Разработка методов обработки оптических спектров с использованием вейвлет-анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Горошко, Марина Александровна

• Горошко, Марина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горошко, Марина Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение

Глава 1. Краткий обзор методов диагностики материалов

и методов предварительной обработки спектральных данных

1.1. Методы диагностики материалов. Спектроскопия

1.2. Методы предварительной обработки спектральных данных

1.2.1. Поиск и идентификация пиков

1.2.2. Коррекция на фоновую составляющую

1.2.3. Разделение наложенных линий

1.2.4. Некоторые алгоритмы обработки конкретных

видов спектров

1.2.5. Предварительная фильтрация спектральных данных

Глава 2. Основные теоретические положения вейвлет-

преобразования

2.1. Вейвлет-анализ: основные понятия

2.2. Избыточное вейвлет-преобразование

2.3. Вейвлеты второго поколения. Лифтинг-схема

Глава 3. Особенности практической реализации фильтрации

с использованием вейвлетов

3.1. Фильтрация с использованием вейвлетов

3.2. Базовые фильтры на основе вейвлет-преобразования

3.3. Особенности компьютерной реализации алгоритмов предварительной фильтрации спектров на основе вейвлетов

3.4. Аналитическое обоснование выбора параметров

фильтрации

Стр.

Глава 4. Использование вейвлет-преобразований различного вида

для обработки оптических спектров

4.1. Применение избыточного вейвлет-преобразования

4.1.1. Фильтрация высокочастотного аддитивного

зашу мления

4.1.2. Контроль интенсивности зашумления

4.2. Использование вейвлет-преобразования для сжатия спектральных данных

4.3. Обработка спектров катодолюминесценции

полупроводников

Основные результаты и выводы

Литература

Приложение

Список сокращений и обозначений

ПЭМ - просвечивающая электронная микроскопия

РЭДС - рентгеновский энергодисперсионный спектрометр

ЭОС - электронная Оже-спектроскопия

ВИМС - вторичная ионная масс-спектроскопия

БСОМ - ближнепольная сканирующая оптическая микроскопия

РЭМ - растровый электронный микроскоп

КЛ - катодолюминесценция

ФЛ - фотолюминесценция

ИФЭ - ионно-фотонная эмиссия

МНК - метод наименьших квадратов

БПФ - быстрое преобразование Фурье

ДПФ - дискретное преобразование Фурье

ОДПФ - обратное дискретное преобразование Фурье

НВП - непрерывное вейвлет-преобразование

ККФ - кусочно-кубические функции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов обработки оптических спектров с использованием вейвлет-анализа»

Введение

Для современного этапа развития высоких технологий и наукоемкого производства характерно использование микроструктур, что требует наличия точной информации о свойствах применяемых материалов. Одним из методов диагностики, позволяющих получить данные об элементном и химическом составе, параметрах кристаллической и электронной структуры, типе, концентрации и локализации дефектов и других параметрах и характеристиках полупроводниковых материалов, является спектроскопия.

К основным задачам спектроскопического исследования относится решение обратных задач, т.е. задач определения характеристик вещества, не являющихся непосредственно наблюдаемыми величинами, по свойствам его спектров, которые наблюдаются непосредственно. Анализ спектров позволяет решать различные задачи в зависимости от физической природы сигнала: от идентификации химических элементов в составе вещества до структуры дефектов кристаллической решетки. При этом спектры напрямую зависят как от определяемых характеристик, так и от внешних факторов. Постоянное совершенствование оборудования, применяемого для спектроскопии, не только дает новые возможности для изучения строения объекта, его состояния, о происходящих в нем процессах, но и усложняет задачи обработки и дальнейшего анализа спектральных зависимостей. Поэтому применение современных методов анализа данных в спектроскопии становится всё более актуальным. Все чаще происходит обращение к математическим аппаратам и моделям, зарекомендовавшим себя в других областях. Например, одним из таких новых подходов является применение искусственных нейронных сетей (ИНС) [1] или использование методов хемометрики [2].

Существующие методы обработки спектров условно можно разделить на две группы: универсальные методы, не учитывающие физические процессы, и методы, предназначенные для обработки спектров конкретного

вида и природы. В отличие от классических задач фильтрации, когда получение незашумленного сглаженного сигнала является конечной целью, при обработке спектров это можно считать начальной процедурой, предваряющей основные этапы обработки. Например, предварительная фильтрация сигнала необходима в методах идентификации и разделения наложенных пиков, использующих численное дифференцирование измерений. Но особенности спектральных данных таковы, что многие существующие методы фильтрации не позволяют одновременно эффективно подавить шумовые составляющие и сохранить структуру спектра. Как правило, задача решается при обработке конкретных спектров с учетом условий проведения эксперимента, известных источников зашумления и другой информации. Другим подходом является привлечение сложных математических аппаратов и статистических методов.

Вейвлет-анализ находит широкое применение во многих приложениях цифровой обработки сигналов, поскольку использование вейвлетов позволяет проводить обработку одномерных и многомерных сигналов различного вида без повышения уровня сложности алгоритмов. Существуют эффективные методы, использующие классическое вейвлет-преобразование при обработке спектральных данных в некоторых частных случаях. Поэтому исследование возможности обработки оптических спектров с помощью вейвлет-преобразований является актуальным.

Целью диссертационной работы является разработка методов предварительной обработки оптических спектров, в частности, спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:

1. Изучение основных особенностей различных видов вейвлет-преобразований и выбор наиболее эффективных систем вейвлетов. Выявление зависимости вейвлет-коэффициентов от свойств полезного сигнала и зашумлений для выбранных видов вейвлет-преобразований.

2. Разработка способов решения следующих задач обработки спектров: удаления аддитивных шумов, сужения области локализации спектра, сжатия сигнала для последующего хранения в базах данных.

3. Использование разработанных алгоритмов для обработки спектров катодолюминесценции полупроводников, оценка их эффективности в сравнении с существующими методами.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые исследована возможность использования избыточного вейвлет-преобразования и лифтинг-схемы с линейной аппроксимацией сигнала для обработки спектральных данных. Разработаны алгоритмы, позволяющие сочетать фильтрацию измеренного спектра с предварительным выделением областей локализации пиков и при необходимости проводить сжатие и восстановление сигнала. Выявлена область применения разработанных алгоритмов, сформулированы теоремы, характеризующие информацию, хранимую в коэффициентах разложения, и погрешность восстановления сигнала. Проведено обобщение алгоритма обработки спектров на многомерный случай, что позволяет применять его для обработки не только поверхностных спектров излучения, но и результатов измерений кинетики люминесценции.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные алгоритмы могут быть быстрыми и по вычислительным затратам соизмеримы с простейшими методами фильтрации, но при этом позволяют проводить эффективную обработку спектральных данных без существенного искажения структуры полезного сигнала. Резкое увеличение интенсивности зашумления при измерении спектральных данных можно выявлять автоматически, используя соответствующий алгоритм. Фильтрация аддитивного зашумления может быть проведена в режиме реального времени и реализована на аппаратном уровне, что позволяет использовать ее как предварительный этап в методах обработки спектров, основанных на численном дифференцировании. Алгоритм обработки спектров обеспечивает

высокий коэффициент сжатия информации и может быть использован при разработке алгоритмов поиска в соответствующих базах данных. Сформулированные теоремы позволяют выбирать параметры в указанных алгоритмах на основании априорной информации и желаемой точности обработки, а не эмпирическим путем.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы на основе избыточного вейвлет-преобразования - a trous вейвлет-преобразования Хаара, которые позволяют организовать подавление высокочастотного аддитивного зашумления спектральных данных в режиме реального времени, а также осуществлять контроль интенсивности зашумлений за счет статистического анализа вейвлет-коэффициентов.

2. Метод обработки оптических спектров, включающей в себя фильтрацию, выявление предположительной области локализации пиков, сжатие и восстановление информации, основанный на лифтинг-схеме с линейной аппроксимацией сигнала.

3. Теоремы, отражающие зависимость вейвлет-коэффициентов от свойств полезного сигнала и погрешности восстановления от параметров фильтрации, которые дают возможность определения параметров обработки спектров с учетом априорной информации.

4. Результаты математического моделирования и обработки спектров катодолюминесценции полупроводников, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов.

Основные результаты диссертационного исследования докладывались на региональных, всероссийских и международных конференциях. По теме диссертации опубликовано 2 статьи в журналах из перечня ВАК и 6 тезисов конференций.

Достоверность результатов исследования обеспечена теоретической обоснованностью используемых видов преобразований сигнала, строгостью

применяемого математического аппарата, соответствием результатов математического моделирования расчетным данным.

Личный вклад автора. Автору принадлежит конкретизация решаемых задач, выбор видов вейвлет-преобразований, подходящих для их решения, разработка и реализация соответствующих алгоритмов.

Автор благодарит Степовича М.А. за предоставленные экспериментальные данные для тестирования разработанных алгоритмов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Она содержит 122 страницы машинописного текста, включая 27 рисунков, 5 таблиц, список литературы из 79 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Горошко, Марина Александровна

Основные результаты и выводы

В ходе диссертационного исследования были получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм обработки оптических спектров, обеспечивающий высокое качество фильтрации спектральных данных и удаление импульсных составляющих. Это было достигнуто при совмещении пороговой обработки с обнулением вейвлет-коэффициентов по принадлежности уровню разложения сигнала, а также благодаря учету величины смещения уровня аппроксимации сигнала относительно исходного тренда при использовании a trous преобразования Хаара.

2. Параметры алгоритмов фильтрации спектров электромагнитного излучения могут выбираться на основе известной информации о спектре и зашумлении, исходя из полученных аналитических зависимостей. Сформулированные теоремы отражают зависимость погрешности восстановления спектра от порога обнуления коэффициентов, а также вейвлет-коэффициентов используемых нетрадиционных преобразований от шума измерений и от величины первой производной (для a trous преобразования Хаара) и второй производной (для лифтинг-схемы) полезного сигнала.

3. Высокочастотное аддитивное зашумление, имеющее место при сборе информации во время спектроскопической диагностики может быть подавлено в режиме реального времени с помощью алгоритма на основе a trous вейвлет-преобразования Хаара. Статистический анализ коэффициентов верхних уровней указанного разложения с использованием формул обновления числовых характеристик позволил осуществить контроль интенсивности зашумления тестового сигнала.

4. Разработанный алгоритм фильтрации, сжатия, восстановления и последующего сглаживания спектральных данных позволил достичь высокого коэффициента сжатия при незначительном искажении формы спектральной кривой, поэтому он может быть рекомендован при составлении соответствующих баз данных. Указанный алгоритм был обобщен на многомерный случай, что позволяет применять его для обработки не только поверхностных спектров излучения, но и результатов измерений кинетики люминесценции.

Эффективность разработанных алгоритмов и справедливость представленных теорем показаны как с помощью математического моделирования обработки тестовых спектров, так и при обработке спектров катодолюминесценции, индуцируемой электронной бомбардировкой поверхности полупроводников. Сравнение полученных результатов с результатами фильтрации спектров с помощью экспоненциального сглаживания, скользящего усреднения, медианного сглаживания и фильтрации на основе быстрого преобразования Фурье показало, что представленные алгоритмы позволяют повысить точность обработки оптических спектров, но при этом по уровню сложности не превышают упомянутые фильтры. К недостаткам фильтрации на основе вейвлетов (за исключением лифтинг-схемы) следует отнести требование большего объема памяти.

К сожалению, в диссертационной работе рассмотрены не все возможности применения вейвлет-преобразований для обработки спектральных данных. В частности, использование вейвлет-преобразования позволяет проводить непосредственную регуляризацию операции численного дифференцирования зашумленных сигналов [79]. Рассмотрение сигнала на разных масштабах в сочетании с временной локализацией вейвлетов может быть полезным при разделении наложенных линий. Наконец, базисы вейвлет-функций способны заменить полиномы и сплайны при аппроксимации экспериментальных данных в процессе идентификации пиков и выделения фоновой составляющей.

С другой стороны, проведенное исследование может служить основой для создания методов обработки конкретных видов спектров или решения других смежных задач. Например, используемый способ сжатия открывает возможности для организации баз данных спектров и разработки соответствующих эффективных алгоритмов поиска элементов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горошко, Марина Александровна, 2012 год

Литература

1. Доленко С.А. Решение обратных задач оптической спектроскопии с помощью искусственных нейронных сетей: Автореф. дис. ... канд.физ.-мат.наук. М., 2002. 21 с.

2. Родионова O.E. Интервальный метод обработки результатов многоканальных экспериментов: Дис. ... докт.физ.-мат.наук. М., 2008. 272 с.

3. Добаткин C.B., Ягодкин Ю.Д. Применение электронной микроскопии и рентгеноструктурного анализа для определения размеров структурных элементов в нанокристаллических материалах // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2007. Т. 73, №1. С. 38-49.

4. Николичев Д.Е. Исследование состава самоорганизованных нанокластеров GexSii_x/Si методом сканирующей Оже-микроскопии: Дис. ... канд.физ.-мат.наук. Нижний Новгород, 2009. 142 с.

5. Бриггс Д. Анализ поверхности методами Оже- и рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии. М.: Мир, 1987. 600 с.

6. Миронов В.Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии: Уч. пособие для вузов. Н. Новгород: Институт физики наноструктур РАН, 2004. 110 с.

7. Степанова H.H. Методы исследования материалов и процессов: Учебное пособие. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 133 с.

8. Гоулдстейн Д.Н. Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. М.: Мир, 1984. 349 с.

9. Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. В 2-х книгах / Дж. Гоулдстейн [и др.] М.: Мир, 1984. Книга 1. 303 с.

10. Заморянская М.В., Конников С.Г. Исследование многослойных наногетероструктур методом локальной катодолюминесценции // NANO.FCIOR.EDU.RU: сервер Министерства образования и науки РФ. Информационно-аналитическая система продвижения образовательных продуктов. URL. http://nano.fcior.edu.ru/card/27779/issledovanie-mnogosloynyh-

nanogeterostmktur-metodom-lokalnoy-katodolyuminescencii.html (дата обращения 13.01.2012).

11. Особенности фотолюминесценции структур InAs/GaAs с квантовыми точками при различной мощности накачки / В.А. Кульбачинский [и др.] // Физика и техника полупроводников. 2005. Т. 39, вып. 11. С. 1354-1358.

12. Фотолюминесцентное исследование структурной эволюции аморфных и кристаллических нанокластеров кремния при термическом отжиге слоев субоксида кремния различной стехиометрии / Д.М. Жигунов [и др.] // Физика и техника полупроводников. 2012. Т. 46, вып. 3. С. 369-375.

13. Фотоэлектрические свойства и электролюминесценция р - i - п диодов на основе гетероструктур с самоорганизованными нанокластерами GeSi/Si / Г.А. Максимов [и др.] // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, вып. 1. С. 26.

14. Петров В.И. Катодолюминесцентная микроскопия // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, №8. С. 859-871.

15. Эмиттирующие наноструктуры «металл - оксид металла»: физика и применение / Д.К. Никифоров [и др.] / Под ред. А.П. Коржавого. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 156 с.

16. Бажин А.И., Плешивцев Н.В. Физика воздействия ионных пучков на материалы. М.: Вузовская книга, 1998. 392 с.

17. Исследование кинетики затухания люминесценции в кристаллах ZnS:Mn при комнатной температуре / A.B. Коваленко [и др.] // Вестник Днепропетровского университета. Физика. Радиоэлектроника. 2004. Т. 16, вып. 12, № 2/2. С. 62-67.

18. Иванов H.A. Люминесценция конденсированных сред: Лабораторный практикум. Иркутск: ГОУ ВПО ИГУ, 2005. 16 с.

19. Галанин М.Д. Люминесценция молекул и кристаллов. М.: Физический институт им. П.Н. Лебедева, 1999. 200 с.

20. Активаторная катодолюминесценция кислородсодержащих кристаллов LiF / JI.A. Лисицына [и др.] // Оптика и спектроскопия. 2011. Т. 110, №4. С. 568-573.

21. Спектрально-кинетические характеристики донорно-акцепторных пар в кристаллах сульфида кадмия и селенида цинка / В.И. Олешко [и др.] // Известия высших учебных заведений. Физика. 2011. №1/3. С. 150-154.

22. Люминесцирующие дефекты в наноструктурном диоксиде кремния / B.C. Кортов [и др.] // Физика твердого тела. 2006. Т. 48, вып. 7. С. 12051211.

23. Идентификация материалов по рентгеновским спектрам / И.А. Брытов [и др.] // Завод, лаборатория. 2005. Т. 71, №7. С. 11-17.

24. Мазалов Л.Н. Рентгеновские спектры. Новосибирск: ИНХ СО РАН, 2003. 329 с.

25. Применение рентгеновской спектрометрии для идентификации органических соединений и материалов / Б.Д. Калинин [и др.] // Аналитика и контроль. 2011. Т. 15, № 1. С. 56-63.

26. Бахтизин Р.З. Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6, № 11. С. 1-7.

27. Нахмансон М.С., Фекличев В.Г. Диагностика состава материалов рентгендифракционными и спектральными методами. Л.: Машиностроение, 1990. 351 с.

28. Tougaard S., Sigmund P. Influence of elastic and inelastic scattering on energy spectra of electrons emitted from solids // Phys.Rev. 1982. V.25. P. 44524462.

29. Александрова Г.А., Паршин A.C. Моделирование спектров характеристических потерь энергии электронов кремниевых пластин с различным содержанием на поверхности углеродосодержащих примесей // Вестник ГрасГУ. 2004. № 5. С. 111-118.

30. Фок М. В. Разделение сложных спектров на индивидуальные полосы при помощи метода Аленцева // Труды ФИАН СССР. 1972. Т. 59. С. 3-24.

31. Методы разложения спектров фотолюминесценции кристаллов ZnS:Mn на индивидуальные составляющие / A.C. Морозов [и др.] // Вестник Днепропетровского университета. Физика. Радиоэлектроника. 2008. Т. 16, вып. 15, №2. С. 147-152.

32. Модуляционные оптические спектры MgB2, полученные с использованием метода А.-модуляции / A.M. Герасимов [и др.] // Научная сессия МИФИ. 2006. Т.4. С.137-140.

33. Новые подходы к преобразованию и анализу масс-спектрометрической и хромато-масс-спектрометрической информации / В.В. Разников [и др.] // Изв. АН. Энергетика. 1997. С. 87-106.

34. Анализ неполностью разрешенных масс-спектрометрических данных / В.В. Разников [и др.] // Масс-спектрометрия. 2006. Т.З, № 2. С. 113-130.

35. Мирошниченко В.Л., Селюнин Д.О. О современных методах аппроксимции экспериментальных данных // Применение анализаторов МАЭС в промышленности: Материалы X Международного симпозиума. Новосибирск, 2009. С. 22-28.

36. Гончаров А.И., Буткова О.Л. Определение микро- и ультрамикроколичеств нефтепродуктов в минеральных водах // Пиво и напитки. 2004. № 3. С. 44-48.

37. Методы обработки кинетики спектров для снижения пределов обнаружения элементов / В.П. Косых [и др.] // Применение анализаторов МАЭС в промышленности: Материалы X Международного симпозиума. Новосибирск, 2009. С. 34-39.

38. Анализаторы МАЭС для получения кинетики атомно-эмиссионных спектров с временным разрешением 1 мс / Д.О. Селюнин [и др.] // Применение анализаторов МАЭС в промышленности: Материалы X Международного симпозиума. Новосибирск, 2009. С. 29-33.

39. Решетняк М.В., Соболь O.B. Расширение возможностей анализа структуры и субструктурных характеристик нанокристаллических конденсированных и массивных материалов квазибинарной системы W2B5-TiB2 при использовании программы обработки рентгендифракционных данных "New_Profile" // Физическая инженерия поверхности. 2008. Т. 6, № 34. С. 180-188.

40. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. СПб: БХВ-Санкт-Петербург, 1998. 237 с.

41,Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006. 856 с.

42. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. M.: Додэка XXI, 2002. 176 с.

43. Mallows C.L. Some theory of nonlinear smoothers // The Annals of Statistics. 1980. V. 8, № 4. P. 695-715.

44. Айвазян C.A., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. М.: ЮНИТИ, 1998. 1005 с.

45. Айфичер Эммануил С., Джервис Барри У. Цифровая обработка сигналов: практический подход. М.: Вильяме, 2004. 992 с.

46. Численные методы / Н.С. Бахвалов [и др.]. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 632 с.

47. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления /В.В. Солодовников [и др.]. М.: Машиностроение, 1986. 440 с.

48. Обработка данных инфракрасной Фурье-спектроскопии: Методическое пособие / A.C. Крылов [и др.]. Красноярск, 2005. 48 с. (Препринт Института физики СО РАН № 832 Ф).

49. Методы рентгеновской дифракционной диагностики сильнолегированных монокристаллов полупроводников / И.Л. Шульпина [и др.] // Журнал технической физики. 2010. Т. 80, вып. 4. С. 105-114.

50. Ue-Li Pen. Application of wavelets to filtering of noisy data // Phil. Trans. R. Soc. bond. A. 1999. P. 2561-2571.

51. Астафьева H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

52. Разделение сложных спектров с помощью вейвлет-производной спектрометрии / A.A. Севастьянов [и др.] // Структура и динамика молекулярных систем. 2003. Вып. X, ч. 1. С. 327-332.

53. Шитов А.Б. Разработка численных методов и программ, связанных с применением вейвлет-анализа для моделирования и обработки экспериментальных данных: Дис. ... канд.физ.-мат.наук. Иваново, 2001. 105 с.

54. Подавление шумовой составляющей в тонкоструктурных спектрах молекул на основе дискретного одномерного вейвлет-преобразования / Г.Г. Дьяченко [и др.] // IVTN.RU: сервер электронных конференций «Информационно-Вычислительные Технологии в Науке». URL. http://www.ivtn.ru/2004/biomedchem/enter/r_pdf/db04_33.pdf (дата обращения 24.01.2010).

55. Степанов С.Е., Степович М.А. О возможности применения вейвлетов в катодолюминесцентной микроскопии // Прикладная физика. 2004. № 3. С.131-135.

56. Переберин А. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. С. 15-40.

57. К. Блаттер. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. 280 с.

58. Преобразования Фурье и вэйвлет-преобразования. Их свойства и применение / Л.Г. Васильева [и др.] // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т. 3. С. 172-175.

59. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 464 с.

60. Вейвлеты и их использование / И.М. Дремин [и др.] // Успехи физических наук. 2001. Т. 171, № 5. С. 465-501.

61. Guy Р. Nason, Rainer von Sachs. Wavelets in time-series analysis // Phil. Trans. R. Soc. bond. A. 1999. P. 2511-2526.

62. Olivier Renaud, Jean-Luc Starck, Fionn Murtagh. Kalman-type filtering using the Wavelet Transform // IST.PSU.EDU: college of Information Sciences and Technology. URL. http://citeseer.ist.psu.edu/598161.html (дата обращения 14.03.2008).

63. W. Sweldens. Wavelets and the lifting scheme: a 5 minute tour. // Z. Angew. Math. Mech. 1996. № 76. P. 41-44.

64. Jansen M., Oonincx P. Second generation wavelets and applications. New York: Springer Science+Business Media, 2005. 138 p.

65. Горошко M.А. Особенности реализации на ЭВМ алгоритма обработки сигналов на основе вейвлетов // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2008. С. 58-61.

66. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

67. Горошко М.А. Выбор параметров фильтрации для некоторых нетрадиционных видов вейвлет-преобразования // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2011. С. 4-5.

68. Горошко М.А. Определение параметров фильтрации при использовании некоторых нетрадиционных видов вейвлет-преобразования // В мире научных открытий. Математика. Механика. Информатика. 2012. № 1(25). С. 101-110.

69. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2006. 752 с.

70. Оптимизация измерений, обработки, хранения и восстановления данных при неполной статистической информации. Приложение к изучению

спектров катодолюминесценции / М.А. Степович [и др.] // Известия Академии наук. Серия физическая. 1999. Т.63, № 7. С. 1332 - 1340.

71. Разработка методов и программных средств подавления шумов в интерферограммах на этапе их предварительной обработки / Г.И. Грейсух [и др.] // ELIB.LVK.CS.MSU.SU: Электронная библиотека научных статей МГУ им. М.В. Ломоносова. URL. http://elib.lvk.cs.msu.su/papers/ documentsO/28 (дата обращения 10.01.2012).

72. Горошко М.А. Использование избыточного вейвлет-преобразования при обработке временных сигналов // Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Научная школа-конференция молодых исследователей: Тезисы докладов. Обнинск, 2011. С. 19-20.

73. Сергеева М.А. Использование стохастических методов и вейвлет-преобразования при калмановской фильтрации // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2007. Т.4. С. 38.

74. Сергеева М.А. Применение вейвлетов и сплайнов при передаче непрерывных данных // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тезисы докладов Четырнадцатой Международной НТК студентов и аспирантов. М., 2008. Т.1. С. 376-377.

75. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти тт. / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. Т. 2. 640 с.

76. Степанов С.Е., Сергеева М.А. Обработка спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности, с использованием вейвлетов // XXXVIII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами: Тезисы докладов. М., 2008. С. 78.

77. Степанов С.Е., Сергеева М.А. Обработка спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности, с

использованием вейвлетов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 4. С. 29-32.

78. Горошко М.А. Обработка пространственных сигналов с использованием вейвлетов второго поколения // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2009. С. 8-9.

79. Вейвлет-регуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом / И.А. Патрикеев [и др.] // Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6. С. 35-42.