Разработка симметричных моделей и алгоритмов смешанного управления пространственно-распределенными системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.14, кандидат технических наук Шмырин, Дмитрий Анатольевич

• Шмырин, Дмитрий Анатольевич
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шмырин, Дмитрий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ

1.1. Проблема математического описания объектов управления

1.2. Математические методы синтеза симметричных систем

1.3. Методы идентификации систем управления

1.4. Методы синтеза алгоритмов управления

1.5. Постановка задач исследований 34 Выводы

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ

СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ

2.1. Постановка задачи параметрической идентификации симметричных систем

2.2. Модификация алгоритма блочного рекуррентного псевдообращения

2.3. Разработка подхода к идентификации симметричных систем 44 Выводы

3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫМИ СИСТЕМАМИ

3.1. Постановка задачи смешанного управления

3.2. Разработка глобальных алгоритмов смешанного управления

3.3. Разработка локальных алгоритмов смешанного управления для симметричных систем

3.4. Разработка модификации алгоритмов смешанного управления ' симметричными системами

Выводы

4. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПОДСИСТЕМОЙ ЦЕХА ЛИСТОПРОКАТНОГО ПРОИЗВОДСТВА

4.1. Примеры применения моделей и методов

4.2. Разработка модели сложного промышленного объекта

4.2.1. Описание листопрокатного производства как объекта управления

4.2.2. Информативность переменных состояния и управления листопрокатного производства

4.2.3. Синтез симметричных моделей и смешанное управление ЛПП

4.3. Синтез алгоритмов оптимального смешанного управления для симметричных систем

4.3.1. Оптимальное по состоянию и ограниченное по входу смешанное управление

4.3.2. Оптимальное по состоянию и входу смешанное управление

4.3.3. Разработка оптимальных режимов работы цеха 95 Выводы 97 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 99 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 101 ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка симметричных моделей и алгоритмов смешанного управления пространственно-распределенными системами»

Актуальность работы. При разработке моделей сложных пространственно-распределенных промышленных объектов возникает проблема выбора адекватной структуры математической модели. Проблема моделирования и управления такими объектами часто связана не только с распределенностью системы и сложностью связей между подсистемами, но также и с тем, что некоторые переменные могут выступать как в роли компонента состояния, так и в роли компонента управления.

Наиболее изученные в теории управления классические линейные дискретные модели не обеспечивают необходимой гибкости при описании структуры и характера связей переменных сложного объекта. Для этой цели вводились более общие классы моделей: многоразмерностные, дискретно-аргументные и др. Последние позволяют описывать более сложные структуры окрестностей по состоянию и входу, однако шаблоны связей в них также жестко зафиксированы и не позволяют описать структуру связей объекта без предварительного отнесения переменных к состояниям или управлениям.

В связи с этим актуальной является разработка нового класса моделей, учитывающих на конечном графе структуру окрестностей по состоянию и вхо- • ду и допускающих неоднозначность трактовки характера переменных, и разработка методов идентификации и управления для этого нового класса моделей.

Тематика диссертационной работы связана с реализацией разделов научно-исследовательской работы "Исследование и разработка методов и алгоритмов прикладной математики для идентификации технологических и сопровождающих процессов", и соответствует научному направлению • ЛГТУ "Автоматизация технологических процессов и автоматизированное проектирование".

Целью работы является разработка нового класса моделей, обеспечивающих задание на графе структуры связей по состоянию и входу между узлами в некоторой локальной области (окрестности) объекта, без фиксации принадлежности переменных к характеристикам состояния или управления (входам), разработка методов идентификации, управления и оптимального управления для таких моделей, проверка работоспособности и эффективности предлагаемых подходов на примере сложного промышленного объекта - листопрокатного производства АО "НЛМК".

Предлагаемые модели названы "симметричными" в смысле равноправия (симметрии) их структуры относительно принадлежности переменных к характеристикам состояния или управления.

Исходя из цели работы, определены следующие основные задачи: исследование разработанного класса моделей — симметричных моделей на графах, позволяющих представлять объект как структуру из узлов, соединенных в некоторой окрестности сложными взаимосвязями, и сопоставление их с другими линейными дискретными моделями; разработка методики и вычислительных алгоритмов параметрической идентификации для синтезируемых симметричных моделей; разработка методики и конкретных алгоритмов для решения предложенной новой постановки задач управления — "задачи смешанного управления", что позволяет получить значения входных воздействий и состояний системы при задании части переменных (сигналов) в любом сочетании; построение симметричной модели для реального промышленного объекта - листопрокатного производства АО "НЛМК" и решение для него задачи смешанного управления, сформулированной как задача планирования производства; программная реализация разработанных моделей и методов в виде пакета функциональных программных модулей.

Методы исследования основаны на использовании математической теории систем, системного анализа, вычислительной математики, линейной алгебры, теории графов, объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

Разработан и исследован новый класс моделей линейных динамических систем, предлагающих описание с помощью конечных носителей (графов) структуры связей между узлами по состоянию и входу в некоторой локальной области (окрестности) объекта и обеспечивающих симметрию общей структуры модели относительно переменных состояния и входа.

На основе симметрии модели предложен подход, позволяющий в рамках единого описания гибко изменять структуру модели относительно принадлежности переменных к состояниям и входам.

Решена задача параметрической идентификации симметричных моделей и сформулирован квадратичный критерий идентификации.

Для систем, описываемых симметричными моделями, поставлены задачи управления и оптимального управления. На основе симметрии модели предложена новая постановка задачи управления, названная "задачей смешанного управления" и отличающаяся от классической тем, что исходными данными для нее служат известные элементы векторов состояний и входов, а отысканию подлежат их неизвестные (незаданные, неопределенные) элементы.

Введены и исследованы локальная и глобальная постановки задачи смешанного управления. При глобальной постановке в каждом из узлов системы полностью задан либо вектор состояния, либо вектор входа, а при локальной задаются часть компонентов векторов состояний и/или входов в узлах системы; необходимо определить недостающие компоненты векторов состояний и входов.

Разработаны методы формирования блочных матриц коэффициентов и векторов свободных членов в соответствии с принятой структурой составных векторов переменных и их разделением на состояния и входы, реализующие предложенный подход в рамках единого алгоритма для задач идентификации и смешанного управления.

Разработан единый алгоритм, реализующий блочное рекуррентное псевдообращение разреженных матриц большой размерности.

Практическая ценность. Разработанные методы позволяют синтезировать адекватные объекту сложной структуры модели и эффективные алгоритмы управления ими.

Предлагаемые математические модели и методы реализованы в виде комплекса программных продуктов, которые могут использоваться в качестве функциональных модулей при решении задач исследования, моделирования и управления промышленными объектами. Предложенные подходы, в частности, могут быть использованы при разработке математического обеспечения систем планирования и экономического анализа (АСУ ПЭА) металлургического производства. Результаты расчетов для реального промышленного объекта высокой сложности подтверждают правомерность принципов, положенных в основу разработанных подходов.

Предлагаемые методы могут быть использованы при моделировании и управлении сложными промышленными объектами, в частности при управлении крупными предприятиями и/или их подразделениями, сетями компьютеров, телефонными линиями связи и т.п. Эффект от использования предложенных моделей и методов тем больше, чем сложнее структура связей моделируемого объекта, и, следовательно, сложнее осуществление моделирования и управления традиционными методами.

Апробация работы. Положения работы доложены и обсуждены на Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем - VII" (Киев, 1996); на II Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения-УН)" (Воронеж, 1996); на 3-й Украинской конференции по автоматическому управлению "Автоматика - 96" (Севастополь, 1996); на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 40-летию Липецкого государственного технического университета (Липецк, 1997); а также на научных семинарах кафедр и отделов ряда организаций и институтов.

Результаты диссертации используются в учебном процессе.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 11 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, перечня библиографических источников из 109 наименований и содержит 111 страниц машинописного текста, 15 рисунков, 4 таблицы и приложения на 17 страницах.

Заключение диссертации по теме «Системы обработки информации и управления», Шмырин, Дмитрий Анатольевич

Выводы

В данной главе решены следующие задачи:

1. На примерах показано применение алгоритмов идентификации и управления для симметричных систем;

2. Выполнено описание листопрокатного производства как объекта управления;

3. Оценена информативность переменных состояния и управления листопрокатного производства;

-984. Построена симметричная модель ЛПП;

5. Решена задача смешанного управления для цеха;

6. Предложен комбинированный критерий качества, учитывающий смешанный характер управления;

7. Разработаны алгоритмы оптимального смешанного управления;

8. Получены оптимальные значения технико-экономических показателей работы ЛПП.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате рассмотрения проблем моделирования и управления пространственно-распределенными промышленными объектами в работе осуществлена постановка и решение следующих задач:

1. Разработана дискретная линейная симметричная модель, развивающая традиционные дискретные модели и позволяющая отразить сложные взаимосвязи объекта моделирования.

2. Сформулирована задача параметрической идентификации для симметричной модели.

3. Сформулирована задача смешанного управления. Предложены две различные ее постановки - локальная и глобальная.

4. Получен алгоритм смешанной параметрической идентификации.

5. Получены алгоритмы решения задачи смешанного управления в локальной и глобальной формулировке.

6. Разработана модификация метода блочного псевдообращения, учи'ГБййать структуру Шп&чнын йв$а&инчвайик разреженных матриц, образующихся при -применении алгоритмов идентификаций м «ШёШаммот ^»уя^Ш.

7. Сформулирована задача оптимального смешанного управления для симметричной модели« Предложен критерий ©итимшуййоетй! в; Получены млгчфм'шы дан решении аадачн ёШиМ^Швгй «швшшйвШ управления.

Изучена «и^метрични« «и^жеш» «иетйп^юя&тшзг© произведете« СЛПГП "

АО "НЛМК".

10.Решена задача емешаннвгв уиравления и бигеимаяшвг© емешанмет управления для данного объекта, интерпретируемая как •задача планирования производства.

- 10011 .Разработанные методы и алгоритмы программно реализованы на С++ в виде пакета функциональных модулей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шмырин, Дмитрий Анатольевич, 1998 год

1. Андреев Ю.А. Управление конечномерными линейными объектами—М.: Наука, 1976.-426 с.

2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974. - 366 с.

3. Беняковский М.А., Мазур B.JL, Мелешко В.И. Производство автомобильного листа.-М.: Металлургия, 1979.-256 с.

4. Бертсекас Д., Шрив С. Стохастическое оптимальное управление.-М.: Наука, 1985.-280 с.

5. Блюмин С.Л., Корнеев A.M. Дискретно-аргументное моделирование систем обработки информации и управления: Учебное пособие, Липецк: ЛГТУ, 1993.87 с.

6. Блюмин С.Л., Фараджев Р.Г. Анализ и синтез конечных линейных последб-вательностно-клеточных машин // Автоматика и телемеханика. 1981! - № 6.-С. 57-66.

7. Блюмин С.Л., Фараджев Р.Г. Линейные клеточные машшш: подход пространства состояний (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1982. - 2. -С 125-162.

8. В. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Пименов В.А., Шмырин Д.А. Ойтеймальное смешанное управление и экологическая безопасность // Сб. науч. статей молодых ученых "Проблемы экологии и экологической безопасности",1. Липецк, 1998. С. 46-50.

9. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Задача смешанного управления системами на конечных носителях // Труды 3-й Укр. конф. по автоматическому управлению "Автоматика 96". Севастополь, 1996. Т. 1. С. 57-58.

10. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Задача управления смешанными системами // Тез. докл. Воронежской весенней матем. школы "Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинские чтения-VIII)". Воронеж, 1997. С. 24.

11. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Задача управления смешанными системами // Тез. докл. междунар. научно-метод. конф. "Новые информационные технологии в экологии". Липецк, 1997. С. 12-15.

12. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Идентификация и управление симметричными и смешанными экологическими системами // Сб. науч. тр. междунар. науч. конф. "Проблемы безопасности транспортного пространства". Липецк, 1998. С. 11.

13. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. К интерпретации нормальных решений в прикладных обратных задачах // Тез. докл. Воронежской школы "Современные проблемы механики и прикладной математики". Воронеж, 1998. С. 46.

14. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. К управлению симметричными системами на конечных носителях // Межвуз. сб. науч. тр. "Системы управления и информационные технологии". Воронеж, 1997. С. 82-90.

15. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. К управлению смешанными системами // Тез. докл. Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем -VIH". Киев, 1997. С. 13.

16. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Локальный подход к управлению симметричными системами // Межвуз. сб. науч. тр. "Системы утаравоте-tiwít и 1*иформацйои«ыо технологии". Воронеж, 109?. С. i öS-112.

17. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Сингулярные билинейные, модели тшь&ттгш* 'И Тк'Й,. ¡ШШ% ' йаучи^текнйч.конф. "Проблемы экологии и экологической безопасности Центр. Черноземья ". Липецк, 1996. С. 52.

18. Вййз'жШ С.Л.» AiWii Шмыцзин Д,А< Смешанное упр&пшпш неявными системами // Тез. докл. Воронежской весенней матем. школы

19. Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинекие чтения-Vtl)". Воронеж, 1996. С. 33.

20. Блюмин С.Л., Шмырин A.M., Шмырин Д.А. Смешанное управление сингулярными емечмзмами йй. Kfc>n«»tHbi*. N ЬА&шпущ, «¡6. »»йуч, -ср.

21. Информатика и процессы управления". Красноярск, 1997. С. 4-9.

22. Бокс Дж., Дженкинкс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление. -М.: Мир, 1974.-403 с.

23. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1968.-408 с.

24. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 223 с.

25. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

26. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач-М.: Наука, 1980.-518 с.

27. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / Под ред. П.Д. Крутько.-М.: Наука, 1986.-240 с.

28. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.-548 с.

29. Гилл А. Линейные последовательностные машины.-М Наука, 1974.~288: с.4ö. грен д. Мтьды идентификации &мё9шм. ™ Мл Мир, Mi

30. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. Мл Энергия, 1979. - 240 с.

31. Денисов A.A., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления У Уч. пособие для ayuou.-JI.i Эивргинэдаг, 1982. 288 с.

32. Иванов Н.И., Парсункин Б.Н., Рябков В.М. Автоматизация производственных процессов в черной металлургии.-М.: Металлургия, 1980.-304 с.

33. Карабутов H.H., Пятецкий В.Е. Параметрическая идентификация металлургических процессов: учет информационных аспектов.-М.: Металлургия, 1992.-144 с.-10645. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. М.: Мир, 1976.-735 с.

34. Колмогоров А.Н. Комбинаторные основания теории информации // Успехи математических наук. 1983. - Т. 38, № 4.- С. 27-36.

35. Крон Г. Исследование сложных систем по частям диакоптика. - М.: Наука, 1972.-542 с.

36. Крот А.М. Дискретные модели динамических систем на основе полиномиальной алгебры.-Минск: Навука i тэхшка, 1990.-312 с.

37. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели.-М.: Наука, 1988.-328 с.

38. Ланкастер П. Теория матриц.-М.: Наука, 1982.-272 с.

39. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа.-М.: Радио и связь, 1982.-184 с. ■

40. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-432 с.

41. Мееров М.В., Литвак Б.Л. Оптимизация систем многосвязного управления.-М.: Наука, 1972.-344 с.

42. Метод конечных элементов : Метод, указ. к практическим занятиям. / Соет. B.M. Кислов Владимир: ВГШ, 1982. 44 с.

43. Моисеев H.H. Человек. Среда. Общество. М.: Наука, 1982. 240 е.зв. ш&ррк, д., ж. Введение в меюд квивчйык шжштш. M.i Ммр, i i'i i.-304 с.

44. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. - 352 с.

45. Основы управления технологическими процессами / Под ред. Н.С. Райбма-на.-М.: Наука, 1978.-440 с.

46. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. Учебное пособие.-М.: Наука, 1986.-616 с. .-10760. Перельмап И.И. Оперативная идентификация объектов управления.-М.: Энергоиздат, 1982.-272 с.

47. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 410 е.

48. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. -М.: Энергия, 1975.-374 с.

49. Раскин Л.Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления.-М.: Сов. радио, 1976.-344 е.

50. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами.-М.: Сов. радио, 1980.-232 с.

51. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Уч. пособие.-М.: Наука, 1978.-552 с.

52. Салыга В.И., Карабутов H.H. Идентификация и управление процессами в черной металлургии.-М.: Металлургия, 1986.-192 с.

53. Снапелев Ю.М., Старосельский В.А. Моделирование и управление-в сложных систем.-М.: Сов. радио, 1974.-263 с.6S. COöeWö В.>1. Теории инф0рмации.*»Л,! МаД. ЛГУ, 1977.^1 84 ö.

54. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 712 с. '

55. ТвМйййв*»*»* »Ho+àMnoi-ô ) Е.Ф. A.A. ЙшайА'йи, C.Ii,

56. Емельянов и др.; под общ. ред. C.B. Емельянова и др. М.: Машиностроение; Берлин: Техник, 1988. — 520 с,

57. Тьюарсон Дж. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1986. - 374 с.

58. Уонэм M« Линейные многомерные системы управления! геометрический подход.-М.: Наука, 1980.-376 с.

59. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач Оптимального управления.-М.: Наука, 1978.-488 с.-10874. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.-552 с.

60. Фельдбаум А.А. Теория дуального управления, // Автоматика и телемеханика. -№ 9, 11. 1960; № 1, 2. 1961.

61. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами.-М.: Мир, 1978.-316 с.

62. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами.-Л.: Изд. ЛГУ, 1985.-336 с.

63. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. - 276 с.

64. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. - 300 с.

65. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.-М.: Мир, 1989.-665 с.

66. Цыпкин Я.3. Адаптация и обучение в автоматических системах.-М.: Наука, 1968.-400 с.

67. Цыпкин Я.З. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах. // Автоматика и телемеханика. № 1. - 1966. С. 23-61.

68. Цыпкин Я.З. Обобщенные алгоритмы обучения. // Автоматика и телемеханика. № 1. - 1970. С. 97-104.

69. Цыпкин Я.З. Оснойы информационной теории идентификаций. М.; Наука, , 1984.-320 с.

70. Шаракшанэ А.С., Железной И.Г. Испытания сложных систем.--М.: Наука, 1974.-184 с.

71. U6. Шилдг Г. Теория и практика С++. СПб.; BHV - Саикт-Пётербург, 1996. 416 с.

72. Шмырин A.M. Синтез алгоритмов идентификации в системе управления качеством изотропных сталей с помощью функций Уолйга и их обобщений.

73. Дисс. на соиск. степ. канд. техн. наук. М., 1983. - 147 с.-10988. Шмырин A.M., Пименов В.А., Шмырин Д.А. Оптимальное смешанное управление // Межвуз. сб. науч. тр. "Системы управления и информационные технологии". Воронеж, 1998. С. 185-190.

74. Шмырин Д.А. Дискретное моделирование и смешанное управление системами на конечных носителях // Тез. докл. Всероссийской научно-технической конф., посвященной 40-летию ЛГТУ. Липецк, 1996. С. 423-424.

75. Шмырин Д.А. Подход к управлению смешанными системами // Сб. науч. тр. "Математическое и информационное обеспечение автоматизированных систем". Липецк, 1997. С. 30-31.

76. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. -683 с.

77. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления.-М.: Наука, 1973.-464 с.

78. Aplevich J.D. Time-Domain Input-Output Representations of Linear Systems //

79. Automatica. 1981. Vol. 17. No 3. P. 509-522.

80. BlyumiH S., Masiikevtbtsv v., Mswtev в., витуйн гж, ташва*» A. «.emwaMi

81. Mathematical Tools and Computer Algorithms for Automation of Industrial and Maiiufbstitfirtg syiteMs // a,ia iMáce миЫеап&гстео

82. Computational Engeneering in Systems Applications (CESA'98)". Hammamet,tW»l*. i*»*, P, as,

83. Blyumin S.L., Mashkovtsev Yu.V., Pashkov S.A., Tarasov A.A., Shmyrin D.Á.

84. Some Mathematical Tools for Industrial Automation; Linear/Nonlinear Leost Separes Identification, Discrete Argument / Alphabet Simulation, Reliability /

85. Helmke U., Shayman M.A. A canonical form for controllable singular systems// Systems & Control Letters. 1989. N. 12. P. 111-122.

86. Ibrahim E.Y. , Lovass-Nagy V., Schilling R.J. Open-loop optimal control of linear time-invariant systems containing the first derivative of the input// Int. J. Control. 1989. Vol. 49. No. 3. P. 1001-1011.

87. Kaczorek T. General response formula and minimum energy control of 2-D continuos-descrete linear systems // Proc. of 33rd IEEE Conf. Decision and Control, Lake Bueita Vista, Florida USA, Dee. 14-16, 1994. P. 247-248.

88. Kaczorek T. Singular general model of 2-D systems and Its solution // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. Vol. 36, No. 5-6, 1988.1. P4 345-350. . .

89. Kaczorek T. Solvability and reachability of singular general model of 2-D linear system // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences.-Vol. 36, No. 5-6, 1988. P. 337-344.

90. Lin J.Y., Yang Z.H. Mathematical Control Theory of Singular Systems// IMA Journal of Mathematical Control & Information. 1989. N 6. P. 189-198.

91. Yamada T., Luenberger D.G. Generic Controllability Theorems for Descriptor Systems// IEEE Transactions on Automatic Control. February 1985. Vol. AC-30. No.2. P. 144-152.

92. Yip E.L., Sincovec R.F. Solvability, Controllability and Observability of Continues Descriptor System// IEEE Transactions on Automatic Control. June 1981. Vol. AC-26. No. 3. P. 702-707.

93. Zadeh L.A. From Circuit Theory to System Theory. Proc IRE, 50, 1962. P. 856-865.

94. Zhang S.-Y. Pole placement for singular systems// Systems & Control Letters. 1989. N 12. P. 339-342.