Разработка теоретических основ и геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.35, кандидат технических наук Учаев, Денис Валентинович

• Учаев, Денис Валентинович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Учаев, Денис Валентинович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ И ЕЕ МЕСТО В АНАЛИЗЕ И МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ ПРИРОДНЫХ СИСТЕМ.

1.1 Природные системы и их пространственная структура.

1.2 Фрактальный подход к исследованию пространственной структуры сложных природных систем.

1.2.1 Теория фракталов и ее применение для описания пространственной структуры сложных природных систем.

1.2.2 Методы оценки фрактальной размерности изображений

1.2.3 Влияние масштаба и пространственного разрешения аэрокосмических изображений на значения фрактальных характеристик природных структур.

1.2.4 Анализ работ отечественных и зарубежных авторов в области фрактальных методов анализа и моделирования пространственной структуры сложных природных систем.

Постановка цели и задач исследования.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ЛОКАЛЬНО-ГЛОБАЛЬНОГО

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИЗОБРАЖЕНИЙ.

2.1 Теоретические основы мультифрактального анализа.

2.1.1 Основные подходы к мультифрактальному анализу. Мультифрактальный формализм.

2.1.2 Стандартная и информационная интерпретации мультифрактального формализма.

2.2 Современные методы мультифрактального анализа цифровых изображений и их алгоритмическая реализация.

2.2.1 Мультифрактальный подход к анализу цифровых изображений.

2.2.2 Методы получения Лежандровских мультифрактальных спектров.

2.2.3 Методы получения мультифрактальных спектров больших отклонений.

2.2.4 Сравнительный анализ современных методов мультифрактального анализа цифровых изображений.

2.3 Разработка метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений.

2.3.1 Теоретические основы метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений.

2.3.2 Алгоритмическая реализация разработанного метода мультифрактального анализа цифровых изображений.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ ПРИРОДНЫХ СИСТЕМ.

3.1 Анализ возможностей использования мультифрактального подхода для описания природных структур по их цифровым изображениям

3.2 Разработка геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем.

3.2.1 Методика мультифрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности.130,

3.2.2 Методика оценки эффективности мероприятий по тушению лесных пожаров на основе анализа результатов обработки данных спутниковых наблюдений.

3.2.3 Методика выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ АПРОБАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДА МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИЗОБРАЖЕНИЙ И

МЕТОДИК РЕШЕНИЯ РЯДА ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ПОСРЕДСТВОМ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ АЭРОКОСМИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ.

4.1 Программная реализация и экспериментальная апробация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений.

4.1.1 Построение эталонных изображений.

4.1.2 Программная реализация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений.

4.1.3 Экспериментальная апробация разработанного метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений.

4.2 Экспериментальная апробация разработанных методик решения ряда геоинформационных задач посредством мультифрактальной обработки аэрокосмических изображений.

4.2.1 Экспериментальная апробация методики мультифрактального анализа изображений взволнованной морской поверхности.

4.2.2 Экспериментальная апробация методики оценки эффективности проведенных мероприятий по тушению лесных пожаров.

4.2.3 Экспериментальная апробация методики выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка теоретических основ и геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем»

В настоящее время широкий круг актуальных проблем географии, картографии, геоморфологии и других наук о Земле связан с анализом по данным дистанционного зондирования Земли пространственной структуры сложных природных систем. Используемые при этом методы, в большинстве своем, базируются на приближенном представлении природных структур геометрическими объектами с целыми размерностями (точками, линиями, поверхностями). Основным недостатком такого рода методов является то, что они характеризуют структуру на одном либо нескольких масштабных уровнях, не позволяя получить масштабно-инвариантного описания природных структур. Таким образом, все эти методы не учитывают одного из важнейших качеств систем — целостности, выражающейся в принципиальной несводимости свойств системы к сумме свойств, составляющих ее элементов, и невыводимости из последних свойств системы [29].

Преодолеть указанные трудности позволяет фрактальный подход, уже нашедший применение при описании пространственной структуры большого числа природных систем. Интерес к изучению пространственной структуры различного рода природных систем фрактальными методами возник естественным образом в конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века. Предпосылкой этому стала фундаментальная работа Б. Мандельброта "Фрактальная геометрия природы" [21], в которой по существу впервые высказана идея о возможности исследования структуры таких сложных природных систем, как речные системы, горные системы методами фрактального анализа.

Количественное описание пространственной структуры природных систем с использованием фрактального подхода позволяет выделять иерархические уровни структурной организации природных систем (и, в частности, генетически различные природно-территориальные комплексы), строить модели, воспроизводящие иерархическую структуру пространственной организации природных систем, а также формулировать гипотезы о возможных механизмах генезиса природных систем [25].

С учетом всего вышесказанного весьма перспективным представляется разработка базирующихся на теории фракталов методов описания пространственной структуры сложных природных систем, которые, как ожидается, найдут применение при решении широкого спектра задач геоморфологии, картографии, геологии и других наук о Земле.

Заключение диссертации по теме «Геоинформатика», Учаев, Денис Валентинович

Выводы по главе

В данной главе описана программная реализация и продемонстрированы результаты апробации разработанных методов и методик. В частности указано, что разработанный метод обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа цифровых изображений позволяет детально проанализировать локальные фрактальные свойства исследуемого изображения и установить их связь с глобальными мультифрактальными характеристиками с помощью Лежандровского мультифрактального спектра. При этом разработанные в рамках диссертационной работы модули к программному пакету «Фрактал-ПК» могут быть использованы для всех вычислительных и аналитических задач, возникающих при использовании мультифрактального анализа для исследования сложных природных структур по их аэрокосмическим изображениям.

Во второй части данной главы приведены результаты экспериментальной апробации разработанных методик анализа изображений взволнованной морской поверхности, оценки эффективности проведенных мероприятий по тушению лесных пожаров, а также выделения контуров природных структур на аэрокосмических снимках. В результате проведенной апробации разработанных методик получена высокая степень соответствия полученных результатов с результатами экспертно-аналитического и численного моделирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная диссертационная работа содержит исследования и разработки автора, которые можно рассматривать как решение актуальной научной задачи, посвященной разработке теоретических основ и геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем.

Основными теоретическими и практическими результатами работы являются следующие:

1. Выполнен сравнительный анализ современных методов фрактального и мультифрактального анализа изображений природных структур. Составлены таблицы основных методов фрактального и мультифрактального анализа изображений, полученных дистанционными методами.

2. Впервые показано, что посредством мультифрактального анализа изображений могут быть получены локальные и глобальные мультифрактальные параметры, связанные преобразованием Лежандра.

3. Разработаны математический аппарат и теоретические основы метода обобщенного локально-глобального мультифрактального анализа изображений.

4. Создано программное обеспечение, реализующее существующие и разработанный методы мультифрактального анализа изображений. Выполнена апробация разработанного метода и программы на модельных фрактальных множествах.

5. Разработаны приложения мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем в форме методик, направленных на решение конкретных геоинформационных задач.

6. Проведена апробация разработанных методик, в ходе которой была продемонстрирована возможность применения мультифрактального подхода для анализа пространственной структуры сложных природных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Учаев, Денис Валентинович, 2009 год

1. Базай А.В., ИванюкГ.Ю. Механо-химическая дифференциация железистых кварцитов с позиций теории самоорганизации // Записки ВМО. — 1996. — № 5. — С. 67—82.

2. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.—Москва— Ижевск: НОЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — 128 с.

3. Бугаевский Л.М., Цветков В.Я. Геоинформационные системы: Учебное пособие для вузов. — М.: "Златоуст", 2000. — 222 с.

4. Вадковский В.Н. и др. Аккреционная тектоника и фрактальная размерность // Геофизика XXI столетия: 2002 год. Сборник трудов Четвертых геофизических чтений им В.В. Федынского. — М.: Научный мир, 2003. — С. 278—285.

5. Ведюшкин М.А. О фрактальном подходе к описанию пространственной структуры растительных сообществ // Проблемы мониторинга и моделирования динамики лесных экосистем. — М.: Изд-во АО "Журнал Экос-информ", 1995. —С. 182—201.

6. ВентцельЕ.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов.—М.: Высшая школа, 2001. — 575 с.

7. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. — Москва—Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 116 с.

8. Каток А.Б., ХасселблатБ. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 544 с.

10. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. — М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000. — 352 с.

11. Кудрявцев М.Ю. и др. Управление рисками лесных пожаров на территории Российской Федерации // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2008. — № 35. — С. 27.

12. Кулак М.И. Фрактальная механика материалов.—Минск: Вышэйшая школа, 2002. — 304 с.

13. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 272 с.

14. Малинников В. А., У чаев Д.В. Анализ методов формирования мультифрактальной меры, основанных на вейвлет-обработке экспериментальных данных // Известия вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка". — 2007. — № 6. — С. 57—61.

15. Малинников В.А., Учаев Д.В. Применение методики мультифрактальной сегментации изображений для выделения контуров на аэрокосмических снимках // Известия вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка". — 2008. — № 6. — С. 37—41.

16. Малинников В.А., УчаевД.В., УчаевДм.В. Методика получения канонических спектров при мультифрактальном анализе цифровых изображений // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. —Т. 13. —Вып. 3. —С. 516—517.

17. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. — М.: Мир, 2005. —671 с.

18. МандельбротБ.Б. Фрактальная геометрия природы/ перев. Логунова А.Р. — Москва—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

19. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. — Москва— Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 160 с.

20. Новейшие методы обработки изображений / Под ред. А.А. Потапова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 496 с.

21. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Университетская книга, 2005. —848 с.

22. Пузаченко Ю.Г., Хорошев А.В., Алещенко Г.М. Анализ организации ландшафта на основе космического снимка // Исследование Земли из Космоса. — 2003. — № 3. — С. 63—71.

23. Пьетронеро Л., Тозатти Э. Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9—12 июля, 1985). —М.: Мир, 1988. — 672 с.

24. Реймерс Н.Ф. Природопользование: словарь-справочник. — М.: Мысль, 1990. —639 с.

25. Савиных В.П. и др. География из космоса. Учебно-методическое пособие. — М.: Изд-во "Московский государственный университет геодезии и картографии", 2000. — 224 с.

26. Садовский В.Н. Основания общей теории систем. Логико-методологический анализ. — М.: Наука, 1974. — 279 с.

27. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. — М.: ДМК Пресс, 2008. — 448 с.

28. Сухорученко А.Н. Разработка и исследование методики локального структурно-спектрального анализа оптических фотоизображений морской поверхности: Дис. . канд. техн. наук. —М., 2006. — 147 с.

29. Тай Т., Лэм X. Платформа .NET. Основы / перев. Фрейдина Л. — СПб.: Символ-Плюс, 2003. — 336 с.

30. Учаев Д.В. и др. Методика геоинформационного моделирования структуры древних поселений на основе фрактальных -методов//Известия вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка".—2009.— №3. —С. 76—79.

31. Учаев Д.В. и др. Мультифрактальная параметризация геопространственных структур // Труды Международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. — М.: МИИГАиК, 2004. — С. 163—167.

32. Учаев Д.В. и др. Применение мультифрактального анализа для обнаружения оползневых структур на аэрокосмических снимках // Известия вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка". — 2008.— №6. — С. 12—18.

33. Учаев Д.В., Малинников В.А. Тематическая обработка аэрокосмических i изображений методом мультифрактального анализа // Пятыймеждународный аэрокосмический конгресс. Тезисы докладов. — Юбилейный М.о.: Хоружевский А.И., 2006. — С. 236.

34. Учаев Дм.В. Применение фрактального подхода в геоинформационном моделировании речных сетей // Известия вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка". — 2007. — № 4. — С. 76—87.

35. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. Учебное пособ. — М.: Издательство "Триумф", 2003. — 320 с.

36. Федер Й. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — 260 с.

37. ХараликР.М. Статистический и структурный подходы к описанию текстур. — 1979. — Т. 67. — № 5. — С. 98—120.

38. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В.Ф. Кравченко. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 544 с.

39. Шелухин О.И., Осин А.В., Смольский С.М. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 368 с.

40. Яшков И.А., Иванов А.В. Изучение эрозионной сети с помощью фрактального анализа//Недра Поволжья и Прикаспия. — 2005.— № 44. — С. 49—59.

41. Abadi М., Grandchamp Е. Large deviation spectrum estimation in two dimensions//IEEE SITIS 2006, Sessioin SIT-S5: Image Processing and Analysis. — Tunisia, 2006. — P. 561—571.

42. Albinet G., Searby G., Stauffer D. Fire propagation in a 2-D random medium // Journal de Physique. — 1986. — Vol. 47. — No. 1. — P. 1—7.

43. Arbeiter M., Patzschke N. Random Self-Similar Multifractals // Math. Nachr. — 1996. — Vol. 181. — P. 5—42.

44. Asvestas P. A Power Differentiation Method of Fractal Dimension Estimation for 2-D Signals // Journal of Visual Communication and Image Representation. — 1998. — Vol. 9. — No. 4. — P. 392—400.

45. BarnsleyM.F. Fractals everywhere. — U.S.: Academic Press Inc., 1988. — 394 p.

46. BarreiraL., PesinY., SchmelingJ. Dimension and product structure of hyperbolic measures//Annals of mathematics. — 1999. — Vol.149.— No. 3. —P. 755—783.

47. Bartolo S.G.D., Gaudio R., Gabriele S. Multifractal analysis of river networks: Sandbox approach//Water Resour. Res. — 2004.—Vol.40.— No. W02201.

48. Batty M., LongleyP. Fractal cities: a geometry of form and function.— London, San Diego: Academic Press, 1994. — 394 p.

49. Bovill C. Fractal geometry in architecture and design. — Boston: Birkhauser, 1996. — 195 p.

50. ChhabraA., Jensen R.V. Direct determination of the /(a) singularity spectrum // Physical Review Letters. — 1989. — Vol. 62. — No. 12. — P. 1327.

51. Clarke К.С., Schweizer D.M. Measuring the Fractal Dimension of Natural Surfaces Using a Robust Fractal Estimator // Cartography and Geographic Information Science. — 1991. — Vol. 18. — P. 37—47.

52. Cutler C.D. Connecting Ergodicity and Dimension in Dynamical Systems // Ergodic Theory and Dynamical Systems. — 1990. — Vol. 10.— No. 03. —P. 451—462.

53. Du G., Yeo T.S. A novel multifractal estimation method and its application to remote image segmentation // Geoscience and Remote Sensing, IEEE Transactions on. — 2002. — Vol. 40. — No. 4. — P. 980—982.

54. Emerson C.W., LamN.S., Quattrochi D.A. A comparison of local variance, fractal dimension, and Moran's I as aids to multispectral image classification//International Journal of Remote Sensing. — 2005.— Vol. 26. — No. 8. — P. 1575—1588.

55. Ethel N. Multifractal-based Image Analysis with applications in Medical Imaging//Master's Thesis in Computing Science and Mathematics: Umea University Department of Computing Science, Sweden, 2007. — 82 p.

56. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. — Chichester, England: John Wiley & Sons, 2003. — 337 p.

57. Falconer K.J. Generalized dimensions of measures on self-affine sets // Nonlinearity. — 1999. — Vol. 12. — No. 4. — P. 877—891.

58. Falconer K.J. Techniques in fractal geometry. — Chichester, England: John Wiley & Sons, 1997. — 256 p.

59. Feng J., Lin W., Chen C. Fractional box-counting approach to fractal dimension estimation//Proceedings of 13th International Conference on Pattern Recognition. — Vienna, Austria, 1996. — Vol. 2. — P. 854—858.

60. Fiichslin R.M., Shen Y., Meier P.F. An efficient algorithm to determine fractal dimensions of point sets // Physics Letters A. — 2001. — Vol. 285. — No. 1—2. —P. 69—75.

61. Gaudio R. et al. Lithologic control on the multifractal spectrum of river networks // Journal of Hydrology. — 2006. — Vol. 327. — No. 3—4. — P. 365—375.

62. Gilbert L.E. Are topographic data sets fractal? // Pure and Applied Geophysics. — 1989. —Vol. 131.—No. 1.—P. 241—254.

63. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors // Physics Letters A. — 1983. — Vol. 97. — No. 6. — P. 227—230.

64. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of Strange Attractors // Physical Review Letters. — 1983. — Vol. 50. — No. 5. — P. 346—354.

65. HalseyT.C. et al. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets // Physical Review A. — 1986. — Vol. 33. — No. 2. —P. 1141—1151.

66. Hentschel H.G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1983. — Vol. 8. — No. 3. — P. 435—444.

67. Jaggi S., Quattrochi D.A., Lam N.S. Implementation and operation of three fractal measurement algorithms for analysis of remote—sensing data // Computers & Geosciences. — 1993. — Vol. 19. — No. 6. — P. 745—767.

68. Ju W., Lam N.S. An improved algorithm for computing local fractal dimension using the triangular prism method // Computers & Geosciences. — 2009. — Vol. 35. — No. 6. — P. 1224—1233.

69. Kaandorp J.A., Fractal modeling: growth and form in biology. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. — 208 p.

70. KlinkenbergB., Goodchild M.F. The fractal properties of topography: A comparison of methods // Earth Surface Processes and Landforms. — 1992. —Vol. 17.—No. 3. —P. 217—234.

71. Korvin G. Is the optical image of a non-Lambertian fractal surface fractal? // Geoscience and Remote Sensing Letters, IEEE. — 2005.— Vol. 2. — No. 4. — P. 380—383.

72. Kube P., Pentland A. On the imaging of fractal surfaces // Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on.— 1988. — Vol.10.— No. 5. —P. 704—707.

73. LamN.S. et al. An Evaluation of Fractal Methods for Characterizing Image Complexity // CaGIS. — 2002. — Vol. 29. — No. 1. — P. 25—35.

74. Lam N.S., De Cola L. Fractals in geography. — Englewood Cliffs N.J.: PTR Prentice Hall, 1993. — 308 p.

75. Levy Vehel J. Introduction to the multifractal analysis of images // Fractal Image Encoding and Analysis / book auth. Fisher Y.: Springer-Verlag, 1997. —P. 299—342.

76. Levy Vehel J. Numerical Computation of the Large Deviation Multifractal Spectrum // CFIC'96. — Rome, 1996. (http://apis.saclay.inria.fr/html/Papers/ files/ps/76Rome.ps.gz)

77. Levy V6hel J., Mignot P. Multifractal Segmentation of Images // Fractals. — 1994. —Vol.2. —No. 3. —P. 371—377.

78. Levy Vehel J., Vojak R. Multifractal Analysis of Choquet Capacities // Advances in Applied Mathematics. — 1998. — Vol. 20. — No. 1. —P. 1—43.

79. L6vy Vёhel J., Mignot P., Berroir J. Texture and multifractals: new tools for image analysis. RR-1706. — France: INRIA, 1992. — 29 p.

80. Lopes R., Betrouni N. Fractal and multifractal analysis: A review//Medical Image Analysis. — 2009. — Vol. 13.—No. 4. —P. 634—649.

81. Mach J., Mas F., Sagues F. Two representations in multifractal analysis//Journal of Physics A: Mathematical and General.— 1995.— Vol. 28. —No. 19. —P. 5607—5622.

82. Makarov N.G. Fine structure of harmonic measure. // St. Petersbg. Math. J. — 1998. — Vol. 10. — No. 2. — P. 217—268.

83. Mandelbrot В.В. Intermittent Turbulence in Self-Similar Cascades: Divergence of High Moments and Dimension of the Carrier // Journal of Fluid Mechanics Digital Archive. — 1974. — Vol. 62. — No. 02. — P. 331—358.

84. Mandelbrot B.B. Possible refinement of the lognormal hypothesis concerning the distribution of energy dissipation in intermittent turbulence // Statistical Models and Turbulence.—Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1972.— Vol. 12. —P. 333—351.

85. Muzy J.F., Bacry E., Arneodo A. The Multifractal Formalism Revisited with Wavelets//International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1994.— Vol. 4. — No. 2. — P. 245—302.

86. Myjak J., Rudnicki R. On the Box Dimension of Typical Measures // Monatshefte fur Mathematik. — 2002. — Vol. 136. — No. 2. — P. 143—150.

87. Olsen L. A Multifractal Formalism // Advances in Mathematics. — 1995. — Vol. 116. — No. 1. — P. 82—196.

88. Olsen L. Geometric Constructions in Multifractal Geometry // Periodica Mathematica Hungarica. — 1998. — Vol. 37. — No. 1. — P. 81—99.

89. O'Neil T.C. The Multifractal Spectrum of Quasi Self-Similar Measures // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1997. — Vol.211.—No. 1. —P. 233—257.

90. Parks G.M. Development and Application of a Model for Suppression of Forest Fires // MANAGEMENT SCIENCE. — 1964. — Vol. 10. — No. 4. — P. 760—766.

91. Pastor-Satorras R. Multifractal properties of power-law time sequences: Application to rice piles//Physical Review E. — 1997. — Vol.56.— No. 5. —P. 5284—5294.

92. PatzschkeN. Self-Conformal Multifractal Measures//Advances in Applied Mathematics. — 1997. — Vol. 19. — No. 4. — P. 486—513.

93. PelegS. et al. Multiple Resolution Texture Analysis and Classification // Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on. — 1984. — Vol. PAMI-6. — No. 4. — P. 518—523.

94. Pentland A.P. Fractal-Based Description of Natural Scenes // Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on. — 1984.— Vol. PAMI-6. — No. 6. — P. 661—674.

95. Pesin Y.B. Generalized spectrum for the dimension: The approach based on Caratheodory's construction. // Constantin Caratheodory: an International Tribute. —Teaneck, NJ, USA: World Sci. Publishing, 1991.— Vol. II. — P. 1108—1119.

96. Pesin Y.B. On rigorous mathematical definitions of correlation dimension and generalized spectrum for dimensions // Journal of Statistical Physics. — 1993. —Vol.71.—No. 3—4. —P. 529—547.

97. Pesin Y.B., Weiss H. The multifractal analysis of Gibbs measures: Motivation, mathematical foundation, and examples // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science.— 1997. — Vol.7.— No. 1. —P. 89—106.

98. Qiu H. et al. Fractal Characterization of Hyperspectral Imagery//Journal of the American Society for Photogrammetry and Remote Sensing. — 1999. — Vol. 65.—No. 1. —P. 63—71.

99. Renyi A. On the dimension and entropy of probability distributions//Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. — 1959. — Vol.10.— No. 1—2. —P. 193—215.

100. Riedi R.H. An Improved Multifractal Formalism and Self—Similar Measures // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1995. — Vol. 189. — No. 2. — P. 462—490.

101. Riedi R.H., Mandelbrot B.B. Multifractal Formalism for Infinite Multinomial Measures // Advances in Applied Mathematics. — 1995. — Vol. 16. — No. 2. —P. 132—150.

102. Rothschild W.G. Fractals in chemistry. — New York: Wiley, 1998. — 231 p.

103. Rudolph О. Thermodynamic and Multifractal Formalism and the Bowen— Series Map//Fortschritte der Physik / Progress of Physics. — 1995.— Vol. 43. — No. 5. — P. 349—450.

104. SahimiM. Applications of percolation theoiy.—London: Taylor & Francis, 1994. — 258 p.

105. SarkarN., Chaudhuri B.B. Multifractal and generalized dimensions of gray-tone digital images // Signal Processing. — 1995. — Vol. 42. — No. 2. — P. 181—190.

106. StaufferD., Aharony A. Introduction to Percolation Theory.— London: Taylor & Francis, 1994. — 187 p.

107. Stojic Т., ReljinL, ReljinB. Adaptation of multifractal analysis to segmentation of microcalcifications in digital mammograms // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2006. — Vol. 367. — P. 494— 508.

108. Sun W. et al. Fractal analysis of remotely sensed images: A review of methods and applications // International Journal of Remote Sensing. — 2006. — Vol. 27. — No. 22. — P. 4963—4990.

109. Tel Т., VicsekT. Geometrical multifractality of growing structures//Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1987. — Vol. 20. —No. 13. — P. L835—L840.

110. Tricot C., Levy V6hel J. On various multifractal spectra // Fractal Geometry and Stochastics III / book auth. Bandt, C., Mosco, U., Zahle, Basel: Birkhauser Verlag, 2004. — Vol. 57. — P. 23—42.

111. Turiel A. Relevance of multifractal textures in static images//Electronic Letters on Computer Vision and Image Analysis.—2003. — Vol.1.— No. 2. — P. 35—49.

112. Turner M.J. Spatial and temporal analysis of landscape patterns//Landscape Ecology. — 1990. —Vol. 4. —No. 1. —P. 21—30.

113. Turner M.J., Blackledge J.M., Andrews P.R. Fractal geometry in digital imaging. — San Diego, Calif., US: Academic Press, 1998. — 328 p^

114. VicsekT. Fractal growth phenomena. — Singapore: World Scientific, 1992. —488 p.

115. VicsekT. Mass multifractals//Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 1990. — Vol. 168. — No. 1. — P. 490—497.

116. Science of Fractal Images / book auth. Peitgen H., Saupe D. — New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 21—70.

117. Vstovsky G.V. A controlled multifractal//Physics Letters A. — 1992.— Vol. 165.—No. 1. —P. 41—46.

118. Vstovsky G.V. Interpretation of the extreme physical information principle in terms of shift information//Physical Review E.— 1995. — Vol.51.— No. 2. — P. 975—979.

119. Vstovsky G.V. Transform information: A symmetry breaking measure // Foundations of Physics. — 1997. — Vol. 27. — No. 10. — P. 1413—1444.

120. XiaY., FengD., Zhao R. Morphology-based multifractal estimation for texture segmentation // Image Processing, IEEE Transactions on. — 2006. — Vol. 15.—No. 3. —P. 614—623.

121. Yamaguti M., Prado C.P.C. A direct calculation of the spectrum of singularities /(a) of multifractals // Physics Letters A.— 1995.— Vol. 206. — No. 5—6. — P. 318—322.