Разработка многоточечных проекционных методов вычисления интеграла столкновений Больцмана и их алгоритмической и программной реализации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Додулад, Олег Игоревич

• Додулад, Олег Игоревич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Додулад, Олег Игоревич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Физические и математические основы динамики разреженного газа

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана. Функция распределения молекул по скоростям

1.2. Равновесное состояние газа. Макроскопические величины

1.3. Взаимодействие газа с твердой поверхностью. Потенциалы взаимодействия молекул газа

1.4. Уравнение Больцмана для смеси газа. Обобщенное уравнение Больцмана

ГЛАВА 2. Консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана

2.1. Численные методы решения уравнения Больцмана. Консервахивный проекционный метод решения уравнения Больцмана

2.2. Консервативный проекционный метод для смеси газов

2.3. Многоточечные консервативные проекционные методы для смеси газов

2.4. Консервативный проекционный метод при наличии цилиндрической симметрии в пространстве скоростей

2.5. Консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений на неравномерной сегке скоростей

ГЛАВА 3. Алгоритмы и программная реализация численных методов

3.1. Проблеммно-моделирующая среда. Солвер вычисления переноса молекул

3.2. Солвер интеграла столкновений

3.3. Методика параллельных вычислений при численном решении уравнения Больцмана. Векторизация вычислений

3.4. Пре- и постобработка результатов моделирования. Средства визуализации

ГЛАВА 4. Моделирование и анализ задач кинетической теории газов

4.1. Классические задачи кинетической теории газов: 1ечение Куэгга, задача теплопроводности

4.2. Задача нахождения структуры ударной волны

4.3. Взаимодействие ударной волны с преградой

4.4. Структура ударной волны в смеси газов с сильно различающимися массами молекул

4.5. Моделирование устройств на основе эффекта теплового скольжения. Разделение смесей газов

Заключение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка многоточечных проекционных методов вычисления интеграла столкновений Больцмана и их алгоритмической и программной реализации»

Введение

Актуальность темы исследования. Разработка микроэлектромеханических систем, микронасосов, газовых разделителей на основе пористых мембран, а также задачи аэрокосмической области: обтекания газа в верхних слоях атмосферы и исследование физико-химических процессов во фронте ударной волны, - требуют кинетического подхода для описания газа. Основой такого описания является кинетическое уравнение Больцмана. Экспериментальное исследование упомянутых задач является сложной задачей, в связи с чем актуально построение прямых методов решения уравнения Больцмана и проведение численного моделирования течений разреженного газа.

Цели диссертации. Целями диссертации являлись развитие проекционного метода вычисления интеграла столкновений Больцмана, алгоритмической и программной реализации предложенных новых методов и их использование для анализа неравновесных течений однокомпонентного газа и смесей газов, в том числе, применительно к проблеме разделения газов.

Научная новизна. Разработаны многоточечные консервативные проекционные методы вычисления интеграла столкновений Больцмана для смесей газов, обобщенные на случай произвольного потенциала взаимодействия молекул. Построен метод вычисления интеграла столкновений Больцмана на неравномерной сетке в пространстве скоростей.

Проведены прецизионные расчеты структуры фронта ударной волны в однокомпоненгном газе и в смеси газов. Осуществлен анализ неравновесных течений смеси газов с большим отношением молекулярных масс. Выполнены моделирования смеси газов в устройствах, основанных на эффекте теплового скольжения. Показана возможность разделения смеси газов в устройствах такого типа. Проведено моделирование сильнонеравновесных течений и течений при числе Кнудсена > 1.

Теоретическая и практическая значимость работы. На основе построенных методов вычисления интеграла столкновений Больцмана разработан программный модуль для проблемно-моделирующей среды, предназначенной для анализа явлений в разреженном газе. Численные методы, техника моделирования и программная среда могут применяться при разработке микроэлектромсханических систем, газовых фильтров и разделителей

смесей, проектировании вакуумных систем, в аэрокосмической области и в задачах теплопереноса.

Методология и методы исследования. При работе над диссертацией использовалась методология математического моделирования, методы вычислительной математики, решения дифференциальных и интегральных уравнений, методы проектирования программных систем и методы кинетической теории газов.

Положения, выносимые на защиту, отражены в основных результатах и выводах диссертации, приведенных в конце текста диссертации.

Степень достоверности и апробация работы. Материалы диссертации опубликованы в 18 работах, из них 7 - статьи в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Личный вклад соискателя в работы с соавторами соответствует результатам диссертации, выиссснным на защиту.

Научные результаты были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных конференциях: Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях, Алушта, 2010, 2012, 2014; Международная конференция но Вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 2011, 2013; Nano-Tech Conference & Expo, Santa-Clara, 2012; 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Zaragoza, 2012; 13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering, Almeria, Spain, 2013; XXXVII Академические чтения по космонавтике, Москва, 2013.

В рамках работы были получены свидетельства на программы для ЭВМ [8], [9], [10].

ГЛАВА 1. Физические и математические основы динамики разреженного газа

В настоящей главе дано описание физических и математических понятий и методов, лежащих в основе динамики разреженного газа. Базисом описания является функция распределения молекул по скоростям, эволюционирующая согласно кинетическому уравнению Больцмана. Свойства каждого отдельного газа определяются взаимодействием молекул газа между собой и их взаимодействием со стенками. Рассматриваются уравнения Больцмана для смеси газов и обобщённое уравнение Больцмана для газа с внутренними степенями свободы.

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана. Функция распределения молекул по скоростям.

В параграфе изложены основы кинетической теории Больцмана. Дается определение функции распределения молекул газа по скоростям. Приводится качественный вывод кинетического уравнения Больцмана. Рассматриваются свойства уравнения Больцмана.

Существуют различные подходы для описания состояния газа. Газ можно рассматривать как совокупность отдельных молекул и исследовать их движение, используя классическую или квантовую механику - метод молекулярной динамики [11]. С другой стороны, можно использовать самый грубый метод описания газа - уравнения гидродинамики [12]. У каждого метода есть свои границы применимости. С одной стороны метод ограничен справедливостью решаемых уравнений, а с другой стороны необходимыми для его применения вычислительными ресурсами. Так например, при использовании огромных вычислительных ресурсов, рассчитывая движения 109 молекул, мы смоделируем газ при н.у. объемом всего лишь Ю-11 см 3. А уравнения гидродинамики неверно описывают течения в узких каналах, диаметр которых сравним со средней длиной свободного пробега (при н.у. « 10~5 см), необходимо использовать методы кинетической теории, которую далее мы рассмотрим более подробно [13], [14].

Рассмотрим пространство, заполненное множеством молекул, каждая из которых представляет собой классический точечный центр, окруженный силовым полем. Большую часть времени каждая молекула движется по прямой линии с постоянной скоростью. Только когда две молекулы значительно сближаются, они начинают взаимодействовать друг с другом. Этот процесс называется столкновением. Даже если изначально все молекулы имели одинаковые скорости, они не будут сохранять их с течением времени. В результате столкновений часть молекул будет приобретать большие скорости, а другие

меньшие, пока наконец распределение по скоростям не установиться таким, что не будет изменяться при дальнейших столкновениях. В этом конечном распределении возможны все значения скорости £ от нуля до бесконечности. И как следует из максвелловского распределения, число молекул, скорости которых лежат в скоростном объеме между ^ и ^ +

Рассмотрим процесс установления более подробно. Предположим, что в начальный момент времени Ь = 0 положение х и скорость I, каждой молекулы известно. Каковы будут положения и скорости молекул по прошествии времени Ясно, что если сила взаимодействия между молекулами и молекул со стенками сосуда известна, то задача является полностью определенной. Однако ис является разрешимой. Применим статистический подход к рассматриваемой задаче. Выберем малый элемент объема газа (1х, который все же содержит большое число молекул так, что его размеры велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами. Обозначим число молекул в объеме йх, имеющих скорости из в момент времени £ как Здесь функция

/(£,х, £) называется функцией распределения по скоростям.

Если задано значение функции распределения в начальный момент времени /(0, хД), необходимо определить состояние в момент времени £ -/(С,хД). Для этого как обычно найдем как изменится функция распределения по прошествии малого промежутка времени Помимо того, что функция распределения изменится из-за того, что газ из выбранной группы х, ^ переместится на функция распределения изменится из-за столкновения молекул. Рассмотрим столкновения молекул из с молекулами из Пусть IV -вероятность того, что при взаимодействии молекулы приобретут скорости из и Ясно, что, если скорости молекул распределены независимо, Д_ = йЪ,'г\vffi - число

уходящих из ^ молекул. Аналогично А + = ¿С / - число приходящих в ^

молекул. Разложив функцию распределения в момент времени £ + с^С по малому параметру (И и воспользовавшись свойством унитарности столкновений, получим

Полученное уравнение носит название - кинетическое уравнение Больцмана. Вероятность столкновения нетрудно выразить через сечение рассеяния, после чего уравнение приобретает вид

пропорционально е

(1.1.1)

+ ^ = / (ГЛ-ШяЬ (1.1.2)

Проинтегрируем интеграл столкновений с какой-либо весовой функцией ф(£) от скоростей

/Ф = | Ф«)/«) <*5 = $ d№ldt,'dt,'1ф(X)(w'rf'1-wfА).

он равен интегралу (всего лишь переобозначены переменные) Сложив получаем

/ф = I/ - ФООГЛ - </х).

Интеграл симметричен относительно ^ и поэтому

/ф1 = | Ф«1Ж?1) = /ф = ^^^^(Фг-ф'ОСи'ТА-^/Л).

И наконец, получаем

/ф = сВД^'^'ЛФ + Ф1 - Ф' - Ф^Ж/'Л - и>ш = СФ + Ф1 -Ф'-Ф'О/С?) dl

Именно из этого соотношения можно математически получить, что интеграл столкновений обладает консервативностью по веществу, импульсу и энергии. Действительно,

фtt)fdS = I Ф= / Фaжюdl; = ±f (Ф + Фг-Ф'-Ф'гЖЮ

Теперь, приняв за ф(5) = 1; получаем искомые соотношения й Г (1 Г (1С-

-]/<г5 = о,-]5/1(5 = о,-] = о.

1.2. Равновесное состояние газа. Макроскопические величины.

Параграф посвящен рассмотрению равновесного состояния газа, закона убывания Н-функции Больцмана, и описанию газа на основе макропараметров газа, вытекающее из кинетического уравнения.

При выводе уравнения Больцмана используется ряд важных предположений. Среди них явно нсмсханический (недетерминистический) характер носит гипотеза о молекулярном хаосе, посредством которой в кинетическую теорию вводится необратимость.

Действительно, состояние газа описывается уравнением Больцмана. Предположим, что в некоторый момент t мы останавливаем систему и пытаемся заставить се двигаться в обратном направлении путем изменения знака у скоростей всех молекул. Чтобы выяснить, к чему приведет такая операция, воспользуемся уравнением Больцмана, в котором следует совершить замену t = — t, ï, = — Ç, /(t, x,|) =/(—t, x, — Ç). Тогда / будет определяться уравнением

+ = / (1.2.1)

Сравнение (1.1.1) и (1.2.1) показывает, что уравнение Больцмана и его форма после обращения различаются между собой. Совершенно иное положение мы имеем в системе, подчиняющейся детерминистическим законам механики. В этом случае в любой момент времени эволюция обратима, т.е. при обращении времени система движется вспять но своей траектории.

Количественно факт необратимости выражен в Н-тсореме Больцмана. Рассмотрим Н-функцию Больцмана

H[f] = j f\n£ d$dx, (1.2.2)

которая является мерой для взятого с обратным знаком значения логарифма вероятности реализации этого состояния и обобщением понятия энтропии, используемого в равновесной статистической механике. Дифференцирование Н-функции по t дает (для простоты рассматривается пространственно-однородный случай)

dH Г df 1 Г , , , f'f\

Функция у — х\пх + 1 — х имеет минимум в точке х = 1, следовательно

dH

т. е. H является невозрастающей функцией времени. А равенство нулю производной достигается при

Inf + In/' = ln/i 4- ln/'i, следовательно 1п/ является сумматорным инвариантов столкновений молекул. Как известно из механики, любой сумматорный инвариант можно представить в виде

In/ = am + bm\ + cm%2, откуда и получается распределение Максвелла.

1.3. Взаимодействие газа с твердой поверхностью. Потенциалы взаимодействия молекул газа.

В параграфе рассматриваются существующие модели взаимодействие газа с твердой поверхностью и модели взаимодействия молекул газа между собой. Именно это определяет свойства газа. В том числе и свойства газа на макроуровне.

Наиболее распространенными моделями взаимодействия молекул газа с твердой стенкой, ограничивающей газ, являются условия диффузного отражения молекул

При этом возможна полная или частичная аккомодация. Часть молекул, отраженная диффузно, определяется коэффициентом аккомодации 0 < а < 1. а = 1 соответствует полному диффузному отражению, а = О — полному зеркальному отражению.

Существуют и другие модели взаимодействия молекул со стенками. Например:

• Модель Эпштейна [15]

• Модель Черчиньяни-Лапсиса [16]

Данные модели учитывают то, что отражение от поверхности молекулы, обладающей высокой скоростью, должно быть отличным от отражения молекулы, обладающей низкой скоростью, чего нет при диффузно-зеркальном отражении.

Рассмотрим столкновение двух молекул сортов iujc импульсами ра, Pß и массами m^ rrij [17]. Импульс молекулы j в системе центра инерции

Ра + Pß Pßm - Pamj

р = Pß - m,u = Pß - Ш/-= —--.

p 1 p 1 mi+rrij rrii + nij

Из сохранения энергии следует, что импульс молекулы j в системе центра инерции после

столновсния р' равен импульсу до столновения р повернутому на угол в и лежащему в той

же плоскости столкновения.

Угол отклонения в, являющийся функцией прицельного растояния b и модуля относительной скорости д, выражается так [ 17]

Уо

в(Ь,д) = тг — 2 [ йу =,

) (1.3.1)

ид2

о

"М

где у = Ъ/г, и* = Ц(Ь/г), ц = тгт(т^ + ту), а у0 минимальный корень подкоренного выражения. Наиболее общеупотребимыми являются следующие потенциалы межмолекулярного взаимодействия [6]

и (г) = г < а' — потенЦиал твердых сфер и (г) = ~~ степенной потенциал и (г) = Ае ) — ) | — потенциал Ленарда — Джонса

Для определения параметров потенциалов взаимодействия различных молекул используют так называемые комбинационные соотношения

0ц = 2 +

Чаще всего диаметры молекул и сгу отличаются незначительно, поэтому выражение для принимает вид

£и = а[Щ-

Если молекулы представляют собой твердые сферы, то интеграл (1.3.1) берется и получаем, что в = 2агс5т 2Ь .

al+Oj

После нахождения импульса молекулы у в системе центра инерции р', импульсы молекул / и у в абсолютной системе легко находятся

р'а = -р' + ти, Р'р =Р' + т)и-

1.4. Уравнение Больцмана для смеси газа. Обобщенное уравнение Больцмана.

В параграфе рассматриваются обобщения уравнения Больцмана. Излагаются особенности описания газа в случае, когда газ представляет собой смесь различных молекул. Во второй

половине параграфа затрагивается тема описания газа с внутренними степенями свободы, приводится обобщенное уравнение Больцмана.

Для описания смеси газов необходимо для каждой компоненты ввести свою функцию распределения /¡(t, хД), где i = l,...,N, а N - число сортов молекул. Кинетическое уравнение Больцмана принимает вид

at * ах

Так как изменение функции распределения молекул -го сорта обусловлено столкновениями как с молекулами того же сорта, так и с молекулами остальных сортов, поэтому ин reí рал столкновений записывается так

N

h = Yj J (f'lf'j ~ Ш9цЬ db de dtj. 1=0

Часто удобнее использовать уравнение Больцмана в импульсном представлении, которое записывается в виде

N

Tt+ Ш=I / -■м*«4'dbit-**>■

] = О

где относительная скорость дч выражается через импульсы так

Ра Р/?

9ц =---•

' ml rrij

Поведение двухатомною газа, молекулы которого обладают вращательными степенями свободы, на кинетическом уровне описывается обобщенным уравнением Больцмана [18]

дА dt

+ Г VA = Y [ - гмшо)a °ïjl{e,g-) d2n d3^-

J,к,I

Уравнение записано относительно функций распределения по скоростям /t(0 молекул газа, находящихся на /-ом квантовом вращательном уровне. Уравнение является расширением уравнения Wang Chang - Uhlenbeck'a на случай вырождения уровней, что и имеет место с вращательными степенями свободы при отсутствии магнитного поля. Наличие величины w^ = QkQi/Qi4j связанно именно с вырождением уровней, - число вырождения.

Впервые расширение кинетического уравнение Больцмана для описания газа, молекулы которого обладают внутренними степенями свободы, осуществили Ванг Чанг и Уленбек

[19]. В их подходе молекулы находящиеся в разных внутренних энергетических состояниях, считаются частицами разного сорта, и кинетическое уравнение строится на основе уравнения Больцмана для смеси газов. Однако классическое описание не применимо при изучении кинетики вырожденных внутренних уровней [20], [21], т.е. уравнение Ван Чанг-Уленбека, нолуклассичное по построению и структуре, при строгом рассмотрении не подходит для описания газа молекул с вращательными степенями свободы. Более общим является уравнение Вальдмана-Снайдера получаемое полностью в рамках квантовой механики [22], [23]. Но в большинстве важнейших задач динамики разряженного газа функция распределения зависит только от энергии уровня вращения (на классическом языке - имеется изотропное распределение векторов скоростей вращения молекул). В таком случае уравнение Вальдмана-Снайдера сводится [21], [22] к уравнению Ван Чанг-Уленбека со статистическими весами в интеграле столкновений и сечениями рассеяния, усредненными по вырожденным состояниям.

ГЛАВА 2. Консервативный проекционный метод вычисления интеграла

столкновений Больцмана

В этой главе представлен консервативный проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана. Приводятся ключевые моменты оригинального проекционного метода [24], [25]. Далее излагается проекционный метод для смсси газов при двухточечном проецировании. Основное внимание уделяется многоточечным проекционным методам, проводится анализ их эффективности. Представлены особенности и возможная оптимизация вычисления интеграла столкновений в случае наличия цилиндрической симметрии в пространстве скоростей (импульсов). Завершается глава построением консервативного проекционного метода в случае неравномерного шага в скоростном (импульсном) пространстве.

2.1. Численные методы решения уравнения Больцмана. Консервативный проекционный метод решения уравнения Больцмана.

На сегодняшний день известны следующие методы численного решения уравнения Больцмана:

• решение модельных уравнений [26], в которых сложный интеграл столкновений заменяется более простыми релаксационными формами. Однако, в силу данной замены достоверность получаемых результаюв остается неизвестной.

• методы статистического моделирования [27], [28], [29].

• прямой метод вычисления, основанный на разложении функции распределения на полиномы Леггера. Данный метод хорошо себя показал на задачах структуры ударной волны [30], [31] и задаче переноса тепла [32]. Но в связи с тем, что метод не обладает консервативностью, применимость метода к другим задачам является сильно ограниченной.

• методы дискретных скоростей, в которых рассматриваются столкновения лишь разрешимые скоростной сеткой. Методы позволяют получать результаты не подверженные влиянию статистических шумов, как это происходит при счете меюдом статистического моделирования. Также в работе [33] доказано, что решение, полученное данным методом, при увеличении дискретизации сходится к точному решению уравнения Больцмана, но сходимость является достаточно слабой, что приводит к необходимости использования больших вычислительных ресурсов для получения надёжных результатов.

♦ спектральные методы. Основные подходы представлены в работах [34] и [35]. В работе [36] дана попытка решить проблему консервативности спектральных методов. В ранних работах рассмотрены только пространственно однородные задачи, но в последние годы метод был применен и к одномерным в физическом пространстве задачам [37].

• проекционный метод, разработанный Черемисиным [38]. Метод является консервативным методом дискретных ординат, обеспечивающим точное равенство нулю интеграла столкновений от максвелловской функции распределения. Благодаря этому метод успешно применяется как к задачам сверхзвуковых течений [24], так и к задачам течений, слабо отличающихся от равновесных [39].

Именно консервативному проекционному методу посвящена данная работа.Далее в данном параграфе приводятся основные моменты оригинального консервативного метода решения уравнения Больцмана. Описывается применяемая схема расщепления уравнения Больцмана и схема аппроксимации уравнения адвекции.

Первой проблемой, с которой можно столкнуться при попытке решения уравнения Больцмана, является наличие двух различных по природе частей: "уравнения" адвекции и интехрала столкновений. Чаще всего, в связи со сложностью, схемы, разработанные отдельно для каждой из частей, объединяются, и полученная полная схема применяется для решения уравнения Больцмана.

Рассмотрим простую схему расщепления первого порядка точности. Пусть функция распределения /0 известна в момент времени £0, необходимо получить ф. р. в момент времени Ь0 + которая равна Тогда, первый шаг - решить уравнение переноса, т.е. получить / = Сд,(/о), удовлетворяющее следующему

Второй шаг - вычислшь действие оператора на /, т. е. = 7дс(/),

% = Ш /и0,хД)=/(хД).

Общая схема решения есть = ^(СД£(/0)). Оператор однородной релаксации дейсшует только на пространстве % при заданном х, оператор переноса наоборот действует на пространстве х при заданном

Нетрудно может быть построена более предпочтительная схема [40], [41], обладающая вторым порядком точности:

/дс — ^At/2 (сAt (^it/2 (/от-

важным свойством данных схем расщепления является то, что они сохраняют свойства консервативности и положительности ф. р. при наличии этих свойств у С^ и Т^.

Построение схем расщепления высокого порядка точности для кинетических уравнений рассмотрено, например, в [42].

Метод расщепления позволяет свести решению уравнения однородной релаксации (было показано выше) и уравнения переноса:

dj_ dt

+ 5 ■ V/ = о

Простейшая схема аппроксимации уравнения адвекции на прямоугольной сетке

fi+1 + fj fJ - f) Ji ~ h tJi h-1 _ Q

т h

Это явная схема первого порядка аппроксимации устойчивая при

< 1. Схема является

монотонной и консервативной, но обладает низким порядком аппроксимации.

Задача построить линейные схемы высшего порядка аппроксимации является не разрешимой.

Для совмещения монотонности с аппроксимацией второго порядка используются схемы, именуемые TVD (Total Variation Diminishing) [43], для которых не убывает так называемая полная вариация:

+ 00

TV(fJ+1) < тv(p), TV(n = Y \fi - Л-il

Разностная схема:

W + l f) fJ +1.2 _ fj+1/2

Jl +Л . rh + l/2 J1-1/2 т * h

1 -у

= 0

/¿+i/z = ft +Жг ~ /Л

l+2

о] - ^ ~

и. 1 - 7-7

1+2 п+1 - П

Величина 1) называется ограничителем. Простейший ограничитель ппптос! равен 1 + 2

ф(0) = шах(0, гшп(1, в)).

При анализе сложных устройств часто расчетная область не может быть заполнена прямоугольной сеткой. В таких случаях применяются неструктурированные сетки. Построение в расчетной области неструктурированной сетки является отдельной задачей вычислительной математики.

На неструктурированной сетке уравнение переноса аппроксимируется следующим образом:

, у _п

г у1 Пк~

где суммирование ведется по всем тетраэдрам граничащим с ¿-м тетраэдром. 5к -направляющий вектор площади ¿/¡.-ой грани.

Значения /'¿к - определяются в зависимости от порядка схемы.

Для схемы первого порядка они равны:

Пк Iпк>

Построение схем более высокого порядка дано, например, в работах Титарева [44], [45]. Перейдем к рассмотрению аппроксимация для уравнения однородной релаксации:

% = \ И\Г - кПдЪйЬйей^.

В скоростном пространстве выбирается область П объема V, в которой строится сетка из равноотстоящих скоростных узлов 2 = у = 1 ...ЛЛ В качестве области в большинстве задач можно выбирать шар такого радиуса, что функция распределения вне шара пренебрежимо мала.

На построенной сетке функция распределения и интеграл столкновений представляются в базисе 5-функций в виде

N N

у=1 у=1

Дальнейшая задача - получить дискретные значения интеграла столкновений, удовлетворяющие следующим свойствам:

= £у=1 < 0.

Т. с. построить консервативный проекционный метод [24].

Свойство симметрии позволяет преобразовать интеграл столкновений к виду:

]у=\\ - кПдЬМйеРЬ,

где <рЪу) = 8(\ - + 8(Ъ - Ъу) - 5(%' - - -

Для вычисления симметризованного интеграла столкновений используется равномерная кубатурная сетка Коробова [46] из узлов в пространстве ,Ъ,ру, Ьу, V = 1 ...Л^, узлы \ау> Ъру совпадают с узлами скоростной сетки. Скорости после столкновения определяются по углу рассеяния в, который зависит от потенциала взаимодействия молекул |г — г^).

Как показывают исследования, большая точность определения утла рассеяния, особенно при малых отклонениях, достигается непосредственным численным интегрированием уравнения движения

гаг2 йгт' 1 \ъ )' '=0 \о)'

где Ътах - радиус обрезания потенциала взаимодействия.

Поскольку скорости после столкновения не попадают в узлы сетки, две последних -

функции в проекторе заменяются па комбинацию проекторов в две пары ближайших, соответственно, к % и ^ узлов ^а^) и гДе 5 - трехмерный вектор

смещения в соседний узел сетки, компоненты которого могут принимать значения равные 0, 1,-1

- = (1 - - Цу) + -

3(Кг ~ Ъу) = (1 - - + -

Такая замена означает, что вклады в интеграл столкновений в не узловые точки и распределяются между парами ближайших сеточных узлов. Коэффициент г находится из условия сохранения энергии: Й + £| = (1 - г)(£я + Ф + +

Законы сохранения массы и импульса на равномерной сетке выполняются автоматически. Формула для вычисления интеграла столкновений приобретает вид:

/у = В + 5у,Ру) + (1 - Ъ)(3гЛпи + + гЛ8уЛ*+з + V

где 8а§р = ф д - символ Кронекера, Ду = (Л/' -

Для вычисления /'1/' могут быть использованы различные виды интерполяции, однако, наиболее предпочтительной является степенная интерполяция:

Л Г = (/Л/м)1"Г(/Л+5/д-5)Г-

Данная интерполяция обеспечивает выполнение Н-теоремы Больцмана в численном виде:

+ 1о8/у./0 + С1 - + + гУО°Е/у.лу+5 + X

х ((Д/м)1_Г(/я+5^-5)Г - = - 1о8у)(х - у),

где X = у = (/а/д)1

Для интегрирования уравнения релаксации используется схема, имеющая правильную асимптотику при С оо. Запишем уравнение в интегральном виде и введем промежуточные значения времени ^ = t0 + XV/Ыг и промежуточные значения [г,у, где /У'у|у=0, ~

функции распределения в моменты времени £0 и £о + соответственно. Тогда

, N л

С* о+т Г^+Ы/Ы! *

^у,^ = /У,0 + 7У = ^у.о + \ ¡уси _ /У,0 + т \

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Додулад, Олег Игоревич, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Чсрсмисин Ф.Г., Шувалов. П.В. Моделирование распространения ударной волны в микроканале на основе решения уравнения Больцмана. // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, № 6. - С. 99-110.

2. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Рогозин O.A., Рябченков В.В., Шувалов П.В., Чсремисин Ф.Г. Проблемно-моделирующая среда для расчетов и анализа газокинстических процессов // Нано- и микросистемная техника. - 2011, № 2. - С. 1217.

3. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Рябченков В.В. Система программных модулей для вычисления интеграла столкновений Больцмана // Вычислительные методы и программирование. - 2011. - Т. 12. - С. 40-47.

4. Anikin Y.A., Dodulad O.I., Kloss Y.Y., Martynov D.V., Shuvalov P.V., and Tcheremissinc F.G. Development of applied software for analysis of gas flows in vacuum devices // Vacuum. - 2012. - V. 86, N. 11. - P. 1770-1777.

5. Додулад О.И., Черемисин Ф.Г. Расчеты структуры ударной волны в одноатомном газе с контролем точности//ЖВМ и МФ. -2013. -V. 53, N. 6. - Р. 169-187.

6. Аникин Ю.А., Додулад О.И. Решение кинетического уравнения для двухатомного газа с использованием дифференциальных сечений рассеяния, рассчитанных методом классических траекторий // ЖВМ и МФ. - 2013. - V. 53, N. 7. - Р. 1193-1211.

7. Dodulad O.I., Kloss Y.Y., Savichkin D.O., and Tcheremissine F.G. Knudscn Pumps Modeling with Lennard-Jones and ab initio intcrmolecular potentials // Vacuum. - 2014. -V. 109. - P. 360-367.

8. Свидетельство 2012616146 (RU). Программный солвер вычисления интеграла столкновений для смеси газов на основе проекционного метода : программа для ЭВМ / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., and Додулад О.И.; правообладатели ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет), ФГБУ НИЦ Курчатовский институт, № 2012616146, заявл. 15.05.12; опубл. 05.07.12.

9. Свидетельство 2011614291 (RU). Программа для вычисления интеграла столкновений Больцмана : программа для ЭВМ / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.П., Рябченков В.В.; правообладатели ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет), ФГБУ ПИЦ Курчатовский институт, № 2011614291, заявл. 07.04.11; опубл. 31.05.11.

10. Свидетельство 2012616560 (RU). Проблемно-моделирующая среда MHSF для моделирования и анализа газокинетических процессов в микро- и наноструктурах : программа для ЭВМ / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И., Мартынов Д.В.,

Иванова И.Д.; правообладатели ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет), ФГБУ НИЦ Курчатовский институт, заявл. 22.05.12; опубл. 20.07.12.

11. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Studies in Molecular Dynamics. I. General Method // J. Chem. Phys. - 1959. - V. 31, N. 2. - P. 459.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика, Том 6, Гидродинамика. - M.: ФизМатЛит, 2001. - 490 с.

13. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. - М.: Наука, 1967. - 560 с.

14. Ferziger II.J., Kaper G.H. Mathematical Theory of Transport Processes in Gases. -Amsterdam: North-Holland, 1972. - 487 p.

15. Epstein M. A model of the wall boundary condition in kinetic theory // J. AIAA. - 1967. -V. 5, N. 10.-P. 797-1800.

16. Cercignani C., Lampis M. Kinetic model for gas-surface interaction // Transp. J. Theory and Stat. Phys. - 1971. - V. 1. - P. 101-114.

17. Гиршфельд Д., Кершсс Ч., Берд. Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. - М.: Издательство Иностранной Литературы, 1961. - 976 с.

18. Tcheremissinc F.G. Method for solving the Boltzmann kinetic equation for polyatomic gases // Сотр. Math, and Math. Phys. - 2012. - V. 52, N. 2. - P. 252-268.

19. Wang Chang C.S., Uhlenbeck G.E. Transport phenomena in polyatomic gases. // University of Michigan Research Report N CM. - 1951. - P. 681.

20. Ферцигер Д., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. - М.: Мир, 1976.-496 с.

21. Богданов А.В., Дубровский Г.В., Осипов А.И., Стрельченя В.М. Вращательная релаксация в газах и плазме. - М.: Энергоатомиздат, 1991.

22. Snider R.F. Quantum-Mechanical Modified Boltzmann Equation for Degenerate Internal States//J. Chem. Phys. - 1960. -V. 32. - P. 1051.

23. Thomas M.W., Snider R.F. Boltzmann Equation and Angular Momentum Conservation // Journal of Statistical Physics. - 1970. - V. 2, N. 1. - P. 1-5.

24. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана для высокоскоростных течений // ЖВМ и МФ. - 2006. - Т. 46, № 2. - С. 329-343.

25. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных движений газа // ЖВМ и МФ. - 1970. - Т. 10, № 3. - С. 654-665.

26. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., and Krook M.A. Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems // Physical Review Online Archive. - 1954. - V. 94, N. 3. - P. 511-525.

27. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. 2nd ed. -Oxford: Oxford University Press, 1994. - 506 p.

28. Nanbu K. Direct Simulation Scheme Derived from the Boltzmann Equation. I. Monocomponent Gases // Journal of the Physical Society of Japan. - 1980. - V. 49, N. 5. -P. 2042-2049.

29. Koura K. Monte Carlo direct simulation of rotational relaxation of diatomic molecules using classical trajectory calculations: Nitrogen shock wave // Phys. Fluids. - 1997. - V. 9, N. 3543. - P. 1-14.

30. Ohwada T. Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. - 1993. - V. 5, N. 1. - P. 217-234.

31. Kosuge S., Aoki K., and Takata S. Shock-wave structure for a binary gas mixture: finite-differencc analysis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules // European Journal of Mechanics, B/Fluids. - 2001. - V. 20, N. 1. - P. 87-126.

32. Ohwada T. Heat flow and temperature and density distributions in a rarefied gas between parallel plates with different temperatures. Finite-difference analysis of the nonlinear Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Phys. Fluids. - 1996. - V. 8. - P. 2153.

33. Palczewski A., Schneider J., and Bobylev A.V. A Consistency Result for a Discrete-Velocity Model of the Boltzmann Equation // SIAM J. Numer. Anal.. - 1997. - V. 34, N. 5. -P. 1865-1883.

34. Ibragimov I., Rjasanow S. Numerical solution of the Boltzmann equation on the uniform grid. // Computing. - 2002. - V. 69, N. 2. - P. 163-186.

35. Mouhot C., Pareschi L. Fast algorithms for computing the Boltzmann collision operator // Math, of Сотр. - 2006. - V. 75. - P. 1833-1852.

36. Gamba I.M., Tharkabhushanam S.H. Spectral-Lagrangian methods for collisional models of non-equilibrium statistical states //J. Comput. Phys.. - 2009. - V. 228, N. 6. - P. 20122036.

37. Gamba I.M., Tharkabhushanam S.H. Shock and Boundary Structure Formation by Spectral-Lagrangian Methods for the Inhomogeneous Boltzmann Transport Equation // J. of Comput. Math. - 2010. - P. 230-246.

38. Chcrcmisin F.G. Conservative method of calculating the Boltzmann collision integral // Physics - Doklady. - 1997. - V. 42. - P. 607-610.

39. Cheremisin F.G. Solving the Boltzmann equation in the case of passing to the hydrodynamic flow regime // Doklady Physics. - 2000. - V. 45, N. 8. - P. 401^04.

40. Аристов B.B., Черемисии Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана// Доклады АН СССР. - 1976. - Т. 231, № 1. - С. 4952.

41. Strang G. On the Construction and Comparison of Difference Schemes // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1968. - V. 5. - P. 506--517.

42. Ohwada T. Higher Order Approximation Methods for the Boltzmann Equation // Journal of Computational Physics. - 1998. - V. 139, N. 1. - P. 1 — 14.

43. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // Journal of Computational Physics. - 1997. - V. 135, N. 2. - P. 260--278.

44. Titarev. Efficient Deterministic Modelling of Three-Dimensional Rarefied Gas Flows // Communications in Computational Physics. - 2012.

45. Titarev V.A. Numerical method for computing two-dimensional unsteady rarefied gas flows in arbitrarily shaped domains // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2009. - V. 49, N. 7. - P. 1197-1211.

46. Коробов H.M. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. - М.: Физматгиз, 1963. - 260 с.

47. Bazhcnov T.I., Dodulad O.I., Ivanova T.D., Kloss Y.Y., Rjabchcnkov V.V., Shuvalov P.V., and Tchcremissine F.G. Problem Solving Environment for Gas Flow Simulation in Micro Structures on the Base of the Boltzmann Equation. CMMSE 2013 // Proceedings of the 13th International Conference on Mathematical Methods in Science and Engineering. -Almeria, Spain, 2013. - P. 246-257.

48. Josyula E., Vedula P., and Bailey W.F. Kinetic Solution of Shock Structure in a Non-Reactive Gas Mixture // 48th AIAA Aerospace Sciences Meeting. - 2010. - P. 230-238.

49. Raines A. A. Numerical Solution Of One-Dimensional Problems In Binary Gas Mixture On The Basis Of The Boltzmann Equation // AIP Conference Proceedings. - 2003. - V. 663, N. l.-P. 67-76.

50. Morris A.B., Varghese P.L., and Goldstein D.B. Monte Carlo solution of the Boltzmann equation via a discrete velocity model // J. of Сотр. Phys. - 2011. - V. 230. - P. 12651280.

51. Raines A. A., Tchercmissine F.G. Structure of Shock Waves High Temperature Phenomena in Shock Waves. In Brun, Raymond, editors, High Temperature Phenomena in Shock Waves in Shock Wave Science and Technology Reference Library. - V. 7. - Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2012. - 231-269 p.

52. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Расчеты структуры ударной волны в смеси газов на основе решения уравнения Больцмана // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. -2013. - Т. 14, № 1. - С. 1-18.

53. Dodulad O.I., Tcheremissine F.G. Multipoint conservative projection method for computing the Boltzmann collision integral for gas mixtures // In: 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. AIP Conf. Proc. - 2012. - V. 1501. - P. 302-309.

54. Clarke P., Varghese P., Goldstein D., Morris A., and al. P.B.E. A novel discrete velocity method for solving the Boltzmann equation including internal energy and non-uniform grids in velocity space. - In: Proceedings of the 28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics // AIP Conf. Proc. - 2012. - V. 1501. - P. 373-380.

55. Baker L.L., Hadjiconstantinou N.G. Variance Reduction for Monte Carlo Solutions of the Boltzmann Equation // Physics of Fluids. - 2005. - V. 17, N. 051703. - P. 1-4.

56. Heintz A., Kowalczyk P., and Grzhibovskis. R. Fast numerical method for the Boltzmann equation on non-uniform grids // J. of Сотр. Phys.. - 2008. - V. 227. - P. 6681-6695.

57. Khokhlov N.I., Kloss Y.Y., Shurygin B.A., and Tcheremissine F.G. Simulation of the Temperature Driven Micro Pump by Solving the Boltzmann Kinetic Equation. // In: Proceedings of the 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. AIP Conf. Proc. - 2008. - V. 1084. - P. 1039-1044.

58. Anikin Y.A., Derbakova E.P., Dodulad O.I., Kloss Y.Y., Martynov D.V., Rogozin O.A., Shuvalov P.V., and Tcheremissine F.G. Computing of gas flows in micro- and nano-scale channels on the base of the Boltzmann Kinetic equatio // Procedia Computer Science, ICCS. - 2010. - V. 1, N. 1. - P. 735-744.

59. Tcheremissine F.G. Two levels kinetic model for rotational-translational transfers in a rarefied gas // Физико-химическая кинетика в газовой кинетике. - 2007. - V. 10. - Р. 115.

60. Ivanov M.S. SMILE System for 2D/3D DSMC Computations // Proc. of 25th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - 2006. - P. 21-28.

61. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., Zabclok S.A., and Tchcremissine F.G. Unified Solver for Rarefied and Continuum Flows in Multi Component Gas Mixtures // Internal Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Melville, N.Y. - 2005.

62. GMSH. [HTML] http://geuz.org/gmsh/.

63. Делоне Б.Н. О пустом шаре // Известия АН СССР. - 1934. - Т. 6. - С. 793-800.

64. Клосс Ю.Ю., Хохлов Н.И., Черемисин Ф.Г., Шурыгин Б.А. Разработка численных схем решения кинетического уравнения в кластерных средах на основе технологии MPI. // Информационные процессы. - 2007. - Т. 7, № 4. - С. 425-431.

65. Girkar М. Intel Instruction Set Architecture Extensions // Intel® Developer Zone [HTML] softwarc.intel.com.

66. Whitaker J. The Matplotlib Basemap Toolkit User's Guide // Matplotlib Basemap Toolkit documentation.

67. Sharipov F., M. L., Cuminb G., and Kalempa D. Physica A // Heat flux between parallel plates through a binary gaseous mixture over the whole range of the Knudsen number. -2007. -V. 378. - P. 183-193.

68. Siewert C.E. Heat transfer and evaporation/condensation problems based on the linearized Boltzmann equation // European Journal of Mechanics B/Fluids. - 2003. - V. 22. - P. 391 — 408.

69. Teagan W.P., Springer G.S. Heat-transfer and density-distribution measurements between parallel plates in the transition regime // Phys. Fluids. - 1968. - V. 11. - P. 497-501.

70. Sharipov F., Strapasson J..L. Benchmark problems for mixtures of rarefied gases. I. Couette Flow // Physics of Fluids. - 2013. - V. 25. - P. 027101.

71. Cybulski S.M., Toczylowski R.R. Ground state potential energy curves for He2 , Ne2 , Ar2 , He-Ne, He-Ar, and Ne-Ar: A coupled-cluster study // The Journal of Chemical Physics.

- 1999. -V. Ill, N. 10520.

72. Sharipov F., Strapasson J.L. Ab initio simulation of transport phenomena in rarefied gases //Physical Review E. -2012. -V. 86. - P. 031130.

73. Sharipov F., Bertoldo G. Numerical solution of the linearized Boltzmann equation for an arbitrary intcrmolecular potential // Journal of Computational Physics. - 2009. - V. 228. -P. 3345-3357.

74. Alsmeyer II. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam// J. Fluid. Mech. - 1976. - V. 74. - P. 497-513.

75. Garen W., Synofzik R., and Frohn A. Shock tube for generation of weak shock waves // AIAA-Journal. - 1974. - V. 12. - P. 1132-1134.

76. Hicks B.L., Yen S.M., and Reilly B.J. The internal structures of shock waves // J. Fluid Mcch. - 1972. - V. 53, N. 1. - P. 85-111.

77. Hicks B.L., Yen S.M. Solution of the non-linear Boltzmann equation for plane shock waves // in: Rarefied Gas Dynamics, L. Trilling and H.Y. Wachman, eds., Academic, New York. - 1969. - V. 313, N. 1. - P. 137-143.

78. Yen S.M., Ng W. Shock wave structure and intcrmolecular collision laws // J. Fluid Mech..

- 1974. - V. 65, N. 1. - P. 127-144.

79. Аристов B.B., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенциалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механика Жидкости и Газа. - 1982. - Т. 6. - С. 179-183.

80. Tchercmissine F.G. Solution of Boltzmann equation for arbitrary molecular potentials // Proc. 21-th Intern. Symp. on RGD, Cepadues Editions. - 1999. - V. 2. - P. 165-176.

81. Cercignani C., Frezzotti A., and Grosfils P. The structure of infinitely strong shock wave // Phys. Fluids. - 1999. - V. 11, N. 9. - P. 2757-2764.

82. Takata S., Aoki K., and Cercignani C. The velocity distribution function in an infinitely strong shock wave // / Phys. Fluids. - 2000. - V. 12, N. 8. - P. 2116-2127.

83. Ларина И.Н., Рыков В.А. Нелинейно-неравновесная кинетическая модель уравнения Больцмана для одпоатомного газа // ЖВМ и МФ. - 2011. - Т. 51, № 11. - С. 20842095.

84. Аникин Ю.А. О точности проекционного счета интеграла столкновений // Ж. вычисл. матсм. и матем. физ. - 2012. - Т. 524. - С. 697-719.

85. Mirshecari G., Brouillette. М. Experimental study of the shock propagation in micro-scale cannel // Book of proceedings of 27-th International Symposium on Shock Waves. - 2009.

- P. 260.

86. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Падение ударной волны на плоскую преграду, содержащую микрощели. Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2010. - Т. 10. - С. 1-18.

87. Зельдович Я.Б., Райзер. Ю.П. Физика ударных волн и высотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1966.

88. Великодный В.Ю., Емельянов А.В., Еремин. А.В. Неадиабатичеекое возбуждение молекул йода в зоне поступательной неравновесности ударной волны // ЖТФ. - 1999. -Т. 69, № 10.-С. 23-33.

89. Емельянов А.В., Ефремов В.П., Зиборов B.C., Фортов В.Е., Шумова В.В. Ионизации во фронте слабой ударной волны с малой примесью гсксакарбонила молибдена // Физико - химическая кинетика в газовой динамике. - 2007. - Т. 5.

90. Козлов П.В., Лосев С.А., Романенко Ю.В. Поступательная нсравновесность во фронте ударной волны в смеси аргона и гелия // Письма в ЖТФ. - 2000. - Т. 26, № 22.

- С. 69-75.

91. Великодный В.Ю., Качармин B.C. Структура ударных волн в трехкомпонентных газовых смесях // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2010. - Т. 10.

92. Куликов С.В. Моделирование ускорения газовых химических реакций во фронте ударной волны // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - Т. 5, № 177-185.

93. Куликов С.В. Эволюция хвостов распределений скоростей для газовых смесей во фронте ударной волны и влияние неравновссности на реакцию Н2 с 02 // Матем. модсл. - 1999.-Т. 11, № 3. - С. 96-104.

94. Емельянов А.В., Ерёмин А.В., Куликов С.В. Моделирование фронта ударной волны в смеси 12-Не на молекулярном уровне // Материалы XI Международной конференции но неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012). Алушта. -М.: Изд-во МАИ, 2012.

95. Qian G., Agarwal R.K., and Wilson C.D. Computation of Shock Waves in Inert Binary Diatomic Gas Mixtures in Non-equilibrium Using the Generalized Boltzmann Equation // In 3rd AIAA Thermophysics Conference. - 2012. - P. 1-7.

96. Harnett M. Experimental investigations of normal shock wave velocity distribution functions in mixture of argon and helium // Phys. Of Fluids. - 1972. - V. 12, N. 4. - P. 565572.

97. Gmurczyk A.S., Tarczynski M., and Walenta Z.A. Shock wave structure in the binary mixtures of gases with disparate molecular masses // In: 11th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - 1978. - V. 1. - P. 333-341.

98. Schmidt В., Womer. M. Problems with the Computation of the Shock Structure in Binary Gas Mixtures Using the Direct Simulation Monte Carlo Method // Acta Mechanica. - 1983.

- V. 46. - P. 49-55.

99. Куликов C.B., Соловьева M.E. Об эффективности статистического моделирования ударной волны в газовой смеси // Ж. В. М. и М. Ф. - 1988. - Т. 28, № 12. - С. 18671873.

:í26j П

100. Chung С., Wittt K.J.D., Jeng D., and Penko. P.F. Internal Structure of Shock Waves in Disparate Mass Mixture // J. Thermophysic. - 1993. - V. 7, N. 4. - P. 742-744.

101. Vargo S.E., Muntz E.P., Shiflett G.R., and Tang W.C. Knudsen compressor as a micro-and macroscale vacuum pump without moving parts or fluids // J. Vac. Sci. Tcchnol. A. -1999. -V. 17. - P. 2308.

102. Han Y.L., Muntz E.P., Alexeenko A., and Young M. Experimental and Computational Studies of Temperature Gradient Driven Molecular Transport in Gas Flows through Nano/Micro-scale Channels // Nanoscale and Microscale Thcrmophysical Engineering. -2007. -V. 11, N. 1. - P. 151-175.

103. Takata S., Umctsu H. Numerical study on effective configurations of the Knudsen pump for separation and compression // AIP Conference Proceedings. - 2011. - V. 1333, N. 1. -P.998-1003.

104. Takata S., Sugimoto H., and Kosugc S. Gas separation by means of the Knudsen compressor// European Journal of Mechanics - B/Fluids. - 2007. - V. 26, N. 2. - P. 155181.

105. Sugimoto H., Shinotou A. Gas separator with the thermal transpiration in a rarefied gas // AIP Conference Proceedings. - 2011. - V. 1333, N. 1. - P. 784-789.

106. Sugimoto H. Gas separation effect of the pump driven by the thermal edge flow // 25 th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. - 2006. - P. 1-6.

107. Аникии Ю.А., Kjiocc Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Компьютерное моделирование и анализ эксперимента Кнудсена 1910 года // Нано- и микросистемная техника. - 2010. - Т. 8. - С. 6-14.

108. Anikin Y.A., Dodulad O.I., Kloss Y.Y., Martynov D.V., Shuvalov P.V., and Tchercmissine F.G. Numerical modeling of Knudsen's thermal creep experiment // J. of Phys.: Conf. S. - 2012. - V. 362, N. 1. - P. 012037.

109. Aoki K., Degond P., and Mieusscns L. Numerical simulations of rarefied gases in curved channels: Thermal creep, circulating flow, and pumping effect // J. Comput. Phys. - 2009. -V. 6.-P. 919-954.