся дисков рабочих колёс турбомашин

2.1 Дисковый волновой конечный элемент

2.2 Учёт влияния вращения и неравномерного нагрева на жёсткостные свойства дискового волнового конечного элемента

2.3 Формирование динамической конечно-элементной модели диска

2.4 Выводы по второй главе

3 Разработка лопаточного конечного элемента для расчёта динамических характеристик лопаток рабочих колёс турбомашин

3. 1 Лопаточный волновой конечный элемент

3.2 Формирование динамической конечно-элементной модели лопатки

3.3 Выводы по третьей главе

4 Исследование точности и вычислительной эффективности волновых конечно-элементных моделей

4.1 Исследование точности и вычислительной эффективности волновых

конечно-элементных моделей дисков турбомашин

4.1.1 Программа расчёта НДС дисков

4.1.2 Расчёт НДС диска постоянной толщины

4.1.3 Расчёт НДС конического диска

4.1.4 Расчёт НДС турбинного диска

4.1.5 Программа расчёта динамических характеристик дисков

4.1.6 Расчёт собственных частот модельных дисков

4.1.7 Расчёт собственных частот вращающегося модельного диска

4.1.8 Расчёт собственных частот зубчатого колеса

4.2 Исследование точности и вычислительной эффективности волновых конечно-элементных моделей лопаток турбомашин

4.2.1 Программа расчёта динамических характеристик лопаток турбомашин

4.2.2 Расчёт свободных колебаний стержней

4.2.3 Расчёт свободных колебаний реальных лопаток

4.3 Исследование точности и вычислительной эффективности волновых конечно-элементных моделей рабочих колёс турбомашин

4.3.1 Методика расчёта собственных частот и форм колебаний рабочих колёс турбомашин на основе использования волновых конечных элементов

4.3.2 Расчёт свободных колебаний модельного рабочего колеса

4.3.3 Расчёт свободных колебаний реальных рабочих колёс турбомашин

4.3.4 Эффективная методика определения резонансных частот колебаний рабочих колёс турбомашин с использованием волновых конечных элементов

4.4 Выводы по четвёртой главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка волновых конечных элементов и методик расчёта динамики рабочих колёс турбомашин»

ВВЕДЕНИЕ

Современные тенденции развития газотурбинного двигателестроения диктуют существенное улучшение технико-экономических показателей выпускаемой продукции. Так двигатели VI поколения в сравнении с V поколением должны обеспечивать уменьшение удельной массы в 1,4...2 раза, увеличение относительной лобовой тяги на 20...40%, уменьшение удельного расхода топлива на 15...40%, повышение надёжности на 60...80%, обеспечение назначенного ресурса 0,5... 1 от ресурса планера, сокращение числа деталей в двигателе более чем в 2 раза, снижение в 2...3 раза затрат на техобслуживание и как следствие - уменьшение расходов жизненного цикла почти на половину [110].

Рост мирового объёма воздушных пассажирских перевозок связан с необходимостью сокращения затрат времени на перелёты на значительные расстояния и требует создания экономичных силовых установок для сверхзвуковых, а в перспективе гиперзвуковых, самолётов нового поколения.

Решение такого обширного спектра задач может быть выполнено только на основе фундаментального научно-технического задела в области двигателестрое-ния, создание которого получило в настоящее время приоритетное направление в научно-технической политике России и всех индустриально развитых западных стран [102, 183].

Одним из основных направлений формирования научно-технического задела для перспективных двигателей и их узлов является разработка эффективных расчётных программных комплексов, надёжность которых и высокая производительность, позволят уменьшить зависимость разработчиков от большого объёма экспериментов и обеспечить рассмотрение многих вариантов решений и тем самым повысить технический уровень проектов.

Ориентировочная оценка данных [80, 127] показывает, что от общего числа дефектов, с которыми приходится сталкиваться в процессе доводки и эксплуатации газотурбинных двигателей (ГТД), 70-80% имеют вибрационное происхождение. Высокие темпы развития ГТД, сопровождающиеся интенсификацией процес-

сов, происходящих в двигателях, стремлением к снижению веса путём создания ажурных конструкций и увеличением ресурса, приводят к росту их вибрационной напряжённости и увеличению вероятности появления вибрационных дефектов.

Большую опасность представляет вибрация рабочих колёс (РК), как наиболее напряжённых элементов двигателя. Их разрушение вследствие высокого уровня колебаний приводит к досрочному выведению двигателей из эксплуатации, а иногда и к более тяжёлым последствиям.

Обеспечение вибрационной прочности РК на этапах проектирования и доводки представляет собой сложную техническую задачу, связанную с формированием у колёс таких динамических свойств, при которых резонансы с наиболее опасными гармониками будут невозможны, а с остальными будут происходить на заданных проходных режимах работы двигателя [51, 60]. Решению этой задачи сопутствует выполнение большого объёма расчётных исследований множества вариантов конструкций. В настоящее время подобные исследования ведутся с использованием коммерческих программно-вычислительных комплексов на основе численных методов, в частности метода конечных элементов (МКЭ) [1, 27, 73, 125, 126, 175], с привлечением дорогостоящих технологий кластерных вычислений. При этом время и средства, затрачиваемые на эти исследования, занимают значительное место в общем балансе времени и средств, идущих на проектирование и доводку турбомашин [70, 75, 87, 102, 115, 127].

Обзор работ по численному моделированию динамики РК и роторов ГТД свидетельствует о том, что, несмотря на успешное решение многих задач в этой области, существуют положения, требующие дальнейшего развития. В настоящее время всё ещё не существуют эффективные конечные элементы (КЭ), которые позволили бы выполнять быструю оптимизацию динамического облика отдельного РК или ротора целиком. Существующая теоретическая база и современная вычислительная техника позволяют достаточно точно рассчитывать динамические характеристики сложных конструкции за счёт использования трёхмерных моделей большой размерности [2, 20, 24, 101, 103, 106, 151, 156, 163, 173, 176], состоящих из универсальных КЭ с высокой степенью аппроксимации перемещений. Однако

выполнение работ по оптимизации РК с использованием таких моделей занимает значительное время, а оптимизация ротора становится просто невыполнимой задачей [23, 27, 68, 108, 112, 116, 159, 180, 181, 184].

В связи с вышеизложенным сокращение времени и материальных затрат на обеспечение надёжности РК турбомашин на этапах проектирования и доводки, за счёт создания вычислительных программ, обладающих высокими показателями быстродействия и точности, представляет собой актуальную научно-прикладную проблему.

Благодаря широкому распространению в инженерной практике программных комплексов на базе МКЭ одним из направлений решения проблемы, является применение методов параллельных вычислений для увеличения производительности и, как следствие, сокращения временных затрат [29, 44, 57, 74, 77, 84, 93, 99, 117]. Однако для обеспечения необходимой точности расчётов при достаточно мелкой сетке по пространственным переменным (большая размерность задачи) возникают трудности при недостаточном количестве вычислительных модулей, кроме того нарушается устойчивость решения и возникают нежелательные эффекты, связанные с отсутствием сходимости вследствие плохой обусловленности системы уравнений задачи [116]. Также следует отметить, что для наиболее полного использования вычислительных ресурсов при расчёте задач большой размерности требуется длительное конфигурирование вычислительной системы (кластера), сопровождающееся выполнением серий длительных тестовых расчётов.

К другому направлению решения проблемы относится увеличение быстродействия за счёт развития численных методов [33, 71, 104, 114, 140, 147, 150, 174] и совершенствования математических моделей [18, 24, 36, 37, 55, 73, 90, 91, 121, 160, 166, 172]. Следует отметить, что зачастую предлагаемые методы и модели имеют очень ограниченные области применения.

Для охвата широкого спектра задач модели должны описывать поведение исследуемого объекта с высокой точностью. В работах [19, 22, 51, 56, 60, 118] модели лопаточного венца и диска рассмотрены, как единая упругая система РК.

Общим для них является учёт свойств спектров собственных движений поворотно-симметричных тел, сформулированных В. П. Ивановым [60]. Такой подход позволяет перейти в расчётах от смещений РК к амплитудам волн и, тем самым, существенно снизить объём вычислений и требуемой для ЭВМ памяти.

В работе А. И. Ермакова [49] предложен эффективный способ снижения временных затрат на формирование динамического облика РК без привлечения дорогостоящих технологий параллельных вычислений, базирующийся на использовании двухуровневых моделей. Модели первого уровня позволят без лишней детализации конструкции объекта трансформировать его к варианту близкому к оптимальному, а модели второго уровня - выполнить окончательные оптимизирующие расчёты.

Очевидно, что для окончательного этапа оптимизации, которую необходимо проводить при полной детализации конструкции колеса, наиболее целесообразно привлечение коммерческих программных комплексов (ANSYS, NASTRAN, ABACUS и др.), получивших широкое распространение в отечественных и зарубежных инженерных центрах.

Главной целью настоящей диссертации является создание высокоэффективных инструментальных средств обеспечения вибрационной прочности рабочих колёс при проектировании турбомашин.

Достижение поставленной цели предопределило основные задачи исследования:

1) анализ состояния проблемы численного моделирования динамики РК турбомашин;

2) разработка методики построения и создание волновых КЭ, обеспечивающих высокую вычислительную эффективность и точность при решении задач динамики РК турбомашин;

3) разработка методики моделирования и расчёта свободных колебаний РК турбомашин на основе использования волновых КЭ;

4) разработка методики определения резонансных частот колебаний РК турбомашин с использованием волновых КЭ без многократного рас-

чёта их собственных колебаний при различных скоростях вращения ротора;

5) реализация разработанных методик и волновых КЭ в виде комплекса вычислительных программ, позволяющих рассчитывать собственные и резонансные колебания РК турбомашин в широком диапазоне их геометрических форм, физико-механических характеристик материалов, условий нагружения и граничных условий.

Методологическую основу исследования составляют методы теории упругости, теории колебаний и конечных элементов, а также теоретические разработки В. П. Иванова, Б. Ф. Шорра, Ю.С. Воробьёва, С. П. Тимошенко, А. И. Ермакова, Б. Г. Галёркина. Для решения поставленных задач в настоящей работе используется, разработанный В. П. Ивановым, обобщённый подход к теоретическому и экспериментальному исследованию колебаний систем, обладающих поворотной симметрией. Динамические характеристики РК определяются в виде матриц волновых конечных элементов с помощью МКЭ [34, 58, 94, 96, 111, 172], который основан на использовании дифференциальных уравнений колебаний элементарных участков подконструкций РК (лопаточный венец, диск и др.). При построении систем уравнений КЭ применяется метод Галёркина (Бубнова - Галёркина) как частная форма метода невязок [111, 131]. Всё это позволяет наиболее естественно учесть свойства спектра собственных движений тел, обладающих поворотной симметрией, без привлечения каких-либо дополнительных методов для определения собственных форм колебаний колёс в целом или их составных элементов, а также отпадает необходимость в использовании большого числа КЭ.

Научную новизну диссертационного исследования составляют:

1) разработанная методика создания эффективных волновых КЭ для исследования динамики конструкций, обладающих поворотной симметрией;

2) разработанные дисковый и лопаточный волновые КЭ, отличающиеся учётом произвольных окружных сдвигов между волнами узловых реакций и перемещений, и обеспечивающие высокие показатели вычислительной эффективности и точности при решении задач динамики

РК турбомашин;

3) разработанный осесимметричный дисковый КЭ, обеспечивающий высокую эффективность и точность вычислений статических напряжений в дисках, вызванных эксплуатационными нагрузками;

4) разработанная на основе волновых КЭ методика моделирования свободных колебаний РК турбомашин, обеспечивающая высокую эффективность расчётов;

5) разработанная методика и полученные аналитические выражения учёта влияния эксплуатационных нагрузок на коэффициенты матрицы жёсткости волновых КЭ, обеспечивающая многократное увеличение вычислительной эффективности при расчётах резонансных частот колебаний РК турбомашин.

Практическая ценность диссертации заключается в том что разработанные эффективные волновые и осесимметричный КЭ, а также методики моделирования и расчёта динамических характеристик поворотно-симметричных конструкций позволяют многократно снизить временные (свыше 100 крат) и материальные затраты на начальных этапах оптимизационных работ по формированию облика РК турбомашин с целью обеспечения их надёжности.

Теоретическую ценность исследования составляют:

1) предложенный подход и разработанная на его основе методика построения волновых КЭ, обеспечивающая получение аналитических зависимостей для определения коэффициентов матриц жёсткостей и масс;

2) созданные линейные двухузловые КЭ для расчёта статики и динамики РК турбомашин;

3) предложенная методика сведения задачи о нахождении резонансных частот колебаний РК турбомашин к проблеме собственных значений;

4) разработанные методики моделирования и расчёта динамики конструкций, обладающих поворотной симметрией.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается корректным использованием методов теории упругости и теории колебаний, а

также строгостью применяемых математических методов. Принятые в диссертационном исследовании допущения обоснованы путём их содержательного анализа. Достоверность результатов, полученных с помощью волновых КЭ, подтверждается сходимостью с данными натурных экспериментов, а также с результатами, полученными другими исследователями с помощью иных методов.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• международная научно-техническая конференция «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» (Самара, 2006);

• международная научно-техническая конференция «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» (Самара, 2009);

• III международная научно-техническая конференция «АВИАДВИГАТЕЛИ XXI ВЕКА» (Москва, 2010);

• международная научно-техническая конференция «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» (Самара, 2011);

• XVII международный конгресс двигателестроителей (2012, п. Рыбачье);

• международный научно-технический форум, посвящённый 100-летию ОАО Кузнецов и 70-летию СГАУ (Самара, 2012);

• симпозиум с международным участием «Самолётостроение России. Проблемы и перспективы» (Самара, 2012);

• международная научно-техническая конференция «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» (Самара, 2014).

На защиту выносятся:

1) дисковый волновой КЭ, обеспечивающий высокую точность и эффективность вычислений динамических характеристик вращающихся неравномерно нагретых дисков РК турбомашин.

2) лопаточный волновой КЭ, обеспечивающий высокую точность и эффективность вычислений динамических характеристик лопаточных венцов РК осевых турбомашин с учётом эксплуатационных нагрузок.

3) методика расчёта на основе волновых КЭ собственных частот колебаний РК турбомашин с учётом условий их эксплуатации, реализованная в виде комплекса вычислительных программ.

4) методика быстрого нахождения резонансных частот колебаний вращающихся РК турбомашин с помощью волновых КЭ, матрицы волновых жёсткостей которых имеют специальную структуру.

По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, в том числе 4 статьи в ведущих рецензируемых научных изданиях определённых ВАК и 1 статья в зарубежном научном журнале, включённом в международную систему цитирования Scopus. Отдельные результаты диссертации отражены в отчётах научно-исследовательских работ.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, а также списка литературы. Работа выполнена на 187 страницах, содержит 76 рисунков и 23 таблицы. Список литературы состоит из 198 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Работа выполнена в отраслевой научно-исследовательской лаборатории №1 «Вибрационная прочность и надёжность авиационных изделий» кафедры «Конструкция и проектирование двигателей летательных аппаратов» Самарского национального исследовательского университета им. академика С. П. Королёва.

Автор выражает искреннюю благодарность руководителю работы д.т.н. Ермакову А. И. за ценные советы и постоянное внимание на всех этапах выполнения диссертации, д.т.н. Лазуткину Г. В. и к.т.н. Виноградову А. С. за конструктивные замечания и рекомендации по отдельным вопросам работы, сотрудникам ПАО «КУЗНЕЦОВ» Селиванову И. А. и Злобину А. С. за предоставленные информационные материалы, своей супруге за проявленную поддержку, а также всему коллективу кафедры КиПДЛА и ОНИЛ-1.

1 ОБЗОР И АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ РАБОЧИХ КОЛЁС ТУРБОМАШИН

Исследованиям динамики РК посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных учёных. Значительный вклад в изучение проблемы внесли: Бех М. В., Биргер И. А., Богомолов С. И., Борискин О. Ф, Боришанский К.Н., Воробьёв Ю. С., Ермаков А. И., Иванов В. П., Кирхгоф Г., Кузнецов Н. Д., Кэм-пбелл В., Левин А. В., Лукин Б. С., Меерович И. И., Репецкий О. В., Стодола А., Темис Ю. М., Филиппов А. П., Хронин Д. В., Шорр Б. Ф., Эвинс Д. и др.

А. И. Ермаковым показано [51], что все задачи, связанные с расчётными исследованиями динамики РК можно с определённой степенью условности разделить на три группы. К первой относятся задачи определения резонансных частот вращения и собственных частот колебаний по формам, входящим в первые три семейства форм спектра РК (низкочастотные формы). Во вторую группу входят задачи, связанные с расчётом собственных колебаний по формам четвёртого по порядку и выше семейств (высокочастотные формы). К третьей группе относятся задачи расчёта флаттера и вынужденных колебаний РК.

Основной особенностью задач первой группы является то, что для их решения РК необходимо рассматривать как единую упругую систему, совершающую связанные колебания. Причём, следует иметь в виду, что степень влияния диска на собственную форму колебаний может существенно зависеть от поля центробежных сил. Это обстоятельство требует обязательного учёта при вычислении резонансных частот вращения РК, так как иначе есть риск допустить значительную погрешность в расчётах. Второй особенностью задач первой группы является возможность и целесообразность применения стержневой модели для описания динамических свойств пера лопатки. В качестве ещё одной особенности задач первой группы следует выделить возможность пренебрежения при их решении аэродинамической связанностью колебаний лопаток. Изменение жёсткостных

свойств РК в случае её учёта мало или вовсе не отражается на величинах рассчитываемых собственных частот колебаний.

Основными особенностями задач второй группы являются необходимость использования оболочечных или объёмных моделей лопаток и возможность существенного упрощения расчётной схемы РК. При выполнении расчётов высокочастотных колебаний колёс диск в подавляющем числе случаев не оказывает влияния на рассчитываемые собственные частоты и его податливостью можно пренебречь, учитывая лишь податливость заделки лопаток.

При решении задач третьей группы, в зависимости от поставленной цели исследований важными могут оказаться учёт податливости диска, аэродинамическая связанность колебаний и использование оболочечных или объёмных моделей лопаток.

Впервые внимание к задаче о колебаниях облопаченных дисков было привлечено, почти сто лет назад в связи с наблюдающимися разрушениями дисков паровых турбин. В. Кэмпбеллом [149] было предпринято систематическое экспериментальное исследование изгибных колебаний вращающихся дисков. Им были указаны причины, порождающие опасные колебания дисков и разработаны рекомендации по их устранению. Те представления, которые были внесены В. Кэм-пбеллом в эту задачу, стали классическими.

Задача о расчётном определении собственных частот облопаченных дисков впервые, была поставлена и решена ещё Стодолой [187]. Для колебаний дисков по формам с узловыми диаметрами им был эффективно использован метод Рэлея с описанием функции прогибов диска параболической зависимостью. Для форм с узловыми окружностями дифференциальное уравнение было составлено с помощью гипотезы Кирхгофа-Лява. При этом лопаточный венец заменялся массой распределённой по периферийному радиусу диска. Привлекая своей инженерной чёткостью, этот приближённый метод получил дальнейшее развитие в работах ряда исследователей: И. А. Биргера [10, 11], А. В. Левина [82], Г. Вика [193] и др.

Решающим этапом в формировании современных представлений о колеба-нях РК стала разработка В. П. Ивановым [60] обобщённого подхода к теоретиче-

скому и экспериментальному исследованию колебаний систем, обладающих поворотной симметрией. Этот подход основывается на выявлении общих вибрационных свойств, присущих любым линейно-упругим телам и системам, обладающих циклической (поворотной) симметрией:

1. Весь спектр собственных форм циклически-симметричных систем распадается на группы, каждой из которых присущ общий признак - целое число т волн внутренних усилий и перемещений, укладывающихся по окружности системы. Каждая из групп содержит в себе пары собственных форм с совпадающими собственными частотами, за исключением групп с т=0.

2. Окружное распределение амплитуд перемещений и внутренних усилий при колебаниях по любой из собственных форм подчинено в общем случае дискретному гармоническому закону:

■ 2-я „

г---т-К .

С = Х- е 8 - ег• р• ' (13)

где

С - комплексная амплитуда компонента усилия или перемещения;

г - мнимая единица;

8 - порядок поворотной симметрии;

т - число волн деформаций в окружном направлении;

К - порядковый номер периода поворотной симметрии;

р - собственная частота колебаний.

3. Между волнами различных компонентов усилий и перемещений возможен окружной относительный сдвиг, величина которого зависит от структуры системы.

Введение В. П. Ивановым понятий волновых динамических жёсткостей (ВДЖ) позволило образовать метод волновых динамических жёсткостей и подат-ливостей для расчёта колебаний поворотно-симметричных систем [61]. Суть метода заключается в том, что динамические характеристики любого кольцевого участка на границах с соседними участками всегда можно задать в виде фунда-

ментальных матриц ВДЖ, которые устанавливают связь для каждого кольцевого участка между комплексными амплитудами волны компонентов усилий и комплексными амплитудами волны перемещений.

Учёт особенностей спектров поворотно-симметричных систем позволяет существенно повысить эффективность математического аппарата при расчёте динамических характеристик РК турбомашин. Так как анализ колебаний всей системы может быть проведён при рассмотрении только её отдельной части.

Лопатки являются наиболее напряжёнными элементами роторов, поэтому вопросам теории колебаний их уделялось и уделяется особенно большое внимание. Исследованию колебаний лопаток посвящено большое количество работ [4, 5, 22, 39, 40, 65, 85, 91, 92, 107, 122, 138, 139, 143, 168, 178, 182 и др.].

Существенный вклад в изучение этого вопроса внёс Б. Ф. Шорр [136, 137]. Предложенная им теория стержней была уточнена Ю. С. Воробьёвым [21, 22, 26], что позволило учитывать депланацию сечения, начальную закрутку, сдвиг и т.д. Представление лопатки как стержня с изгибно-крутильной связанностью колебаний находит широкое применение у исследователей и в настоящее время [3, 41, 42, 128, 142, 144, 148, 154, 157, 169, 170, 188, 195, 196], так как позволяет в достаточно обширной практической области получать достоверные результаты при исследовании колебаний лопаток ГТД.

Следует отметить работу И. М. Фёдорова [128], в которой автор развивает существующую теорию закрученных стержней путём учёта несовпадения центров тяжести и центров жёсткости поперечных сечений пера лопатки. Однако данное усложнение оправдано при исследовании флаттера лопаток, сопровождающегося возникновением больших деформаций в результате потери устойчивости. Также в своей работе автор не рассматривает влияние диска на динамические характеристики лопаточного венца.

Ограничением в применении стержневых моделей является невозможность исследования высокочастотных оболочечных форм колебаний лопаток. Для этих целей используются оболочечные или объёмные модели. Существенный вклад в

развитие отечественных оболочечных моделей лопаток внесли Ф. С. Бедчер [5], И. И. Меерович [85], В. А. Рудовец [122].

Совершенствование вычислительных средств привело к успешному развитию численных методов решения систем дифференциальных уравнений, а именно МКЭ, для расчёта колебаний лопаток и более сложных элементов конструкции роторов. Это дало возможность описывать динамические свойства этих элементов с достаточной точностью при использовании чётких и удобных для машинного счёта алгоритмов.

Д. А. Насонов в своей работе [90] выделяет три подхода в развитии методов расчёта лопаток с помощью МКЭ. При первом подходе лопатка заменяется поверхностью, состоящей из плоских элементов треугольной или четырёхугольной формы. Матрицу жёсткости этих элементов получают как суперпозицию матриц для плоского напряжённого состояния и изгиба [17, 162, 185]. Такой подход требует достаточно густой расчётной сетки по пространственным переменным для обеспечения хорошей точности и сходимости расчётов. При втором подходе применяются оболочечные КЭ на базе двухмерной теории оболочек [43, 91, 107, 167, 191], которые позволяют получить более точные результаты. К недостатку этих КЭ Д. А. Насонов относит отсутствие непрерывности функций перемещений и их производных по рёбрам элементов. Устранение этого несовершенства приводит к существенному усложнению КЭ. В третьем подходе для расчёта напряжённо-деформированного состояния и колебаний используются объёмные КЭ [1, 92, 101, 103, 135, 161, 190]. Это позволяет отойти от теории стержней, пластин, оболочек и, основываясь на трёхмерной теории упругости, рассчитывать конструкции сложной формы. При этом усложняются процедуры подготовки исходной информации и обработки результатов расчётов, а также возрастают требования к вычислительным ресурсам.

Таким образом, целесообразность применения стержневой модели для описания динамических свойств пера лопатки при решении задач определения резонансных частот вращения и собственных частот колебаний по низкочастотным

формам (задачи первой группы) связана со следующими обстоятельствами. Во-первых, разработанная Ю. С. Воробьёвым уточнённая теория закрученных стержней позволяет достаточно точно, в пределах погрешности изготовления, определить низшие собственные частоты колебаний лопаток. Во-вторых, для представляющих практический интерес форм связанных колебаний РК характер распределения усилий от лопаток по ширине обода диска не влияет на значения собственных частот [25], что объясняется быстрым затуханием по радиусу диска краевых эффектов от любого характера распределения усилий в пределах периода системы при наличии дискретно-гармонического закона в их распределении по окружности. В-третьих, стержневые модели обеспечивают самую высокую вычислительную эффективность, в силу их относительной простоты, по сравнению с оболо-чечными и объёмными моделями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Давыдов, Данила Петрович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анализ колебаний лопаточного аппарата ГТД с монокристаллическими лопатками [Текст] / Ю. С. Воробьёв, М. А. Чугай, В. Н. Романенко и др. // Авиационно-космическая техника и технология. - 2011. - № 8. - С. 47-50.

2. Анализ колебаний рабочего колеса ГТД с монокристаллическими неохлаж-даемыми лопатками [Текст] / Ю. С. Воробьёв, М. А. Чугай, С. Б. Кулишов и др. // Восточно-европейский журнал передовых технологий. Сер. Современные технологии в газотурбостроении. - 2010. - № 3. - С. 48-51.

3. Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учётом депланации поперечного сечения [Текст] / К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский и др. // Проблемы прочности. -2009. - № 2. - С. 112-124.

4. Ахмедзянов, Д. А. Автоколебания лопаток компрессора авиационных ГТД [Текст] / Д. А. Ахмедзянов, А. Б. Козловская // Альманах современной науки и образования. - 2008. - № 7. - С. 9-10.

5. Бедчер, Ф. С. Исследование вибраций компрессорных лопаток [Текст] / Ф. С. Бедчер // Прочность и динамика авиационных двигателей. - 1966. - № 4. - С. 132-143.

6. Берёзкин, А. Ю. Исследование колебаний лопаточных колёс на основе метода волновых динамических жёсткостей [Текст] / А. Ю. Берёзкин, В. П. Иванов; Куйбышев. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1982. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.06.82, № 2810-82.

7. Берёзкин, А. Ю. Постановка задачи по исследованию разброса резонансных напряжений в бандажированных лопаточных венцах ГТД и выбор путей её решения [Текст] / А. Ю. Берёзкин; Куйбышев. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1980. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.03.80, № 1210-80.

8. Бех, М. В. Колебания дисков турбомашин с короткими лопатками [Текст] / М. В. Бех, Ю. С. Воробьёв // Проблемы машиностроения. - 1975. - №1. -С. 23-26.

9. Бех, М. В. Расчёт колебаний облопаченных дисков турбомашин [Текст] / М.

B. Бех, Ю. С. Воробьёв // Проблемы машиностроения. - 1976. - №2. - С. 5559.

10. Биргер, И. А. Вариационные методы в строительной механике турбомашин [Текст] / И. А. Биргер. - Москва: Оборонгиз, 1959. - 28 с.

11. Биргер, И. А. Круглые пластины и оболочки вращения [Текст] / И. А. Биргер.

- Москва: Оборонгиз, 1967. - 367 с.

12. Биргер, И. А. Расчёт на прочность деталей машин [Текст] / И. А. Биргер, Б. Ф. Шорр, Г. Б. Иосилевич. - Москва: Машиностроение, 1993. - 640 с.

13. Биргер, И. А. Стержни, пластины, оболочки [Текст] / И. А. Биргер. - Москва: Наука, 1992. - 390 с.

14. Богомолов, С. И. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях [Текст] / С. И. Богомолов, А. М. Журавлёва. - Харьков: Вища школа, 1973. - 179 с.

15. Богомолов, С. И. Колебания сложных механических систем [Текст] / С. И. Богомолов, А. М. Журавлёва. - Харьков: Вища школа, 1978. - 136 с.

16. Богомолов, С. И. Совместные колебания рабочих лопаток и дисков турбомашин [Текст] / С. И. Богомолов // Энергомашиностроение. - 1965. - №2. -

C. 7-11.

17. Борискин, О. Ф. Автоматизированные системы расчёта колебаний методом конечных элементов [Текст] / О. Ф. Борискин. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1984.

- 188 с.

18. Борискин, О. Ф. Смешанная аппроксимация перемещений в задачах механики твёрдого деформируемого тела [Текст] / О. Ф. Борискин, Д. А. Насонов // Информационные технологии в образовании: сб. тез. IX Междунар. Конф. «ИТО-99». - Москва: МИФИ, 1999. - Часть 1. - С. 54-55.

19. Борискин, О. Ф. Суперэлементный расчёт циклически симметричных систем [Текст] / О. Ф. Борискин. - Калуга: Эйдос, 1999. - 231 с.

20. Вебер, М. В. Расчётно-экспериментальный анализ вибрационных характеристик рабочих лопаток турбомашин [Текст] / М. В. Вебер, О. В. Репецкий // Известия ИГЭА. - 2012. - №1. - С. 44-48.

21. Воробьёв, Ю. С. Изгиб стержня с учётом депланации поперечного сечения при сдвиге и кручении [Текст] / Ю. С. Воробьёв // Динамика и прочность машин: сб. научн. тр. - 1965. - № 1. - С. 125-131.

22. Воробьёв, Ю. С. Колебания лопаточного аппарата турбомашин [Текст] / Ю. С. Воробьёв. - Киев: Наукова думка, 1988. - 224 с.

23. Воробьёв, Ю. С. Колебания многодисковых элементов ротора ГТД [Текст] / Ю. С. Воробьёв, К. Ю. Дьяконенко // Авиационно-космическая техника и технология. - 2004. - № 8. - С. 74-76.

24. Воробьёв, Ю. С. Математическое моделирование колебаний рабочего колеса ГТД с использованием новых материалов [Текст] / Ю. С. Воробьёв, М. А. Чу-гай // Восточно-европейский журнал передовых технологий. Сер. Современные технологии в газотурбостроении. - 2011. - № 3. - С. 49-52.

25. Воробьёв, Ю. С. Особенности свободных колебаний систем с конечным и малым порядком поворотной симметрии [Текст] / Ю. С. Воробьёв, М. В. Бех, М. Л. Корсунский // Аэроупругость лопаток турбомашин: тр. ЦИАМ. - 1989. - № 1266. - С. 64-71.

26. Воробьёв, Ю. С. Теория закрученных стержней [Текст] / Ю. С. Воробьёв, Б. Ф. Шорр. - Киев: Наукова думка, 1983. - 187 с.

27. Воробьёв, Ю. С. Численный анализ колебаний системы ротора вентилятора ГТД [Текст] / Ю. С. Воробьёв, К. Ю. Дьяконенко // Авиационно-космическая техника и технология. - 2005. - № 4. - С. 43-45.

28. Гаврюшин, С. С. Численные методы в динамике и прочности машин [Текст] / С. С. Гаврюшин, О. О. Барышникова, О. Ф. Борискин. - Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. - 492 с.

29. Газизов, Р. К. На службе у авиадвигателестроения [Электронный ресурс]: статья / Р. К. Газизов, А. В. Юлдашев, А. М. Ямилева. - Электрон. текстовые дан. - Уфимский государственный авиационный технический университет (УГАТУ), 2012. - Режим доступа: http://www.supercomputers.ru/index.php, свободный.

30. Галимов, Ш. К. Уточнённые теории пластин и оболочек [Текст] / К. Ш. Гали-мов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - 136 с.

31. Галиньш, А.К. Расчёт пластин и оболочек по уточнённым теориям [Текст] / А.К. Галиньш // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1970. - Вып. 5. - С. 23-64.

32. Галлагер, Р. Метод конечных элементов в технике [Текст] / Р. Галлагер. -Москва: Мир, 1975. - 542 с.

33. Гетманский, В. В. Высокопроизводительные методы расчёта дискретных моделей связанных систем тел [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18 / Гетманский Виктор Викторович. - Волгоград, 2013. - 155 с.

34. Голованов, А. И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций [Текст] / А. И. Голованов, О. Н. Тюленева, А. Ф. Шига-бутдинов. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.

35. Гольденвейзер, А. Л. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера [Текст] / А. Л. Гольденвейзер, Ю. Д. Каплунов, Е. В. Нольде // Изв. АН СССР. Сер.: Мех. твёрд. тела. - 1990, -№6. - С. 124-138.

36. Гречанинов, И. П. Разработка математических моделей и методов моделирования сложных механических систем с циклической поворотной симметрией в нелинейной постановке [Электронный ресурс]: отчёт / И. П. Гречанинов. -Электрон. текстовые дан. - РФФИ, 2001. - Режим доступа: http://www.rfbr.ru/rffi/ru/project_search/o_205463, свободный.

37. Гречанинов, И. П. Трёхмерное математическое моделирование нелинейных термомеханических задач для систем с циклической поворотной симметрией [Электронный ресурс]: отчёт / И. П. Гречанинов. - Электрон. текстовые дан.

- РФФИ, 2003. - Режим доступа: http://www.rfbr.ru/rffi/ru/project_search/ o_234266, свободный.

38. Григорьева, П. П. Дискретная модель диска с лопатками газотурбинного двигателя [Текст] / П. П. Григорьева, Ю. А. Лымаренко, А. Д. Шамровский // Вестник НТУ «ХПИ»: Динамка та мщнють машин. - 2003. - № 12. - С. 4050.

39. Гринбер, С. М. К вопросу об изгибно-крутильных колебаниях лопаток компрессоров [Текст] / С. М. Гринбер // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов. - 1965. - № 19. - С. 5-13.

40. Гринбер, С. М. Расчёты частот изгибно-крутильных колебаний лопаток осевых компрессоров [Текст] / С. М. Гринбер // Расчёты на прочность. - 1963. -№ 9. - С. 339-361.

41. Давыдов, Д. П. Построение стержневого конечного элемента лопатки, как компонента поворотно-симметричной системы рабочего колеса [Текст] / Д. П. Давыдов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. - 2011. - №2. - С. 172-176.

42. Давыдов, Д. П. Разработка лопаточного волнового конечного элемента для исследования динамики рабочих колёс турбомашин [Текст] / Д. П. Давыдов // Естественные и технические науки. - 2011. - №2. - С. 34-38.

43. Даревский, В. М. Основы теории оболочек [Текст] / В. М. Даревский. - Москва: ФГУП ЦИАМ, 1998. - 196 с.

44. Демьянович, Ю. К. Проблемы распараллеливания в некоторых локальных задачах [Текст] / Ю. К. Демьянович // Приборостроение. - 2009. - №10. - С. 4149.

45. Демьянушко, И. В. Расчёт на прочность вращающихся дисков [Текст] / И. В. Демьянушко, И. А. Биргер. - Москва: Машиностроение, 1978. - 247 с.

46. Динамика авиационных газотурбинных двигателей [Текст] / под ред. И. А. Биргера, Б. Ф. Шорра. - Москва: Машиностроение, 1981. - 232 с.

47. Еленевский, Д. С. Исследование колебаний рабочих колёс вентиляторов ГТД при изменении условий на входе в двигатель [Текст] / Д. С. Еленевский, В. В. Малыгин // Проблемы прочности. - 1983. - №10. - С. 81-85.

48. Ермаков, А. И. Динамическая модель осесимметричной оболочки [Текст] / А. И. Ермаков; Самарский гос. аэрокосм. университет. - Самара, 1996. - 35 с. -Деп. в ВИНИТИ 22.03.96, № 879-В96.

49. Ермаков, А. И. Исследование вибрационных характеристик поворотно-симметричных конструкций [Текст] / А. И. Ермаков, Д. Е. Чегодаев // Вибрационная техника: тез. докл. Всесоюз. научн.-техн. конф. - Тбилиси, 1991. -С. 63-64.

50. Ермаков, А. И. К расчётной модели влияния вращения на колебания диска [Текст] / А. И. Ермаков, В. П. Иванов // Проблемы прочности. - 1983. - №6. -С. 98-101.

51. Ермаков, А. И. Методы и модели расчёта динамических характеристик рабочих колёс ГТД [Текст]: дис. ... д-ра. техн. наук: 05.07.05 / Ермаков Александр Иванович. - Самара, 1996. - 385 с.

52. Ермаков, А. И. О новой концепции формирования разброса резонансных напряжений в рабочих колёсах со слабой связанностью колебаний [Текст] / А. И. Ермаков; Самарский гос. аэрокосм. университет. - Самара, 1995. - 28 с. -Деп. в ВИНИТИ 24.05.95, № 1470-В95.

53. Ермаков, А. И. Расчёт динамических характеристик рабочих колёс авиационных ГТД [Текст] / А. И. Ермаков, В. А. Фролов; Куйбышев. авиац. ин-т. -Куйбышев, 1984. - 217 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.12.84, № 7669-В84.

54. Ермаков, А. И. Расчёт собственных частот колебаний на основе метода волновых динамических жёсткостей и податливостей [Текст] / А. И. Ермаков, В. П. Иванов, В. А. Фролов // Проблемы прочности. - 1986. - №6. - С. 90-95.

55. Жестовский, В. В. Развитие критериев прочности деталей ГТД при использовании расчётных моделей высокого уровня [Текст] / В. В. Жестовский, В. В. Кутырев. - Москва: ФГУП ЦИАМ, 2001. - 36 с.

56. Журавлёва, А. М. Расчёт вынужденных колебаний лопаточных венцов с замкнутыми на круг связями в неоднородном потоке [Текст] / А. М. Журавлёва, Е. П. Петров // Динамика и прочность машин. - 1981. - №31. - С. 22-29.

57. Зверев, Е. Ускорение инженерных расчётов в ANSYS Mechanical при использовании GPU NVIDIA Tesla [Текст] / Е. Зверев, Ю. Новожилов, Д. Михалюк // Рациональное управление предприятием. - 2011. - № 3. - С. 80-85.

58. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенкевич. -Москва: Мир, 1975. - 541 с.

59. Иванов, В. П. Колебания лопаточного венца с поясом связи [Текст] / В. П. Иванов, В. А. Фролов // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов: сб. научн. тр. / Куйбыш. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1972. - № 51. - С. 3-17.

60. Иванов, В. П. Колебания рабочих колёс турбомашин [Текст] / В. П. Иванов. -Москва: Машиностроение, 1983. - 224 с.

61. Иванов, В. П. Метод волновых динамических жёсткостей и податливостей для расчёта колебаний упругих систем, обладающих циклической симметрией [Текст] / В. П. Иванов // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов. - 1971. - № 48. - С. 190-202.

62. Иванов, В. П. Некоторые вопросы колебаний лопаточных венцов и других упругих тел, обладающих циклической симметрией [Текст] / В. П. Иванов // Прочность и динамика авиационных двигателей. - 1971. - № 6. - С. 113-132.

63. Иванов, В. П. Общие свойства спектра собственных движений линейно-упругих тел, обладающих циклической симметрией [Текст] / В. П. Иванов // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов: сб. научн. тр. / Куйбыш. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1971. - № 48. - С. 184-189.

64. Иванов, В. П. Формирование разброса резонансных напряжений в лопаточных венцах [Текст] / В. П. Иванов, А. С. Сердотецкий // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов: сб. научн. тр. / Куйбыш. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1975. - № 73. - С. 28-32.

65. Ивах, А. Ф. Основы проектирования и создания рабочих лопаток из композиционного материала [Текст] / А. Ф. Ивах, А. А. Рыжов, Б. К. Галимханов // Вестник УГАТУ. - 2008. - № 2. - С. 48-54.

66. Иверман, В. Свободные колебания закреплённого в центре круглого вращающегося диска [Текст] / В. Иверман, Р. Додсон // Ракетная техника и космонавтика. - 1969. - № 10. - С. 230-232.

67. Исследование демпфирования колёс компрессора тросовой связью [Текст] / В. А. Фролов, А. А. Толстоногов, А. В. Писарев и др. // Конструкционная прочность двигателей: тез. докл. Всесоюз. научн.-техн. конф. - Куйбышев, 1983. - С. 112-113.

68. Исследование динамики системы роторов универсального газогенератора [Текст] / Д. П. Давыдов, С. Е. Спивак, А. С. Гвоздев и др. // Международный научно-технический форум, посвящённый 100-летию ОАО Кузнецов и 70-летию СГАУ, 5-7 сентября 2012 г.: материалы науч.-практ. конф. - Самара: СГАУ, 2012. - С. 17-18.

69. Исследование резонансных колебаний рабочего колеса компрессора с частотами не кратными частоте вращения ротора [Текст] / И. В. Егоров, А. Г. Заславский, В. А. Карасёв и др. // Аэроупругость лопаток турбомашин: сб. тр. ЦИАМ. - Москва: ЦИАМ, 1981. - №953. - С. 182-195.

70. Каримбаев, Т. Д. Гибридные конструкции лопаток перспективных вентиляторов [Текст] / Т. Д. Каримбаев, А. А. Луппов // Композиционные материалы в промышленности: материалы Двадцать пятой юбилейной междунар. конф. и выставки, 30 мая - 3 июня 2005 г., г. Ялта. - Киев: УИЦ «Наука. Техника. Технология», 2005. - С. 330.

71. Киселёв, А. П. Развитие метода конечных элементов в исследованиях линейного и нелинейного деформирования оболочек как двумерных и трёхмерных упругих тел [Текст]: дис. ... д-ра. техн. наук: 05.23.17 / Киселёв Анатолий Петрович. - Волгоград, 2008. - 230 с.

72. Коваленко, А. Д. Пластинки и оболочки в роторах турбомашин [Текст] / А. Д. Коваленко. - Киев: Изд-во АН УССР, 1955. - 302 с.

73. Колебания бандажированного рабочего колеса ГТД [Текст] / Ю. С. Воробьёв, К. Ю. Дьяконенко, В. Н. Романенко и др. // Авиационно-космическая техника и технология. - 2006. - № 8. - С. 87-90.

74. Коновалов, А. В. Параллельное решение упругопластической задачи с применением трёхдиагонального алгоритма ЬИ-разложения из библиотеки 8СЛЬЛРЛСК [Текст] / А. В. Коновалов, А. В. Толмачёв, А. С. Партин // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - № 4. - С. 34-41.

75. Конструктивные и технологические решения для создания составных лопаток перспективных вентиляторов с применением прочных и жёстких композитов [Текст] / Е. Н. Каблов, С. Е. Салибеков, Ю. А. Абузин и др. // Новые технологические процессы и надёжность ГТД. Сер. Композиционные и керамические материалы в ГТД. - 2003. - №3. - С. 124-138.

76. Корнеев, В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности [Текст] / В. Г. Корнеев. - Ленинград: ЛГУ, 1977. - 206 с.

77. Крикунов, Д. В. Анализ эффективности методов решения задач мониторинга температурного состояния деталей ГТД [Текст] / Д. В. Крикунов, А. В. Олей-ник // Авиационно-космическая техника и технология. - 2003. - № 1. -С. 101-107.

78. Крысюк, Ю. Н. Исследование совместных колебаний диска и лопаток с бан-дажированными полками [Текст] / Ю. Н. Крысюк, И. Л. Меерсон // Динамика и прочность машин. - Харьков: Вища школа, 1976. - №24. - С. 42-46.

79. Кузнецов, Н. Д. Прочность деталей турбины ГТД в условиях сложного на-гружения и связанные с ней проблемы [Текст] / Н. Д. Кузнецов // Проблемы прочности. - 1982. - №3. - С. 10-14.

80. Кузнецов, Н. Д. Эквивалентные испытания газотурбинных двигателей [Текст] / Н. Д. Кузнецов, В. И. Цейтлин. - Москва: Машиностроение, 1976. - 214 с.

81. Левин, А. В. Прочность и вибрация лопаток и дисков паровых турбин [Текст] / А. В. Левин, К. Н. Боришанский, Е. Д. Консон. - Ленинград: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1981. - 710 с.

82. Левин, А. В. Рабочие лопатки и диски паровых турбин [Текст] / А. В. Левин. - Москва: Госэнергоиздат, 1953. - 624 с.

83. Лукин, Б. С. Исследование колебаний рабочих колёс турбин и компрессоров методом конечных элементов [Текст]: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06 / Б. С. Лукин. - Харьков, 1975. - 29 с.

84. Ляпин, А. А. Использование видеокарт для выполнения вычислений при решении задач строительной механики методом конечных элементов [Текст] /

A. А. Ляпин, Е. Л. Панасюк // Интернет-журнал «Науковедение». - 2012. -№ 4. - С. 1-6.

85. Меерович, И. И. Распределение напряжений в компрессорных лопатках при колебаниях [Текст] / И. И. Меерович. - Москва: Оборонгиз, 1961. - 106 с.

86. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел [Текст] / А. С. Сахаров,

B. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский и др. - Киев: Выща школа, 1982. - 480 с.

87. Михайлов, А. Л. Принципы проектирования и вибродиагностика деталей ГТД на основе математического моделирования объёмного напряжённо-деформированного состояния [Текст]: дис. ... д-ра. техн. наук: 05.07.05 / Михайлов Александр Леонидович. - Рыбинск, 2003. - 309 с.

88. Морозов, Е. М. Метод конечных элементов в механике разрушения [Текст] / Е. М. Морозов, Г. П. Никишков. - Москва: Наука, 1980. - 254 с.

89. Москаленко, В. Н. Об учёте инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин [Текст] / В. Н. Москаленко // Сб. Теория пластин и оболочек. - Киев: АН УССР, 1962. - С. 264-266.

90. Насонов, Д. А. Моделирование собственных колебаний циклически симметричных систем на базе конечных элементов со смешанной аппроксимацией перемещений полиномами высших порядков тема [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06 / Насонов Дмитрий Александрович. - Калуга, 2001. - 197 с.

91. Нгуен, Д. Д. Математическое моделирование колебаний вращающихся лопаток высокотемпературных турбомашин [Текст] / Дыонг Динь Нгуен, И. Н. Рыжиков // Известия ИГЭА. - 2011. - №5. - С. 181-185.

92. Нихамкин, М. А. Комплексный расчётный анализ прочности лопаток компрессора при их повреждении посторонними предметами [Текст] / М. А. Ни-хамкин, И. В. Семёнова, О. Л. Любчие // Вестник пермского национально исследовательского университета. Сер. Механика. - 2010. - № 3. - С. 19-30.

93. Новокрещёнов, В. В. Параллельные вычисления в задачах динамики и прочности турбомашин [Текст] / В. В. Новокрещёнов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2012. - № 4. - С. 145-152.

94. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов [Текст] / Д. Норри, Ж. де Фриз. - Москва: Мир, 1981. - 304 с.

95. О построении динамических расчётов деталей двигателей на основе уравнений теории упругости [Текст] / Н. Д. Кузнецов, Л. И. Фридман, А. И. Ермаков и др. // Проблемы прочности. - 1989. - №3. - С. 3-8.

96. Образцов, И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов [Текст] / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Ха-занов. - Москва: Высшая школа, 1985. - 392 с.

97. Оден, Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред [Текст] / Д. Оден. - Москва: Мир, 1976. - 464 с.

98. Паллей, З. С. Конструкция и прочности авиационных газотурбинных двигателей [Текст] / З. С. Паллей. - Москва: Транспорт, 1967. - 426 с.

99. Плыкин, М. Параллельные возможности ANSYS [Электронный ресурс]: отчёт / М. Плыкин. - Электрон. текстовые дан. - ЗАО «ЕМТ Р», 2007. - Режим доступа: http://www.arbyte.ru/pdf/arbyteansys.pdf, свободный.

100. Применение голографической интерферометрии для исследования колебаний вращающихся объектов [Текст] / Д. Г. Федорченко, А. В. Гладков, В. А. Со-лянников и др. // Авиационно-космическая техника и технология. - 2013. -№ 10. - С. 66-71.

101. Проблемы численного анализа динамики элементов современных конструкций [Текст] / Ю. С. Воробьёв, М. В. Чернобрывко, М. А. Чугай и др. // Вестник СевНТУ. Сер. Механика, энергетика, экология. - 2010. - № 110. - С. 2025.

102. Работы ведущих авиадвигателестроительных компаний по созданию перспективных авиационных двигателей [Текст]: аналитический обзор / В. А. Скибин, В. И. Солонин, В. А. Палкин и др. - Москва: ЦИАМ, 2004. - 422 с.

103. Расчёт НДС вращающегося направляющего аппарата турбокомпрессора [Текст] / Ю. С. Воробьёв, Л. Г. Романенко, В. Н. Романенко и др. // Авиационно-космическая техника и технология. - 2006. - № 9. - С. 83-85.

104. Репецкий, О. В. К вопросу выбора численного метода анализа напряжений при оценке многоцикловой усталости лопаток транспортных турбомашин [Текст] / О. В. Репецкий, Буй Мань Кыонг // Известия ИГЭА. - 2010. - №6. -С.153-158.

105. Репецкий, О. В. Математическое моделирование и численный анализ колебаний идеальных циклически-симметричных систем методом конечных элементов [Текст] / О. В. Репецкий, До Мань Тунг // Известия ИГЭА. - 2012. -№3. - С. 149-153.

106. Репецкий, О. В. Построение математической модели для анализа влияния фрикционных демпферов на колебания лопаток газотурбинных двигателей [Текст] / О. В. Репецкий, Фан Ван Туан // Известия ИГЭА. - 2011. - №1. - С. 200-205.

107. Репецкий, О. В. Численный анализ колебаний, статической прочности и долговечности рабочих лопаток турбомашин при различной частоте вращения ротора [Текст] / О. В. Репецкий, Н. М. Лутаенко // Вестник DAAD. - 2010. -№ 1. - С. 31-48.

108. Речкин, В. Н. Разработка и применение компьютерной технологии для численных исследований прочности, устойчивости и малоцикловой долговечности сложных элементов авиационных двигателей [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.07.05 / Речкин Вадим Николаевич. - Саров, 2012. - 167 с.

109. Розин, Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам [Текст] / Л. А. Розин. - Москва: Стройиздат, 1977. - 129 с.

110. Рыжов, А. А. Основные направления развития авиационных газотурбинных двигателей [Текст] / А. А. Рыжов, Ю. С. Алексеев, А. М. Ахмедзянов // Вестник УГАТУ. Сер. Авиационное двигателестроение. - 2000. - № 1. - С. 67-80.

111. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сегер-линд. - Москва: Мир, 1979. - 392 с.

112. Селиванов, И. А. Современные методы расчёта и анализа динамики роторов универсального газогенератора высокой энергетической эффективности [Текст] / И. А. Селиванов, Д. П. Давыдов // Молодёжь в авиации: новые решения и передовые технологии, 22 - 24 мая 2012 г., г. Алушта: сб. тр. науч. конф. - Запорожье: АО «Мотор Сич», 2012. - С. 28-29.

113. Сердотецкий, А. С. Теоретическое и экспериментальное исследование причин разброса резонансных напряжений у циклически-симметричных тел [Текст] / А. С. Сердотецкий // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов: сб. научн. тр. / Куйбыш. авиац. ин-т. -Куйбышев, 1972. - № 61. - С. 64-76.

114. Сливкер, В. И. Эффективные схемы метода конечных элементов в задачах строительной механики с использованием новых вариационных подходов [Текст]: дис. ... д-ра. техн. наук: 01.02.03 / Сливкер Владимир Исаевич. - Ленинград, 1983. - 397 с.

115. Современные методы обеспечения прочностной надёжности деталей авиационных двигателей [Текст] / ред. Ю. А. Ножницкий, Б. Ф. Шорр, И. Н. Долго-полов. - Москва: ТОРУС ПРЕСС, 2010. - 456 с.

116. Спивак, С. Е. Особенности расчёта задач большой размерности с применением многоядерных ЭВМ при исследовании динамики системы роторов универсального газогенератора [Текст] / С. Е. Спивак, Д. П. Давыдов // Международный научно-технический форум, посвящённый 100-летию ОАО Кузнецов и 70-летию СГАУ, 5-7 сентября 2012 г.: материалы науч.-практ. конф. -Самара: СГАУ, 2012. - С. 18-19.

117. Староверов, Н. Н. Ускорение инженерных расчётов в ANSYS Mechanical при использовании технологии NVIDIA MAXIMUS [Текст] / Н. Н. Староверов, А. Н. Чернов // Двигатель. - 2012. - № 5. - С. 20-23.

118. Ступина, Н. Н. Расчёт частот и форм колебаний диска с закрученными лопатками, связанными антивибрационными полками [Текст] / Н. Н. Ступина, Б. Ф. Шорр // Проблемы прочности. - 1978. - №12. - С. 102-106.

119. Темис, Ю. М. Анализ собственных частот и форм колебаний колеса компрессора ГТД [Текс] / Ю. М. Темис, В. В. Карабан // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов. - Москва, 1998. - №58. - С. 36-46.

120. Темис, Ю. М. Влияние конструктивных факторов и центробежных нагрузок на формы и частоты колебаний лопаток компрессоров [Текст] / Ю. М. Темис, В. В. Карабан // Теория оболочек и пластин: тр. XVII междунар. конф. - Казань, 1996. - Т.2. - С. 54-60.

121. Темис, Ю. М. Геометрически нелинейная конечно-элементная модель закрученного стержня в задачах статического и динамического расчёта лопаток [Текст] / Ю. М. Темис, В. В. Карабан. - Москва: ФГУП ЦИАМ, 2001. - 20 с.

122. Теория оболочек и пластин [Текст]: труды VIII всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин / под ред. Г. Б. Горшкова. - Москва: Наука, 1973. - 798 с.

123. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле [Текст] / С. П. Тимошенко. -Москва: Машиностроение, 1985. - 472 с.

124. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Д. Гудьер. -Москва: Наука, 1979. - 560 с.

125. Трёхмерное моделирование флаттера лопаток компрессоров современных ГТД [Текст] / В. В. Веденеев, М. Е. Колотников, П. В. Макаров и др. // Вестник СГАУ. - 2011. - № 3. - С. 47-56.

126. Турбины: с «Блиск»ом и без [Текст] / Л. Магеррамова, Т. Захарова, М. Громов и др. // Двигатель: научно-технический журнал. - 1999. - № 2. - С. 32-34.

127. Установление и увеличение ресурсов авиационных ГТД [Текст]: учебное пособие / Н. Д. Кузнецов, Е. А. Гриценко, А. А. Корноухов, Д. Г. Федорченко. -Самара: Изд-во СГАУ, 1998. - 207 с.

128. Фёдоров, И. М. Численный анализ математических моделей динамической устойчивости и оптимизация лопаток турбомашин [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18, 01.02.06 / Фёдоров Илья Михайлович. - Москва, 2008. - 183 с.

129. Филиппов, А. П. Колебания деформируемых систем [Текст] / А. П. Филиппов. - Москва: Машиностроение, 1970. - 736 с.

130. Фирсанов, В. В. Особенности расчёта собственных частот и форм колебаний рабочих колёс компрессоров газотурбинного двигателя применительно к решению задач флаттера [Электронный ресурс]: статья / В. В. Фирсанов, П. В. Макаров. - Электрон. текстовые дан. - Журнал «Труды МАИ», 2012. - Режим доступа: Шр://1гиёута1.ги/риЬН8Ьеё.рЬр?ГО=30015, свободный.

131. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина [Текст] / К. Флетчер. - Москва: Мир, 1988. - 352 с.

132. Фролов, В. А. Колебания лопаточных венцов с бандажными полками [Текст] / В. А. Фролов, А. И. Ермаков // Вибрационная прочность и надёжность двигателей и систем летательных аппаратов: сб. научн. тр. / Куйбыш. авиац. ин-т. - Куйбышев, 1977. - № 6. - С. 36-41.

133. Хронин, Д. В. Колебания в двигателях летательных аппаратов [Текст] / Д. В. Хронин. - Москва: Машиностроение, 1980. - 296 с.

134. Шабров, Н. Н. Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей [Текст] / Н. Н. Шабров. - Москва: Машиностроение, 1968. - 216 с.

135. Шакур, С. Программа «БАРИТА» для расчёта турбомашин на основе трёхмерных элементов [Текст] / С. Шакур // Конструирование и технологии машиностроения: тр. Амер. общ. инж. - 1972. - №94. - С. 81-88.

136. Шорр, Б. Ф. Изгибно-крутильные колебания закрученных компрессорных лопаток [Текст] / Б. Ф. Шорр // Прочность и динамика авиационных двигателей. - 1964. - № 6. - С. 217-246.

137. Шорр, Б. Ф. Основы теории закрученных лопаток с непрямой осью [Текст] / Б. Ф. Шорр // Прочность и динамика авиационных двигателей. - 1966. - № 3.

- С. 188-213.

138. Шубенко, А. Л. Деформации кручения длинных лопаток паровых турбин [Текст] / А. Л. Шубенко, В. П. Сухинин, А. Ю. Бояршинов // Восточноевропейский журнал передовых технологий. Сер. Энергосберегающие технологии. - 2013. - № 3. - С. 21-24.

139. Экспериментально-теоретические исследования вибрационных характеристик рабочей лопатки компрессора ГТД [Текст] / Р. Х. Макаева, А. Х. Каримов, А. М. Царёва и др. // Изв. Вузов. Авиационная техника. - 2012. - № 1. -С. 20-22.

140. Юдаков, А. А. Принципы построения общих уравнений динамики упругих тел на основе модели Крейга-Бэмптона и их практически значимых приближений [Текст] / А. А. Юдаков // Вестник удмуртского университета. Сер. Математика, механика, компьютерные науки. - 2012. - № 3. - С. 126-140.

141. A mathematical model for calculating cross-sectional properties of modern wind turbine composite blades [Text] / L. Wang, X. Liu, L. Guo etc. // Renewable Energy. - 2014. - №64. - P. 52-60.

142. Al-Bedoor, B. O. Stability analysis of rotating blade bending vibration due to torsional excitation [Text] / B. O. Al-Bedoor, A. A. Al-Qaisia // Journal of Sound and Vibration. - 2005. - №282. - P. 1065-1083.

143. Al-Nassar, Y. N. On the vibration of rotating blade on a torsionally flexible shaft [Text] / Y. N. Al-Nassar, B. O. Al-Bedoor // Journal of Sound and Vibration. -2003. - №259. - P. 1237-1242.

144. Assessment of beam modeling methods for rotor blade applications [Text] / V. V. Volovoi, D. H. Hodges, C. E. S. Cesnik // Mathematical and Computer Modeling.

- 2001. - №33. - P. 1099-1112.

145. Assessment of uncertainty in response estimation for turbine engine bladed disks [Text] / G. C. Franccone, M. Ruzzene, V. Volovoi etc. // Journal of Sound and Vibration. - 2008. - №317. - P. 625-645.

146. Avramov, K.V. Flexural-flexural-torsional Nonlinear Vibrations of Pre-twisted Rotating Beams with Asymmetric Cross-sections [Text] / K. V. Avramov, C. Pierre, N. Shyriaieva // Journal of Vibration and Control. - 2007. - №4. - P. 329-364.

147. Bathe, K. J. Finite Element Procedures [Text] / K. J. Bathe. - New Jersey: Prentice-Hall, 1996. - 1051 p.

148. Brown, J. M. Three Dimensional Shape Optimization with Probabilistic Constraints using Parametric Session Files [Электронный ресурс]: статья / J. M. Brown, W. Patterson. - Электрон. текстовые дан. - MSC 1999 Aerospace Users' Conference Proceedings, 1999. - Режим доступа: https://web.mscsoftware.com/ support/ library/conf/auc99/p00699.pdf, свободный.

149. Campbell, W. Protection of Steam-turbine Disc Wheels from Axial Vibration [Text] / W. Campbell // Trans. ASME. - 1924. - №46. - P. 31-160.

150. Capacitance Computation by Hybrid P-Element and Trefftz Method [Text] / M. Gyimesi, Jian-She, Wang, and other // IEEE Trans. MAG. - 2001. - № 9. - P. 143151.

151. Castanier, M. P. Modeling and Analysis of Mistuned Bladed Disk Vibration: Status and Emerging Directions [Text] / M. P. Castanier, C. Pierre // Journal of Propulsion and Power. - 2006. - № 2. - P. 384-396.

152. D'Souza, K. Reduced order modeling for nonlinear vibration analysis of mistuned multi-stage bladed disks with a cracked blade [Text] / K. D'Souza, A. Saito, B. I. Epureanu // AIAA: Proceedings of the 52nd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference. - Denver, Colorado, 2011. -14 p.

153. Davis, E. A. A Study of a combined 2D axisymmetric and 3D cyclically symmetric finite element model of a turbine disk [Электронный ресурс]: RPI Master's Project / E. A. Davis. - Электрон. текстовые дан. - Rensselaer Polytechnic Institute, 2008. - Режим доступа: http://www.ewp.rpi.edu/hartford/~ernesto/SPR/ Davis-FinalReport.pdf, свободный.

154. Davydov, D.P. Blade wave finite element. Research Journal of Applied [Text] / D. P. Davydov, A. I. Ermakov // Research Journal of Applied Sciences. - 2014. -№11. - P. 849-854.

155. Ehrich, F. A. Matrix solution for the vibration modes of nonuniform disk [Text] / F. A. Ehrich // Journal of Applied Mechanics. - 1956. - №23. - P. 109-115.

156. Forced Response of the Mistuned First Stage Compressor Bladed Disk of an Aircraft Engine - Experimental and Numerical Results [Text] / R. Rzadkowski, R. Szezepanik, M. Drewezynski и др. // 13th World Congress in Mechanism and Machine Science. - Guanajuato, Mexico, 2011. - P. 1-8.

157. Genta, G. On the stability of rotating blade arrays [Text] / G. Genta // Journal of Sound and Vibration. - 2004. - №273. - P. 805-836.

158. Gowda, K. K. Avoiding stressed-out steam turbines [Электронный ресурс]: статья / K. K. Gowda. - Электрон. текстовые дан. - ANSYS Advantage, 2009. -Режим доступа: https://www.ansys.com/-/media/ansys/corporate/resourcelibrary/ article/aa-v4-i1-avoiding-stressed-out-steam-turbines.pdf, свободный.

159. Gunter, E. J. Dynamic Analysis and Balancing of an Aircraft Gas Turbine [Электронный ресурс]: отчёт / E. J. Gunter, Jr. - Электрон. текстовые дан. - RODYN Vibration Analysis, Inc., 2001. - Режим доступа: http://dyrobes.com/wp-content/uploads/2012/12/Dynamic-Analysis-of-an-Aircraft-Gas-Turbine-Gunter-2001-33-pgs1.pdf, свободный.

160. Guo, D. The Influence of Rotation on Vibration of a Thick Cylindrical Shell [Text] / D. Guo, F.L. Chu, Z.C. Zheng // Journal of Sound and Vibration. - 2001. -№242. - P. 487-505.

161. Guo, S. Investigations on the blade vibration of a radial inflow micro gas turbine wheel [Text] / S. Guo // International Journal of Rorating Machinery. - 2007. - Article ID29270. - P. 1-10.

162. Hashemi, S. H. Free vibration analysis of rotating thick plates [Text] / S. H. Hashemi, S. Farhadi, S. Carra // Journal of Sound and Vibration. - 2009. - №323. - P. 366-384.

163. Kellner, J. Modeling of the bladed disk vibration with damping elements in blade shroud [Text] / J. Kellner, V. Zeman // Applied and Computational Mechanics. -2010. - № 4. - P. 37-48.

164. Kirkhope, J. A finite element analysis for the vibration modes of a bladed disk [Text] / J. Kirkhope, G. P. Wilson // Journal of Sound and Vibration. - 1976. -№49. - P. 469-482.

165. Krishna, T. S. S. R. 3D modeling and dynamic characterization of steam turbine packet blade and cyclic symmetric analysis [Text] / T. S. S. R. Krishna, Lakshmana Kishore.T // International Journal of Research in Engineering and Technology. -2012. - №1. - P. 460-464.

166. Kumar, R. A. The development of hybrid axisymmetric elements based on the Hel-linger-Reissner variational principle [Text] / R. A. Kumar, C. S. Jog // International journal for numerical methods in Engineering. - 2006. - № 13. - P. 2279-2291.

167. Leissa, A. W. Vibration of turbine engine blades by shells analysis [Text] / A. W. Leissa // Shock and Vibration Digest. - 1980. - №12. - P. 153-162.

168. Lim, H. S. Modal analysis of a rotating multi-packet blade system [Text] / H. S. Lima, J. Chungb, H. H. Yoo // Journal of Sound and Vibration. - 2009. - №325. -P. 513-531.

169. Malcolm, D. J. Extraction of equivalent beam properties from blade models [Text] / D. J. Malcolm, D. L. Laird // Wind Energy. - 2007. - №10. - P. 135-157.

170. Malcolm, D. J. Modeling of blades as equivalent beams for aeroelastic analysis [Text] / D. J. Malcolm, D. L. Laird // 2003 ASME Wind Energy Symposium. -Reno, NV, 2003. - P. 293-303.

171. Nakasone, Y. Engineering analysis with ansys software [Text] / Y. Nakasone, T. A. Stolarski, S. Yoshimoto. - Burlington: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2006. -117 p.

172. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures [Text] / T. B. Belytschko, W. K. Liu, B. Moran etc. - Hoboken: John Wiley & Sons, 2013. - 832 p.

173. Numerical Investigations of Localized Vibrations of Mistuned Blade Integrated Disks (Blisks) [Text] / T. Klauke, A. Kuhhorn, B. Beirow, M. Golze // Journal of Turbomachinary. - 2009. - Vol. 131. - P. 248-257.

174. Onate, E. Finite calculus formulation for incompressible solids using linear triangles and tetrahedral [Text] / E. Onate, J. Rojek, R. L. Taylor // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2004. - № 59. - P. 1473-1500.

175. Petrov, E. P. A Method for Use of Cyclic Symmetry Properties in Analysis of Nonlinear Multiharmonic Vibrations of Bladed Disks [Text] / E. P. Petrov // Journal of Turbomachinary. - 2004. - Vol. 126. - P. 175-183.

176. Petrov, E. P. Optimal Search for Worst Mistuning Patterns in Mistuned Bladed Discs Based on Large-scale Finite Element Models [Text] / E. P. Petrov, D. J. Ewins // Seventh International Conference on Vibrations in Rotating Machinery. -Nottingham, UK, 2000. - P. 65-76.

177. Rao, J. S. Blade root shape optimization [Электронный ресурс]: статья / J. S. Rao, S. Suresh. - Электрон. текстовые дан. - Innovation through simulation: Proceedings of the Altair CAE users conference, 2006. - Режим доступа: https://ru.scribd.com/document/95120895/Blade-Root-Shape-optimisation, свободный.

178. Rao, J. S. Determination of blade stresses under constant speed and transient conditions with nonlinear damping [Text] / J. S. Rao, N. S. Vyas // Trans. ASME. -1996. - №118. - P. 424-433.

179. Rao, J. S. Weight optimization of turbine blades [Электронный ресурс]: Report / J. S. Rao, B. Kishore, V. Kumar. - Электрон. текстовые дан. - Altair Engineering, Inc., 2011. - Режим доступа: http://altairenlighten.com/wp-content/uploads/2011/12/Weight-Optimization-of-Turbine-Blades.pdf, свободный.

180. Rzadkowski, R. Multistage Coupling - Free Vibration of Mistuned Bladed Discs [Text] / R. Rzadkowski, A. Maurin // Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej -Transport. - 2013. - №1. - P. 565-573.

181. Samuelsson, J. Rotor dynamic analysis of 3D-modeled gas turbine rotor in Ansys [Электронный ресурс]: отчёт / Joakim Samuelsson. - Электрон. текстовые дан.

- Siemens Industrial Turbomachinery AB, 2009. - Режим доступа: http://www.solid.iei.liu.se/Publications/Master_thesis/2009/LIU-IEI-TEK-A--0900654--SE_JoakimSamuelsson.pdf, свободный.

182. Sever, I. A. Experimental validation of turbomachinery blade vibration predictions [Text] / I. A. Sever. - London: Imperial College London, 2004. - 264 с.

183. Sieber, Joerg. NEWAC new aero engine core concepts [Электронный ресурс]: обзор / Dr. J. Sieber. - Электрон. текстовые дан. - MTU Aero Engines, 2009. -Режим доступа: http://www.newac.eu/uploads/media/NEWAC_Overview.pdf, свободный.

184. Sinha, A. Reduced-Order Model of a Bladed Rotor With Geometric Mistuning [Text] / A. Sinha // Journal of Turbomachinary. - 2009. - Vol. 131. - P. 111-118.

185. Sinha, S. K. Natural frequencies of a pre-twisted blade in a centrifugal force field [Text] / S. K. Sinha, K. E. Turner // Journal of Sound and Vibration. - 2011. -№330. - P. 2655-2681.

186. Sinha, S. K. Non-linear dynamic response of a rotating radial Timoshenko beam with periodic pulse loading at the free-end [Text] / S. K. Sinha // International Journal of Non-linear Mechanics. - 2005. - Vol. 40. - P. 113-149.

187. Stodola, A. Dampf- und Gasturbinen [Text] / A. Stodola. - Berlin: Springer, 1924.

188. Temis, J. M. Simulation of turbomachine blade bending-torsion flutter using a pretwisted beam finite element [Text] / J. M. Temis, I. M. Fedorov // EU-ROMECH Nonlinear Dynamics: Proceedings of the 6th International Conference.

- Saint Petersburg, 2008. - P. 235-240.

189. Testing of dynamics of blade wheel with double periodicity [Text] / L. Pesek, F. Vanek, L. Pust etc. // Engineering MECHANICS. - 2010. - №17. - P. 161-172.

190. Tsai, G. Rotating vibration behavior of the turbine blades with different groups of blades [Text] / G. Tsai // Journal of Sound and Vibration. - 2004. - №271. - P. 547-575.

191. Two-dimensional modeling of an aircraft engine structural bladed disk-casing modal interaction [Text] / M. Legrand, C. Pierre, P. Cartraud etc. // Journal of Sound and Vibration. - 2009. - №319. - P. 366-391.

192. Wang, C. Vibration analysis of blade-disc coupled structure of compressor [Text] / C. Wang, S. Song, X. Zong // Frontiers of Energy and Power Engineering in China. - 2008. - №2. - P. 302-305.

193. Wicke, G. Die Schaufelschliben schwingungen von Strahltriebwerken [Text] / G. Wicke // Maschinenbautechnick. - 1961. - №11.

194. Wolter, I. Experimentelle Untersuchung des Schwingungsverhaltens von TurbinenLaufschaufeln unter realen Betriebsbedingungen mit und ohne Kopplung durch einen eingelegten 'Dämpferdraht' ^ext] / I. Wolter. - Stuttgart: Institut für Thermische Strömungsmaschinen und Maschinenlaboratorium der Universität Stuttgart, 1980. - 179 p.

195. Yao, M. H. Analysis on nonlinear oscillations and resonant responses of a compressor blade [Text] / M. H. Yao, W. Zhang, Y. P. Chen // Acta Mechanica. -2014. - №225. - P. 3483-3510.

196. Yin, J. Modal Analysis Comparison of Beam and Shell Models for Composite Blades [Text] / J. Yin, Y. Xie, P. Chen // Power and Energy Engineering: Proceedings of the International Conference APPEEC 2009. - Wuhan, 2009. - P. 1-4.

197. Yoo, H. H. Vibration localization of simplified mistuned cyclic structures undertaking external harmonic force [Text] / H. H. Yoo, J. Y. Kim, D. J. Inman // Journal of Sound and Vibration. - 2003. - №261. - P. 859-870.

198. Zhao, J. Lightening structure optimization on turbine wheel of vehicular turbo-charger [Text] / J. Zhao, C. Ma, L. Hu // Frontiers of Energy and Power Engineering in China. - 2008. - №2. - P. 422-426.