Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор технических наук Газизов, Хатиб Шарифзянович

• Газизов, Хатиб Шарифзянович
• доктор технических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор технических наук Газизов, Хатиб Шарифзянович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

1.1. Математические модели тонких упругих оболочек. Методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным

1.2. Методы решения краевых задач для одномерных дифференциальных и интегральных уравнений оболочек вращения переменной жесткости

1.3. Метод конечных элементов в теории оболочек вращения переменной жесткости

1.4. Стержневые модели оболочек вращения

2. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ

2.1. Деформации произвольной оболочки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения»

Актуальность проблемы. Распространено мнение, что с появлением мощных программных комплексов типа ANSYS, NASTRAN, MARC, UNIGRAPHICS и других, отпала необходимость как в совершенствовании известных, так и в создании новых методов расчета конструкций, включая и теорию пластин и оболочек. Известные специалисты в вычислительной механике проф. С. Атлури и А. Кобаяси предупреждают, что как всякое другое средство, метод конечных элементов следует применять с известной осторожностью: некритическое использование этого метода для решения задач на современных ЭВМ с их огромными возможностями переработки числовой информации приводит к широко распространенному мнению, что все задачи разрешимы, если в распоряжении исследователя имеется достаточно мощный компьютер и длительное время. В общем случае это неверно: перед тем как начать вычисления, часто оказывается необходимым глубоко понять механику, лежащую в основе рассматриваемой задачи. Кроме того, вопросы, связанные с повышением эффективности программных комплексов с точки зрения экономии времени и привлекаемых ресурсов ЭВМ всегда останутся актуальными. Тем более блоки ANSYS, может быть за исключением блока вывода, на сегодняшний день следует признать еще далекими от совершенства. Достаточно лишь отметить такие проблемы, как сходимость и оценка точности численного решения, зависимость решения не только от числа степеней свободы, но и от формы и соотношения размеров конечных элементов. В этом смысле метод конечных элементов скорее следует отнести к классу итерационных. С целью оценки точности получаемых результатов приходится производить повторные расчеты с "адаптивной" перестройкой сетки элементов (иначе соответствующим выбором сетки можно получить любой, наперед заданный, результат).

Любая конструкторская задача является задачей оптимального проектирования. На ранних этапах развития науки о прочности такая задача решалась простым перебором вариантов. Следует признать, что и современные методы оптимизации остаются многозатратными. Так что сроки проектирования и доводки новых изделий по-прежнему главным образом зависят от эффективности решающего блока используемого программного комплекса.

Очень редко расчетные схемы оболочечных конструкций могут быть сведены к какой-либо регулярной поверхности. Реальные конструкции, как правило, представляют собой составные оболочки, в том числе и с элементами, содержащими линии и точки излома, разветвления, содержат замкнутые полости (на рис. 1 показано продольное сечение одного из роторов двухвального газотурбинного двигателя (заимствована из юбилейного двухтомника ЦИАМ им. Баранова, Москва, 2000 г.)).

Эвристический алгоритм расчета такого рода конструкций представление сложной поверхности совокупностью регулярных, определение напряженно-деформированного состояния (НДС) последних (анализ) и их последующая стыковка (синтез) существенно усложняют алгоритм расчета и приводит к неоправданным затратам ресурсов и времени численного решения задачи на ЭВМ. К настоящему времени известна лишь одна вычислительная система - "Жесткость", разработанная ЦИАМ им. Баранова и предназначенная для решения задач статики оболочек такого класса. Основной недостаток системы заключается в том, что она ориентирована на решение достаточно узкого круга задач. Система "Жесткость" для определения НДС примитивов — цилиндрических и конических оболочек постоянной и линейно-переменной толщины использует известные решения дифференциальных уравнений

Рисунок 0.1. Продольное сечение ротора ГТД осесимметричных оболочек вращения постоянной и линейно-переменной тощины. Кроме того, необходимость последующей стыковки различного числа примитивов снижает универсальность системы, требуя доработки для каждой конкретной конструкции.

К настоящему времени нет общей теории расчета такого рода конструкций (не является исключением и система "Жесткость" ЦИАМ им. Баранова). В этом отношении ситуация аналогична той, что была в строительной механике стержневых систем перед появлением известных формул Мора. Именно последние явились мощным толчком для создания универсальных методов расчета сложных статически определимых и неопределимых стержневых систем.

Классические математические модели оболочек вращения — уравнения линейной теории пластин и оболочек основаны на использовании принципа "неизменных размеров" и не позволяют учитывать влияние предварительных напряжений и деформаций (например, вызываемых центробежными силами) на компоненты напряженно деформированного состояния при их дополнительном - неосесимметричном нагружении. Их учет может быть осуществлен только переходом к деформированной расчетной схеме, а это возможно лишь в рамках нелинейной теории пластин и оболочек — в ее геометрически нелинейном варианте.

Цель работы заключается в разработке универсальной теории, алгоритмов и комплекса программ для решения задач динамики, устойчивости и жесткости оболочек вращения с разветвляющейся образующей применительно к проблемам проектирования авиадвигателей.

Направления исследований:

- анализ основных кинематических соотношений нелинейной механики деформируемого тела, вывод формул для деформаций тонких оболочек, позволяющих снизить до минимума порядок производных компонент векторов перемещения, поворота нормали и геометрических параметров поверхности вращения с целью предотвращения введения начальных "несовершенств" в геометрию оболочки на этапе дискретизации объекта и появления нулевых строк в матрице жесткости;

- доказательство правомерности применения двумерных расчетных схем - оболочек для исследования напряженно-деформированного состояния реальных конструкций дисков газотурбинных двигателей (на уровне численных экспериментов);

- обоснование стержневых моделей оболочек вращения; построение разрешающих уравнений модели; исследование поведения уравнений модели при стягивании к нулю размеров конечных элементов — полос; исследование сходимости численных методов их решения, оценка точности; выработка рекомендаций по выбору сеток элементов для достижения требуемой точности результатов численного решения;

- универсализация алгоритмов с применением методов теории графов для описания геометрии образующей для произвольного числа веток и замкнутых контуров;

- разработка стержневой модели для "деформированной" расчетной схемы тонкостенной конструкции применительно к задачам жесткости и динамики вращающихся оболочек, устойчивости оболочек с произвольным очертанием образующей.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Газизов, Хатиб Шарифзянович

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. На основе анализа кинематики сплошной среды получены выражения для мер деформации тонких оболочек при больших перемещениях и малых упругих деформациях. За счет независимой аппроксимации векторов перемещения и поворота снижен порядок их производных в выражениях для мер деформации, что позволяет получить более широкий класс решений. Расширяется также класс допустимых функций для конечно-элементного решения геометрически нелинейных задач теории оболочек. Полученные формулы для мер деформации не содержат производных геометрических параметров срединной поверхности оболочки выше первого, что позволяет избежать внесения "начальных несовершенств" в математическую модель оболочек, существенно влияющих на решение нелинейных уравнений. При конечно-элементной формулировке ослаблено одно из допущений теории тонких оболочек - гипотеза о прямой нормали: нормаль к срединной поверхности до деформации уже не обязательно должна остаться нормалью к ней и после деформации, достаточно, чтобы она оставалась прямой — модель типа Тимошенко.

2. В отличие от известных процедур получения уравнений движения деформируемого тела в форме Лагранжа на основе принципа виртуальных перемещений или уравнения баланса мощностей, предложен вариант вывода уравнений движения из закона сохранения энергии с привлечением аппарата множителей Лагранжа. При этом снимаются ограничения на поля налагаемых на тело виртуальных перемещений. Получено выражение для внутренней энергии, состоящей из двух слагаемых: энергии деформации и потерь (поглощения) тепла в процессе деформации. В известных же способах формула для энергии деформации следует из формальной трактовки результатов интегрирования по частям. Полученные уравнения движения могут быть использованы и для описания процессов деформирования тел, сопровождающихся теплообменом с окружающей средой.

3. Предложена диагональная формулировка матрицы масс в уравнениях движения конечного элемента. Известны два способа приведения матрицы масс к диагональной форме: первый основан на применении специальных квадратурных формул для численного интегрирования при вычислении элементов матрицы масс. Однако это приводит к потере некоторых полезных свойств матрицы масс как, например, ее положительной определенности и т.д. Другой подход заключается в механическом отбрасывании внедиагональных членов с последующей корректировкой диагональных членов умножением на некоторый коэффициент, чтобы узловые массы правильно отражали массу конечного элемента. В отличие от перечисленных выше, предложенный подход к диагонализации матрицы масс имеет вполне конкретный физический смысл: отыскивается такая диагональная матрица, которая порождала бы в узлах те же силы инерции, что и согласованная. Она справедлива и для описания движения конечного элемента как твердого тела.

4. С привлечением уравнений трехмерной теории упругости для анализа напряженно-деформированного состояния реальных дисков газотурбинных двигателей установлена правомерность применения расчетной схемы в виде оболочки при расчетах их на жесткость.

5. Предложена стержневая модель составных оболочек вращения. В отличие от известных методов - расчленения и конечных полос, основанных на формальной аналогии уравнений теории тонких оболочек и пространственного криволинейного стержня, на основе метода взвешенных невязок доказаны правомерность использования стержневых моделей для решения задач статики и динамики оболочек вращения и единая природа предложенной модели и известных численных методов механики деформируемого тела - конечных и граничных элементов. Показано, что предложенная модель, в отличие от конечно-элементной, при стягивании к нулю размеров рам-полос допускает предельный переход к интегродифференциальным уравнениям. Такая возможность позволяет успешно, без дополнительных затрат времени, не только решать задачи сходимости и оценки точности численного анализа, но и избежать эффекта машинного "запирания" решения, характерного для МКЭ при использовании вырожденных элементов для дискретизации оболочки. Разработан алгоритм, сформулированы условия сходимости, а также прогнозная оценка погрешности численного решения при любой сетке конечных элементов.

6. Предложенный метод стержневых моделей развит для решения задач вращающихся составных оболочек при неосесимметричном нагружении. В отличие от известной системы "Жесткость" ЦИАМ им. Баранова, предназначенной для решения задач статики оболочек этого класса, метод и разработанный на его основе численный алгоритм позволяет решать широкий круг задач динамики и жесткости вращающихся роторов газотурбинных двигателей летательных аппаратов. Причем для этого не требуется синтезировать сложную составную оболочку из примитивов — плоских дисков и конических оболочек. Применение известных подходов строительной механики стержневых систем для раскрытия статической неопределимости конечных элементов - рам-полос позволяет записать единые уравнения для всей конструкции. С помощью численно-аналитического решения исследовано влияние центробежных сил на изменение зазоров в системе ротор-корпус под действием гироскопических сил. Установлено, что в зависимости от физико-механических характеристик материала, геометрических параметров оболочки и собственной угловой скорости ротора центробежные силы значительно (вплоть на порядок) ужесточают конструкцию и снижают нагрузку на опоры ротора.

7. Получены интегральные уравнения устойчивости составных оболочек вращения, наименьшее характеристическое число ядер которых определяет коэффициент запаса по устойчивости. Предложен экономичный прием сведения обобщенной проблемы к стандартной задаче о собственных значениях.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Газизов, Хатиб Шарифзянович, 2003 год

1. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. -431с.

2. Ляв А. Математическая теория упругости. Пер. с 4-го англ. изд.-М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. -676 с.

3. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек// ПММ. 2, вып.4. -1939. -С.427-438.

4. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек// ПММ. 11, вып.4.-1939.

5. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells// Quarterly Applied Mathematics. -1957. V.14, №4. -P.369-380.

6. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution// Progress in Applied Mechanics. The Prager Anniversary Volume.-1963.-P.171-178.

7. Reissner E. Small bending and stretching of sandwich type shells// NACA.TN. 1832.-1949.

8. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe// Journal fur die reine und angewandte Mathematik. -1850. Bd 40, Hft 1. -S.51-88.

9. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

10. Гольденвейзер А.Л. Об оценках погрешностей классической теории тонких упругих оболочек// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -1996. -№ 4. -С. 145158.

11. Муштари Х.М. Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгоффа-Лява// ПММ. 11, №5. -1947. -С.517-520.

12. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгоффа в теории оболочек// ПММ. 1943. 7, вып.5. -С.331-340.

13. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. -М.: ГИТТЛ, -1957. -С.304-308.

14. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Часть II. Стержни и пластинки. —СПб: тип. Коллинса, -1916 (перепечатка: Тимошенко С.П. Курс теории упругости. -Киев: Науково думка, 1972. -С.337-338.

15. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. -М.: Физматлит, 1961.-384 с.

16. Маковенко С.Я. О представлении поперечных деформаций в теории тонких оболочек// Теор. и эксперим. исслед. прочн. и жесткости элементов строит, конструкций/ Моск. гос. строит, ун-т. -М.: -1997. -С. 93-95.

17. Гузь А.И., Шнеренко К.И. Линейные задачи для оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига// Механика композитов. Т.7. Концентрация напряжений. -Киев. -1998. -С. 288-328.

18. Wu Jiuncheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. 1. -General theory// Appl. Math, and Mech/ Engl. Ed. -1997.-18,№ l.-C. 19-27.

19. Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. О численном исследовании колебаний оболочек средней толщины// Сопротивление материалов и теория сооружений (Киев). -1983. №42. -С. 22-25.

20. Shirakawa К. Effects of shear deformation and rotary inertia on vibration and buckling of cylindrical shells// J. Sound and Vibr. -1983. -91, № 3. -C. 425-437.

21. Григоренко Я.М., Василенко A.T., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наук, думка.-1987.-216 с.

22. Stein Manuel. Nonlinear theory for plates and shells including the effects of transverse shearing// AIAA Journal. -1986. -24, №9. -C.1537-1544.

23. Renshaw A.A. Natural frequencies of circular plates including the effects of transverse shear and rotary inertia// J. Sound and Vibr. -1996. -193, № 5.-C. 1122-1124. (англ.).

24. Каплунов Ю.Д., Нольде E.B. О роли поперечного обжатия в динамике оболочек// Прикл. мат. и мех. (Москва). -1996. -60, № 4. -С. 644650.

25. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. -Саратов: Изд. ун-та, 1990.-136 с.

26. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек// Механика в СССР за 50 лет. Т.З. -М.: Наука, 1972. -С. 267-290.

27. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. -М.: Наука, 1982. -228 с.

28. Клабукова JI.C., Чечель И.И. Вариационно-разностный метод решения краевых задач теории оболочек моментной теории И.Н. Векуа// Ж. вычисл. мат. и мат. физ. -1988. -28, №3. -С.375-389.

29. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. —М.: Наука, 1992.-160 с.

30. Васильев В.В. К теории упругости оболочек// Вопр. мех. и процессов упр. -1990. -№13. -С. 62-71.

31. Гольденвейзер A.JI. Развитие теории упругих тонких оболочек// Труды Всесоюзн. съезда по теоретической и прикладной механике (Москва, 1960). -М.: Изд-во АН СССР. -1962. -С.339-357.

32. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек// Прикл. матем. и мех. 32, №4. -1968. -С.684-695.

33. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук. 14, №1. — 1965.-C.3-63.

34. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек// Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-мат. и техн. наук. 14, №3. -1965. -С.337-344.

35. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -М. Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

36. Хома И.Ю. Уравнения обобщенной теории оболочек с начальными напряжениями// Прикл. мех. (Киев). -1996. -32, №11. -С. 64-70.

37. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C., Алфутов Н.А., Усюкин В.И., Чижов В.Ф. Основы строительной механики ракет. -М.: Высшая школа, 1984. -496 с.

38. Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. -М.: Высшая школа, 1984. -391 с.

39. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -М.: Наука, 1976.-512 с.

40. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ. 27, вып.4. -1963. -С.593-608.

41. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем// Изв. АН СССР. ОТН. №1. -1957. -С.77-84.

42. Григолюк Э.И. Конечные прогибы упругих тонких пластин. —М.: Изд-во МГУ, 1995. -60 с.

43. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука - Физматлит, 1997. - 272 с.

44. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. -М.: Наука, 1988. -231 с.

45. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. —М.: Гостехиздат, 1947.

46. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. -Л.: Судостроение, 1989. -400 с.

47. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1963. -659 с.

48. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. Пер. с англ. -М.: Наука, 1982.-567 с.

49. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957.-431 с.

50. Муштари Х.М. Нелинейная теория оболочек. Сборник научных трудов. -М.: Наука, 1990. -223 с.

51. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. -326 с.

52. Галимов К.З., Артюхин Ю.П. и др. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. -211 с.

53. Ипьгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. -М.: Наука, 1977. —332 с.

54. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. -М.: Наука, 1969. -183 с.

55. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966.-635 с.

56. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: 4.1. Общая теория. -Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1962. -274 е.; 4.2. Некоторые вопросы теории. — Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1964. -395 с.

57. Феодосьев В.И. Упругие элементы точного приборостроения. -М.: Оборонгиз, 1949.-343 с.

58. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. -М.: Наука, 1989. -376 с.

59. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. — Киев: Изд-во АН УССР, 1963. -354 с.

60. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. -М.: Наука, -192 с.

61. Reissner Е. On the theory of thin elastic shells// H. Reissner. Anniversary Volume: Contributions to Applied Mechanics/ I. W. Edwards, Ann. Arbor. -Michigan, 1949. -P.231-247.

62. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. -М.: Госстройиздат, 1961. -306 с.

63. Kobayashi Harutoshi. A survey of books and monographs on plates// Mem. Fac. Eng./ Osaka City Univ. -1997. -38. -C. 73-98. (англ.).

64. Огибалов П.М., Колтунов M.A. Оболочки и пластины. М.: Изд. МГУ, 1969. - 695 с.

65. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. -М.: Оборонгиз, 1961.-368 с.

66. Биргер И.А. Общий случай деформации оболочек вращения// Прочность и динамика авиационных двигателей. Вып.2. -М.: Машиностроение, 1965.-С.3-35.

67. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. -М.: Машиностроение, 1984. — 280 с.

68. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник. Под ред. Мяченкова В.И. -М.: Машиностроение, 1989.-520 с.

69. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. -М.: Наука, 1968.-455 с.

70. Григоренко Я.М. и др. Численное решение краевых задач статики ортотропных слоистых оболочек вращения на ЭВМ типа М-220. -Киев: Науко во думка, 1971.—151 с.

71. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. -Киев: Науково думка, 1973.

72. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наук, думка.-1987.-216 с.

73. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Судавцова Г.К. Анализ напряженно-деформированного состояния упругих систем из анизотропных оболочек вращения и колец// Расчеты на прочность (Москва). -1990. -№ 32. -С.57-67.

74. Гайдайчук В.В., Гоцуляк Е.А., Гуляев В.И., Савченко Т.А. Устойчивость составной оболочки вращения под действием внешнего давления// Прикл. мех. (Киев). -1987. -23, №7. -С.26-30.

75. Домарецкий Р.В. Метод ортогонализации для решения многоточечных краевых задач колебаний составных упругих систем // Укр. трансп. ун-т. -Киев. -1996. -16 с. Деп. в ГНТБ Украины 14.10.96, № 1892 -Ук96.

76. Солодовченко Е.С. Свободные колебания вращающейся составной оболочечной конструкции// Харьков, ин-т инж. гор. хоз-ва. -Харьков, 1991. -19с. Деп. в УкрНИИНТИ 18.11.91., № 1480-Ук91.

77. Беспалова Е.И., Григоренко Я.М., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания предварительно нагруженных анизотропных оболочек вращения// Прикл. мех. (Киев). -1991.-27, №5. -С.51-57.

78. Suzuki Katsuyoshi, Takahashi Ryoji, Kosawada Tadashi. Analysis of vibrations of rotating thin circular cylindrical shells// JSME Int. J. Ser. 3. -1991. -34, №1.-C. 19-25.

79. Kobayashi Yukinori, Yamada Gen. Free vibration of a spinning polar orthotropic shallow spherical shell// JSME Int. J. Ser. 3.-1991. -34, №2. -C.233-238.

80. Kotera Tadashi. Vibration analysis of a rotating disk. 1st report. A disk with a support on the outer periphery// Нихан кикай раккай ромбунсю C=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. -1989. -55, №516. -C.1929-1932 (яп.).

81. Puckett J.A., Lang G.J. Compound strip method for free vibration analysis of continuous plates// J. Eng. Mech. -1986. -112, №12. -C. 1375-13 89.

82. Mizusawa Tomisaku. Application of spline strip method to analyse vibration of open cylindrical shells// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -26 !., №3. -C.663-676.

83. Ray Arunachal. An alternate approach of finite strip method in structural analysis// Modell., Simul. and Contr. -1987. -10, №1. -C.l-19.

84. Калачев А.Ю., Тахир Гони Брахим. Расчет составных оболочек вращения методом прямых// Числ. методы расчета тонкостей, пространствен, конструкций.-Киев, 1988.-С.92-95.

85. Паймушин В.Н., Сайтов И.Х., Рахманкулов Н.У. Обобщенные схемы решения задач статики теории оболочек типа Тимошенко интегрально-проекционным методом// Пробл. мех. оболочек. -Калинин, 1988. -С.94-103.

86. Корнишин М.С., Шихранов А.Н., Байдарова Н.П. Неосесимметричное деформирование гибких пластин и оболочек вращения// ТР. Семин. Казан, физ.-техн. ин-та. Вып. 19. 4.1. -Казань, 1986. -С.50-57.

87. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н., Сулейманов И.М. Построение граничных интегральных уравнений различных вариантов теории оболочек сложной геометрии// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -1997. №4. -С. 133-143.

88. Liu Yijun. Analysis of shell-like structures by the boundary element method based on 3-D elasticity: formulation and verification// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1998. -41, № 3. -C. 541-558.

89. Зозуля В.В. Граничные интегральные уравнения для оболочек произвольной геометрии// Прикл. мех. (Киев). -1998. -34, №5. -С. 57-67.

90. Yamaji Seiichi, Natsuda Hirokazu, Ueno Nuturou. Improvement of numerical techniques in BEM. Simultaneous linear equations// JSME Int. J. A. бывш. JSME Int. J.A.. -1999. -42, №2. -С. 183-190.

91. Угненко И.Г. Применение метода Галеркина для глобального сглаживания решения, полученного по методу граничных элементов// Прикл. методы иссл. прочности JIA/ Моск. авиац. ин-т. -М., 1992. -С. 78-85.

92. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987.-524 с.

93. Belytschko Т., Chang H.S., Lu Y.Y. A variationally coupled finite element boundary element method// Comput. and Struct. -1989. -33, №1. -C. 17-20 (англ.).

94. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -^494 с.

95. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Метод граничных элементов в задачах термоупругости // Изв. вузов. Машиностроение. -1991. №1-3. -С.7-9.

96. Sawada Takao, Imanari Masafumi. Error estimate of numerical integration in boundary element method analysis// Bull. JSME. -1986. -29, №258. -C.4072-4079.

97. Биргер И.А. Краевые и нормальные интегральные уравнения в задачах прочности и динамики// Соврем, пробл. аэромех. -М.: -1987. -С. 188199.

98. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек// Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. 1967.-М.: ВИНИТИ, 1969.-348 с.

99. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения// Мех. композ. материалов. 1981. №3. -С.442-443.

100. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболочек с приложением к механике пневматических шин// В сб.: Научно-технический прогресс в машиностроении. Вып. 39. -М.: 1993. -50 с.

101. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. -М.: Машиностроение, 1965.

102. Коваленко Л.Д., Григоренко Я.М., Ильин JI.A. Теория тонких конических оболочек.- Киев: Изд-во АН УССР, 1969. 287 с.

103. Коваленко А. Д. и др. Расчет конических оболочек при антисимметричных нагрузках.-Киев: Науково-думка, 1966.

104. Коваленко А.Д. и др. Теория тонких конических оболочек и ее приложения в машиностроении. -Киев: Изд. АН УССР, 1963.

105. Львин Я.Б. Сопротивление оболочек вращения краевым циклическим воздействиям// Расчет пространственных конструкций, вып.З. — М.: Госстройиздат, 1958.

106. Михайловский Е.И. К расчету коротких оболочек вращения// Исследования по упругости и пластичности, вып.6. -Л.: Изд. ЛГУ, 1967.

107. Петрова-Денева А. Расчет оболочек вращения положительной кривизны на циклические нагрузки// Инж. журнал. 5.5. 1965.

108. Шамина В.А. Обратно симметричный изгиб почти цилиндрических оболочек вращения// Изв. АН СССР, сер. ОТН. 3. 1963.

109. Chang С.Н. An asymptotic solution of conical shells of constant thickness//AJAAJ. 5.11. 1967.

110. Котеров Н.И. и др. Методы расчета на прочность корпусов, оболочек, направляющих и сопловых аппаратов газотурбинного двигателя// Труды ЦИАМ, 769.1977.- 343 с.

111. Зиндман А.П. Численное решение краевой задачи для несимметричной деформации конструктивно анизотропных оболочек вращения// Прикладная механика. -Киев: 4. 9. 1968.

112. Budiansky В., Radkovvcki P.R. Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution//AJAA J. 1.8. 1963.

113. Cohen G.A. Computer analysis of asymmetrical deformation of ortotropic shells of revolution// AJAA J. 2,5. 1964.

114. Greenbaum G.A. Comments on " Numerical analysis of unsymmetrical bending of shells of revolution"//AJAA J. 2,3. 1964.

115. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2 -М.: Физматгиз, 1960. -620 с.

116. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973.-400 с.

117. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению системы дифференциальных уравнений при расчете строительных конструкций// Строительная механика и расчет сооружений. №3. 1976. -С.26-29.

118. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. (Вариант метода прогонки). ЖВММФ. 1,3. 1961

119. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Совершенствование метода прогонки С.К. Годунова для задач строительной механики// Изв. АН. Мех. тверд, тела. -1994. -№ 4. -С. 187-191.

120. Махмудов О.И., Ниезов И.Э. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений теории упругости в перемещениях// Сиб. матем. ж-л. -1998. -39, №2. -С. 369-376.

121. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224 с.

122. Tavakoli M.S., Singh R. Eigensolutions of joined/hermetic shell structures using the state space method// J. Sound and Vibr. -1989. -130, №1. -C.97-123.

123. Джан-Темиров K.E., О'Двак A.C. Численное решение одномерных краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами// Числ. методы расчета тонкостей, пространствен, конструкций. -Киев, 1988. -С.68-72.

124. Экспериментальная механика. Под ред. А. Кобаяси. Пер. с англ. Книга 1. -М.: Мир, 1990. -616 с.

125. Lindsay К.А., Ogden R.R. A practical implementation of spectral methods resistant to the generation of spurious eigenvalues// Int. J. Numer. Meth. Fluids.-1992. -15, № 11. -C. 1277-1294.

126. Kotoh Fumiya, Mizushima Jiro. Comparison of the numerical methods for the eigenvalue problems of the differential equations// Doshisha daigaku rikogaku kenkyu hokoko = Sci. and Eng. Rev. Doshisha Univ. -1994. -35, №1. -C. 45-69.

127. Григолкж Э.И., Кабанов B.B. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978.-359 с.

128. Баянов Ф.Ф. О расчете оболочек с изломами поверхности из нелинейноупругого материала// Стат. и динам, расчеты конструкций с учетом нелинейн. свойств матер./ Ленингр. инж.-строит. ин-т. -JL, 1991. — С.31-38.

129. Гаянов Ф.Ф. Расчет гибких оболочек с нерегулярной поверхностью// Изв. вузов. Стр-во. -1922. -№5-6. -С.51-54.

130. Арясов Г., Снитко А., Соколов Е. Расчет составных конструкций с помощью обобщенных функций// Уч. зап. Тарт. ун-та. -1987. -№772. -С. 158164.

131. Чунаев М.Ю. К расчету пологих оболочек с изломами поверхности и ребрами// Прочн. и устойчивость инж. конструкций. -Барнаул, 1989. -С.22-29.

132. Якупов Н.М. О некоторых вопросах расчета составных оболочек сложной геометрии// Тр. семин. / РАН Казан, научн. центр. Ин-т мех. и машиностр. -1992. -№27. -С. 90-93.

133. Ермолаев Н.В. Расчет НДС оболочек вращения методом С.К. Годунова с использованием переходных матриц// Прикл. пробл. прочн. и пластич. (Горький). -1986. -№33. -С.71-77.

134. Левашов П.Д. Условия сочленения для подконструкций с различной идеализацией// Вопр. прочн. и долговеч. элементов авиац. конструкций/ Куйбыш. авиац. ин-т. -Куйбышев, 1990.-С.13-19.

135. Пухлий В.А., Шалашилин В.И. Об одной задаче для сопряженных оболочек вращения переменной жесткости// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. -1989. -№4. -С.146-152.

136. Makowski J., Pietraszkiewicz W., Stumpf H. On the general form of jump conditions for thin irregular shells// Arch. Mech. -1998. -50, №3. -C. 483495.

137. Огородников Г. H. Уточненная динамическая модель элементов роторов и корпусов ГТД как оболочек вращения/ Техн. отчет ЦИАМ, № 8897, 1979. -46 с.

138. Огродников Г. Н. Динамическая модель роторов и корпусов ГТД как оболочек вращения при антисимметричной деформации/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9333, 1980. -47 с.

139. Огородников Г. Н. Расчет колебаний роторов и корпусов ГТД как системы составных оболочек вращения/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9730, 1982. — 91 с.

140. Ахмедьянов И.С. Применение метода квадратур к расчету оболочек вращения переменной толщины при осесимметричном нагружении/ Сам. гос. аэрокосм. ун-т. -Самара, 1999. -44 с. Деп. в ВИНИТИ 04.10.99, №2975-В99.

141. Ахмедьянов И.С. Интегрирование дифференциальных уравнений краевого эффекта в сферической оболочке методом квадратур// Изв. вузов. Авиац. техн. -1988. -№1. -С.12-16.

142. Ахмедьянов И.С. Применение метода квадратур к интегрированию уравнений моментной теории оболочек вращения/ Куйбышев, авиац. ин-т, Куйбышев. -1987. -16 с. Деп. в ВИНИТИ 09.09.87, № 66.

143. Pomp A. Levi functions for linear elliptic systems with variable coefficients including shell equations// Comput. Mech. -1998. -22, № 1. -C. 9399.

144. Xu Mingtian, Cheng Delin. Solving vibration problem of thin plates using integral equation method// Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. -1996. -17, №7. -C. 693-698. (англ.).

145. Никсон (D. Nixon). Обобщенный метод интегрального уравнения для расчета трансзвуковых течений// Ракетная техника и космонавтика. 13, 7. 1975.

146. Никольский С.М. Квадратурные формулы. -М.: Наука, 1974.

147. Котеров Н.И., Знаменский Н.П. Определение податливости конических оболочек при антисимметричном нагружении// Проблемы прочности, №11. -Киев:, 1978. С?????

148. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1959.-232 с.

149. Вайникко Г.М. О сходимости метода механических квадратур для интегральных уравнений с разрывными ядрами//Сибирский математический журнал. Т. XII, № 1. 1971.-С. 40-53.

150. Научный вклад в создание авиационных двигателей/Под ред. В.А. Скибина и В.И. Солонина. М.: Машиностроение, 2000. Книга 1. — 725 с.

151. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. -Казань: Физ. техн. ин-т, 1989. -269 с.

152. Yang Haiyuan, Zhao Zhigang, Ni Lijueu. Finite element models based on the method of weighted residuals// Лисюэ сюэбао = Acta mech. Sin. -1989. -21, №1. -C.84-88.

153. Yang H.Y., Zhao Z.G., Ni L.J. Finite element models based on the method of weighted residuals// Comput. Mech/86: Theory and Apll. Proc. Int. Conf. Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. I. -Tokyo e. a. -1986. -C.I.179-I.185.

154. Корнишин M.C., Паймушин B.H., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. -М.: Наука, 1989. -207 с.

155. Найдыш В.М., Брустинов В.М., Верещага В.М., Найдыш А.В. Формирование дифференциальных характеристик в узлах пространственной кривой: Мелитоп. ин-т механизмов сель, хоз-ва. -Мелитополь, 1993. -13 с. Деп. в ГНТБ Украины 22.12.93, № 2531-Ук93.

156. Копытко М.Ф., Муха И.С., Савула Я.Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной геометрии// XIII Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983.-Ч.З. -Таллин: -1983.-С. 66-71.

157. Газизов Х.Ш., Жернаков B.C. Конечноэлементный анализ геометрически нелинейных задач тонких оболочек //Dynamics, Strength & Wear-Resistance of Machines. -2001. -Vol. 8. -P.57-67.

158. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Метод конечных элементов в геометрически нелинейных задачах теории тонких упругих оболочек. — М.: Изд-е МАИ, 2002.-144 с.

159. Серазутдинов М.Н., Гарифуллин М.Ф. Об одном подходе к расчету оболочек сложной формы// Прикл. мех.(Киев). —1991. -27, №11. -С. 48-54.

160. Серазутдинов М.Н. Метод расчета элементов конструкций в виде оболочек//Изв. вузов. Машиностр. -1989. -№10. -С.6-10.

161. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. -М.: Высшая школа, 1985. — 392 с.

162. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. — JL: Изд. Ленинградского университета, 1978. 223 с.

163. Розин Л.А. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов//Изв. вузов. Строительство. —1999, № 8. -С. 22-28.

164. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. -541 с.

165. Галлагер Р. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1984. - 428 с.

166. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981.-304 с.

167. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений/ Пер. с англ. -М.: Мир, 1969. -167 с.

168. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512 с.

169. Норре Viggo. Errors in the finite element solutions introduced by the mapping in isoparametric elements// Accuracy, Reliab. and Train. FEM Technol. Proc. 4th World congr. Interlaken, 17-21 Sept., 1984. -Dorset. -1984. -C. 191-201.

170. Yang H.Y., Zhao Z.G., Ni L.J. Finite element models based on the method of weighted residuals// Comput. Mech.'86: Theory and Apll. Proc. Int. Conf. Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. I. -Tokyo e. a. -1986. -C.1.179-1.185.

171. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Расчет многослойных композитных оболочек в геометрически нелинейной конечноэлементной постановке// Изв. вузов. Авиац. техн. -1992. -№ 1. -С. 6-10.

172. Aminpour М/А/ Direct formulation of a hybrid 4-node shell element with drilling degrees of freedom// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1992. -35, № 5. -C.997-1013. (англ.).

173. Lee S.J., Kanok-Nukulchai W. A nine-node assumed strain finite element for large-deformation analysis of laminated shells// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1998. -42, № 5. -C. 777-798. (англ.).

174. Rhiu J.J., Lee S.W. A nine node finite element for analysis of geometrically non-linear shells// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1989. -26, №9. -C. 1945-1962.

175. Dow John O., Byrd Doyie E. The identification and elimination of artificial stiffening errors in finite element// Int/ J. Numer. Meth/ Eng/ -1988. -26 !., №3. -C.743-762.

176. Briassoulis Demetres. Machine locking of degenerated thin shell elements// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -26 !., №8. -C. 1749-1768.

177. Iura M., Atluri S.N. On a consistent theory, and variational formulation of finitely stretched and rotated 3-D space-curved beams// Comput. Mech. -1989. -4, №2. -C.73-88.

178. Антонов E.H. Об одном варианте нелинейных геометрических соотношений теории малых деформаций оболочки и его следствиях// Прочн., устойчивость и колебания строит, конструкций. -Л. -1987. -С.23-29.

179. Абовский Н.П., Деруга А.П. Основные результаты и направления развития вариационно-разностного метода в расчетах сложных оболочечно-стержневых конструкций// Пространств, конструкции в Краснояр. крае: Межвуз. сб. —Красноярск, 1989. -С.13-26.

180. Wu Jiuncheng, Pan Lizhou. Nonlinear theory of multilayer sandwich shells and its application. 1. -General theory// Appl. Math, and Mech/ Engl. Ed. -1997.-18,№ l.-C. 19-27.

181. Максимюк В.А., Чернышенко И.С. О численном решении задач для оболочек переменной жесткости с учетом поперечных сдвигов// Прикл. мех. (Киев). -1991.-27, №3. -С.59-62.

182. Huang Hou-Cheng. Membrane locking and assumed strain shell element// Comput. and Struct. -1987. -27, №5. -C.671-677.

183. Koves W.J., Nair S. A finite element for the analysis of shell intersection// Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. -1996. -118, №4. c, 399-406.

184. Репецкий O.B. Стыковка трехмерных и пластинчато-оболочечных конечных элементов в задачах деформируемого тела// Иссл. по мех. деформир. сред/ Иркут. политехи, ин-т. -Иркутск, 1991. -С. 126-128.

185. Hinton Е., Campbell J.S. Local and global smoothing of discontinuous finite element functions using a least squares method// Int. J. Numer. Meth. Eng., 1974. -8, №3.-P.461-480.

186. Oden J.T., Reddy J.N. Nate on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements// Int. J. Numer. Meth. Eng., 1973. -6, №1. —P.55-61.

187. Lo S.H., Lee C.K. On using different recovery procedures for the construction of smoothed stress in finite element method// Int. J. Numer. Meth. Eng. -1999. -43, № 7. -C. 1223-1252.

188. Atluri S.N. The mechanics of computational mechanics// Int. Conf. Mech., Phys. and Struct. Mater. "Celebrat. Aristotle's 23 Centurlies", Thessaloniki, Aug. 19-24, 1990. Abstr. Houghton (Mich.), 1990. -C.2 (англ.).

189. Филин А. П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела. Л.: Стройиздат, Ленинградское отд., 1974.-73 с.

190. Филин А. П. Дискретные расчетные схемы в строительной механике// Известия АН СССР, сер. Механика и машиностроение, 1964. №5. -С. 88-98.

191. Розин Л.А. Метод расчленения в теории оболочек// ПММ. -XXV, №5. 1961.

192. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. -Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1976. —232 с.

193. Гольбрайх JT.C., Мавлютов P.P., Рапопорт Л.Д., Черевацкий С.Б. Применение метода перекрестных связей к расчету многослойных оболочек вращения из полимерных материалов// Прочность конструкций/ Труды УАИ, вып.32. -Уфа, 1971.

194. Гольбрайх Л.С., Мавлютов P.P., Рапопорт Л.Д. К расчету многослойных оболочек вращения// Теория пластин и оболочек/ Труды VIII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Ростов-на-Дону, 1971.-М.: Наука, 1973.

195. Газизов Х.Ш. Неосесимметричная деформация оболочек двигателей при эволюциях летательного аппарата.: Дис. . канд. техн. наук. -Казань: КАИ, 1980.- 173 с.

196. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. К расчету прямоугольных пластин переменной толщины// Расчет пространственных конструкций. -М.: Стройиздат.-1977.-С. 124-130.

197. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Поперечный изгиб пластин сложной конфигурации// Расчеты на прочность на ЭЦВМ/ Труды УАИ, вып.92. -Уфа, 1975. -С.27-56.

198. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д., Ясин Э.М. Интегродифференциальные уравнения плоской задачи теории упругости// Расчеты на прочность на ЭЦВМ/ Труды УАИ, вып.92. -Уфа, 1975. -С.85-101.

199. Расчет на ЭЦВМ деталей ротора ВРД типа оболочек вращения с разветвляющейся образующей (технический отчет). Под рук. Мавлютова P.P. № гос. регистрации 78057606. Уфа: УАИ, 1977.

200. Сокольников И.С. Тензорный анализ. -М.: Наука, 1971.-374 с.

201. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. -464 с.

202. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1973. -831 с.

203. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О конечных элементах оболочек в строительной механике//Известия вузов. Авиационная техника. —1994. -№2. -С.74-76.

204. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. -464 с.

205. Жериаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном варианте вывода уравнений движения в нелинейной механике деформируемых тел // Известия вузов. Машиностроение. 1997. -№ 1-3. - С. 3-7.

206. Петкевич В. В. Теоретическая механика. -М.: Наука, 1981. -496 с.

207. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. -М.: Наука, 1976. -535 с.

208. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979. -744 с.

209. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейнаямеханика сплошной среды. -М.: Мир, 1965. -455 с.

210. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. -М.: Наука, 1969. -176 с.

211. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. -М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

212. Бесселинг Й.Ф. Методы конечных элементов// Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. -М.: Мир, 1983. -С.2 -51.

213. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго — пластические деформации. -М.: Наука, 1986. —232 с.

214. Треффц Е. Математическая теория упругости. -М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934.-172 с.

215. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. -М.: Наука, 1980. -254 с.

216. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. Об одном алгоритме решения нелинейных задач механики деформируемого тела.// Известия вузов. Машиностроение. 1996, № 7-9.-С. 9-13.

217. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. - 759 с.

218. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1965. -856 с.

219. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. Т.2/ Под ред. Биргера И.А. и Пановко Я.Г. -М.: Машиностроение, 1968. 463 с.

220. Динамика авиационных газотурбинных двигателей/ Под ред. Биргера И.А. и Шорра Б.Ф. -М.: Машиностроение, 1981. -230 с.

221. Хронин Д.В. Колебания в двигателях летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1980. —296 с.

222. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972. —416 с.

223. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. -М.: Наука, 1977.-303 с.

224. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра/ Пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1976. -390 с.

225. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления/ Пер. с англ. -М.: Мир, 1999. -548 с.

226. Парлет Б. Симметричная проблема собственных значений/ Пер. с англ. М.: Мир, 1983. -382 с.

227. Hinton Е., Rock Т., Zienkiewicz О.С. A note on mass lumping and relating processes in the finite element method//Earthquake Eng. and Struct. Dyn., 1976.-Vol. 4, № 3. P. 245-249.

228. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О диагональной формулировке матрицы масс в методе конечных элементов //Известия вузов. Авиационная техника. -1995. № 1. - С. 73-75.

229. Li Yauanneng, Wang Dajun. Accuracy of finite element eigenproblem by using diagonal mass matrix// Лисюэ сюэба= Acta mech. sin. -1988. -20, №3. -C.229-235.

230. Меерович И.И. Приближенный метод определения частот собственных колебаний цилиндрических, конических и тороидальных оболочек// Прочность и динамика авиационных двигателей: Сборник статей. Вып.2.-М.: Машиностроение, 1965.-С.148-172.

231. Никулин М.В. Собственные колебания гладких и конструктивно -анизотропных цилиндрических оболочек при наличии статических нагрузок // Прочность и динамика авиационных двигателей: Сборник статей. Вып.2. -М.: Машиностроение, 1965.-С.52-128.

232. Газизов Х.Ш., Рапопорт Л.Д. Устойчивость оболочек вращения произвольного очертания //Известия вузов. Авиационная техника. -1989. -№3. -С.17-19.

233. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. -М.: Наука, 1967.-984 с.

234. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник. Т.З/ Под ред. Биргера И.А. и Пановко Я.Г. -М.: Машиностроение, 1968. — 567 с.

235. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971. -807 с.

236. Скубачевский Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчет деталей. -М.: Машиностроение, 1981. -550 с.

237. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш., Терегулов Р.И. Антисимметричная деформация вращающихся дисков // Известия вузов. Машиностроение. — 1998.-№7-9.-С. 40-45.

238. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1969.-336 с.

239. Гузь А.Н. Напряженное состояние конической оболочки, ослабленной круговым отверстием // Инж. ж-л. 1965. -№ 5,-3. -С.477-481.

240. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф. Антисимметричная деформация дисков турбомашин //Известия вузов. Машиностроение. — 1989. № И. -С. 78-81.

241. Справочник по теории упругости/ Под ред. Варвака П.М. -Киев: Буд1вельник, 1971.-420 с.

242. Кильчевский Н. А. Интегродифференциальные и интегральные уравнения равновесия тонких упругих оболочек.// Прикладная математика и механика. Т. XXIII, вып. 1.-М.:Изд. АН СССР, 1959.-С. 124-133.

243. Вайнберг Д. В., Синявский А. Л. Расчет оболочек. -Киев: Госстройиздат УССР, 1961. -119 с.

244. Жернаков B.C., Газизов Х.Ш. О стержневых моделях составных оболочек газотурбинных двигателей// Труды III Международной научно-технической конф. "Кибернетика и технологии XXI века". -Воронеж: 2002. — С. 144-155.

245. Газизов Х.Ш. Стержневые модели оболочек вращения "рамного" контура. Уфа: Изд-е УГАТУ, - 2002. - 98 с.

246. Математический энциклопедический словарь/Под ред. Прохорова Ю. В. -М.: Советская энциклопедия, 1988. -847 с.

247. Снитко Н. К. Строительная механика. —М.: Высшая школа, 1968. -535 с.

248. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. -М.: ГНТИ, 1956. Том. 1. -884 с.

249. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. -М.: Физматгиз, 1959. -470 с.

250. Рабинович И. М. Основы строительной механики стержневых систем. -М.: Госстройиздат, 1956. -454 с.

251. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. -М.: ГНТИ, 1959. Том.Ш. -1119 с.

252. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач/ Пер. с англ. -М.: Мир, 1972. 415 с.

253. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -M.-JL: Физматгиз, 1962. -708 с.

254. Привалов И.И. Интегральные уравнения. -М.: Главтехиздат, 1935. 248 с.

255. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1976. -215 с.

256. Цлаф Л.Я. Вариационные исчисление и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1970.-192 с.

257. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. -Киев: Наукова думка, 1986.-584 с.

258. Зыков А.А. Основы теории графов. -М.: Наука, 1987. -382 с.

259. Липский В. Комбинаторика для программистов. -М.: Мир, 1988. -215 с.

260. Камерон П., Линт Дж. Теория графов, терия кодирования и блок-схемы/ Пер. с англ. Б.С. Стечкина. -М.: Наука, 1980. -139 с.

261. Газизов Х.Ш. Динамика и жесткость вращающихся роторов ГТД.

262. Препринт. -Уфа. Изд-е УГАТУ. 2002. -40 с.

263. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.-688 с.

264. Газизов Х.Ш., Ляшевский Н.Ф., Рапопорт Л.Д. Антисимметричная деформация вращающихся дисков газотурбинных двигателей //XXIII Всесоюзное научное совещание по проблемам прочности двигателей: Тезисы докладов. М.: Изд. АН СССР, 1990. - С. 64.

265. Никулин М.В., Королев В.П., Балуев Б.А., Уваров В.Н., Панфиров Р.Я. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек при действии неравномерного по длине внешнего давления/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9261, 1980.-43 с.

266. Никулин М.В., Уваров В.Н., Королев В.П., Балуев Б.А. Стенд для испытания оболочек на устойчивость. Авт. свид. СССР № 715952. кл. G 01 М9/00, 1980.

267. Даревский В.М. Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки переменной толщины при переменном внешнем давлении// Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1975. №2.

268. Даревский В.М. Методика расчета на устойчивость оболочек вращения/ Техн. отчет ЦИАМ, № 9972, 1983. -34 с.

269. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение. 1991.-335 с.

270. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений. -М.: Наука, 1991.-240 с.

271. Газизов X. Ш., Рапопорт Л. Д. Устойчивость составных тонкостенных конструкций// Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Тезисы докладов III Всесоюзной конференции. -Казань: Изд. КАИ, -1988. -С. 29.

272. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.-Л.: Физматгиз, 1963. -735 с.

273. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. -М.: Машиностроение, 1966. —508 с.

274. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев: Наукова думка, 1968. -887с.

275. Гузь А. Н., Луговой П. 3., Шульга Н. А. Конические оболочки, ослабленные отверстиями. -Киев: Наукова думка, 1976. -162 с.

276. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. - 708 с.

277. Лурье А. Н. Концентрация напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра// ПММ, -№10. 1946. -С. 397-405.

278. Газизов X. Ш. Концентрация напряжений около отверстий в оболочках// Концентрация напряжений в элементах авиационных двигателей. -Уфа: Изд. УАИ, 1986, -№4. -С. 29-34.

279. Аникин Е.П. Концентрация напряжений в пластине с прямоугольным вырезом// Труды Дальневосточного политехнического института, 1956. Вып. 45. -С. 63-81.

280. Гурьянов В.М., Космодиамианский А.С. О напряженном состоянии изотропной пластинки, ослабленной криволинейным отверстием// Прикладная механика, 1964,4,3. -С.