Конечноэлементный анализ напряженного состояния и колебаний конструкций роторов турбомашин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Рыжиков, Игорь Николаевич

• Рыжиков, Игорь Николаевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Рыжиков, Игорь Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ

1.1. Статическая прочность дисков и рабочих колес

1.2. Собственные частоты и формы колебаний дисков и

рабочих колес

1.3. Упругость соединения «вал - диск - лопатка»

-'Л - ' •

2. РАЗРАБОТКА ТРЕХМЕРНЫХ КОЙЕЧМ$Ш1ЕМЕНТНЬ1Х МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОЧНОСТИ И СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ РОТОРОВ ТУРБОМАШИН

2.1. Основные соотношения МКЭ

2.1.1. Решение статической задачи

2.1.2. Решение задачи о собственных колебаниях

2.1.2.1. Метод циклической симметрии

2.2. Решение задачи теплопроводности

2.2.1. Основные дифференциальные уравнения

2.2.2. Уравнения метода конечных элементов

2.3. Разработка методов численного интегрирования

2.3.1. Квадратура Гаусса

2.3.2. Полное интегрирование

2.3.3. Пониженное интегрирование

2.3.4. Развитие новых методов численного интегрирования

2.3.4.1. Раздельное интегрирование

2.3.4.1.1. Раздельное интегрирование матриц жесткости для сдвиговой и линейной деформаций

2.3.4.1.2. Раздельное интегрирование для «объемной»

и «деформированной» матриц жесткости

2.3.4.2. Смешанное интегрирование

2.3.5. Сравнение методов интегрирования

2.4. Учет влияния геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние и колебания роторов турбомашин

3.ТЕСТИРОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ

3.1. Статическое напряженно-деформированное состояние плоской пластины от действия центробежных сил

3.2. Свободные колебания пластины

3.3. Статическое НДС диска постоянной толщины

3.4. Свободные колебания кольцевой пластины

3.5. Плоская пластина под действием неравномерного нагрева

3.6. Свободные колебания пластины, находящейся в поле неравномерного нагрева

3.7. Статическое НДС диска постоянной толщины от неравномерного нагрева

3.8. Свободно опертая квадратная пластина под действием распределенной нагрузки

3.9. Конвекция в пластине при одномерном распределении тепла

3.10. Конвекция в пластине при двухмерном распределении тепла

3.11. Диск с концентрическим отверстием под действием стационарного теплового потока в радиальном направлении

3.12. Сравнение методов интегрирования

3.12.1. Статическое НДС диска с центральным отверстием

3.12.2. Свободные колебания прямоугольной пластины

3.13. Анализ статического НДС вентиляторной лопатки с учетом геометрической нелинейности

3.14. Анализ статического НДС модели рабочего колеса в

поле ИБС

4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Исследование статического НДС системы «диск-

вал»

4.2. Собственные частоты и формы колебаний

4.3. Исследование статики и динамики системы «вал- диск -

лопатка»

4.3.1. Анализ НДС системы «вал-диск-плоская лопатка»

4.3.2. Анализ влияния на статическое НДС системы «вал-диск-лопатка» изменения геометрии лопатки

4.4. Исследование статического НДС роторов центробежных

компрессоров

4.5. Исследование собственных частот и форм колебаний

роторов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечноэлементный анализ напряженного состояния и колебаний конструкций роторов турбомашин»

ВВЕДЕНИЕ

При создании современных турбомашин значительное внимание уделяется повышению их мощности и снижению материалоемкости. В таких условиях неизбежно возникает проблема обоснованного понижения запасов прочности деталей турбомашин и тесно связанная с ней проблема повышения точности расчетных методов определения их прочностных и вибрационных характеристик.

Интенсивное развитие энергомашиностроения во многом зависит от качества и оперативности проектирования новой техники. Оценка прочности и надежности конструкций на этапах проектирования и доводки основывается на правильном понимании процессов деформирования и точном расчете напряженного состояния наиболее ответственных и нагруженных элементов.

Роторы турбомашин (в частности, авиационных газотурбинных двигателей) в процессе работы находятся в условиях сложного термомеханического нагружения. Конструкции роторов современных турбомашин отличаются сложной геометрией составляющих их деталей (валов, дисков, рабочих лопаток), которые проектируются все более равнопрочными, процессы деформирования в них становятся взаимосвязанными и приобретают явный трехмерный характер. В связи с этим, упрощенные модели, основанные на теории стержней, пластин и оболочек потеряли актуальность. Наиболее перспективными являются трехмерные модели, построенные на основе метода конечных элементов (МКЭ). Они позволяют реализовать единый трехмерный подход к численному исследованию статики и динамики роторов, конструкция которых представляет собой сочетание конструктивных элементов разных классов, а также сложный процесс нагружения и физическую неоднородность материала.

Известно, что при использовании трехмерных конечных элементов точность расчета зависит от применяемого порядка численного интегрирования. Интегрирование пониженного порядка, зачастую, повышает точность и целесообразно при конечноэлементной аппроксимации конструкций, включающих элементы, форма которых далека от правильной (с большим отношением длины к ширине и толщине, сильно изогнутых и т.д.). Однако, наряду с несомненными достоинствами при пониженном интегрировании возникает ряд проблем (например, паразитные формы колебаний). Новые методы численного интегрирования, развитые в данной работе, призваны помочь избавиться от недостатков пониженного интегрирования, повысив тем самым точность конечноэлементного расчета.

Температурный нагрев оказывает существенное влияние на статическое и динамическое напряженное состояние деталей турбомашин. В результате обтекания элементов горячего тракта турбомашин, в частности рабочих лопаток и соплового аппарата газовым потоком температура меняется как по хорде, так и по высоте пера. Температурное расширение часто создает кроме осевой деформации еще и изгиб вследствие сложности геометрии, не симметрии поперечного сечения, наличия ребер жесткости. Это способствует возникновению значительных статических напряжений, изменению механических свойств материала, что в свою очередь влияет на напряженно-деформированное состояние (НДС) деталей турбомашин. При учете влияния температуры в расчетах НДС деталей ротора турбомашин необходимо знать распределение температуры в них, для чего необходимо решить задачу установившейся теплопроводности.

Обычно при расчете конструкций предполагается, что перемещения и деформации малы. Однако, как отмечают многие исследователи, даже при малых деформациях и перемещениях необходимо учитывать нелинейную зависимость между ними, так называемую геометрическую нелиней-

ность, влияние которой в ряде конкретных случаев (например, тонкий искривленный диск под действием центробежных сил) бывает весьма значительно.

Необходимость привлечения уточненных расчетных моделей отмечается многими исследователями. Весьма актуальной в последнее время стала проблема колебаний и напряженного состояния дисков роторов авиационных двигателей, что связано с увеличением диаметров дисков и уменьшением их относительной толщины, сближением частот колебаний дисков и лопаток, появлением сложных форм совместных колебаний. Кроме того, в настоящее время при анализе прочностных характеристик дисков и рабочих колес турбомашин, как правило, применяется подход, не учитывающий упругость вала. Это связано с существенным увеличением размерности задачи и имеющимися представлениями о незначительном влиянии этого фактора на динамику и прочность роторов. В действительности же, ротор представляет собой единую упругую систему, элементы которой оказывают друг на друга существенное воздействие. Поэтому, для получения наиболее подробной и реальной картины напряженно-деформированного состояния элементов ротора, необходим учет их упругого взаимодействия.

Вышесказанное определяет актуальность темы представляемой диссертационной работы, посвященной разработке универсальной и эффективной методики расчета колебаний и прочности осевых и центробежных роторов как единых упругих механически систем.

Целью работы является разработка алгоритмов, программ и эффективной методики и изучение на ее основе особенностей колебаний и напряженного состояния роторов турбомашин в условиях произвольного на-гружения в геометрически нелинейной постановке.

На защиту выносятся:

• математические модели элементов роторов радиальных турбомашин, учитывающие влияние центробежных сил (ЦБС), газовых сил и неравномерного нагрева с учетом геометрической нелинейности, теплопроводности и оригинальных методов интегрирования трехмерных конечных элементов;

• исследование эффективности учета геометрической нелинейности в расчете прочностных характеристик модельных и реальных деталей роторов турбомашин;

• алгоритм и методика анализа температурных полей и температурных деформаций в трехмерных телах на основе решения двумерной задачи теплопроводности;

• результаты численных исследований статического напряженно-деформированного состояния (НДС) и колебаний роторных деталей радиальных турбомашин;

• практические рекомендации по учету упругости соединения «лопатка -диск - вал» при численном исследовании прочности турбомашин.

Автор благодарит Борискина О.Ф. за помощь и участие, оказанные в

совместной работе в 1989 г.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Статическая прочность дисков и рабочих колес

В основе первых работ, посвященных исследованию статической прочности деталей роторов турбомашин лежали упрощенные расчетные схемы. Ранние работы, посвященные исследованиям статической прочности дисков турбомашин основаны на аналитических методах, базирующихся на теории пластин и оболочек. Диски рассматривались либо как пластины постоянной толщины, либо их профиль описывался простыми функциями радиуса (диски гиперболического, конического, экспоненциального профиля) /32/. При расчете таких дисков учитывались лишь нагрузки, вызывающие растяжение (центробежные силы (ИБС), равномерный нагрев по толщине и т.д.). Напряженное состояние считалось двухмерным, осесим-метричным. Для таких дисков были получены точные решения основного дифференциального уравнения. Некоторые немногочисленные примеры точных решений получены и при специальных законах изменения толщины диска /47/. Для расчета на растяжение дисков произвольного профиля широкое распространение получили графические методы /65, 155/. Точные решения применялись и для приближенного расчета дисков переменной толщины (составных дисков), для кольцевых элементов которых имелись аналитические решения, с применением метода начальных параметров /22, 58/, двух расчетов, претерпевшего различные модификации /55, 58/. При анализе этими методами предполагалось, что форма дисков симметрична относительно срединной плоскости и вводились следующие допущения:

- результирующая контурная нагрузка от ЦБС лопаток на внешней поверхности диска действует в плоскости симметрии диска;

- температура изменяется только по радиусу и не меняется по толщине диска.

При расчетах не учитывались изгибные напряжения от газодинамических и центробежных сил и напряжения от вибрации дисков.

Аналитические методы расчета прочности удобны тем, что позволяют просто и наглядно проанализировать влияние основных геометрических и физических характеристик дисков на их прочность /157/.

Однако на практике в связи со сложностью нагрузок и геометрических форм элементов получение таких аналитических решений становится весьма трудной задачей.

Кроме того, развитие вычислительной техники позволило внедрить в практику более современные численные методы расчета на прочность, основанные на решении дифференциальных и интегральных уравнений (метод конечных разностей /1, 13/, численное интегрирование с помощью стандартных процедур). Эти методы позволяли рассчитать напряженно-деформированное состояние (НДС) от самых разнообразных нагрузок как в упругой, так и в пластичной зонах. Методы расчета, основанные на решении интегральных уравнений, описаны в работах /10, 11/. Преимущества этих методов заключаются в отсутствии необходимости дифференцирования переменных физических и геометрических параметров, что доставляет особые удобства при проведении упругопластических расчетов.

В утолщенных дисках, имеющих развитые ступицы, напряженное состояние отличается от двухосного. В этом случае напряжения и деформации в ступице в осевом направлении расположены неравномерно. Как известно, радиальные перемещения на внутреннем радиусе ступицы у ее краев значительно меньше, чем перемещения в средней части /69/. Подобная неравномерность имеет место и в распределении напряжений. Кроме того, указанная неравномерность распределения радиальных перемещений в диске приводит к возникновению осевых напряжений, которые на внутреннем радиусе ступицы могут достигать относительно больших значений.

Для подобных дисков возникает необходимость решения пространственной задачи. Решить пространственную задачу необходимо также для уточненного расчета зон концентрации напряжений /50/.

Осесимметричное нагружение наиболее типично при оценке статической прочности дисков. Решение осесимметричной задачи теории упругости для турбинных дисков может быть получено только приближенными методами, к которым относятся метод конечных разностей, вариационно-разностный, метод конечных элементов (МКЭ) и др. /5, 35, 89, 23, 29, 39/.

Существует широкий класс турбомашин, в конструкции которых присутствуют колеса с радиальным направлением потока рабочего тела. Радиальные колеса разделяют на колеса открытого типа, не имеющие покрывающего диска и закрытого типа с покрывающим диском. В первых работах, посвященных расчету дисков радиальных рабочих колес, НДС также считалось осесимметричным /70/. Жесткость лопаток на растяжение не учитывалась. Лопатки представлялись в виде осесимметричных распределенных боковых сил без учета изгиба основного диска /72, 90/ или с учетом изгиба /47, 57/ (так называемый метод присоединенных масс). Считалось, что при числе лопаток больше 12-ти НДС можно считать осесимметричным и это допущение не вносит большой погрешности /91/. В работах /12, 33, 38, 42, 98, 131/ радиальные колеса рассматривались как круглые конструктивно-ортотропные пластинки. С помощью этого метода можно приближенно оценить НДС дисков открытых рабочих колес. Но при таком рассмотрении невозможно подробно исследовать напряженное состояние лопаток. В работах /33, 34/ колесо рассматривалось как двухслойная плоская или изогнутая пластина со связями, работающими на растяжение и сдвиг.

В рабочих колесах с покрывающим диском из-за деформаций обоих дисков в радиальных лопатках возникает более сложное напряженное со-

стояние. В работе /32/ такие колеса предлагалось рассматривать как конст-руктивно-ортотропные диски с учетом деформаций сдвига в лопатках. В /33, 34/ центробежные колеса с мало изогнутыми достаточно тонкими дисками рассчитывались на основе теории тонких пластин при учете их работы на растяжение и изгиб. Наиболее подробное исследование НДС радиальных рабочих колес может быть проведено только с помощью МКЭ.

В настоящее время известно значительное количество работ, посвященных развитию МКЭ в теоретическом и прикладном аспектах. Среди них следует отметить фундаментальные работы ученых В.А. Постнова /67/, Д.А.Розина /77/. В последнее время вышли в свет монографии, посвященные различным аспектам теории и численной реализации МКЭ /18, 51, 60, 66, 83, 87, 97/. Большой вклад в развитие МКЭ внесли зарубежные исследователи Дж. Аририс /7/, О. Зенкевич /39, 132/, Г. Стренг и Дж. Фикс /86/, Р.Галлагер /27/, К.Бате и Е.Вилсон /8/, Д.Норри и Ж.де Фриз /61/, Л.Сегерлинд /80/, Ж.Деклу /31/, Ф.Сьярле /88/, Дж.Оден /62/, Э.Митчел и Р.Уэйт /59/,

МКЭ в расчетах статической прочности дисков турбомашин посвящен широкий спектр работ /5, 10, 13, 32, 38, 55, 57, 58, 71, 72, 90 и др./. В /122/ приведено сопоставление результатов конечноэлементных расчетов диска турбины по трем наиболее распространенным в то время за рубежом программам ASKA, NISA, и SAP. На основании анализа результатов даны рекомендации по использованию этих пакетов программ применительно к расчету дисков турбин.

Осесимметричные конечные элементы широко применялись и применяются для расчета дисков и рабочих колес /32, 28, 79, 84/. Осесиммет-ричная задача расчета радиальных колес решена, например, в работе /161/. Однако, основное преимущество метода, позволяющее рассмотреть реальное деформирование диска и лопатки при этом потеряно. Выбор соответст-

вующих элементов позволяет достаточно подробно рассмотреть как диски, так и лопатки. В работе /32/ для исследования осесимметричных конструкций с неосесимметричной нагрузкой предлагается использовать ряды Фурье. Рассматривается одна секция диска, которая разбивается на цилиндрические секторные элементы треугольного сечения, аналогичные осесим-метричным кольцевым замкнутым элементам. Для увеличения точности решения перемещения в меридиональных треугольных элементах описываются с помощью полинома более высокого порядка, чем для симметричной задачи. В работе /102/ такое решение предложено для колеса с радиальными лопатками. Лопатка моделируется треугольными элементами, соотношения для матрицы жесткости которых получаются при определенных упрощениях для секторного элемента.

Таким образом, из вышесказанного видно, что теория пластин и оболочек не может обеспечить расчетов конструкций сложной формы, представляющих из себя сочетание оболочек с широким диапазоном изменения толщин и трехмерных тел, какими являются, например, диски турбин. При осесимметричном рассмотрении рабочих колес, в свою очередь, сложно учесть дискретность нагрузки, действующей на диск при достаточно малом количестве лопаток и получить точную картину НДС рабочих лопаток.

Наиболее полная и подробная картина статического НДС рабочих колес может быть получена при расчетах МКЭ с использованием классической объемной схемы представления диска и лопаток с помощью трехмерных конечных элементов. Долгое время трехмерные конечные элементы не имели широкого применения в практических расчетах рабочих колес, поскольку требовали больших вычислительных ресурсов. В последнее время в связи с бурным развитием вычислительной техники, появлением многопроцессорных систем с практически неограниченными возможностями в плане производства вычислений стали возможными полномасштабные ис-

следования НДС рабочих колес при учете разнообразного нагружения /109/, зон концентрации напряжений /78/ и т.д.

Многие исследователи использовали трехмерные гексаэдральные элементы для анализа рабочих колес турбомашин. Используемые элементы, в большинстве случаев, принадлежат к классу изопараметрических элементов, впервые разработанных в /135/. Трехмерные элементы имеют преимущества над другими типами элементов, так как они базируются на полной трехмерной теории упругости. Стержни, пластины и элементы оболочек обычно используются для моделирования тех конструкций, поведение которых безусловно известно заранее. Не всегда можно с достаточной степенью уверенности предположить, как будет вести себя конструкция со сложной геометрией, такая как, например, турбинная лопатка, диск сложного профиля или рабочее колесо. Только при использовании трехмерных элементов можно ожидать достоверных результатов, так как в этом случае конструкция полностью подчиняется законам трехмерной теории упругости. Поэтому решение при анализе конструкции с помощью трехмерных элементов с повышением густоты сетки сходится к точному, тогда как решение, полученное при использовании стержневых, пластинчатых и обо-лочечных элементов сходится к приближенному решению.

Трехмерные элементы универсальны - они могут использоваться для моделирования всех разновидностей турбинных лопаток, замков лопаток, основных и покрывающих дисков. Если требуется детальное исследование какой-то части конструкции, где имеются концентраторы напряжений, например, замка лопатки или зоны галтели малого радиуса, то это можно сделать, измельчив сетку в этой области. Очень трудно, практически невозможно рассчитать НДС того же замка лопатки, используя стержневые, пластинчатые или оболочечные элементы.

Трехмерные элементы имеют и недостатки. Они требуют большой машинной памяти и большого времени вычислений по сравнению с более простыми элементами. Хотя, последний недостаток легко преодолим при использовании программ-генераторов сетки, которых в настоящее время разработано довольно много /3,45/. Другим недостатком трехмерных элементов является то, что они дают хорошие результаты для толстых, ярко выраженных трехмерных конструкций, но при расчете тонких, оболочеч-ных конструкций, аппроксимированных этими элементами, решение сходится медленно. Это явление иногда называют «запирание» и оно также является свойством некоторых пластинчатых и оболочечных элементов. В этом случае получаются неудовлетворительные результаты, если сетка недостаточно измельчена. Например, использование 20-узлового гексаэд-рального элемента с квадратичной аппроксимацией перемещений (при прямом интегрировании) для анализа различных лопаток вентилятора привело к значительной погрешности результатов вычислений /144/.

Характеристики изопараметрических элементов при применении их для расчета тонких конструкций могут быть значительно улучшены при использовании пониженного интегрирования при формировании матрицы жесткости /24/. Это было продемонстрировано Боссаком и Зенкевичем, которые получили превосходные результаты для различных пластинчатых и оболочечных конструкций.

Однако, у пониженного интегрирования тоже есть существенный недостаток - паразитные формы при динамическом анализе /137/. Паразитные компоненты могут появиться и при статическом анализе. В работе /137/ Келен исследовал различные схемы пониженного интегрирования и установил, что можно избавиться от паразитных форм при решении задач динамики при использовании 20-узлового гексаэдрального элемента. Подобных исследований для статического анализа до сих пор не проводилось.

Обзор трехмерных конечных элементов за последние 30 лет, начиная со дня их появления, представлен в работе /156/. Дан анализ характеристик элементов, основанных на перемещениях. Обсуждены недостатки, такие как сдвиговое запирание конечноэлементного расчета, наличие ложных форм нулевой энергии и т.д., а также пути преодоления этих трудностей.

Обзор ранних публикаций показал, что в основном, все работы посвящены проблемам определения НДС отдельных элементов роторов тур-бомашин (лопаток, дисков, валов) /6, 10, 64/. Значительный интерес с точки зрения применения МКЭ к расчетам на прочность отдельных конструктивных элементов турбин представляют работы /2, 88, 90, 92/. В работе /4/ предпринята попытка исследования радиально-осевого рабочего колеса газовой турбины. При этом диск рассматривался в осесимметричной, а лопатка - в двухмерной постановке, как пластина переменной толщины. Недостаток этого расчета в том, что в месте стыковки лопатки и диска неизбежна ошибка в оценке НДС, так как в этой области наблюдается трехмерное распределение напряжений, а не скачки от плосконапряженного к осе-симметричному состоянию.

Один из самых ранних конечноэлементных анализов облопаченных дисков был опубликован Кирхгофом и Вилсоном /139/. Они использовали суженные к концу стержневые элементы для модели диска и дискового обода. Нагрузка от лопаток на диск распределялась по синусоидальному закону. Такой подход, заключающийся в использовании в рамках одной модели элементов разных типов предлагают использовать во многих работах /4/. Проблема сопряжения двух типов элементов рассматривалась Су-раной в статье /156/, в которой предложен переходный элемент с 18 узлами. Шесть узлов на одной из граней выполняли роль «трехмерных» узлов и имели в качестве степеней свободы перемещения, а остальные узлы являлись «оболочечными» со степенями свободы в виде перемещений и углов

поворота. В работе /4/ такой элемент был усовершенствован путем перераспределения принадлежности узлов по классам, а также путем разбиения оболочечных узлов на пары, в каждой из которых один узел имел в качестве степеней свободы перемещения, а другой - углы поворота. В работе /20/ авторы для описания модели осевого рабочего колеса использовали осе-симметричные элементы для диска и стержневые - для лопатки. Для стыковки двух типов элементов с различным числом степеней свободы вводился фиктивный безмассовый стержневой элемент, соединяющийся с циклосимметричным элементом в двух узловых точках. В публикации /4/ говорится о разработке специальных переходных элементов при аппроксимации конструкции разными типами элементов.

Основной недостаток такого подхода, при котором используются различные типы конечных элементов для моделирования одной конструкции со сложной геометрией, состоит в том, что необходимо каким-то образом уменьшать возмущения, возникающие в области стыковки элементов разных типов или разрабатывать специальные переходные конечные элементы /4/. Кроме того, для такого рода конечноэлементных моделей затруднен процесс автоматизированной генерации конечноэлементной сетки.

В работе /137/ в хронологическом порядке приведен обзор подобных исследований, из которого можно выделить следующие:

-Салама, Петит и Мота Соарес в 1976 г. представили общий подход для применения МКЭ к облопаченным дискам. Они продемонстрировали, что весь ансамбль может быть представлен конечно-элементной моделью (КЭМ) одной конструкции с фазовым различием е , примененным между границами подконструкций;

- Томас и Сабунку в 1979 г. использовали подобный метод, который они назвали методом комплексного нагружения для анализа вращающихся облопаченных дисков. Подконструкция содержала сегмент диска, идеали-

зированный секторными элементами, и одну лопатку, представленную стержневыми элементами.

Данный подход, когда конструкция, обладающая циклической симметрией, заменяется КЭМ подконструкции, содержащей сектор диска и лопатку, в других работах носит название «циклосимметричный» подход /54/. Его основной целью является экономия вычислительных ресурсов. Свойства циклосимметричных конструкций достаточно широко используются в исследованиях статики и динамики рабочих колес турбомашин /54/.

1.2. Собственные частоты и формы колебаний дисков и рабочих колес

Первые работы по исследованию прочности деталей машин при действии переменных нагрузок появились в тридцатые годы нашего столетия. Значительный вклад в это направление внесли отечественные ученые, особенно работы С.В. Серенсена и его учеников/81,82/.

Причины порождающие резонансные колебания впервые вскрыты Кэмпбелом, который проанализировал случаи разрушения лопаток и дисков в результате изгибных колебаний/104/. Обширные экспериментальные исследования, проведенные Кэмпбэлом, легли в основу современных методов теоретического и экспериментального исследования колебаний дисков с лопатками.

Основополагающие исследования в области расчета собственных колебаний вращающихся рабочих колес принадлежат Стодоле /155/. Он на основании гипотезы Кирхгофа-Лява для тонких пластин составил дифференциальное уравнение осесимметричных изгибных колебаний диска с учетом возникающих в результате вращения радиальных напряжений. Для случая колебаний с узловыми диаметрами и дисков переменной толщины Стодола использовал приближенное решение, основанное на

методе Рэлея. Учет лопаток был возможен только для перемещений лопаток как твердого тела на ободе диска, т.к. лопатки рассматривались как сосредоточенная кольцевая масса.

Анализ причин разрушения двигателей в полете свидетельствует о том, что в большинстве случаев они связаны с разрушением деталей ротора при динамических нагрузках. Как правило, разрушение дисков -следствие наложения повторно-статических и вибрационных нагрузок. Вибрационные напряжения в диске являются проявлением резонансных колебаний и приводят к усталости материала, а их уменьшение достигается отстройкой. Классическим инструментом исследования колебаний деталей роторных систем является техническая теория изгиба стержней и круглых пластин. Современные тенденции развития конструктивных форм роторных систем /53/ приводят к значительным ошибкам при использовании в расчетах теории изгиба. Известно, что уравнения колебаний теории кольцевых пластин удовлетворительно описывают только низшие формы колебаний и дают погрешность при описании высших форм. Уравнения колебаний пластин, учитывающие деформацию сдвига и инерцию поворота (аналог гипотезы Тимошенко для стержней), имеют более обширную область применения в случае описания низших форм, но и они дают погрешность при описании высших форм /53/ и не позволяют учесть асимметрию полотна и обода диска, сложные условия закрепления и жесткость узлов перехода к оболочкам вращения и валам.

Поэтому методы анализа дисков основанные на теории пластин не могут обеспечить приемлемой точности. Одна из первых попыток решения этого комплекса задач с позиций теории упругости предпринята в работе /93/. Предложенная методика заключается в точном решении динамической задачи для полого конечного цилиндра, в разбиении диска

на части цилиндрической формы и в обратной стыковке цилиндров в диск. Однако наиболее эффективным является объединение данного подхода и МКЭ. Описание основных алгоритмов и примеры расчета дисков в данной формулировке отражены в работе 191.

Колебания системы диск - лопатки можно разделить на два вида. Это изгибные колебания или колебания с узловыми диаметрами и узловыми окружностями. Следующий вид колебаний - зонтичные колебания, когда узловая окружность расположена у ступицы, встречается редко. Принято считать, что колебания первого вида являются наиболее опасными, т.к. собственные частоты колебаний с узловыми окружностями значительно превышают частоты изгибных колебаний, и силы, возбуждающие колебания второго вида на практике встречаются значительно реже. Все известные до настоящего времени усталостные разрушения связаны с изгибными колебаниями/104/.

Публикации по анализу колебаний или прочности рабочих колес турбомашин можно подразделить на:

1. анализ осевых рабочих колес;

2. анализ радиальных рабочих колес (открытые и закрытые).

Первые работы по расчетам осевых рабочих колес принадлежат

Ягеру /135/. Различные аспекты колебаний осевых рабочих колес приведены в основополагающих работах Богомолова/14,15,16/, Эвинса/114-119/, Армстронга /100,101/, а также в публикациях /26,144,142,140,125,136/.

Богомолов, Лукин, Нацвин /17/, Генри /128/, Хаупт /126, 127/, Уоч-тер /161/ исследовали колебания открытых радиальных колес турбомашин с помощью метода конечных элементов.

В работах Генри/128/, Богомолова/17/, Мака, Бутмана /142/, Хур-ти /130/ и Ирретьира /111/ исследованы колебания закрытых рабочих колес турбомашин.

В трудах российской школы ученых широкое распостранение получили методы расчета совместных колебаний лопаток и дисков, разработанные A.B. Левиным /69/ применительно к дискам паровых турбин. Исследования, выполненные A.B. Левиным, затрагивают в основном случаи изгибных колебаний дисков без узловых окружностей.

Для исследования колебаний облопаченных дисков применяют часто матричные методы расчета, в которых континуальная система заменяется соответствующей дискретной математической моделью. Наиболее широкое распостранение имеют матричные формы метода волновых динамических жесткостей и податливостей /36,37,40,41/ и метод начальных параметров /16,46/. Важную роль в формировании современных методов расчета колебаний рабочих колес турбомашин играют свойства циклически симметричных систем, разработанные В.П. Ивановым /40,41/ и др. /103/.

МКЭ в расчетах связанных колебаний облопаченных дисков впервые применили Кирхгоф и Вильсон /139/. Диск с лопатками моделировался тремя группами элементов. Лопатка представлена балочным элементом с 10-ю степенями свободы. Элемент бандажа - изогнутая балка с 8-ю степенями свободы. Кольцевой элемент облопаченного диска имеет 6 степеней свободы. Матрица жесткости и масс конструкции получена суммированием отдельных матриц разных типов КЭ. Более детальный анализ колебаний дисков выполнен в работе /96/, в которой исследовано влияние закрутки и скорости вращения.

Среди отечественных работ по применению МКЭ в расчетах динамики рабочих колес к числу первых относится работа Б.С. Лукина /56/, где на основе единого конечноэлементного алгоритма решена задача свободных колебаний модельных рабочих колес осевых и центробежных турбомашин. Показано, что введение в систему любой неоднородности

приводит к искажению форм колебаний с узловыми диаметрами и расслоению кратных частот.

В статье /162/ приводится метод расчета собственных колебаний симметричных облопаченных дисков. Диск описывается кольцевыми элементами с 12-ю степенями свободы, а лопатка элементом толстой оболочки с 8-ю узлами и 40 степенями свободы. Получено хорошее согласование расчета с экспериментом.

В диссертации Яроша /136/ содержится обзор современного состояния проблемы динамического поведения связанных систем турбинных лопаток. Рассмотрены вопросы колебаний лопаток турбин с диском при различных поясах связи. Выявлены некоторые закономерности формирования вибрационных спектров.

Вибрационный анализ вращающихся циклически симметричных систем проведен в работе /112/. При учете вращения рассматривается влияние кориолисовых сил. Разработана конечноэлементная модель рабочего колеса с 12-ю лопатками. В качестве базовых используются треугольные и четырехугольные КЭ системы NASTRAN. Проведено исследование частот и форм колебаний.

Для исследования колебаний диска с лопатками используются свойства циклически симметричных конструкций /143, 158, 161/. Геометрические выступы диска и бандажная полка лопатки в случае консольного закрепления заменялись приведенными массами и моментами. Диск с лопатками исследовался при свободном и закрепленном бандаже. В последнем случае бандаж аппроксимировался балочным КЭ, имеющим по 6 степеней свободы в узле, из которых 3 линейные и 3 вращательные. В качестве граничных условий между смежными бандажами принималась непрерывность линейных перемещений. Получено, что влияние выступов (бандаж и диск) для колебаний с диаметрами высокого поряд-

ка не может быть учтено за счет представления их приведенной массой и моментами инерции. Эта задача может быть решена путем дальнейшего развития секторного элемента включением в него толщины, изменяющейся в окружном направлении.

В работе /160/ проведено исследование колебаний диска с лопатками на основе построения циклосимметричной коненоэлементной модели, а также влияние на частоты и формы колебаний различных граничных условий в месте крепления лопатки с диском и у бандажа.

В публикации /106/ дано сравнение двух подходов к решению задачи свободных колебаний вращающегося диска с упругими лопатками. При первом подходе лопатки представлены в виде равномерно распределенной массы, при втором - в виде дискретно расположенных сосредоточенных масс. В работе /26/ представлены результаты расчета крутильных колебаний системы лопатки - диск - вал газовой турбины с применением цикло-симметрии.

В /48/ учтено влияние кориолисовых сил на колебания вращающегося на жестком валу упругого диска с лопатками.

Вибрационные характеристики групп лопаток и облопаченных дисков с учетом сдвиговых деформаций исследованы в работах /150-152/.

Конечноэлементное решение специально для анализа лопаток турбомашин и облопаченных дисков развито в программе BLADE /146/. С помощью этой программы возможно исследование распределения температуры, напряжений, собственных частот и форм колебаний, а также вынужденных колебаний. Рассчитанные напряжения являются входными данными для модуля долговечности. Благодаря специальному пред- и постпроцессору возможно построение конечноэлементных сеток сложной геометрии. На основе программы BLADE и ANSYS проведен рас-

чет конструкций типа лопаток и компрессорных рабочих колес при хорошем совпадении численных и экспериментальных результатов/149/.

Метод КЭ, циклическая симметрия и метод подструктур применены для анализа динамических характеристик радиального рабочего колеса в диссертации /138/.

Среди обзоров научных трудов, посвященных исследованию колебаний облопаченных дисков следует выделить работу Эвинса/117/. Ряд моментов динамического поведения рабочих колес отражен в обзорах Pao /147, 148 / и Сринивасана /85/.

Особое место при анализе колебаний лопаточных и др. конструкций играет проблема экономизации решения. Наибольшее распостранение получили методы на основе статической конденсации и суперэлементного подхода. Метод суперэлементов (МСЭ) разработан достаточно хорошо /105, 129/ и широко применяется во многих программах /87/ и программных комплексах: "КАСКАД" /66/, "Прочность" /66/. На практике, как правило, требуется знание низших 10-15 собственных частот /8/. Поэтому основные исследования направлены на разработку методов редукции исходной проблемы собственных значений. Существуют несколько способов решения этой задачи. К первой группе относятся методы, позволяющие как и в статике, исключить внутренние узловые перемещения подструктур /21,75/. Новое уравнение движения получается путем минимизации полной энергии системы с учетом принципа Даламбера по "внешним" степеням свободы. Такой подход позволяет снизить порядок проблемы собственных значений, однако носит приближенный характер. Известен и другой подход, при котором редуцирования системы уравнений практически не происходит, а МСЭ используется для снижения требуемой памяти ЭВМ и сокращения времени счета при обращении матриц в методе статической конденсации. Другой вариант МСЭ заключается в представле-

нии реакции каждой подконструкции в виде суперпозиции ее низших форм колебаний. Он известен также как "синтез по собственным формам подконструкций" /25, 128/. Различные варианты этого метода предполагают предварительное исследование и расчет частей конструкции с последующим использованием для расчета всей конструкции. Методы соединения подконструкций можно разделить на методы фиксированных, или свободных границ, а также смешанные. Это зависит от того, получены ли собственные формы подконструкций при фиксированных координатах граничных узлов, при свободных границах или при смешанных граничных условиях /164/.

1.3 Упругость соединения «вал - диск - лопатка»

Как показал обзор, очень мало внимания в отечественной и зарубежной литературе уделено взаимному влиянию конструктивных элементов, слагающих ротор. Исследование конструкций рабочих колес и роторов, представляющих собой единые упругие системы, с учетом влияния упру-гостей отдельных элементов конструкции (диска, вала) является актуальной задачей. Особенно это важно для авиационных ГТД. Стремление к снижению материалоемкости создаваемых двигателей обуславливает соизмеримость упругих и инерционных характеристик лопаток и диска, и в этом случае рабочее колесо следует рассматривать как единую систему диск - лопатки.

Рассмотрение рабочих колес с позиций единой упругой системы при анализе динамики /14, 36/ позволяет выявить новые качественные закономерности вибрационных спектров. Так, при динамическом взаимодействии диска и лопаток в ряде случаев могут появиться низкочастотные колебания с узловыми окружностями, расположенные как на диске, так и на рабочих

лопатках, что ставит вопрос о безопасности изгибных колебаний дисков с узловыми окружностями.

Анализ статических и динамических характеристик роторов турбо-машин можно разделить на несколько подходов, в зависимости от рассмотрения основных элементов, слагающих ротор. Например в работах /118, 119/ были исследованы колебания стационарных и вращающихся дисков с лопатками при наличии и отсутствии бандажа, с расстроенными или настроенными лопатками. В этих расчетах диск жестко закреплялся в центре с исключением из рассмотрения связи, обусловленной изгибом вала и соответствующим движением диска как жесткого тела.

При другом подходе рассматривалась модель в виде жесткого диска, закрепленного на упругом валу, что является традиционным расчетом критических скоростей вращения ротора. Для решения задачи о связанных колебаниях упругой системы вал-диск как правило применяется расчленение проблемы на две отдельные: задача о податливом вале с жесткими дисками и задача о жестком вале с упругими дисками.

Для исследования самовозбуждающих колебаний, срывного флаттера и других явлений иногда применяют связь упругих лопаток с упругим валом через жесткий диск /125/.

Наименее изученными элементами лопаточных колес являются соединения между стыкующимися компонентами, а именно: диск-лопатка, лопатка-полка, полка-полка. Соединение лопаток со связями и диском не является абсолютно жестким. В ряде работ это обстоятельство учитывается с помощью специальных коэффициентов изгибающего момента или коэффициентов упругости соединения /69, 63/. Однако в этом случае не учитывается зависимость смещения лопатки относительно связи при скачке усилия в сечении связи, в узлах соединения с лопаткой. Метод расчета колебаний лопаточных колес на принципе упругих связей нашел свое от-

ражение в ряде работ зарубежных ученых. Одним из первых проанализировал колебания облопаченных дисков Армстронг /100/. Эвинс и Коттни /108/ развили подход Армстронга на основе применения принципа упругой связанности к более общему случаю систем с замкнутыми на круг связями. Одним из ограничений данного подхода является трудность расчета необходимых значений упругой податливости для лопаток сложной формы и трудность учета влияния вращения.

Упругость соединения диск-лопатка учитывается с помощью поправочных коэффициентов, зависящих от формы колебаний /69/. Более универсальным является учет упругости заделки с помощью коэффициентов податливости защемления, значения которых могут быть определены расчетным путем /16, 69/. Податливость и демпфирующая способность замковых соединений исследовалась в работе /102, 141/. В работе /95/ проведен анализ МКЭ взаимосвязанных колебаний расстроенного рабочего колеса компрессора с креплением лопаток типа «ласточкин хвост». Исследована повышенная вибронапряженность замка. Расчет произведен на основе теории связанных колебаний механических систем с использованием метода циклосимметрии. Рассмотрена система упругий диск - жесткие лопатки и упругий диск - упругие лопатки. Подобные исследования проведены и в работе /52/, где дан анализ влияния формы колебаний лопаток на вибронапряженность межпазовых выступов замка «ласточкин хвост».

Второму возможному виду колебаний дисков с лопатками соответствуют колебания с узловыми окружностями. Этот вид колебаний вызывается осевыми силами, например при пульсирующем подсасывании газа. Такие колебания встречаются реже и им в технической литературе уделяется значительно меньшее внимание. Одной из первых работ в этой области является работа /124/, в которой рассмотрены крутильные колебания диска. Исследовано влияние вращения. Получено, что вращение мало влияет на

формы мембранных колебаний. В работе Граммеля /124/ не учитывается влияние лопаток на колебания дисков. Впервые такой учет выполнен в работе /92/, где рассмотрены тангенциальные колебания лопаток и крутильные колебания дисков.

Дальнейшие исследования проблемы связанности изгибных и крутильных колебаний облопаченных дисков приведено в работе /133/. Показано, что деформации сдвига могут играть существенную роль уже для основных форм колебаний облопаченных дисков, а влияние вращения достаточно мало.

Наиболее существенными работами в направлении учета упругих свойств роторных систем являются /134, 123, 159/. В них проведено исследование статики и динамики циклически симметричных конструкций, включающих вал, диск и лопатки. Распределение статических напряжений, частот и форм собственных колебаний конструкции с учетом упругости вала отличаются от классических представлений.

Несмотря на наличие вышеописанных трудов, ряд вопросов численного анализа статики и динамики конструкций освещен в них, на наш взгляд, не полно.

Например, недостаточно проанализировано влияние геометрической нелинейности на статическое и динамическое напряженно-деформированное состояние роторных систем от воздействия центробежных и, особенно, температурных сил.

Слабо освещены, либо вообще не нашли своего отражения в литературе вопросы, связанные с учетом упругости соединения элементов роторных систем, в частности:

- влияния граничных условий закрепления ротора на расчетную динамику и прочность упругих механических систем;

- исследование новых, отличных от классических, частот и форм ко-

лебаний упругих систем «вал-диск-лопатка»;

- анализ особенностей распределения статических напряжений при учете и неучете упругости соединения.

Требуют значительно более широкого обсуждения вопросы влияния изменения геометрических параметров отдельных элементов (в частности, лопатки) на динамику и прочность упругих механических систем «вал -диск - лопатка», а также влияния формы конечноэлементной модели сектора на точность вычислений статических и динамических характеристик сложных механических систем «вал - основной диск - покрывающий диск -радиальные лопатки».Помимо этого, обзор исследований показал недостаточную освещенность вопроса повышения точности конечноэлементных расчетов трехмерных тел путем применения оригинальных способов интегрирования.

Из сказанного можно сделать вывод о том, что в настоящий момент не существует универсальной эффективной методики анализа прочности радиальных и осевых роторов с учетом упругости соединения «вал - диск -лопатка».

В диссертации ставится целью разработка трехмерных математических моделей, алгоритмов, программ и эффективной методики расчета колебаний и прочности роторов как единых упругих механических систем. Для достижения этой цели необходимо решение всех вышеперечисленных вопросов.

2. РАЗРАБОТКА ТРЕХМЕРНЫХ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОЧНОСТИ И СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ РОТОРОВ ТУРБОМАШИН

2.1 Основные соотношения МКЭ

Приведем основные матричные соотношения МКЭ в перемещениях, основанные на уравнениях линейной теории упругости. В качестве основных неизвестных при составлении уравнений равновесия являются перемещения узлов {с?}. На этих соотношениях базируется методика расчета

прочности и колебаний роторов.

Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов. С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации полной потенциальной энергии системы П:

где V - энергия деформаций, 1¥ - работа внешних сил. Вычисляя полную потенциальную энергию, дифференцируя ее по

П = У-Ж

(2.1)

перемещениям |с)} и приравнивая к нулю, получим разрешающее уравне ние равновесия теории упругости /104/:

(2.2)

V

я

2.1.1. Решение статической задачи Выражение (2.2) можно переписать:

([ке ] + [ко] + [кк ]) • {$} = + (2.3)

где матрица геометрической жесткости К а = {[Сг]7^1] [£] (1\>\

(2.4)

а матрица псевдомасс Кк - рО.2

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Рыжиков, Игорь Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе созданных математических моделей, алгоритмов и программ решен комплекс взаимосвязанных задач:

• разработаны математические модели элементов роторов радиальных турбомашин, учитывающие влияние центробежных сил (ЦБС), газовых сил и неравномерного нагрева с учетом геометрической нелинейности, теплопроводности и оригинальных методов интегрирования трехмерных конечных элементов;

• исследована эффективность учета геометрической нелинейности в расчете прочностных характеристик модельных и реальных деталей роторов турбомашин;

• разработан алгоритм и методика анализа температурных полей и температурных деформаций в трехмерных телах на основе решения двумерной задачи теплопроводности;

• развиты новые эффективные способы интегрирования, исследовано влияние различных способов интегрирования на точность расчетов;

• выполнены численные исследования статического напряженно-деформированного состояния (НДС) и колебаний роторных деталей радиальных турбомашин;

• выявлены закономерности НДС и колебаний сложных механических систем «лопатка - диск - вал» с учетом упругости соединения;

• разработаны практические рекомендации по учету упругости соединения «лопатка - диск - вал» при численном исследовании прочности турбомашин;

• разработаны оригинальные предпроцессор для автоматической генерации конечноэлементной сетки, и постпроцессор, предназначенный для визуализации результатов расчета;

• результаты диссертационной работы внедрены на производственном объединении «Уральский турбомоторный завод» (г. Екатеринбург), в акционерном обществе «ИркутскНИИхиммаш» (г. Иркутск) и в Рыбинском конструкторском бюро моторостроения (г. Рыбинск).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Рыжиков, Игорь Николаевич, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. - Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986. - 383с.

2. Автоматизация прочностных расчетов турбомашин / под ред. Ре-пецкого О.В. - Иркутск: изд-во Иркутск. Союза НИО, 1990. -100с.

3. Автоматическое формирование сетки треугольных элементов для произвольных плоских областей / А.С.Цыбенко, Н.Г.Ващенко, Н.Г.Крищук, В.Н.Кулаковский // Проблемы прочности. - 1980. - №12. - С.84-87.

4. Акимкин С.А., Никишков Г.П. Сопряжение трехмерных элементов и элементов толстостенных оболочек для расчета напряженного состояния конструкций сложной формы // Деформация и разрушение материалов и элементов конструкций ядерных энергетических установок. - М., 1986. -С.3-9.

5. Амельянчик A.B., Струнина Е.П. Расчет на прочность дисков и роторов тепловых турбин на машине «Урал-2» - В кн.: Экспериментальные исследования прочности дисков, лопаток и паропроводов. М., 1965, 120 с (Труды ЦНИИТМАШ, №56).

6. Анри Р., Лаланнэ М. Расчет вибраций вращающихся лопаток компрессоров // Труды Амер. об-ва инж.-механ. Сер. В. - 1974. - 96, №3. - С.214-221.

7. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. - М.: Стройиздат, 1968, - 241 с.

8. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

9. Бедчер Ф.С. Исследование вибрации компрессорных лопаток // Прочность и динамика авиационных двигателей,- 1966.-Вып.4. - С. 132-143.

10. Биргер И.А. Интегральные методы расчета диска. - В кн.: Расчет на

прочность дисков турбин и компрессоров. М.: Оборонгиз, 1950, с.162-186.

11. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956, 152 с.

12.Биргер И.А. Приближенный расчет на прочность колес центробежных турбомашин с двухсторонним входом. - В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1964, вып.1, с.104-123.

13.Биргер И.А. Теория пластического течения и расчет дисков. - В кн.: Расчеты на прочность. М., Машгиз.1966, вып. 12,с. 183-200.

14.Богомолов С.И. Анализ спектра резонансных частот и форм колебаний облопаченных турбинных дисков. - Изв. вузов. Машиностроение, 1963, №4, с.80-88.

15.Богомолов С.И. Спектр частот и форм собственных колебаний рабочих колес турбомашин //Проблемы прочности.-1971.-N6. - С.88-93.

16.Богомолов С.И., Журавлева A.M. Колебания сложных механических систем. - Харьков: Вища школа, 1978. - 136 с.

17.Богомолов С.И., Лукин Б.С., Нацвин А.Н. К расчету колес центробежных компрессоров в конечноэлементной аппроксимации //Динамика и прочность машин. -Харьков,- 1980.-Вып. 31. -С. 3-12.

18.Борискин О.Ф. Автоматизированные системы расчета колебаний методом конечных элементов. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 1984. - 188 с.

19.Борискин О.Ф., Кулибаба В.В., Репецкий О.В. Конечноэлементный анализ колебаний машин. - Иркутск: из-во ИГУ, 1989. - 144 с.

20.Борискин О.Ф., Кулибаба В.В., Репецкий О.В. Численная конечноэле-ментная методика расчета динамики и прочности оболочек вращения средней толщины. - В кн.: Тр. Всесоюз. Совещ. - семинара «Теория и численные методы расчета пластин и оболочек». - Тбилиси, 1984,с.40-48.

21.Боришанский К.Н. Учет влияния упругости заделки на собственные частоты лопаток турбин // Вибрационная прочность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов. -Куйбышев, 1982. Вып.- 2. -С. 23-33.

22.Бояршинов C.B. Основы строительной механики. М., «Машиностроение», 1973. 456 с.

23.Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во иностр. Лит., 1963, 487 с.

24.Влияние порядка численного интегрирования на результаты расчета методом конечных элементов / Рудых О.Л., Соколов Г.П. // «Межвуз. сб. науч. тр.Хабар.ин-т инж.ж.-д.трасп.», 1984, №52, 8-13.

25.Вольмир А.С.,Ермекбаева Е.Ш.,Терских В.Н. Метод суперэлементов в приложении к задачам динамики пластин и оболочек // Всесоюзная конф. по теории оболочек и пластин. - Ереван. -1980. -Т. 1. - С.289 -295.

26.Воробьев Ю.С., Шульженко Н.Г. Исследование колебаний систем турбоагрегатов. -Киев: Наукова думка, 1978. -135с.

27.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

28.Гонторовкий В.П., Козлов И.А., Гонтаровская Т.Н. Применение МКЭ к расчету напряженного и деформированного состояния неоднородных тел вращения. - Проблемы прочности, 1975, №8, С.72-76.

29.Гриффин Д.С., Келлог Р.Б. Численное решение осесимметричных и плоских задач упругости. - В кн.: Механика, М.: Изд-во иностр. лит., 1968. №2, С.108-105.

30. Двухмерные и трехмерные конечноэлементные модели для анализа статики и свободных колебаний рабочих колес и пакетов ГТД /Репецкий О.В., Рыжиков И.Н. //Асимптотические методы в задачах аэродинамики и проектирования летательных аппаратов, Иркутск: ИрГТУ, 1996. 15с.

31.Деклу Ж. Метод конечных элементов. - М.: Мир, 1976. - 94 с.

32.Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. - М.: Машиностроение, 1978,- 247 с.

33.Демьянушко И.В. Напряженное состояние рабочих колес высокооборотных центробежных нагнетателей. - «Известия вузов. Машиностроение», 1966, №6, с.44-52.

34. Демьянушко И.В. Расчет на прочность рабочих колес центробежных нагнетателей. - В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М., «Машиностроение», 1969, вып.5, С.73-90.

35.Дофман A.A., Либстер А.Ш., Ревзюн М.Б. Численное решение на ЭЦВМ пространственной осесимметричной задачи теории упругости применительно к толстым турбинным дискам. - «Труды ЦКТИ», 1966, вып.74, с. 175.

36.Ермаков В.И., Фролов Расчет динамических характеристик рабочих колес авиационных ГТД .Куйбыш. авиац. ин-т. -Куйбышев, 1984. -217 с.:ил. -Библиогр.: 118 назв. - Деп. в ВИНИТИ 10.09.84, N 7669.

37.Евдокимов Б.М. Применение метода конечных элементов к расчету пустотелых лопастей рабочих колес газовых турбин // Метод конечных элементов и строительная механика: Труды Л11И. - 1979. - №363, с.58-60.

38.3аварцева H.A. Расчет на прочность дисков радиальных турбомашин. -«Труды НАМИ», 1963, вып.55, с.34-80.

39.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. -542с.

40.Иванов В.П. Колебания рабочих колес турбомашин. - М.: Машиностроение, 1983. -224 с.

41.Иванов В.П. Некоторые вопросы колебаний лопаточных венцов и других упругих тел, обладающих циклической симметрией. - В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М.: Машиностроение, 1971, вып.6, с. 113-131.

42.Ильин JI.O. Напряженное состояние закрытых рабочих колес центробежных нагнетателей. - «Прикладная механика». 1960, т.6, вып.1, с.46-

53.

43.Исследование напряженно-деформированного состояния циклосиммет-ричных конструкций /Репецкий О.В., Рыжиков И.Н. //Технологическое и инструментальное обеспечение механообработки, Иркутск: ИЛИ, 1993. 11с.

44.Исследование НДС Циклически симметричных пространственных конструкций / А.С.Сахаров, А.И.Гуляр, А.Г.Топор, С.М.Чорный, С.А.Шалыгин // Проблемы прочности - 1990 - №6.

45.Камель Х.А., Эйземитон Г.К. Автоматическое построение сетки в двух-и трехмерных составных областях // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - JI.: Судостроение, 1974. - т.2 - с.21-35.

46.Кемпнер M.JI. Совместные колебания диска и бандажированных лопаток // Вопросы механики в применении к железнодорожному транспорту. - Москва. -1979. -Вып. 643,- С. 43-41.

47.Коваленко А.Д. Пластинки и оболочки в роторах турбомашин. Киев, Изд-во АН УССР, 1955. 302с.

48.Колебания упругого диска с венцом лопаток при сложном вращении / Гуляев В .И., Домарецкий Р.В. // Проблемы прочности - 1996 - №6.

49.Конечноэлементны й анализ прочности вращающихся механических систем /Репецкий О.В., Рыжиков И.Н. //Проблемы оптимального проектирования сооружений, Новосибирск, 1998, Юс.

50.Концентрация напряжений в наклонных каналах охлаждения диска ГТД / В.И. Кравченко, C.B. Кобельский, П.П. Ворошко, Е.В. Петров // Проблемы прочности - 1998 - №3.

51.Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. - Л.: ЛГУ, 1977. - 206 с.

52.К оценке вибронапряженности межпазовых выступов компрессорных дисков газотурбинных двигателей / И.Г.Токарь, А.Я.Адаменко, А.П.Зиньковский, В.В.Матвеев // Проблемы прочности - 1997 - №6.

53.Кузнецов Н.Д. Прочность деталей турбины ГТД в условиях сложного нагружения и связанные с ней проблемы. - Проблемы прочности, 1982, №3, с.10-14.

54.Кучер Н.К. Применение вырожденных трехмерных конечных элементов для расчета оболочечных конструкций // Пробл. прочности. 1984. - №5. - с. 98-102.

55.Левин A.B. Рабочие лопатки и диски паровых турбин. М.: Госэнергоиз-дат,1963, 624 с.

56.Лукин Б.С. Исследование колебаний рабочих колес турбин и компрессоров методом конечных элементов / Автореферат дис. канд. техн. наук. - Харьков. - 1975. - 30 с.

57.Малинин H.H. Поверочный расчет на прочность дисков. - «Научные доклады Высшей школы. Машиностроение и приборостроение», 1958, №1,с.49-62.

58.Малинин H.H. Расчет вращающегося неравномерно нагретого диска переменной толщины. - В кн.: Инженерный сборник, 1953, т.17,с.151-163.

59.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. - М.: Мир, 1981. 216 с.

60.Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. - И.: Наука, 1980. - 254 с.

61.Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981.-304 с.

62.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. -464 с.

63.Орлов В.В. Разработка и реализация метода расчета вынужденных колебаний венцов рабочих лопаток турбомашин / Дис. канд. техн. наук. -М. -1985. -210 с.

64.Оценка эффективности метода статической конденсации в расчетах собственных колебаний лопаток турбомашин / Ю.С.Воробьев, С.П.Канило, А.И.Шепель, З.В.Сапелгина // Проблемы прочности - 1994 №1.

65.Пономарев С.Д., Бидерман B.JL, Лихарев К.К. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 1, М., Машгиз, 1958. 950 с.

66.Постнов В.А. Метод суперэлементов в расчетах сооружений. - Л.: Судостроение, 1979. - 287 с.

67.Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977. - 279 с.

68.Применение компьютерных технологий для анализа динамики и прочности роторов машин на основе пакета программ «BLADIS» /Репецкий О.В., Рыжиков И.Н. //Вестник ИрГТУ, Иркутск, 1998, Юс.

69.Прочность и вибрация лопаток и дисков паровых турбин / А.В.Левин, К.Н.Боришанский, Е.Д.Консон. - Л.: Машиностроение, Ленинград, отд-е, 1981.-710 с.

70.Раер Г.А. Динамика и прочность центробежных компрессорных машин. - Л.: Машиностроение, 1968.-260 с.

71. Расчет напряженно-деформированного состояния вращающегося диска газовой турбины с учетом пластичности и ползучести материала при повышенных температурах / С.Ю.Еременко, И.Г.Ильге // Проблемы прочности - 1993 - №5.

72.Рис В.Ф. К расчету вращающихся дисков турбомашин. Диски с боковой нагрузкой. - «Советское котлотурбостроение», 1938, №1, с.21-28.

73.Репецкий О.В. Исследование колебаний элементов рабочих колес турбомашин с использованием конечноэлементных аппроксимаций. - В кн.: Научн.-техн. сборник ИВВАИУ. Иркутск, 1984, вып. 6, с.104-108.

74.Репецкий О.В. Конечноэлементные аппроксимации в динамике лопаточных венцов. - В кн.:II Всесоюзн. Конф. По теории упругости. Тбилиси, 1984, с.240-241.

75.Репецкий О.В. Конечноэлементные аппроксимации в динамике лопаточных систем // Проблемы прочности. - Киев, 1987. С. 23-32.

76.Репецкий О.В. Колебания рабочих колес турбомашин. - В кн.: Тез. докл.юбилейной научно-техн. конф. ИВВАИУ по актуальным вопросам эксплуатации авиационной техники. Иркутск, 1985, с.28.

77.Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. - М.: Стройиздат, 1977. - 126 с.

78.0 концентрации напряжений в тепловых канавках и придисковых галтелях роторов паровых турбин / Георгиев К.Г., Жадалов Г.О., // Тр. ЦКТИ. - 1992.-№270-с.47-52.

79.Сахаров A.C. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений. - В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, Будивельник, 1974, вып.24, с. 196.

80.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.

- 392 с.

81.Серенсен C.B., Козлов Л.А. Испытания на усталость при варьируемых перегрузках // Завод, лаб. - 1953. - N 3. - С. 337-346.

82.Серенсен C.B. Расчет на прочность при напряжениях циклически изменяющихся во времению. - М., 1971. - 60 с.

83.Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. -М.: Стройиздат, 1978. - 231с.

84.Система математического обеспечения прочностных расчетов пространственных конструкций / Г.В.Исаханов, В.Н.Кислоокий, A.C. Сахаров, А.Л.Синявский. - Проблемы прочности, 1978, №11, с.59-61; №12, с.25-28.

85.Сринивасан. Вибрация лопаточных дисков - обзор основных работ // Тр. Амер. об-ва инж.-мех., сер. В% Конструирование и технология машиностроения. -1984. -Т.106. - N 2. - С. 1-5.

86.Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1978.

- 349 с.

87.Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек / З.И.Бурман, О.М.Аксенов, В.И.Лукашенко, М.Т.Тимофеев. М.: Машиностроение, 1982. - 256 с.

88.Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. - 512 с.

89.Темис Ю.М. Вариационно-разностный метод расчета упругопластиче-ских круглых пластинок. - «Известия высших учебных заведений. Машиностроение», 1974, №7, с.16-21.

90.Тумаркин С.А. Расчет дисков с произвольной симметричной радиальной нагрузкой. - «Тр. ЦАГИ», 1939, вып.397, с.44.

91.Уманский Э.С. Напряжения в диске от центробежных сил лопаток, распределенных несимметрично вдоль окружности. КПИ, 1950, т. 10, с.69-

74.

92.Филлипов А.П. Колебания деформируемых систем,- М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

93.Фридман JI.H. О расчете колебаний дисков на основе уравнений теории упругости. - В кн.: Вибрационная прочность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов. Куйбышев: КуАИ, 1981, вып.8, с. 124132.

94.Хронин Д.В. Колебания в двигателях летательных аппаратов.-М.Машиностроение, 1980. -296 с.

95.Численное исследование взаимосвязанных колебаний расстроенного рабочего колеса компрессора турбомашины / Зиньковский А.П. // Проблемы прочности , 1997 - №2.

96.Шабров H.H., Соколов Д.Ю., Семенченко М.В. Расчет трехмерного напряженного состояния деталей турбин методом конечных элементов // Тр. ЦКТИ. - 1985. - Вып. 219. - с.9 - 13.

97.Шапошников H.H., Тарабасов Н.Д., Петров В.Б., Мяченков В.И. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. - М.: Машиностроение, 1981.-333с.

98.Шусторович Я. Л. Изгиб полуоткрытых колес радиальных турбомашин. -«Энергомашиностроение», 1965, №10, с.32-35.

99.A computer code for the stress analysys of ciclically symmetric components / Murthy Y.V.L.N. Agrawal C.P. // Proc. Int. Conf. Numer. Meth. Eng.: Theory and Appl., Swansea, 6-10 July, 1987.C. D40/1-D40/8.

100. Armstrong E.K., Christie P.J., Hague W. Natural Frequencies of Bladed Disk. - Proc.J.Mech.E., 1966, V.180, №31, p.l 10-123.

101. Armstrong E.K., Christie P.J., Hague W. Natural Frequencies of Shrouded Bladed Discs Assemblies // J. Eng. Ind. ASME. -1974.-V. 96. P. 1059-1069.

102. Bielava P.L. An analytic Stydy of Energi Dissipation of Turbomaschinery Bladed - Disk Assemblies due to Interschroud Segment Rubbing // Trans, of the ASME -J. of Mechanical Design. -1978. -V. 100. -April.-P. 222-226.

103. Brillouin L.:Wave Propagation in Periodic Structures.- Dover Publ., 1953.

104. Campbell W. The Protection of Steam Turbine Disk Whuls from Axial Vibration. - Trans, of the ASME 46, 1924, p.31-160.

105. Chen D., Dugundji J. An Investigation of the Vibration caracteristics of shrouded Bladed Disk robot stages //J. Aircraft.- 1980. -V. 17. - N 7,- P. 479486.

106. Comparison of two finite element approaches for analysis of rotating bladed-disk assemblies / Hsieh S.-H., Abel J.F. // J. Sound and Vibr. - 1995. -185, №1 - p.91-107.

107. Cook, R.D., 1981, «Concepts and Applications of Finite Element Analysis», 2nd. Edition, John Wiley, New York, USA.

108. Cottney D.J., Ewins D.J. Towards the Efficient Vibration Analysis of Shrouded Bladed Disc Assemblies. - J. Eng.Ind. ASME, 1974, V.96, p. 10541059.

109. D.A.Subramani, V.Ramamurti, K.Sridhara Finite Element Analysis of Automotive Turbocharger Turbine Wheel // DE-Vol. 84-2, 1995 Design Engineering Technical Conferences, Vol.3 - Part B, ASME 1995.

110. Dokainish M.A., Rawtani S. Vibration analysis of rotating cantilever plates // Int.J.Num.Meth.Eng. - 1971. - 3, №2. - p.233-248.

111. Ebersbach P., Irretier H., Wiewecke F. Eigenschwingungsanalyseeines Radialverdichters mittels finiter Elemente.- Kassel Universität, Institut fur Mechanik. - 1985. - 93 S.

112. Elchuri V., Smith G.C.C., Gallo A.M. NASTRAN Forced Vibration Analysis of Rotating Cyclic Structures // J. of Vibration Stress and Reability in Design. -1983.-N 83 -DET -20,-P. 1-11.

113. Engeln-Mullges G., Reutter F. Formelsammlung zur Nummerischen Mathematik mit Standart Fortran 77 - Programmen // B.I. Wissenschaftsverlag.-1988.

114. Ewins D.J. Bladed Disk Vibration. A Review of techniques and Characteristics // Resent. Adv. Struct. Dyn. Pap. Int. Conf. - Southampton.-1980. -V. 1. -P.187-210.

115. Ewins D.J., Cottney D.I. On Predicting of the Natural Frequencies of Shrouded Bladed Disks //ASME Paper 75-DET-l 13. - -234 P.

116. Ewins D.J., Imgerum M., Vibration Modes of Packeted Bladed Disks// J. of Vibration, Acoustics, Stress and Reliability in Design, V. 106, N 4, 1985. - P. 175-180.

117. Ewins D.J., Sadasiva Rad Y.V.K. A Teoretical Study of the Damped Forced Vibration Response of Bladed Discs// Struct. Dyn. Aspects of Bladed Disk Assemblies, Publ. ASME. -New York. - 1976. -P. 29-44.

118. Ewins D.J. Vibration Characteristics of Bladed Disk Assemblies//J. of Mech. Eng. Sei. - 1973,- V.15. - P. 165-186.

119. Ewins D.J. Vibration Modes of Mistimed Bladed Disks //ASME Paper 75-GT-14. - 1975. -192 P.

120. Fezans, G. and Verchery, G.,1981, Some results on the behaviour of degenerated shell (D.S.) elements, CAFEM 6, Proceedings of 6th International Seminar on Computational Aspects of the Finite Element Method, Paris, August 1981.

121. Fried, I., 1973, Accuracy and condition of curved (isoparametric) finite elements, J. Sound and Vibration, 31 (3), 345-355.

122. Generalized transition finite-boundary elements high speed flight structures / Sarigul Klun Nesrin, Odabas Onur // AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC/ 31-st Struct., Struct. Dyn. And Mater.,Conf., Long Beach, Calif., Apr. 2-4, 1990: Collect. Techn. Pap. Pt.2.- Washington (D.C.) 1990 - p.598-602.

123. Georges Jacquet-Richardet, Guy Ferraris, Pierre Rieutord. A numerical method for the dynamic analysis of rotating flexible blade-disk-shaft assemblies // Villeurbanne, Laboratoire de Mecanique des Structures, 1995, P.1215.

124. Grawley E.F. In Plane Inertial Coupling in Tuned and Severely Mistuned Bladed Disks // ASME Paper N 82-DT-288. -1982. -131 P.

125. Guyan R.J. Reduction of stiffness and mass matrices // AIAA J. -1965. -V. 58. -N2.-P. 380.

126. Haupt U. Untersuchungen des Schaufelschwingungsverhaltens hochbelasteter Radialverdichterlaufrader/ Dissertation Dr.-Ing. -Hannover. -1984. -253 S.

127. Haupt U.,Hasemann H. Radialverdichter-schwingfestigkeit//Hannover.-FVV.- Schlussbericht. - Vorhaben N 396, Heft 456.-1990.

128. Henry R.:Contribution sur l'etude dynamigue des machines tournantes/ These de Doctorat d'Etat. - Lyon. - 1981.

129. Hrenicoff A. Solution of Problems in Elasticiti by the Framework Method // J. Appl. Mech. -1941. -V 8. - P. 169-175.

130. Hurty E. Dynamic Analysis of Large Structures by Modal Synthesis Techniques.- Los Angeles. -1971.

131. Iaburek F. Die Festigkeit von radial beschanfelten Ianfradern, Oster-reidusce Ihgen. - Aichiv. Bd. 7, №3, 1953.

132. Irons B.M., Zienkiewicz O.C. The isoparametric finite element system - a new concept on finite element analysis // Conf. on Recent Advances in Stress Analysis, of Royal Aeron. Soc. - 1968. - 5. - P.35-40.

133. Irretier H. Berechnung der Schwingungen rotierender beschaufelter Scheiben mittels eines Anfangswertverfahrens /Doktor-Ingenier Dissertation.- Hannover. -1978. -129 S.

134. Irretier H., Repetski O. Analyse der Eigenschwigungen rotierender axialer und radialer Laufrueder und Schaufelpakete von Turbomaschinen mittels Hyperelemente, Kondensation und der Methode zyklischer Symmetrie. Forschunsbericht DAAD. Kassel: Universituet-GH Kassel, Institut Fuer Mechanik, 1991.-121 S.

135. Jager B. Eigenfrequenzen einer Scheibe mit verwundenen Schaufeln// Zeitschrift far Flugwissenschaften. - 1962. -N 10.-P. 439-446.

136. Jarosch J. Beitrag zum Schwingungsverhalten gecoppelter Schaufelsysteme / Doktor-Ingenier Dissertation.- Stuttgart. - 1983. -131 S.

137. Kelen P. A finite element analysis of the vibration characteristics of rotation turbine blade assemblies/ PhD Thesis. - Central Electricity Research Laboratories. - Leatherhead, Surrey. - 1985. - 250 P.

138. Kirbs J. Dynamische Analyse sektor symmetrischer Strukturen unter Ausnutzung der Methode der Finiten Elemente. / Dis. Dr.-Ing.-Magdeburg Universität. -1989.

139. Kirkhope J., Wilson G.J. Analysis of Coupled Bladed Disk Vibration in Axial Flow Turbine and Fan // Proc. 12th AIAA/ASME Conf. Structures, Struct. Dyn. Mater. ASME Paper N 71-735. -1971.-P. 1-11.

140. Kuo P.S. Collinge K.S. Structural Analysis of Gas Turbine Impeller Using FEM and Holographie Techniques //AGARD-CP-248. -1979.

141. Macbain J.C., Genin J. Effect of Support Flexibility on the Fundamental Frequency of Vibrating Beams// J. jf Franclin Institute. -1973,- V. 296. -N 4,- P.259-273.

142. Mak S.W., Botman M. Substructures Analysis of Impeller Vibration Modes // ASME Paper N 75-DET-l 12. -1975.

143. Mead D.J.:A General Theory of Harmonic Wave Propagation in Linear Periodic Systems with Multiple Coupling//.!of Sound and Vibration.-1973,-V.27.

144. Midturi S., Soni M.L., Stange W.A., Reed J.D. On Model Generation and Modal Analysis of flexible Bladed Disk Assemblies // Bladed Disk Assemblies, ASME. -1987. -P. 27-30.

145. Omprakash V. Computer Aided Analysis of Rotating Tuned Bladed Disk System/PhD Thesis.-Indian Institut of Technology.-Madras.-1988.-203 P.

146. Plummer R., Redding M., McClosky T. BLADE Analysis Capabilities and Experinces// Steam and Turbine Blading Conf. -Orlando. -1992.

147. Rao J.C. Turbomaschine Blade Vibration// Shock and Vibr. Digenst. -1980. -V. 12.-P. 19-26.

148. Rao J.C. Turbomaschine Blade Vibration// Shock and Vibr. Digenst. -1983 . V. 15. - P. 3-9.

149. Rieger N.F., Lam T., Redding M.L. Calculationa and experiments on the stress and vibration properties of a compressor disk // Proc. of the IMechE Conf.. -University of Bath.-1992.-N C432/132. -P. 33-42.

150. Shiga M. Characteristics of Natural Freguencies of Steam Turbine Blades// Bui. ASME.-1984. -V. 27. - N 226. -P. 802-808.

151. Shiga M. Characteristics of Natural Freguencies of Steam Turbine Blades// Bui. ASME. -1984. -V. 27. - N 228. -P. 1203-1209.

152. Smith D.M. Vibration of Turbine Blades in Packets // Proc.of the Intern. Conf. for Appl. Mech. -1948,- V. 3. -P. 178-192.

153. Sreemvasamurthy S ., Ramamurti V. Effect of tip mass on the natural frequencies of a rotating pre-twisted cantilever plate // J. Sound and Vibration. -1980. - 70, №4. - P.598-601.

154. Stodola A. Uber die Schwingungen am Dampfturbinen laufradern. -Schwiezervische Bauzeitg, 1914, №63, S.251-255.

155. Stricklin, J.A., Ho, W.S., Richardson, E.Q. and Haisler, W.E. 1977, On isoparametric VS linear strain triangular elements, Int. J. Num. Meth. Eng., 11, 1041-1043.

156. Studies on determination of natural frequencies of industrial turbine blades / Mahesh M. Bhat, V. Ramamurti and C. Sujatha // DE-Vol. 84-2, 1995 Design Engineering Technical Conference, Vol.3- Part B, ASME 1995.

157. Timoshenko, S. and Goodier, J.N., 1951, «Theory of Elasticity», McGraw-Hill and Kogashuka, Maidenhead.

158. Tomas J., Sabuncu M. Dynamics Analysis of Rotating Asymmetric Cross-Section Blade Paket // ASME Paper N 79-DET-93. -1979.

159. Torsional vibration analysis of blade-disk-shaft sysnem by the finite element method and the transfer matrix method/ Kaneko Yasutomo, Momoo Та-rashi, Okada Yukimasa// Nikon kikai gakkai ronbunshu. C.=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. - 1995. - CI, №586. - С.2210-2215-Яп.; рез. англ.

160. Vibration analysis of bladed disc assemblies / Minas C., Kodiyalam S. // Mach. Struct. And Mach. - 1995. - 23, №3 - c.321-330.

161. Wachter J., Celikbudak H. Vibration analysis of radial compressor impellers //ASME-Paper. -1983. - 83-GT-156. -7 P.

162. Zhang J., Wen-liang W., Xiang-jun C. Natural mode Analysis of Blades Disc coupled System. Modal synthesis of symmetric structure with Cnv croup // Acta mech. solida sin. -1984. -N 4. -P. 469-481.

163. Zienkiewicz O.C. and Hinton, E., 1976, Reduced integration, function smoothing and non-conformity in finite element analysis (with special reference to thick plates), J. Franklin Institute, 302, 443-461.

164. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.,Too J.M. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells / Int. J. Num. Meth. Eng. - 1971. - 3. -

P.275-290.